PENGINTEGRALAN NUMERIK
CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
TIM DOSEN
KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT
8
Fungsi-fungsi yang dapat diintegrasikan :
1. Fungsi kontinu yang sederhana
2. Fungsi kontinu yang rumit
3. Fungsi yang ditabulasikan
FUNGSI TERINTEGRASI
2 11/13/2017
METODE INTEGRASI
1. Metode Pias
- Kaidah Segiempat
- Kaidah Trapesium
- Kaidah Titik tengah
2. Metode Newton-Cotes
- Kaidah Trapesium
- Kaidah Simpson 1/3
- Kaidah Simpson 3/8
3 11/13/2017
METODE PIAS (1)
1. Kaidah segiempat
satu segmen :
Seluruh segmen :
Galat: dengan a < t < b
1
0
0( ) ( )
x
x
f x dx h f x
1
1
( ) ( )
b n
i
ia
f x dx h f x
( ) ( )2
Tot
hE b a f t
4 11/13/2017
METODE PIAS (2)
2. Kaidah TrapesiumSatu segmen :
Seluruh segmen :
Galat : dengan a < t < b
1
0
0 1( ) ( ) ( )2
x
x
hf x dx f x f x
1
0
1
( ) 22
b n
i n
ia
hf x dx f f f
2
( ) ( )12
tot
hE b a f t
5 11/13/2017
6
Contoh (1) Kaidah Trapesium
Aproksimasi nilai integral 3x^2 dari x=0 sampai x = 2.
-------------------------------i x_i f(x_i)
-------------------------------0 0.000000 0.0000001 0.166667 0.0833332 0.333333 0.3333333 0.500000 0.750000
10 1.666667 8.33333311 1.833333 10.08333312 2.000000 12.000000--------------------------------Metode Trapesium --> hasil integral = 8.027778
11/13/2017
7
Contoh (2) Kaidah Trapesium
Aproksimasi nilai integral x*exp(x) dari x=0 sampai x = 1.
------------------------------i x_i f(x_i)
------------------------------0 0.000000 0.0000001 0.083333 0.0905752 0.166667 0.1968933 0.250000 0.321006
10 0.833333 1.91748011 0.916667 2.29252812 1.000000 2.718282-------------------------------Metode Trapesium --> hasil integral = 1.002567
11/13/2017
METODE PIAS (3)
3. Kaidah Titik Tengah
Satu segmen :
Seluruh segmen :
Galat: dengan a < t <b
1
0
0 1/ 2( ) / 2
x
x
f x dx h f x h h f x
1
1/ 2 3/ 2 1/ 2 1/ 2
0
( ) ..
b n
n i
ia
f x dx h f f f h f
2
( ) ( )24
tot
hE b a f t
8 11/13/2017
9
CONTOH KASUS (1)METODE TITIK TENGAH
Aproksimasi nilai integral 3x^2 dari x=0 sampai x = 2.
---------------------------------i x_i f(x_i)
---------------------------------0.0 0.000000 0.0000000.5 0.083333 0.0208331.5 0.250000 0.1875002.5 0.416667 0.5208333.5 0.583333 1.020833
10.5 1.750000 9.18750011.5 1.916667 11.02083312.0 2.000000 12.000000----------------------------------Metode Titik Tengah --> hasil integral = 7.986111
11/13/2017
10
CONTOH KASUS (2)METODE TITIK TENGAH
Aproksimasi nilai integral x*exp(x) dari x=0 sampai x = 1.
