Post on 30-Jun-2015
• Suatu pemetaan f dari himpunan A kehimpunan B disebut fungsi jika setiap anggotadari himpunan A dipetakan atau dikaitkandengan tepat satu anggota dari himpunan B
1
2
3
4
a
b
c
d
A B
f
Gambar 6.1: Fungsi
• Suatu Fungsi biasanya dinyatakan denganhuruf tunggal, boleh huruf kecil ataupun hurufbesar misalnya f, g, h, d, F, G, K, L, V dansebagainya
• Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f : A B
yang artinya f memetakan A ke B
• A disebut daerah asal (domain) dari f dan Bdisebut daerah hasil (codomain) dari f.
• Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df
• Apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwadomain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalamR sehingga f terdefinisikan atau ada.
• Himpunan semua anggota B yang mempunyaikawan di A dinamakan Range atau daerah hasilfungsi f, ditulis Rf
| ( )fD x f x
( ) |f fR f x x D
• Jika pada fungsi f : A B , sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan“y merupakan bayangan x oleh f “ atau “ymerupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).
• Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakanvariable bebas dan variabel tak bebas.Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
A B
fx y
Gambar 6.4 : fungsi dari himpunan A ke B
• Tentukan domain dan range dari fungsiberikut:
1. ( ) 3f x x 2. 2( )f x x
3. ( ) 2 6f x x 4. 2( ) 9f x x
5. 3
( )4
f xx
2. 2( )f x x
Untuk setiap x nilai dari ( )f x selalu ada
dan memiliki nilai positif ( ( )f x + ) sehingga:
{ | }fD x x dan fR y y
1. ( ) 3f x x
Untuk setiap x nilai dari ( )f x
selalu ada dan ( )f x .
{ | }fD x x dan fR y y
3. ( ) 2 6f x x
Jika kita memasukan nilai x = 1 maka
(1) 2(1) 6 4f (tak terdefinisi),
Karena “akar” hanya didefinisikan untuk bilangan yang lebih dari atau sama dengan nol. Jadi
2 6 0 2 6 3x x x .
Jadi daerah asalnya dalah: { | 3, }fD x x x
Daerah hasil diperoleh dengan cara memasukan
nilai x pada daerah asal. 0, 0,~fR y y y
4. 2( ) 9f x x
f(x) akan terdefinisi jika bilangan dibawah tanda akar
lebih dari atau sama dengan nol, sehingga
2 9 0 ( 3)( 3) 0x x x
Dan nilai–nilai x yang memenuhi pertidak samaan terakhir adalah
3x atau 3x jadi daerah asalnya adalah
3 3fD x x atau x .
0, 0,~fR y y y
-3 0 3
5. 3
( )4
f xx
Suatu pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya
tidak sama dengan nol. Jadi agar f(x) terdefinisi maka
4 0 4x x sehingga:
4 4 atau 4,fD x x x x x x
Nilai f(x) tidak mungkin nol sehingga :
0, ( ,0) (0, )fR y y y
4
Carilah domain dan range dari fungsi :
Solusi:
a. Mencari domain
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
1
4 3f x
x
34 3 0
4x x 3 3 3
, ,4 4 4
fD
0fR
,00,fR
b. Mencari Range
f(x) tidak mungkin bernilai nol, sehingga
13
2
x
xxf
013 x
3
1x
a. Mencari domain
Sehingga
,
3
1
3
1,tD
2. Carilah domain dan range dari fungsi :
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
13
2
x
xyxf
23 xyxy
yxxy 23
yyx 213
b. Range
13
2
y
yx
013 y
3
1y
,
3
1
3
1,fR
1
3
Syarat fungsi tersebut terdefinisi,
Jadi
Atau
n
nxaxaxaaxf ...2
210
0axf
xaaxf 10
2
210 xaxaaxf
-Fungsi konstan,
-Fungsi linier,
-Fungsi kuadrat,
1. Fungsi polinom
xq
xp
1
123
2
xx
xxf
2. Fungsi Rasional
p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0
contoh :
3. Fungsi harga/nilai mutlak
2213 xxxf
Bentuk umum :
Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :
x
55
32,3
4. Fungsi bilangan bulat terbesar
= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
xfxf
5. Fungsi Genap
dan grafiknya simetris Disebut fungsi genap jika
terhadap sumbu y
22,1
2xxf
xxf
xxf cos
xfxf
xxf sin
3xxf
Contoh :
6. Fungsi Ganjil
simetris terhadap titik asal, contoh :
Disebut fungsi ganjil jika dan grafiknya
xf xg
xf xg xgfxgf
xgf
xg xg fD
7. Fungsi Komposisi
dan , komposisi fungsi antara
dan ditulis Domain dari
adalah himpunan semua bilangan x dengan domain
sehingga di dalam
Diberikan fungsi
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,
terpenuhi
maka harus
g fR D
g(x) f(x)
(fog)(x)
DgRg Df Rf
g fR D
Dengan cara yang sama, xfgxfg
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,
terpenuhi
maka harus
f gR D
Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :
fggf DxgDxD
gffg DxfDxD
Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi
fgfg RttgyRyR ,
gfgf RttfyRyR ,
xxf 21 xxg
fg gf
Tentukan
dan beserta domain dan range-nya!
1. Jika diketahui
,0fD
,0fR
gD
1,gR
gf DR 0, fg
xxgxfgxfg 1
Karena = , maka fungsi
terdefinisi
fg
g f f gD x D f x D
0,x x
xx 0
a. Mencari Domain
00 xx
00 xx
,0,0x
,0x
fg
fgfg RttgyRyR ,
,0,11, 2 ttyyR fg
b. Mencari Range
1,1, yR fg
1, y
Jadi
gf
fggf DxgDxD
21 0,x x
21 0x x
c.Domain
1 1x x
1,1 1,1
fg DR ,01, 0,1
gf
xgf xgf 21 xf 21 x
Karena , maka fungsi
terdefinisi dengan
MA 1114 Kalkulus I
gf
gfgf RttfyRyR ,
1,,,0 ttyy
10,0 ttyy
100 yy
1,0,0
1,0
d. Range
• Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi yang diberikan!a. 2( ) 2 3f x x
b. ( ) 3 9f x x
c. 2( ) 2 8f x x
d. 4( )
2 6f x
x
e. 2
5( )
5 6f x
x x
f. 2 5
( )3 9
xf x
x
g. 2 5 6f x x x
Tentukan
a. 2( ) 5f x x dan ( ) 2 3g x x
b. ( ) 1f x x dan 2( ) 4g x x
fg gf dan beserta domain dan range-nya!