Pengantar Fisika Kuantum
1
Persamaan Schrodinger
PERSAMAAN SCHRODINGER
1. Mengapa mekanika kuantum dinyatakan sebagai fungsi gelombang?
Kaidah dunia mikroskopik adalah didasarkan pada gejala-gejala yang sulit
teramati. Gejala-gejala yang sulit diamati ini karena memiliki ukuran atomik.
Kriteria suatu entitas fisis dapat digolongkan sebagai partikel atau sebagai suatu
gelombang adalah panjang gelombang de Broglie. Jika suatu entitas mula-mula kita
kenali sebagai partikel ternyata memiliki gelombang de Broglie cukup besar
(sekurang-kurangnya dalam orde angstrom) maka entitas tersebut tidak dapat
dipastikan sebagai partikel.
Namun hipotesis de Broglie tidak dapat digunakan untuk mendapatkan fungsi
gelombang yang diasosiasikan dengan partikel. Berdasarkan kenyataan ini, timbul
suatu pertanyaan bagaimana mendapatkan fungsi gelombang itu dan bagaimana cara
mendapatkan informasi tentang keadaan sistem berdasarkan fungsi gelombang
tersebut.
Melalui fungsi gelombang kita dapat mengetahui keberadaan (posisi) partikel
dan besarnya momentum yang dimiliki, meskipun secara probabilistik. Peran fungsi
gelombang ini, jika dianalogikan dengan fisika klasik, analog dengan trayektori
parikel (posisi partikel pada sembarang waktu) dimana kita dapat mengetahui
bebagai besaran fisika yang dimiliki partikel setiap saat. Mengingat semua besaran
dinamis yang ada dalam fisika klasik (misalnya energi kinetik, energi potensial,
gaya, momentum anguler,dan sebagainya) selalu dapat dinyatakan sebagai fungsi
momentum dan posisi, maka dapat diharapkan bahwa dari fungsi gelombang tersebut
dapat diketahui berbagai informasi tentang dunia mikroskopis.
Berdasarkan pemikiran tersebut maka munculah postulat yang menyatakan
bahwa keadaan sistem dalam bentuk fungsi gelombang. Artinya bahwa sebagai
penyaji keadaan suatu sistem, maka fungsi gelombang tersebut harus memuat semua
informasi tentang sistem yang dibicarakan, misalnya: posisi, momentum, energi,
momentum anguler, dan besaran-besaran dinamis lain yang diperlukan.
2. Apa persyaratan fungsi gelombang agar dalam membangun persamaan
Schrodinger bisa diyakini validitasnya?
Fungsi gelombang yang mewakili keadaan sistem harus memenuhi
persyaratan-persyaratan berikut.
Pengantar Fisika Kuantum
2
Persamaan Schrodinger
Fungsi gelombang harus ternormalisasi. Kuadrat besaran yaitu 2
berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan partikel tersebut pada
saat itu. Integral 2
ke seluruh ruang harus berhingga maka partikel tersebut
berada pada suatu tempat. Namun jika hasil integral 2
ke seluruh ruang
bernilai nol
02dV , maka partikel itu tidak dapat ditemukan. Fungsi
gelombang ternormalisasi dinyatakan dengan persamaan:
12dV ,
sehingga pernyataan matematis yang menyatakan bahwa partikel itu ada di
suatu tempat adalah:
1PdV ............................................................................... (1)
Persamaan (1) menyatakan bahwa semua peluang yang mungkin untuk suatu
partikel berada pada suatu tempat harus bernilai tertentu. Hal ini berarti
bahwa fungsi gelombang harus berhingga. Jika nilai fungsi gelombang tak
berhingga di suatu titik dan pada saat t maka probabilitas menemukan partikel
menjadi tak berhingga dan ini tidak bermakna fisis.
Fungsi gelombang harus berharga tunggal yang artinya tidak boleh ada dua
probabilitas atau kebolehjadian untuk menemukan partikel di titik yang sama.
Fungsi gelombang harus fungsi kontinu. Ini karena rapat probabilitas dan
rapat arus harus kontinu. Demikian juga fungsi juga harus mempunyai
turunan kontinu.
3. Bagaimana bentuk persamaan Schrodinger bergantung waktu?
Dalam teori kuantum, keadaan partikel dinyatakan sebagai fungsi gelombang
),( tr
, yang merupakan konsekuensi berlakunya asas Ketidakpastian Heisenberg.
