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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU
FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA
CURSO:=============================================
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“ MANUAL DE INGENIERIA ECONÓMICA”APLICACIONES FINANCIERAS CON EXCEL
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TEORIA Y PROBLEMAS
Por:
ING. Ms. DEMETRIO SALAZAR MAURICIO
HUANCAYO -.- PERU
2014
Dentro de la inmensa extensión y profundidad del desarrollo del conocimiento de la
Ingeniería química que han llegado a tal punto, que ha permitido al hombre aplicarlos
a los procesos de producción de un número increíble de insumos y productos
terminados muy utilitarios y beneficiosos, muchos de ellos se han convertido en
valiosos artículos de comercio que influyen de una manera esencial en todos los
aspectos en la calidad de vida del hombre, especialmente en el aspecto económico
comprometiendo todo ello el desarrollo de la Industria química.
Prácticamente a diario se toman decisiones económicas que afectan el futuro. Las
opciones que se tomen cambian la vida de las personas de una forma parcial o total.
Por ejemplo, la compra en efectivo de una nueva casa aumenta la posibilidad de vivir
más cómodo y seguro pero reduce la suma de dinero que lleva consigo en el
momento. Por otra parte, el comprar un automóvil nuevo con un préstamo nos da
opciones nuevas de transporte, puede causar una reducción significativa en el efectivo
disponible a medida que se efectúan los pagos mensuales. En ambos casos, los
factores económicos y no económicos, lo mismo que los factores tangibles e
intangibles son importantes en la decisión de comprar una casa o el automóvil.
Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los gerentes generales de una
empresa, los presidentes de grandes corporaciones y los dirigentes de agencias
gubernamentales se enfrentan rutinariamente al desafío de tomar decisiones
significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Éstas son decisiones de cómo
invertir en la mejor forma los fondos, o el capital de la compañía y sus propietarios. El
monto del capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado
el efectivo disponible de un individuo.
Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza
de que sea para mejorar. Por lo normal, los factores considerados pueden ser, una
vez más, económicos y no económicos, lo mismo que tangibles e intangibles. Sin
embargo, cuando las corporaciones y agencias públicas seleccionan una alternativa
sobre otra, los aspectos financieros, el retorno del capital invertido, las
consideraciones sociales y los marcos de tiempo con frecuencia adquieren mayor
importancia que los aspectos correspondientes a una selección individual. La
ingeniería económica, en forma bastante simple, hace referencia a la determinación
de los factores y criterios económicos utilizados cuando se considera una selección
entre una u otra alternativa. Otra definición de la ingeniería económica plantea que es
una colección de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones
económicas. Con estas técnicas, es posible desarrollar un enfoque racional y
significativo para evaluar los aspectos económicos de los diferentes métodos
(alternativas) empleados en el logro de un objetivo determinado.
Las técnicas funcionan igualmente bien para un individuo o para una corporación que
se enfrenta con una decisión de tipo económico. Algunas de las preguntas usuales
que pueden ser consideradas metódicamente por individuos, negocios y
corporaciones, y por las agencias públicas se trataran de formular en el presente
trabajo así como la solución mas acertada.
Individuos. ¿Debo pagar el saldo de mi tarjeta de crédito con dinero prestado?
. ¿Qué representan financieramente mis estudios universitarios en mi carrera
profesional?
. ¿Las deducciones de impuesto sobre la renta son para la hipoteca de mi casa un
buen negocio o debo acelerar los pagos de mi hipoteca?
. ¿Exactamente qué tasa de retorno obtuvimos en esta inversión en acciones?
. ¿Debo comprar o arrendar mi próximo automóvil o conservar el que tengo ahora y
continuar pagando el préstamo?
Corporaciones y negocios- ¿En que tiempo lograremos el retorno requerido si instalamos esta nueva tecnología
de fabricación en la planta?
- ¿Construimos o arrendamos las instalaciones para la nueva sucursal en Ayacucho?
. ¿En términos económicos es mejor fabricar internamente o comprar por fuera una
parte componente de una nueva línea de producto?
Unidades gubernamentales que atienden al público- ¿Cuánto recaudo del nuevo impuesto y cuanto necesito generar para pagar los
desayunos escolares que se está sometiendo a votación?
-¿sobrepasan los beneficios los costos de un puente sobre el río o no es necesario en
este punto?
- ¿Es económico para la ciudad en términos de costos construir un nuevo coliseo
cerrado para eventos deportivos importantes?
- ¿Debe la universidad estatal arrendar un local para el funcionamiento de CEPRE o
es preferible construirlo un nuevo local?
CAPITULO I
CONCEPTOS GENERALES DE INGENIERIA ECÓNOMICA
INGENIERIA ECONÓMICA. Son conceptos y técnicas matemáticas aplicadas en el
análisis, comparación y evaluación económica para definir proyectos de ingeniería;
implica la evaluación de los costos y beneficios de los proyectos técnicos propuestos.
Los principios y metodología de la ingeniería económica son parte integral de la
administración y operación diaria de compañías y corporaciones del sector privado,
servicios públicos regulados, unidades o agencias gubernamentales. Estos principios
se utilizan para analizar usos alternativos de recursos financieros, particularmente en
relación con las cualidades físicas y la operación de una organización.
La Ingeniería Económica se encarga del flujo del dinero en la toma de decisiones de
los ingenieros para hacer que una empresa sea Rentable en un mercado altamente
competitivo.
El objetivo principal es de lograr un análisis económico de una empresa, de tal manera
contribuir notoriamente en la toma de decisiones. Cuyos principios son:
1.- Desarrollar opciones: La elección se da entre las alternativas. Es necesario
identificar las alternativas y después definirlas para el análisis subsiguiente.
2.- Enfocarse en las diferencias: Al comparar las alternativas debe considerarse sólo
aquello que resulta relevante para la toma de decisiones, es decir, las diferencias
en los posibles resultados.
3.- Utilizar un punto de vista consistente: Los resultados posibles de las alternativas,
económicas y de otro tipo, deben llevarse a cabo consistentemente desde un
punto de vista definido.
4.- Utilizar una unidad de medición: Utilizar una unidad de medición para enumerar
todos los resultados probables hará más fácil el análisis y comparación de las
alternativas.
5.- Considerar los criterios: La selección de una alternativa requiere del uso de uno o
varios criterios. El proceso de decisión debe considerar los resultados enumerados
en la unidad monetaria y los expresados en alguna otra unidad de medida o
hechos explícitos de una manera descriptiva.
6.- Hacer la incertidumbre: La incertidumbre es inherente al proyectar los resultados
futuros de las alternativas y debe reconocerse en su análisis y comparación.
7.- Tomar decisiones: La toma de decisiones mejorada resulta de un proceso
adaptativo; los resultados iniciales proyectados de la alternativa seleccionada
deben compararse posteriormente con los resultados reales logrados.
INDUSTRIA QUIMICA. Se ocupa de la extracción y transformación de las materias
primas o insumos en productos terminados, tanto naturales como sintéticas aplicando
las operaciones y procesos de ingeniería, para satisfacer las necesidades de las
personas mejorando su calidad de vida. Su objetivo principal es elaborar un producto
de calidad en forma eficiente y eficaz con el costo más bajo posible, tratando de
ocasionar el menor daño posible al medio ambiente
EMPRESA INDUSTRIAL. La empresa es la institución o agente económico que toma
las decisiones sobre la utilización de factores de la producción para obtener los bienes
y servicios que se ofrecen en el mercado
El conjunto de actividades productivas que el hombre realiza de modo organizado con
la ayuda de maquinas y herramientas se denomina industria.
PRODUCTO.- Del latín productus, se conoce como producto a la cosa producida. Es
un término bastante amplia y permite que objetos muy diversos se engloben dentro
del concepto genérico de producto. En sentido estricto, producto es un conjunto de
atributos tangibles e intangibles reunidos en una forma identificable que incluye el
empaque, color, precio, prestigio del fabricante y servicios que prestan este y el
fabricante para satisfacer necesidades o deseos de los que la requieren.
Cualquier cambio de una característica física (color, tamaño, forma, etc.) por pequeño
que sea, crea otro producto. Cada cambio brinda al productor la oportunidad de utilizar
un nuevo conjunto de mensajes para llegar a lo que esencialmente es un mercado
nuevo.
PRODUCCIÓN.- Es la actividad económica que aporta valor agregado por creación,
generación o suministro de bienes y servicios y, al mismo tiempo, la creación de valor
agregado a la materia prima para satisfacer las necesidades del hombre para su
existencia y desarrollo de la sociedad. Se considera uno de los principales procesos
económicos, en la cual el conocimiento y el trabajo humano crea riqueza
PRODUCTIVIDAD.- Es la relación entre la cantidad de productos obtenida por un
sistema productivo y todos los recursos utilizados para obtener dicha producción.
También puede ser definida como la relación entre los resultados y el tiempo utilizado
para obtenerlos. En realidad la productividad debe ser definida como el indicador de
eficiencia que relaciona la cantidad de recursos utilizados con la cantidad de
producción obtenida.
MERCADO.- Lugar donde se reúnen los proveedores y consumidores donde se
determinan los precios de los productos (bienes y servicios) definidos por su calidad
a través del comportamiento de la oferta y la demanda. Espacio en el que se da
libertad a las habilidades individuales de cada quien para ofrecer y hacer valer su
producto por medio de estrategias de mercadotecnia.
OFERTA.- Cantidad y calidad de bienes o servicios que los productores están
dispuestos a ofrecer a los consumidores a diferentes precios y condiciones dadas, en
un determinado momento
DEMANDA.- Cantidad y calidades de bienes y servicios requeridas por un consumidor
o por el conjunto de consumidores que pueden ser adquiridos a los diferentes precios
del mercado en un determinado momento.
DINERO.- (Del latín denarius = intermediario) es una representación física (moneda o
billete) del valor económico que sirve como intermediario para intercambiar un bien o
un producto, aceptado por una sociedad para el pago de bienes o servicio. Por tanto,
para ser calificado como dinero, un bien debe satisfacer los tres siguientes criterios:
Debe ser intercambiable: El dinero es usado como un intermediario en el
comercio para evitar las ineficiencias de un sistema de trueque.
Debe ser una unidad contable: Cuando el valor de un bien es utilizado con
frecuencia para medir y comparar el valor de otros bienes o productos.
Debe ser un conservador de valor: Cuando un bien es adquirido con el
objetivo de conservar el valor comercial para futuro intercambio.
PRECIO.- Conceptualmente se define como la expresión del valor monetario que se le
asigna a un bien, producto o servicio y de otros parámetros como esfuerzo, atención,
tiempo, etc. El precio se fija mediante la ley de la oferta y la demanda, A lo largo del
tiempo los precios de un producto pueden crecer (inflación) o decrecer (deflación).
CALIDAD.- Es la percepción del consumidor frente a un producto o servicio y la
capacidad del mismo para satisfacer sus necesidades. También se puede definir
como el valor que el cliente tiene por algún producto o la necesidad de la adquisición
de ese producto.
MERCADO DE COMPETENCIA PERFECTA.- Se define como el mercado en el que
existe un gran número de compradores y vendedores de una mercancía, además de
que se ofrecen productos similares, igualmente existe libertad absoluta para los
compradores y vendedores y no hay control sobre los precios ni reglamento para
fijarlos. (Los precios son fijados por la oferta o la demanda)
MONOPOLIO.- Cuando una persona o una sola empresa producen o comercializa un
determinado bien o servicio que no tiene sustituto, el cual controla todo el mercado,
por lo tanto tiene una gran influencia y control sobre el precio del bien.
MONOPSONIO.- Cuando en un mercado existe un solo comprador de un bien o
servicio, tiene el control sobre el precio de los productos, los productores tienen que
adaptarse de alguna forma a las exigencias del comprador en materia de precio y
cantidad. Esto le permite al comprador obtener los productos a un precio menor al que
tendría que comprarlo si estuviera en un mercado.
OLIGOPOLIO.- Este caso se da cuando existe un número pequeño de empresas que
producen bienes o servicios iguales (como lo son productos como el acero, el
cemento, el alcohol industrial, que físicamente son iguales y difícilmente
diferenciables) o bienes o servicios diferenciados por algún aspecto en particular,
como es el caso de productos como los cereales para el desayuno, los detergentes o
algunos electrodomésticos, las cuales dominan y tienen control sobre el mercado.
LOS BANCOS. Un banco es una empresa financiera que se encarga de captar
recursos en la forma de depósitos, y prestar dinero, así como la prestación de
servicios financieros. La palabra "banco" (escritorio) procede de los que utilizaban los
cambistas para trabajar en las ciudades aristocráticas italianas medievales como en
Venecia, Génova, Florencia. Los cambistas mantenían en circulación centenares de
diferentes monedas que eran aceptadas para el comercio, no por su valor facial, sino
por el peso y ley del metal en que se acuñaban y que sólo un experto podía definir.
CLASES DE BANCOS:Según el origen del capital
a. Bancos públicos: El capital es aportado por el estado.
b. Bancos privados: El capital es aportado por accionistas particulares.
c. Bancos mixtos o Banca Asociada: Su capital proviene de aportes privados y
estatales.
Según el tipo de operacióna. Bancos corrientes: Sus operaciones habituales incluyen depósitos en cuenta
corriente, caja de ahorro, préstamos, cobranzas, pagos y cobranzas por
cuentas de terceros, custodia de títulos y valores, financiación, etc.
b. Bancos especializados: Tienen una finalidad crediticia específica (Bancos
Hipotecarios, Banco Industrial, Banco Agrario).
c. Bancos de emisión: Actualmente representados por bancos oficiales.
d. Bancos Centrales: Son las casas bancarias de categoría,
CREDITO.- Conceptualmente es utilizado en el comercio y finanzas para referirse a
las transacciones económicas que implican una transferencia de dinero que debe
devolverse transcurrido cierto tiempo. El que transfiere el dinero se convierte en
acreedor y el que lo recibe en deudor; los términos crédito y deuda es una sola acción
que se realiza mediante una transacción económica desde dos puntos de vista
contrapuestos.
Clases de créditoSegún el origen:
a. Créditos comerciales: Cuando los bancos conceden préstamos a personas o
empresas para financiar la adquisición de equipos, materiales o bienes
demandados.;
b. Créditos bancarios: Concedidos por los bancos como préstamos personales o
jurídicas que permiten adquirir bienes o servicios y pagarlos a plazos;
c. Créditos hipotecarios: concedidos por los bancos y entidades financieras
autorizadas, contra garantía del bien inmueble adquirido;
d. Créditos contra emisión de deuda pública: Que reciben los gobiernos
centrales, regionales o locales al emitir deuda pública;
e. Créditos internacionales: Concedidos de un gobierno a otro, o una institución
internacional a un gobierno, créditos que concede el Banco Mundial. etc.
A. Según el destino:a. De producción: Crédito aplicado a la agricultura, ganadería, pesca, comercios,
industrias y transporte de las distintas actividades económicas.
b. De consumo: Para facilitar la adquisición de bienes personales.
c. Hipotecarios: destinados a la compra de bienes inmuebles,
B. Según el plazo:a. A corto y mediano plazo: Otorgados por Bancos a proveedores de materia
prima para la producción y consumo.
b. A largo plazo: Para viviendas familiares e inmuebles, equipamientos,
maquinarias, etc.
C. Según la garantía:a. Personal: Créditos a sola firma sobre sus antecedentes personales y
comerciales.
b. Real (hipotecas): Prendarias cuando el acreedor puede garantizar sobre un
objeto que afecta en beneficio del acreedor.
CARACTERÍSTICAS DE LA INDUSTRIA QUÍMICA.- La industria química transforma
la materia prima en producto terminado. Compra y vende, usa capital propio o
prestado y paga deudas, emplea personal, planifica, Organiza, dirige y controla para
obtener un beneficio económico, toda industria posee características especiales:
1.- Tiene una gran dependencia del conocimiento científico y tecnológico, muchos
productos químicos son complejos y se obtienen mediante procesos e instalaciones
sofisticados. Por que los productos ya existentes por si solas se hacen obsoletos.
2.- Mantenerse en constante innovación y cambio tanto de los procesos como de los
productos. Generando nuevas tecnologías a base de investigación, con una constante
evaluación económica tanto de la oferta y demanda, precios, necesidades de capital,
rentabilidad, periodo de recuperación, amortizaciones e impuestos etc.
3.- La industria química es de competencia perfecta por la producción del mismo
producto o de productos sustitutos ya sean nacionales, extranjeras o internacionales.
4.- Generar una industria es relativamente fácil. Utilizando equipos sencillos, por
procesos conocidos, de forma rentable.
Antes las fábricas eran inmensas y de alto costo, practicaban el monopolio por ende
los productos tenían altos precios. La tendencia al futuro es la nanotecnología que
permiten financiar plantas pequeñas de alto rendimiento con tecnología de punta
(automatizado) como la denominada llave en mano las cuales han roto el monopolio.
5.- Las empresas que contaminan el ambiente crean un alto costo social en la
Humanidad, aunque ya existen legislaciones para evitarlas pero es un costo que se
ha de pagar. Por lo que obliga a pensar en la tendencia a las tecnologías limpias.
6.- Mayor es la rentabilidad cuando se tiene el menor costo de producción. Ejemplo:
Para producir agua oxigenada se requiere como materia prima el Agua y el oxígeno.
¿De qué compuesto químico UD. Obtendría oxigeno?: Lo primero en definir cuál es la
materia prima o el insumo que contenga Oxigeno, y ellas son:
1. De un oxido metálico CuO
2. Del Aire (Mezcla de Nitrógeno y oxigeno)
3. De un ácido orgánico CH3COOH
4. De una base orgánica CH3COONa
5. De un alcohol C2H5OH.
6. Del H2O (De sus 3 estados)
7. De una sal de CaCO3
8. De un acido H2SO4
9.- De una base NaNO3
10.- De un Hidróxido NaOH
Para poder definir lo primero que se nos llega a la mente en forma heurística es que la
materia prima sea de gran abundancia y que el proceso tenga alto rendimiento pero
de menor costo posible.
¿Cuál de estas dos opciones es más económico producir oxigeno?
SUSTANCIA METODO RENDIMIENTO COSTO
AIRE CRIOSCOPIA 98% $ 2,000 x m3
H2O ELECTROLISIS 90% $ 1,000 x m3
Tabla 1
LA IMPORTANCIA ECONÓMICA DE LA INDUSTRIA QUÍMICA.- Para implantar una industria las actividades económicas a definir son:
¿Que producir? alternativas
¿Cuánto dinero se requiere? Capital propio – Capital prestado
- Para maquinarias y equipos auxiliares (Precios FOB – precios CIF)
- Para terrenos
- Para construcción
- Capital de trabajo.
¿Qué condiciones afectan al dinero?
- Intereses
- Tiempo ( Inflación, deflación, devaluación)
- Descuentos
- Tributos
- riesgos,
¿Definir el tiempo de recuperación?
- flujo de fondos
- flujo de caja
- ventas - impuestos
- estado de perdidas y ganancias
- costos fijos.-
- Maquinarias.- Depreciaciones - amortizaciones
- costos variables
- Punto de equilibrio
- TIR
- VAN
- Costo residual
- Reposición.
TOMA DE DECISIONES.-Las disciplinas que ayudan a tomar decisiones son la Ingeniería, Economía y Administración. Las técnicas y los modelos de ingeniería económica ayudan a la
gente a tomar decisiones. Puesto que las decisiones afectan lo que se realizará, el
marco de tiempo de la ingeniería económica es generalmente el futuro. Por
consiguiente, los números utilizados en un análisis de ingeniería económica son las
mejores estimaciones de lo que se espera que ocurra.
Es común incluir resultados en un análisis de hechos observados. Éste utiliza los
métodos de la ingeniería económica para analizar el pasado, puesto que no se toma
una decisión de seleccionar una alternativa (futura) sobre otra. En lugar de ello, el
análisis explica o caracteriza los resultados. Por ejemplo, una corporación puede
haber iniciado una división de pedidos por correo hace 5 años. Ahora ésta desea
conocer el retorno real sobre la inversión (RSI) o la tasa de retorno (TIR)
experimentada por esta división. El análisis de resultados y la decisión de alternativas
futuras se consideran el dominio de la ingeniería económica.
EL PROCESO DE TOMA DE DECISIONES EN INGENIERÍA.-Un procedimiento muy utilizado para considerar el desarrollo y selección de
alternativas es el denominado enfoque de solución de problemas o proceso de toma
de decisiones.
Los pasos habituales en el enfoque son los siguientes:
Pasos en la solución de problemas1. Entender el problema y definir el objetivo o meta.
2. Recopilación de información relevante.
3. Definir las alternativas de solución.
4. Identificar los atributos de cada alternativa.
5. Evaluar cada alternativa.
5. Seleccionar la mejor alternativa utilizando algunos criterios.
6. Implementar la solución y hacer seguimiento a los resultados.
La ingeniería económica tiene un papel importante en los pasos 2, 3 y 5, y es la
técnica principal en el paso 4 para realizar el análisis de tipo económico de cada
alternativa. Los pasos 2 y 3 establecen las alternativas y la ingeniería económica
ayuda a estructurar las estimaciones de cada uno. El paso 4 utiliza uno o más
modelos de la ingeniería económica examinados en este texto para completar el
análisis económico sobre el cual se toma una decisión.
Ejemplo: Dos ingenieros; un directivo de una compañía A y un analista de una
compañía B a menudo laboran conjuntamente realizando viajes comerciales juntos
por la región con movilidad rentada. Para la cual tienen la posibilidad de comprar una
camioneta 4x4 d/c del cual sean copropietarias las dos compañías ¿Cuales son
algunas de las preguntas de naturaleza económica.
A.- Comprar una movilidad juntos o
B.- Continuar viajando con movilidad rentada.
Solución.- Las preguntas frecuentes en la alternativa A son las siguientes:
1.- ¿Qué marca de carro comprar? Alternativas de calidad.
2.- ¿Cuanto será el costo total de la movilidad? Se necesita estimar costos
3.- Si compro financiado ¿Cuanto será el pago mensual?
4.- Si compro al contado ¿cual será la diferencia de costos frente a un financiado?
5.- ¿Cuánto será los gastos de mantenimiento?
6.- ¿Cuanto serán los pagos de impuestos y otros?
7.- Compensara la aplicar la alternativa A frente a la alternativa B. ¿En qué tiempo
recuperare el costo invertido? ¿Costo/beneficio?
Aplicando el “Enfoque de solución de problemas o Proceso de toma de decisiones” Se tiene las siguientes características:
Paso 1: Lógicamente cada compañía tiene como objetivo minimizar costos
manteniendo las ventajas de un transporte permanente y confiable
Pasos 2 y 3: Si se decide la alternativa 1: Se debe estimar el costo de compra,
combustible, conductor, mantenimiento, financiamiento, tasas de interés, impuestos
manteniendo o incrementando los ingresos por estas actividades. Para la alternativa
2: mantener el statu quo, cuyos costos ya son conocidos. Esta información ayuda a
determinar las estimaciones para el análisis (paso 4) y toma de decisión (paso 5).
Paso 4: Este es el centro de La ingeniería económica. Las técnicas generan valores
numéricos denominadas medidas de valor, que consideran inherentemente el valor
del dinero en el tiempo. Algunas medidas comunes del valor son:
Valor presente (VP] Valor futuro (VF)
Valor anual (VA] Tasa de retorno (TR)
Razón beneficio/costo (BK) Costo capitalizado (CC)
En todos estos casos se considera el hecho de que el dinero hoy vale una suma
diferente en el futuro.
Paso 5: Además de la parte económica se debe evaluar los factores no Económicos
como las sociales, ambientales, legales, políticos, para una selección eficiente y
eficaz.
INGENIERÍA.- Profesión que aplica ingenio, habilidades y arte en forma pragmática
en base a conocimientos, experiencias y habilidades, para resolver problemas de la
humanidad mediante diseños, modelos y técnicas, con ayuda de las matemáticas y
ciencias naturales, aplica un juicio razonable para desarrollar formas económicas de
utilizar los materiales y las fuerzas de la naturaleza para beneficio de la humanidad.
TECNOLOGÍA.- Conjunto de habilidades que permiten construir objetos y máquinas
para adaptar el medio y satisfacer nuestras necesidades. Es una palabra de origen
griego, τεχνολογος, formada por tekne (τεχνη, "arte, técnica u oficio") y logos (λογος,
"conjunto de saberes").
