ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1...

17
- Halaman 1 Catatan Perkuliahan ALJABAR LINIER DAN MATRIKS Endaryono POGRAM STUDI INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMPUTER (FTIK) UNIVERSITAS INDRAPRASTA (UNINDRA) PGRI 2020

Transcript of ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1...

Page 1: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 1

Catatan Perkuliahan

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

Endaryono

POGRAM STUDI INFORMATIKA

FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMPUTER (FTIK)

UNIVERSITAS INDRAPRASTA (UNINDRA) PGRI

2020

Page 2: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 2

BAB IV

Determinan Matriks

Setelah menyelesaikan pembahasan bab IV ini, diharapkan mahasiswa dapat

memahami :

1. Pengertian Determinan

2. Determinan Matriks Ordo 2x2

3. Determinan Matriks Ordo 3x3 Metode Sarrus

4. Determnan Matriks Metode Kofaktor

5. Determinan Matriks ordo 4x4

A. Pengertian Determinan

Determinan suatu matriks A, ditulis: det A atau |A| adalah nilai skalar yang dihitung

dari entri-entri matriks persegi.

Dalam Aljabar Linier, determinan matriks akan memberikan informasi mengenai

sifat-sifat matriks tersebut. Penggunaan determinan antara lain: penentuan invers

matriks, penyelesaian Sistem persamaan Linier (SPL), penentuan transformasi luas

atau volume pada bangun ruang, dan lain-lain.

Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya

adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut.

AadjA

A .11 --------------------- Persamaan 4.1

Suatu matriks A yang memiliki determinan sama dengan nol (det A = 0) maka

matriks tersebut dinamakan matriks singular. Matriks singular tidak memiliki invers

matriks, mengapa?. Silahkan dijawab berdasarkan persamaan 4.1

B. Determinan Matriks Ordo 2x2

Matriks A2x2 adalah matriks ordo 2x2

2221

1211

aa

aaA

Page 3: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 3

Maka determinan matriks A adalah:

||det AA

‘2221

1211

aa

aa

-------- Persamaan 4.2

Dalam pustaka lain, dituliskan:

dc

baA

Det A = |A|

Contoh 4-1

Carilah determinan matriks A

14

23A

Jawab

Det A = |A|

14

23

= (3.1) – (-2.4) = 3 - (-8) = 11

C. Determinan Matriks Ordo 3x3 Metode Sarrus

Determinan metode Sarrus dikemukakan oleh penemunya, Pierre

Frédéric Sarrus (10 Maret 1798 – 20 November 1861), seorang

matematikawan Perancis. Sarrus adalah profesor di Universitas

Strasbourg, Perancis (1826-1856). Ia menemukan aturan dalam

|A| = (a11a22) - (a12a21)

|A| = (ad) – (bc)

Page 4: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 4

menentukan determinan matriks berordo 3x3 yang dinamakan skema Sarrus,

sebuah metode yang mudah untuk diingat (easy–to–remember), seperti bentuk

perkalian silang.

Penjelasan metode Sarrus untuk determinan matriks ordo 3x3 sebagai berikut:

Diketahui suatu matriks A3x3 atau matriks ordo 3x3

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Maka determinan matriks A adalah:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3131

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

)()()( 312231211331233321123223332211 aaaaaaaaaaaaaaa

312213312113312312332112322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

312213332112322311312113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

312213332112322311312113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

322311332112312213312113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

Dengan demikian, determinan matriks ordo 3x3 metode Sarrus adalah:

|A| = (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a31) – (a13a22a31) – (a12a21a33) – (a11a23a32)

Untuk diingat, pola perkaliannya adalah:

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

33

23

13

32

22

12

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

a

a

a

a

a

a

-------- Persamaan 4.3

|A| = (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a31) – (a13a22a31) – (a12a21a33) – (a11a23a32) --- Pers. 4.3

(a11a22a33)

(a12a23a31) (a13a21a31)

– (a12a21a32)

– (a13a22a31)

– (a11a23a32)

Page 5: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 5

Contoh 4-2

968

754

321

B Determinan matriks B adalah:

Det B = |B|

= (1.5.-9) + (-2.7.8) + (3.-4.6) - (3.5.8) - (-2.-4.-9) - (1.7.6)