Hal ini karena posisi partikel yang mikroskopik tidak dapat diketahui secara pasti
(indeterministik), yang bisa dinyatakan hanya kebolehjadian. Fungsi gelombang
Pengantar Fisika Kuantum
3
Persamaan Schrodinger
untuk menyatakan kebolehjadian dimana partikel itu berada dapat dinyatakan dengan
perssamaan 2
),( tr
.
Persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika
kuantum adalah persamaan gelombang dalam variabel . Jika suatu gelombang
merambat ke sumbu –x dengan kelajuan v, maka persamaan gelombangnya dapat
dinyatakan dengan:
2
2
22
2 1
t
y
vx
y
............................................................................ (2)
Dalam kasus gelombang pada tali yang terbentang, y menyatakan simpangan
tali dari sumbu x. Pada gelombang bunyi y menyatakan perbedaan gelombang tekan,
sedangkan pada gelombang cahaya y menyatakan besarnya medan listrik atau
magnet Ada yang menyatakan sederetan gelombang superposisi yang mempunyai
amplitudo dan panjang gelombang yang sama, suatu gelombang berdiri pada tali
yang kedua ujungnya terikat, dan sebagainya semua pemecahan tersebut harus
berbentuk:
v
xtFy .............................................................................. (3)
Pemecahan
v
xtF menyatakan gelombang yang menjalar dalam arah x .
Pemecahan
v
xtF menyatakan gelombang yang menjalar dalam arah x .
Untuk gelombang yang ekivalen dengan partikel bebas (partikel yang tidak
mengalami gaya sehingga menempuh lintasan lurus dengan kelajuan konstan)
mempunyai pemecahan umum yang setara untuk gelombang harmonik
monokromatik tak teredam dengan frekuensi sudut konstan dan amplitudo konstan
A dalam arah x .
vxtiAey ............................................................................. (4)
Dalam mekanika kuantum fungsi gelombang analogi dengan variabel
gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, tidak dapat diukur
seperti y sehingga berupa besaran yang kompleks. dalam arah x dinyatakan
dengan persamaan:
Pengantar Fisika Kuantum
4
Persamaan Schrodinger
)/(),( vxtiAetx .................................................................... (5)
dimana 2 dan v sehingga persamaan (5) menjadi:
xtiAetx 2),(
)/(2),( xvtiAetx .................................................................. (6)
Hubungan antara dan dinyatakan dalam energi total E yang digambarkan oleh
, yaitu:
hE ....................................................................................... (7)
Hubungan antara dan dinyatakan dalam momentum p dari partikel yang
digambarkan oleh , yaitu:
hp ......................................................................................... (8)
Dimana
22
hh
sehingga persamaan (7) dan (8) menjadi:
22
EE .............................................................. (9)
pp
22 ............................................................. (10)
Sehingga persamaan (6) dapat dinyatakan sebagai:
22
2
),(
pxt
Ei
Aetx
))(/(),( pxEtiAetx ............................................................... (11)
Untuk memperoleh persamaan Schrodinger, persamaan (11) didiferensialkan dua kali
terhadap x, sehingga diperoleh:
pi
Aex
tx xptEi
.),(
xptEi
Aepi
x
tx
.
),(
xptEi
Aeip
x
tx
2
2
2
2 ),(
xptEi
Aep
x
tx
2
2
2
2 ),(
Pengantar Fisika Kuantum
5
Persamaan Schrodinger
2
222
2
2
2
2 ),(),(),(
),(
x
txtxptx
p
x
tx
............ (12)
Jika persamaan (11) didiferensialkan sekali terhadap t, diperoleh:
xptEi
xptEi
AeiE
t
tx
Ei
Aet
tx
),(
.),(
t
tx
itxEtx
iE
t
tx
),(),(),(
),(
.................... (13)
Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya. Energi total partikel sama
dengan jumlah energi kinetik (K) dan energi potensial V, dengan V(x,t) merupakan
fungsi dari kedudukan x dan waktu t. Secara matematis hubungan ketiganya
dirumuskan dengan persamaan:
VKE
Vm
vmE
VmvE
2
2
1
22
2
),(2
2
txVm
pE
...................................................................... (14)
Apabila kedua ruas pada persamaan (14) sama-sama dikalikan dengan fungsi
gelombang ( ) akan menghasilkan persamaan:
E ),( tx = m
p
2
2
),( tx + V(x) ),( tx ..................................... (15)
Dengan mensubstitusikan persamaan (12) dan persamaan (13) ke persamaan (15)
diperoleh persamaan berikut.