ECONOMÍA.- Proviene de la palabra griego: οἰκονομία, '/oikonomía/ administración
de una casa o familia. Ciencia social que estudia las relaciones que tienen que ver con
los procesos de producción, intercambio, distribución y consumo de bienes y servicios,
entendidos estos como medios de satisfacción de necesidades humanas.
EFICIENCIA TÉCNICA Y ECONÓMICA. Una empresa industrial desea comprar una maquinaria de tecnología de punta para
producir un producto “P” en el mercado existe 2 tipos: una automática (A) y otra
semiautomática (B) en ambos casos la vida útil de las maquinas es de 10 años, si el
capital es prestado al 10 % de interés, como define la elección de la compra.
Eficiencia Costo Mantenimiento
Maquinaria A 80 % 20,000 100
Maquinaria B 90% 10,000 200
Tabla 2
Solución:
MAQUINARIA A VALOR CRONOLOGICO HOY20000 a gastar ahora 20000 1000 a gastar dentro de 1 año 909.09 1000 a gastar dentro de 2 años 826.45 1000 a gastar dentro de 3 años 751.31 1000 a gastar dentro de 4 años 683.01 1000 a gastar dentro de 5 años 620.92 1000 a gastar dentro de 6 año 564.47 1000 a gastar dentro de 7 años 513.16 1000 a gastar dentro de 8 años 466.51 1000 a gastar dentro de 9 años 424.10 1000 a gastar dentro de 10 años 385.5430000 26,144.57VALOR CRONOLOGICO VALOR CRONOLOGICO (10%)Tabla 3
MAQUINARIA B VALOR CRONOLOGICO HOY10000 a gastar ahora 10,000 2000 a gastar dentro de 1 año 1,818.18 2000 a gastar dentro de 2 años 1,652.89 2000 a gastar dentro de 3 años 1,502.63 2000 a gastar dentro de 4 años 1,366.03 2000 a gastar dentro de 5 años 1,241.84 2000 a gastar dentro de 6 año 1,128.95 2000 a gastar dentro de 7 años 1,026.32 2000 a gastar dentro de 8 años 933.01 2000 a gastar dentro de 9 años 848.20 2000 a gastar dentro de 10 años 771.0930000 22,289.13VALOR CRONOLOGICO VALOR CRONOLOGICO (10%)Tabla 4
TOMA DE DECISIONES SIMPLES EN INGENIERÍA QUÍMICA.- En la vida diaria una
persona desde que hace uso de la razón esta en una continua toma de decisiones ya
sea en forma involuntaria o en forma premeditada.Ejemplo: Cuando uno sale de la universidad y debe desplazarse hacia la ciudad ¿Como debe realizarlo?
Actividad : Costo (S/.) Tiempo Beneficio C/B
1. A pie 0.00 60 Minutos 00 Minutos
2. En ómnibus 0.90 40 Minutos 20 Minutos
3. En combi 1.20 30 Minutos 30 Minutos
4. En auto colectivo 1.50 25 Minutos 35 Minutos
5. En taxi 5.00 15 Minutos 45 Minutos
6. No ir 0.00 60 Minutos
Tabla 5
En el desarrollo de la vida profesional también se toma decisiones en una forma
constante desde que el ingeniero ingresa a trabajar en una empresa hasta la hora de
salida y en la mayoría de los casos hasta fuera del horario de trabajo.
Una toma de decisión acertada implica permanencia o crecimiento de la Empresa,
mientras una desacertada toma de decisión hace que esta decae económicamente.
Ejemplo: En una fábrica de producción de GASHOL
¿Determinar cuál de las siguientes operaciones unitarias químicas resulta de mayor
eficiencia y de menor costo de producción en la deshidratación de alcohol etílico para
ser usado como combustible en motores de explosión:
- Destilación
- Solidificación
- Absorción
- Adsorción
- Precipitación
- Cristalización
- Formación de hidratos.
Problema.- Las especificaciones de diseño para un almacén refrigerado piden una
transferencia máxima de calor, a través de las paredes del almacén, de 30,000
Joules/hora/m2 de pared cuando exista una diferencia de 30ºC entre la superficie
interior y exterior del aislante. Los dos materiales aislantes que se están considerando
son:
Material Aislante Costo/m3 Conductividad J-m/m2-ºC-h
Asbesto
Poliuretano
$ 12.50
$ 14.00
140
110
Tabla 6
La ecuación básica para la conducción de calor a través de una pared es:
Donde: Q = Transferencia de calor en J/h/m2 de pared.
K = Conductividad en J – m/m2-ºC-h
= Diferencia en temperatura entre las dos superficies en ºC.
L= Grosor del material aislante en metros.
Solución:
El criterio para seleccionar el material adecuado es minimizar el costo en función al
grosor del material aislante.
Grosor requerido del aislante:
Asbesto: L = 0.14 m.
Poliuretano. L = 0.11 m.
Costo del aislante por metro cuadrado de pared:
Costo Unitario = Costo/m2 x grueso del aislante en metros.
Asbesto = C.U. = 12.50 x 0.14 m = 1.75/ m2
Poliuretano = C.U. = 14.00 x 0.11 m = 1.54/ m2
La alternativa de menor costo es utilizar el material de poliuretano.
TIPOS DE DESICIONES EN INGENIERIA ECONOMICA.- Las decisiones que se
toman dentro de la ingeniería económica son:
Economía de la producción:
- Selección de materia prima, materiales y procesos.- Reducción de costos.
- Mejora de servicios.
- Valoración de métodos y técnicas de la producción.
Presupuestos de Capital:- Valoración de Proyectos de Inversión.
- Comparación y Selección de proyectos de inversión.
- Rentabilizar los activos fijos existentes.
- Analizar y valorar los riesgos en los procesos de inversión
- Financiamiento de capitales para la empresa.
- Amortización de deudas.
- Depreciación de equipos y maquinarias.
- Sustitución de Equipos y materiales.
- Valoración de innovaciones tecnológicas.
- La oportunidad de la reinversión y la optimizar el costo residual.
CAPITULO IICONCEPTOS BÁSICOS DE INGENIERIA ECONOMICA
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.- El dinero es un activo que cuesta conforme
transcurre el tiempo, permite comprar o pagar a tasas de interés periódicas (diarias,
semanales, mensuales, trimestrales, etc.).
INTERÉS.- . Es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. En términos
matemáticos es la diferencia entre la cantidad acumulada final de dinero menos
la cantidad original o capital En tal sentido existe dos variantes: El interés
pagado por la persona u organización que pide dinero prestado y el Interés ganado
que recibe el prestamista. Los valores numéricos para ambas variantes son, en
esencia, los mismos valores aunque las interpretaciones difieren. Por lo tanto el
interés está determinado mediante la relación:
Interés = cantidad final acumulada - cantidad original o capital.
(1)
En cualquier caso, hay un aumento en la cantidad de dinero que se prestó
originalmente y el incremento por encima de la suma original es el interés.
TASA DE INTERÉS.- . Cuando el interés se expresa en términos de porcentaje
que es igual al interés dividido por la cantidad original o inicial multiplicado por 100.
(2)
Remplazando valores de (1) en (2) tenemos:
(3)
La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de periodo de interés también
denominado plazo, que puede ser; diaria, semanal, mensual, trimestral, semestral o
anual en caso de no especificar el interés es anual. Es un índice utilizado para medir
la rentabilidad de los ahorros o el coste de un crédito en el tiempo.
INTERES SIMPLE Y COMPUESTO.- Los términos interés, periodo de interés y tasa
de interés son útiles para el calculo de sumas equivalentes de un dinero para un
periodo de interés tanto para el pasado como la del futuro, sin embargo, para mas de
un periodo de interés los términos de interés simple e interés compuesto son
importantes.
A). INTERÉS SIMPLE.- Cuando solo se pagan intereses sobre el principal, es decir
sobre la totalidad del dinero prestado, ignorando cualquier interés producidos en
periodos anteriores.
(4)
Despejando otros valores tenemos:
(5)
(6)
(7)
La tasa de interés esta expresado en forma decimal.
Ahora despejando de (1) Tenemos
Remplazando el valor de en (3) tenemos:
(8)
Despejando otros valores en (8) tenemos:
(9)
(10)
(11)
Problema 1. Una Caja de ahorro crédito paga el 6% anual sobre los depósitos a plazos. ¿Determinar el pago anual por interés sobre un depósito de $ 18,000?Solución : Podemos resolver aplicando una regla de tres simple; aplicando formulas
tenemos;
; ; ;
Reemplazando valores en ecuación (4) tenemos:
Respuesta :
La Caja paga anualmente sobre el depósito de $ 18,000 la suma de $ 1,080
como intereses; por lo tanto el prestamista tendrá que reembolsar la suma total de
$ 19,080 al cabo de un año.
Problema 2. El banco de crédito otorgo un préstamo a un Ingeniero que es miembro del personal de staff para que esta adquiriera un automóvil. El préstamo asciende a $ 10,000 por un periodo de 3 años con un interés simple de 5 % anual ¿Cuanto debe pagar el Ingeniero al final de los 3 años?Solución :El interés para cada año es:
Interés anual = 10,000 * 0,05 = $ 500 por año.
El total por los 3 años será:
Interés por 3 años = 500 * 3 = $ 1,500
Aplicando la formula (1) tenemos:
Otra manera de resolver:
Aplicando la formula (8) y reemplazando valores tenemos:
; i = 0.05; n = 3
Respuesta: el Ingeniero reembolsara al término de 3 años $ 10,000 que es capital
prestado más los intereses que es $ 1,500 en total $ 11,500.
Los detalles de los pagos de los préstamos se tabulan en la tabla 5
Final del año Cantidad de préstamo
Interés Adeudo Suma pagada
0 $ 10,000
1 - $ 500 $ 10,500 0
2 - $ 500 $ 11,000 0
3 - $ 500 $ 11,500 $11,500
Tabla 7
Problema 3.- Un Banco obtiene fondos al costo de 12% y presta a los microempresarios al 58.6% anual, Si los ingresos anuales que obtuvo de toda la operación fueron de $ 500,000 como intereses ¿cuánto dinero prestó?
Solución: Aplicando la formula (5) y reemplazando valores tenemos:
; ; ;
Respuesta: El banco presto $ 1 072,961.37
Problema 4. Una entidad financiera invirtió $ 250,000 al 17.6% en hipotecas locales y ganó $ 22,000. Determinar el tiempo que estuvo invertido el dinero.Solución:
; ; ;
Aplicando la ecuación (6) y remplazando valores tenemos:
Año.
Respuesta: El dinero estuvo invertido durante medio año.
Problema 5: Si una empresa hipotecaria tiene invertido $ 320,000 durante 3½ años a interés simple y obtiene en total de $ 146,250 de ingresos. ¿Cuál es la tasa de interés?Solución:
; ; ; Aplicando la ecuación (7) y reemplazando valores tenemos:
Otra forma de resolver:
Despejando en (1) tenemos:
Remplazando este valor en (2) tenemos:
Respuesta: La empresa hipotecaria obtuvo el 13% sobre su inversión.
B). INTERÉS COMPUESTO.- Si disponemos de un monto inicial ahora, al final
del primer periodo de tiempo va producir un interés que ha de ser por lo tanto
el valor final ha de ser:
1er. Periodo de tiempo: (a)
Sacando factor común: (b)
2do.periodo de tiempo: (c)
Remplazando de (b) en (c)
Desarrollando tenemos:
Operando tenemos
Por lo tanto obtenemos
El segundo miembro del resultado corresponde a un trinomio cuadrado perfecto;
Por lo que podemos expresar:
3er periodo de tiempo:
Y así sucesivamente hasta el periodo (n) donde:
Por lo que podemos decir que en el último periodo (n) es el valor final del préstamo
por lo tanto será el valor final real que ha de ser:
(12)
El interés compuesto es más utilizado tanto en los aspectos económicos y financieros
muy fundamentales para entender las matemáticas financieras.
Problema 6.- Supongamos que nuestra tasa de interés es de 10 % mensual, entonces si otorgamos en calidad de préstamo $ 100. El monto ha recibir en el futuro dependerá de cual sea el plazo a devolver el dinero. Si el periodo esta dado en meses entonces al final del mes recibiremos $ 100 más el 20 % de 100
o sea $ 120.
Aplicando la Formula tenemos:
Desembolso al final del 1er. Mes
Desembolso al final del 2do. Mes.
Si seguimos calculando el monto a recibir para el 3ro, 4to……n - esimo periodo llegamos a la
siguiente ecuación:
En Resumen podemos explicar en el siguiente ejemplo:
Mostrar los valores acumulados al final de cada trimestre, cuando se invierte la suma de $ 5,000 a una tasa del 8 % trimestral durante un año.
Solución:
Trimestre Valor Actual Interés Valor Final0 5,000.00 01 5,000.00 400.00 5,400.00
2 5,400.00 432.00 5,832.003 5,832.00 466.56 6,298.584 6,298.56 503.88 6,802.44
Tabla 8
Si hacemos la tabla anterior pero en forma algebraica, tenemos:
Periodo Valor Actual Interés Valor final0 …. ….1234… … …. …..n
Tabla 9
Con lo que llegamos a concluir que la fórmula del interés compuesto es:
Donde:
Valor final o denominado también Capital final
Valor actual o Capital inicial
Tasa de interés para el periodo
Número de períodos
VALOR FUTURO.- El Valor Futuro de una inversión inicial a una tasa de
interés dada compuesta anualmente en un período futuro es calculado mediante
la formula:
(12) Formula general de interés compuesto
Dónde: = Valor futuro
Valor actual o presente.
Tasa de interés por periodo.
Número de periodos. En Excel es conocido como
El interés y el plazo deben referirse a la misma unidad de tiempo, dado
en años entonces debe ser años, dado en meses será en meses, etc.).
En Ingeniería Económica es fundamental el empleo de la fórmula general del
interés compuesto para la evaluación y análisis de los flujos de dinero.
Problema 7. Calcular la cantidad de dinero acumulado al final de 5 años de una
inversión de $ 20,000 con un costo de oportunidad del capital de 20% anual
Solución:
; ; ;
Aplicando la formula general de interés compuesto (12) y reemplazando valores tenemos:
.
El valor de es una constante que depende de y denominado (Factor de pago
simple – cantidad compuesta) representado por (spcaf) por las siglas en Ingles
(Single-payment compound – amount factor), por lo tanto este valor encontramos en
tablas. El problema (7) podemos resolver por este método:
Buscamos en tablas: para y encontramos el valor de 2.4883
Reemplazando este valor tenemos:
Aplicando la función financiera en Excel:
SintaxisVF (Tasa;Nper;pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.20 5 -20,000 49,766.40
Respuesta: La cantidad acumulada al final de los 5 años es $ 49,766.40Problema 8. Se tiene un excedente de utilidades de $ 1,000 y se deposita en una
cuenta de ahorros en un banco a plazo fijo, que anualmente me paga 8%; ¿cuánto
tendré dentro de 3 años?
Solución:
; ; ;
Aplicando la formula general de interés compuesto (12) y reemplazando valores tenemos:
Aplicando la función financiera VF en Excel:SintaxisVF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.08 3 -1,000 1,259.71
Respuesta: La cantidad acumulada al final de los 3 años es $ 1,259.71
Problema 9. Pedro decide hoy abrir una cuenta de ahorros en el banco de crédito del
Perú en la cual deposita $ 50,000 por espacio de 8 años. El banco se compromete a
pagar 11 % anual con capitalización compuesta. ¿Calcular el valor final que ha de
recibir por esta operación?
Solución:
; ; ;
Aplicando la formula general de interés compuesto (12) y reemplazando valores tenemos:
Aplicando la función financiera VF en Excel:SintaxisVF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.11 8 -50,000 115,226.89
Respuesta: La cantidad acumulada al final de los 8 años es $ 115,226.89
VALOR ACTUAL .- Describe el proceso de flujos de dinero futuro que a un
descuento y períodos dados representa valores actuales; que expresados en términos
matemáticos es inversamente proporcional a VF. Está dado por la siguiente formula:
…………………….. (13)
Dónde: Valor actual o Valor presente.
= Valor final ó valor futuro
Tasa de interés por periodo.
Número de periodos.
Problema 10.- Una persona nos ofrece pagar $ 8,000 dentro de 5 años, siempre y cuando le entreguemos el día de hoy una cantidad de dinero al 10% anual.¿Cuánto es el monto a entregar hoy?Solución:
; ; ;
Aplicando la formula general de interés compuesto (13) y reemplazando valores tenemos:
SintaxisVA(tasa;Nper;pago;vf;tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo V0.10 5 8,000 -4,967.37
Respuesta: La cantidad a entregar el día de hoy es 4,967.37
Problema 11.- Dentro de 3 años debo comprar un auto Toyota Yaris cuyo costo es de $ 12,000, ¿Cuánto es el monto a entregar hoy si el banco de crédito paga una tasa de interés del 12 % anual.Solución:
; ; ;
Aplicando la formula general de interés compuesto (13) y reemplazando valores tenemos:
SintaxisVA(Tasa;Nper;Pago;vf;tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo V0.12 3 12,000 -8,541.36
Respuesta: La cantidad a entregar el día de hoy es 8,541.36TASA DE INTERES .- Conocido también como tasa de rendimiento, Simbología en Excel es F:(TASA); a: (Tasa) que se obtiene despejando de la
ecuación general y esta dado por la siguiente formula:
…………………………………. (14)
Si sabemos que: ; entonces el valor actual en términos de Intereses corresponde a la siguiente formula: …………………………….. (15)
Problema 12. Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de $ 25,000
depositado a un banco que ha generado en 3 años intereses totales por $ 6,500.
Solución:
a). Reemplazando valores en (1) y despejando VF tenemos:
; ;
b). Este último valor aplicamos a la ecuación (14):
; ; ; ;
Resolviendo por Excel tenemos:
Sintaxis
TASA(Nper;Pago;va;vf;Tipo)Nper Pago va vf Tipo TASA
3 -25,000 31,500 0.0801
Respuesta: La tasa de interés es de 8.01 %.
NUMERO DE PERIODOS DE INTERES .- Conocido también como periodo de
Capitalización o de Actualización. Simbología en Excel es F:(NEPER); a: (Neper)
. …………………………………(16)
Problema 13. ¿Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de $ 35,000, si el monto producido fue de $ 56,455 con un interés de 9 %?Solución:
; ; ; ;
Aplicando la fórmula (14)
Por lo que tenemos 5 años y Convirtiendo a meses y días tenemos:
0.5478*12 = 6.5736 meses
0.5736*30 = 17 días
El tiempo en que ha estado invertido el capital fue de 5 años, 6 meses y 17 días.
Resolviendo por Excel: aplicando la función NPER, tenemos:Sintaxis
NPER(Tasa; Pago; va; vf; Tipo)Tasa Pago va vf Tipo NEPER0.09 -35,000 56,455 5.5478
Respuesta :El tiempo del capital invertido fue de 5 años, 6 meses y 17 días.
Problema 14.- Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $ 4,800 para que al 12 % anual de interés produjera un monto de $ 8,700. Comprobar con Excel.Solución:Datos: ; ; ; ;
Aplicando la fórmula de n tenemos:
R: 5 años; 2 meses con 29 días.
Resolviendo por Excel:
SintaxisNPER (Tasa; Pago; va; vf; Tipo)Tasa Pago va vf Tipo NEPER0.12 -4,800 8,700 5.24763
R: 5 años; 2 meses con 29 días.EQUIVALENCIAS.- Cuando se relacionan el valor del dinero en el tiempo y la tasa de
interés ayuda a demostrar el concepto de equivalencia, el cual significa que
cantidades diferentes de dinero en periodos diferentes (valor cronológico) son iguales
en valor económico dependiendo de la tasa de interés y el periodo transcurrido. Por
ejemplo, si la tasa de interés es de 6% anual, $100 hoy (tiempo presente) serían
equivalentes a $106 en un año a partir de hoy.
$ 100 Es equivalente a $ 106
HOY UN AÑO DESPUES
Siempre en cuando la tasa de interés sea 6% anual y el periodo de un año
Entonces podemos afirmar que: si alguien ofreciera a un amigo un obsequio de $100
hoy o de $106 dentro de un año a partir de hoy, no habría diferencia entre cuál oferta
se aceptaría. En cualquier caso se tendrá $106 dentro de un año a partir de hoy. Las
dos cantidades de dinero son equivalentes entre sí cuando la tasa de interés es el 6%
anual en un periodo de un año. Sin embargo, a una tasa más alta o más baja de
interés, $100 hoy no equivaldrán a $106 dentro de un año.
Además de la equivalencia futura, se puede aplicar la misma lógica para determinar
equivalencia para años anteriores. Si se tienen $100 hoy, tal cantidad es equivalente a
$100/1.06 = $94.34 hace un año a una tasa de interés de 6% anual. De estas
ilustraciones se puede afirmar lo siguiente: $94.34 hace un año, $100 hoy y $106
dentro de un año son equivalentes entre sí a una tasa de interés del 6% anual. El
hecho de que estas sumas sean equivalentes puede establecerse calculando las dos
tasas de interés para periodos de interés de un año.
Años antes Hoy Años después
-2 -1 0 1 2
94.34 100 106
Por lo que podemos deducir que $ 100 Hoy es equivalente a $94.34 hace un año atrás
o es también equivalente a $ 106 a un año después: siempre en cuando el interés sea
el 6 % anual. Aplicando la fórmula (14) tenemos:
= = 0.06 = 6 %
CAPITULO III
FACTORES FINANCIEROS
El flujo de efectivo resulta fundamental en todo estudio económico. Estos flujos
ocurren en muchas configuraciones y cantidades: Valores únicos aislados, series
uniformes, gradientes ascendentes y descendentes en forma aritméticas y
geométricas, todas ellas derivan de la formula general de interés compuesto.
Por lo tanto podemos mencionar que existen 6 formulas generales para poder
explicar toda transacción económica las que son:
1. Pago simple – Cantidad compuesta.- Dada un calcula el al final de
periodos a interés compuesto .
0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
El se puede calcular por:
A. Formula:
B. Factor de tasa de rendimiento: = = Factor de pago simple –
cantidad compuesta (Single-payment compound – amount factor)
Donde ( se encuentra en tablas)
C. Hoja de cálculo Excel.
Problema 15: Se dispone de $ 10,000 la cual se deposita a un banco local que
gana 12 % anual de intereses a plazo fijo, por espacio de 5 años.
a) ¿Cuánto de intereses ha de ganar?
b) ¿Cuanto de efectivo totales recibirá al final de los 5 años?
Solución: Para poder entender el problema podemos graficar el diagrama de flujo
de efectivo y determinar la variable económica.
0 1 2 3 4 5
10,000
Datos:
; ; ; ;
Se puede resolver por varios métodos pero entre los principales tenemos:
a). Aplicando la formula tenemos:
= 17,623.416
b). Aplicando el factor: . En tablas podemos encontrar para
y ; por lo que tenemos: 1.7623 reemplazando tenemos:
= $ 17,623.00
c). Determinación por Excel
SintaxisVF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.12 5 -10,000 17,623.41683
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos $ 17,623.42
Problema 16: Un Ingeniero recibió un bono de $ 12,000 que desea invertir ahora.
Quiere calcular el valor equivalente después de 24 años, cuando planea usar todo
el dinero resultante como enganche o pago inicial de una casa de vacaciones en
una isla. Si la tasa de retorno es de 8 % anual para cada uno de los 24 años.
a) ¿Determinar la cantidad que puede obtener después de 24 años?
Solución: Graficando el diagrama de flujo de efectivo y determinando la variable
económica tenemos:
0 1 2 3 21 22 23 24
12,000
Datos:
; ; ; ;
Aplicando Excel tenemos:
SintaxisVF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.08 24
4-12,000 76,094.16885
A este resultado la máquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos 76,094.16
Una interpretación de este resultado es que los 12,000 actuales equivaldrán a
76,094.16 después de 24 años al crecer 8 % por año en forma compuesta.