= -45 + (-112) + (-72) - (120) - (-72) - 42

= -319

Jika kita ingin buat dalam program sederhana, yaitu dalam Excel, dapat dilihat:

Formula Excel di cel G11 adalah:

=(C10*D11*E12)+(D10*E11*C12)+(E10*C11*

D12)-(E10*D11*C12)-(D10*C11*E12)-

(C10*E11*D12)

D. Determinan Matriks dengan Ekspansi Kofaktor

Untuk menentukan determinan dengan metode Ekspansi kofaktor, perlu dipahami

istilah berikut:

1. Minor (Mij)

Minor ij suatu matriks A adalah determinan matriks A dengan menghilangkan baris

ke-i dan kolom ke-j

Contoh:

968

754

321

A

M13 adalah

968

754

321

68

5413

M

543024)6.5()6.4(

Page 6: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 6

M21 adalah

968

754

321

96

3221

M

01818)6.3()9.2(

2. Cofaktor (Cij)

Cofaktor ij suatu matriks A adalah bilangan scalar hasil dari negative satu pangkat

baris-i tambah kolom-j dikali minornya. Ditulis:

-------- Persamaan 4.4

Contoh 4-3

968

754

321

A

1. 13

31

13 .)1( MC = 68

54.)1( 4

= 1 . -54 = -54

2. 21

12

21 .)1( MC

= 96

32.)1( 3

= -1 . 0 = 0

Catatan:

(-1)1 = -1 (-1)3 = -1 (-1)ganjil = -1 (-1)2 = 1 (-1)4 = 1 (-1)genap = 1

Menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor

968

754

321

A

Menghitung determinan matriks A ekspansi kofaktor baris ke-1

3

1

11detj

ijCaA

131312121111 Ca + CaCa

68

54.)1).(3(

98

74.)1).(2(

96

75.)1.(1 312111

= 1.1.(-45 - 42) + -2.-1.(36 - 56) + 3.1.(-24 - 40)

= 1.(-87) + 2.(-20) + 3.(-64)

= -87 + (-40) + (-192)

= -319 (bandingkan dengan contoh 4-2, hasilnya sama dengan metode Sarrus)

Cij = (-1)(i+j) . Mij

Page 7: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 7

Menghitung determinan matriks A ekspansi kofaktor baris ke-3

3

1

33detj

ijCaA

333332323131 Ca + CaCa

54

21.)1).(9(

74

31.)1).(6(

75

32.)1.()8( 332313

= 8.1.(-14 - 15) + 6.-1.(7 – (-12)) + (-9).1.(5 – 8)

= 8.(-29) + -6.(19) + -9.(-3)

= -232 + -114 + 27

= -319 (bandingkan dengan contoh 4-2, hasilnya sama dengan metode Sarrus)

E. Sifat-sifat Determinan

Beberapa sifat-sifat determinan, antara lain

1. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom sama dengan nol, maka

determinan matriks tersebut adalah nol.

14

00A

10

30B

968

000

321

C

Det A = 0

Det B = 0 Det C = 0

2. Jika semua elemen dari salah satu baris atau kolom itu sama dengan elemen-

elemen baris atau kolom lain, maka determinan matriks tersebut adalah nol.

31

31A

371

143

371

B

686

343

171

C

Det A = 0

Det B = 0 Det C = 0

3. Jika elemen-elemen salah satu dari baris atau kolom merupakan kelipatan dari

elemen-elemen baris atau kolom lain maka determinan matriks adalah nol.

62

31A

286

143

371

B

1286

943

371

C

Det A = 0

Det B = 0 Det C = 0

Page 8: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 8

4. Determinan transpose suatu matriks adalah sama dengan determinan matriks

tersebut.

|AT| = |A|, untuk AT ialah transpose dari matriks A

5. Jika matriks A adalah matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks

diagonal, maka determinan A = hasil kali elemen diagonal utama.

200

750

341

A

768

014

004

A

300

050

001

A

det A = 1.5.2 = 10

det B = 4.1.-7 = -28 Det C = 1.5.-3 = -15

6. Jika matriks B dihasilkan dari matriks A setelah dua baris atau dua kolomnya

ditukar, maka determinan B adalah negative dari determinan matriks A.