),(),(),(
2
),(2
22
txtxVx
tx
mt
tx
i
),(),(),(
2
),(2
22
txtxVx
tx
mt
txi
............................ (16)
Persamaan (16) merupakan persamaan Schrodinger yang bergantung waktu.
Persamaan Schrodinger yang bergantung waktu dalam 3 dimensi dirumuskan
dengan:
Pengantar Fisika Kuantum
6
Persamaan Schrodinger
),(),(),(),(),(
2
),(2
2
2
2
2
22
trtrVz
tr
y
tr
x
tr
mt
tri
),(),(),(2
),( 22
trtrVtrmt
tri
............................ (17)
Dengan energi potensial V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.
4. Bagaimana menjabarkan solusi stasioner persamaan Schrodinger tersebut?
Jika fungsi gelombang tr ,
dinyatakan sebagai perkalian fungsi posisi,
misalnya r
dan fungsi waktu misalnya (t), maka trtr
, sehingga
persamaan Schrödinger menjadi:
dt
tdrirttrVrt
m
,
2
22
dt
td
titrVr
rm
1,
1
2
22
............................... (18)
Pada ruas kanan (18) merupakan fungsi t, sedangkan ruas kiri merupakan fungsi r
dan t. Satu-satunya suku yang memuat r
dan t adalah V( r
,t). Ini berarti bahwa
pemisahan variabel hanya akan berhasil jika V hanya bergantung pada r
saja atau
hanya bergantung pada t saja.
Jika V hanya bergantung pada r
maka (18) menjadi:
dt
td
tirVr
rm
11
2
22
dt
td
tirV
dr
rd
rm
11
2 2
22
.................................. (19)
Jika ruas kanan diselesaikan untuk E, maka diperoleh:
iEt
et
tiEt
tdt
iEdt
t
t
t
iE
ln
1
Jika keadaan sistem secara eksplisit tidak bergantung pada waktu, maka bagian ruang
dan waktu penyelesaian persamaan Schrodinger memiliki bentuk,
trtr
,
Pengantar Fisika Kuantum
7
Persamaan Schrodinger
tiE
ertr
,
Fungsi gelombang tersebut menghasilkan fungsi rapat peluang posisi:
2*2)()(.)(),().,(),( rerertrtrtr
tiEtiE
..... (20)
Yang ternyata tidak tergantung pada waktu. Oleh karena itu, fungsi gelombang
seperti yang dinyatakan tiE
ertr
, disebut sebagai fungsi gelombang
stasioner atau penyelesaian stasioner persamaan Schrodinger, dan sistem yang
bersangkutan dikatakan dalam keadaan stasioner. Keadaan stasioner juga merupakan
keadaan dengan energi pasti. Perhatikan bahwa fungsi gelombang tersebut hanya
memuat satu nilai E. Karena hanya ada satu macam nilai E, maka pengukuran
berulang terhadap energi sistem selalu menghasilkan nilai ukur yang sama, yaitu
sebesar E. Ini berarti bahwa keadaan stasioner merupakan keadaan dimana energi
sistem bernilai pasti (tertentu).
5. Bagaimana menjabarkan persamaan Schrodinger bebas waktu (PSBW)?
Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel V tidak tergantung pada
waktu, sehingga hanya berubah terhadap kedudukan partikel (x, y, z). Fungsi
gelombang partikel bebas pada persamaan xptE
i
Ae
dapat dituliskan sebagai
berikut.
tiE
xip
xip
tiE
xptEi
eAe
eAeAe
tiE
e
................................................................................ (21)
Jadi merupakan perkalian dari fungsi yang bergantung pada kedudukan dan
waktu t
iE
e
. Dengan mensubstitusikan persamaan (21) ke persamaan Schrodinger
bergantung waktu untuk satu dimensi yaitu:
V
xmti
2
22
2
diperoleh
persamaan sebagai berikut.