2. Pago simple – Valor Actual.- Dada una cantidad futura determina el valor
actual donde hay periodos con un interés compuesto , que viene a ser el
reciproco de
0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
El se puede calcular por:
A. Formula:
B. Factor de tasa de rendimiento: = = Factor de pago simple – valor
actual (single payment present-worth factor) conocido también como valor
actual. donde ( se encuentra en tablas)
C. Hoja de cálculo Excel.
Problema 17. Si se requiere disponer $ 12,000 dentro de 6 años para una nueva
inversión. ¿Cuanto debo de depositar hoy, si el banco me paga 15 % anual?
Solución: Graficando el diagrama de flujo de efectivo y determinando la variable
económica tenemos: 12,000
0 1 2 3 4 5 6
Datos:
; ; ; ; Se puede resolver por varios métodos pero entre los principales tenemos:
1.- Aplicando la formula Tenemos:
= 5,187.9315
2.- Aplicando el factor: . En tablas podemos encontrar para i
= 15% y n = 6 por lo que tenemos: 0.43233 reemplazando tenemos:
= 5,187.96
3.- Determinación por Excel
SintaxisVA(Tasa;Nper;Pago;vf;Tipo)
Tasa nper Pago vf Tipo VA0.15 6 12,000 - 5,187.931151
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos $ 5,187.93
Problema 18: Si he comprado un auto Toyota a un precio de $14,000 ¿Cuánto he
depositado al banco de crédito hace 5 años si me ha pagado el 17 % de interés
compuesto a plazo fijo en forma anual?
Solución: Graficando el diagrama de flujo de efectivo y determinando la variable
económica tenemos: 14,000
0 1 2 3 4 5
Datos:
; ; ; ;
Se puede resolver por varios métodos pero entre los principales tenemos:
1.- Aplicando la formula Tenemos:
= 6,385.5561327
2.- Aplicando el factor: . En tablas podemos encontrar para
y por lo que tenemos: 0.45611 reemplazando tenemos:
= 6,385.54
3.- Determinación por Excel
Sintaxis VA(Tasa;Nper;Pago;vf;Tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo VA0.17 5 14,000 - 6,385.556133
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o defecto
por lo que tenemos $ 6,385.56
3. Pago de series Uniformes – cantidad compuesta.- dado una serie de pagos
uniformes de ingresos o desembolsos del final del periodo ; Determina cuanto
se acumulará como en pagos a interés compuestos .
P P P P P P P
0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
P P P P P P P
Para Determinar la formula planteamos el siguiente gráfico:
0 1 2 3 4 5
+ + + + ………….aMultiplicando por Tenemos:
= + + + + …….….b
Restando b – a Tenemos:
=
=
…………………………………..…………….. (17)
El se puede calcular por:
A. Formula:
B. Factor de tasa de rendimiento: = = Factor de series uniformes
– cantidad compuesta (Uniform series compound amount factor) (
se encuentra en tablas)
C. Hoja de cálculo Excel.
Problema 19: Si depositamos en la oficina principal del banco continental del Perú
en forma continua durante 5 años la suma de $ 100 anuales ¿Cuánto se acumulara
si el banco paga 17% anual en forma compuesta?
Solución: Graficando el diagrama de flujo de efectivo y determinando la variable
económica tenemos:
1 2 3 4 5
100 100 100 100 100
Datos:
; ; ; ;
El problema se puede resolver por varios métodos pero entre los principales
tenemos:
a). Aplicando la formula tenemos:
b). Aplicando el factor: . En tablas podemos encontrar para
; por lo que tenemos: 7.0144 reemplazando tenemos:
c). Determinación por Excel.
SintaxisVF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.17 5 -100 701.440021
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos $ 701.44
Problema 20: Juan ha depositado en una cuenta de ahorros del Banco de Crédito
del Perú la suma de 5,000 Dólares Americanos anuales durante 4 años
¿Determinar cuánto dispondrá hoy en su cuenta de ahorros si la tasa de interés
anual es de 20 %?
Solución: Graficando el diagrama de flujo de efectivo y determinando la variable
económica tenemos:
1 2 3 4
5,000 5,000 5,000 5,000
Datos:
; ; ; ;
El problema se puede resolver por varios métodos pero entre los principales
tenemos:
a). Aplicando la formula tenemos:
b). Aplicando el factor: . En tablas podemos encontrar para
; por lo que tenemos: 5.9680 reemplazando tenemos:
c). Determinación por Excel.
SintaxisVF (Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa nper Pago va Tipo VF0.20 4 -5000 26,840
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos $ 26,840
4. Depósito de Fondo de Amortización.- Calcula la serie uniforme de depósitos
de fin de periodo durante n periodos a interés compuesto i para que
proporcione una futura cantidad requerida VF.
0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
El valor de se puede calcular por:
A. Formula: ………………………….. (18)
B. Factor de tasa de rendimiento: = = Factor de depósito de fondo
de amortización (sinking fund deposit factor) (Tablas)
C. Hoja de cálculo Excel.
Problema 21: Se requiere tener $ 12,000 al cabo de 6 años. ¿Cuánto debo
depositar anualmente si el banco me paga el 15 % anual?
Solución: Graficando el diagrama de flujo de efectivo y determinando la variable
económica tenemos: 12,000
1 2 3 4 5 6
Datos:
; ; ; ;
Se puede resolver por varios métodos pero entre los principales tenemos:
a). Aplicando la formula tenemos:
= $ 1,370.8428
b). Aplicando el factor: En tablas podemos encontrar para i = 15
% y n = 6 por lo que tenemos: 0.11424 reemplazando tenemos:
= $ 1,370.88
c). Determinación por Excel.
SintaxisPAGO(Tasa;Nper;va;vf;Tipo)Tasa Nper va vf Tipo PAGO0.15 6
7 12,000 -1,370.842879
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos $ 1,370.84
Problema 22: Al cabo de 5 años se ha recibido del banco de la nación la suma de
$10,000. ¿Cuánto se ha depositado cada uno de los 5 años anteriores si el banco
paga el 15 % anual?
Solución: Graficando el diagrama de flujo de efectivo y determinando la variable
económica tenemos:
1 2 3 4 5
Datos:
; ; ; ;
Se puede resolver por varios métodos pero entre los principales tenemos:
a). Aplicando la formula tenemos:
= $ 1,483.155
b). Aplicando el factor: En tablas podemos encontrar para i = 15
% y n = 5 por lo que tenemos: 0.14832 reemplazando tenemos:
= $ 1,483.20
c). Determinación por Excel.
SintaxisPAGO (Tasa;Nper;va;vf;Tipo)Tasa nper va vf Tipo PAGO0.15 6
7 12,000 -1,483.155525
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos $ 1,483.16
5. Recuperación de capital.- Determina la serie futura de pagos P uniformes de
final de periodo que permitirá recuperar una cantidad actual VA sobre n
periodos a interés compuesto i.
0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
El valor de se puede calcular por:
A. Formula: ………………………………. (19)
B. Factor de tasa de rendimiento: = =Factor de recuperación de
capital (capital recovery factor). (Tablas)
C. Hoja de cálculo Excel.
Problema 23: Requiero un préstamo de $ 18,000 y deseo pagar al banco en 5
cuotas anuales e iguales ¿Cuánto es la cuota anual si el banco me cobra 20 %
anual?
Solución: Graficando el diagrama de flujo de efectivo y determinando la variable
económica tenemos:
.
1 2 3 4 5
Datos:
; ; ; ;
Se puede resolver por varios métodos pero entre los principales tenemos:
a). Aplicando la formula tenemos:
= $ 6,018.8346
b). Aplicando el factor: En tablas podemos encontrar para i = 20
% y n = 5 por lo que tenemos: 0.33438 reemplazando tenemos:
= $ 6,018.84
c). Determinación por Excel
SintaxisPAGO(Tasa;Nper;va;vf;Tipo)Tasa Nper va vf Tipo PAGO0.15 5
718,000 -6,018.834659
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos $ 6,018.83
Problema 24: César compra a plazos un automóvil por $ 20,000. Si se da una
inicial de $ 5,000 y el resto se paga en 18 cuotas iguales, a una tasa de interés de
3.5% mensual. ¿Calcular el valor de la mensualidad? Comprobar con Excel.
Solución: Si se da como adelanto $ 5,000 entonces el monto a financiar es de $
15,000.
Datos:
; ; ;
a). Aplicando formula tenemos: Conociendo valor actual determinar P.
b). Aplicando el factor: En tablas podemos encontrar para i = 3.5
% y n = 18 por lo que tenemos: 0.07582 reemplazando tenemos:
= $ 1,137.3
c). Demostrando por Excel:
SintaxisPAGO(Tasa;Nper;va;vf;Tipo)
Tasa Nper va vf Tipo PAGO
0.035 18 15,000 -1,137.25261
R: Los pagos mensuales han de ser $ 1,137.25
6. Series Uniformes – valor actual.- Determina el valor actual de una serie
uniforme de pagos de final de periodo durante periodos a interés
compuesto .
0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
El valor de se puede calcular por:
A. Formula: …………………………. (20)
B. Factor de tasa de rendimiento: = = Factor de series uniformes
- valor actual (uniform series present worth factor)
(Tablas)
C. Hoja de cálculo Excel.
Problema 25: Si pague 200 soles anuales durante 7 años a un banco que me cobra
15 % de intereses ¿Cuánto fue mi préstamo?
Solución: Graficando el diagrama de flujo de efectivo y determinando la variable
económica tenemos:
0 1 2 3 4 5 6 7
200 200 200 200 200 200 200
Datos:
; ; ; ;
Se puede resolver por varios métodos pero entre los principales tenemos:
a). Aplicando la formula tenemos:
= $ 832.08396
b). Aplicando el factor: En tablas podemos encontrar para
y por lo que tenemos: 4.1604 reemplazando tenemos:
= $ 832.08
c). Determinación por Excel
Sintaxis VA(Tasa;Nper;Pago;vf;Tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo VA0.15 7 -200 832.08394468A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos $ 832.08
Problema 26: Si se puede pagar 500 soles anuales durante 6 años a un banco
privado que cobra 17 % de intereses ¿Cuánto de préstamo me pueden dar hoy?
Solución: Graficando el diagrama de flujo de efectivo y determinando la variable
económica tenemos:
0 1 2 3 4 5 6
500 500 500 500 500 500
Datos:
; ; ; ;
Se puede resolver por varios métodos pero entre los principales tenemos:
a). Aplicando la formula tenemos:
= $ 1,794.592
b). Aplicando el factor: En tablas podemos encontrar para
y por lo que tenemos: 3.5892 reemplazando tenemos:
= $ 1,794.60
c). Determinación por Excel
SintaxisVA(Tasa;Nper;Pago;vf;Tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo VA0.17 6
6-500 1,794.592377
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos $ 1,794.6
TIPOS DE PAGOS: En los flujos de pagos de ingreso o desembolso para determinar las variables económicas , , , o en una transacción económica pueden realizarse de dos tipos:
Vencidas o Pos pagables.- Cuando el Pago se realiza al fin de periodo..
0 1 2 3 4 5
Anticipadas o Prepagables.- Cuando el Pago se realiza al inicio del
periodo.
.
0 1 2 3 4 5
Problema 27: Si depositamos en un banco en forma continua durante 5 años la
suma de $1,000 anuales a una tasa de interés de 15 %.
a. ¿Cuánto se acumulará si el pago se realiza al final de cada periodo?
b. ¿Cuánto se acumulará si el pago se realiza al inicio de cada periodo?
Solución:
a. Para pagos al final de periodo, vencido o postpagable
Para poder entender el problema podemos graficar el diagrama de flujo de
efectivo y determinar la variable económica.
0 1 2 3 4 5
100 100 100 100 100
Datos:
; ; ; ;
Se puede resolver por varios métodos pero entre los principales tenemos:
a). Aplicando la formula tenemos:
= $ 6,742.3806
b). Aplicando el factor: En tablas podemos encontrar
para ; por lo que tenemos: 6.7424 reemplazando tenemos:
= $ 6,742.4
c). Determinación por Excel.
SintaxisVA (Tasa;Nper;Pago;vf;Tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo VA0.15 5
6
-1,000 0 6,742.38125
b. Para pagos al inicio de periodo, anticipado o prepagable.
Para poder entender el problema podemos graficarlo y determinar la variable
económica.
0 1 2 3 4 5
Datos: 100 100 100 100 100 ; ; ; ;
Se puede resolver por varios métodos pero entre los principales tenemos:
a). Aplicando la formula tenemos:
b). Aplicando el factor: En tablas podemos encontrar
para ; por lo que tenemos: 6.7424 reemplazando tenemos:
= $ 7,753.3
c). Determinación por Excel.
SintaxisVA(Tasa;Nper;Pago;vf;Tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo VA0.15 5
6-1,000 1 7,753.738437
GRADIENTES.- Hasta ahora hemos visto cuando los flujos de pagos son de
series uniformes, pero en la vida financiera existen flujos en forma ascendente
y/o descendente a la vez pueden ser en forma aritmética o geométrica.
A). GRADIENTE ARITMETICO.- Para poder deducirlos y entenderlo podemos
partir de las formulas ya descritos como: Pago de series Uniformes –
cantidad compuesta que menciona dado una serie de pagos uniformes
del final del periodo ; cuanto se acumulará como en pagos a interés
compuestos .
0 1 2 3 4 5
+ + + + ………….aMultiplicando por Tenemos:
= + + + + …….….b
Restando b – a Tenemos:
=
=
Formula corresponde para 5 periodos por lo que para periodos tenemos:
Corresponde a la formula (17)
Ahora bien como es una gradiente de pagos:
0 1 2 3 4 n
Desarrollando tenemos:
……………….. (21)
Como podemos notar la primera parte de esta fórmula corresponde a un
flujo uniforme de pagos y la segunda al flujo del gradiente, por lo tanto
cuando se requiere tan solo la ecuación de una gradiente puro tenemos:
(n -1) G
3G
2G
G
P
VA
0 1 2 3 4 n
……………………………………(22)
Esta fórmula se cumple teniendo en cuenta la gráfica de gradientes, donde
la gradiente empieza en el periodo 2.
Desarrollando de igual manera para tenemos:
……….. (23)
Para una gradiente puro:
……………………………. (24)
……………………………. (25)
Problema 28: Calcular el valor de contado de un producto adquirido con
financiamiento. Con una cuota inicial de $ 1,500 y el saldo en 24 armadas
mensuales que aumentan en $ 80 cada mes, siendo de $ 250 la primera cuota.
La tasa de interés es de 2.8% mensual.
Solución: Podemos dividirlo en 2 tipos de flujo: Un flujo de serie uniforme de
= 250 y un flujo de gradiente que aumenta de 80 en 80 por cada mes; por lo
que tenemos:
DATOS:
; ; ; ;
1.- Calculando de la serie:
= $ 4,327
Determinación por Excel Sintaxis VA(Tasa;Nper;Pago;vf;Tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo VA0.028 24 -250 4,326.564952
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por exceso o
defecto por lo que tenemos $ 4,326.56
2.- Calculando el valor actual de la gradiente:
= $ 17,740
3.- Finalmente calculamos el valor de contado del producto, sumando los
valores actuales: 1,500 + 4,327 + 17,740 = $ 23,527
Problema 29: Una persona deposita al finalizar el primer mes en su cuenta de ahorros la suma de $ 300 y durante los próximos 9 meses el monto depositar aumentará en $ 100 por mes. Si la tasa de interés es de 10% mensual determinar el monto disponible al finalizar el décimo mes.
Solución: De igual manera dividimos en dos flujos o aplicamos la formula
general:
Datos:
; ; ; ; ; Calculando de la serie uniforme más la gradiente tenemos:
Problema 30: Calcular el Valor final y el valor actual del siguiente flujo: Si la tasa de interés por periodo es 10%.
200 180 160 140 120 100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
100 100 100 100 100 100
Resolver por cualquier método: comprobar por Excel.
Solución: Para poder resolver podemos dividirlo en dos formas: Uno en pagos de gradiente aritmético y la otra en descuentos uniformes:
a) Pagos gradientes: Depósitos
Datos:
; ; ; ;
Aplicando formulas de VF en el periodo 6:
Comprobando por Excel el valor uniforme: Sintaxis VF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.1 6 -100 711.561
Valor final en el periodo 12:
Comprobando por Excel:
Sintaxis VF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF
0.1 6 -1,114.683 1,974.7289
b) Pagos uniformes: Descuentos
Comprobando por Excel tenemos. Sintaxis VF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.1 6 100 -711.561
c) Restando: Depósitos – Descuentos tenemos:
1,974.7289 – 771.561
d) Llevando al valor actual tenemos:
B). GRADIENTE GEOMETRICO.- Un flujo de Pagos geométrico se origina
cuando aumenta o disminuye la magnitud del flujo del efectivo o Pagos en
un porcentaje fijo de un periodo al siguiente en forma consecutiva. En la
progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por un
mismo número denominado razón de la progresión, representado por E
(Escalera). Tal como se muestra en el siguiente grafico:
0 1 2 3 (n -1) n
VALOR ACTUAL DE UNA GRADIENTE EN ESCALERA.- Podemos
determinar mediante la formula siguiente:
…………………………….. (26)
Donde:
Valor actual de la serie escalera.
= Cantidad de dinero en el año 1
= Tasa de valoración
= Tasa de escalada.
= Número de periodos.
VALOR FINAL DE UNA GRADIENTE EN ESCALERA.- No podemos
determinar una formula especifica para poder desarrollar este tipo de
gradiente pero podemos realizar mediante una deducción lógica.
El valor futuro de gradientes, tiene que ver con negocios de capitalización,
para los cálculos partimos de cero hasta alcanzar un valor ahorrado
después de un plazo determinado.
Problema 31: Determinar el valor actual y valor futuro de los ingresos anuales vencidos de una persona que el primer año ganará $ 30,000 con la esperanza que crezcan un 8% anual de forma acumulativa durante 5 años considerando la tasa de valoración 10 %.
Solución.- Graficando tenemos: VF
0 1 2 3 4 5
Datos:
; ; ; ;
Aplicando la fórmula del de forma gradiente tenemos:
El valor final también podemos determinar por Excel así tenemos:
SintaxisVA(Tasa;Nper;Pago;vf;Tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo VA0.10 5
6 -131,494.5 211,773.2
A este resultado la maquina automáticamente lo redondea por
exceso o defecto por lo que tenemos $ 211,773.2
Problema 32: Calcular el valor final y el valor actual del siguiente flujo a una tasa de interés de 15%. Aplicando fórmula.
50(1.1) 50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Solución: Para este caso aplicamos la formula de gradiente geométrico
Datos:
; ; ; ;
a) Primero calculamos él
Aplicando la Formula tenemos:
b) Calculando valor Final tenemos:
C) OTROS TIPOS DE FLUJO DIFERENTES A LOS PROPUESTOS.- Por
cambios bruscos de la economía pueden surgir diferentes formas de pago
de acuerdo a la realidad y se pueden desarrollar por deducción lógica o
formulas específicas.
1.- Pagos diferentes indiscriminadamente.-a) Pagos iguales en forma secuencial:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Se desarrolla haciendo como tres series uniformes diferentes
empezando siempre de 0 para el VF o coincidiendo en 0 para VA,
Siendo i constante.
b) Pagos ascendentes seguidas de pagos uniformes y luego
descendentes.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Se desarrolla haciendo como tres series: ascendente, uniforme y
descendente. Empezando siempre de 0 para el VF o coincidiendo en 0
para VA, Siendo i constante.
c) Depósitos ascendentes, descendentes para luego realizar
descuentos.
0
Se desarrolla haciendo como tres series uno de pagos ascendentes
seguida de una descendente y la otra serie descuentos o desembolsos.
Empezando siempre de 0 para el VF o coincidiendo en 0 para VA,
Siendo i constante.
2.- Pagos no Uniformes:
0
Se desarrolla periodo por periodo o se acomodar a las series ya conocidas.
3.- Pagos en periodos diferidos. De cualquiera de los tipos anteriores:
0
4.- Cambio indiscriminado de la tasa de interés por periodo. De
cualquiera de los tipos anteriores:
0 1 2 3 4
Problema 33: Una persona deposita en una cuenta de ahorros $ 5,000 mensualmente durante 4 meses, determinar cuanto dispondrá en su cuenta de ahorros al final del mes 5 si la tasa de interés mensual es de 10 %.
0 1 2 3 4 5
Solución: Primero determinamos el valor futuro en el periodo 4
Llevando al periodo 5 y haciendo que .
Resolver aplicando Excel y comparar el .
Problema 34: Una persona desea hacer un único depósito hoy que le permita retirar desde el mes 5 al mes 12 una cantidad mensual de $ 3,000 si la tasa de interés mensual es de 12 % ¿Cuál debe ser el monto a depositar hoy día?
Solución:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Hay diferentes alternativas para resolver este flujo, una de ellas es el en el
momento 4.
Ahora llevando este flujo al momento 0:
Resolver y comparar por:
1) Llevar el flujo uniforme al momento 12 luego hallar el valor presente de
ese flujo en el momento 0.
2) Resolver y comparar el Problema utilizando tablas.
3) Resolver y comparar el problema aplicando Excel.
RESUMEN DE FORMULAS
INTERES FORMULAS
INTERES SIMPLE ……………… (1)
……………… (2)
…………… (3)
…………… (4)
…………….. (5)
…………… (6)
…………… (7)
………. (8)
………… (9)
…………. (10)
…………… (11)
INTERES COMPUESTO
………. (12)
………... (13)
……….. (14)
…... (15)
………. (16)
…….. (17)
……. (18)
…… (19)
….. (20)
GRADIENTE ARITMETICO
….… (21)
…………….. … (22)
. (23)
……………….. (24)
………………… (25)
GRADIENTE GEOMETRICO ………………………… (26)
Tabla 10
CONDICIONES REFERENCIALES A TENER EN CUENTA PARA LA APLICACIÓN DE LAS FORMULAS ELEMENTALES
1.- En una transacción económica el flujo de efectivo debe darse en una sola
unidad monetaria ejemplo. Todo en Dólares ($) o Todo en soles (S/.) etc.
2.- La tasa de interés debe de estar en concordancia con el periodo es decir
si esta es 10 % mensual, entonces debe de estar en meses.
3.- El final de cualquier periodo coincide con el inicio del nuevo periodo.
4.- El valor presente se da al inicio del periodo 1 o sea en 0.
5.- El valor final se produce al final del último periodo.
6.- En una transacción: Si él es positivo entonces él es negativo,
contrariamente si él es negativo entonces él es positivo.
7.- Los pagos pueden realizarse al inicio o al final de cada periodo;
Conocidas también como anticipadas o vencidas.
7.- La gradiente se realiza después de un primer Pago .
8.- La gradiente se produce después de o primer pago.
9.- Todo planteamiento de problema se puede desarrollar por deducción
lógica.
10.- La Nomenclatura se muestra en la tabla 11.
NOMENCLATURA
Descripción Formula Excel
FUNCION atributo
Valor final
Valor Actual
Pago
Tasa de interés
PAGO
TASA
vf
va
Pago
Tasa
Periodo NEPER Neper
tipo: Vencidas = 0
Anticipadas = 1
Tabla 11.
PROBLEMAS PROPUESTOS1.- ¿Qué elegiría Ud.?
a) Tener $1,000 hoy u
b) obtener $1,000 dentro de un año.
2.- ¿Qué eligería Ud.?
a) Tener $1,000 hoy u
b) obtener $1,500 dentro de un año.
3.- ¿Cuál es la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto? Y
¿cuándo son iguales?
4.- Un ingeniero solicita a la Caja Municipal Huancayo un préstamo de $ 10,000
con un interés anual compuesto de 15%. ¿Calcule el adeudo total después
de tres años? Elabore un cuadro de acumulación por Excel?
5.- Una entidad financiera me ofrece $ 5,000 dentro de 3 años, siempre y
cuando le entreguemos el día de hoy una cantidad al 10% anual.
¿Cuánto es el monto a entregar hoy?
6.- Daniel desea viajar al extranjero dentro de 18 meses en un tour cuyo costo
para entonces es $10,000. Quiere saber cuánto debe depositar hoy para
acumular esa cantidad, si el dinero depositado a plazo fijo en el Banco
gana el 3.5 % mensual.
7.- Si hoy recibo $ 80,000 y dentro de 5 meses recibo otra suma de $ 45,000
ambos han sido depositados en su momento a un banco que paga 4.5%
mensual. ¿Qué monto tendré dentro de 1 año?