Ditulis: |B|= -|A|

200

750

341

A

341

750

200

B

|B| = -|A|

det A = 10

det B = -10

7. Jika matriks B adalah matriks yang diperoleh dari matriks A setelah salah satu

baris atau kolomnya dikalikan dengan konstanta k, maka determinan B adalah k

kali dari determinan A.

Ditulis: |B| = k.|A|

200

750

341

A

200

750

682

B

|B| = 2 |A|

det A = 10

det B = 20

8. Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A setelah salah satu baris atau

kolomnya dijumlah dengan perkalian konstanta k kali elemen baris atau kolom

yang lainnya, maka determinan B sama dengan determinan A (lihat teori

transformasi elementer Bab 3)

Ditulis: |B| = |A|

200

750

341

A

200

13132

341

B

|B| = |A|

det A = 10

det B = 2. ( (1.13)-(4.2) ) det B = 2. (13 - 8) = 2.5 = 10

B2+2B1

Page 9: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 9

9. |AB| = |A| ×|B|

10. |kA| = k |A|, untuk A matriks persegi ordo n n dan k adalah konstanta

F. Determinan Ordo 4x4

Untuk menentukan determinan matriks ordo 4x4, dapat dilakukan dengan beberapa

cara, diantaranya:

1. Cara ekspansi kofaktor langsung

2. Cara ekspansi kofaktor dengan tranformasi elementer

3. Cara ekspansi kofaktor dengan tranformasi elementer dan bentuk segitiga

4. Cara Sarrus

1. Cara ekspansi kofaktor langsung

Untuk menentukan determinan matriks ordo 4x4 dengan ekspnsi kofaktor,

digunakan persamaan yang sudah dipahami, yaitu:

ijijCaAdet dan

Cij = (-1)(i+j) . Mij

Contoh 4-4

Tentukan determinan matriks ordo 4x4 berikut

2222

3133

1121

1312

A

Jawab

2222

3133

1121

1312

A

Page 10: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 10

Kita bebas dalam melakukan ekspansi kofaktor, bisa ekspansi kofaktor tehadap baris

atau ekspansi kofaktor terhadap kolom.

Misalkan kita akan melakukan ekspansi kofaktor terhadap baris ke-1, dan kita

ketahui dalam soal bahwa jumlah kolom ada 4, maka persamaan determinan adalah:

4

1

11

j

jjCaA

14141311312121111 CaCaCaCaA

222

133

121

.)1(.1

222

333

121

.)1(.3

222

313

111

.)1(.1

222

313

112

)1.(2 41312111

A

Dicari masing-masing suku tersebut di atas. Untuk determinana ordo 3x3 dapat

dicari dengan beberapa cara, misalkan cara Sarrus.

222

313

112

)1.(2 11

1111

Ca

))2.3.2()2.3.1()2.1.1()2.3.1()2.3.1()2.1.2(.(1.21111 Ca

)1262664.(1.21111 Ca

)8.(1.21111 Ca

161111 Ca

222

313

111

.)1(.1 21

1212

Ca

))2.3.1()2.3.1()2.1.1()2.3.1()2.3.1()2.1.1(.(1.11212 Ca

)662662.(1.11212 Ca

)8.(11212 Ca

81212 Ca

222

333

121

.)1(.3 31

1313

Ca

))2.3.1()2.3.2()2.3.1()2.3.1()2.3.2()2.3.1(.(1.31313 Ca

)61266126.(1.31313 Ca

36)12.(31313 Ca

Page 11: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 11

222

133

121

.)1(.1 41

1414

Ca

))2.1.1()2.3.2()2.3.1()2.3.1()2.1.2()2.3.1(.(1.11414 Ca

)2126246.(1.11414 Ca

)12.(11414 Ca

121414 Ca

Sehingga:

14141311312121111 CaCaCaCaA

1236816 A

16A

2. Cara ekspansi kofaktor dengan operasi transformasi elementer

Untuk cara ini, matriks sebelum dilakukan penghitungan determinan disederhanakan

terlebih dahulu menjadi matriks ekuivalen dengan menggunakan aturan transformasi

elementer.

Matriks ekuivalen yang didapatkan akan memiliki elemen bernilai 0 yang akan

memudahan perhitungan determinan.