tiE
tiE
tE
i
eVexm
et
i
2
22
2
Pengantar Fisika Kuantum
8
Persamaan Schrodinger
tiE
tiE
tE
i
eVx
em
iEei
2
22
2
tiE
tiE
tE
i
eVx
em
eE
2
22
2 ................................ (22)
2
22
2
22
2
2
xmVE
Vxm
E
2
2
2
2
xVE
m
02
22
2
VE
m
x ............................................................ (23)
Persamaan (23) merupakan persamaan Schrodinger bebas waktu. Dalam
bentuk 3 dimensi persamaan (23) menjadi:
02
22
2
2
2
2
2
VE
m
zyx
02
2
2 rrVEm
r
............................................... (26)
Persamaan ini identik dengan persamaan Schrodinger, bedanya hanya
persamaan itu tidak tergantung pada t. Oleh karena itu, persamaan tersebut sering
disebut sebagai persamaan Schrodinger bebas waktu.
6. Bagaimana menjelaskan PSBW kaitannya dengan nilai eigen?
Berdasarkan korespondensi:
ip
tiE
................................................................................. (27)
Persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial trV ,
diberikan oleh
persamaan:
),(),(),(2
),( 22
trtrVtrmt
tri
............................. (28)
Pengantar Fisika Kuantum
9
Persamaan Schrodinger
Persamaan (28) ini dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger untuk
partikel di dalam potensial V ( r
, t). Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati
dengan model satu dimensi. Persamaan Schrodinger satu dimensi berbentuk:
),(),(),(
2
),(2
22
txtxVx
tx
mt
tri
. ............................ (29)
Secara umum, karena energy E dapat dinyatakan dalam Hamiltonian
E=H( ),, tpr
............................................................................. (30)
Maka persamaan (29) dapat dituliskan menjadi:
),,(),(
tirHt
tri
Hamiltonian H sekarang berperan sebagai operator:
),(2
ˆ2
trVm
H
................................................................ (31)
Yang bekerja pada fungsi gelombang ).,( tr
Tinjau partikel yang bergerak di dalam ruang dengan potensial tidak
bergantung waktu rVV
. Untuk sistem seperti ini, tr ,
dapat diuraikan
menjadi perkalian bagian yang hanya bergantung ruang dan bagian yang hanya
bergatung waktu.
tfrtr
, ...................................................................... (32)
Selanjutnya substitusi persamaan (32) ke dalam persamaan persamaan (29)
kemudian dibagi dengan tfr
, maka diperoleh:
rV
mdt
df
tf
i
22
2 ...................................................... (33)
Oleh karena ruas kiri persamaan di atas bergantung waktu sedangkan ruas
kanan hanya bergantung variabel ruang , maka keduanya akan selalu sama jika dan
hanya jika keduanya sama dengan konstanta, misalkan E. dengan demikian
persamaan (33) akan terpisah menjadi dua persamaan yaitu:
Edt
df
f
i
dan ErV
m
22
2
fE
idt
df
............................................................................. (34)
Pengantar Fisika Kuantum
10
Persamaan Schrodinger
rErrVm
22
2 ................................................ (35)
Persamaan di atas adalah persamaan diferensial orde satu dengan solusi akan
sebanding dengan /exp iEt . Karena itu persamaan (32) akan menjadi:
/, iEtertr ................................................................... (36)
Persamaan (36) secara implisit menyatakan bahwa E harus real, karena jika
mempunyai bilangan imajiner , akan lenyap untuk semua r jika t atau
sesuai tanda (-) atau (+) dari . Hal ini tidak memenuhi syarat keberadaan partikel di
dalam ruang dvAA op . Selanjutnya persamaan (36) memberikan rapat
probabilitas:
22, rtr
...................................................................... (37)
Yang tidak bergantung waktu. Karena itu tr ,
pada persamaan (36)
menggambarkan keadaan stasioner karena tidak ada karakter atau sifat partikel yang
berubah terhadap waktu. Sedangkan persamaan (34) disebut sebagai persamaan
Schrodinger bebas waktu.
Berdasarkan persamaan (31) dengan rVV
persamaan (36) dapat ditulis
menjadi
rErH
ˆ .................................................................................. (38)
Persamaan di atas disebut sebagai persamaan karakteristik atau persamaan nilai eigen
dengan r
sebagai fungsi eigen dan H adalah operator differensial dari energi. E
adalah nilai eigen dari operator H , dan disebut sebagai energi gelombang dan
ditafsirkan sebagai energi partikel.
7. Buktikan bahwa untuk solusi stasioner fungsi gelombang menjadi tidak
bergantung pada waktu!