8.- Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de $ 25,000 que ha
generado en tres años intereses totales por $ 6,500.
9.- Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de $ 35,000, si el
monto producido fue de $ 56,455 con un interés de 9 %.
10.- ¿Cuánto tiempo tomará para que una inversión se duplique con 5% por
año, con a) interés simple, y b) interés compuesto.
11.- Una empresa que manufactura oxidantes termales regenerativos hizo una
inversión hace diez años que ahora tiene $1 300,000. ¿De cuánto fue la
inversión inicial con una tasa de 15% anual de a) interés simple, y b)
interés compuesto?
12.- Si usted tiene ahora $62,500 en su cuenta de ahorros y quiere jubilarse
cuando en ésta haya $ 2 000,000 calcule la tasa de rendimiento que debe
ganar para retirarse dentro de 20 años sin agregar más dinero a la cuenta.
13.- Una compañía que ofrece gran variedad de servicios recibió un préstamo
de $ 2 millones para adquirir equipo nuevo y pagó el monto principal del
crédito más $ 275,000 de intereses por un año. ¿Cuál fue la tasa de interés
del préstamo?
14.- Cierta empresa de ingeniería que diseña construcciones terminó el
proyecto de un ducto por el que obtuvo una utilidad de $2.3 millones en un
año. Si la cantidad de dinero que invirtió la compañía fue de $6 millones,
¿cuál fue la tasa de rendimiento de la inversión?
15.- La compañía US Filter celebró un contrato para una planta pequeña que
desala agua con el que espera obtener una tasa de rendimiento de 28%
sobre su inversión. Si la empresa invirtió $ 8 millones en equipo durante el
primer año, ¿cuál fue la utilidad en dicho año?
16.- Determinar el valor actual de $ 100 a ser recibido dentro de 3 años a
partir de hoy si la tasa de interés es 9%.
17.- ¿A cuánto equivale tener $1,000 hoy que haber tenido 5 años atrás o 5
años después? Si tasa de interés de un banco es 18 % de interés.
18.- ¿cuánto dinero podría una persona estar dispuesta a gastar ahora en lugar
de gastar $40,000 dentro de cinco años si la tasa de interés es 12% anual?
19.- Una pareja de casados está planeando comprar un nuevo vehículo para un
negocio de deportes dentro de cinco años. Ellos esperan que el vehículo
cueste $32,000 en el momento de la compra. Si ellos desean que la cuota
inicial sea la mitad del costo. ¿Cuánto deben ahorrar cada año si pueden
obtener 10% anual sobre sus ahorros?
20.- Tengo un préstamo de S/. 5,000 de un banco con una tasa de interés de
20 % anual de interés compuesto. Se me presenta una oportunidad de
prestar a un comerciante que me quiere pagar además del préstamo 40
sacos de arroz al final de 3 años? si el saco de arroz cuesta S/. 91.
a) ¿Me conviene o no realizar la transacción económica?
b) ¿Cuánto de ganancia o perdida me arroja dicha transacción económica?
R: Decisión personal. No se gana ni se pierde. Oportunidades y riesgos.
21.- Tenemos una anualidad de $ 500 anual, durante cinco años. Si la tasa de
descuento es igual a 13%, ¿cuál es el valor actual de la anualidad?
R: 1,758.62
22.- Una inversión de $ 120,000 hoy, debe producir beneficios anuales por un
valor de $ 45,000 durante 5 años. Calcular la tasa de rendimiento del
proyecto.
R: 25.41 %.
23.- Se ha abonado 8 cuotas iguales de $ 5,000 cada una y al efectuar el
último pago nos dicen que tenemos $ 48,800 ¿Cuál es la tasa de interés de
esta inversión y cuanto de interés se ha ganado?
R: 5.61 %; $ 8,800
24.- Se ha depositado $ 50,000 en un banco; al término de 3 años he recibido
por parte del banco la suma de $ 70,000.
a) ¿Cuánto es la tasa de interés si la capitalización es anual?
R. 11.86 %
25.- Tengo un préstamo realizado hace 3 años por $ 12,000, el préstamo es
por un periodo de 5 años que al final de periodo debo pagar $ 3,000 por
intereses por el préstamo; Si decido pagar hoy dicho préstamo.
a) ¿Cuánto de descuento tengo si la tasa de interés es anual.
R: 1,280.85
26.- Se obtiene un crédito de $ 10,000 para pagar 24 cuotas trimestrales
iguales a la tasa de 12 % por trimestre. ¿Cuánto es la cuota trimestral?
R: $ 1,284.63
27.- ¿Determinar los intereses y el capital final producidos por $ 50,000 al 15 %
anual de interés durante 5 años?.
R: $ 50,567.85 y $ 100,567.85
28.- Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $ 4,800 para que al
12% anual de interés produjera un monto de $ 8,700.
R: 5 años; 2 meses con 29 días.
29.- Una institución tiene programado llevar a cabo campañas de venta entre
sus afiliados y asume, como como préstamo $1,200, para pagar en 36
cuotas constantes a 2.87%. ¿Calcular el valor de las cuotas mensuales?
R= $ 53.90
30.- ¿Cuánto debo invertir hoy para retirar $ 2,800 al final de cada uno de los 5
años y cuánto tendré al final. si el interés es 7% compuesto anualmente.
R= 11,480.55 Invertir hoy y se obtiene $ 16,102.07 al final de 5 años.
31.- César compra a plazos un automóvil por $ 15,000 pagadero en 18 cuotas
iguales, a una tasa de interés de 3.5% mensual. ¿Calcular el valor de la
mensualidad?
R: 1,137.25
32.- Tenemos la posibilidad de efectuar la compra de activos que valen $
200,000 al contado. Como no disponemos de ese monto decidimos por la
compra a crédito según las siguientes condiciones de venta: cuota inicial
de $ 20,000 y cuatro cuotas iguales futuras de $ 52,000 cada una.¿Que
intereses nos costo la compra acredito?
R: 6 %
33.- Hace un año y medio una PYME invirtió UM 20,000 en un nuevo proceso
de producción y ha obtenido hasta la fecha beneficios por UM 3,200.
¿Determinar a que tasa de interés mensual debería haber colocado este
dinero en una entidad financiera para obtener los mismos beneficios?
R: 0.83 mensual.
34.- Existe la posibilidad de invertir, abonando ocho cuotas iguales de $ 5,000
cada una y al efectuar el último abono tendremos la suma de $ 48,600.
¿Cuál es la tasa de interés de esta inversión?
R: 5.5 %
35.- Supongamos una deuda a pagar en seis cuotas mensuales iguales de $
8,000 cada una, con el primer vencimiento dentro de un mes. Pero como
pagamos toda la deuda al contado nos rebajan el total de la obligación a $
35,600. Encontrar la tasa de interés.
R: 9.27 %
36.-Una persona se presta 4,000 soles, el pago lo hará en dos partes: el primer
pago será de 1,000 soles al finalizar el primer mes. ¿Cuanto deberá
pagar al final del cuarto mes si la tasa de interés es de 8% mensual?
R: 4,182.2
37.- Una máquina que cuesta hoy $ 60,000 puede producir ingresos por $
3,500 anuales. Determinar su valor de venta dentro de 5 años al 21%
anual de interés, que justifique la inversión.
R: $ 120062.27
38.- Un microempresario deposita $ 2,500 ahora en una cuenta de ahorros que
da una tasa de interés del 1.8% mensual y considera retirar $ 390
mensuales, empezando dentro de 10 meses. ¿Calcular por cuánto tiempo
podrá realizar retiros completos?
R: 7 meses
39.- La implementación de una mejora en un proceso productivo requiere una
inversión de $ 56,000 dentro de dos años. ¿Qué ahorros anuales debe
hacerse para recuperar este gasto en siete años, si contempla una tasa
de interés del 12% anual?
R: 9,792.07
40.- Juan deposita en una cuenta de ahorros de un banco local la suma de
5,000 soles mensuales durante 10 meses. ¿Determinar cuanto dispondrá
en su cuenta de ahorros al final del mes 11 si la tasa de interés mensual
es de 10 %?
R: $ 87,655.83
41.- Qué monto podríamos acumular en 12 años invirtiendo ahora $ 600 en un
fondo de capitalización que paga el 11% los 6 primeros años y el 13% los
últimos 6 años.
R: 2,336.47
42.- Si depositamos hoy $ 6,000, $ 15,000 dentro de cuatro años y $ 23,000
dentro de seis años a partir del 4to. año. En qué tiempo tendremos una
suma de $ 98,000 si la tasa de interés anual es de 14.5%.
R: 11 años; 6 meses; 28 días.
43.- Cuál será el monto después de 12 años si ahorramos: $ 800 hoy, $ 1,700
en tres años y $ 500 en 5 años, con el 11% anual.
R: 8185.50
44.- En un banco local hago los siguientes depósitos; hoy día $ 5,000; al final
del periodo de tres años la suma de $ 10,000 y después al final del
periodo 5 años $ 2,500; Si la tasa de rendimiento es de 12 %.
a) ¿Cuánto me debe pagar el banco al final del periodo 6 años?
R: $ 28,740.30
45.- Un banco me hace los siguientes prestamos; hoy día $ 2,500; al final del
periodo de tres años la suma de $ 5,000 y después al final del periodo 5
años $ 10,000 siempre en cuando lo cancelo en 6 años y si la tasa de
interés es de 15 %.
a) ¿Cuánto debo cancelar al banco?
b) ¿Realizar un diagrama de ingresos y egresos? R:
46.- Un pequeño empresario ahorra mensualmente $ 3,000 en una institución
financiera que paga 1.5% mensual. Asimismo, tiene proyectado incrementar
cada depósito en 8% por período. ¿Cuánto tendrá ahorrado al final del año?
R: 61,956.48
47.- Juana deposita al finalizar el primer mes en una cuenta de ahorros la suma
de 300 soles y durante los próximos 9 meses el monto depositado
aumentara en 10 soles por mes. Si la tasa de interés es de 10 % mensual
¿determinar el monto disponible al finalizar el 10mo. Mes?
R: $ 5,912.46
48.- Si depositamos a una cuenta bancaria en miles de dólares a una tasa del
15 % según el grafico ¿Determinar el valor final?
30 30 30 30
20 20 20 20
10 10 10 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
49.- Dado los diferentes pagos en miles de dólares según el grafico a un interés
del 10 % ¿Calcular el valor actual?
50 50 50 50 40
30 20 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
50.- 40 30 20
10
0 -10 -20 -30 -4051.-
40 50 30
20 20
10 10
0 1 2 3 4 5 6 7
52.- 40
30
0
-10
-30
53.-
40
20
0 1 2 3 4
20
30
CAPITULO IIITASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVO
Para poder entender la diferencia de Tasa de Interés Nominal y Tasa de interés
efectiva presentamos un ejemplo práctico:
Problema 27: Si una persona deposita $ 100 en una cuenta de ahorros que
paga 30 % anual. ¿Cuánto habrá en la cuenta al final de año? Si la
Capitalización es a) anual. b) semestral. Y c) trimestral.
Respuesta a: Si la capitalización es anual el número de periodos n = 1; i =
0.30/1
= $130
Entonces para este caso la tasa de interés efectiva anual es de 30.00 %
Respuesta b: Si la capitalización es semestral el número de periodos n = 2 por
lo tanto i = 30/2 Entonces los intereses generados en el primer semestre
pasaran a ser parte del principal, luego al término del segundo periodo será:
= 132.25
Para este caso la tasa de interés efectiva anual es de 32.25 %
Respuesta c.- Si la capitalización es trimestral tendremos:
= 133.25.
El interés efectiva anual es de 33.25 %.
Por lo tanto si tenemos una tasa nominal anual de 30 %; podemos determinar
la tasa efectiva anual en periodos de capitalización:
TABLA DE INTERÉS EFECTIVA ANUAL
Tasa nominal anual 30%
Periodo de capitalización Tasa efectiva anual TEA
Anual
Semestral
Trimestral
Mensual
30.00 %
32.25 %
33,55 %
34.49 %
Diaria
Instantánea
34.97 %
34.99 %
Tabla 12
Como podemos notar la tasa nominal anual es igual a la tasa efectiva anual.TASA NOMINAL ANUAL (j).- Por convención, las tasas de interés son en base
anual. La tasa de interés expresada anualmente en periodos menores a esta
es la tasa nominal, es una tasa de interés simple; ignora el valor del dinero en
el tiempo y la frecuencia con la cual capitaliza el interés.
TASA DE INTERES PERIODICA.- En el mundo real, las tasas de interés son
en más de un período por año.
Para el ejemplo anterior (Problema 27) tenemos: Si la tasa de interés nominal
anual es 30 %; La tasa periódica anual (n=1) será; Aplicando la formula
tenemos:
La tasa periódica semestral (n=2) será;
Para visualizar mejor elaboramos una tabla:
Tabla de Interés Periódica
Base temporal Tasa periódica
Anual
Semestral
Trimestral
Mensual
Semanal
Diaria
30/1
30/2
30/4
30/12
30/52
30/365
30.00 %
15.00 %
7.5 %
2.5 %
0.577 %
0.08219 %
Tabla 13
Conociendo una tasa periódica (diaria, semanal, mensual, trimestral, semestral) podemos determinar la tasa nominal (j) anual:
TASA EFECTIVA ANUAL (TEA) ( ).- La tasa que realmente paga o cobra por
una operación financiera, incluye todos los costos asociados al préstamo. Si el
interés capitaliza en forma trimestral, semestral, mensual, etc. la cantidad
efectivamente pagada o ganada es mayor que la compuesta en forma anual.
No es aplicable para el caso de las anualidades o flujos variables, en estos
casos son de mucha utilidad las funciones financieras TASA (flujos uniformes)
y TIR (flujos variables) de Excel.
Para el cálculo de la tasa de interés efectiva anual (TEA) dada una tasa de
interés nominal anual se tiene:
Donde:= Numero de periodos de capitalización= Tasa nominal= Tasa efectiva anual (TEA)
Conociendo TEA podemos determinar J:
TEA en términos de interés periódica:Si tenemos:
Entonces TEA en la formula general será:
Problema 28: Calcular las tasas efectivas ( ) a partir de las tasas nominales anuales (j) de: 0.25%, 7%, 21%, 28%, 45%, 50%. Utilizando la fórmula con períodos de capitalización (m) semestral, trimestral, mensual, semanal y diaria.Solución:Para tasa nominal 0.25 % anual: Tasa efectiva semestral Datos: j =0.0025; m=2; i=?
Aplicando la formula general tenemos:
Para tasa nominal 7 % anual: Tasa efectiva trimestral Datos: j =0.07; m=4; i=?
Aplicando la formula general tenemos:
Para tasa nominal 21 % anual: Tasa efectiva mensual Datos: j =0.21; m=12; i=?
Para tasa nominal 28 % anual: Tasa efectiva semanal Datos: j =0.28; m=52; i=?
Para tasa nominal 50 % anual: Tasa efectiva diaria Datos: j =0.50; m=365; i=?
Desarrollando para cada una de las preguntas podemos obtener una tabla:
TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS ANUALES EQUIVALENTES A TASAS NOMINALES
Tasa nominal j % Semestral
m = 2
Trimestral
m = 4
Mensual
m = 12
Semanal
m = 53
Diario
m = 365
0.25
7
21
28
45
50
0.25
7.123
22.103
29.960
50.063
56.250
0.25
7.186
22.712
31.079
53.179
60.181
0.25
7.229
23.144
31.888
55.545
63.209
0.25
7.246
23.315
32.214
56.528
64.479
0.25
7.247
23.358
32.298
56.788
64.816
Tabla 14
Problema 29: Tenemos una tarjeta de crédito cuya tasa de interés periódica es 2.5% mensual. Determinar la tasa anual que realmente me cuesta (TEA).Solución: Datos. ; n = 12; j =?
Calculando la tasa Nominal anual tenemos:
Calculando la TEA tenemos:
Calculando en términos de J.
Problema 30: Se desea ahorrar $ 1,000 anuales durante 5 años; se tiene la oportunidad de ahorrar en 2 bancos A y B. El banco A paga un interés del 32 % nominal anual capitalizable en forma trimestral y el Banco B paga el 30 % nominal anual de interés capitabilizable en forma mensual.a) ¿En cual de los bancos conviene ahorrar?b) ¿A cuanto asciende la perdida o ganancia de A frente a B?Solución.-a) El Banco A: Datos.n = 5; P = 1,000; j = 32 % anual – Cap. trimestral?; VF=?
Resolviendo tenemos:
TEA = 36.05 %
Desarrollando por Excel:SintaxisVF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.3605 5 -1,000 10,155.7455
b) El Banco B:Datos.
n = 5; P = 1,000; j = 30 % anual – Cap. mensual?; VF=?
Resolviendo tenemos:
Por lo tanto:
TEA = 34.48 %
Desarrollando por Excel:
SintaxisVF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.3448 5 -1000 9,855.9657
A = $ 10,155.7455B = $ 9,855.9657Por lo tanto me conviene ahorrar en el banco A por tener una TEA mayor que la de B, las cuales me arroja una ganancia mas de 10,155.7455 – 9,855.9657 = $ 299.78
RESUMEN DE TASAS DE INTERES
TASA PERIODICA
TASA NOMINAL
TASA EFECTIVA
Tabla 15
Problema 31: Si ahorramos $ 3,000 anuales durante 3 años en un banco que paga el 18 % anual nominalmente y deseamos saber cuanto de dinero tendremos ahorrado al final de los 3 años, Si la capitalización es mensual.Solución:Determinando TEA con capitalización mensual tenemos:
Datos: j = 0.18 m = 12
TEA = 19.56 %Determinando VF Tenemos:P = 3000; n = 3; i = 19.56176
Comprobando por Excel:
SintaxisVF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.01956 3 -3,000 10,875.357
Problema 32: Si deseo ahorrar $ 4,200 anuales durante 3 años; tengo la oportunidad de ahorrar en 2 bancos A y B. El banco A me propone pagar un interés del 22 % anual capitalizable en forma trimestral y el Banco B me quiere pagar el 20 % anual de interés capitabilizable en forma mensual.
a) ¿En cual de los bancos me conviene ahorrar?b) ¿A cuanto asciende la perdida o ganancia de esta decisión?
Solución:a) Primer Banco:n = 3; P = 4,200; j = 22 % anual – Cap. trimestral?; VF=?
TEA = 23.88 %
Desarrollando por Excel:
SintaxisVF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.2388 3 -4200 15,848.38
b) Segundo Banco:
Datos:n = 3; P = 4,200; j = 20 % anual – Cap. mensual?; VF=?
TEA = 21.93 %
Desarrollando por Excel:SintaxisVF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.2193 3 -4,200 15,516.16
A = $ 15,848.38B = $ 15,566.16Por lo tanto me conviene ahorrar en el banco A por tener una TEA mayor que la de B, las cuales me arroja una ganancia de 15,848.74 – 15,566.16 = $ 282.58.
Problema 33: Los directivos de una empresa distribuidora de productos de primera necesidad desean comprar una camioneta que cuesta $ 22,000, están en condiciones de pagar $ 5,000 al contado y el saldo en 18 cuotas mensuales. Una financiera acepta 18 cuotas de $ 1,321 y otra ofrece financiara al 4.5% mensual.a) ¿Qué interés mensual cobra la primera financiera?b) ¿Determinar la tasa nominal de la primera financiera? c) ¿Cuáles serían las cuotas en la segunda financiera?d ¿Determinar la TEA para cada caso?f) ¿Cuál financiación debemos aceptar?
SOLUCION.-a) Primera financiera:
VA = 22,000 – 5,000 = 17,000:
n = 18; P = 1,321; i =?SintaxisTASA(Nper;Pago;va;vf;Tipo)
Nper Pago va vf Tipo TASA18 1,321 17,000 0.038
Determinando tasa nominal anual:j = 0.038*12 = 0.456
Determinando TEA:
TEA = 56.44 %
b) Segunda Financiera:
VA = 22,000 – 5,000 = 17,000: n = 18; i = 4.5 mensual; P =?
Determinando por Excel tenemos:
Sintaxis
PAGO(Tasa;Nper;va;vf;Tipo)Tasa Nper va vf Tipo PAGO0.04515
18 17,000 -1,398.03
j = 0.045*12 = 0.54
Determinando TEA:
TEA = 69.58 %
Respuesta:a) TEA = 56.44 %
b) TEA = 69.58 %
Conviene la primera por tener menor cuota y menor costo del dinero.
Problemas Propuestos1.- Si ahorramos $ 300 cada 6 meses durante 5 años. ¿Cuánto habré ahorrado después del último abono si la tasa de interés es 24% anual compuesto semestralmente?R= $ 5,264.622.- Si una mujer deposita $ 1,000 ahora, $ 3,000 dentro de cuatro años a partir de la fecha del anterior depósito y $ 1,500 dentro de seis años a una tasa de interés del 12% anual compuesto semestralmente. ¿Cuanto dinero tendrá en su cuenta dentro de 10 años?
R: 11634.50.3.- Si una persona deposita $ 500 cada 6 meses durante 7 años. ¿Cuánto dinero tendrá en su portafolio de inversiones después del último depósito si la tasa de interés es de 20 % anual compuesto trimestralmente?R: 14,244.504.- ¿Cuánto dinero habría en la cuenta de una persona que depositó $1,000 ahora y $100 cada mes y retiró $100 cada 2 meses durante 3 años? Si la tasa de interés fue del 6% anual capitabilizable en forma mensual.R: 3,168.395.- ¿Cuánto dinero habría en una cuenta de ahorros en la cual una persona había depositado $100 cada mes durante 5 años a una tasa de interés del 5% anual compuesto trimestralmente? R: 6,800.59446.- Una compañía de herramientas y troqueles espera tener que remplazar uno de sus tornos en 5 años a un costo de $18,000. ¿Cuánto tendría que depositar la compañía cada mes para acumular $18,000 en 5 años, si la tasa de interés es del 6% anual compuesto semestralmente? Suponga que no hay intereses entre los periodos.R: 257.997.- ¿Qué depósito mensual sería equivalente a un depósito de $ 600 cada 3 meses durante 2 años si la tasa de interés es del 6 % anual compuesto semestralmente? Suponga que no hay un interés entre periodos sobre todos los depósitos.8.- ¿Cuántos depósitos mensuales de $ 75 tendría que hacer una persona para acumular $15,000 si la tasa de interés es del 6% anual compuesto semestralmente? Suponga que no se paga interés entre los periodos.9.- Una inversionista sagaz compra 200 acciones de capital a $ 23 cada acción. Si ella vende las acciones después de 7 meses a $ 26 cada una, ¿qué tasa de retorno anual nominal y efectiva logrará?10.- Si depositamos $ 2,500 ahora, $ 7,500 dentro de 3 años a partir de la fecha del anterior abono y $ 4,000 dentro de seis años a la tasa de interés del 18% anual compuesto trimestralmente. Deseamos saber cuánto será el monto acumulado dentro de 12 años.$ 62,857.5511.- ¿Cuántos depósitos mensuales de $ 75 tendría que hacer una persona para acumular $15,000 si la tasa de interés es del 6% anual compuesto semestralmente? Suponga que no se paga interés entre los periodos.
CAPITULO IVINFLACION
TASA REAL, TASA DE INFLACION Y TASA INFLADA
INFLACIÓN.- La Inflación podemos definirlo como el aumento de precios
continuado de los bienes y servicios de una economía. El efecto de la inflación
en las empresas es múltiple, en general el proceso de administración se hace
muy complicado por que la inflación distorsiona los diferentes factores que
influyen en la empresa.
MEDIDA DE LA INFLACION.- Definir la inflación es mucho mas sencillo que el
poder medirla, ya que existen varias dificultades para ello. En el Perú la entidad
encargada de cuantificar el nivel de inflación es el Instituto Nacional de
Estadístico e Informática (INEI).Para ello utiliza la conocida formula de
LASPEYRES, que viene dado por la siguiente expresión:
Dónde: = Inflación de los precios de bienes y servicios desde el instante 0
hasta el instante t
= Precio en el instante t del bien j.
= Precio en el instante 0 del bien j.
= Cantidad consumida del bien j.