Untuk diingat dalam sifat-sifat determinan, antara lain:

Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A setelah salah satu baris atau

kolomnya dijumlah dengan perkalian konstanta k kali elemen baris atau kolom yang

lainnya, maka determinan B sama dengan determinan A. Ditulis: |B| = |A|

Contoh 4-5

Tentukan determinan matriks ordo 4x4 berikut

2222

3133

1121

1312

A

Page 12: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 12

Jawab

Dilakukan trasnformasi linier agar didapat matriks ekuivalen yang entrinya bernilai 0

1110

3133

1121

1312

114

2222

3133

1121

1312

BB

1110

0230

1121

1312

2.33

1110

3133

1121

1312

BB

1110

0230

1121

3150

2.21

1110

0230

1121

1312

BB

1110

0230

0011

3150

4.12

1110

0230

1121

3150

BB

1110

0230

0011

0420

4.31

1110

0230

0011

3150

BB

1110

0230

0011

0080

3.21

1110

0230

0011

0420

BB

105,00

0230

0011

0080

3.2/14

1110

0230

0011

0080

BB

105,00

0230

0001

0080

1).8/1(2

105,00

0230

0011

0080

BB

1000

0230

0001

0080

1).16/1(4

105,00

0230

0001

0080

BB

Hasil matriks ekuivalen yang didapat yaitu:

1000

0230

0001

0080

'A

Page 13: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 13

Perhatikan bahwa matriks yang didapat lebih sederhana, sehngga kita dapat

menentukan determinan matriks dengan ekspansi kofaktor terhadap baris atau

kolom yang banyak memiliki nilai 0.

Misalkan kita akan melakukan ekspansi kofaktor terhadap kolom ke-4

1000

0230

0001

0080

'A

4

1

44

i

ii CaA

230

001

080

.)1(.1

000

001

080

.)1(.0

000

230

080

.)1(.0

000

230

001

)1.(0 44434241

A

)0)16(0000.(1.1000 A

16A

3. Cara ekspansi kofaktor dengan transformasi elementer dan bentuk segitiga

Ingat kembali tentang sifat determinan berkaitan dengan matriks segitiga.

Jika matriks A adalah matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks

diagonal, maka determinan matriks A = hasil kali elemen diagonal utama.

