Post on 12-Mar-2018
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS
MATRIKS(DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
Macam Matriks Matriks Nol (0)
Matriks yang semua entrinya nol.Ex:
Matriks Identitas (I)Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya 1 dan 0 pada tempat lain.Ex:
100010001
3I
000000000
,0000
Matriks Diagonal Matriks yang semua entri non diagonal
utamanya nol.Secara umum:
Ex:
8000000000400006
,100010001
,5002
nd
dd
D
...00
...0...00...0
2
1
Matriks Segitiga Matriks persegi yang
semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga bawah.
Matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga atas.
44
3433
242322
14131211
00000
0
aaaaaaaaaa
A
44434241
333231
2221
11
000000
aaaaaaa
aaa
A
Matriks Simetris Matriks persegi A disebut simetris jika
A = At
Ex:
4
3
2
1
000000000000
,705034541
,5337
dd
dd
Transpose Matriks (1) Jika A matriks mxn, maka transpose dari
matriks A (At) adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom.Ex:
303
512
350132
tAA
Transpose Matriks (2) Sifat:
1. (At)t = A2. (AB)t = At Bt
3. (AB)t = BtAt
4. (kA)t = kAt
Invers Matriks (1) Jika A adalah sebuah matriks persegi
dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A.
Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.
Invers Matriks (2) Ex:
adalah invers dari
karena
dan
21
53B
31
52A
IAB
10
012153
3152
IBA
10
013152
2153
Invers Matriks (3) Cara mencari invers khusus matriks 2x2:
Jika diketahui matriks
maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc0, dimana inversnya bisa dicari dengan rumus
dcbaA
bcada
bcadc
bcadb
bcadd
acbd
bcadA 11
Invers Matriks (4) Ex:
Carilah invers dari
Penyelesaian:
(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)
31
52A
2153
2153
11
2153
)1)(5()3(211A
Invers Matriks (5) Sifat:
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka:
1. AB dapat dibalik2. (AB)-1 = B-1 A-1
Pangkat Matriks (1) Jika A adalah suatu matriks persegi,
maka dapat didefinisikan pangkat bulat tak negatif dari A sebagai:A0 = I, An = A A … A (n≥0)
n faktor Jika A bisa dibalik, maka didefinisikan
pangkat bulat negatif sebagaiA-n = (A-1)n = A-1 A-1 … A-1
n faktor
Pangkat Matriks (2) Jika A adalah matriks persegi dan r, s
adalah bilangan bulat, maka:1. Ar As = Ar+s
2. (Ar)s = Ars
Sifat:1. A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A2. An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n, n=0,1,2,…3. Untuk sebarang skalar tak nol k, matriks kA
dapat dibalik dan 11 1)( Ak
kA
Invers Matriks Diagonal Jika diketahui matriks diagonal
maka inversnya adalah
nd
dd
D
...00
...0...00...0
2
1
nd
d
d
D
1...00
0...10
0...01
2
1
1
Pangkat Matriks Diagonal Jika diketahui matriks diagonal
maka pangkatnya adalah
kn
k
k
k
d
dd
D
...00
...0...00...0
2
1
nd
dd
D
...00
...0...00...0
2
1
Invers Matriks dengan OBE (1) Caranya hampir sama dengan
mencari penyelesaian SPL dengan matriks (yaitu dengan eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan)
A-1 = Ek Ek-1 … E2 E1 Indengan E adalah matriks dasar/ matriks elementer (yaitu matriks yang diperoleh dari matriks I dengan melakukan sekali OBE)
Invers Matriks dengan OBE (2) Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka
cara mencari inversnya adalah reduksi matriks A menjadi matriks identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini ke I untuk mendapatkan A-1.
Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas ke sisi kanan A, sehingga menghasilkan matriks berbentuk [A | I].
Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I. OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi A-1, sehingga matriks akhir berbentuk [I | A-1].
Invers Matriks dengan OBE (3) Ex:
Cari invers untuk
Penyelesaian:
801352321
A
101012001
520310
321
100010001
801352321
1312 2
bbbb
Invers Matriks dengan OBE (4) Penyelesaian Cont.
