Post on 07-Feb-2018
Basis Ortogonal, Basis Ortonormal,Proses Gram-Schmidt, dan Dekomposisi QR
Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016
MZI
Fakultas InformatikaTelkom University
FIF Tel-U
November 2015
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 1 / 52
Acknowledgements
Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:
1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.4 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan SitiAminah.
5 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukanuntuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Andamemiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirimemail ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 2 / 52
Bahasan
1 Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
2 Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
3 Proyeksi Ortogonal secara Umum
4 Proses Gram-Schmidt
5 Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 3 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Bahasan
1 Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
2 Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
3 Proyeksi Ortogonal secara Umum
4 Proses Gram-Schmidt
5 Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 4 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Definisi
Misalkan V adalah sebuah RHKD. Himpunan vektor S dikatakan himpunanortogonal apabila setiap sepasang vektor berbeda di S saling ortogonal, yaitu
〈~u,~v〉 = 0, ∀~u,~v ∈ S dengan ~u 6= ~v.
Selanjutnya himpunan ortogonal S juga dikatakan sebagai himpunan ortonormalapabila setiap vektor di S memiliki norm 1, yaitu
〈~u,~v〉 = 0, ∀~u,~v ∈ S dengan ~u 6= ~v dan
‖~u‖ =√〈~u, ~u〉 = 1, ∀~u ∈ S.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 5 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Latihan
Periksa apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan ortogonal, jikaya, periksa juga apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunanortonormal.
1 S = {(0, 0) , (1, 1) , (1,−1)} di R2 dengan HKD Euclid standar2 S =
{(1√2,− 1√
2
),(1√2, 1√
2
)}di R2 dengan HKD Euclid standar
3 S ={(1, 0, 0) ,
(0, 1√
2, 1√
2
),(0, 1√
2,− 1√
2
)}di R2 dengan HKD Euclid
standar
4 S =
{[1 00 0
],
[0 10 0
],
[0 01 0
],
[0 00 1
]}di M22 dengan HKD
Frobenius
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 6 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
1 S merupakan himpunan ortogonal karena (0, 0) · (1, 1) = 0,(0, 0) · (1,−1) = 0, dan (1, 1) · (1,−1) = 0. Namun S bukan himpunanortogonal karena ‖(0, 0)‖ = 0 6= 1.
2 S merupakan himpunan ortogonal karena(1√2,− 1√
2
)·(1√2, 1√
2
)= 0
serta∥∥∥( 1√
2,− 1√
2
)∥∥∥ = 1 dan ∥∥∥( 1√2, 1√
2
)∥∥∥ = 1.3 S merupakan himpunan ortogonal karena (1, 0, 0) ·
(0, 1√
2, 1√
2
)= 0,
(1, 0, 0) ·(0, 1√
2,− 1√
2
)= 0, dan
(0, 1√
2, 1√
2
)·(0, 1√
2,− 1√
2
)= 0.
Kemudian karena ‖(1, 0, 0)‖ =∥∥∥(0, 1√
2, 1√
2
)∥∥∥ = ∥∥∥(0, 1√2,− 1√
2
)∥∥∥ = 1, makaS juga himpunan ortonormal.
4 S merupakan himpunan dan himpunan ortonormal (tunjukkan!).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 7 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
1 S merupakan himpunan ortogonal karena (0, 0) · (1, 1) = 0,(0, 0) · (1,−1) = 0, dan (1, 1) · (1,−1) = 0.
Namun S bukan himpunanortogonal karena ‖(0, 0)‖ = 0 6= 1.
2 S merupakan himpunan ortogonal karena(1√2,− 1√
2
)·(1√2, 1√
2
)= 0
serta∥∥∥( 1√
2,− 1√
2
)∥∥∥ = 1 dan ∥∥∥( 1√2, 1√
2
)∥∥∥ = 1.3 S merupakan himpunan ortogonal karena (1, 0, 0) ·
(0, 1√
2, 1√
2
)= 0,
(1, 0, 0) ·(0, 1√
2,− 1√
2
)= 0, dan
(0, 1√
2, 1√
2
)·(0, 1√
2,− 1√
2
)= 0.
Kemudian karena ‖(1, 0, 0)‖ =∥∥∥(0, 1√
2, 1√
2
)∥∥∥ = ∥∥∥(0, 1√2,− 1√
2
)∥∥∥ = 1, makaS juga himpunan ortonormal.
4 S merupakan himpunan dan himpunan ortonormal (tunjukkan!).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 7 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
1 S merupakan himpunan ortogonal karena (0, 0) · (1, 1) = 0,(0, 0) · (1,−1) = 0, dan (1, 1) · (1,−1) = 0. Namun S bukan himpunanortogonal karena ‖(0, 0)‖ = 0 6= 1.
2 S merupakan himpunan ortogonal karena(1√2,− 1√
2
)·(1√2, 1√
2
)= 0
serta∥∥∥( 1√
2,− 1√
2
)∥∥∥ = 1 dan ∥∥∥( 1√2, 1√
2
)∥∥∥ = 1.3 S merupakan himpunan ortogonal karena (1, 0, 0) ·
(0, 1√
2, 1√
2
)= 0,
(1, 0, 0) ·(0, 1√
2,− 1√
2
)= 0, dan
(0, 1√
2, 1√
2
)·(0, 1√
2,− 1√
2
)= 0.
Kemudian karena ‖(1, 0, 0)‖ =∥∥∥(0, 1√
2, 1√
2
)∥∥∥ = ∥∥∥(0, 1√2,− 1√
2
)∥∥∥ = 1, makaS juga himpunan ortonormal.
4 S merupakan himpunan dan himpunan ortonormal (tunjukkan!).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 7 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
1 S merupakan himpunan ortogonal karena (0, 0) · (1, 1) = 0,(0, 0) · (1,−1) = 0, dan (1, 1) · (1,−1) = 0. Namun S bukan himpunanortogonal karena ‖(0, 0)‖ = 0 6= 1.
2 S merupakan himpunan ortogonal karena(1√2,− 1√
2
)·(1√2, 1√
2
)= 0
serta∥∥∥( 1√
2,− 1√
2
)∥∥∥ = 1 dan ∥∥∥( 1√2, 1√
2
)∥∥∥ = 1.
3 S merupakan himpunan ortogonal karena (1, 0, 0) ·(0, 1√
2, 1√
2
)= 0,
(1, 0, 0) ·(0, 1√
2,− 1√
2
)= 0, dan
(0, 1√
2, 1√
2
)·(0, 1√
2,− 1√
2
)= 0.
Kemudian karena ‖(1, 0, 0)‖ =∥∥∥(0, 1√
2, 1√
2
)∥∥∥ = ∥∥∥(0, 1√2,− 1√
2
)∥∥∥ = 1, makaS juga himpunan ortonormal.
4 S merupakan himpunan dan himpunan ortonormal (tunjukkan!).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 7 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
1 S merupakan himpunan ortogonal karena (0, 0) · (1, 1) = 0,(0, 0) · (1,−1) = 0, dan (1, 1) · (1,−1) = 0. Namun S bukan himpunanortogonal karena ‖(0, 0)‖ = 0 6= 1.
2 S merupakan himpunan ortogonal karena(1√2,− 1√
2
)·(1√2, 1√
2
)= 0
serta∥∥∥( 1√
2,− 1√
2
)∥∥∥ = 1 dan ∥∥∥( 1√2, 1√
2
)∥∥∥ = 1.3 S merupakan himpunan ortogonal karena (1, 0, 0) ·
(0, 1√
2, 1√
2
)= 0,
(1, 0, 0) ·(0, 1√
2,− 1√
2
)= 0, dan
(0, 1√
2, 1√
2
)·(0, 1√
2,− 1√
2
)= 0.
Kemudian karena ‖(1, 0, 0)‖ =∥∥∥(0, 1√
2, 1√
2
)∥∥∥ = ∥∥∥(0, 1√2,− 1√
2
)∥∥∥ = 1, makaS juga himpunan ortonormal.
4 S merupakan himpunan dan himpunan ortonormal (tunjukkan!).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 7 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
1 S merupakan himpunan ortogonal karena (0, 0) · (1, 1) = 0,(0, 0) · (1,−1) = 0, dan (1, 1) · (1,−1) = 0. Namun S bukan himpunanortogonal karena ‖(0, 0)‖ = 0 6= 1.
2 S merupakan himpunan ortogonal karena(1√2,− 1√
2
)·(1√2, 1√
2
)= 0
serta∥∥∥( 1√
2,− 1√
2
)∥∥∥ = 1 dan ∥∥∥( 1√2, 1√
2
)∥∥∥ = 1.3 S merupakan himpunan ortogonal karena (1, 0, 0) ·
(0, 1√
2, 1√
2
)= 0,
(1, 0, 0) ·(0, 1√
2,− 1√
2
)= 0, dan
(0, 1√
2, 1√
2
)·(0, 1√
2,− 1√
2
)= 0.
Kemudian karena ‖(1, 0, 0)‖ =∥∥∥(0, 1√
2, 1√
2
)∥∥∥ = ∥∥∥(0, 1√2,− 1√
2
)∥∥∥ = 1, makaS juga himpunan ortonormal.
4 S merupakan himpunan dan himpunan ortonormal (tunjukkan!).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 7 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Konstruksi Himpunan Ortonormal dan HimpunanOrtogonal
Permasalahan
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S ⊆ V adalah sebuah himpunan ortogonal,apakah kita selalu dapat mengkonstruksi himpunan S′ dari S yang bersifatortonormal?
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. Periksa apakahS = {~u1, ~u2, ~u3} dengan ~u1 = (0, 1, 0), ~u2 = (1, 0, 1), dan ~u3 = (1, 0,−1)merupakan himpunan ortogonal? Jika ya, apakah S himpunan ortonormal? Jikatidak, dapatkah kita mengkonstruksi suatu himpunan ortonormal dari S?
Selanjutnya periksa apakah T = {~v1, ~v2, ~v3} dengan ~v1 = (0, 0, 0), ~v2 = (0, 2, 0),dan ~v3 = (0, 0, 2) merupakan himpunan ortogonal? Jika ya, apakah T himpunanortonormal? Jika tidak, dapatkah kita mengkonstruksi suatu himpunan ortonormaldari T?
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 8 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Konstruksi Himpunan Ortonormal dan HimpunanOrtogonal
Permasalahan
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S ⊆ V adalah sebuah himpunan ortogonal,apakah kita selalu dapat mengkonstruksi himpunan S′ dari S yang bersifatortonormal?
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. Periksa apakahS = {~u1, ~u2, ~u3} dengan ~u1 = (0, 1, 0), ~u2 = (1, 0, 1), dan ~u3 = (1, 0,−1)merupakan himpunan ortogonal? Jika ya, apakah S himpunan ortonormal? Jikatidak, dapatkah kita mengkonstruksi suatu himpunan ortonormal dari S?
Selanjutnya periksa apakah T = {~v1, ~v2, ~v3} dengan ~v1 = (0, 0, 0), ~v2 = (0, 2, 0),dan ~v3 = (0, 0, 2) merupakan himpunan ortogonal? Jika ya, apakah T himpunanortonormal? Jika tidak, dapatkah kita mengkonstruksi suatu himpunan ortonormaldari T?
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 8 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Konstruksi Himpunan Ortonormal dan HimpunanOrtogonal
Permasalahan
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S ⊆ V adalah sebuah himpunan ortogonal,apakah kita selalu dapat mengkonstruksi himpunan S′ dari S yang bersifatortonormal?
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. Periksa apakahS = {~u1, ~u2, ~u3} dengan ~u1 = (0, 1, 0), ~u2 = (1, 0, 1), dan ~u3 = (1, 0,−1)merupakan himpunan ortogonal? Jika ya, apakah S himpunan ortonormal? Jikatidak, dapatkah kita mengkonstruksi suatu himpunan ortonormal dari S?
Selanjutnya periksa apakah T = {~v1, ~v2, ~v3} dengan ~v1 = (0, 0, 0), ~v2 = (0, 2, 0),dan ~v3 = (0, 0, 2) merupakan himpunan ortogonal? Jika ya, apakah T himpunanortonormal? Jika tidak, dapatkah kita mengkonstruksi suatu himpunan ortonormaldari T?
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 8 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi:
Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 · ~u2 = 0, ~u1 · ~u3 = 0, dan~u2 · ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal. Akan tetapi S bukan himpunanortonormal karena ‖~u2‖ = ‖~u3‖ =
√2. Kita dapat mengkonstruksi himpunan
ortonormal S′ dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnyamasing-masing sehingga diperoleh himpunan ortonormal
S′ ={(0, 1, 0) ,
(1√2, 0 1√
2
),(1√2, 0,− 1√
2
)}.
Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 · ~v2 = 0, ~v1 · ~v3 = 0, dan~v2 · ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunanortonormal karena ‖~v1‖ = 0. Kita dapat mengkonstruksi himpunan ortonormal T ′dari T dengan cara membuang vektor nol ~v1 dan membagi setiap vektor pada Tyang tak nol dengan normnya masing-masing sehingga diperoleh himpunanortonormal T ′ = {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 9 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 · ~u2 = 0, ~u1 · ~u3 = 0, dan~u2 · ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal. Akan tetapi S bukan himpunanortonormal karena ‖~u2‖ = ‖~u3‖ =
√2.
Kita dapat mengkonstruksi himpunanortonormal S′ dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnyamasing-masing sehingga diperoleh himpunan ortonormal
S′ ={(0, 1, 0) ,
(1√2, 0 1√
2
),(1√2, 0,− 1√
2
)}.
Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 · ~v2 = 0, ~v1 · ~v3 = 0, dan~v2 · ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunanortonormal karena ‖~v1‖ = 0. Kita dapat mengkonstruksi himpunan ortonormal T ′dari T dengan cara membuang vektor nol ~v1 dan membagi setiap vektor pada Tyang tak nol dengan normnya masing-masing sehingga diperoleh himpunanortonormal T ′ = {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 9 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 · ~u2 = 0, ~u1 · ~u3 = 0, dan~u2 · ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal. Akan tetapi S bukan himpunanortonormal karena ‖~u2‖ = ‖~u3‖ =
√2. Kita dapat mengkonstruksi himpunan
ortonormal S′ dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnyamasing-masing sehingga diperoleh himpunan ortonormal
S′ =
{(0, 1, 0) ,
(1√2, 0 1√
2
),(1√2, 0,− 1√
2
)}.
Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 · ~v2 = 0, ~v1 · ~v3 = 0, dan~v2 · ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunanortonormal karena ‖~v1‖ = 0. Kita dapat mengkonstruksi himpunan ortonormal T ′dari T dengan cara membuang vektor nol ~v1 dan membagi setiap vektor pada Tyang tak nol dengan normnya masing-masing sehingga diperoleh himpunanortonormal T ′ = {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 9 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 · ~u2 = 0, ~u1 · ~u3 = 0, dan~u2 · ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal. Akan tetapi S bukan himpunanortonormal karena ‖~u2‖ = ‖~u3‖ =
√2. Kita dapat mengkonstruksi himpunan
ortonormal S′ dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnyamasing-masing sehingga diperoleh himpunan ortonormal
S′ ={(0, 1, 0) ,
(1√2, 0 1√
2
),(1√2, 0,− 1√
2
)}.
Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 · ~v2 = 0, ~v1 · ~v3 = 0, dan~v2 · ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunanortonormal karena ‖~v1‖ = 0. Kita dapat mengkonstruksi himpunan ortonormal T ′dari T dengan cara membuang vektor nol ~v1 dan membagi setiap vektor pada Tyang tak nol dengan normnya masing-masing sehingga diperoleh himpunanortonormal T ′ = {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 9 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 · ~u2 = 0, ~u1 · ~u3 = 0, dan~u2 · ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal. Akan tetapi S bukan himpunanortonormal karena ‖~u2‖ = ‖~u3‖ =
√2. Kita dapat mengkonstruksi himpunan
ortonormal S′ dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnyamasing-masing sehingga diperoleh himpunan ortonormal
S′ ={(0, 1, 0) ,
(1√2, 0 1√
2
),(1√2, 0,− 1√
2
)}.
Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 · ~v2 = 0, ~v1 · ~v3 = 0, dan~v2 · ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunanortonormal karena ‖~v1‖ = 0.
Kita dapat mengkonstruksi himpunan ortonormal T ′
dari T dengan cara membuang vektor nol ~v1 dan membagi setiap vektor pada Tyang tak nol dengan normnya masing-masing sehingga diperoleh himpunanortonormal T ′ = {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 9 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 · ~u2 = 0, ~u1 · ~u3 = 0, dan~u2 · ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal. Akan tetapi S bukan himpunanortonormal karena ‖~u2‖ = ‖~u3‖ =
√2. Kita dapat mengkonstruksi himpunan
ortonormal S′ dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnyamasing-masing sehingga diperoleh himpunan ortonormal
S′ ={(0, 1, 0) ,
(1√2, 0 1√
2
),(1√2, 0,− 1√
2
)}.
Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 · ~v2 = 0, ~v1 · ~v3 = 0, dan~v2 · ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunanortonormal karena ‖~v1‖ = 0. Kita dapat mengkonstruksi himpunan ortonormal T ′dari T dengan cara membuang vektor nol ~v1 dan membagi setiap vektor pada Tyang tak nol dengan normnya masing-masing sehingga diperoleh himpunanortonormal T ′ =
{(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 9 / 52
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa pada S kita memiliki ~u1 · ~u2 = 0, ~u1 · ~u3 = 0, dan~u2 · ~u3 = 0. Jadi S himpunan ortogonal. Akan tetapi S bukan himpunanortonormal karena ‖~u2‖ = ‖~u3‖ =
√2. Kita dapat mengkonstruksi himpunan
ortonormal S′ dari S dengan cara membagi setiap vektor pada S dengan normnyamasing-masing sehingga diperoleh himpunan ortonormal
S′ ={(0, 1, 0) ,
(1√2, 0 1√
2
),(1√2, 0,− 1√
2
)}.
Selanjutnya perhatikan bahwa pada T kita memiliki ~v1 · ~v2 = 0, ~v1 · ~v3 = 0, dan~v2 · ~v3 = 0. Jadi T himpunan ortogonal. Akan tetapi T bukan himpunanortonormal karena ‖~v1‖ = 0. Kita dapat mengkonstruksi himpunan ortonormal T ′dari T dengan cara membuang vektor nol ~v1 dan membagi setiap vektor pada Tyang tak nol dengan normnya masing-masing sehingga diperoleh himpunanortonormal T ′ = {(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 9 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Bahasan
1 Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
2 Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
3 Proyeksi Ortogonal secara Umum
4 Proses Gram-Schmidt
5 Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 10 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Keterkaitan Antara Ortogonal dan Bebas Linier
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S = {~v1, ~v2, . . . , ~vk} adalah himpunan kbuah vektor di V . Jika S ortogonal dan tidak memuat vektor nol, maka S bebaslinier.
Bukti
Pandang kombinasi linier
α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk = ~0. (1)
Misalkan ~vj ∈ S dengan 1 ≤ j ≤ k, kita mempunyai
〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk〉 =⟨~vj ,~0
⟩= 0
yang setara dengan
〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αk~vk, ~vj〉 = 0
α1 〈~v1, ~v1〉+ α2 〈~v2, ~v2〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αk 〈~vk, ~vk〉 = 0 (2)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 11 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Keterkaitan Antara Ortogonal dan Bebas Linier
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S = {~v1, ~v2, . . . , ~vk} adalah himpunan kbuah vektor di V . Jika S ortogonal dan tidak memuat vektor nol, maka S bebaslinier.
Bukti
Pandang kombinasi linier
α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk = ~0. (1)
Misalkan ~vj ∈ S dengan 1 ≤ j ≤ k, kita mempunyai
〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk〉 =⟨~vj ,~0
⟩= 0
yang setara dengan
〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αk~vk, ~vj〉 = 0
α1 〈~v1, ~v1〉+ α2 〈~v2, ~v2〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αk 〈~vk, ~vk〉 = 0 (2)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 11 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Keterkaitan Antara Ortogonal dan Bebas Linier
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S = {~v1, ~v2, . . . , ~vk} adalah himpunan kbuah vektor di V . Jika S ortogonal dan tidak memuat vektor nol, maka S bebaslinier.
Bukti
Pandang kombinasi linier
α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk = ~0. (1)
Misalkan ~vj ∈ S dengan 1 ≤ j ≤ k, kita mempunyai
〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk〉 =⟨~vj ,~0
⟩= 0
yang setara dengan
〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αk~vk, ~vj〉 = 0
α1 〈~v1, ~v1〉+ α2 〈~v2, ~v2〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αk 〈~vk, ~vk〉 = 0 (2)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 11 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Keterkaitan Antara Ortogonal dan Bebas Linier
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD dan S = {~v1, ~v2, . . . , ~vk} adalah himpunan kbuah vektor di V . Jika S ortogonal dan tidak memuat vektor nol, maka S bebaslinier.
Bukti
Pandang kombinasi linier
α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk = ~0. (1)
Misalkan ~vj ∈ S dengan 1 ≤ j ≤ k, kita mempunyai
〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αk~vk〉 =⟨~vj ,~0
⟩= 0
yang setara dengan
〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αk~vk, ~vj〉 = 0
α1 〈~v1, ~v1〉+ α2 〈~v2, ~v2〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αk 〈~vk, ~vk〉 = 0 (2)MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 11 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena S ortogonal dan tidak memuat vektor nol kita memiliki
〈~vi, ~vj〉{= 0, jika i 6= j6= 0, jika i = j
, ∀i, j dengan 1 ≤ i, j ≤ k.
Akibatnya ekspresi (2) memberikan
αj 〈~vj , ~vj〉 = 0 ⇔ αj = 0
untuk setiap j dengan 1 ≤ j ≤ k. Karena nilai j dapat sembarang dan 1 ≤ j ≤ k,kita dapat menyimpulkan bahwa satu-satunya nilai α1, α2, . . . , αk yangmengakibatkan ekspresi (1) terpenuhi adalah α1 = α2 = · · · = αk = 0. Dengandemikian S bebas linier.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 12 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena S ortogonal dan tidak memuat vektor nol kita memiliki
〈~vi, ~vj〉{= 0, jika i 6= j6= 0, jika i = j
, ∀i, j dengan 1 ≤ i, j ≤ k.
Akibatnya ekspresi (2) memberikan
αj 〈~vj , ~vj〉 = 0 ⇔ αj = 0
untuk setiap j dengan 1 ≤ j ≤ k.
Karena nilai j dapat sembarang dan 1 ≤ j ≤ k,kita dapat menyimpulkan bahwa satu-satunya nilai α1, α2, . . . , αk yangmengakibatkan ekspresi (1) terpenuhi adalah α1 = α2 = · · · = αk = 0. Dengandemikian S bebas linier.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 12 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena S ortogonal dan tidak memuat vektor nol kita memiliki
〈~vi, ~vj〉{= 0, jika i 6= j6= 0, jika i = j
, ∀i, j dengan 1 ≤ i, j ≤ k.
Akibatnya ekspresi (2) memberikan
αj 〈~vj , ~vj〉 = 0 ⇔ αj = 0
untuk setiap j dengan 1 ≤ j ≤ k. Karena nilai j dapat sembarang dan 1 ≤ j ≤ k,kita dapat menyimpulkan bahwa satu-satunya nilai α1, α2, . . . , αk yangmengakibatkan ekspresi (1) terpenuhi adalah α1 = α2 = · · · = αk = 0. Dengandemikian S bebas linier.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 12 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Definisi
Misalkan V adalah sebuah RHKD. Sebuah basis B bagi V dikatakan basisortogonal apabila B adalah himpunan ortogonal. Lebih jauh jika setiap vektorpada B memiliki norm 1, maka B dikatakan basis ortonormal.
Dengan perkataan lain:
1 Basis ortogonal adalah basis yang berupa himpunan ortogonal.2 Basis ortonormal adalah basis yang berupa himpunan ortonormal.
Contoh
Pada R3 yang dilengkapi HKD Euclid standar, B ={ı̂, ̂, k̂
}adalah basis
ortonormal. Lebih jauh pada Rn yang dilengkapi HKD Euclid standar,B = {~e1, ~e2, . . . , ~en} adalah basis ortonormal.
Latihan
Periksa apakah B ={(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
),(35 , 0,
45
)}merupakan basis ortonormal
untuk R3.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 13 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Definisi
Misalkan V adalah sebuah RHKD. Sebuah basis B bagi V dikatakan basisortogonal apabila B adalah himpunan ortogonal. Lebih jauh jika setiap vektorpada B memiliki norm 1, maka B dikatakan basis ortonormal.
Dengan perkataan lain:1 Basis ortogonal adalah basis yang berupa himpunan ortogonal.
