Post on 28-Nov-2015
Limit dan Kontinuitas1.Pengertian Limit fungsi di suatu titik2. Sifat-sifat limit 3. Limit Sepihak (kiri & kanan)4. Hubungan limit dan limit sepihak5. Kekontinuan fungsi dan sketsa grafik6. Jenis-jenis kekontinuan fungsi7. Contoh / ilustrasi8. Latihan terbimbing dan diskusi9. Soal Bonus10. Latihan Mandiri
Saleh AF2010
Limit
Perhatikan bahwa jika x dekat dengan c, dan x≠ c , maka f(x) dekat dengan L
Definisi Limit
Dengan kata lain , Untuk sembarang >0 yang dipilih selalu terdapat >0 sedemikian sehingga f(x) mendekati L bila x dekat ke c, x ≠c
ekivalen dengan
ekivalen dengan
Perhatikan bahwa
f(x)
x
c
f(x)
xc C+C-
L+
L-
f(x)
xc
f(x)
xc
Ilustrasi Tunjukkan bahwa
Solusi :
Jawaban dari pertanyaan diatas adalah ya, kita dapat memilih
atau yang lebih kecil dari yang menjamin
Perhatikan bahwa
Apakah
Dalam hal ini, misalnya pilih =0.01, maka diperoleh =0.01/2=0.005
Contoh lain :
Solusi: Akan ditunjukkan bahwa >0, >0 sedmikian sehingga
Now
yang memenuhi kondisi diatas
Kembali contoh hal 35-36 or 51-52
Solusi:
x 0 0.5 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.5 2
1 1.75 2.70 2.97 2.997 3 3.003 3.03 3.31 4.75 6
Hal dapat pula dilakukan dengan membuat tabel untuk beberapa nilai x disekitar 1
Sifat-sifat Limit
Soal Bonus di kelas (a). Tentukan nilai limit dari
c). Tunjukkan bahwa Solusi
a)
c). Akan ditunjukkan bahwa >0, >0 sedmikian sehingga
(**)
(b). Tentukan nilai limit dari
b)
Sekarang , untuk x≠2
Maka dapat dipilih atau
yang memenuhi kondisi diatas.
Soal Mandiri
Tunjukkan bahwa
Petunjuk :
Pilih , maka , akibatnya
(a)
(b)
Limit Sepihak (Kiri dan Kanan)
Jika x mendekati c dari sebelah kanan, maka f(x) mendekati L
Jika x mendekati c dari sebelah kiri, maka f(x) mendekati L
Teoremac xx
Contoh 3, hal 38 or 60
karena
0
f(x)
x
Tentukan
Solusi
Contoh 2.14, hal 41 or 64
Solusi
Pembagian wilayah (domain) fungsi digambarkan sebagai berikut
x
Tentukan
x
di titik
di titik
b)
a)
Limit kanan ≠ limit kiri
-1 1
-1
3
1
x
f(x)
Baca penjelasan hal 41 or 64
Contoh 2.15, hal 44 or hal 87
Diketahui
Solusi
Sederhanakan f(x) menjadi
atau
(diketahui dari persamaan fungsi f)
Syarat (i) dipenuhi
(a) Kesimpulan : Fungsi f tidak kontinu (diskontinu) di x = 1
(b). Sketsa grafik f 1
1/2
10 x
y
Syarat (ii) dipenuhi
Syarat kekontiuan (ii) dilanggar (tidak terpenuhi)
Akibatnya, f kontinu dimana-mana (untuk semua bilangan riil x).
