Aljabar

Nama kelompok

1) Scholastica ardina riski cahya(292011305)

2) Sri hartini (292011313)

3) Anita kumala dewi(292011314)

Pengertian aljabar

Aljabar adalah cara untuk menghitung dan memanipulasi hubungan antara jumlah yang

menggunakan huruf untuk mempresentasikan angka-angka.

Bentuk aljabarBentuk aljabar adalah bentuk matematika yang didalamnya memuatvariabel atau konstanta. Perhatikan bentuk-bentuk aljabar berikut!1) 2x2) + 33) + 2y + 1

Bentuk aljabar 1) terdiri dari 1 suku, disebut bentuk aljabar suku 1,bentuk aljabar 2) disebut bentuk aljabar suku 2, dan bentuk aljabar 3)disebut bentuk aljabar suku 3. Perhatikanbentuk aljabar 3)! x dan y disebut variabel, –3 dan 2 disebut koefisien,dan 1 disebut konstanta.

  Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan danpengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-sukuyang sejenis.Contoh:Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan

bentukaljabarberikut:a. -4ax + 7axb. (2x2 – 3x +2) + (4x2 -5x + 1)c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2)

Penyelesaian:

a. -4ax + 7ax = (-4 – 7 ) ax = 3axb. (2x2 – 3x +2) + (4x2 -5x + 1) = 2x2 – 3x +2 + 4x2 -5x + 1 = 2x2 + 4x2 – 3x – 5x +2 + 1 =(2 + 4)x2 +(-3 – 5) x + (2 +1) = 6 x2 – 8x +3c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) = 3a2 + 5 – 4a2 + 3a – 2 = 3a2 - 4a2 +3a+5 – 2 =(3 – 4) a2 +3a + (5 – 2) = – a2 +3a +3

2. Perkalian

a. Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

• k(ax) = kax• k(ax + b) = kax +kb

contoh:jabarkan bentuk aljabar berikut,kemudiansederhanakanlah.a. 4(p + q)b. 5 (ax +by)c. 3(x – 3) + 6 (7x + 1)d. -8 (2x – y +3z)

penyelesaian

a. 4(p+q) = 4p + 4qb. 5 (ax + by) = 5ax +5byc. 3(x – 3) + 6 (7x + 1) = 3x – 6 + 42x +6 = (3 + 42) x – 6 + 6 = 45xd. -8 (2x – y +3z) = -16x + 8y – 24 z

a. Unsur-Unsur Dalam Aljabar

Dalam aljabar kita harus mengenal terlebih dahulu mengenai apa yang dimaksud dengan suku, faktor, koefisien, konstanta, variabel, suku sejenis dan tidak sejenis.

a. SukuSuku adalah bentuk aljabar yang dipisahkandengan menggunakan tanda (+) atau tanda (–)Contohnya:• 2a+3 terdiri dari dua suku yaitu 2a dan 3• a+b-c terdiri dari tiga suku yaitu a,b dan c

b. FaktorBilangan yang membagi habis suatu bilanganCotoh:• axbxc atau abc a,b dan c masing-masing disebut faktor.

c. KoefisienKoefisien adalah faktor angka pada suatu hasilbilangan kali dengan suatu peubah.Contoh:• 4x-y=2, koefisien x adalah 4 dan koefisien y

adalah satu ( jika koefisiennya sama dengan 1,tidak harus ditulis).

d. KonstantaKonstanta adalah lambang yang menyatakan suatubilangan tertentu.Variabel atau peubah adalahlambang yang digunakan untuk menyatakan unsurtak tentu dalam suatu himpunan.Contoh:• 2/3 x-3/2 y= 2, suku 2 merupakan konstanta

sedangkan x dan y merupakan variabel peubah.

e. Suku Sejenis dan Tidak SejenisDikatakan suku sejenis jika memuat peubah danpangkat dari peubah yang sama,sedangkan jikaberbeda dikatakan suku tidak sejenis.Contoh:• 2q + 3q = 5q, suku-sukunya sejenis• 2p-3q, suku-sukunya tidak sejenis.