INDICE DE PRECIOS DEL CONSUMIDOR (IPC).- Se debe entender como el
gasto promedio que debe realizar una familia para poder consumir una canasta
previamente determinada. En nuestro caso la canasta familiar básica esta
definida por los y se supone que no varía con el tiempo (suposición no
totalmente valida en el largo plazo) luego el IPC en el instante cero y en el
instante t esta determinado por:
= *
= *
La inflación entre el instante 0 y el instante t estará determinada por el
incremento en el gasto para consumir la canasta básica. En general, si
quisiéramos determinar la inflación ( ) entre el instante 0 y el instante t, está
dado por:
Ejemplo: Supongamos que en una economía imaginaria la canasta familiar esta
compuesta por solamente 4 productos y con precios al 1ro. de Enero :
Productos Cantidad Precios al 01/01
(unidades monetarias)
a
b
c
d
5 unidades
2 unidades
1 unidad
4 unidades
2.5 u.m. c/u
8.5 u.m. c/u
15.0 u.m. c/u
4.0 u.m. c/u
Tabla 16
Entonces:
= (5)(2.5)+(2)(8.5)+(1)(15)+(4)(4.0)
= 60.5 u.m.
Esto significa que el 01/01, consumir la canasta básica es un gasto de 60.5
u.m.
Al cabo de un año (30/12) los precios de cada uno de los bienes son:
Bienes Cantidad Precios al 31/12
a
b
c
d
5 unidades
2 unidades
1 unidad
4 unidades
3.5 u.m. c/u
7.0 u.m. c/u
13.0 u.m. c/u
4.5 u.m. c/u
Tabla 17
Luego tenemos:
= (5)(3.5)+(2)(7.0)+(1)(13.0)+(4)(4.5)
= 62.5 u.m.
En términos porcentuales la inflación del Año será de 3.30 %.Por lo tanto
decimos que la tasa de inflación es 0.033 por periodo y n es número de
periodos entre el tiempo 0 y el tiempo t.
Si Hacemos que en el momento 0 es el valor actual (VA) y en el tiempo t es el
valor final (VF), y la tasa inflacionaria y n el número de periodos entre 0 y t
tenemos:
Problema 34: (Costo de un producto e inflación) Actualmente, el costo de una camioneta, de segunda y en buen estado es en promedio $ 15,000. Determinar cuál fue su costo hace 3 años, si su precio aumentó solamente en la tasa de inflación de 5% anual.
Solución:Datos:
VF = 15,000: f = 0.05; n = 3; VA =?Resolviendo por formula tenemos:
Resolviendo por Excel tenemos:
SintaxisVA(tTsa;Nper;Pago;vf;Tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo VA0.05 3 15,000 -12,957.56398
Respuesta: El costo de la camioneta hace 3 años fue de $ 12,957.56.
Problema 35: (Calculando el precio de un producto con inflación)Si un producto cuesta $ 1,000 en el año 2012 y la inflación en promedio fue 5% durante el año anterior, en dinero a valor constante del 2011, ¿Calcular el precio que tuvo el producto el 2011 y el 2004; y cuánto será el precio el 2014).Solución:Precio para el 2011:Datos: VF = 1,000; n =1; = 0.05; VA =?
Aplicando la formula tenemos:
Aplicando Excel como el de un interés real tenemos:SintaxisVA(Tasa;Nper;Pago;vf;Tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo V
0.05 1 -1000 952.3809
Precio en el 2004:
Si la inflación en promedio fue de 5 % en los últimos 8 años, entonces el
equivalente a 1,000 dólares o el precio en el 2004 fue de:
Solución:Datos: VF = 1,000; n = 8; = 0.05; VA =?Aplicando la formula tenemos:
Aplicando Excel como el de un interés real tenemos:SintaxisVA(Tasa;Nper;Pago;vf;Tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo VA0.05 8 -1,000 676.83947
Precio para el 2014.- (Proyectado)
El precio del 2014 considerando que la inflación no varia tendremos:
Operando por Excel tenemos:
SintaxisVF(Tasa;Nper;Pago;va;Tipo)
Tasa Nper Pago va Tipo VF0.05 2 1,000 1,102.50
Hasta aquí ya tenemos tres tasas:
1.- Tasa de interés real (i)
2.- tasa de inflación ( ) y debemos conocer
3.- Tasa inflada ( )
Problema 36: Un determinado bien actualmente vale $ 100. El costo de oportunidad por el uso del capital o rendimiento del exigido es de 30 % por el período de un año; el capital disponible es $ 10,000. ¿Cuántas unidades del bien puede comprarse ahora y cuantas unidades puede comprarse al cabo de un año si la inflación del año es de 4 %.
Situación sin inflación:DatosVA = 10,000; n =1; i = 0.30; VF=?
Periodo 1
0 Interés 30 % 1
Vale 100 c/u Vale 100 c/u 10,000 de capital 13,000 de capital Compra 100 unidades Compra 130 Unidades
En estas condiciones, sin inflación, el capital inicial de $ 10,000, con un precio
por cada unidad de $ 100, permite comprar 100 unidades. (10,000/ 100 = 100
unidades).
Al ganar un 30 % de intereses en el período de un año, aumenta su capacidad
de compra a 130 unidades (13,000/ 100 = 130 unidades).
Veamos a continuación la situación con inflación .
Periodo 1
0 Inflación 4 % 1
Vale 100 c/u 100*1.04 = Vale 104 c/u 10,000 de capital Con Interés de 30 % 10,000*1.30 = 13,000 Compra 100 unidades Compramos 125 unidades
Entonces decimos que el capital necesario para la compra de 125 unidades es
de $ 13,000. Por lo que por efectos de inflación se pierde una capacidad de
compra por 130 – 125 = 5 unidades expresado en Dólares = 5*104 = $ 520.
Para poder compensar esta cantidad de dinero perdido en vez de utilizar la
tasa real se debe utilizar la tasa inflada ( ).
Para estimar la inflación en un análisis de valor actual es necesario hacer el
ajuste de las fórmulas del interés compuesto considerando la inflación así
tenemos:
Donde:
= Tasa de interés real
= Tasa de inflación.
Si definimos a como o sea:
Tenemos la siguiente formula:
Donde:
= Tasa de interés inflada
= Valor Final
= Valor Actual.
Problema 37: Con la tasa real del 15% y la tasa de inflación del 6% anual, determinar la tasa de interés inflada:
Solución:Datos: = 0.15; = 0.06; =? Aplicando la formula tenemos:
Es decir, si tomo un préstamo en un mercado inflacionario el interés a pagar será mayor; igualmente, cualquier inversión requerirá una tasa de rentabilidad mayor.
Problema 38: Si se presta $10,000 hoy a una persona ¿Cuánto me debe devolver cada año durante 5 años para no perder su capacidad adquisitiva? si la tasa real es de 30 % anual y la tasa de inflación es de 4 % anual.Solución.Datos:VA = 10,000; n = 5 años; i = 30 %; f = 4%
Calculando la tasa inflada tenemos:
Calculando los pagos anuales uniformes por formula tenemos:
En estos casos la tasa i debe ser reemplazada por el valor de la tasa inflada
4,520.754
Calculando los pagos anuales uniformes por Excel tenemos:
SintaxisPAGO(Tasa;Nper;va;vf;Tipo)
Tasa Nper va vf Tipo PAGO0.352 5 10,000 -4,520.754244
VALOR FUTURO CONSIDERANDO LA INFLACION: Para este caso lo que se
calcula es un valor futuro proyectado (estimado) por que no se puede definir
una inflación como una constante por que esta varia en forma permanente en
el tiempo.
Entonces tenemos:
En cuanto a los cálculos de recuperación del capital y fondo de amortización
considerando la inflación se desarrolla considerando en vez de
Problema 39: Si invertimos hoy $ 5,000 a la tasa real de 15% cuando la tasa de inflación proyectada es del 6% anual. ¿Que cantidad anual de capital se debe recuperar durante 8 años en dólares corrientes (futuros).?
Solución:
Datos: = 0.15; = 0.06; =?; VA = 5,000; n = 8; P =?
1º Calculamos la tasa inflada:
2º Calculamos la cantidad anual a ser recuperada: Remplazamos real por
Comprobar por Excel
Problemas Propuestos.-1.- Si el costo de cierta pieza de equipo hoy es de $20,000, ¿cuál fue su costo hace 5 años, si su precio aumentó solamente en la tasa de inflación del 6% anual?R: 14945.163452.- Si un inversionista estuviera satisfecho obteniendo una tasa de retorno real del 4% anual, ¿cuál tasa de retorno tendría que obtener sobre sus inversiones cuando la tasa de inflación fuera de 16% anual?R: 20.64 %3.- ¿Si la tasa de interés del mercado es del 12% anual cuando la tasa de retorno real es del 4% anual, ¿qué tasa de inflación se genera en el mercado?R: 7.6923 %4.- Determine la tasa de interés del mercado que sería equivalente a una tasa de interés real del 1% por trimestre y a una tasa de inflación del 2% por trimestre.R: 3.02 %5.- Calcule el valor presente de $50,000 dentro de siete años cuando la tasa de interés real es del 3% anual y la tasa de inflación es del 2% anual (a) sin inflación y (b) considerando la inflación.
6.- Encuentre el valor presente de $35,000 en veinte años a partir de ahora si la tasa mínima aceptable de retorno real requerida de la compañía es del 20% anual y la tasa de inflación es del 6% anual (a) sin inflación y (b) considerando la inflación.7.- ¿Qué cantidad anual se requiere durante 5 años para acumular una cantidad de dinero con el mismo poder de compra que $ 680.58 hoy, si la tasa de interés del mercado es del 10% anual y la inflación es del 8% anual? 8.- Un antiguo estudiante de la UNCP desea efectuar una donación al Fondo de Desarrollo Estudiantil de su Alma Máter; ha ofrecido cualquiera de los tres planes siguientes:Plan A. $60,000 ahora.Plan B. $15,000 anuales durante 8 años empezando dentro de 1 año.Plan C. $50,000 dentro de tres años y otros $80,000 dentro de cinco años.La única condición puesta para la donación es que la universidad acuerde gastar el dinero en investigación aplicada relacionada con el desarrollo de procesos de manufactura ambientalmente conscientes. Desde la perspectiva de la universidad, ésta desea seleccionar el plan que maximiza el poder de compra de los dólares recibidos, de manera que ha pedido al profesor de ingeniería económica evaluar los planes y considerar la inflación en los cálculos. Si la institución desea obtener un 10% real anual sobre sus inversiones y se espera que la tasa de inflación promedio es de 3% anual, ¿cual plan debe aceptar?R: VAa = 60,000; VAb = 71,262; VAc = 77,227; Se escoge el de mayor valor actual.9.- Calcule el valor actual sin inflación y con inflación de una serie uniforme de pagos de $1,000 anuales durante 5 años si la tasa de interés real es del 10% anual y la tasa de inflación es 4.5% anual.R: a) VA = - 3,790.80; b) VA = - 3,356.10.- Suponga que se invierten $23,000 ahora a una tasa de interés del 13% anual. ¿Cuánto dinero se acumulará en 7 años, si la tasa de inflación es del 10% anual?11.- (a) ¿Cuál cantidad futura de dinero en dólares corrientes de entonces, dentro de 6 años es equivalente a una suma actual de $80,000 a una tasa de interés del mercado del 18% anual y una tasa de inflación del 12% anual? (b) ¿Cuántos dólares deberá usted tener en el momento con el fin de sostenerse con la inflación?.12.- En un periodo de inflación de 3% anual, ¿cuánto costará una máquina dentro de 3 años en términos de dólares de valor constante, si el costo hoyes de $ 40,000 y se espera que el costo de la máquina se incremente solamente en el porcentaje de la inflación?12.- Calcule el número de (a) dólares de hoy y (b) dólares corrientes de entonces en el año 10 que serán equivalentes a una inversión actual de $33,000 a una tasa de interés del mercado del 15% y una tasa de inflación del 10% anual.13.- R-Gone Signs invierte $3000 anualmente durante 8 años empezando dentro de 1 año en un nuevo proceso de producción. a) ¿Cuánto dinero debe recibirse en una suma global en el año 8 en dólares corrientes de entonces con el fin de que la compañía recupere su inversión a una tasa de retorno real del
6% anual y una tasa de inflación del 10% anual? (b) ¿Cuánto necesitará la compañía para recibir justo lo suficiente para cubrir la inflación?14.- La Fábrica de zapatos BATA S.A. utiliza los siguientes estándares de producción por par de zapatos:
Suela 0.45 kg.Cuero 0.28 Kg.Otros materiales 0.10 Kg.Mano de obra directa 2.35 horas - hombreGastos generales 1.25 horas – hombre.
Los precios de estos insumos el 1ro. De Enero y el 31 de Diciembre del mismo año fueron:PRODUCTO 1ro. De Enero 31 de DiciembreSuela 8,000 / kg. 8, 000 / kg.Cuero 10,000/Kg. 12,300/Kg.Otros materiales 4,000/Kg. 4,500/Kg.Mano de obra directa 3,500/hora 4,200/horaGastos generales 4,000/hora. 5,000/hora
a) ¿Determinar la inflación total para ese rubro?
15.- CHINALCO - PERU gastó $183,000 en la compra de un sistema integrado de comunicaciones para lograr la operatividad entre sus diferentes estaciones de producción. Si la compañía usa una tasa de interés real de 15% anual en dichas inversiones y un periodo de recuperación de 5 años, ¿cuál es el valor anual del gasto en dólares corrientes de ese entonces, con una tasa de inflación de 6% anual?
16.- FORD MOTOR COMPANY anunció que el precio de su modelo F-150 se incrementará durante los 2 años próximos únicamente en un porcentaje igual a la tasa de inflación. Si el precio actual de uno de estos vehículos es de $ 21,000 y se espera que la tasa de inflación sea de 2.8% anual en promedio, ¿cuál es el precio esperado de la camioneta dentro de 2 años?17.- Un ingeniero deposita $10 000 en una cuenta cuando la tasa de interés del mercado es de 10% anual y la inflación de 5% por año. La cuenta se mantiene sin movimiento durante 5 años.a) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta?b) ¿Cuál será el poder de compra (de adquisición) en términos de dólares de hoy?c) ¿Cuál es la tasa de rendimiento real que se obtiene sobre la cuenta?
CAPITULO VANALISIS DEL CREDITO
FLUJO DEL CREDITO - AMORTIZACION.- El costo de un crédito es la tasa
de interés efectiva. Esta tasa debe ser calculada en base al flujo de caja.
Problema 40: Si se realiza un préstamo de $ 1,000 por el periodo de 1 mes
con una tasa de interés mensual de 25 %.
El flujo de caja es el siguiente:
VA = 1,000 i =25 % 0 1 mes 1
VFAplicando la formula tenemos:
Comprobar por Excel.
De los1,250: 1,000 es la amortización de la deuda y 250 son los intereses.
CUADRO DE AMORTIZACIONES E INTERESES:Es Importante saber que cada vez que se efectúa un pago correspondiente al
servicio de una deuda contraída, conocer que parte de este pago corresponde
a disminuir el principal de la deuda (amortización) y que parte son los intereses.
MODALIDADES DE PAGO DE LA DEUDA:A.- Cuotas Constantes o Mensualidades constantesAnalicemos el siguiente préstamo:
Monto = 1,000
Tasa de interés = 25 % mensual
Plazo = 4 meses
Luego este préstamo tiene el siguiente flujo de caja:
1,000 0 1 2 3 4
Calculo de
Datos: ; ; ; ;
Aplicando la formula tenemos:
Determinando por Excel tenemos:SintaxisPAGO(Tasa;Nper;va;vf;Tipo)Tasa Nper va vf Tipo PAGO0.25 4 1000 -423.44
Elaboramos ahora el cuadro de amortizaciones e intereses con mensualidades
o flujo de efectivo (FE) constantes de 423.44:
CUOTAS CONSTANTES o MENSUALIDADES CONSTANTES
Deuda = 1,000 1 2 3 4 Totales
Deuda + interés 1,250.00 1,033.20 762.20 423.44
Mensualidad o FE. 423.44 423.44 423.44 423.44 1,693.76
Amortización 173.44 216.80 271.00 338.76 1,000.00
Intereses 250.00 206.64 152.44 84.68 693.76
Saldo de la deuda 826.56 609.76 338.76 0.00
Tabla 18
Pasos para la elaboración de la tabla:
1) Deuda: 1,000
2) Deuda + intereses = Para el 1er. casillero 1000*1.25; Para el 2do, 3ro y
4to saldo de la deuda anterior por 1.25.
3) Mensualidad o Flujo de efectivo: Deducido por formula
, o determinado por Excel. Es constante para los cuatro
periodos. ( )
4) Intereses: Para el 1er. (Deuda + Intereses) – (Deuda); para el 2do, 3ro y
4to. (Deuda + Intereses) – (saldo anterior);
5) Amortización: Mensualidad menos intereses.
6) Saldo de la deuda: (Deuda + intereses) menos Mensualidad.
En este sistema la característica principal de este crédito es que en cada
periodo de mensualidad se desembolsa la misma cantidad, variando de periodo
a periodo tanto la amortización como los intereses. Las amortizaciones crecen
y los intereses decrecen. En cada periodo se pagan intereses al rebatir (en
cada periodo se pagan intereses sobre el saldo de la deuda anterior)
B.- Cuotas decrecientes o amortizaciones constantes: En esta modalidad el
que recibe el préstamo tiene que pagar las cuotas o mensualidades en forma
decreciente para poder amortizar el capital en partes iguales cada vez. En cada
amortización se paga intereses al rebatir.
Ejemplo: Si analizamos el ejemplo anterior tenemos:
Monto = 1000
Tasa de interés = 25 % mensual
Plazo = 4 meses
Luego este préstamo tiene el siguiente flujo de caja:
Amortización = 1000/4 = 250
AMORTIZACIONES CONSTANTES
Deuda = 1000 1 2 3 4 Totales
Deuda + interés 1,250.00 937.50 625.00 312.50
Mensualidad o FE. 500.00 437.50 375.00 312.50 1,625.00
Amortización 250.00 250.00 250.00 250.00 1,000.00
Intereses 250.00 187.50 125.00 62.50 625.00
Saldo de la deuda 750.00 500.00 250.00 0.00
Tabla 19Como podemos observar en el cuadro las amortizaciones de la deuda es
constante para los 4 periodos. Los intereses son al rebatir (Los intereses se
aplican a cada saldo anterior)
C.- Cuotas Crecientes de Amortización.- En este método las cuotas
aumentan en forma sucesiva a través del tiempo, a fin de que las primeras
cuotas sean menores que las ultimas. Por lo tanto la amortización debe crecer
en el tiempo.
Ejemplo: Si tenemos el mismo préstamo de la anterior tenemos:
Monto = 1,000
Tasa de interés = 25 % mensual
Plazo = 4 meses
Método de los dígitos crecientes: Se determina sumando los dígitos del
plazo del crédito cuyo resultado sea múltiplo del monto en este caso tenemos:
1+2+3+4 = 10, luego cada periodo se amortizara un monto igual al periodo por
el monto del préstamo dividido entre la suma de los dígitos: Entonces tenemos:
Amortizaciones de 100, 200, 300, 400.
Luego este préstamo tiene el siguiente flujo de caja:
CUOTAS CRECIENTES DE AMORTIZACIÓN
Deuda = 1000 1 2 3 4 Totales
Deuda + interés 1,250.00 1,125.00 875.00 500.00
Mensualidad o FE. 350.00 425.00 475.00 500.00 1,750.00
Amortización 100.00 200.00 300.00 400.00 1,000.00
Intereses 250.00 225.00 175.00 100.00 750.00
Saldo de la deuda 900.00 700.00 400.00 0.00
Tabla 20
D.- Cuotas Decrecientes de Amortización.- Aquí las cuotas disminuyen en
forma sucesiva a través del tiempo, a fin de que las primeras cuotas sean
Mayores que las ultimas. Por lo tanto la amortización debe decrecer en el
tiempo.
Ejemplo: Si tenemos el mismo préstamo de la anterior tenemos:
Monto = 1,000
Tasa de interés = 25 % mensual
Plazo = 4 meses
Método de los dígitos decrecientes: La suma de los dígitos del plazo del
crédito es 4+3+2+1 = 10, luego cada periodo se amortizara un monto igual al
periodo por el monto del préstamo dividido entre la suma de los dígitos, pero
esta vez lo hacemos en forma inversa a la del anterior ejemplo: Entonces
tenemos: 400, 300, 200, 100.
Luego este préstamo tiene el siguiente flujo de caja:
CUOTAS DECRECIENTES DE AMORTIZACIÓN
Deuda = 1000 1 2 3 4 Totales
Deuda + interés 1,250.00 750.00 375.00 125.00
Mensualidad o
FE.
650.00 450.00 275.00 125.00 1,500.00
Amortización 400.00 300.00 200.00 100.00 1,000.00
Intereses 250.00 150.00 75.00 25.00 500.00
Saldo de la deuda 600.00 300.00 100.00 0.00
Tabla 21
DISCUSIÓN DE RESULTADOS.- Como podemos notar los pagos de
mensualidades o flujo de efectivo son diferentes así como los intereses a
pagar en cada método. Por lo que tenemos:
FLUJO DE EFECTIVO O PAGOS DE MENSUALIDADES
Método: 1 2 3 4 Totales
Cuotas
Constantes
423.44 423.44 423.44 423.44 1,693.76
Amortización k. 500.00 437.50 375.00 312.50 1,625.00
Amortización crte. 350.00 425.00 475.00 500.00 1,750.00
Amortización dcte. 650.00 450.00 275.00 125.00 1,500.00
Tabla 22
Problema 41: El dueño de una empresa solicita un préstamo para la
adquisición de un automóvil por $ 15,000 para pagarlo en 5 meses de cuotas
iguales, pactándose un interés del 25 % al mes al rebatir ¿Elabore un
cronograma de pagos?
Solución.- Como datos tenemos:
Monto de préstamo = 15,000
Tasa de interés = 25 % mensual
Plazo = 5 meses
Luego este préstamo tiene el siguiente flujo de caja:
15,000
0 1 2 3 4 5
P P P P P
Calculo de
Datos:; ; ; ;
Aplicando la formula tenemos:
Determinando por Excel tenemos:
SintaxisPAGO(Tasa;Nper;va;vf;Tipo)
Tasa Nper va vf Tipo PAGO0.30 5 15,000 -5,577.7010
Elaboramos ahora el cuadro de amortizaciones e intereses con mensualidades
o flujo de efectivo (FE) constantes de 5,577.7
CUOTAS CONSTANTES
D = 15000 1 2 3 4 5 Totales
Deuda + i 18,750.00 16,465.38 13,609.6 10,039.88 5,577.7
Mensualidad 5,577.7 5,577.7 5,577.7 5,577.7 5,577.7 27,888.5
Amortización 1,827.7 2,284.62 2,855.78 3,569.72 4,462.18 15,000.0
Intereses 3,750.0 3,293.08 2,721.92 2,007.98 1,115.52 12,888.5
Saldo 1,3172.3 1,0887.68 8,031.9 4,462.18 0
Tabla 23
Ejercicio:
En el Problema anterior completar las demás formas de amortizaciones como son:
Cuotas de Amortizaciones constantes Cuotas Crecientes de Amortización.- Cuotas Decrecientes de Amortización.-
PROBLEMAS PROPUESTOS1.- Un pequeño empresario requiere capital de trabajo para ampliar la capacidad de producción y acude a una EDPYME, gestionando un préstamo por $ 70,000; para su liquidación la financiera le propone la devolución en 5 años a una tasa de interés de 22 %. ¿Elabore el cronograma de pagos de las 4 formas de amortización?2. Una empresa que transporta Gas Natural de Lima a Huancayo compra un camión cisterna, para su pago en 10 cuotas semestrales iguales de $ 30,000 cada una a una tasa del 8% anual.a) ¿Cuánto costará el camión dentro de 5 años?b) ¿Cuánto cuesta el camión hoy?c) ¿Elabore el cronograma de pagos de las 4 formas de amortización?3. Un Ingeniero empresario obtiene en préstamo de $ 14,000 para comprarse un automóvil, considera la liquidación en pagos trimestrales durante dos años. ¿Determinar el monto a pagar al final del octavo trimestre si paga $ 2,500 cada trimestre. Asumimos una tasa de interés del 24% anual?4. Fongalcentro solicita $ 20,000 en préstamo para su pago en 12 cuotas mensuales iguales, con una TEA del 32%. Si el cliente cuando está próximo a pagar la cuarta cuota realiza un prepago por $ 4,000. ¿A cuánto ascenderá el monto de las nuevas cuotas para reducir únicamente el importe de las cuotas restantes y no el plazo de pago del préstamo?5. El dueño de una empresa solicita un préstamo para la adquisición de activos fijos por $ 150,000 para pagarlo en 24 cuotas iguales, pactándose una TEA del 18.5%. Supongamos que después de haber pagado 10 cuotas, la empresa
solicita el refinanciamiento de la deuda vigente; el prestamista acepta y le otorga 24 meses manteniendo la misma tasa de interés.6. La empresa Constructora ABC S.A.C., solicita un leasing para comprar una máquina perforadora, cuyo valor es de $ 295,000 (incluido el IGV). La empresa desea pagar el préstamo mensualmente durante 3 años. La TEA pactada es del 10%. El costo del seguro del bien es 4% simple anual, tomado durante la vigencia del préstamo. Los portes son pagos periódicos y ascienden a $ 0.50. ¿Elaborar una tabla que muestre el cronograma de pagos?7. El dueño de un negocio en expansión de venta de ropa y zapatos para damas al crédito, está considerando actualizar sus crecientes cuentas por cobrar con la adquisición de un sistema de informática. Alternativamente puede comprar un sistema básico ahora por $ 7,000 y actualizarlo al final del primer año por $ 1,500, nuevamente al final del año 3 por $ 3,000 o uno de mayor potencia con los mismos servicios que el primero y por el mismo tiempo. Si el propietario está en condiciones de invertir al 23% anual ¿cuánto podría pagar ahora por el sistema de mayor potencia?.8. Un empresario adeuda hoy la suma de $ 280,000, saldo de un préstamo bancario dejado de pagar por problemas económicos. Al objeto de saldar esta obligación el deudor propone al Banco 180 cuotas durante 15 años, con una TEA de 8%. La propuesta indica, que el deudor está en condiciones de pagar 36 cuotas de $ 2,500 y 36 de $ 3,500 cada una en los primeros seis años y en los siguientes 9 años 108 cuotas constantes a la tasa indicada.a) Elaborar el cronograma de pagos. Determinar el valor de cada cuota después del mes 72.b) Calcular el valor de cada cuota mensual durante los 15 años.