2 Basis ortonormal adalah basis yang berupa himpunan ortonormal.
Contoh
Pada R3 yang dilengkapi HKD Euclid standar, B ={ı̂, ̂, k̂
}adalah basis
ortonormal. Lebih jauh pada Rn yang dilengkapi HKD Euclid standar,B = {~e1, ~e2, . . . , ~en} adalah basis ortonormal.
Latihan
Periksa apakah B ={(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
),(35 , 0,
45
)}merupakan basis ortonormal
untuk R3.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 13 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Definisi
Misalkan V adalah sebuah RHKD. Sebuah basis B bagi V dikatakan basisortogonal apabila B adalah himpunan ortogonal. Lebih jauh jika setiap vektorpada B memiliki norm 1, maka B dikatakan basis ortonormal.
Dengan perkataan lain:1 Basis ortogonal adalah basis yang berupa himpunan ortogonal.2 Basis ortonormal adalah basis yang berupa himpunan ortonormal.
Contoh
Pada R3 yang dilengkapi HKD Euclid standar, B ={ı̂, ̂, k̂
}adalah basis
ortonormal. Lebih jauh pada Rn yang dilengkapi HKD Euclid standar,B = {~e1, ~e2, . . . , ~en} adalah basis ortonormal.
Latihan
Periksa apakah B ={(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
),(35 , 0,
45
)}merupakan basis ortonormal
untuk R3.MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 13 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa{(− 45 , 0,
35
),(35 , 0,
45
)}bebas linier pada bidang xz.
Selanjutnya karena (0, 1, 0) tidak berada di bidang xz, kita dapat menyimpulkanbahwa B bebas linier. Karena |B| = 3 = dim
(R3), maka B adalah basis bagi R3.
Selanjutnya tinjau bahwa
(0, 1, 0) ·(−45, 0,
3
5
)= 0
(0, 1, 0) ·(3
5, 0,
4
5
)= 0(
−45, 0,
3
5
)·(3
5, 0,
4
5
)= 0
Jadi B adalah basis ortogonal bagi R3. Kemudian, tinjau juga bahwa
‖(0, 1, 0)‖ = 1,∥∥∥∥(−45 , 0, 35
)∥∥∥∥ = 1, dan ∥∥∥∥(35 , 0, 45)∥∥∥∥ = 1,
jadi B adalah basis ortonormal bagi R3.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 14 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa{(− 45 , 0,
35
),(35 , 0,
45
)}bebas linier pada bidang xz.
Selanjutnya karena (0, 1, 0) tidak berada di bidang xz, kita dapat menyimpulkanbahwa B bebas linier. Karena |B| = 3 = dim
(R3), maka B adalah basis bagi R3.
Selanjutnya tinjau bahwa
(0, 1, 0) ·(−45, 0,
3
5
)= 0
(0, 1, 0) ·(3
5, 0,
4
5
)= 0(
−45, 0,
3
5
)·(3
5, 0,
4
5
)= 0
Jadi B adalah basis ortogonal bagi R3. Kemudian, tinjau juga bahwa
‖(0, 1, 0)‖ = 1,∥∥∥∥(−45 , 0, 35
)∥∥∥∥ = 1, dan ∥∥∥∥(35 , 0, 45)∥∥∥∥ = 1,
jadi B adalah basis ortonormal bagi R3.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 14 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Solusi: Perhatikan bahwa{(− 45 , 0,
35
),(35 , 0,
45
)}bebas linier pada bidang xz.
Selanjutnya karena (0, 1, 0) tidak berada di bidang xz, kita dapat menyimpulkanbahwa B bebas linier. Karena |B| = 3 = dim
(R3), maka B adalah basis bagi R3.
Selanjutnya tinjau bahwa
(0, 1, 0) ·(−45, 0,
3
5
)= 0
(0, 1, 0) ·(3
5, 0,
4
5
)= 0(
−45, 0,
3
5
)·(3
5, 0,
4
5
)= 0
Jadi B adalah basis ortogonal bagi R3. Kemudian, tinjau juga bahwa
‖(0, 1, 0)‖ = 1,∥∥∥∥(−45 , 0, 35
)∥∥∥∥ = 1, dan ∥∥∥∥(35 , 0, 45)∥∥∥∥ = 1,
jadi B adalah basis ortonormal bagi R3.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 14 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Koordinat Relatif terhadap Basis Ortogonal
Permasalahan
Himpunan B = {(0, 1, 0) , (1, 0, 1) , (1, 0,−1)} merupakan basis ortogonal bagiR3. Tentukan (1, 2, 3)B .
Kita dapat menjawab permasalahan di atas dengan menyatakan (1, 2, 3) dalamkombinasi linier dari vektor-vektor pada B. Namun, kita dapat melakukannyadengan cara lain dengan meninjau teorema berikut.
Teorema
Misalkan V adalah RHKD berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah basisortogonal bagi V . Untuk sembarang ~u ∈ V kita memiliki
(~u)B =
(〈~u,~v1〉‖~v1‖2
,〈~u,~v2〉‖~v2‖2
, . . . ,〈~u,~vn〉‖~vn‖2
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 15 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Bukti
Misalkan (~u)B = (α1, α2, . . . , αn), ini berarti
~u =
α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn
dengan αj ∈ R untuk setiap 1 ≤ j ≤ n. Kita akan menunjukkan bahwa
αj =〈~u,~vj〉‖~vj‖2
untuk setiap 1 ≤ j ≤ n.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 16 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Bukti
Misalkan (~u)B = (α1, α2, . . . , αn), ini berarti
~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn
dengan αj ∈ R untuk setiap 1 ≤ j ≤ n. Kita akan menunjukkan bahwa
αj =
〈~u,~vj〉‖~vj‖2
untuk setiap 1 ≤ j ≤ n.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 16 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Bukti
Misalkan (~u)B = (α1, α2, . . . , αn), ini berarti
~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn
dengan αj ∈ R untuk setiap 1 ≤ j ≤ n. Kita akan menunjukkan bahwa
αj =〈~u,~vj〉‖~vj‖2
untuk setiap 1 ≤ j ≤ n.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 16 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena ~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn, maka untuk sembarang ~vj ∈ B dengan1 ≤ j ≤ n kita memiliki
〈~vj , ~u〉 =
〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn〉= 〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αn~vn, ~vj〉= α1 〈~v1, ~vj〉+ α2 〈~v2, ~vj〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αn 〈~vn, ~vj〉 (3)
Karena B adalah basis ortogonal kita mempunyai
〈~vi, ~vj〉{= 0, jika i 6= j6= 0, jika i = j
Akibatnya ekspresi (3) memberikan
〈~vj , ~u〉 = αj 〈~vj , ~vj〉 atau
αj =〈~vj , ~u〉‖~vj‖2
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 17 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena ~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn, maka untuk sembarang ~vj ∈ B dengan1 ≤ j ≤ n kita memiliki
〈~vj , ~u〉 = 〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn〉=
〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αn~vn, ~vj〉= α1 〈~v1, ~vj〉+ α2 〈~v2, ~vj〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αn 〈~vn, ~vj〉 (3)
Karena B adalah basis ortogonal kita mempunyai
〈~vi, ~vj〉{= 0, jika i 6= j6= 0, jika i = j
Akibatnya ekspresi (3) memberikan
〈~vj , ~u〉 = αj 〈~vj , ~vj〉 atau
αj =〈~vj , ~u〉‖~vj‖2
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 17 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena ~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn, maka untuk sembarang ~vj ∈ B dengan1 ≤ j ≤ n kita memiliki
〈~vj , ~u〉 = 〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn〉= 〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αn~vn, ~vj〉= α1 〈~v1, ~vj〉+ α2 〈~v2, ~vj〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αn 〈~vn, ~vj〉 (3)
Karena B adalah basis ortogonal kita mempunyai
〈~vi, ~vj〉{= 0, jika i 6= j6= 0, jika i = j
Akibatnya ekspresi (3) memberikan
〈~vj , ~u〉 = αj 〈~vj , ~vj〉 atau
αj =〈~vj , ~u〉‖~vj‖2
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 17 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena ~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn, maka untuk sembarang ~vj ∈ B dengan1 ≤ j ≤ n kita memiliki
〈~vj , ~u〉 = 〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn〉= 〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αn~vn, ~vj〉= α1 〈~v1, ~vj〉+ α2 〈~v2, ~vj〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αn 〈~vn, ~vj〉 (3)
Karena B adalah basis ortogonal kita mempunyai
〈~vi, ~vj〉{= 0, jika i 6= j6= 0, jika i = j
Akibatnya ekspresi (3) memberikan
〈~vj , ~u〉 = αj 〈~vj , ~vj〉 atau
αj =〈~vj , ~u〉‖~vj‖2
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 17 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Karena ~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn, maka untuk sembarang ~vj ∈ B dengan1 ≤ j ≤ n kita memiliki
〈~vj , ~u〉 = 〈~vj , α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn〉= 〈α1~v1, ~vj〉+ 〈α2~v2, ~vj〉+ · · ·+ 〈αj~vj , ~vj〉+ · · ·+ 〈αn~vn, ~vj〉= α1 〈~v1, ~vj〉+ α2 〈~v2, ~vj〉+ · · ·+ αj 〈~vj , ~vj〉+ · · ·+ αn 〈~vn, ~vj〉 (3)
Karena B adalah basis ortogonal kita mempunyai
〈~vi, ~vj〉{= 0, jika i 6= j6= 0, jika i = j
Akibatnya ekspresi (3) memberikan
〈~vj , ~u〉 = αj 〈~vj , ~vj〉 atau
αj =〈~vj , ~u〉‖~vj‖2
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 17 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Dengan demikian
jika ~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn maka
~u =〈~v1, ~u〉‖~v1‖2
~v1 +〈~v2, ~u〉‖~v2‖2
~v2 + · · ·+〈~vn, ~u〉‖~vn‖2
~vn.
Jadi jika ~u adalah basis ortogonal bagi V , maka
(~u)B =
(〈~u,~v1〉‖~v1‖2
,〈~u,~v2〉‖~v2‖2
, . . . ,〈~u,~vn〉‖~vn‖2
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 18 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Dengan demikian
jika ~u = α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn maka
~u =〈~v1, ~u〉‖~v1‖2
~v1 +〈~v2, ~u〉‖~v2‖2
~v2 + · · ·+〈~vn, ~u〉‖~vn‖2
~vn.
Jadi jika ~u adalah basis ortogonal bagi V , maka
(~u)B =
(〈~u,~v1〉‖~v1‖2
,〈~u,~v2〉‖~v2‖2
, . . . ,〈~u,~vn〉‖~vn‖2
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 18 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Latihan
Diberikan himpunan B = {(0, 1, 0) , (1, 0, 1) , (1, 0,−1)} yang merupakan basisbagi R3. Tentukan (1, 2, 3)B .
Misalkan (1, 2, 3)B = (a, b, c), maka
a =(1, 2, 3) · (0, 1, 0)‖(0, 1, 0)‖2
= 2
b =(1, 2, 3) · (1, 0, 1)‖(1, 0, 1)‖2
= 2
c =(1, 2, 3) · (1, 0,−1)‖(1, 0,−1)‖2
= −1.
Jadi (1, 2, 3)B = (2, 2,−1). Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) + 2 (1, 0, 1)− 1 (1, 0,−1).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 19 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Latihan
Diberikan himpunan B = {(0, 1, 0) , (1, 0, 1) , (1, 0,−1)} yang merupakan basisbagi R3. Tentukan (1, 2, 3)B .
Misalkan (1, 2, 3)B = (a, b, c), maka
a =
(1, 2, 3) · (0, 1, 0)‖(0, 1, 0)‖2
= 2
b =(1, 2, 3) · (1, 0, 1)‖(1, 0, 1)‖2
= 2
c =(1, 2, 3) · (1, 0,−1)‖(1, 0,−1)‖2
= −1.
Jadi (1, 2, 3)B = (2, 2,−1). Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) + 2 (1, 0, 1)− 1 (1, 0,−1).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 19 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Latihan
Diberikan himpunan B = {(0, 1, 0) , (1, 0, 1) , (1, 0,−1)} yang merupakan basisbagi R3. Tentukan (1, 2, 3)B .
Misalkan (1, 2, 3)B = (a, b, c), maka
a =(1, 2, 3) · (0, 1, 0)‖(0, 1, 0)‖2
= 2
b =
(1, 2, 3) · (1, 0, 1)‖(1, 0, 1)‖2
= 2
c =(1, 2, 3) · (1, 0,−1)‖(1, 0,−1)‖2
= −1.