125012001
100310
321
125012001
100310
321323 2 bbb
1253513
91640
100010001
1253513
3614
100010021
213231 23
3bbbb
bb
Invers Matriks dengan OBE (6) Penyelesaian Cont. (2)
Jadi
(Adakah cara lain???)
1253513
916401A
Determinan Matriks 2x2 (1) Jika A adalah matriks persegi,
determinan matriks A (notasi: det(A)) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.
Jika diketahui matriks berukuran 2x2,maka determinan matriks Aadalah: det (A) = |A| = ad-
bc
dcbaA
Determinan Matriks 2x2 (2) Ex:
Jika diketahui matriks
maka | P | = (2x5) – (3x4) = -2
(Bagaimana kalau matriksnya tidak berukuran 2x2???)
54
32P
Determinan Matriks 3x3 (1) Untuk matriks berukuran 3x3, maka
determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus.
Determinan Matriks 3x3 (2) Ex:
)2)(4(1)1)(4(2)3)(5(3)2)(4(3)3)(4(2)1)(5(1235421
123454321
Determinan Matriks nxn (1) Untuk matriks nxn, digunakan ekspansi
kofaktor.
Determinan Matriks nxn (2) Kofaktor dan minor hanya berbeda
tanda cij = Mij. Untuk membedakan apakah kofator
pada ij bernilai + atau -, bisa dilihat pada gambar ini, atau dengan perhitungan cij = (-1)i+j Mij.
Determinan Matriks nxn (3) Determinan matriks dengan ekspansi
kofaktor pada baris pertama
Determinan Matriks nxn (4) Ex:
Adjoint Matriks (1) Jika diketahui matriks 3x3
Kofaktor dari matriks tersebut adalah:c11=9 c12=8c13=-2c21=-3 c22=-1 c23=4c31=-6 c32=-12 c33=3
Matriks kofaktor yang terbentuk
122410213
3126413289
Adjoint Matriks (2) Adjoint matriks didapat dari transpose
matriks kofaktor, didapat:
3421218639
3126413289 T
Invers Matriks nxn (1) Rumus:
dengan det(A)0 Ex: Cari invers dari
122410213
A
Invers Matriks nxn (2)Penyelesaian: det(A)=3(1)(1)+(-1)(4)(2)+2(0)(-2)-2(1)(2)-(-
2)(4)(3)-1(0)(-1)=3-7-0-4+24+0 =16
Adjoint A =
Maka A-1 =
3421218639
16/34/18/14/316/12/18/316/316/9
3421218639
161
Metode Cramer (1) Digunakan untuk mencari
penyelesaian SPL selain dengan cara eliminasi-substitusi dan eliminasi Gauss/Gauss-Jordan.
Metode Cramer hanya berlaku untuk mencari penyelesaian SPL yang mempunyai tepat 1 solusi.
Metode Cramer (2) Diketahui SPL dengan n persamaan dan n
variabela11 x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22x2 + … + a2n xn = b2…………………
an1 x1 + an2x2 + … + ann xn = bn
dibentuk matriks
nnnnn
n
n
b
bb
B
aaa
aaaaaa
A2
1
21
22221
11211
,
...
...
...
Metode Cramer (3) Syaratnya |A|0 Penyelesaian untuk variabel-variabelnya
adalah:
dengan |Ai| adalah determinan A dengan mengganti kolom ke-i dengan B.
AA
xAA
xAA
x nn ,...,, 2
21
1
Metode Cramer (4) Ex:
Carilah penyelesaian dari:2x+3y-z = 5x+2z = -4-x+4y-z = 6
Soal Buktikan
Buktikan
321
321
3212
321
332211
332211)1(
cccbbbaaa
tccc
btabtabtatbatbatba
))()((111
222bcacab
cbacba
Tugas Buat program untuk menghitung
determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dengan bahasa C++ !
Input berupa ukuran matriks (harus persegi), elemen-elemen matriks, baris/kolom yang akan dijadikan patokan.
Output berupa matriks yang bersangkutan dengan nilai determinannya.
Dikumpulkan di yessica_24@yahoo.com paling lambat saat TTS !
Kuis Cari a,b,c agar simetris
Cari invers dari
Cari matriks diagonal A supaya
Cari nilai x supaya
042811523258
caccbaab
cossinsincos
100010001
5A
53162301
131
xx
xx