10 x
1
1/2
yDan Grafiknya menjadi
Soal Bonus : Perhatikan grafik fungsi f berikut:
f(x)
x
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Soal limit hal 42 ( Mandiri ) or hal 67
Nomor : 7 ; 9 ; 11 ; 12 ; 13; 14; 16Lihat nomor urut soal
Jawaban Tugas mandiri hal 42 or 67
13)
16) 2 dan -2
14) a). 0 b). Tdk ada c). 1
1
1
2
0
Grafik soal NO.13
d). 1
Grafik
1 2
Kontinuitas (Kekontinuan fungsi)
Definisi: Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika
Jadi fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika memenuhi 3 syarat :
Jika salah satu syarat kekontinuan dilanggar, maka dikatakan fungsi f diskontinu di c
Perhatikan situasi Trio gambar berikut
c x
yc
c
y
x
a
cx
yb
Contoh (soal latihan hal.46 No.7 & 8) Matdas
Selidiki kekontinuan fungsi f di titik t=3
7).
(i)
(ii) (iii)
Kesimpulan: fungsi
Diskontinu (syarat (iii) tidak dipenuhi) 8)
Bagaimana dengan
x
y
0DefinisiFungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a,b) jika fungsi f kontinu disetiap titik pada (a,b)
Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup [a,b] jika fungsi f kontinu pada selang buka (a,b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.
Berdasarkan definisi ini, Fungsi f(x)=√x kontinu pada Domainnya [0,) karena fungsi f kontinu pada selang buka (0,), dan f kontinu kanan di 0. Kekontinuan fungsi ini pada daerah asalnya diperoleh berdasarkan
Jenis-jenis Ketakkontinuan fungsi
Limit fungsi f di c ada, namun tidak sama dengan f(c) , kasusnya dinamakan “ketakkontinuan terhapuskan” atau ketakkontinuan yang dapat dihapuskan. Dalam hal ini f dapat dibuat kontinu dengan cara mengganti f(c) oleh nilai fungsi di c. Lihat gambar Trio (b)
Limit kiri dan limit kanan fungsi f di c ada, namun tidak sama , kasusnya dinamakan “ketakkontinuan loncat” , Lihat gambar trio (a)
Soal Bonus Kakap
Tentukan nilai a dan b agar f kontinu dimana-mana, dan sketsa grafiknya
Jawaban
1-1
1
0
Selidiki kekontinuan fungsi f di titik c=1, dan sketsa grafiknya
a
b
c
Soal DiskusiDiberikan fungsi f dengan persamaan
(a) Tuliskan fungsi f tanpa mengandung tanda nilai mutlak
(b) Selidiki kekontinuan fungsi di titik x = 0, x = 2, dan sebutkan jenis kekontinuannya
(c) Sketsa grafik fungsi f
(d) Bagaimana memanipulasi fungsi bagian kedua (parabola) agar fungsi f kontinu dimana-mana
Solusi(a) Karena
Pembagian domain fungsi dapat digambarkan sebagai
0 2(b) di titik x = 0
Kesimpulan : (i). (ii) dan (iii) terpenuhi, maka
Fungsi f kontinu di titik x = o
Di titik x = 2
KesimpulanFungsi f tidak kontinu (diskontinu) di x = 2Jenisnya, disebut ketakkontinuan loncat, karena limit kiri ada dan limit kanan ada, tetapi nilainya tidak sama
(c) Sketsa grafik
2
2
00 2
(d). Agar f kontinu dimana-mana, maka limit f di x = 2 harus ada dan haruslah sama dengan 2, untuk memenuhi hal tersebut, salah satu cara adalah fungsi (parabola) haruslah ditambah 2, yaitu
, sehingga persamaan fungsi menjadi
dan f menjadi kontinu dimana-mana,dan grfiknya menjadi
2
2
0
KUNCI Soal latihan kontinuitas hal 46 Selidiki kekontinuan fungsi di x=3 dan jelaskan alasannya
Kontinu karena
Kontinu karena
Diskontinu, karena ( likir =1≠ likan =-1)
Diskontinu, karena limit fungsi ada tetapi nilai fungsi f(3) tidak ada
Diskontinu, karena limit fungsi ada tetapi nilai fungsi f(3) tidak ada
Kontinu, karena
Diskontinu karna