PERSAMAAN LINEAR• Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka

yang menyatakan hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah

ax + b = c, dengan a,b,c R dan a 0Contoh : 4x+ 8 = 0• Persamaan linear dua variabel adalah persamaan

yang mengandung dua variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah

ax + by = c, dengan a,b,c R dan a 0, b 0Contoh : 4x+2y=0

Sifat-sifat persamaan lineara. Nilai persamn tidak berubah, jika : 1) Kedua ruas ditambah atau dikurangi bilangan yang sama. 2) Kedua ruas dikalikan atau dibagi bilangan yang sama.

b. Suatu persamaan jika dipindahkan ruas, maka : 1) Penjumlahan berubah menjadi pengurangan dan sebaliknya. 2) Perkalian berubah menjadi pembagian dan sebaliknya.

Pertidaksamaan Linear• Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka

dalam matematika yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan.

• Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :ax+by>cax+by<cax+by≥cax+by≤cdengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana a,b,c anggota bilangan riil dan a≠0,b≠0 .

Sistem Persamaan Linear 

• Sistem Persamaan Linear  1 Variabel

• System persamaan linear 1 variable adalah persamaan linear yang menggunakan satu variable.

• Contoh :• 5x + 7 = 17 • 12y + 3 = 15 • 6r = 2 + 4

• Contoh penyelesaian :5X + 7 = 175X = 17 – 75X = 10X = 2Jadi nilai X = 2, dan HP ( 2 )

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

• Dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

• Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah

• ax + by = cpx + qy = d

• Ket : x dan y disebut variabela, b, p dan q disebut koefisienc dan r disebut konstanta

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Metode Eliminasi• Dengan menghilangkan (mengeliminasi)

salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya.

Contoh dengan metode eliminasi• Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan

2x + 3y = 6 dan x – y = 3Penyelesaian:2x + 3y = 6 dan x – y = 3

• Langkah I (eliminasi variabel y)Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 3.2x + 3y = 6 3x + 3y = 92x + 3y = 63x + 3y = 9 --x = -3x = 3

Langkah II (eliminasi variabel x)Seperti langkah I, untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga

• 2x + 3y = 62.3 + 3y = 66 + 3y = 63y = 6 -6 y = 0Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}.

2. Metode SubstitusiMenyatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya.

Contoh dengan metode substitusi2x+3y = 6 dan x – y = 3

Penyelesaian:Persamaan x – y = 3 ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 diperoleh sebagai berikut:2x + 3y = 6<=> 2 (y + 3) + 3y = 6<=> 2y + 6 + 3y = 6<=> 5y + 6 = 6<=> 5y + 6 – 6 = 6 – 6<=> 5y = 0<=> y = 0

Selanjutnya untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke persamaan x = y +3, sehingga diperoleh:x = y + 3<=> x = 0 + 3<=> x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(3,0)}

3.Cara Eliminasi dan SubstitusiContoh  : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier berikut2x + 5y = 16 . . . . . . . ( i )3x + y = 11 . . . . . . . ( ii )

Penyelesaian :2x + 5y = 16| x 3 | 6x + 15y = 48 3x + y = 11| x 2 | 6x + 2y = 22

-------------- - 13y = 26 y = 2

Substitusi y = 2 ke persamaan ( ii )3x + y = 11 3x + 2 = 11Û 3x = 9 x = 3Jadi penyelesaiannya adalah ( 3 , 2 )

4. Metode Grafik• Langkah-langkahnya sebagai berikut :• Gambarlah grafik garis lurus pada bidang

koordinat.• Tentukan titik potong kedua garis

tersebut. Koordinat titik potong tersebut merupakan pasangan penyelesaian dari system persamaan yang dimaksud.

Contoh dengan metode grafik

Perhatikan dua sistem persamaan dua variabel

Grafik garis menunjukkan himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan dalam sistem. Oleh karena itu, perpotongan kedua garis adalah gambar dari penyelesaian sistem.

Solusi dari sistem adalah Grafik mungkin sejajar atau mungkin berimpit

SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL

• a1 x + b1 y + c1 z = d1 . . . . . (1)

• a2 x + b2 y + c2 z = d2 . . . . . (2)

• a2 x + b2 y + c2 z = d2 . . . . . (3)

untuk

2

1

2

1

2

1

2

1

d

d

c

c

b

b

a

a

Cara SubstitusiContoh  :Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan dengan cara substitusi :

3x + 2y + 2z = 18 . . . . . . . . . . . . . ( i )4x + 3y – 5z = 17 . . . . . . . . . . . . . ( ii )2x – y + z = 7 . . . . . . . . . . . . . ( iii )

