Post on 29-Apr-2019
KONVERGENSI DAN KELENGKAPAN PADA RUANG QUASI METRIK ℝ2
CONVERGENCE AND COMPLETENESS
ON ℝ2 QUASI METRIC SPACE
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
2013
Fikri Firdaus Nrp. 1209100086
Dosen Pembimbing : Sunarsini, S.Si, M.Si dan Drs. Sadjidon, M.Si.
Pendahuluan
Latar Belakang
Banyak sekali topik dalam analisis
fungsional yang mengalami
perkembangan seiring kemajuan zaman
sehingga menghasilkan konsep-konsep baru.
Pada tahun 1914 Hausdorff mengenalkan
jarak asimetri.
Pada tahun 1973 William Lawveer
mengungkapkan bahwa ketidaksimetrian yang
berkaitan dengan metrik lebih sering
terjadi dalam kejadian alam.
Penelitian untuk mendapatkan quasi
metrik khususnya pada belum banyak
dilakukan.
Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam Tugas Akhir ini antara lain : 1. Bagaimana bentuk quasi metrik tertentu pada ruang ℝ𝟐. 2. Bagaimana sifat konvergensi dan kelengkapan dari ruang quasi
metrik di ℝ𝟐, terhadap metrik kuasi yang telah didapatkan.
Pendahuluan
Batasan Masalah
Batasan masalah dalam Tugas Akhir ini adalah. 1. Sifat-sifat yang dikaji adalah sifat konvergensi dan kelengkapan. 2. Ruang yang diteliti quasi metriknya adalah ℝ𝟐.
Pendahuluan
Tujuan
Tujuan dalam penyusunan Tugas Akhir ini adalah. 1. Mendapatkan bentuk quasi metrik tertentu pada ruang ℝ𝟐. 2. Mendapatkan sifat konvergensi dan kelengkapan dari ruang quasi
metrik di ℝ𝟐, terhadap metrik kuasi yang telah didapatkan.
Pendahuluan
Manfaat
Manfaat yang didapatkan dalam Tugas Akhir ini adalah. 1. Menambah pengetahuan mengenai sifat-sifat ruang quasi metrik,
khususnya pada ℝ𝟐. 2. Sebagai bahan referensi pada penelitian selanjutnya di bidang
ruang quasi metrik maupun dibidang lainnya yang terkait.
Pendahuluan
Metode Penelitian
Studi literatur
Mengkaji konsep ruang quasi metrik
Mengonstruksi quasi metrik pada ruang ℝ2
Penarikan kesimpulan Metode Penelitian
Tinjauan Pustaka
Ruang Metrik Definisi 2.1[1]. Diberikan X suatu himpunan tak kosong. Didefinisikan metrik atau fungsi jarak sebagai fungsi bernilai real 𝜌 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut. Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋, berlaku : (𝑀1) 𝜌 𝑥, 𝑦 ≥ 0.
(𝑀2) 𝜌 𝑥, 𝑦 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦. (𝑀3) 𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝜌 𝑦, 𝑥 . (𝑀4) 𝜌 𝑥, 𝑧 ≤ 𝜌 𝑥, 𝑦 + 𝜌 𝑦, 𝑧 . Jika 𝜌 metrik di 𝑋, maka pasangan (𝑋, 𝜌) disebut ruang metrik.
Tinjauan Pustaka
Ruang Metrik
Tinjauan Pustaka
Ruang Metrik
Contoh 2.2. Himpunan bilangan real ℝ merupakan ruang metrik terhadap 𝜌, dengan 𝜌:ℝ × ℝ → ℝ adalah
𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
Contoh 2.3. Himpunan bilangan real ℝ2 merupakan ruang metrik terhadap 𝜌, dengan 𝜌:ℝ2 × ℝ2 → ℝ adalah
𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝑥1 − 𝑦12 + 𝑥2 − 𝑦2
2
untuk setiap 𝑥 = 𝑥1𝑥2∈ ℝ2 dan 𝑦 = 𝑦1
𝑦2∈ ℝ2.
Definisi 2.4.[1] Suatu barisan 𝑥𝑛 dalam ruang metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan konvergen ke x ∈ X jika untuk setiap 𝜖 > 0, terdapat 𝑁 ∈ ℕ sehingga 𝑑 𝑥, 𝑥𝑛 < 𝜖 , untuk semua 𝑛 ≥ 𝑁 . Dapat ditulis 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 atau
𝑥𝑛 → 𝑥, 𝑛 → ∞. Definisi 2.5.[1] Suatu barisan 𝑥𝑛 di dalam ruang metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap 𝜖 > 0 , terdapat 𝑁 ∈ ℕ sehingga 𝑑 𝑥𝑚, 𝑥𝑛 < 𝜖, untuk semua 𝑛,𝑚 ≥ 𝑁. Definisi 2.6.[1] Ruang Metrik 𝑋, 𝑑 dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy pada (𝑋, 𝑑) konvergen. Contoh 2.7. Ruang Metrik ℝ2 adalah lengkap atas metrik bakunya.