Berdasarkan sub pokok bahasan 5, solusi stasioner fungsi gelombang diperoleh
tiE
ertr
, . Jika solusi stasioner fungsi gelombang tr ,
disubstitusi ke
persamaan Schrodinger bergantung waktu, maka diperoleh:
tiEtiE
tiE
ertrVermt
eri
),(
2
22
Pengantar Fisika Kuantum
11
Persamaan Schrodinger
r
r
x
y
z
tiEtiE
tiE
nn
n
ertrVremt
eri
),(
2
22
tiEtiEtiEertrVre
me
iEri
),(
2
22
rtrVrm
rE
),(2
22
rm
rVE
22
2
02
22
rVErm
Persamaan terakhir yang diperoleh merupakan persamaan Schrodinger bebas waktu
sama dengan persamaan (26).
8. Bagaimana melakukan transformasi koordinat kartesian menjadi
koordinat bola untuk PSBW?
Persamaan Schrodinger bebas waktu (PSBW) dalam koordinat Cartesian
dirumuskan sebagai berikut.
02
2
2 rrVEm
r
Hubungan antara koordinat kartesius dan kordinat bola yaitu:
cossin
2222
rx
zyxr
Pengantar Fisika Kuantum
12
Persamaan Schrodinger
cos
sinsin
rz
ry
x
y
z
yx
tan
tan2
122
Hubungan antara unit-unit vektor ˆ,ˆ,r , adalah
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
0ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ
1ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ
rx
rx
xr
rr
rr
Komponen dari unit-unit vektor ˆ,ˆ,r dalam koordinat kartesiusnya yaitu:
)39.......(........................................cosˆsinsinˆsincosˆ
cosˆsinsinˆcosˆ
cosˆsinˆˆ
zyx
zyx
zr
)40.......(........................................sinˆcossinˆcoscosˆ
sinˆcossinˆcosˆ
sinˆcosˆ
90cosˆ90sinˆˆ
zyx
zyx
z
z
tegak lurus dengan perputaran , sehingga:
)41......(......................................................................sinˆcosˆ
90sinˆ90cosˆˆ
yx
yx
Untuk menyatakan posisi, maka ditentukan hubungan-hubungan sebagai berikut.
)42......(..........................................................................................ˆˆ
ˆsinˆsincosˆcoscosˆ
ˆcosˆsinsinˆcossinˆ
r
zyxr
zyxr
zyx
zyx
ˆcosˆsinsinˆcossinˆ
ˆsinˆsincosˆcoscosˆ
Pengantar Fisika Kuantum
13
Persamaan Schrodinger
)43....(..........................................................................................ˆˆ
r
)44.....(..........................................................................................0ˆ
ˆcosˆsinˆ
yx
)45.......(................................................................................ˆsinˆ
ˆcossinˆsinsinˆ
ˆcosˆsinsinˆcossinˆ
r
yxr
zyxr
)46.......(................................................................................ˆcosˆ
ˆcoscosˆsincosˆ
ˆsinˆsincosˆcoscosˆ
yx
zyx
)47..(......................................................................ˆcosˆsinˆ
ˆsinˆcosˆ
ˆcosˆsinˆ
r
yx
yx
Vektor posisi dinyatakan sebagai berikut.
dd
rdrd
d
rdrrdrdr
rrr
ˆˆˆ
ˆ
Berdasarkan persamaan 5 dan persamaan 8 diperoleh bahwa
ˆsinˆ
danˆˆ
d
rd
d
rd. Maka,
)48.(............................................................ˆsinˆˆ drrdrdrdr
Berdasarkan definisi gradien dan diferensial parsial diperoleh
bahwa ,,jika rU , maka:
Pengantar Fisika Kuantum
14
Persamaan Schrodinger
)49.(..........................................................................................
.
dr
dUU
UdrdU
dU
dU
drr
UdU
...................................................... (50)
Sehingga,
)51.........(........................................sin
11
sin
1ˆ
1ˆˆsin
1ˆ
1ˆˆ
.
sin
1ˆ
1ˆˆ
sin
1ˆ
1ˆˆ
sin
1ˆ
1ˆˆ
222
2
22
22
2
2
rrr
rrrr
rrrr
rrrr
Urrr
rU
U
r
U
rr
UrU
Berdasarkan hasil penurunan di atas, maka persamaan Schrodinger bebas waktu
(PSBW) menjadi:
022
22
2
22
2
22
2
22
rrrr
rrrr
rrrr
Em
Vm
Em
Vm
EVm
)52.....(..........................................................................................02
sin
1sin
sin
11
02
sin
11
02
,,,,2
2
,,
2
22
,,
2
,,2
2
,,,,2,,222
2
22
2
2
2
rr
rrr
rrr
rrr
VEm
rrrr
rr
VEm
rrr
VEm
Persamaan tersebut merupakan bentuk persamaan Schrodinger bebas waktu dalam
koordinat bola.