CAPITULO VIINDICE DE RENTABILIDAD
TASA DE RENDIMIENTO (TR).- Es la tasa de interés pagada sobre el saldo no
pagado de dinero obtenido en préstamo, o la tasa de interés ganada sobre el
saldo no recuperado de una inversión, de manera que el pago o entrada final
iguala exactamente a cero el saldo con el interés considerado.
El valor de i que hace estas ecuaciones numéricamente correctas es conocido
como la TR. Se hace referencia a este valor i mediante otros términos
adicionales como tasa de retorno: tasa interna de rendimiento (TIR), tasa de
retorno de equilibrio, índice de rentabilidad y retorno sobre la inversión (RSI).
Éstos se representan por la notación i.
Problema 42: Un empresario pide prestado de un banco $ 1,000 para poder
implementar sus equipos auxiliares con (lo que significa una tasa de
rendimiento del 10 % anual sobre el saldo no recuperado por cada año), el
empresario tiene la capacidad de cancelar en 4 años con pagos anuales
iguales. ¿Determinar la cantidad de inversión no recuperada por cada uno de
los 4 años?
1 2 3 4
Datos:
; ; ; ;
a). Aplicando la formula tenemos:
= $ 315.47
c). Determinación por Excel
SintaxisPAGO(Tasa;Nper;va;vf;Tipo)Tasa Nper va vf Tipo PAGO0.10 4 1000 -315.47
SALDOS FINALES NO RECUPERADOS UTILIZANDO UNA TASA DE RENDIMIENTO DEL 10 % SOBRE EL SALDO INICIAL NO RECUPERADO
Año Saldo Inicial
no
Recuperado
Intereses sobre
el Saldo no
Recuperado
Flujo de
Efectivo
Cantidad
Recuperada
Del capital
Saldo Final
no
Recuperado
0
1
2
3
4
_
-1,000.00
-784.53
-547.51
-286.79
_
100.00
78.45
54.75
28.68
-1,000.00
315.47
315.47
315.47
315.47
_
215.47
237.02
260.72
286.79
-1,000.00
-784.53
-547.51
-286.79
0
261.88 1261.88 1000.00
A.- TASA DE RENDIMIENTO: ALTERNATIVA UNICA.- Para determinar la
tasa de rendimiento i de los flujos de efectivo de un proyecto, se debe definir la
relación TR.
CALCULO DE LA TASA DE RENDIMIENTO UTILIZANDO UNA ECUACION DEL VALOR ACTUAL.- El método para calcular la tasa de retorno sobre una
inversión fue ilustrado cuando solamente había un factor de ingeniería
económica involucrado. En esta sección, una ecuación de valor Actual es la
base para calcular la tasa de retorno sobre una inversión cuando hay diversos
factores involucrados. Para entender con mayor claridad los cálculos de la tasa
de retorno, recuerde que la base para los cálculos de la ingeniería económica
es la equivalencia, o el valor del dinero en tiempo. En capítulos anteriores se
demostró que una cantidad presente de dinero es equivalente a una cantidad
más alta al futuro, siempre que la tasa de interés sea mayor que cero. En los
cálculos de la tasa de rendimiento, el objetivo es encontrar la tasa de interés i*
a la cual la cantidad Actual y la cantidad futura son equivalentes. Los cálculos
hechos aquí son contrarios a los cálculos realizados en capítulos anteriores,
donde la tasa de interés i era conocida.
El valor Actual de las inversiones o desembolsos (VAd) se iguala al valor
Actual de los ingresos (VAr) En forma equivalente, los dos pueden restarse e
igualarse a cero. Es decir: VAd = VAr
0 = - VAd + VAr Problema 43: Si se invierten $ 5,000 ahora en acciones comunes, los cuales se espera que produzcan $100 anualmente durante 10 años y $ 7,000 al final de estos 10 años, ¿Cuál es la tasa de retorno i*?Solución:
Determinación de i* (tasa de rendimiento) utilizando ensayo error manual.- El procedimiento general empleado para calcular una tasa de retorno utilizando
la ecuación de valor Actual y cálculos manuales de ensayo y error es el
siguiente:
1. Trazar un diagrama de flujo de efectivo. 7,000
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5,000
Datos:
; ; ; ;
2. Plantear la ecuación de la tasa de retorno en la forma de la ecuación:
VAd = VAr ó ………….. (a)
0 = - VAd + VAr …………… (b)Donde: VAd = 5,000
VAr = +
Reemplazando en (b) tenemos:
0 = - 5,000 + +
Reemplazando valores de datos tenemos:
0 = - 5,000 + +
3. Seleccionar valores de i mediante ensayo y error hasta que la ecuación esté
equilibrada.
A.- Para i = 5 % tenemos:
0 = - 5,000 + +
0 = - 5,000 + 772.17349291 + 4297.39277478531
0 = 69.5662
Como podemos notar el valor actual de ingresos es mayor que el valor actual
de desembolsos. Por lo tanto seguimos buscando.
B.- Para i = 6 % tenemos:
0 = - 5 ,000 + +
0 = - 5,000 + 736.00 +3908.76
0 = - 355.24
Dado que el interés del 6 % es alto, entonces interpolamos entre 5 % y 6 % por
lo que hacemos un arreglo para la interpolación lineal.
Tabulado Valor 1
b a Deseado X c d
Tabulado Valor 2
Reemplazando valores tenemos:
69.5662 5 %
b a 0 X c d
- 355.24 6 %
Escribimos la ecuación de razones y despejando c tenemos:
= despejando c tenemos:
Reemplazando valores y restando valores tenemos.
Dado que el factor esta aumentando a medida que la tasa de interés se
incrementa de 5 a 6 % el valor de c debe ser agregado al valor del factor del 5
%. Entonces Al final encontramos que i* = 5.16. Como podemos ver este
método es bien tedioso y no es con exactitud el valor correcto, puesto que se
está interpretando linealmente ecuaciones no lineales. Como lo podemos
comprobar reemplazando este valor de i* en las transacciones económicas
realizando paso por paso por Excel.
Determinación de i* (tasa de rendimiento) por Excel.- Por este método es
más sencillo y los resultados son mucho mas exactos siempre en cuando
tenemos que tener en cuenta los signos correspondientes. En este caso
tenemos:
Sintaxis TASA(Nper;Pago;va;vf;Tipo)
Nper Pago va vf Tipo TASA10 100 -5,000 7,000 5.156958
Respuesta: Entonces decimos que la tasa de retorno cuando invertimos $
5,000 y podemos cobrar $ 100 anuales durante 10 años, además al final
obtenemos $ 7,000 es TR = 5.16 %.
Comprobando por Excel y considerando todos los dígitos representativos
5.156958 y desarrollando paso por paso tenemos:
A B C D0 5000 1.05156958 5,257.851 5,257.85 100 5,157.85 1.05156958 5,423.842 5,423.84 100 5,323.84 1.05156958 5,598.383 5,598.38 100 5,498.38 1.05156958 5,781.934 5,781.93 100 5,681.93 1.05156958 5,974.955 5,974.95 100 5,874.95 1.05156958 6,177.926 6,177.92 100 6,077.92 1.05156958 6,391.357 6,391.35 100 6,291.35 1.05156958 6,615.798 6,615.79 100 6,515.79 1.05156958 6,851.819 6,851.81 100 6,751.81 1.05156958 7,100.00
10 7,100.00 100 7,000.00 1 7,000.00 Tabla 24
Otra forma de resolver es aplicando TIR por lo que tenemos: En una columna
se enumera el número de periodos a partir del 0 hasta el final; en este caso
hasta 10; luego en la columna siguiente se escribe todos los movimientos
económicos que se realizan en cada periodo indicando si es positivo o
negativo. Debajo de la última celda de la columna de la derecha se hace clic.
Acto seguido se va función, se selecciona financieras y se selecciona TIR luego
aceptar; donde se puede notar dos argumentos, se selecciona valores de la
celda B; luego aceptar y se puede obtener el resultado, para nuestro caso es
de 5.156958%; Por lo que podemos comparar con lo obtenido por función tasa
que son la misma respuesta.
A B0 -5,0001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009 100
10 7,100 TIR 5.1569584 %
Tabla 25
B.- TASA DE RENDIMIENTO: ALTERNATIVAS MULTIPLES.- En la sección
anterior se determino un valor i único de tasa de retorno para las secuencias
del flujo de efectivos uniformes. Donde los signos algebraicos en los flujos de
efectivo netos sólo cambian una vez, generalmente, de menos en el año 0 a
más para el resto de los periodos, lo cual se denomina una secuencia
convencional (o simple) de Flujo de efectivo. Si hay más de un cambio de signo
(positivo o negativo) y de flujo de efectivo no uniforme, la serie se llama no
convencional o no simple. La serie de signos de los flujos de efectivo neto
positivos o negativos puede tener una longitud de uno o más.
Podemos visualizar en el siguiente problema:
Problema 43: Determinar la tasa de interés de un crédito por $ 300, a pagar en 6 cuotas y si la primera es de $ 60 con aumentos mensuales de $ 5.
Solución.- Por tratarse de flujos variables hacemos una tabla donde se reflejan
los pagos correspondientes y los respectivos flujos variables:
Datos:
; ; ; ; ;
Puesto que tratamos con flujos variables, aplicamos la función TIR para
determinar la tasa periódica del crédito, para ello, elaboramos el flujo de caja
de esta operación:
Meses Crédito Pagos Flujo Neto0 300 -3001 60 602 65 653 70 704 75 755 80 806 85 85
TIR = 11. 0346414% Tabla 26
La tasa de Interés en esta operación es de 11.03 %
Podemos Determinar el valor final de la siguiente manera:
Podemos comprobar sumando los pagos totales.
Meses Crédito Pagos Pagos totales0 3001 60 1.110346414 66.622 65 + 66.62 1.110346414 146.143 70 + 146.14 1.110346414 239.994 75 + 239.95 1.110346414 349.755 80 + 349.75 1.110346414 477.176 85 + 477.17 562.17
Tabla 27
Problema 44: Un Ingeniero químico prospero empresario saca un préstamo del banco de la nación la suma de $ 1,000 a una tasa de interés del 17 %, al no saber en que invertir da por préstamo a un colega toda la suma, por la cual le promete un pago de $ 500 dentro de tres años y otro de $ 1,500 en cinco años a partir de ahora. A.- ¿Determinar la tasa de rendimiento?B.-¿Vale la pena realizar ese negocio?
Solución:En este problema podemos resolver igualando VAd = VAr o haciendo que 0 = -
VAd + VAr, (como en el caso anterior) luego calculamos i por el método ensayo
error hasta que la ecuación esté equilibrada. Por otro lado no podemos calcular
por Excel por función TASA solo nos queda por TIR.
1,500
500 0 1 2 3 4 5
1,000
Calculando por Excel por la función TIR.
A B
0 -10001 02 03 5004 05 1500
TIR 16.9023 % Tabla 28
Como podemos notar en los periodos que no hacemos ninguna transacción
económica solo se considera 0. Por lo tanto la respuesta es;
A.- La tasa de rendimiento es de 16.9023 %.
B.- No conviene.
Problema 45: Una pareja invierte $ 10,000 ahora y $ 500 dentro de tres años y recibir $500 dentro de un año, $ 600 dentro de dos años y cantidades que aumentan en $100 por año durante un total de 10 años. La pareja también recibirá pagos de cantidad global de $5,000 dentro de 5 años y $ 2,000 dentro de diez años. Calcule la tasa de retorno sobre su inversión.
2,000
5,000 G= 100 800 700 600 500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 500 10,000
Solución: Aplicando TIR
A B
0 -10,0001 5002 6003 2004 800
5 5,9006 1,0007 1,1008 1,2009 1,300
10 3,400 TIR 7.79293%
Tabla 29
Como podemos notar en un mismo periodo de tiempo es posible sumar o restar
una transacción económica, mas no así en ningún otro caso.
Problema 46: Un empresario compró un volquete con el propósito de ofrecer un servicio de recorrido corto de movimientos de tierra. Pagó $ 14,000 por el camión y lo vendió 5 años después por $ 3,000. Sus gastos de operación y mantenimiento fueron $ 3,500 anuales. Además, le hizo mantenimiento al motor del camión por $ 900 al final del tercer año. Si su ingreso, mientras fue propietario del camión, fue $ 15,000 cada año, ¿Cuál fue su tasa de retorno? ¿Y cuanto fue su ganancia?Solución: 3,000
15,000 15,000 15,000 15,000 15,000
0 1 2 3 4 5
3,500 3,500 3,500 3,500
14,000 900
Calculando TIR Tenemos:
A B0 -14,0001 11,5002 11,5003 10,6004 11,5005 18,000
TIR 78.7597 % Tabla 30
Comprobando paso por paso tenemos:
A B C D0 -14,000 -14,000.000 1.78759679 -25,026.3551 11,500 -13,526.355 1.78759679 -24,179.6692 11,500 -12,679.669 1.78759679 -22,666.1353 10,600 -12,066.135 1.78759679 -21,569.3854 11,500 -10,069.385 1.78759679 -18,000.0005 18,000 0.000 1.78759679 0.000
Tabla 31
Problema 47: Un empresario compró un ómnibus con el propósito de ofrecer un servicio de transporte urbano. Pagó $ 30,000 por el ómnibus y lo vendió 5 años después por $ 10,000. Sus gastos de operación y mantenimiento fueron $ 5,000 anuales hasta el último año. Además, le hizo una reparación al motor por $ 2,000 al final del cuarto año. Si su ingreso, mientras fue propietario del camión, fue $ 25,000 cada año, pero no trabajo el tercer año y no hizo mantenimiento. ¿Cuál fue su tasa de retorno?Solución.- Graficando todos los movimientos económicos tenemos:
10,000 25,000 25,000 25,000 25,000
5,000 5,000 5,000 5,000
- 30,000 2,000
Calculando TIR Tenemos:
A B0 -30,0001 20,0002 20,0003 04 18,0005 30,000
TIR 49.38 % Tabla 32
Problema 48.- Un fabricante de fibras de carbono para espuma densa (que se
usa en artículos deportivos, compuestos termoplásticos, aspas de molino de
vientos etc.) reporto los flujos de efectivo que se presentan en seguida.
¿Determinar la tasa de rendimiento?
Flujo neto de efectivo $
A B
0 -17,000
1 20,000
2 -5,000
3 8,000
TIR 24%
A.- Se pueden hacer comparaciones de tasa de interés de 2 o mas proyectos
que realizan transacciones económicas en las cuales se puede definir cual de
ellas es la mas rentable.
Problemas propuestos:
1.- Se tiene la posibilidad de comprar una fábrica de barquillos por $ 30,000,
que tiene una venta bruta anuales de $ 5,000 y un costo anual de operación de
$ 2,000. Se calcula que el precio de reventa será de 15000 al cabo de 10 años.
a) ¿Calcular la tasa de rendimiento por método manual y Excel?
b) Si el banco paga 5 % ¿Cuál de las transacciones económicas realiza?
R: 6.251 %: Considerar costo de riesgo.
2.- RKI instruments manufactura un controlador de ventilación diseñado para
vigilar y controlar el monóxido de carbono en estacionamientos cerrados, sala
de calderos, túneles etc. A continuación se presenta el flujo de efectivo neto
asociado con la fase de la operación. ¿Cual es la tasa de rendimiento de este
flujo de efectivo?
Año Flujo de efectivo neto en $
0
1
2
3
-30,000
20,000
15,000
-2,000
3.- Un inversionista adquirió 100 acciones del fondo mutuo AJAX por $ 2,000.
El primer año no recibió dividendos. Luego recibió $ 1.75 de dividendos por
acción al cabo de cada uno de los 4 años siguientes. y $ 2.50 por acción al
cabo de cada uno de los 5 años siguientes. Después de conservar las acciones
durante 10 años los vende por 5,300 ¿Cuál fue la tasa real de rendimiento
sobre su inversión?
R: 10.291 %
4.- Hace 6 años, una compañía hizo una inversión de $ 5 millones en un
material nuevo de alta temperatura. El producto no fue bien recibido después
de su primer año en el mercado solo tuvo una venta de $ 0.7 millones. Sin
embargo después de 2 años invirtió 2 millones mas para mejorar la calidad del
producto, la mejora duro 1 año, después de ello obtuvo una venta de 5 millones
y 7 millones en los 2 últimos años respectivamente.
A.- ¿Determinar la tasa de rendimiento?
B.- ¿La compañía esta perdiendo o esta ganado hasta la actualidad?
5.- Barrón Chemical usa un polímero termoplástico para mejorar la apariencia
de ciertos paneles RV. El costo inicial del proceso fue de $130,000, con costos
anuales de $ 49,000 e ingresos de $ 78,000 en el año 1, con incrementos
anuales de $ 1,000. Se obtuvo un valor de rescate de $ 23,000 cuando el
proceso se descontinuo después de 8 años. ¿Que tasa de rendimiento tuvo la
empresa por este proceso?
6.- Una Compañía embotelladora produjo gaseosas durante 5 años. Los costos
asociados con la línea de producción fueron los siguientes: Costo de la
maquinaria completa fue de $ 30,000 y los costos de producción anual de $
18,000, el ingreso por ventas anuales es de $ 27,000 y el equipo usado se
vendió en $ 4,000 ¿Qué tasa de rendimiento obtuvo la compañía por este
producto. R= 17.85
7.- Una Compañía PPG manufactura una amina epóxica que se usa para
evitar que el contenido de envases con tereftalato de polietileno (TP) reacciona
con el oxigeno. A continuación se muestra el flujo de efectivo (en millones de
dólares) asociado con el proceso. ¿Determine la tasa de rendimiento? R: 14.55
Año Costo Ingreso
0 -10 _
1
2
3
4
5
6
-4
-4
-4
-3
-3
-3
2
3
9
9
9
9
8.- Al propietario de un basurero privado se le pidió instalar un protector
plástico para evitar que las filtraciones contaminen el agua del suelo cuya
duración es de 5 años. El área del relleno es de 40,000 metros cuadrados y el
costo de manejo de vapores es de $ 5 por metro cuadrado. El costo de
instalación es de $ 4,000, Con el fin de recuperar la inversión, el dueño cobro $
8 por las cargas de camión de reparto, $ 25 por las cargas de los volquetes y $
65 por las cargas del camión compactador. S i la distribución mensual ha sido
200 cargas del camión de reparto, 40 cargas de volquete y 100 cargas del
compactador. ¿Qué tasa de retorno obtuvo el propietario del basurero sobre su
inversión por mes y por año?
CAPITULO VIIEL CONCEPTO DE COSTO DE CAPITAL
COSTO DE CAPITAL.- El costo de capital es el rendimiento esperado que una
empresa debe obtener sobre la inversión realizada en la implementación de la
empresa incluyendo el costo del dinero en el tiempo, considerando si el capital
es propio o prestado y teniendo en cuenta que un $ hoy vale más que un $
mañana.
El rendimiento depende de la toma de decisiones de inversión como de
financiamiento de una empresa.
El CAPITAL.- Es el factor necesario para la producción de un bien o servicio, al
igual que los demás factores (Mano de obra, Materia Prima, agua, energía
eléctrica, Combustible, transporte, servicios auxiliares, seguridad, etc.), por lo
tanto el uso de este factor tiene un costo en unidades monetarias, el cálculo y
estimación de este costo lo estaremos analizando mas adelante.
Para explicar y poder entender el costo de capital vamos a presentar un
ejemplo que servirá para dejar bien claro este concepto
Problema 48.- Si analizamos un proyecto cuya inversion inicial necesaria es
de $ 100,000. Y estimamos que este proyecto tiene una vida de un año.
Después de haber realizado los estudios respectivos se espera que el proyecto
genere durante el año de operación $ 130,000 se entiende que estos $130,000
representan los fondos operativos del proyecto: Ingresos por ventas menos
egresos operativos (Costo de Producción).
Luego el flujo de caja del Proyecto es:
130,000
0 1 año
100,000
La factibilidad de este proyecto dependerá de la estructura del financiamiento
de la inversion inicial.
Si para nuestro primer análisis la estructura del financiamiento es:
Financiamiento Monto Tasa de Interés
Aporte de entidad Bancaria $ 40,000 10 %
Aporte de Accionistas $ 60,000 12 %
TOTAL 100,000
Tabla 33
La tasa de Interés de la entidad bancaria es el costo de la deuda que el
proyecto esta asumiendo. La tasa de interés de los accionistas debemos
entenderla como el rendimiento mínimo que los accionistas esperan del capital
que ellos están invirtiendo.
Luego este proyecto debe generar por lo menos:
a) Para hacer frente con la obligación frente al banco:
b) Para cumplir con las expectativas de los accionistas:
Por lo tanto este proyecto debe generar como mínimo $ 111,200 para poder
cumplir con las fuentes de capital (con el banco y los accionistas).
En términos porcentuales respecto a la inversión tenemos:
Decimos entonces que el proyecto en total debe de rendir por lo menos 11.2 %
sobre la inversión para ser considerada como aceptable conocido como TASA
BASE superior a esta cantidad se denomina tasa mínima aceptable de
rendimiento (TMAR)
Luego el COSTO DE CAPITAL para este caso es de 11.2 %.
En el proyecto que estamos analizando los fondos operativos que genera el
proyecto es de $ 30,000 son mayores que los costos de las fuentes de capital
($ 11,200) Por lo tanto este proyecto es RENTABLE. El margen de este caso
sería: 30,000 – 11,200 = 18,800.
Problema 49.- ¿Qué pasa con el costo de capital y con el margen del proyecto
si la estructura del financiamiento fuera lo inverso:
Monto Tasa de Interés
Aporte de entidad Bancaria $ 60,000 10 %
Aporte de Accionistas $ 40,000 12%
TOTAL 100,000
Tabla 34
El proyecto debe generar por lo menos:
a) Para hacer frente con la obligación contraída con el banco:
b) Para cumplir con las expectativas de los accionistas:
Luego, en este caso el costo de capital es de 10.8 %. El margen que se estaría
obteniendo de tener esta ultima estructura de financiamiento seria de:
30,000 - 10,800 = 19,200. Mayor que del caso anterior.
