M A T R I K S

Oleh:

Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc

Email: rahadiandimas@yahoo.com

JURUSAN ILMU DAN TEKNOLOGI PANGAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

DEFINISI...

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk

jajaran segi empat siku-siku yang diatur berdasa

Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut

entri dari matriks atau elemen atau unsur

35

23

41

036

142

312

52

1

2

4

2

ORDO MATRIK...

ORDO (ukuran) suatu matriks dinyatakan

dalam banyaknya baris (arah horizontal) dan

banyaknya kolom (arah vertikal).

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

21

22221

11211

Suatu matriks A dengan ukuran m x n ditulis:

ijmxnij aaA

Entri pada baris dan kolom dalam matriks A

juga biasa dinyatakan dengan simbol (A)ij

05

21A

Dapat ditulis (A)11 = 1, (A)12 = -2, (A)21 = ?, (A)22 = ?

Matriks bujursangkar

adalah matriks yang

jumlah baris dan jumlah

kolomnya sama.

Jika jumlah baris = jumlah

kolom = n, maka disebut

matriks bujursangkar

berorde n.

...JENIS MATRIKSMatriks Bujur Sangkar / Persegi

60

13A

311

312

104

B

Matriks nol adalah matriks yang semua

entri-entrinya sama dengan nol

...JENIS MATRIKS

Matriks Nol

0

0

0

00

00

000

000

Sifat-sifat matriks nol: 1. A + 0 = 0 + A = A

2. A – A = 0

3. 0 – A = –A

4. A0 = 0A = 0

Matriks satu adalah matriks yang semua

entri-entrinya sama dengan satu

...JENIS MATRIKSMatriks Satu / Vektor Satu

1

1

1

11

11

111

111

Matriks baris didefinisikan sebagai matriks yang

entri atau elemennya tersusun tepat satu baris

Matriks kolom didefinisikan sebagai matriks yang

entri atau elemennya tersusun tepat satu kolom

...JENIS MATRIKSMatriks Baris dan Matriks Kolom

52

1

2

4

Matriks diagonal adalah matriks bujursangkar

yang semua entri di luar diagonal utama sama

dengan nol. Dengan perkataan lain, (aij) adalah

matriks diagonal jika (aij)=0 untuk i≠j

...JENIS MATRIKS

Matriks Diagonal

20

01A

300

010

002

B

Matriks segitiga atas adalah matriks bujursangkar yang

semua entri di bawah diagonal utama sama dengan nol.

Matriks segitiga bawah adalah matriks bujursangkar yang

semua entri di atas diagonal utama sama dengan nol.

...JENIS MATRIKSMatriks Segitiga Atas dan Bawah

100

230

501

A

2000

7100

6510

4932

B

862

021

003

A

21193

0761

0032

0005

B

Matriks identitas adalah

matriks diagonal yang

semua entri pada

diagonal utama sama

dengan satu dan entri

lainnya adalah nol.

Matriks identitas biasa

ditulis I atau In di mana n

menunjukkan ukuran

matriks bujursangkar

tersebut.

...JENIS MATRIKS

Matriks Identitas

10

012I

100

010

001

3I

Sifat matriks

identitas adalah

seperti bilangan 1

(satu) dalam operasi-

operasi dengan

bilangan biasa, yaitu

jika A adalah matrik

sebarang, maka

AI = IA = A.

Jika adalah matriks berukuran m x n, maka transpose

dari A (ditulis AT ), adalah matriks n x m yang

diperoleh dari A dengan mengubah baris menjadi

kolom dan kolom menjadi baris.

...MATRIKS TRANSPOSE

Sekaligus menjadi bukti bahwa transpose dari matriks segitiga

bawah merupakan matriks segitiga atas, dan sebaliknya.

100

230

501

A

Carilah matriks transpose dari:

21193

0761

0032

0005

B

Maka aij = bij untuk setiap i dan j

Dengan demikian nilai w,x,y dan z dapat ditentukan

LATIHAN !

a. Tentukan nilai (z+y) x 3(x-w) – z3 !

b. Tentukan nilai z2 + (y-x)2 – w + 9 !

...KESAMAAN MATRIKS

wzzy

yxx

2

JIKA:

106

68=

...OPERASI MATRIKSPenjumlahan dan pengurangan

Jika dua matriks A dan B memiliki ukuran sama, maka kedua

matriks tersebut dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Penjumlahan A + B adalah menjumlahkan entri-entri pada

matriks A dengan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B.

Pengurangan A – B adalah matriks mengurangkan entri-entri

pada matriks A dengan entri-entri yang bersesuaian pada

matriks B. Dikatakan pula mengurangi matriks A dengan

matriks B, yaitu A – B, adalah menjumlahkan matriks A dengan

–B. Jadi A – B = A + (–B).

Matriks-matriks dengan ukuran berbeda tidak dijumlahkan atau

dikurangkan.

.

...LATIHAN

89

125A

42

69B

1396

7617C

TENTUKAN !

a. A+B e. (A+A)+B

b. B+A f. A+(A+B)

c. A-B g. A+C

d. B-A h. B+C

Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks:

• Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks berukuran

sama, dan k skalar, maka

1. A + B = B + A (komutatif)

2. (A + B) + C = A + (B + C) (asosiatif)

3. k(A + B) = kA + kB (distributif)

4. Selalu ada matriks D sedemikian sehingga A + D = B

.