Pengantar Fisika Kuantum
15
Persamaan Schrodinger
9. Bagaimana menjelaskan kekekalan peluang?
Persamaan Schrodinger secara umum merupakan persamaan Schrodinger
gayut waktu. Jika fungsi gelombang tr ,
dinyatakan sebagai perkalian fungsi
posisi, misalnya r
dan (t), maka trtr
, sehingga persamaan (18)
menjadi:
dt
tdrirttrVrt
m
,
2
22
(19)
Karena termasuk gaya konservatif maka fungsi V-nya adalah fungsi posisi saja.
dt
tdrirtrVrt
m
2
2
2
(20)
Jika kedua ruas pada persamaan (20) dibagi )()( tr
diperoleh:
dt
td
tirVr
rm
11
2
22
(21)
dt
td
tirVr
rm
11
2
22
(22)
Pada ruas kanan persamaan (22) merupakan fungsi t, sedangkan pada ruas kiri
merupakan fungsi r. Suku kedua diruas kiri adalah energi potensial maka suku-suku
lainnya baik diruas kiri maupun diruas kanan harus berdimensikan energi. Karena
ruas kiri tersebut menyatakan jumlah energi kinetik ditambah energi potensial maka
tetapan yang digunakan memiliki arti fisik sebagai energi total yang dilambangkan
dengan E.
Sehingga ruas kanan diselesaikan untuk E maka diperoleh:
Pengantar Fisika Kuantum
16
Persamaan Schrodinger
iEt
o
iEt
oo
iEt
o
o
t
t
t
t
t
t
ett
et
t
t
te
t
t
i
Et
tti
Et
tdt
dti
E
tt
idtE
t
t
t
iE
o o
o o
ln
lnln
1)(
)(
(23)
Karena 1,1 2 iAo dan
22hE , jadi persamaannya
menjadi:
)25(1
)24(
2
2
otiti
ti
iti
eeet
et
et
Apabila persamaan (24) disubstitusikan maka fungsi gelombangnya menjadi :
trtr
,
(26)
tiertr
,
(27)
Sehingga fungsi rapat peluangnya menjadi :
222222 |)(|1|)(||)(||),(| rrtrtr
(28)
Ini berarti bahwa rapat peluang global tidak tergantung pada waktu.
Fungsi rapat peluang yang diasosiasikan dengan fungsi gelombang sebagai
),(),(),( * trtrtr sedemikian rupa sehingga xdtr 3),( menyatakan besarnya
Pengantar Fisika Kuantum
17
Persamaan Schrodinger
peluang menemukan partikel di dalam unsur volume xd 3 di sekitar r pada saat t.
Persamaan rapat arus peluang ternormalkan:
1, 3xdtrV
(29)
Persamaan (29) menunjukkan bahwa jika kita melacak kehadiran partikel keseluruh
ruang maka peluang untuk mendapatkannya adalah 1, artinya pasti mendapatkan
partikel tersebut. Persamaan itu juga menunjukkan bahwa rapat peluang global
(dihitung meliputi seluruh ruang) bersifat konstan, tidak bergantung pada waktu. Ini
berarti bahwa rapat peluang global bersifat kekal (tidak bergantung waktul.
Sebaliknya jika rapat peluang tersebut dihitung secara lokal (meliputi ruang
yang terbatas, maka rapat peluang lokal bergantung waktu. Adapun penurunannya
sebagai berikut.