Tinjauan Pustaka
Ruang Metrik
Tinjauan Pustaka
Ruang Quasi metrik
Ruang Quasi Metrik
Definisi 2.8[2]. Diberikan 𝑋 suatu himpunan tak kosong. Didefinisikan quasi metrik sebagai fungsi bernilai real 𝑑 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut. Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋, berlaku : (𝑄𝑀1) 𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0. (𝑄𝑀2) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑦. (𝑄𝑀3) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦). Jika 𝑑 Quasi metrik di X, maka pasangan (𝑋, 𝑑) disebut ruang quasi metrik.
Tinjauan Pustaka
Ruang Quasi metrik
Definisi 2.9[2]. Diberikan 𝑑 adalah quasi metrik pada 𝑋, pemetaan 𝑑−1 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ
disebut konjugat dari d jika 𝑑−1 merupakan quasi metrik pada X dan 𝑑−1(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥).
Konjugat dari Quasi metrik
Tinjauan Pustaka
Ruang Quasi metrik
Definisi 2.10[4]. Diberikan (𝑋, 𝑑 ) adalah ruang quasi metrik. i. Barisan *𝑥𝑛+ pada (𝑋, 𝑑 ) konvergen atas jika terdapat titik 𝑎 ∈ 𝑋 sehingga 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑑( 𝑥𝑛 , 𝑎) = 0 , dengan kata lain ∀𝜀 > 0 , ∃𝑁 ∈ ℕ sedemikian hingga
∀𝑛 ≥ 𝑁 berakibat 𝑑 𝑥𝑛 , 𝑎 < 𝜀 . Titik a disebut limit barisan atas,
dinotasikan dengan 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑎.
ii. Barisan *𝑥𝑛+ pada (𝑋, 𝑑 ) konvergen bawah jika terdapat titik 𝑏 ∈ 𝑋 sehingga 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞ 𝑑( 𝑏 , 𝑥𝑛) = 0, dengan kata lain ∀𝜀 > 0 , ∃𝑁 ∈ ℕ sedemikian
hingga ∀𝑛 ≥ 𝑁 berakibat 𝑑 𝑏 , 𝑥𝑛 < 𝜀. Titik 𝑏 disebut limit barisan bawah, dinotasikan dengan 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑏.
Konvergensi dan kelengkapan dalam ruang Quasi metrik
Tinjauan Pustaka
Ruang Quasi metrik
Definisi 2.11[4]. Diberikan (𝑋, 𝑑 ) adalah ruang quasi metrik. i. Barisan *𝑥𝑛+ pada (𝑋, 𝑑 ) disebut barisan Cauchy atas jika untuk setiap 𝜖 > 0, terdapat 𝑁 ∈ ℕ sehingga 𝑑 𝑥𝑛, 𝑥𝑚 < 𝜖 untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁.
ii. Barisan *𝑥𝑛+ pada (𝑋, 𝑑 ) disebut barisan Cauchy bawah jika untuk setiap 𝜖 > 0, terdapat 𝑁 ∈ ℕ sehingga 𝑑 𝑥𝑚, 𝑥𝑛 < 𝜖 untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁.
Definisi 2.12[4]. Diberikan (𝑋, 𝑑 ) adalah ruang quasi metrik. i. Ruang quasi metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan lengkap atas jika setiap barisan
Cauchy atas pada 𝑋 konvergen atas. ii. Ruang quasi metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan lengkap bawah jika setiap barisan
Cauchy bawah pada 𝑋 konvergen bawah.
Pembahasan
Tinjauan Pustaka
Ruang Quasi metrik ℝ
Teorema 4.1 Untuk himpunan ℝ dapat didefinisikan quasi metrik 𝑑 ∶ ℝ × ℝ → ℝ dengan
𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 , 𝑥 ≥ 𝑦
𝑘 𝑥 − 𝑦 , 𝑥 < 𝑦
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ dan 𝑘 < −1 suatu konstanta.