...OPERASI MATRIKSPerkalian Skalar dengan Matriks

Jika A adalah sebarang matriks dan k adalah sebarang

skalar, maka perkalian kA adalah mengalikan setiap

entri pada matriks A dengan bilangan k.

TENTUKAN !

a. 2B

b. 3A

c. 3B+3C

d. 3(B+C)

21

33A

32

13B

26

34C

...OPERASI MATRIKSPerkalian Matriks dengan Matriks

• Perkalian dua matriks A dan B, yaitu AB, dapat

dilakukan jika jumlah kolom dari matriks A sama

dengan jumlah baris dari matriks B.

• Jika A=(aij) adalah matriks berukuran m x r dan

B=(bij) adalah matriks berukuran r x n, maka

perkalian AB adalah suatu matriks B=(cij) berukuran

m x n dimana entri ke-ij berasal dari perkalian baris

ke-i dari matriks A dengan kolom ke-j dari matriks B

yang kemudian dijumlahkan

.

...LATIHAN

89

125A

42

69B

1396

7617C

TENTUKAN !

a. AB e. ABC h. A(AB)

b. BA f. BCA i. (AA)B

c. AC g. CBA

d. CA

Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks yang memenuhi

syarat-syarat perkalian matriks yang diperlukan, maka:

1. A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA (distributif)

2. A(BC) = (AB)C (asosiatif)

3. AB ≠ BA (tidak komutatif)

4. Jika AB = 0, di mana 0 adalah matriks nol, yaitu matriks yang

semua elemennya sama dengan nol, maka ada tiga

kemungkinan: (i) A = 0 dan B = 0

(ii) A = 0 atau B = 0

(iii) A ≠ 0 dan B ≠ 0

5. Bila AB = AC, belum tentu B = C

Setiap matriks bujursangkar A selalu dihubungkan

dengan suatu skalar yang disebut determinan dari

matriks tersebut. Determinan dari matriks A ditulis

det(A) atau │A │

...DETERMINAN

...MENCARI DETERMINAN

MATRIKS 2x2

2221

1211

aa

aaA

2221

1211

aa

aa

maka determinan dari matriks A mengikuti anak panah berikut:

dengan det(A)=a11a22 – a12a21

...LATIHAN

27

46A

CARILAH DETERMINAN DARI MATRIKS BERIKUT !

60

33B

65

65C

42

23D

41

54E

23

10F

...MENCARI DETERMINAN

MATRIKS 3x3

maka determinan dari matriks A

mengikuti anak panah berikut:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

322311332112312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa dengan det(A)=

...LATIHANCARILAH DETERMINAN DARI MATRIKS BERIKUT !

100

230

501

A

112

010

321

B

862

021

003

C

311

212

113

D

...INVERS MATRIKS

• Jika A adalah matriks bujursangkar, dan

terdapat matriks B yang memiliki ukuran

sama sedemikian sehingga AB = BA = I,

maka A disebut matriks yang mempunyai

invers (invertible) dan B disebut sebagai

invers dari A.

...CONTOH

31

21A

JIKA: DAN:

11

23B

MAKA DAPAT DIPASTIKAN BAHWA B ADALAH INVERS DARI A

ATAU BIASA DITULIS A-1

IAB

10

01

11

23

31

21

IBA

10

01

31

21

11

23BUKTI

...MENCARI INVERS MATRIKS 2x2

bcad

a

bcad

cbcad

b

bcad

d

ac

bd

bcadA

11

dc

baA mempunyai invers apabila ad-bc≠0

...LATIHAN

27

46A

CARILAH INVERS DARI MATRIKS BERIKUT !

60

33B

65

65C

42

23D

41

54E

23

10F

Untuk matriks bujursangkar secara umum, invers dari

matriks tersebut dapat dicari dengan menggunakan Operasi

Baris Elementer (OBE). Misal A adalah matriks

bujursangkar sebarang. Pada matriks A tersebut dilakukan

serangkaian OBE sedemikian sehingga menjadi matriks

identitas I. Selanjutnya, pada matriks I juga dilakukan

serangkaian OBE yang sama, sehingga akan diperoleh

matriks A-1.

...MENCARI INVERS MATRIKS

BUJUR SANGKAR SECARA UMUM

IA : 1: AIOBE

...CONTOH

Tentukan invers dari

112

010

321

A

JAWAB:

IA :

100

010

001

:

:

:

112

010

321=

~13 2BB

102

010

001

:

:

:

530

010

321

~23 3BB

132

010

001

:

:

:

500

010

321

~5

13

B

515352

010

001

:

:

:

100

010

321

~21 2BB

515352

010

021

:

:

:

100

010

301

~31 3BB

515352

010

535151

:

:

:

100

010

001

1: AI

Carilah x dan y apabila

x+2y=5 dan 2x+5y=12

a. dengan metode subtitusi

b. dengan metode OBE

... PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

DENGAN MATRIKS DAN OBE

Penyelesaian dengan OBE :

210

101

210

521

1252

521~~

2112 22 BBBB

Jika dikembalikan ke SPL maka:

1x+0y=1 x=1

0x+1y=2 y=2

Sehingga didapatkan x=1 dan y=2

Selesaikan dengan OBE !

1.

3.

2.

...LATIHAN

SELAMAT

BELAJAR !