Rapat peluang lokal, dinyatakan dengan trtrtr ,,, * , kita
derivatifkan terhadap waktu t. Hasil penderivatifan tersebut adalah
t
tr
t
tr
t
tr
,,, **
(30)
Menurut persamaan Schrödinger t
tritrtrVtr
m
,,,,
2
22
,
kedua derivatif fungsi gelombang terhadap waktu diruas kanan persamaan (30)
tersebut masing-masing menghasilkan
),(),(),(
2
, 2 trtrVi
trm
i
t
tr
dan
(31)
),(),(),(
2
, **2*
trtrVi
trm
i
t
tr
Subtitusi persamaan (31) ke dalam persamaan (30) maka menghasilkan
***22*
22
,
m
i
m
i
t
tr
(32)
Pengantar Fisika Kuantum
18
Persamaan Schrodinger
dengan menyatakan vektor operator (nabla) yang dalam sistem koordinat Cartesan
berbentuk z
ky
jx
i
ˆˆˆ . Persamaan (32) dapat diubah menjadi
0,J
,
tr
t
tr
(33)
dengan vektor rapat arus peluang tr ,J
didefinisikan sebagai
**
2,J
mitr
(34)
Persamaan (33) memiliki bentuk yang sama dengan persamaan kontinuitas yang
sudah kita kenal dalam fisika klasik. Sebagai misal, dalam elektrodinamika berlaku
persamaan kontinuitas
trJt
tr,
,
, dengan rapat muatan (persatuan
volume) dan J
vektor rapat arus muatan (persatuan luas). Persamaan kontinuitas
ini menyatakan bahwa jika rapat muatan dalam suatu volume tertutup berubah
(berkurang atau bertambah) terhadap waktu maka harus ada aliran muatan (keluar
atau masuk) yang menembus luasan yang membatasi ruang tertutup tersebut secara
tegak lurus. Persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika ini merupakan manifestasi
dari hukum kekekalan muatan listrik.
Pemaknaan secara fisik persamaan (33) tersebut dapat dilakukan dengan
mengambil analogi dengan persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika. Jika
dalam ektrodinamika sebagai rapat muatan dan J
sebagai vektor rapat arus
muatan, maka dalam kontek persamaan (33) sebagai rapat peluang dan
J
sebagai vektor rapat arus peluang (sebagai hasil analogi).
Sehingga pada persamaan (33) dinyatakan bahwa rapat peluang lokal
bergantung pada waktu. Selain itu persamaan (33) juga menunjukkan bahwa jika
rapat peluang dalam suatu volume terbatas berubah terhadap waktu maka harus ada
“aliran” peluang yang menembus secara tegak lurus luasan yang membatasi volume
tadi. Analog dengan persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika, jadi persamaan
(33) dapat juga dimaknai sebagai hukum kekekalan rapat peluang secara lokal.
Pengantar Fisika Kuantum
19
Persamaan Schrodinger
10. Yang mana disebut nilai harap dari sebuah operator?
NILAI HARAP
Nilai harap hasil pengukuran besaran A pada saat keadaan sistem dinyatakan
sebagai fungsi gelombang ψ didefinisikan sebagai berikut.
Dalam ruang posisi satu dimensi didefinisikan sebagai
dx
dxAA
*
^*
)(
(35)
Dan dalam ruang momentum satu dimensi didefinisikan sebagai
dp
dpAA
~~
~~
)(*
^*
~
(36)
Tanda bintang menyatakan “konjugat kompleks dari”, artinya ψ* adalah konjugat
kompleks dari ψ. Penulisan lambang nilai harap dapat dilakukan dengan dua cara,
yaitu (A) atau ~
)(A .
Jika fungsi gelombang sudah ternormalkan, yaitu integral ke seluruh ruang
dari kuadrat modulusnya bernilai satu, maka penyebut pada kedua persamaan
terakhir tadi bernilai satu. Dengan demikian, jika fungsi gelombang telah
ternormalkan, penghitungan nilai harap tadi menjadi:
dxAA
^*)(
Atau
dpAA ~~)(
^*
~
Nilai harap operator hermitan
Nilai harap sebarang operator Ấ, pada sistem yang menduduki keadaan
ternormalkan ψ, didefinisikan sebagai:
Pengantar Fisika Kuantum
20
Persamaan Schrodinger
dxAA
^*
(37)
Konjugat kompleks nilai harap tersebut adalah
dxAdxAA *^
*^
**
)(ˆ
(38)
Jika Ấ merupakan operator hermitan maka ruas kanan persamaan (38) sama dengan
ruas kanan persamaan (37). Ini berarti kedua ruas kiri persamaan tersebut sama. Jadi:
Jika Ấ hermitan maka
*^^
AA
OPERATOR
a. Operator posisi
Dalam ruang posisi, di mana fungsi gelombang berbentuk ),( tr , operasi
operator posisi dipostulatkan sebagai berikut.