Quasi Metrik ℝ
Pembahasan
Ruang Quasi metrik ℝ𝟐
𝑑 𝑥, 𝑦 =
𝑥1 − 𝑦1 + 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1 ≥ 𝑦1 , 𝑥2 ≥ 𝑦2𝑥1 − 𝑦1 + 𝛼 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1≥ 𝑦1 , 𝑥2 < 𝑦2𝛼 𝑥1 − 𝑦1 + 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1< 𝑦1 , 𝑥2 ≥ 𝑦2𝛼 𝑥1 − 𝑦1 + 𝛼 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1 < 𝑦1 , 𝑥2 < 𝑦2
Quasi metrik ℝ𝟐
Pembahasan
Teorema 4.2. Untuk himpunan ℝ2 dapat didefinisikan quasi metrik 𝑑 ∶ ℝ2 × ℝ2 → ℝ dengan
𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑖 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖
2
𝑖=1
untuk setiap 𝑥 = 𝑥1𝑥2
, 𝑦 = 𝑦1𝑦2∈ ℝ2, 𝑘𝑖 suatu konstanta sedemikian hingga
𝑘𝑖 = 1 untuk 𝑥𝑖 ≥ 𝑦𝑖 , i=1,2 𝑘𝑖 = 𝛼 untuk 𝑥𝑖 < 𝑦𝑖 , i=1,2, dimana 𝛼 < −1.
Ruang Quasi metrik ℝ𝟐
Pembahasan
Lemma 4.3. Diberikan (ℝ2, 𝑑) adalah ruang quasi metrik. Misalkan *𝑥𝑛+ dan *𝑦𝑛+ adalah sebarang barisan dalam ruang quasi metrik ℝ2, serta diberikan
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2. Jika 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 dan 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑦𝑛 = 𝑦 , maka barisan bilangan real
*𝑑 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 + konvergen ke 𝑑 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
Konvergensi dan kelengkapan dalam ruang Quasi metrik ℝ𝟐
Ruang Quasi metrik ℝ𝟐
Pembahasan
Teorema 4.4. Diberikan (ℝ2, 𝑑) adalah ruang quasi metrik. Misalkan *𝑥𝑛+ dan *𝑦𝑛+ adalah sebarang barisan dalam ruang quasi metrik ℝ2, serta diberikan 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2, maka berlaku:
i. Jika 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 dan 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑦𝑛 = 𝑦 maka 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) = 𝑥 + 𝑦.
ii. Jika 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 dan 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑦𝑛 = 𝑦 maka 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑥 + 𝑦.
Ruang Quasi metrik ℝ𝟐
Pembahasan
Contoh 4.5. Barisan 𝑥𝑛 =1
𝑛
2+1
𝑛
adalah barisan dalam ruang quasi metrik ℝ2
yang konvergen ke 𝑥 = 02∈ ℝ2.
Contoh 4.6. Barisan 𝑦𝑛 =1
2𝑛
1+1
2𝑛
adalah barisan dalam ruang quasi metrik ℝ2
yang konvergen ke 𝑥 = 01∈ ℝ2.
Contoh 4.7. Dari contoh 4.5 dan 4.6 serta berdasarkan Teorema 4.4 maka barisan
*𝑥𝑛 + 𝑦𝑛+ = 3
2𝑛
3+3
2𝑛
konvergen ke
𝑥 + 𝑦 = 03∈ ℝ2.
Ruang Quasi metrik ℝ𝟐
Pembahasan
Teorema 4.8. Diberikan (ℝ2, 𝑑) adalah ruang quasi metrik. Misalkan (𝑥𝑛) adalah barisan dalam ruang quasi metrik ℝ2 dan (𝑡𝑛) adalah barisan bilangan real, maka berlaku:
i. Jika ∃𝑥 ∈ ℝ2 dan 𝑡 ∈ ℝ sedemikian hingga 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 dan 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑡𝑛 = 𝑡,
maka 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑡𝑛𝑥𝑛 = 𝑡𝑥 .
ii. Jika ∃𝑥 ∈ ℝ2 dan 𝑡 ∈ ℝ sedemikian hingga 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 dan 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑡𝑛 = 𝑡,
maka 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑡𝑛𝑥𝑛 = 𝑡𝑥.
Ruang Quasi metrik ℝ𝟐
Pembahasan
Teorema 4.9. Ruang quasi metrik ℝ2 adalah lengkap atas dan bawah.
Ruang Quasi metrik ℝ𝟐
Pembahasan
Konjugat Quasi Metrik pada ℝ𝟐
𝑑 𝑥, 𝑦 =
𝑥1 − 𝑦1 + 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1 ≥ 𝑦1 , 𝑥2 ≥ 𝑦2𝑥1 − 𝑦1 + 𝛼 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1 ≥ 𝑦1 , 𝑥2 < 𝑦2𝛼 𝑥1 − 𝑦1 + 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1 < 𝑦1 , 𝑥2 ≥ 𝑦2𝛼 𝑥1 − 𝑦1 + 𝛼 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1 < 𝑦1 , 𝑥2 < 𝑦2
Quasi metrik pada ℝ𝟐
Telah diketahui bahwa konjugat dari 𝑑 adalah 𝑑−1 𝑥, 𝑦 = 𝑑 𝑦, 𝑥 .