--------------------------------i x_i f(x_i)
--------------------------------0.0 0.000000 0.0000000.5 0.041667 0.0434391.5 0.125000 0.1416442.5 0.208333 0.256588
10.5 0.875000 2.09901611.5 0.958333 2.49870812.0 1.000000 2.718282---------------------------------Metode Titik Tengah --> hasil integral = 0.998717
11/13/2017
METODE NEWTON-COTES (1)
1. Kaidah Trapesium
Bentuk :
Seluruh segmen :
Galat : dengan a < t < b
1
0
1
( ) 22
b n
i n
ia
hf x dx f f f
2
( ) ( )12
tot
hE b a f t
1 0 0
( )( ) ( ) o of x f
p x f x x f xh h
11 11/13/2017
METODENEWTON-COTES (2)
2. Kaidah Simpson 1/3
Bentuk :
Dua segmen :
Seluruh segmen :
Galat : dengan a < t < b
1 2
0
1,3,5,... 2,4,6,...
( ) 4 23
b n n
i i n
i ia
hf x dx f f f f
4(4)( ) ( )
180tot
hE b a f t
2 2
02 0 02 2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2! 2!
o o of x f x f fp x f x x x x h f x x x h
h h h h
2
0 1 2
0
( ) 43
hh
f x dx f f f
12 11/13/2017
13
CONTOH KASUS (1)METODE SIMPSON 1/3
--------------------------------i x_i f(x_i)
--------------------------------0 0.000000 0.0000001 0.166667 0.0833332 0.333333 0.3333333 0.500000 0.750000
10 1.666667 8.33333311 1.833333 10.08333312 2.000000 12.000000---------------------------------Metode Simpson 1/3 --> hasil integral = 8.000000
Aproksimasi nilai integral 3x^2 dari x=0 sampai x = 2.
11/13/2017
14
CONTOH KASUS (2)METODE SIMPSON 1/3
-----------------------------i x_i f(x_i)
-----------------------------0 0.000000 0.0000001 0.083333 0.0905752 0.166667 0.1968933 0.250000 0.321006
10 0.833333 1.91748011 0.916667 2.29252812 1.000000 2.718282-----------------------------Metode Simpson 1/3 --> hasil integral = 1.000002
Aproksimasi nilai integral x*exp(x) dari x=0 sampai x = 1.
METODE NEWTON-COTES (3)
3. Kaidah Simpson 3/8
Bentuk :
Tiga segmen :
Seluruh segmen :
Galat : dengan a < t < b
1 3
0
1 3,6,9,...3,6,9,...
3( ) 3 2
8
b n n
i i n
i iai
hf x dx f f f f
4
(4)( ) ( )80
tot
hE b a f t
2 3
0 03 0 2 3( ) ( ) ( )( 2 )
2! 3!
of f fp x f x x x h x x h x h
h h h
3
0 1 2 3
0
3( ) 3 3
8
hh
f x dx f f f f
15 11/13/2017
16
CONTOH KASUS (1)METODE SIMPSON 3/8
Aproksimasi nilai integral 3x^2 dari x=0 sampai x = 2.
---------------------------------i x_i f(x_i)
---------------------------------0 0.000000 0.0000001 0.166667 0.0833332 0.333333 0.3333333 0.500000 0.750000
10 1.666667 8.33333311 1.833333 10.08333312 2.000000 12.000000--------------------------------Metode Simpson 3/8 --> hasil integral = 8.000000
11/13/2017
17
CONTOH KASUS (2)METODE SIMPSON 3/8
Aproksimasi nilai integral x*exp(x) dari x=0 sampai x = 1.
-------------------------------i x_i f(x_i)
-------------------------------0 0.000000 0.0000001 0.083333 0.0905752 0.166667 0.1968933 0.250000 0.321006
10 0.833333 1.91748011 0.916667 2.29252812 1.000000 2.718282--------------------------------Metode Simpson 3/8 --> hasil integral = 1.000005
18
CONTOH KASUS (2)METODE SIMPSON 3/8
Aproksimasi nilai integral x*exp(x) dari x=0 sampai x = 1.
-------------------------------i x_i f(x_i)
-------------------------------0 0.000000 0.0000001 0.083333 0.0905752 0.166667 0.1968933 0.250000 0.321006
10 0.833333 1.91748011 0.916667 2.29252812 1.000000 2.718282--------------------------------Metode Simpson 3/8 --> hasil integral = 1.000005
Top Related