Contoh 4-6

Tentukan determinan matriks ordo 4x4 berikut

2222

3133

1121

1312

A

Jawab

Matriks A akan dibuat menjadi matriks segitiga

2222

3133

1121

1312

A

Page 14: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 14

Lakukan transformasi baris terhadap elemen a11 terlebih dahulu

2222

3133

1121

1312

15,02 BB

2222

3133

5,15,05,20

1312

0,5 hasil pembagian 1 di B2 dan 2 di B1

2222

3133

5,15,05,20

1312

15,13 BB

2222

5,45,35,40

5,15,05,20

1312

1,5 hasil pembagian 3 di B3 dan 2 di B1

2222

5,45,35,40

5,15,05,20

1312

114 BB

1110

5,45,35,40

5,15,05,20

1312

1 hasil pembagian 2 di B4 dan 2 di B1

1110

5,45,35,40

5,15,05,20

1312

28,13 BB

1110

8,16,200

5,15,05,20

1312

1,8 dari pembagian 4,5 di B3 dan 2,5 di B2

1110

8,16,200

5,15,05,20

1312

24,04 BB

4,02,100

8,16,200

5,15,05,20

1312

0,4 dari pembagian 1 di B4 dan 2,5 di B2

4,02,100

8,16,200

5,15,05,20

1312

3462,04 BB

231,1000

8,16,200

5,15,05,20

1312

0,462 hasil pembagian 1,2 di B4 dan 2,6 di B3

Sehingga : 003,16231,1.6,2.5,2.2 A

4. Cara Sarrus

Metode Sarrus untuk penentuan determinan matriks ordo 4x4 terdiri 4 langkah,

Langkah ke-1 mencari A1

Langkah ke-1 dimulai tanda + (plus) dengan aturan 1 – 1 – 1

a ke f = 1, f ke k = 1 dan k ke p = 1

Sehingga pola A1 = 1 – 1 – 1

A1 = + afkp - bglm + chin - dejo

- ahkn + belo - cfip + dgjm

Page 15: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 15

Langkah ke-2 mencari A2

Langkah ke-2 dimulai tanda - (minus) dengan aturan 1 – 2 – 3

a ke f = 1, f ke l = 2 dan l ke 0 = 3

Sehingga pola A2 = 1 – 2 – 3

A2 = - aflo + bgip – chjm + dekn

+ ahjo - bekp + cflm - dgin

Langkah ke-3 mencari A3

Langkah ke-3 dimulai tanda + (plus) dengan aturan 2 – 1 – 2

a ke g = 2, g ke l = 1 dan l ke n = 2

Sehingga pola A3 = 2 – 1 – 2

A3 = + agln - bhio + cejp - dfkm

- agjp + bhkm – celn + dfio

Langkah ke-4 mencari determinan matriks A

Det A = |A| = A1 + A2 + A3

Contoh 4-7 Tentukan determinan matriks ordo 4x4 berikut

2222

3133

1121

1312

A

Jawab

2222

3133

1121

1312

2222

3133

1121

1312

1

A

A1 = (afkp) – (bglm) + (chin) – (dejo) – (ahkn) + (belo) – (cfip) + (dgjm)

A1 = (2.-2.1.2) – (-1.-1.3.-2) + (3.-1.3.2) – (-1.-1.3.-2)

– (2.-1.1.2) + (-1.-1.3.-2) – (3.-2.3.2) + (-1.-1.3.-2)

A1 = (-8) – (-6) + (-18) – (-6) – (-4) + (-6) – (-36) + (-6)

A1 = -8 + 6 -18 + 6 + 4 – 6 + 36 – 6 = 14

Page 16: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 16

2

3

2

1

2

3

1

2

2222

3133

1121

1312

2222

3133

1121

1312

2

3

1

1

2

1

1

3

2

A

A2 = - (aflo) + (bgip) – (chjm) + (dekn) + (ahjo) – (bekp) + (cflm) – (dgin)

A2 = - (2.-2.3.-2) + (-1.-1.3.2) - (3.-1.3.-2) + (-1.-1.1.2)

+ (2.-1.3.-2) - (-1.-1.1.2) + (3.-2.3.-2) - (-1.-1.3.2)

A2 = - (24) + (6) – (18) + (2) + (12) – (2) + (36) – (6)

A2 = 6

2

3

1

2

2222

3133

1121

1312

2222

3133

1121

1312

2

3

1

1

3

A

A3 = + (agln) – (bhio) + (cejp) – (dfkm) - (agjp) + (bhkm) – (celn) + (dfio)

A3 = (2.-1.3.2) - (-1.-1.3.-2) + (3.-1.3.2) - (-1.-2.1.-2)

- (2.-1.3.2) + (-1.-1.1.-2) - (3.-1.3.2) + (-1.-2.3.-2)

A3 = (-12) - (-6) + (-18) - (-4) - (-12) + (-2) - (-18) + (-12)

A3 = -4

Sehingga:

Det A = |A| = A1 + A2 + A3

Det A = |A| = 14 + 6 + (-4) = 16

Page 17: ALJABAR LINIER DAN MATRIKS · Secara umum, suatu matriks A memiliki invers matriks, ditulis A-1 yang nilainya adalah satu per determinan dikali adjoin matriks tersebut. adjA A A .

Endaryono – Bab 4. Determinan Matriks dan Ekspansi Kofaktor

- Halaman 17

TUGAS – 4

Kerjakan di kertas dengan tulisan tangan.

(boleh HVS atau Folio bergaris). Jangan lupa cantumkan nama dan NPM

__________________________________________________________________

Diketahui suatu matriks A

210

121

012

A

1915

4634

0003

0132

B

1. Tentukan determinan matriks A dengan metode Sarrus.

2. Tentukan determinan matriks A dengan ekspansi kofaktor terhadap baris ke-3

3. Tentukan determinan matriks A dengan ekspansi kofaktor terhadap kolom ke-2

4. Tentukan determinan transpose matriks A, ditulis: |AT|

5. Tentukan determinan matriks B ordo 4x4 (metode atau cara bebas)

Selamat mengerjakan