𝑑−1 𝑥, 𝑦 =
−𝛼 𝑥1 − 𝑦1 − 𝛼 𝑥2 − 𝑦2
−𝛼 𝑥1 − 𝑦1 − 𝑥2 − 𝑦2
− 𝑥1 − 𝑦1 − 𝛼 𝑥2 − 𝑦2
− 𝑥1 − 𝑦1 − 𝑥2 − 𝑦2
, 𝑥1 > 𝑦1 , 𝑥2 > 𝑦2
, 𝑥1 > 𝑦1 , 𝑥2 ≤ 𝑦2
, 𝑥1 ≤ 𝑦1 , 𝑥2 > 𝑦2
, 𝑥1 ≤ 𝑦1 , 𝑥2 ≤ 𝑦2
Ruang Quasi metrik ℝ𝟐
Pembahasan
Teorema 4.10. Untuk quasi metrik pada ℝ2 dapat didefinisikan konjugat quasi metrik 𝑑−1 ∶ ℝ2 × ℝ2 → ℝ dengan
𝑑−1 𝑥, 𝑦 = 𝑙𝑖 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖
2
𝑖=1
untuk setiap 𝑥 = 𝑥1𝑥2
, 𝑦 = 𝑦1𝑦2∈ ℝ2, 𝑙𝑖 suatu konstanta sedemikian hingga
𝑙𝑖 = −𝛼 untuk 𝑥𝑖 > 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1,2 dimana 𝛼 < −1 𝑙𝑖 = −1 untuk 𝑥𝑖 ≤ 𝑦𝑖, 𝑖 = 1,2 .
Ruang Quasi metrik ℝ𝟐
Pembahasan
Teorema 4.11. Diberikan (ℝ2, 𝑑) adalah ruang quasi metrik dan 𝑑−1 adalah konjugat dari quasi metrik 𝑑 , maka fungsi 𝜑 ∶ ℝ2 × ℝ2 → ℝ yang didefinisikan dengan
𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑚𝑎𝑥 *𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑−1 (𝑥, 𝑦)+ adalah metrik pada ℝ2.
Ruang Quasi metrik ℝ𝟐
Pembahasan
Teorema 4.12. Diberikan barisan 𝑥𝑛 dalam ℝ2 dan 𝑥 ∈ ℝ2. Barisan 𝑥𝑛 konvergen atas dan bawah ke 𝑥 dalam ruang quasi metrik ℝ2 jika dan hanya jika barisan 𝑥𝑛 konvergen ke 𝑥 dalam ruang Metrik ℝ2.
Keterkaitan Konvergensi Ruang Quasi Metrik ℝ𝟐 dengan Ruang Metrik ℝ𝟐
Ruang Quasi metrik ℝ𝟐
Kesimpulan
KESIMPULAN Pada pembahasan sebelumnya dilakukan konstruksi untuk mendapatkan quasi metrik pada ℝ2 beserta sifat-sifatnya, sehingga diperoleh kesimpulan bahwa, ℝ2 merupakan ruang quasi metrik lengkap atas dan bawah terhadap
𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑖 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖
2
𝑖=1
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2, 𝑘𝑖 suatu konstanta sedemikian hingga 𝑘𝑖 = 1 untuk 𝑥𝑖 ≥ 𝑦𝑖 , i=1,2 𝑘𝑖 = 𝛼 untuk 𝑥𝑖 < 𝑦𝑖 , i=1,2, dimana 𝛼 < −1, dan ℝ2 merupakan ruang metrik terhadap
𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑚𝑎𝑥 *𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑−1 (𝑥, 𝑦)+ dengan 𝑑−1 adalah konjugat dari 𝑑.
Kesimpulan
SARAN Terdapat beberapa saran yang diberikan untuk penelitian selanjutnya. Pada penelitian selanjutnya, pembahasan mengenai ruang quasi metrik dapat dilakukan pada ruang yang lainnya, tidak hanya pada ℝ2 . Pada penelitian selanjutnya, penjelasan mengenai quasi metrik dapat disertai dengan ilustrasi grafik atau gambar agar pengertian quasi metrik menjadi lebih jelas. Masih banyak sifat-sifat yang dapat diteliti pada penelitian selanjutnya seperti kekompakan, keterbatasan, atau sifat yang lainnya.
Kesimpulan
DAFTAR PUSTAKA
Bryan P.Rynne and Martin A Youngson . 2008. Linear Functional Analysis. Springer,SUMS. J. Gutiérrez García, S. Romaguera, J.M. Sánchez-Álvarez. 2011. Quasi-metrics and monotone normality. J. Topology and its Applications, Hal.2049-2055. Lawvere, F.W. 1973. Metric Space, Generalized logic, And Closed Categories. Conferenza tenuta il 30 marzo. Shao-ai chen, Wen li, Du zou, Shao-bai chen. 2007. Fixed Point Theorems in Quasi Metric Spaces. Proceedings of the Sixth International Conference on Machine Learning and Cybernetics. Hongkong.
[1]
[2]
[3]
[4]