Jadi (1, 2, 3)B = (2, 2,−1). Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) + 2 (1, 0, 1)− 1 (1, 0,−1).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 19 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Latihan
Diberikan himpunan B = {(0, 1, 0) , (1, 0, 1) , (1, 0,−1)} yang merupakan basisbagi R3. Tentukan (1, 2, 3)B .
Misalkan (1, 2, 3)B = (a, b, c), maka
a =(1, 2, 3) · (0, 1, 0)‖(0, 1, 0)‖2
= 2
b =(1, 2, 3) · (1, 0, 1)‖(1, 0, 1)‖2
= 2
c =
(1, 2, 3) · (1, 0,−1)‖(1, 0,−1)‖2
= −1.
Jadi (1, 2, 3)B = (2, 2,−1). Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) + 2 (1, 0, 1)− 1 (1, 0,−1).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 19 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Latihan
Diberikan himpunan B = {(0, 1, 0) , (1, 0, 1) , (1, 0,−1)} yang merupakan basisbagi R3. Tentukan (1, 2, 3)B .
Misalkan (1, 2, 3)B = (a, b, c), maka
a =(1, 2, 3) · (0, 1, 0)‖(0, 1, 0)‖2
= 2
b =(1, 2, 3) · (1, 0, 1)‖(1, 0, 1)‖2
= 2
c =(1, 2, 3) · (1, 0,−1)‖(1, 0,−1)‖2
= −1.
Jadi (1, 2, 3)B = (2, 2,−1).
Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) + 2 (1, 0, 1)− 1 (1, 0,−1).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 19 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Latihan
Diberikan himpunan B = {(0, 1, 0) , (1, 0, 1) , (1, 0,−1)} yang merupakan basisbagi R3. Tentukan (1, 2, 3)B .
Misalkan (1, 2, 3)B = (a, b, c), maka
a =(1, 2, 3) · (0, 1, 0)‖(0, 1, 0)‖2
= 2
b =(1, 2, 3) · (1, 0, 1)‖(1, 0, 1)‖2
= 2
c =(1, 2, 3) · (1, 0,−1)‖(1, 0,−1)‖2
= −1.
Jadi (1, 2, 3)B = (2, 2,−1). Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) + 2 (1, 0, 1)− 1 (1, 0,−1).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 19 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Koordinat Relatif terhadap Basis Ortonormal
Permasalahan
Himpunan B ={(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
),(35 , 0,
45
)}merupakan basis ortonormal bagi
R3. Tentukan (1, 2, 3)B .
Dari teorema sebelumnya kita memiliki akibat berikut.
Akibat
Misalkan V adalah RHKD berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah basisortonormal bagi V . Untuk sembarang ~u ∈ V kita memiliki
(~u)B = (〈~u,~v1〉 , 〈~u,~v2〉 , . . . , 〈~u,~vn〉) .
Bukti
Basis ortonormal merupakan basis ortogonal yang setiap vektor basisnya memilikinorm 1.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 20 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Dengan demikian untuk B ={(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
),(35 , 0,
45
)}, kita dapat
menghitung (1, 2, 3)B = (a, b, c) dengan cara berikut
a =
(1, 2, 3) · (0, 1, 0) = 2
b = (1, 2, 3) ·(−45, 0,
3
5
)= 1
c = (1, 2, 3) ·(3
5, 0,
4
5
)= 3
Jadi (1, 2, 3)B = (2, 1, 3). Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) +
(− 45 , 0,
35
)+ 3
(35 , 0,
45
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 21 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Dengan demikian untuk B ={(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
),(35 , 0,
45
)}, kita dapat
menghitung (1, 2, 3)B = (a, b, c) dengan cara berikut
a = (1, 2, 3) · (0, 1, 0) = 2
b =
(1, 2, 3) ·(−45, 0,
3
5
)= 1
c = (1, 2, 3) ·(3
5, 0,
4
5
)= 3
Jadi (1, 2, 3)B = (2, 1, 3). Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) +
(− 45 , 0,
35
)+ 3
(35 , 0,
45
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 21 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Dengan demikian untuk B ={(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
),(35 , 0,
45
)}, kita dapat
menghitung (1, 2, 3)B = (a, b, c) dengan cara berikut
a = (1, 2, 3) · (0, 1, 0) = 2
b = (1, 2, 3) ·(−45, 0,
3
5
)= 1
c =
(1, 2, 3) ·(3
5, 0,
4
5
)= 3
Jadi (1, 2, 3)B = (2, 1, 3). Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) +
(− 45 , 0,
35
)+ 3
(35 , 0,
45
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 21 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Dengan demikian untuk B ={(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
),(35 , 0,
45
)}, kita dapat
menghitung (1, 2, 3)B = (a, b, c) dengan cara berikut
a = (1, 2, 3) · (0, 1, 0) = 2
b = (1, 2, 3) ·(−45, 0,
3
5
)= 1
c = (1, 2, 3) ·(3
5, 0,
4
5
)= 3
Jadi (1, 2, 3)B = (2, 1, 3).
Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) +
(− 45 , 0,
35
)+ 3
(35 , 0,
45
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 21 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Dengan demikian untuk B ={(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
),(35 , 0,
45
)}, kita dapat
menghitung (1, 2, 3)B = (a, b, c) dengan cara berikut
a = (1, 2, 3) · (0, 1, 0) = 2
b = (1, 2, 3) ·(−45, 0,
3
5
)= 1
c = (1, 2, 3) ·(3
5, 0,
4
5
)= 3
Jadi (1, 2, 3)B = (2, 1, 3). Tinjau pula bahwa(1, 2, 3) = 2 (0, 1, 0) +
(− 45 , 0,
35
)+ 3
(35 , 0,
45
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 21 / 52
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Sifat Penting terkait Basis Ortonormal
Teorema
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = {~q1, ~q2, . . . , ~qn} adalahbasis ortonormal bagi V . Misalkan ~u,~v ∈ V dengan
(~u)B = (u1, u2, . . . , un)
(~v)B = (v1, v2, . . . , vn) ,
maka
1 ‖~u‖ =√u21 + u
22 + · · ·+ u2n
2 d (~u,~v) =
√(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + · · ·+ (un − vn)2
3 〈~u,~v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 22 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Bahasan
1 Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
2 Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
3 Proyeksi Ortogonal secara Umum
4 Proses Gram-Schmidt
5 Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 23 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Proyeksi Ortogonal di Ruang Euclid
Perhatikan gambar berikut.
Ingat kembali pada R2 maupun R3, jika ~u1 adalah proyeksi ortogonal dari ~u pada~b kita memiliki
~u1 =
~u ·~b∥∥∥~b∥∥∥2~b.Perhatikan bahwa ~u1⊥~u2.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 24 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Proyeksi Ortogonal di Ruang Euclid
Perhatikan gambar berikut.
Ingat kembali pada R2 maupun R3, jika ~u1 adalah proyeksi ortogonal dari ~u pada~b kita memiliki
~u1 =~u ·~b∥∥∥~b∥∥∥2~b.
Perhatikan bahwa ~u1⊥~u2.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 24 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Pada ruang Euclid R2 atau R3, jika W adalah sebuah garis atau bidang yangmelalui titik asal, maka setiap vektor ~u pada ruang vektor tersebut dapat ditulisdalam bentuk
~u = ~w1 + ~w2,
dengan ~w1 ∈W dan ~w2 ∈W⊥.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 25 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Pada ruang Euclid R2 atau R3, jika W adalah sebuah garis atau bidang yangmelalui titik asal, maka setiap vektor ~u pada ruang vektor tersebut dapat ditulisdalam bentuk
~u = ~w1 + ~w2,
dengan ~w1 ∈W dan ~w2 ∈W⊥.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 25 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Teorema Proyeksi
Teorema
Jika W adalah sebuah subruang berdimensi hingga dari sebuah RHKD V , makasetiap vektor ~u ∈ V dapat ditulis secara tunggal dalam bentuk
~u = ~w + ~w′,
dengan ~w ∈W dan ~w′ ∈W⊥.
Teorema di atas mengatakan bahwa setiap vektor ~u ∈ V dapat dinyatakan dalambentuk
~u = projW~u+ projW⊥~u
secara tunggal.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 26 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Teorema Proyeksi
Teorema
Jika W adalah sebuah subruang berdimensi hingga dari sebuah RHKD V , makasetiap vektor ~u ∈ V dapat ditulis secara tunggal dalam bentuk
~u = ~w + ~w′,
dengan ~w ∈W dan ~w′ ∈W⊥.
Teorema di atas mengatakan bahwa setiap vektor ~u ∈ V dapat dinyatakan dalambentuk
~u = projW~u+ projW⊥~u
secara tunggal.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 26 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Dengan mengadaptasi teorema yang telah dijelaskan untuk basis ortogonal danbasis ortonormal untuk suatu RHKD, kita mempunyai teorema berikut.
Teorema
Misalkan W adalah subruang berdimensi k dari suatu RHKD V dan ~u ∈W , maka1 Jika B = {~p1, ~p2, . . . , ~pk} adalah basis ortogonal bagi W , maka
projW~u =〈~u, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 +〈~u, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 + · · ·+〈~u, ~pk〉‖~pk‖2
~pk.
2 Jika B = {~q1, ~q2, . . . , ~qk} adalah basis ortonormal bagi W , maka
projW~u = 〈~u, ~q1〉 ~q1 + 〈~u, ~q2〉 ~q2 + · · ·+ 〈~u, ~qk〉 ~qk.
Bukti
Latihan.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 27 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. JikaW = span
{(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
)}, carilah proyeksi ortogonal dari ~u = (1, 1, 1)
pada W .
Solusi:
Perhatikan bahwa W adalah basis ortonormal karena(0, 1, 0) ·
(− 45 , 0,
35
)= 0 dan ‖(0, 1, 0)‖ =
∥∥(− 45 , 0, 35)∥∥ = 1. JadiprojW~u = [(0, 1, 0) · (1, 1, 1)] (0, 1, 0) +
[(−45, 0,
3
5
)(1, 1, 1)
](−45, 0,
3
5
)= (0, 1, 0)− 1
5
(−45, 0,
3
5
)= (0, 1, 0) +
(4
25, 0,− 3
25
)=
(4
25, 1,− 3
25
)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 28 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. JikaW = span
{(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
)}, carilah proyeksi ortogonal dari ~u = (1, 1, 1)
pada W .
Solusi: Perhatikan bahwa W adalah basis ortonormal karena(0, 1, 0) ·
(− 45 , 0,
35
)= 0 dan ‖(0, 1, 0)‖ =
∥∥(− 45 , 0, 35)∥∥ = 1. JadiprojW~u =
[(0, 1, 0) · (1, 1, 1)] (0, 1, 0) +[(−45, 0,
3
5
)(1, 1, 1)
](−45, 0,
3
5
)= (0, 1, 0)− 1
5
(−45, 0,
3
5
)= (0, 1, 0) +
(4
25, 0,− 3
25
)=
(4
25, 1,− 3
25
)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 28 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. JikaW = span
{(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
)}, carilah proyeksi ortogonal dari ~u = (1, 1, 1)
pada W .
Solusi: Perhatikan bahwa W adalah basis ortonormal karena(0, 1, 0) ·
(− 45 , 0,
35
)= 0 dan ‖(0, 1, 0)‖ =
∥∥(− 45 , 0, 35)∥∥ = 1. JadiprojW~u = [(0, 1, 0) · (1, 1, 1)] (0, 1, 0) +
[(−45, 0,
3
5
)(1, 1, 1)
](−45, 0,
3
5
)=
(0, 1, 0)− 15
(−45, 0,
3
5
)= (0, 1, 0) +
(4
25, 0,− 3
25
)=
(4
25, 1,− 3
25
)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 28 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. JikaW = span
{(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
)}, carilah proyeksi ortogonal dari ~u = (1, 1, 1)
pada W .
Solusi: Perhatikan bahwa W adalah basis ortonormal karena(0, 1, 0) ·
(− 45 , 0,
35
)= 0 dan ‖(0, 1, 0)‖ =
∥∥(− 45 , 0, 35)∥∥ = 1. JadiprojW~u = [(0, 1, 0) · (1, 1, 1)] (0, 1, 0) +
[(−45, 0,
3
5
)(1, 1, 1)
](−45, 0,
3
5
)= (0, 1, 0)− 1
5
(−45, 0,
3
5
)=
(0, 1, 0) +
(4
25, 0,− 3
25
)=
(4
25, 1,− 3
25
)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 28 / 52
Proyeksi Ortogonal secara Umum
Latihan
Pandang R3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar. JikaW = span
{(0, 1, 0) ,
(− 45 , 0,
35
)}, carilah proyeksi ortogonal dari ~u = (1, 1, 1)
pada W .