En el segundo caso el proyecto es mas rentable (se tiene mayor margen luego
de descontar los costos de financiamiento.
EL COSTO DE CAPITAL en el caso de evaluación de un proyecto servirá como
tasa de corte o TASA BASE. Proyectos con rentabilidad mayor que esta tasa
deben considerarse aceptables (TMAR).
En General el COSTO DE CAPITAL representa el precio del factor dinero que
se esta utilizando para financiar una determinada inversión.
COMPOSICION DEL COSTO DE CAPITAL.- Son principalmente 2 tipos de
capital que una empresa o un proyecto de inversión pueda utilizar:
1. El incremento de los pasivos o también llamado incremento de la
deuda. Se refiere a las obligaciones que la empresa esta contrayendo
con terceros. Por ejemplo los prestamos bancarios, emisión de valores
(bonos, pagares) por parte de la empresa.
2. El incremento del patrimonio o también llamado incremento del capital
propio, es el capital que los accionistas están aportando y/o los fondos
autogenerados por la empresa que se reinvierten en la misma, estos
últimos son denominados utilidades retenidas.
COSTO DE LA DEUDA.- El costo de los pasivos esta representado por la tasa
de interés efectiva del flujo de caja, esta transacción económica además esta
afecto a los impuestos a la renta sobre el costo de la deuda.
Para explicar el efecto de los impuestos en el costo de la deuda utilizaremos un
ejemplo simple:
Problema 50.- Analicemos una misma empresa en dos casos diferentes:
CASO A: No utiliza deuda, significa que el 100 % de la inversión necesaria la
financia con capital propio por un monto de un millón.
CASO B: Utiliza deuda por un monto de un millón a una tasa de 30 % anual.
1’000,000
0 i = 30 % 1 año
1’300,000
Observe que la única diferencia entre el caso A y B es la estructura del
financiamiento, por lo tanto los ingresos por ventas y los costos operativos en
ambos casos serán los mismos. Si consideramos que los ingresos por ventas
sean de 1’500,000 y los costos de producción (Mano de obra, Materia Prima,
energía, transporte, etc.), sean de 1’000,000, entonces el estado de pérdidas y
ganancias en cada uno de los casos será:
CASO A CASO B
Ingresos por ventas
Costos operativos
Gastos Financieros
1’500,000
1’000,000
0
1’500,000
1’000,000
300,000
Utilidad antes de Impuestos
Impuestos*
500,000
150,000
200,000
60,000
Utilidad neta 350,000 140,000
* Mas de 54 UIT. La tasa impositiva es de 30 % sobre la utilidad.
En el caso A no existe pasivos (intereses) por lo tanto la empresa no
desembolsa gasto alguno por concepto de intereses (gastos financieros) Sin
embargo en el caso B sí se esta usando pasivos, que para el periodo que
estamos analizando generan intereses por 300,000 que son descontados como
gastos antes del pago de los impuestos respectivos.
El único desembolso marginal de B con respecto a A es el interés que se esta
pagando por la deuda contraída, por lo tanto, si las utilidades netas en el caso
A resultaron 350,000 en el caso B deberíamos obtener una utilidad neta final de
350,000 – 300,000 = 50,000
Sin embargo como podemos observar en el estado de pérdidas y ganancias la
cantidad neta final para el caso B es de 140,000 (mayor que los 50,000 que
deberían ser)
Por lo tanto en el caso B se ha obtenido un ahorro en el pago de impuestos de
90,000, este ahorro se ha generado debido exclusivamente al hecho de haber
utilizado un préstamo, luego los 90,000 son totalmente imputables al flujo de
caja del préstamo: 1’000,000 1’000,000
90,000
=
1’300,000 1’210,000
Entonces el costo del préstamo después de considerar los efectos impositivos
será: Remplazando tenemos:
Despejando i tenemos:
Problema.-
FLUJO DE CAJA OPERATIVO.- Uno de las herramientas más importantes en
la evaluación de alternativas de inversión será la confección de un flujo de caja
pertinente al proyecto. Llamado flujo de caja operativo. Dado que ningún
estado financiero contable nos permite obtener un flujo adecuado para la
evaluación de proyectos. A continuación damos ciertos lineamientos:
CONSIDERACIONES PARA ELABORAR UN FLUJO DE CAJA OPERATIVO:1.- Considerar en todo momento El Efectivo.- Si nos adelantan 20 millones
para realizar un trabajo cotizado en 100 millones, debemos de considerar como
ingreso para el Proyecto los 20 millones y no los 100 millones que
posiblemente aparezcan en el estado de pérdidas y ganancias como un ingreso
total.
2.- Establecer claramente los momentos en que se producen los ingresos o Egresos de Efectivo.- De esta manera somos consistentes con el criterio
del valor del dinero en el tiempo.
Si vendemos una mercadería por 100 millones al crédito en 90 días con un
costo de venta de 80 millones, tendremos en un estado de perdidas y
ganancias lo siguiente;
Ventas………..…..……100
Costo de ventas…….….80
Utilidad bruta……..…….20
Lo que en realidad esta sucediendo se refleja en el siguiente flujo de dinero:
100
0 1 2 3
80
Considerando una tasa de descuento del 20% mensual y llevando al valor
actual o al presente tenemos.
3.- Considerar solamente las variaciones de efectivo debidas únicamente a la ejecución del proyecto de inversión.- Es decir se deben considerar
todos aquellos gastos y/o ingresos generados por le ejecución del proyecto y
que de otra manera no tendrían razón de ser.
4.- Tener en cuenta los precios de mercado.- es decir las oportunidades del
mercado para los recursos comprometidos en el proyecto.
Si se requiere para el proyecto un área de almacenamiento de 5,000 m2 y la
empresa cuenta con un terreno de 10,000 m2. Ocupado en un 50%. El costo
de oportunidad de esa área sobrante depende del precio alternativo por su uso.
Es decir si el precio del mercado del metro cuadrado de almacén esta en 50
unidades monetarias entonces el costo imputable al proyecto será de 250,000
u.m. pues de no usarlo en el proyecto podría alquilarse toda esta área sobrante
por ese valor.
5.- Considerar al inicio del proyecto el capital de trabajo como parte de la inversión.Dado que el capital de trabajo es el dinero que se necesita para operar en el
proyecto periodo a periodo. Al finalizar este tiene que estar disponible
necesariamente. Por lo tanto al final de la vida del proyecto debe considerarse
como un ingreso, por supuesto no con la misma magnitud que al inicio.
6.- Considerar el efecto del escudo fiscal ocasionado por la depreciación de los activos como un ingreso para el flujo del proyecto.-La depreciación es un efecto contable que ahorra el pago de impuestos, y es
ese efecto el que se debe consignar en el flujo operativo, y tiene la siguiente
expresión (DEPRECIACION POR TASA IMPOSITIVA) DxT
Veamos un ejemplo:
Sin depreciación Con depreciación
Ventas (Ingresos)
Gastos (Egresos)
Utilidad bruta
Depreciación
Utilidad Antes de imp.
Impuestos (30 %)
Utilidad después de Imp.
Fondos generados
100
50
50
0
50
15
35
100
50
50
20
30
9
21
ESTADO DE PERDIDAS Y GANACIAS.- CAPITULO IX
BONOS ACCIONES E IMPUESTO
El Costo de Capital es el medio principal para que una compañía genere
nuevos negocios e ingresos a través de las inversiones. En esencia el capital
se obtienen de dos formas: por financiamiento de Patrimonio y por
financiamiento de deuda.
Financiamiento de Patrimonio.- La corporación utiliza sus propios fondos de
efectivo, ventas de existencias o utilidades acumuladas. Un individuo puede
utilizar su propio efectivo, ahorros o inversiones.
Financiamiento de deuda.- La corporación obtiene prestamos de fuentes
externas y reembolsa el principal y sus intereses de acuerdo a su ejercicio
económico. Las fuentes de capital que se adeudan pueden ser bonos,
prestamos, hipotecas, fuentes comunes de capital, en caso de maquinarias
tenemos el LEASSING, etc. Así mismo los individuos pueden utilizar préstamos
en efectivo, tarjetas, chequeras etc.
BONO.- Es un título de deuda, de renta fija o variable, emitido por un Estado,
por un gobierno regional, por un municipio o por una empresa industrial,
comercial o de servicios. También puede ser emitido por una institución
supranacional (Banco Mundial, Banco Europeo de Inversiones, Corporación
Andina de Fomento, Etc.), con el objetivo de obtener fondos directamente de
los mercados financieros. El emisor se compromete a devolver el capital
principal junto con los intereses,
Los principales tipos de bonos son:
Bono canjeable: Bono que puede ser canjeado por acciones ya
existentes. No provoca ni la elevación del capital ni la reducción del valor
de las acciones
Bono Convertible: Bono que concede a su poseedor la opción de
canjearlo por acciones de nueva emisión a un precio prefijado. Ofrece a
cambio un cupón (una rentabilidad) inferior al que tendría sin la opción
de conversión.
Bono cero cupones: Título que no paga intereses durante su vida, sino
que lo hace íntegramente en el momento en el que se amortiza, es decir
cuando el importe del bono es devuelto. En compensación, su precio es
inferior a su valor nominal.
Bonos de deuda perpetua: Son aquellos que nunca devuelven el
principal, (esto es, el nominal del bono, que generalmente coincide con
la inversión inicial), sino que pagan intereses (cupones) regularmente de
forma indefinida. Son los más sensibles a variaciones en el tipo de
interés.
Otro caso es el de los bonos basura, que se definen como títulos de alto
riesgo y baja calificación, que ofrece, en contrapartida, un alto rendimiento.
A los propietarios de bonos se les conoce con el nombre de "tenedores" o
"bonistas". Algunas emisiones de bonos llevan incorporadas opciones o
warrants que permiten amortizaciones anticipadas, conversión en acciones o
en otros activos financieros, etc.
El precio de un bono se calcula al actualizar los flujos de pago de ese bono.
Esa actualización se hace mediante el descuento financiero (en capitalización
simple o compuesta, según el vencimiento) de dichos flujos, y un tipo de
interés. A medida que aumente el tipo de interés de descuento (esto es, en
cierta medida, el riesgo asociado a ese bono), disminuirá el precio y viceversa.
.Dentro del riesgo asociado a un bono podemos distinguir fundamentalmente
entre:
Riesgo de mercado: que varíe el precio del bono por variación en los
tipos de interés.
Riesgo de crédito: posibilidad de que el emisor del bono no pueda/quiera
(en caso de repudio) hacer frente a sus pagos derivados de dichos
instrumentos de renta fija.
En general en el Perú estos tipos de bonos son muy poco utilizados; Los bonos
se emiten cuando es difícil obtener en préstamo una cantidad grande de dinero
de una fuente única o cuando el reembolso se efectúa durante un largo periodo
de tiempo. Una característica importante que diferencia los bonos de otras
formas de financiamiento es que los bonos pueden ser comprados y vendidos
en el mercado abierto por gente diferente al emisor y prestamista original.
En cuanto a su valor del bono en el tiempo cumple exactamente como si fuera
un préstamo bancario. Tal es el caso en el Perú solo se obtienen como si fuera
un préstamo con una garantía hipotecaria.
ACCIONES.- Se define como cualquiera de las porciones iguales en las que
se divide el capital de una corporación cuya propiedad se manifiesta a través
de un certificado.
ACCIONISTAS.- Titular de una o más acciones, lo que le da la condición de
socio de una empresa adquiriendo determinados derechos y beneficios
IMPUESTOS.- Los impuestos en el Perú están supeditados por el Texto único
ordenado por la LEY DEL IMPUESTO A LA RENTA Según decreto supremo
Decreto Supremo Nº 054-99-EF.
Artículo 53º.- El impuesto a cargo de las personas naturales, sociedades
conyugales, de ser el caso, y sucesiones indivisas, domiciliadas, se
determinará aplicando sobre la renta neta global anual, la escala progresiva
acumulativa siguiente:
Renta Neta Global TasaHasta 27 UIT 15%Por el exceso de 27 UIT y hasta 54 UIT 21%
Por el exceso de 54 UIT 30%
1 UIT S/. 3500
Artículo 20º.- La renta bruta está constituida por el conjunto de ingresos
afectos al impuesto que se obtenga en el ejercicio gravable.
Cuando tales ingresos provengan de la enajenación de bienes, la renta bruta
estará dada por la diferencia existente entre el ingreso neto total proveniente de
dichas operaciones y el costo computable de los bienes enajenados.
Si se trata de bienes depreciables o amortizables, a efectos de la
determinación del impuesto, el costo computable se disminuirá en el importe de
las depreciaciones o amortizaciones que hubiera correspondido aplicar de
acuerdo a lo dispuesto por esta Ley.
CAPITULO XDEPRECIACION Y AGOTAMIENTO
DEPRECIACION.- Es la reducción en el valor de un activo tangible como
pueden ser equipos, computadores, vehículos, edificaciones y maquinaria etc.
a través del tiempo por efectos de desgaste por uso.
En general, las compañías recuperan sus inversiones de capital en activos
tangibles como pueden ser equipos, computadores, vehículos, edificaciones y
maquinaria etc. mediante un proceso llamado depreciación. El proceso de
depreciar un activo, al cual se hace referencia también como recuperación de
capital, explica la pérdida del valor del activo debido a la edad, uso y
obsolescencia durante su vida útil. Aunque un activo puede estar en excelente
condición de trabajo, el hecho de que valga menos a través del tiempo se
considera en los estudios como devaluación económica.
El presente capítulo concluye con una introducción de los dos métodos de
agotamiento, los cuales son utilizados a fin de recuperar el interés económico
en los depósitos de recursos naturales, como minerales, metálicos y no
metales, madera, combustibles fósiles, etc.
METODOS DE DEPRECIACION.- Existen varias formas de depreciar un
activo, así tenemos.
Lineal Método de línea recta
Métodos de Depreciación Doble saldo Decreciente
Acelerada
Suma de los dígitos.
MÉTODO DE LÍNEA RECTA.- Es uno de los métodos de depreciación más
utilizados como el estándar de comparación para la mayoría de los demás
métodos. Consiste en hacer decrecer el valor del activo en el mismo valor cada
año es decir en forma lineal. Obtiene su nombre del hecho de que el valor en
libros se reduce linealmente en el tiempo puesto que la tasa de depreciación es
la misma cada año.
Problema 51.- Una empresa productora de cerveza compra una maquina
automática de lavado de botellas, llenado, gasificado y enchapadora que tiene
un valor inicial de compra de 5 000,000 dólares que va ha ser depreciado
totalmente en 4 años. Esto significa que el valor residual es 0.
El valor a depreciarse anualmente será de:
Depreciación = Valor Inicial = 5 000,000
Anual Numero de años de vida útil 4
Es decir se depreciara anualmente a razón de 1 250,000 cada año.
El valor en libros se compondrá de la siguiente manera:
Fin de periodo Depreciación
Fin de año
Valor en libros
Fin de periodo
0
1
2
3
1 250,000
1 250,000
1 250,000
1 250,000
5 000,000
3 750,000
2 500,000
1 250,000
4 0
Si lo representamos en un grafico tenemos:
Lineal
0100000020000003000000400000050000006000000
0 1 2 3 4 5
Años
Depr
eciac
ion
Serie1
MÉTODO DE DOBLE SALDO DECRECIENTE.- Es un método de
depreciación acelerada por el cual cada año se deprecia en porcentaje fijo del
valor en libros en ese momento.
El valor de la depreciación anual se establece de la siguiente forma:
2(1/n)* Valor en libros.
Siguiendo las condiciones del ejemplo anterior tenemos que el factor de
depreciación será de:
2(1/4) = 0.5
El comportamiento del valor en libros es la siguiente
Fin de
Periodo
Factor x Valor en
Libros
Depreciación Valor en libros
Fin de periodo
0
1
2
3
4
0.50 x 5 000,000
0.50 x 2 500,000
0.50 x 1 250,000
0.50 x 625,000
2 500,000
1 250,000
625,000
312,500
5 000,000
2 500,000
1 250,000
625,000
312,500
Graficando tenemos:
Doble Saldo
0100000020000003000000400000050000006000000
0 1 2 3 4 5
Años
Valor
en Li
bros
Serie1
MÉTODO DE SUMA DE DÍGITOS DE LOS AÑOS.- Es otro método de
depreciación acelerada en la cual se usa como factor de depreciación anual
una función directa de la suma de los n primeros números (n(n+1)/2),
obteniéndose el factor:
Si seguimos usando los datos del ejemplo inicial tenemos:
Fin de
periodo
Factor x Valor en
Libros
Depreciación
Fin de periodo
Valor en libros
Fin de periodo
0
1
2
3
4
4/10 x 5 000,000
3/10 x 5 000,000
2/10 x 5 000,000
1/10 x 5 000,000
2 000,000
1 500,000
1 000,000
500,000
5 000,000
3 000,000
1 500,000
500,000
0
Notase que se esta depreciando en forma mucho más rápida que en los
métodos anteriores.
Graficando tenemos:
Suma de Digitos
0100000020000003000000400000050000006000000
0 1 2 3 4 5
Años
Valoe
en Li
bros
Serie1
CONVENIENCIA DE LOS METODOS PARA EL FLUJO DE CAJA OPERATIVO.- Se ha visto que para el flujo operativo se debe considerar el
efecto de escudo fiscal que tiene la depreciación al disminuir el pago de
impuestos en la cantidad.
Depreciación x Tasa impositiva. (Dep. x T)
La manera de comparar cual método de depreciación produce el mayor
beneficio al flujo operativo será a través de la evaluación del valor Actual de la
contribución del termino (Dep. x T)
Supongamos un valor de activo de $ 1,000 y un periodo de depreciación de 4 años sin valor
de rescate
Depreciación 1 2 3 4
Lineal
Doble saldo
Suma de dígitos
250
500
400
250
250
300
250
125
200
250
125
100
Si tomamos una tasa impositiva de 40 % y una tasa de descuento de 20 %
podemos determinar el valor Actual:
Primero calculamos Depreciación por tasa (Dep. x T) para el primer
caso 250 x 0.40 = 100 y así sucesivamente para cada caso. Tabla (Dep. x T)
Depreciación 1 2 3 4
Lineal
Doble saldo
100
200
100
100
100
50
100
50
Suma de dígitos 160 120 80 40
CALCULO DEL VALOR ACTUAL: Para el método lineal como los pagos son iguales aplicamos Excel y
determinamos Valor Actual.SintaxisVA(tasa;nper;pago;vf;tipo)
Tasa Nper Pago vf Tipo VA0.2 4 -100 258.87
Para el método de doble saldo como los pagos son desiguales
aplicamos Excel la Función VAN. Teniendo en cuenta tasa = 0.2
Entonces tenemos.
SintaxisVNA(tasa;valor1;valor2; ...)
Tasa 1º 2º 3º 4º VNA0.2 200 100 50 50 289.16
De igual manera para el método de suma de dígitos como los pagos
son desiguales aplicamos Excel la Función VAN. Teniendo en cuenta
tasa = 0.2 entonces tenemos: SintaxisVNA(tasa;valor1;valor2; ...)
Tasa 1º 2º 3º 4º VNA0.2 160 120 80 40 282.25
Tabla de Valor Actual
Depreciación 1 2 3 4 Valor Actual
Lineal
Doble saldo
Suma de dígitos
100
220
160
100
100
120
100
50
80
100
50
40
258.87
289.16
282.25
Se puede apreciar que resulto mejor aquel método de mayor valor actual que
deprecio más rápidamente el activo (el método de doble saldo decreciente).
En la vida real la determinación del método de depreciación depende de
muchos factores y de las decisiones que hace el analista. Entre estos factores
tenemos: La inversión realizada si el bien ha sido adquirida al contado o
financiado, la falta de liquides para depreciar rápidamente. El encaje bancario,
Pago de impuestos etc.
METODO POR UNIDAD DE PRODUCCION.- algunas veces se presentan
situaciones en la que la recuperación de la depreciación sobre un bien
particular esta mas relacionado con el uso que con el tiempo. En estas raras
situaciones la depreciación en cualquier año es:
Donde: Dn = Depreciación en cualquier año
Pa = Producción del año.
Vt = Vida total Productiva del bien
P = Costo del bien.
S = Valor de recuperación.
Este método puede ser útil para maquinarias que sirven para la explotación de
recursos naturales, si estos se acaban antes que se gaste la maquinaria. No se
consideran un método aceptable para uso general en la depreciación de uso
industrial.
Problema 65.- Se compra una maquinaria para extraer arena grava de una
mina por $ 9,000. La mina estará en operación por un periodo de 5 años,
mientras se construye y se pavimenta un aeropuerto. Después de ese tiempo,
se cerrara la mina y el equipo se venderá en $ 700. El programa de
reconstrucción del aeropuerto requiere 40,000 metros cúbicos de arena y graba en los
siguientes tiempos:
Años Arena y grava requerida
1
2
4,000 m3
8,000 m3
3
4
5
16,000 m3
8,000 m3
4,000 m3
TOTAL 40,000 m3
¿Calcúlese el programa de depreciación por unidad de producción para el
equipo?
Solución.
= $ 830
= $ 1 ,660
= $ 3,320
= $ 1,660
= $ = 830
Debemos recalcar en cuanto a la producción en cualquier año esta basado en
la producción real del año. Más que en el programa de producción.
PROBLEMAS PROPUESTOS:1.- AGA Perú fabrica Oxigeno Medicinal por el Método LINDE para la cual
compro un PLC para manejar aire que cuesta $ 24000 y tiene una vida de 8
años con un valor de rescate de $ 4000 ¿Calcule el monto de depreciación
por los 3 métodos y graficar? y
2.- La construcción de un almacén para la empresa ACE HARDWARE cuesta $
800000, el cual tendrá una vida de 15 años con valor de reventa estimado
de 80 % del costo de construcción. Sin embargo, el inmueble va a
depreciar se a 0 durante un periodo de recuperación de 30 años ¿Calcule
la depreciación para los 15 y 30 años y graficar? ¿Determinar el valor en
libros?
3.-
CAPITULO XIALTERNATIVAS DE INVERSION
METODOS DE EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION: Para
evaluar alternativas hay muchos factores que puedan tenerse en cuenta, Estos
métodos permiten comparar alternativas desde el punto de vista de los factores
cuantificables y que puedan ser expresados en unidades monetarias que darán
lugar a una evaluación económica.
Obviamente la decisión final de aceptar o no una alternativa pueden estar
severamente influenciadas por otros factores de tipo cuantitativo tales como la
oportunidad de abastecimiento, la seguridad de la planta, el ambiente legal, el
clima político y social, el ambiente laboral, la capacidad de la empresa para
absorber tecnología, etc.
Lo que no podría sustituir el análisis económico es la capacidad perceptiva y el
buen juicio de los responsables de la decisión, generalmente gerentes
experimentados, interesados no solo en los aspectos cuantitativos si no
también cualitativos de la alternativa en análisis.
Dentro del esquema de la evaluación de alternativas podemos establecer una
serie de análisis como el valor actual, El valor final, tasa de rendimiento, tiempo
de vida del bien, periodo de recuperación, costo de capital, la amortización, la
depreciación del bien, costo beneficio, etc.
Problema 51.- Una empresa desea comprar una maquinaria para producir un producto P; en el mercado existe 2 tipos, una automática (A) y otra semiautomática (B) en ambos casos la vida útil de las maquinas es de 10 años y ambas maquinas producen el producto para satisfacer la demanda de mercado, si el capital es prestado al 10 % de interés propuesto por un banco, como define la elección de la compra si se tiene los siguientes flujos económicos.
Costo Mantenimiento
Maquinaria A $ 20,000 $ 100 x año
Maquinaria B $ 10,000 $ 200 x año
Tabla 11
Solución:
En primer lugar podemos determinar a cuanto asciende el valor actual de todas
las transacciones económicas como son los valores de compras, y los gastos
de mantenimiento en cada uno de las maquinarias por espacio de la vida útil de
estas que es de 10 años.