Penyelesaian :Dari persamaan ( iii ) : 2x – y + z = 7

z = – 2x + y + 7 ( iiia )Substitusikan ( iiia ) ke ( i ) : 3x + 2y + 2 (– 2x + y + 7 ) = 18 3x + 2y – 4x + 2y + 14 = 18 – x + 4y = 4 ……. ( iv )Substitusikan ( iiia ) ke ( ii ) : 4x + 3y – 5 (– 2x + y + 7 ) = 17 4x + 3y + 10x – 5y – 35 = 17Û 14x – 2y = 52 y = 7x – 26 ….. ( v )

• Substitusikan ( v ) ke ( iv ) : – x + 4y = 4 – x + 4 ( 7x – 26 ) = 4 Û – x + 28x – 104 = 4 27x = 108 x = 4

Untuk x = 4 substitusikan ke ( v ) diperoleh nilai y y = 7x – 26 y = 7.4 – 26 = 28 – 26 = 2

Untuk x = 4 dan y = 2 selanjutnya substitusikan ke ( iii ) diperoleh nilai z.2x – y + z = 7 2.4 – 2 + z = 7 8 – 2 + z = 7 z = 1

Jadi penyelesaiannya adalah ( 4 , 2 , 1 ).

Cara Eliminasi dan SubstitusiContoh :Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan dengan cara

eliminasi dan substitusi :3x + 2y + 2z = 18 . . . . . . . . . . . . . ( i )4x + 3y – 5z = 17 . . . . . . . . . . . . . ( ii )2x – y + z = 7 . . . . . . . . . . . . . ( iii )

Penyelesaian :Kita harus tentukan salah satu variabel yang akan kita eliminir ,

misalkan variabel z.( i ) 3x + 2y + 2z = 18 |x1| 3x + 2y + 2z = 18( iii ) 2x – y + z = 7 |x2| 4x – 2y + 2z = 14

------------------ – – x + 4y = 4 ( iv )

( ii ) 4x + 3y – 5z = 17|x1| 4x + 3y – 5z = 17( iii ) 2x – y + z = 7|x5 | 10x – 5y + 5z = 35

------------------- + 14x – 2y = 52 ( v )

Dari persamaan ( iv ) dan ( v ) didapat :( iv ) – x + 4y = 4 |x1| – x + 4y = 4( v ) 14x – 2y = 52 |x2| 28x – 4y = 104

-------------- + 27x = 108

x = 4Untuk x = 4 selanjutnya disubstitusikan ke ( iv ) – x + 4y = 4 Û – 4 + 4y = 4 y = 2 Untuk x = 4 dan y = 2 disubstitusikan ke ( iii ) 2x – y + z = 7 Û 8 – 2 + z = 7 z = 1 Jadi penyelesaiannya ( 4 , 2, 1 )

PERSAMAAN KUADRAT

1. Pengertian persamaan kuadratPersamaan kuadrat adalah suatu persamaanyang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.

2. Bentuk umum persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0dengan a,b,c R di mana R adalah himpunan∈bilangan real dan a ≠ 0 .

Cara Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan denganbeberapa cara, yaitu dengan:a) memfaktorkan,b) melengkapkan kuadrat sempurna,c) menggunakan rumus.

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax2 + bx + c = 0 a (x – x1) (x – x2) = 0.

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian)

persamaan kuadrat.Contoh 1 :  x2 – 4 x + 3 = 0 x2 – 4 x + 3 = 0(x – 3) (x – 1) = 0x – 3 = 0 atau x – 1 = 0x = 3 atau x = 1Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikandengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.Contoh 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0 x2 – 6 x + 9 – 4 = 0 x2 – 6 x + 9 = 4(x – 3)2 = 4x – 3 = 2 atau x – 3 = –2x = 5 atau x = 1Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus a x2 + b x + c = 0 adalahContoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x2 + 3x –

70 = 0Jawab :a = 1 , b = 3, dan c = -70jadi :

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-10. 7}

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

b2 – 4ac disebut diskriminan (D). Dari rumus tersebut tampak bahwanilai x tergantung dari nilai D.Apabila:D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaankuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akarreal sama. .D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), makapersamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau persamaankuadrat mempunyai akar tidak real.

Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.

contoh :x2 – 10 x + 25 = 0a = 1 , b = -10 , c = 25D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0Karena D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 =

0 mempunyai dua akar real sama.