Solusi: Perhatikan bahwa W adalah basis ortonormal karena(0, 1, 0) ·
(− 45 , 0,
35
)= 0 dan ‖(0, 1, 0)‖ =
∥∥(− 45 , 0, 35)∥∥ = 1. JadiprojW~u = [(0, 1, 0) · (1, 1, 1)] (0, 1, 0) +
[(−45, 0,
3
5
)(1, 1, 1)
](−45, 0,
3
5
)= (0, 1, 0)− 1
5
(−45, 0,
3
5
)= (0, 1, 0) +
(4
25, 0,− 3
25
)=
(4
25, 1,− 3
25
)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 28 / 52
Proses Gram-Schmidt
Bahasan
1 Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
2 Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
3 Proyeksi Ortogonal secara Umum
4 Proses Gram-Schmidt
5 Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 29 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt —Pendahuluan
Permasalahan
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n. Apakah V pasti memiliki basisortogonal? Bagaimana dengan basis ortonormal?
Permasalahan
Diberikan suatu RHKD V berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah basisbagi V . Apakah kita dapat mengkonstruksi suatu basis B′ yang ortogonal danbasis B′′ yang ortonormal dari B?
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 30 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt —Pendahuluan
Permasalahan
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n. Apakah V pasti memiliki basisortogonal? Bagaimana dengan basis ortonormal?
Permasalahan
Diberikan suatu RHKD V berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah basisbagi V . Apakah kita dapat mengkonstruksi suatu basis B′ yang ortogonal danbasis B′′ yang ortonormal dari B?
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 30 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalahsebuah basis bagi V . Proses Gram-Schmidt (atau algoritma Gram-Schmidt)adalah suatu prosedur mengkonstruksi basis ortogonal B′ dari B. Dengandemikian proses Gram-Schmidt adalah sebuah algoritma dengan input dan outputberikut:
Input: sembarang basis B pada sebuah RHKD V .
Output: suatu basis ortogonal B′ yang dikonstruksi menggunakanvektor-vektor pada B.
Jika kita menginkan basis B′′ yang ortonormal dari B′, kita dapat melakukannyadengan membagi setiap vektor pada B′ dengan normnya masing-masing.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 31 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalahsebuah basis bagi V . Proses Gram-Schmidt (atau algoritma Gram-Schmidt)adalah suatu prosedur mengkonstruksi basis ortogonal B′ dari B. Dengandemikian proses Gram-Schmidt adalah sebuah algoritma dengan input dan outputberikut:
Input:
sembarang basis B pada sebuah RHKD V .
Output: suatu basis ortogonal B′ yang dikonstruksi menggunakanvektor-vektor pada B.
Jika kita menginkan basis B′′ yang ortonormal dari B′, kita dapat melakukannyadengan membagi setiap vektor pada B′ dengan normnya masing-masing.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 31 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalahsebuah basis bagi V . Proses Gram-Schmidt (atau algoritma Gram-Schmidt)adalah suatu prosedur mengkonstruksi basis ortogonal B′ dari B. Dengandemikian proses Gram-Schmidt adalah sebuah algoritma dengan input dan outputberikut:
Input: sembarang basis B pada sebuah RHKD V .
Output:
suatu basis ortogonal B′ yang dikonstruksi menggunakanvektor-vektor pada B.
Jika kita menginkan basis B′′ yang ortonormal dari B′, kita dapat melakukannyadengan membagi setiap vektor pada B′ dengan normnya masing-masing.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 31 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalahsebuah basis bagi V . Proses Gram-Schmidt (atau algoritma Gram-Schmidt)adalah suatu prosedur mengkonstruksi basis ortogonal B′ dari B. Dengandemikian proses Gram-Schmidt adalah sebuah algoritma dengan input dan outputberikut:
Input: sembarang basis B pada sebuah RHKD V .
Output: suatu basis ortogonal B′ yang dikonstruksi menggunakanvektor-vektor pada B.
Jika kita menginkan basis B′′ yang ortonormal dari B′, kita dapat melakukannyadengan membagi setiap vektor pada B′ dengan normnya masing-masing.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 31 / 52
Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt
Misalkan V adalah sebuah RHKD berdimensi n dan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalahsebuah basis bagi V . Proses Gram-Schmidt (atau algoritma Gram-Schmidt)adalah suatu prosedur mengkonstruksi basis ortogonal B′ dari B. Dengandemikian proses Gram-Schmidt adalah sebuah algoritma dengan input dan outputberikut:
Input: sembarang basis B pada sebuah RHKD V .
Output: suatu basis ortogonal B′ yang dikonstruksi menggunakanvektor-vektor pada B.
Jika kita menginkan basis B′′ yang ortonormal dari B′, kita dapat melakukannyadengan membagi setiap vektor pada B′ dengan normnya masing-masing.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 31 / 52
Proses Gram-Schmidt
Ilustrasi Proses Gram-Schmidt
Misalkan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah suatu basis bagi RHKD V yang berdimensin. Pertama kita akan mengkonstruksi basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} dariB.Langkah 1:
pilih ~p1 = ~v1.Langkah 2: kita akan mengkonstruksi ~p2 agar ~p2⊥~p1. Tinjau ilustrasi berikut
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 32 / 52
Proses Gram-Schmidt
Ilustrasi Proses Gram-Schmidt
Misalkan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah suatu basis bagi RHKD V yang berdimensin. Pertama kita akan mengkonstruksi basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} dariB.Langkah 1: pilih ~p1 = ~v1.Langkah 2:
kita akan mengkonstruksi ~p2 agar ~p2⊥~p1. Tinjau ilustrasi berikut
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 32 / 52
Proses Gram-Schmidt
Ilustrasi Proses Gram-Schmidt
Misalkan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah suatu basis bagi RHKD V yang berdimensin. Pertama kita akan mengkonstruksi basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} dariB.Langkah 1: pilih ~p1 = ~v1.Langkah 2: kita akan mengkonstruksi ~p2 agar ~p2⊥~p1. Tinjau ilustrasi berikut
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 32 / 52
Proses Gram-Schmidt
Ilustrasi Proses Gram-Schmidt
Misalkan B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} adalah suatu basis bagi RHKD V yang berdimensin. Pertama kita akan mengkonstruksi basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} dariB.Langkah 1: pilih ~p1 = ~v1.Langkah 2: kita akan mengkonstruksi ~p2 agar ~p2⊥~p1. Tinjau ilustrasi berikut
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 32 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W1 = span {~p1}, kita dapat mendefinisikan ~p2 =
~v2 − projW1~v2,
sehingga diperoleh
~p2 = ~v2 −〈~v2, ~p1〉‖~p1‖2
~p1.
Langkah 3: kita akan mengkonstruksi ~p3 agar ~p3⊥~p2 dan ~p3⊥~p1. Tinjau ilustrasiberikut
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 33 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W1 = span {~p1}, kita dapat mendefinisikan ~p2 = ~v2 − projW1~v2,
sehingga diperoleh
~p2 =
~v2 −〈~v2, ~p1〉‖~p1‖2
~p1.
Langkah 3: kita akan mengkonstruksi ~p3 agar ~p3⊥~p2 dan ~p3⊥~p1. Tinjau ilustrasiberikut
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 33 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W1 = span {~p1}, kita dapat mendefinisikan ~p2 = ~v2 − projW1~v2,
sehingga diperoleh
~p2 = ~v2 −〈~v2, ~p1〉‖~p1‖2
~p1.
Langkah 3:
kita akan mengkonstruksi ~p3 agar ~p3⊥~p2 dan ~p3⊥~p1. Tinjau ilustrasiberikut
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 33 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W1 = span {~p1}, kita dapat mendefinisikan ~p2 = ~v2 − projW1~v2,
sehingga diperoleh
~p2 = ~v2 −〈~v2, ~p1〉‖~p1‖2
~p1.
Langkah 3: kita akan mengkonstruksi ~p3 agar ~p3⊥~p2 dan ~p3⊥~p1. Tinjau ilustrasiberikut
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 33 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W1 = span {~p1}, kita dapat mendefinisikan ~p2 = ~v2 − projW1~v2,
sehingga diperoleh
~p2 = ~v2 −〈~v2, ~p1〉‖~p1‖2
~p1.
Langkah 3: kita akan mengkonstruksi ~p3 agar ~p3⊥~p2 dan ~p3⊥~p1. Tinjau ilustrasiberikut
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 33 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span {~p1, ~p2}, kita dapat mendefinisikan ~p3 =
~v3 − projW2~v3,
sehingga diperoleh
~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2
~p2.
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi ~p4 agar ~p4⊥~pj untuk setiap 1 ≤ j ≤ 3.Misalkan W3 = span {~p1, ~p2, ~p3}, kita dapat mendefinisikan ~p4 = ~v4 − projW3
~v4,sehingga diperoleh
~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2
~p3.
...Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi ~pi agar ~pi⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ i− 1. Misalkan Wi−1 = span {~p1, ~p2, . . . ~pi−1}, kita dapat mendefinisikan~pi = ~vi − projWi−1~vi, sehingga diperoleh
~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2
~pi−1.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span {~p1, ~p2}, kita dapat mendefinisikan ~p3 = ~v3 − projW2~v3,
sehingga diperoleh
~p3 =
~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2
~p2.
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi ~p4 agar ~p4⊥~pj untuk setiap 1 ≤ j ≤ 3.Misalkan W3 = span {~p1, ~p2, ~p3}, kita dapat mendefinisikan ~p4 = ~v4 − projW3
~v4,sehingga diperoleh
~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2
~p3.
...Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi ~pi agar ~pi⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ i− 1. Misalkan Wi−1 = span {~p1, ~p2, . . . ~pi−1}, kita dapat mendefinisikan~pi = ~vi − projWi−1~vi, sehingga diperoleh
~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2
~pi−1.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span {~p1, ~p2}, kita dapat mendefinisikan ~p3 = ~v3 − projW2~v3,
sehingga diperoleh
~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2
~p2.
Langkah 4:
kita akan mengkonstruksi ~p4 agar ~p4⊥~pj untuk setiap 1 ≤ j ≤ 3.Misalkan W3 = span {~p1, ~p2, ~p3}, kita dapat mendefinisikan ~p4 = ~v4 − projW3
~v4,sehingga diperoleh
~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2
~p3.
...Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi ~pi agar ~pi⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ i− 1. Misalkan Wi−1 = span {~p1, ~p2, . . . ~pi−1}, kita dapat mendefinisikan~pi = ~vi − projWi−1~vi, sehingga diperoleh
~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2
~pi−1.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span {~p1, ~p2}, kita dapat mendefinisikan ~p3 = ~v3 − projW2~v3,
sehingga diperoleh
~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2
~p2.
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi ~p4 agar ~p4⊥~pj untuk setiap 1 ≤ j ≤ 3.Misalkan W3 = span {~p1, ~p2, ~p3}, kita dapat mendefinisikan ~p4 =
~v4 − projW3~v4,
sehingga diperoleh
~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2
~p3.
...Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi ~pi agar ~pi⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ i− 1. Misalkan Wi−1 = span {~p1, ~p2, . . . ~pi−1}, kita dapat mendefinisikan~pi = ~vi − projWi−1~vi, sehingga diperoleh
~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2
~pi−1.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span {~p1, ~p2}, kita dapat mendefinisikan ~p3 = ~v3 − projW2~v3,
sehingga diperoleh
~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2
~p2.
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi ~p4 agar ~p4⊥~pj untuk setiap 1 ≤ j ≤ 3.Misalkan W3 = span {~p1, ~p2, ~p3}, kita dapat mendefinisikan ~p4 = ~v4 − projW3
~v4,sehingga diperoleh
~p4 =
~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2
~p3.
...Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi ~pi agar ~pi⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ i− 1. Misalkan Wi−1 = span {~p1, ~p2, . . . ~pi−1}, kita dapat mendefinisikan~pi = ~vi − projWi−1~vi, sehingga diperoleh
~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2
~pi−1.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span {~p1, ~p2}, kita dapat mendefinisikan ~p3 = ~v3 − projW2~v3,
sehingga diperoleh
~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2
~p2.