MAQUINARIA A VALOR CRONOLOGICO HOY (VA)20,000 a gastar ahora 20000 1,000 a gastar dentro de 1 año 909.09 1,000 a gastar dentro de 2 años 826.45 1,000 a gastar dentro de 3 años 751.31 1,000 a gastar dentro de 4 años 683.01 1,000 a gastar dentro de 5 años 620.92 1,000 a gastar dentro de 6 año 564.47 1,000 a gastar dentro de 7 años 513.16 1,000 a gastar dentro de 8 años 466.51 1,000 a gastar dentro de 9 años 424.10 1,000 a gastar dentro de 10 años 385.5430,000 26,144.57VALOR CRONOLOGICO VALOR CRONOLOGICO (10%)Tabla 12
MAQUINARIA B VALOR CRONOLOGICO HOY (VA)10,000 a gastar ahora 10,000 2,000 a gastar dentro de 1 año 1,818.18 2,000 a gastar dentro de 2 años 1,652.89 2,000 a gastar dentro de 3 años 1,502.63 2,000 a gastar dentro de 4 años 1,366.03 2,000 a gastar dentro de 5 años 1,241.84 2,000 a gastar dentro de 6 año 1,128.95 2,000 a gastar dentro de 7 años 1,026.32 2,000 a gastar dentro de 8 años 933.01 2,000 a gastar dentro de 9 años 848.20 2,000 a gastar dentro de 10 años 771.0930,000 22,289.13VALOR CRONOLOGICO VALOR CRONOLOGICO (10%)
Tabla 13Como podemos ver el valor actual necesario para poder efectuar la producción
es menor en B, por lo que se define por esta alternativa.
Problema 52.- Se requiere comprar una maquina mezcladora de acero Inoxidable con motor 10 Hp. de doble entrada para fabricar 10 toneladas de gelatinas por mes; en el mercado se encuentran dos tipos A y B con las siguientes características:
TIPO A TIPO B
Costo Inicial 2,500 3,500
Costo de Operación 900 700
Valor de salvamento 200 350
Vida Años 5 5
¿Cuál de las maquinas propondría comprar, si la tasa de interés es de 10%?
Solución: Una de las formas más rápidas es definir cual de las alternativas tiene menor
valor actual. Y considerando las transacciones económicas tenemos:
TIPO A TIPO B
Costo Inicial - 2,500 - 3,500
Costo de Operación - 900 - 700
Valor de salvamento + 200 + 350
Vida Años 5 5
Graficando tenemos:
Tipo A: 200
900 900 900 900 900
2,500
Tipo B: 350
700 700 700 700 700
3,500
Determinación del valor actual de A:
Se selecciona el tipo A ya que el VA de los costos es menor en comparación de
B, teniendo en cuenta que el signo negativo indica desembolso.
Problema 53.- Se desea adquirir un Horno para poder producir un producto P
para la cual se muestran los costos, si se pueden financiar con un préstamo de
un banco que cobra un interés del 10%, se espera que los egresos por costos
de producción y los ingresos por ventas para las tres alternativas sean iguales.
Solución:
Graficando tenemos:
Equipo Eléctrico (E)
200
900 900 900 900 900
2,500
Equipo a gas (G)
350
Eléctrico A gas Solar
Precio de compra ($)
Costo de operación ($)
Valor de salvamento ($)
Tiempo de vida (años)
- 2,500
- 900
200
5
-3,500
- 77
350
5
- 6,000
- 50
100
5
77 77 77 77 77
3,500
Equipo solar (S)
100
50 50 50 50 50
6,000
Calculo del Valor actual para cada maquina se calcula a i = 10 % para n = 5
años. Utilice sub. Índice E, G, y S. Entonces tenemos:
Se seleccionara entonces la maquina de energía eléctrica, ya que el valor
actual de sus costos es el mas bajo.
Problema 54.- Un superintendente de planta está tratando de decidir entre dos maquinas excavadoras con base en las estimaciones que se presentan a continuación.
TIPO A TIPO B
Costo Inicial 11,000 18,000
Costo de Operación 3,500 3,100
Valor de salvamento 1,000 2,000
Vida Años 6 9
a) ¿Determine cual debe ser seleccionada con base en una comparación
de valor actual utilizando una tasa de interés del 15 % anual?
b) Si se especificas un periodo de estudio de 5 años y no se espera que los
valores de salvamento cambien. ¿Cual alternativa debe seleccionar?
c) ¿Cual maquina debe ser seleccionada en un horizonte de 6 años si se
estima que el valor de salvamento de la maquina B es de $ 6000
después de 6 años?
Solución:a) Puesto que las maquinas tiene vidas diferentes, estas deben
compararse con su MCM, que es de 18 años. Para ciclos de vida
posteriores al primero, el primer costo se repite en el año 0 del nuevo
ciclo, que es el último año del ciclo anterior. Estos son los años 6 y 12
para la maquina A y el año 9 para la maquina B. El diagrama de flujo de
efectivo ayuda a analizar el valor actual.
Maquina A 1,000 1,000 1,000
3,500 3,500 3,500
11,000 11,000 11,000
Maquina B 2,000 2,000
3,100 3,100
18,000 18,000 Solución: Determinando el Valor Actual para cada una de las Maquinas:
Se selecciona la Maquina A, puesto que esta cuesta menos en términos de
Valor Actual
PROBLEMAS PROPUESTOS:1.- Se desea crear una empresa de trasporte de carga cuya cobertura ha de
ser entre Lima y Huancayo para ello se requiere comprar una unidad de un
camión tracto 4 x 6 con una capacidad de carga de 30 toneladas. En el
mercado existen 3 marcas reconocidas VOLVO, KENWORD e
INTERNACIONAL.
El vehículo ha de realizar 3 viajes semanales, de ida a de transportar sílice
cuyo pago es de $ 30 por tonelada y de vuelta regresa con carga de harinas
que paga $ 32 la tonelada.
2.-
CAPITULO XII
VOLVO KENWORD INTER
Precio de compra
Mantenimiento x mes
Combustible x viaje
Chofer profesional x mes
Costo de operación x viaje
Valor de salvamento
Tiempo de vida
160,000
900
400
1,000
74
80,000
6
130,000
700
380
1,000
74
60,000
4
120,000
800
380
1,000
74
50,000
3
EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS DE REEMPLAZO DE EQUIPOS
IMPORTANCIA DE LOS PROYECTOS DE REEMPLAZO.- El futuro
económico y el avance tecnológico de una empresa esta determinado en gran
parte por el plan de reemplazo de equipo que se tenga. Así tenemos que un
reemplazo apresurado o inadecuado origina una disminución de su capital: por
otro lado si el reemplazo es retardado se puede originar costos excesivos de
operación y mantenimiento. En ambos casos se recorta la posibilidad de tener
dinero disponible para invertir en alternativas más rentables.
Los procesos productivos usan activos (bienes de capital) que se desgastan
con los años, se vuelven ineficientes u obsoletos y se convierten en candidatos
a ser reemplazados. La pregunta que surge es ¿Debe conservarse o
reemplazarse este activo?
Nos encontramos así en una situación en que se compara un equipo actual en
uso con uno nuevo que se supone el mejor disponible para el reemplazo. De
aquí nace la terminología DEFENSOR (Equipo actual) y RETADOR (Equipo
nuevo)
Un estudio de reemplazo nos lleva a dos acciones bien definidas:
1.- Conservar el activo actual un tiempo más.
2.- Deshacerse del activo actual y reemplazarlo por uno nuevo.
FACTORES DE REEMPLAZO DE EQUIPOS.- Hay dos razones básicas por la
que se puede llegar a reemplazar un equipo el Deterioro Físico y la
obsolescencia.
El deterioro físico puede deberse al mal uso del equipo, a un siniestro o a un
sabotaje, perdiéndose de esta manera el valor del servicio del equipo u
ocasionando un aumento en los costos de operación y mantenimiento.
La obsolescencia es debida principalmente al avance tecnológico, que puede
llevar a tener en el mercado equipos más eficientes y a menores costos de
operación que las actuales en uso.
Otras razones que pueden determinar el reemplazo son:
La necesidad de una mayor capacidad de producción o servicio.
El excesivo gasto de reparación y mantenimiento.
L a disminución del rendimiento del equipo a niveles en que el costo
actual de la ineficiencia se hace excesivo. Hay algunas maquinas en
que el desgaste de algunas piezas genera una disminución del
rendimiento y con solo cambiarlas periódicamente se asegura el
rendimiento adecuado por un determinado tiempo. Hay sin embargo
otro tipo de instalaciones donde las reparaciones son difíciles o
reparaciones por partes.
Generalmente no es solo un factor si no un conjunto de factores que
se pueden presentar en cada caso el que determina el reemplazo.
Al margen de las causas que determinan el reemplazo el análisis y la decisión
están basadas en estimados de lo que pasara en el futuro. En ese sentido el
pasado no debe de tenerse en cuenta en el análisis.
La decisión del reemplazo debe de estar basada en aspectos económicos, es
decir si se cambia un equipo que todavía funciona en forma eficiente es por
que la utilidad que le queda al activo se sacrifica a favor de ahorros futuros,
mayores productos del cambio. Los ahorros pueden ser de energía, tiempo,
mano de obra, materia prima, etc.
Cuando se adquiere un equipo nuevo debe considerarse dentro de la inversión
todos los costos que demande ponerlo en operación.
El Equipo descartado debe de tener un valor de mercado (de salvamento),
pero debe descontarse de este valor todos los gastos que ocasione el
reemplazo. El gasto mas común es el desmantelamiento, retiro etc. Puede
darse el caso que los gastos de reemplazo sean mayores que el valor del
salvamento, en esos casos debe consignarse así en el flujo de caja.
ANALISIS DE REEMPLAZO.- Para el análisis Defensor – Retador se debe de
tomar el punto de vista del consultor. Es decir se pretende que nos
comportamos como ajenos a la situación en el sentido que no somos
propietario de ninguno de los activos, y que el enfoque que damos es el de
una persona que necesita un servicio y que puede obtenerlo tanto del
Defensor como del Retador.
El costo del Defensor es el precio de mercado del activo usado, habría
también una vida económica, un valor de salvamento y costo anual de
operación asociado, que puede ser totalmente diferente a los estimados al
momento de la compra.
Es conveniente tener en cuenta que cuando el valor de mercado del activo
usado es menor que su valor en libros, aparece un costo amortizado que ya no
se puede recuperar. Esto debido a que se estimó mal al momento de la compra
el valor de rescate que podía consignarse al activo. Por tanto en un análisis de
reemplazo el costo amortizado no debe incluirse en la comparación económica.
Problema 55: Se tiene una máquina que costó $ 10,000 hace 5 años. Se le
estimo una vida útil de 10 años, y se le asignó un valor de rescate de $ 1,000 al
final de su vida. En los últimos años tuvo un costo de mantenimiento de $ 500
al año, y se estima que para los próximos años este costo aumentará a $ 700
anuales.
Hay la posibilidad de adquirir hoy una maquina nueva a un costo de $ 18,000,
que tendrá una vida de 10 años y un valor de rescate de $ 2,000 al final de su
vida. El costo de mantenimiento será de $ 500 anuales. Se ofrece por la
maquina antigua un valor de $ 2,000. ¿Debe conservarse o remplazarse la
maquina?
Solución:
Problema 56: Se tiene un activo que fue comprado hace 2 años y actualmente
tiene un valor de salvamento de $ 10,000. Se espera que tenga una vida
remanente de 4 años, con un costo de operación de $ 6,000 anuales. Al final
de los 4 años se estima un valor de salvamento de 0.
Hay la posibilidad de cambiar hoy el activo antiguo por otro nuevo que tiene un
costo de $ 30,000 con una vida útil de 10 años, con un costo de operación
anual de $ 3,500, y que tiene un valor de salvamento al final de su vida de $
3,000. La tasa mínima atractiva de rentabilidad (TMAR) de la empresa es de 10
% anual.
Solución:
1.- Una empresa tiene la estructura de financiamiento siguiente: Un total de $100000. De este total corresponden: $ 20000 con 42 % de costo anual, 30000 con 36 % de costo anual, $ 28000 al costo de 32 % y $ 22000 con 25
% de costo anual. La empresa decide pagar los $ 100000 en un solo bloque dentro de uño. ¿A que tasa de interés y cuanto de interés pagaría?R:
2.- Con urgencia necesitamos financiamiento por $ 50,000, para ser pagado en seis cuotas mensuales que disminuyan cada mes en $ 1,200 a una tasa de interés de 4.5% mensual. ¿Calcular el valor de las cuotas a pagar?R:
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERUFACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE QUIMICA, INGENIERIA Y TECNOLOGIAESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA QUÍMICA DEL GAS NATURAL Y ENERGÍA
SILABOSEMESTRE ACADEMICO 2014-I
ASIGNATURA: INGENIERIA QUIMICA CODIGO: 073B
I. INFORMACION GENERAL:1.1 Nombre del Profesor :DEMETRIO SALAZAR MAURICIO1.2 Plan de Estudios : 20141.3 Jefe de Prácticas : 1.4 Carácter de la Asignatura : (Obligatorio / optativo)1.5 Número de Créditos : 51.6 Total de Horas Semanales : 5
Horas Teóricas : 3 Horas de Laboratorio : 2
1.7 Centro de Prácticas : CENTRO DE COMPUTO1.8 Fecha de Inicio : 01 DE ABRIL DEL 20141.9 Fecha de Finalización : 25 DE JULIO DEL 20141.10 Semestre : VII1.11 Requisito Académico : 065B
II. SUMILLA
Naturaleza: La asignatura de Ingeniería Económica es teórico práctico que estudia los conceptos y técnicas matemáticas aplicadas en el análisis, comparación y evaluación económica de alternativas relativas a proyectos de ingeniería que se encarga del flujo del dinero en la toma de decisiones para hacer que una empresa sea lucrativa en un mercado altamente competitivo.
Propósito: En la Formación integral del ingeniero debe estar presente el dominio de la Ingeniería, La Economía y la AdministraciónContenido temático:
1.- Conceptos básicos de matemáticas financieras.
2.- Valor del Dinero en el tiempo, Factores Financieros.
3.- Tasas de Interés Nominal, Efectivo e Inflación.
4.- Análisis de crédito e Índice de rentabilidad.
5.- Costos de Capital, Bonos, Acciones y depreciación.
6.- Análisis de alternativas de inversión y remplazo.
III. CAPACIDADES DE LA ASIGNATURA
3.1 Capacidad General:
Al concluir el estudio de la asignatura el alumno es capaz de aplicar el pensamiento creativo, crítico, soluciona problemas y toma decisiones, a través de la información, indagación, experimentación y el análisis crítico en la toma de decisiones en aspectos económicos haciendo uso el valor del dinero a través del tiempo a emplearse en la carrera de Ingeniería Química.
3.2 Capacidades Específicas:
3.2.1 UNIDAD I: Al finalizar la unidad el alumno conoce, analiza, emplea y resuelve problemas del valor del dinero en el tiempo como instrumento de toma de decisiones, Valor Actual, valor futuro, tasa de interés, periodos de interés y equivalencias. Todo aplicando el programa de Excel financiero.
3.2.2 UNIDAD II: Al finalizar la unidad el alumno conoce, analiza, emplea y resuelve problemas aplicando los factores financieros, gradientes y otros tipos de flujos para tener criterios de evaluación de una opción económica.
3.2.3 UNIDAD III: Al finalizar la unidad el alumno conoce, analiza, emplea y resuelve problemas de la tasa de interés nominal y efectivo y la inflación.
3.2.4 UNIDAD IV: Al Termino de la unidad el estudiante conoce, analiza, emplea y resuelve problemas de Análisis de crédito e Índice de rentabilidad.
3.2.5 UNIDAD V: Al Termino de la unidad el estudiante conoce, analiza, emplea y resuelve problemas de costo de capital así como de bonos, acciones e impuestos. así como la depreciación de maquinarias y equipos.
3.2.6 UNIDAD VI: Al finalizar el alumno está en la capacidad de definir la alternativa económica más rentable en la compra o reemplazo de un bien.
IV. SISTEMAS DE EVALUACION:
4.1.Momentos de Evaluación:
Pruebas de proceso en cada parcial y evaluación de salida.
4.2.Formas e Instrumentos de Evaluación:
Pruebas escritas: pruebas objetivas considerando 3 exámenes parciales, trabajos exploratorios, pruebas esquemáticas, mapas conceptuales, talleres procedimentales, pruebas de análisis y respuesta múltiple. Pruebas orales: participación de los alumnos en exposiciones explicativas de casos reales de la vida y trabajos encargados. Informes: a) de clase, b) de aplicaciones prácticas, c) de talleres, d) de exploración, e) de investigación experimental, f) de campo.
4.3.Ponderación de la Evaluación Parcial:
La nota final se obtendrá de promediar tres consolidados: C1, C2, C3.Las ponderaciones para cada consolidado es: 0,2Ac0,3Pr0,5CoC i :Co= contenidos conceptuales: evaluaciones orales, escritas y exposiciones.Pr= contenidos procedimentales: informes, prácticas de laboratorio y desarrollo de talleres.Ac= contenidos actitudinales: práctica de valores personales e institucionales, interés por la
asignatura, respuesta a situaciones imprevistas, etc.)La evaluación del logro de competencias mínimas y necesarias para la promoción del estudiante es:
3
3
1 i
i
f
CP
V. REQUISITOS DE APROBACION
5.1.Asistencia mínima al 70% de las clases teóricas y prácticas. La inasistencia injustificada a más del 30% de las clases dará lugar a la desaprobación automática de la asignatura.
5.2.Rendir las evaluaciones parciales y las prácticas calificadas.
5.3.Cumplir con los trabajos y exposiciones en las fechas programadas.
VI. METODOLOGIA O ESTRATEGIAS DIDACTICAS
VI.1. En el desarrollo de clases
Al inicio de clases se hará entrega de un manual virtual de Ingeniería Económica con aplicaciones de Excel.En cada hora de clases teóricas se desarrollara Clases magistrales y a la vez el estudiante podrá verificar in situ cada problema planteado.El estudiante Analiza algunos documentos prácticos de flujo económico de una entidad pública o privada.Talleres en aula y prácticas de campo.
VI.2. Del trabajo de investigación y experimentación
Elegir un tema de investigación practica de flujo económico de una empresa.Formular y evaluar un proyecto de inversión aplicando conocimientos elementales de Ingeniería Económica
VII. MATERIALES Y EQUIPOS
VII.1. Exposición verbal
VII.2. Slides y Trasparencias
VII.3. Artículos Científicos
VII.4. Videos
VII.5. Visitas técnicas a empresas.
VIII. CALENDARIZACION DE LAS UNIDADES TEMÁTICASSe
man
a
Hora
s
Uni
dad
Tem
a
Contenidos
Avan
ce %
Bibl
iogr
afía
Conceptuales Procedimentales Actitudinales
1 3
2
I 1 Conceptos de Ingeniería económica, Industria Química, eficiencia técnica y económica, toma de decisiones.
Conceptos de Ingeniería económica, Industria Química, eficiencia técnica y económica, toma de decisiones.
Comparten, discuten y definen los conceptos, contenidos y procedimientos de la ingeniería económica
5.92 3
2
I 2 Valor del dinero en el tiempo, Intereses, tasa de Interés, Interés simple y compuesto
Determinan el Valor del dinero en el tiempo, los tipos de intereses que generan una cantidad de dinero en el tiempo. 11.8
3 3
2
I 3 Aplicación de Excel Financiero: Valor Futuro, Valor Actual, tasa de interés, periodos de interés. Equivalencias
Determinan el Valor Futuro, Valor Actual, tasa de interés, periodos de interés aplicando la Función financiera de Excel.
Comparten, discuten y definen el Valor del dinero en el tiempo, el flujo del dinero en el tiempo en sus diferentes formas que se presentan.
17.64 3
2II 4 Factores Financieros.- Flujo de Efectivo,
Combinación de factores, ProblemasReconocen las 6 formulas económicas generales y determinan a cuál de ellos pertenece un flujo de efectivo. 23.5
5 3
2
II 5 Gradientes: Aritmético y Geométrico, Otros tipos de flujo de efectivo. Aplicaciones, Problemas prácticos.
Definen y formulan el flujo de efectivo en forma de gradientes aritmética y geométrica. 29.4
6 PRIMERA CONSOLIDACIÓN AL SISTEMA ACADÉMICO (05 DE MAYO AL 09 DE MAYO) 35,3
7 32
III 1 Tasa de interés nominal y efectivo. Ejemplos prácticos
Determinan la tasa de interés nominal y efectivo
Comparten, discuten y definen como es un crédito teniendo en cuenta la tasa de interés considerando la inflación y la amortización respectiva.
41.28 3
2III Inflación, tasa real, tasa de inflación y
tasa inflada. Problemas aplicados. Calculan y determinan la inflación y la tasa de inflación en cualquier periodo. 47.1
9 32
IV Análisis del crédito, Flujo del crédito Amortización. Problemas aplicados
Determinan como se realizan los créditos y la forma de pagos de amortización. 52.9
10 SEMANA: DESARROLLO INTEGRAL UNIVERSITARIO (07 AL 11 DE JUNIO) 58.811 3
2
IV Índice de Rentabilidad, Tasa de rendimiento. Valores múltiples de tasa de rendimiento. Ejemplos
Determinan la rentabilidad del dinero teniendo en cuenta la tasa de retorno en un determinado tiempo.
Comparten, discuten y calculan la rentabilidad y el costo del capital que se requieren en una actividad económica.
64.712 SEGUNDA CONSOLIDACIÓN AL SISTEMA ACADÉMICO (16 DE JUNIO AL 20 DE JUNIO) 70,6
13 3
2
V Costo de capital, Costo de la deuda, Flujo de la caja operativo. Problemas. Bonos Acciones e Impuestos
Determinan el significado del costo de capital y costo de la deuda y su respectivo flujo de caja. 76.5
14 3
2
V Depreciación y agotamiento. Estimaciones en maquinarias y equipos.- Problemas
Determinan el significado del costo de capital y costo de la deuda y su respectivo flujo de caja.
Comparten, discuten y analizan los resultados de una inversión económica en un proyecto considerando todo los acontecimientos económicos del proyecto.
82.415 3
2VI Alternativas de inversión, métodos de
alternativas, Definición de proyectos.Determinan y definen las alternativas en que proyectos invertir. 88.2
16 32
VI Evaluación económica de proyectos de remplazo de equipos. Problemas
Evalúan si se reparan o se remplazan un equipo de una empresa 94.1
17 TERCERA CONSOLIDACIÓN AL SISTEMA ACADÉMICO (21DE JULIO AL 25 DE JULIO) 100,0
IX. BIBLIOGRAFIA
SALAZAR MAURICIO, Demetrio “ Manual de Ingenieria Económica”
Con aplicaciones de Excel 1ra. Edición - Huancayo – Editorial UNCP - 2013
LELAND T. BLANK P. E. Anthony J. Tarquín P. E. “Ingeniería Económica”. Colombia. 1985.
SEPULVEDA, José A. William E. Souder y Byron S. Gottfried. “Ingeniería Económica”. Mc
Graw Hill. México. 1 987.
HAPPEL, J y D. G. Jordán. “Economía de los Procesos Químicos”. Reverté S.A. España. 1 981.
NOLBERTO J. Munier. “Preparación Tecnica, Evaluación Económica y Presentación de
Proyectos”. Astrea. Argentina. 1 979.
TRUJILLO DEL RÍO, Juan José. “elementos de Ingeniería Industrial”. Limusa. México. 1
976.
Uriegas Torres, Carlos “Análisis Económico de Sistemas en la Ingeniería”. Limusa S. A.
México. 1 987.
X. FECHA DE PRESENTACIÓN
CIUDAD UNIVERSITARIA, 07 DE ENERO DEL 2014
Ms. Demetrio A. Salazar MauricioAsociado / Nombrado/ Dedicación
Exclusivademetriosalazar@hotmail.com
FECHA DE APROBACIÓN POR EL JEFE DE DEPARTAMENTO ACADÉMICOCIUDAD UNIVERSITARIA, 09 DE ENERO DEL 2014
________________________________________Ms. Walter S. Fuentes López
JEFE DE DEPARTAMENTO ACADÉMICO
FECHA DE APROBACIÓN DE CONSEJO DE FACULTAD: CIUDAD UNIVERSITARIA, 10 DE ENERO DEL 2014
____________________________Ms. Jaime H. Claros Castellares
DECANO
_______________________________Ms. Marco A. Meza Pérez Palma
SECRETARIO DOCENTE