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi ~p4 agar ~p4⊥~pj untuk setiap 1 ≤ j ≤ 3.Misalkan W3 = span {~p1, ~p2, ~p3}, kita dapat mendefinisikan ~p4 = ~v4 − projW3
~v4,sehingga diperoleh
~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2
~p3.
...Langkah ke-i:
kita dapat mengkonstruksi ~pi agar ~pi⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ i− 1. Misalkan Wi−1 = span {~p1, ~p2, . . . ~pi−1}, kita dapat mendefinisikan~pi = ~vi − projWi−1~vi, sehingga diperoleh
~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2
~pi−1.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span {~p1, ~p2}, kita dapat mendefinisikan ~p3 = ~v3 − projW2~v3,
sehingga diperoleh
~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2
~p2.
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi ~p4 agar ~p4⊥~pj untuk setiap 1 ≤ j ≤ 3.Misalkan W3 = span {~p1, ~p2, ~p3}, kita dapat mendefinisikan ~p4 = ~v4 − projW3
~v4,sehingga diperoleh
~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2
~p3.
...Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi ~pi agar ~pi⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ i− 1. Misalkan Wi−1 = span {~p1, ~p2, . . . ~pi−1}, kita dapat mendefinisikan~pi =
~vi − projWi−1~vi, sehingga diperoleh
~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2
~pi−1.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span {~p1, ~p2}, kita dapat mendefinisikan ~p3 = ~v3 − projW2~v3,
sehingga diperoleh
~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2
~p2.
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi ~p4 agar ~p4⊥~pj untuk setiap 1 ≤ j ≤ 3.Misalkan W3 = span {~p1, ~p2, ~p3}, kita dapat mendefinisikan ~p4 = ~v4 − projW3
~v4,sehingga diperoleh
~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2
~p3.
...Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi ~pi agar ~pi⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ i− 1. Misalkan Wi−1 = span {~p1, ~p2, . . . ~pi−1}, kita dapat mendefinisikan~pi = ~vi − projWi−1~vi, sehingga diperoleh
~pi =
~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2
~pi−1.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 34 / 52
Proses Gram-Schmidt
Misalkan W2 = span {~p1, ~p2}, kita dapat mendefinisikan ~p3 = ~v3 − projW2~v3,
sehingga diperoleh
~p3 = ~v3 −〈~v3, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v3, ~p2〉‖~p2‖2
~p2.
Langkah 4: kita akan mengkonstruksi ~p4 agar ~p4⊥~pj untuk setiap 1 ≤ j ≤ 3.Misalkan W3 = span {~p1, ~p2, ~p3}, kita dapat mendefinisikan ~p4 = ~v4 − projW3
~v4,sehingga diperoleh
~p4 = ~v4 −〈~v4, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~v4, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 −〈~v4, ~p3〉‖~p3‖2
~p3.
...Langkah ke-i: kita dapat mengkonstruksi ~pi agar ~pi⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ i− 1. Misalkan Wi−1 = span {~p1, ~p2, . . . ~pi−1}, kita dapat mendefinisikan~pi = ~vi − projWi−1~vi, sehingga diperoleh
~pi = ~vi −〈~vi, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vi, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vi, ~pi−1〉‖~pi−1‖2
~pi−1.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 34 / 52
Proses Gram-Schmidt
...Langkah ke-n:
kita dapat mengkonstruksi ~pn agar ~pn⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ n− 1. Misalkan Wn−1 = span {~p1, ~p2, . . . , ~pn−1}, kita dapatmendefinisikan ~pn = ~vn − projWn−1~vn, sehingga diperoleh
~pn = ~vn −〈~vn, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vn, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vn, ~pn−1〉‖~pn−1‖2
~pn−1
Ketika langkah ke-n berakhir, kita memiliki sifat
1 span {~p1, ~p2, . . . , ~pn} = span {~v1, ~v2, . . . , ~vn},2 B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} adalah basis ortogonal bagi V .
Kemudian kita dapat mengkonstruksi basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, . . . , ~qn}dariB′ dengan mendefinisikan
~qi =~pi‖~pi‖
, untuk setiap 1 ≤ i ≤ n.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 35 / 52
Proses Gram-Schmidt
...Langkah ke-n: kita dapat mengkonstruksi ~pn agar ~pn⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ n− 1. Misalkan Wn−1 = span {~p1, ~p2, . . . , ~pn−1}, kita dapatmendefinisikan ~pn =
~vn − projWn−1~vn, sehingga diperoleh
~pn = ~vn −〈~vn, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vn, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vn, ~pn−1〉‖~pn−1‖2
~pn−1
Ketika langkah ke-n berakhir, kita memiliki sifat
1 span {~p1, ~p2, . . . , ~pn} = span {~v1, ~v2, . . . , ~vn},2 B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} adalah basis ortogonal bagi V .
Kemudian kita dapat mengkonstruksi basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, . . . , ~qn}dariB′ dengan mendefinisikan
~qi =~pi‖~pi‖
, untuk setiap 1 ≤ i ≤ n.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 35 / 52
Proses Gram-Schmidt
...Langkah ke-n: kita dapat mengkonstruksi ~pn agar ~pn⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ n− 1. Misalkan Wn−1 = span {~p1, ~p2, . . . , ~pn−1}, kita dapatmendefinisikan ~pn = ~vn − projWn−1~vn, sehingga diperoleh
~pn =
~vn −〈~vn, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vn, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vn, ~pn−1〉‖~pn−1‖2
~pn−1
Ketika langkah ke-n berakhir, kita memiliki sifat
1 span {~p1, ~p2, . . . , ~pn} = span {~v1, ~v2, . . . , ~vn},2 B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} adalah basis ortogonal bagi V .
Kemudian kita dapat mengkonstruksi basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, . . . , ~qn}dariB′ dengan mendefinisikan
~qi =~pi‖~pi‖
, untuk setiap 1 ≤ i ≤ n.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 35 / 52
Proses Gram-Schmidt
...Langkah ke-n: kita dapat mengkonstruksi ~pn agar ~pn⊥~pj untuk setiap1 ≤ j ≤ n− 1. Misalkan Wn−1 = span {~p1, ~p2, . . . , ~pn−1}, kita dapatmendefinisikan ~pn = ~vn − projWn−1~vn, sehingga diperoleh
~pn = ~vn −〈~vn, ~p1〉‖~p1‖2
~p1 −〈~vn, ~p2〉‖~p2‖2
~p2 − · · · −〈~vn, ~pn−1〉‖~pn−1‖2
~pn−1
Ketika langkah ke-n berakhir, kita memiliki sifat
1 span {~p1, ~p2, . . . , ~pn} = span {~v1, ~v2, . . . , ~vn},2 B′ = {~p1, ~p2, . . . , ~pn} adalah basis ortogonal bagi V .
Kemudian kita dapat mengkonstruksi basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, . . . , ~qn}dariB′ dengan mendefinisikan
~qi =~pi‖~pi‖
, untuk setiap 1 ≤ i ≤ n.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 35 / 52
Proses Gram-Schmidt
Pseudocode Proses Gram-Schmidt
Berikut adalah salah satu pseudocode dari proses Gram-Schmidt.
Pseudocode Proses Gram-Schmidt
Gram-Schmidt (B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn}) // B adalah basis bagi sebuah RHKD V .1 ~p1 ← ~v12 for i← 2 to n3 for j ← 1 to i− 1
4 µij ←〈~vi, ~pj〉‖~pj‖2
// µij adalah koefisien pada proyeksi
5 ~pi ← ~vi −i−1∑j=1
µij~pj
6 end for7 end for8 return {~p1, ~p2, . . . , ~pn}.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 36 / 52
Proses Gram-Schmidt
Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt
Latihan
Diberikan basis B = {~u1, ~u2, ~u3} bagi R3 dengan ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (0, 1, 1),dan ~u3 = (0, 0, 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperolehsuatu basis B′ yang ortogonal dan basis B′′ yang ortonormal dengan HKD Euclidstandar.
Solusi: dengan proses Gram-Schmidt
Langkah 1: ~p1 = ~u1 = (1, 1, 1).Langkah 2: W1 = span {~p1},
~p2 = ~u2 − projW1~u2 = ~u2 −
~u2 · ~p1‖~p1‖2
~p1
= (0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)
=
(−23,1
3,1
3
)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 37 / 52
Proses Gram-Schmidt
Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt
Latihan
Diberikan basis B = {~u1, ~u2, ~u3} bagi R3 dengan ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (0, 1, 1),dan ~u3 = (0, 0, 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperolehsuatu basis B′ yang ortogonal dan basis B′′ yang ortonormal dengan HKD Euclidstandar.
Solusi: dengan proses Gram-SchmidtLangkah 1: ~p1 = ~u1 = (1, 1, 1).
Langkah 2: W1 = span {~p1},
~p2 = ~u2 − projW1~u2 = ~u2 −
~u2 · ~p1‖~p1‖2
~p1
= (0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)
=
(−23,1
3,1
3
)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 37 / 52
Proses Gram-Schmidt
Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt
Latihan
Diberikan basis B = {~u1, ~u2, ~u3} bagi R3 dengan ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (0, 1, 1),dan ~u3 = (0, 0, 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperolehsuatu basis B′ yang ortogonal dan basis B′′ yang ortonormal dengan HKD Euclidstandar.
Solusi: dengan proses Gram-SchmidtLangkah 1: ~p1 = ~u1 = (1, 1, 1).Langkah 2: W1 = span {~p1},
~p2 =
~u2 − projW1~u2 = ~u2 −
~u2 · ~p1‖~p1‖2
~p1
= (0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)
=
(−23,1
3,1
3
)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 37 / 52
Proses Gram-Schmidt
Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt
Latihan
Diberikan basis B = {~u1, ~u2, ~u3} bagi R3 dengan ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (0, 1, 1),dan ~u3 = (0, 0, 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperolehsuatu basis B′ yang ortogonal dan basis B′′ yang ortonormal dengan HKD Euclidstandar.
Solusi: dengan proses Gram-SchmidtLangkah 1: ~p1 = ~u1 = (1, 1, 1).Langkah 2: W1 = span {~p1},
~p2 = ~u2 − projW1~u2 =
~u2 −~u2 · ~p1‖~p1‖2
~p1
= (0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)
=
(−23,1
3,1
3
)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 37 / 52
Proses Gram-Schmidt
Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt
Latihan
Diberikan basis B = {~u1, ~u2, ~u3} bagi R3 dengan ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (0, 1, 1),dan ~u3 = (0, 0, 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperolehsuatu basis B′ yang ortogonal dan basis B′′ yang ortonormal dengan HKD Euclidstandar.
Solusi: dengan proses Gram-SchmidtLangkah 1: ~p1 = ~u1 = (1, 1, 1).Langkah 2: W1 = span {~p1},
~p2 = ~u2 − projW1~u2 = ~u2 −
~u2 · ~p1‖~p1‖2
~p1
=
(0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)
=
(−23,1
3,1
3
)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 37 / 52
Proses Gram-Schmidt
Contoh Komputasi Proses Gram-Schmidt
Latihan
Diberikan basis B = {~u1, ~u2, ~u3} bagi R3 dengan ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (0, 1, 1),dan ~u3 = (0, 0, 1). Terapkan proses Gram-Schmidt pada B untuk memperolehsuatu basis B′ yang ortogonal dan basis B′′ yang ortonormal dengan HKD Euclidstandar.
Solusi: dengan proses Gram-SchmidtLangkah 1: ~p1 = ~u1 = (1, 1, 1).Langkah 2: W1 = span {~p1},
~p2 = ~u2 − projW1~u2 = ~u2 −
~u2 · ~p1‖~p1‖2
~p1
= (0, 1, 1)− (0, 1, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)
=
(−23,1
3,1
3
)
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 37 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span {~p1, ~p2},
~p3 =
~u3 − projW2~u3 = ~u3 −
~u3 · ~p1‖~p1‖2
~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2
~p2
= (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·
(− 23 ,
13 ,
13
)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1
3,1
3
)=
(0,−1
2,1
2
)Jadi diperoleh basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, ~p3} dengan ~p1 = (1, 1, 1),~p2 =
(− 23 ,
13 ,
13
), dan ~p3 =
(0,− 12 ,
12
).
Selanjutnya tinjau bahwa ‖~p1‖ = ‖(1, 1, 1)‖ =√3, ‖~p2‖ =
∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =
∥∥(0,− 12 , 12)∥∥ = √22 . Jadi diperoleh basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, ~q3}dengan ~q1 =
(1√3, 1√
3, 1√
3
), ~q2 =
(− 2√
6, 1√
6, 1√
6
), dan ~q3 =
(0,− 1√
2, 1√
2
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 38 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span {~p1, ~p2},
~p3 = ~u3 − projW2~u3 =
~u3 −~u3 · ~p1‖~p1‖2
~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2
~p2
= (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·
(− 23 ,
13 ,
13
)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1
3,1
3
)=
(0,−1
2,1
2
)Jadi diperoleh basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, ~p3} dengan ~p1 = (1, 1, 1),~p2 =
(− 23 ,
13 ,
13
), dan ~p3 =
(0,− 12 ,
12
).
Selanjutnya tinjau bahwa ‖~p1‖ = ‖(1, 1, 1)‖ =√3, ‖~p2‖ =
∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =
∥∥(0,− 12 , 12)∥∥ = √22 . Jadi diperoleh basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, ~q3}dengan ~q1 =
(1√3, 1√
3, 1√
3
), ~q2 =
(− 2√
6, 1√
6, 1√
6
), dan ~q3 =
(0,− 1√
2, 1√
2
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 38 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span {~p1, ~p2},
~p3 = ~u3 − projW2~u3 = ~u3 −
~u3 · ~p1‖~p1‖2
~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2
~p2
=
(0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·
(− 23 ,
13 ,
13
)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1
3,1
3
)=
(0,−1
2,1
2
)Jadi diperoleh basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, ~p3} dengan ~p1 = (1, 1, 1),~p2 =
(− 23 ,
13 ,
13
), dan ~p3 =
(0,− 12 ,
12
).
Selanjutnya tinjau bahwa ‖~p1‖ = ‖(1, 1, 1)‖ =√3, ‖~p2‖ =
∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =
∥∥(0,− 12 , 12)∥∥ = √22 . Jadi diperoleh basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, ~q3}dengan ~q1 =
(1√3, 1√
3, 1√
3
), ~q2 =
(− 2√
6, 1√
6, 1√
6
), dan ~q3 =
(0,− 1√
2, 1√
2
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 38 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span {~p1, ~p2},
~p3 = ~u3 − projW2~u3 = ~u3 −
~u3 · ~p1‖~p1‖2
~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2
~p2
= (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·
(− 23 ,
13 ,
13
)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1
3,1
3
)=
(0,−1
2,1
2
)
Jadi diperoleh basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, ~p3} dengan ~p1 = (1, 1, 1),~p2 =
(− 23 ,
13 ,
13
), dan ~p3 =
(0,− 12 ,
12
).
Selanjutnya tinjau bahwa ‖~p1‖ = ‖(1, 1, 1)‖ =√3, ‖~p2‖ =
∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =
∥∥(0,− 12 , 12)∥∥ = √22 . Jadi diperoleh basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, ~q3}dengan ~q1 =
(1√3, 1√
3, 1√
3
), ~q2 =
(− 2√
6, 1√
6, 1√
6
), dan ~q3 =
(0,− 1√
2, 1√
2
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 38 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span {~p1, ~p2},
~p3 = ~u3 − projW2~u3 = ~u3 −
~u3 · ~p1‖~p1‖2
~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2
~p2
= (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·
(− 23 ,
13 ,
13
)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1
3,1
3
)=
(0,−1
2,1
2
)Jadi diperoleh basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, ~p3} dengan ~p1 = (1, 1, 1),~p2 =
(− 23 ,
13 ,
13
), dan ~p3 =
(0,− 12 ,
12
).
Selanjutnya tinjau bahwa ‖~p1‖ = ‖(1, 1, 1)‖ =√3, ‖~p2‖ =
∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =
∥∥(0,− 12 , 12)∥∥ = √22 . Jadi diperoleh basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, ~q3}dengan ~q1 =
(1√3, 1√
3, 1√
3
), ~q2 =
(− 2√
6, 1√
6, 1√
6
), dan ~q3 =
(0,− 1√
2, 1√
2
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 38 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span {~p1, ~p2},
~p3 = ~u3 − projW2~u3 = ~u3 −
~u3 · ~p1‖~p1‖2
~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2
~p2
= (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·
(− 23 ,
13 ,
13
)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1
3,1
3
)=
(0,−1
2,1
2
)Jadi diperoleh basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, ~p3} dengan ~p1 = (1, 1, 1),~p2 =
(− 23 ,
13 ,
13
), dan ~p3 =
(0,− 12 ,
12
).
Selanjutnya tinjau bahwa ‖~p1‖ = ‖(1, 1, 1)‖ =√3, ‖~p2‖ =
∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =
∥∥(0,− 12 , 12)∥∥ = √22 .
Jadi diperoleh basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, ~q3}dengan ~q1 =
(1√3, 1√
3, 1√
3
), ~q2 =
(− 2√
6, 1√
6, 1√
6
), dan ~q3 =
(0,− 1√
2, 1√
2
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 38 / 52
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3: W2 = span {~p1, ~p2},
~p3 = ~u3 − projW2~u3 = ~u3 −
~u3 · ~p1‖~p1‖2
~p1 −~u3 · ~p2‖~p2‖2
~p2
= (0, 0, 1)− (0, 0, 1) · (1, 1, 1)‖(1, 1, 1)‖2
(1, 1, 1)−(0, 0, 1) ·
(− 23 ,
13 ,
13
)∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥2(−23,1
3,1
3
)=
(0,−1
2,1
2
)Jadi diperoleh basis ortogonal B′ = {~p1, ~p2, ~p3} dengan ~p1 = (1, 1, 1),~p2 =
(− 23 ,
13 ,
13
), dan ~p3 =
(0,− 12 ,
12
).
Selanjutnya tinjau bahwa ‖~p1‖ = ‖(1, 1, 1)‖ =√3, ‖~p2‖ =
∥∥(− 23 , 13 , 13)∥∥ = √63 ,dan ‖~p3‖ =
∥∥(0,− 12 , 12)∥∥ = √22 . Jadi diperoleh basis ortonormal B′′ = {~q1, ~q2, ~q3}dengan ~q1 =
(1√3, 1√
3, 1√
3
), ~q2 =
(− 2√
6, 1√
6, 1√
6
), dan ~q3 =
(0,− 1√
2, 1√
2
).
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 38 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Bahasan
1 Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal
2 Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
3 Proyeksi Ortogonal secara Umum
4 Proses Gram-Schmidt
5 Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 39 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Dekomposisi (Faktorisasi) Matriks
Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 =
2 · 9 = 6 · 3 = 2 · 3 · 3. Pada kuliahAljabar Linier kita akan mengkaji dekomposisi/ faktoriasi matriks. Sebagai
contoh, matriks[1 23 4
]dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua matriks segitiga
atas dan segitiga bawah, yaitu[1 23 4
]=
[1 03 1
] [1 20 −2
]Pada kuliah ini kita akan mengkaji suatu bentuk faktorisasi untuk matriks yangvektor-vektor kolomnya bebas linier.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 40 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Dekomposisi (Faktorisasi) Matriks
Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 = 2 · 9 =
6 · 3 = 2 · 3 · 3. Pada kuliahAljabar Linier kita akan mengkaji dekomposisi/ faktoriasi matriks. Sebagai
contoh, matriks[1 23 4
]dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua matriks segitiga
atas dan segitiga bawah, yaitu[1 23 4
]=
[1 03 1
] [1 20 −2
]Pada kuliah ini kita akan mengkaji suatu bentuk faktorisasi untuk matriks yangvektor-vektor kolomnya bebas linier.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 40 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Dekomposisi (Faktorisasi) Matriks
Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 = 2 · 9 = 6 · 3 =
2 · 3 · 3. Pada kuliahAljabar Linier kita akan mengkaji dekomposisi/ faktoriasi matriks. Sebagai
contoh, matriks[1 23 4
]dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua matriks segitiga
atas dan segitiga bawah, yaitu[1 23 4
]=
[1 03 1
] [1 20 −2
]Pada kuliah ini kita akan mengkaji suatu bentuk faktorisasi untuk matriks yangvektor-vektor kolomnya bebas linier.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 40 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Dekomposisi (Faktorisasi) Matriks
Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 = 2 · 9 = 6 · 3 = 2 · 3 · 3. Pada kuliahAljabar Linier kita akan mengkaji dekomposisi/ faktoriasi matriks. Sebagai
contoh, matriks[1 23 4
]dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua matriks segitiga
atas dan segitiga bawah, yaitu[1 23 4
]=
[1 03 1
] [1 20 −2
]Pada kuliah ini kita akan mengkaji suatu bentuk faktorisasi untuk matriks yangvektor-vektor kolomnya bebas linier.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 40 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Dekomposisi (Faktorisasi) Matriks
Di sekolah menengah Anda tentu sudah mengenal faktorisasi bilangan bulat,sebagai contoh 18 dapat ditulis sebagai 18 = 2 · 9 = 6 · 3 = 2 · 3 · 3. Pada kuliahAljabar Linier kita akan mengkaji dekomposisi/ faktoriasi matriks. Sebagai
contoh, matriks[1 23 4
]dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua matriks segitiga
atas dan segitiga bawah, yaitu[1 23 4
]=
[1 03 1
] [1 20 −2
]Pada kuliah ini kita akan mengkaji suatu bentuk faktorisasi untuk matriks yangvektor-vektor kolomnya bebas linier.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 40 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Dekomposisi (Faktoriasi) QR
Permasalahan
Misalkan A adalah sebuah matriks berukuran m× n yang vektor-vektor kolomnyabebas linier dan Q adalah matriks yang ukurannya sama dengan A danvektor-vektor kolomnya adalah vektor ortonormal yang diperoleh dari penerapanproses Gram-Schmidt terhadap vektor-vektor kolom pada A. Apakah terdapatketerkaitan secara aljabar antara matriks A dan Q?
Contoh
Misalkan A =
[1 01 1
]dan Q adalah matriks 2× 2 yang vektor-vektor kolomnya
adalah vektor ortonormal yang diperoleh dengan menerapkan proses
Gram-Schmidt pada vektor-vektor kolom dari A, yaitu Q =
[ √22 −
√22√
22
√22
].
Apakah terdapat keterkaitan antara A dan Q?
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 41 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Tinjau bahwa vektor-vektor kolom dari Q adalah basis ortonormal untuk R2,akibatnya kita mempunyai[
11
]=
([11
]·[ √
22√22
])[ √22√22
]+
([11
]·[−√22√22
])[−√22√22
]
=√2
[ √22√22
]+ 0
[−√22√22
][01
]=
([01
]·[ √
22√22
])[ √22√22
]+
([01
]·[−√22√22
])[−√22√22
]
=
√2
2
[ √22√22
]+
√2
2
[−√22√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 42 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Tinjau bahwa vektor-vektor kolom dari Q adalah basis ortonormal untuk R2,akibatnya kita mempunyai[
11
]=
([11
]·[ √
22√22
])[ √22√22
]+
([11
]·[−√22√22
])[−√22√22
]
=
√2
[ √22√22
]+ 0
[−√22√22
][01
]=
([01
]·[ √
22√22
])[ √22√22
]+
([01
]·[−√22√22
])[−√22√22
]
=
√2
2
[ √22√22
]+
√2
2
[−√22√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 42 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Tinjau bahwa vektor-vektor kolom dari Q adalah basis ortonormal untuk R2,akibatnya kita mempunyai[
11
]=
([11
]·[ √
22√22
])[ √22√22
]+
([11
]·[−√22√22
])[−√22√22
]
=√2
[ √22√22
]+ 0
[−√22√22
][01
]=
([01
]·[ √
22√22
])[ √22√22
]+
([01
]·[−√22√22
])[−√22√22
]
=
√2
2
[ √22√22
]+
√2
2
[−√22√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 42 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Tinjau bahwa vektor-vektor kolom dari Q adalah basis ortonormal untuk R2,akibatnya kita mempunyai[
11
]=
([11
]·[ √
22√22
])[ √22√22
]+
([11
]·[−√22√22
])[−√22√22
]
=√2
[ √22√22
]+ 0
[−√22√22
][01
]=
([01
]·[ √
22√22
])[ √22√22
]+
([01
]·[−√22√22
])[−√22√22
]
=
√2
2
[ √22√22
]+
√2
2
[−√22√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 42 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Tinjau bahwa vektor-vektor kolom dari Q adalah basis ortonormal untuk R2,akibatnya kita mempunyai[
11
]=
([11
]·[ √
22√22
])[ √22√22
]+
([11
]·[−√22√22
])[−√22√22
]
=√2
[ √22√22
]+ 0
[−√22√22
][01
]=
([01
]·[ √
22√22
])[ √22√22
]+
([01
]·[−√22√22
])[−√22√22
]
=
√2
2
[ √22√22
]+
√2
2
[−√22√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 42 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Misalkan ~v1 =[11
], ~v2 =
[01
], ~p1 =
[ √22√22
], ~p2 =
[ √22√22
], kita memiliki
[~v1] =
[~p1 ~p2
] [ √20
][~v2] =
[~p1 ~p2
] [ −√22√22
], sehingga
[~v1 ~v2
]=
[~p1 ~p2
] [ √2 √22
0√22
][1 01 1
]=
[ √22 −
√22√
22
√22
][ √2
√22
0√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 43 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Misalkan ~v1 =[11
], ~v2 =
[01
], ~p1 =
[ √22√22
], ~p2 =
[ √22√22
], kita memiliki
[~v1] =[~p1 ~p2
] [ √20
][~v2] =
[~p1 ~p2
] [ −√22√22
], sehingga
[~v1 ~v2
]=
[~p1 ~p2
] [ √2 √22
0√22
][1 01 1
]=
[ √22 −
√22√
22
√22
][ √2
√22
0√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 43 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Misalkan ~v1 =[11
], ~v2 =
[01
], ~p1 =
[ √22√22
], ~p2 =
[ √22√22
], kita memiliki
[~v1] =[~p1 ~p2
] [ √20
][~v2] =
[~p1 ~p2
] [ −√22√22
], sehingga
[~v1 ~v2
]=
[~p1 ~p2
] [ √2 √22
0√22
][1 01 1
]=
[ √22 −
√22√
22
√22
][ √2
√22
0√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 43 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Misalkan ~v1 =[11
], ~v2 =
[01
], ~p1 =
[ √22√22
], ~p2 =
[ √22√22
], kita memiliki
[~v1] =[~p1 ~p2
] [ √20
][~v2] =
[~p1 ~p2
] [ −√22√22
], sehingga
[~v1 ~v2
]=
[~p1 ~p2
] [ √2 √22
0√22
][1 01 1
]=
[ √22 −
√22√
22
√22
][ √2
√22
0√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 43 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Misalkan ~v1 =[11
], ~v2 =
[01
], ~p1 =
[ √22√22
], ~p2 =
[ √22√22
], kita memiliki
[~v1] =[~p1 ~p2
] [ √20
][~v2] =
[~p1 ~p2
] [ −√22√22
], sehingga
[~v1 ~v2
]=
[~p1 ~p2
] [ √2 √22
0√22
][1 01 1
]=
[ √22 −
√22√
22
√22
][ √2
√22
0√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 43 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Perhatikan bahwa
[1 01 1
]=
[ √22 −
√22√
22
√22
]·
[11
]·[ √
22√22
] [01
]·[ √
22√22
][11
]·[−√22√22
] [01
]·[−√22√22
]
=
[ √22 −
√22√
22
√22
]·
[11
]·[ √
22√22
] [01
]·[ √
22√22
]
0
[01
]·[−√22√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 44 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Perhatikan bahwa
[1 01 1
]=
[ √22 −
√22√
22
√22
]·
[11
]·[ √
22√22
] [01
]·[ √
22√22
][11
]·[−√22√22
] [01
]·[−√22√22
]
=
[ √22 −
√22√
22
√22
]·
[11
]·[ √
22√22
] [01
]·[ √
22√22
]
0
[01
]·[−√22√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 44 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Perhatikan bahwa
[1 01 1
]=
[ √22 −
√22√
22
√22
]·
[11
]·[ √
22√22
] [01
]·[ √
22√22
][11
]·[−√22√22
] [01
]·[−√22√22
]
=
[ √22 −
√22√
22
√22
]·
[11
]·[ √
22√22
] [01
]·[ √
22√22
]
0
[01
]·[−√22√22
]
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 44 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Teorema Dekomposisi (Faktoriasi) QR
Teorema
MisalkanA =
[c1 c2 · · · cn
]adalah sebuah matriks berukuran m× n yang vektor-vektor kolomnya bebas linierdan
Q =[q1 q2 · · · qn
]adalah matriks yang ukurannya sama dengan A dan vektor-vektor kolomnyaadalah vektor ortonormal yang diperoleh dari penerapan proses Gram-Schmidtterhadap vektor-vektor kolom pada A.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 45 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
MakaA = QR,
dengan R adalah matriks persegi segitiga atas berukuran n× n yang invertibeldan berbentuk
c1 · q1 c2 · q1 · · · cn · q10 c2 · q2 · · · cn · q2...
. . .. . .
...0 · · · 0 cn · qn
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 46 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Bukti
Tinjau bahwa {q1,q2, . . . ,qn} adalah basis ortonormal untuk col (A), sehinggakita memiliki
c1 = α11q1 + α12q2 + · · ·+ α1nqnc2 = α21q1 + α22q2 + · · ·+ α2nqn
...
cn = αn1q1 + αn2q2 + · · ·+ αnnqn
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 47 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Akibatnya kita memiliki
c1 =[q1 q2 · · · qn
]α11α12...
α1n
c2 =[q1 q2 · · · qn
]α21α22...
α2n
...
cn =[q1 q2 · · · qn
]αn1αn2...
αnn
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 48 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Oleh karena itu
[c1 c2 · · · cn
]=[q1 q2 · · · qn
]α11 α21 · · · αn1α12 α22 · · · αn2...
.... . .
...α1n α2n · · · αnn
.Karena {q1,q2, . . . ,qn} adalah basis ortonormal, kita mempunyai
αij = ci · qj untuk setiap 1 ≤ i, j ≤ n,
sehingga didapat[c1 c2 · · · cn
]=
[q1 q2 · · · qn
](4)
c1 · q1 c2 · q1 · · · cn · q1c1 · q2 c2 · q2 · · · cn · q2...
.... . .
...c1 · qn c2 · qn · · · cn · qn
.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 49 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Oleh karena itu
[c1 c2 · · · cn
]=[q1 q2 · · · qn
]α11 α21 · · · αn1α12 α22 · · · αn2...
.... . .
...α1n α2n · · · αnn
.Karena {q1,q2, . . . ,qn} adalah basis ortonormal, kita mempunyai
αij = ci · qj untuk setiap 1 ≤ i, j ≤ n,
sehingga didapat[c1 c2 · · · cn
]=
[q1 q2 · · · qn
](4)
c1 · q1 c2 · q1 · · · cn · q1c1 · q2 c2 · q2 · · · cn · q2...
.... . .
...c1 · qn c2 · qn · · · cn · qn
.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 49 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Pada hasil dari proses Gram-Schmidt kita mempunyai fakta: untuk setiap j ≥ 2,vektor qj ortogonal terhadap c1, c2, . . . , cj−1. Akibatnya
ci · qj = 0 bila i < j untuk setiap 1 ≤ i < j ≤ n.
Jadi ekspresi (4) dapat disederhanakan menjadi[c1 c2 · · · cn
]=
[q1 q2 · · · qn
]c1 · q1 c2 · q1 · · · cn · q10 c2 · q2 · · · cn · q2...
. . .. . .
...0 0 · · · cn · qn
.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 50 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Pada hasil dari proses Gram-Schmidt kita mempunyai fakta: untuk setiap j ≥ 2,vektor qj ortogonal terhadap c1, c2, . . . , cj−1. Akibatnya
ci · qj = 0 bila i < j untuk setiap 1 ≤ i < j ≤ n.
Jadi ekspresi (4) dapat disederhanakan menjadi[c1 c2 · · · cn
]=
[q1 q2 · · · qn
]c1 · q1 c2 · q1 · · · cn · q10 c2 · q2 · · · cn · q2...
. . .. . .
...0 0 · · · cn · qn
.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 50 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Latihan
Tentukan dekomposisi QR dari matriks A bila
A =
1 0 01 1 01 1 1
.Solusi:
Vektor-vektor kolom dari A adalah c1 =
111
, c2 = 011
, danc3 =
001
. Dengan hasil proses Gram-Schmidt yang telah diperoleh padalatihan sebelumnya, diperoleh
q1 =
1√31√31√3
, q2 = −
2√61√61√6
, dan q3 = 0− 1√
21√2
.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 51 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Latihan
Tentukan dekomposisi QR dari matriks A bila
A =
1 0 01 1 01 1 1
.Solusi: Vektor-vektor kolom dari A adalah c1 =
111
, c2 = 011
, danc3 =
001
. Dengan hasil proses Gram-Schmidt yang telah diperoleh padalatihan sebelumnya, diperoleh
q1 =
1√31√31√3
, q2 = −
2√61√61√6
, dan q3 = 0− 1√
21√2
.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 51 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Latihan
Tentukan dekomposisi QR dari matriks A bila
A =
1 0 01 1 01 1 1
.Solusi: Vektor-vektor kolom dari A adalah c1 =
111
, c2 = 011
, danc3 =
001
. Dengan hasil proses Gram-Schmidt yang telah diperoleh padalatihan sebelumnya, diperoleh
q1 =
1√31√31√3
, q2 =
−2√61√61√6
, dan q3 = 0− 1√
21√2
.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 51 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Latihan
Tentukan dekomposisi QR dari matriks A bila
A =
1 0 01 1 01 1 1
.Solusi: Vektor-vektor kolom dari A adalah c1 =
111
, c2 = 011
, danc3 =
001
. Dengan hasil proses Gram-Schmidt yang telah diperoleh padalatihan sebelumnya, diperoleh
q1 =
1√31√31√3
, q2 = −
2√61√61√6
, dan q3 =
0− 1√
21√2
.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 51 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Latihan
Tentukan dekomposisi QR dari matriks A bila
A =
1 0 01 1 01 1 1
.Solusi: Vektor-vektor kolom dari A adalah c1 =
111
, c2 = 011
, danc3 =
001
. Dengan hasil proses Gram-Schmidt yang telah diperoleh padalatihan sebelumnya, diperoleh
q1 =
1√31√31√3
, q2 = −
2√61√61√6
, dan q3 = 0− 1√
21√2
.
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 51 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Selanjutnya dengan teorema dekomposisi QR, matriks Q adalah[q1 q2 q3
]dan matriks R adalah
R =
c1 · q1 c2 · q1 c3 · q10 c2 · q2 c3 · q20 0 c3 · q3
=
3√3
2√3
1√3
0 2√6
1√2
0 0 1√2
Perhatikan bahwa
A = QR 1 0 01 1 01 1 1
=
1√3− 2√
60
1√3
1√6− 1√
21√3
1√6
1√2
3√3
2√3
1√3
0 2√6
1√2
0 0 1√2
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 52 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Selanjutnya dengan teorema dekomposisi QR, matriks Q adalah[q1 q2 q3
]dan matriks R adalah
R =
c1 · q1 c2 · q1 c3 · q10 c2 · q2 c3 · q20 0 c3 · q3
=
3√3
2√3
1√3
0 2√6
1√2
0 0 1√2
Perhatikan bahwa
A = QR 1 0 01 1 01 1 1
=
1√3− 2√
60
1√3
1√6− 1√
21√3
1√6
1√2
3√3
2√3
1√3
0 2√6
1√2
0 0 1√2
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 52 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Selanjutnya dengan teorema dekomposisi QR, matriks Q adalah[q1 q2 q3
]dan matriks R adalah
R =
c1 · q1 c2 · q1 c3 · q10 c2 · q2 c3 · q20 0 c3 · q3
=
3√3
2√3
1√3
0 2√6
1√2
0 0 1√2
Perhatikan bahwa
A = QR 1 0 01 1 01 1 1
=
1√3− 2√
60
1√3
1√6− 1√
21√3
1√6
1√2
3√3
2√3
1√3
0 2√6
1√2
0 0 1√2
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 52 / 52
Dekomposisi (Faktorisasi) QR
Selanjutnya dengan teorema dekomposisi QR, matriks Q adalah[q1 q2 q3
]dan matriks R adalah
R =
c1 · q1 c2 · q1 c3 · q10 c2 · q2 c3 · q20 0 c3 · q3
=
3√3
2√3
1√3
0 2√6
1√2
0 0 1√2
Perhatikan bahwa
A = QR 1 0 01 1 01 1 1
=
1√3− 2√
60
1√3
1√6− 1√
21√3
1√6
1√2
3√3
2√3
1√3
0 2√6
1√2
0 0 1√2
MZI (FIF Tel-U) Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR November 2015 52 / 52