),(),(ˆ tt rrrR
(39)
Yang berarti hanya mengalikan fungsi gelombang dengan vektor posisi r. Dalam
bentuk komponen-kompenen cartesannya dapat dinyatakan sebagai berikut.
),(),(ˆ txtX rr
),(),(ˆ tytY rr
),(),(ˆ tztZ rr
Jadi, cara kerja operator komponen vektor posisi dalam ruang posisi adalah
mengalikan fungsi gelombang dengan komponen vektor posisi pada arah yang
bersesuaian.
Dalam ruang momentum, fungsi gelombang berbentuk ),(~
tp yang
merupakan transform Fourier dari ),( tr . Dengan demikian, operasi operator posisi
dalam ruang momentum dituliskan secara ),(~ˆ tpR . Untuk penyederhanaan, tanpa
mengurangi generalisasinya, kita gunakan kasus satu dimensi sehingga operasi
Pengantar Fisika Kuantum
21
Persamaan Schrodinger
pi R
zpiZ
ˆ
tersebut dapat dituliskan secara ),(~ˆ tpX . Dengan menggunkan transformasi
Fourier, sehingga dapat diubah menjadi;
dxtxeXtpX ipx ),(2
1ˆ),(~ˆ /
dxtxXe ipx ),(ˆ
2
1 /
dxtxxe ipx ),(2
1 /
(40)
Integran dalam integral tersebut dapat diubah menjadi ),(/ txep
i ipx
, sebab
),(/),( // txeixtxZep
ipxipx
. Sehingga persamaan (40) menjadi
dxtxep
itpX ipx ),(2
1),(
~ˆ /
),(~
tpp
i
(41)
Persamaan di atas menyatakan bahwa dalam ruang momentum, operator posisi
berbentuk p
i
.
Penjabaran tersebut dapat diperluas ke dalam kasus 3 dimensi. Hanya:
operator yang mewakili komponen vektor posisi dalam ruang momentum masing-
masing berbentuk:
xpiX
ˆ
ypiY
ˆ
(42)
Dalam bentuk vektor:
(43)
Dengan )///( zyxp ppp kji
Pengantar Fisika Kuantum
22
Persamaan Schrodinger
b. Operator Momentum Linear
Dalam ruang momentum, di mana fungsi gelombang berbentuk ),(~
tp , operasi
operator momentum linear dipostulatkan sebagai berikut.
),(~
),(~ˆ tt ppP
(44)
Yang berarti hanya mengalikan fungsi gelombang dengan momentum p. Dalam
bentuk komponen-komponen Cartesian yang dinyatakan sebagi berikut:
),(~
),(~ˆ tptP xx pp
),(~
),(~ˆ tptP yy pp
),(~
),(~ˆ tptP zz pp
Jadi, cara kerja operator komponen vektor momentum linear dalam ruang momentum
adalah mengalikan fungsi gelombang dengan komponen momentum linear pada arah
yang bersesuaian.
Dalam ruang posisi, fungsi gelombang berbentuk ),( tr . Sehingga operator
momentum dalam ruang posisi dituliskan secara ),(ˆ trP .
Karena ),( tr , merupakan pasangan Fourier dari ),(~
tp , yaitu
-
p.r rrp 3/2/3 ),()2(),( dtet i
dan
(45)
-
p.r ppr 3/2/3 ),(~
)2(),( dtet i
Dengan zyx dpdpdpddandzdydxd pr33
, maka dengan prosedur yang sama
dengan yang kita gunakan untuk mendapatkan operator posisi dalam ruang
momentum, kita peroleh hubungan
),(),(ˆ tit r rrP
(46)
Dengan )///( zyxr kji . Ini berarti, dalam ruang posisi, operator
momentum berbentuk:
Pengantar Fisika Kuantum
23
Persamaan Schrodinger
ri P
(47)
Dalam bentuk komponen-komponen Cartesannya:
xiPx
ˆ
yiPy
ˆ
ziPz
ˆ
c. Operator Hermitan
Perkalian skalar antara fungsi ψ dan A' (dalam urutan yang demikian)
menghasilkan bilangan kompleks
dxAA ˆ*)ˆ,(
(48)
Jika urutannya dibalik kita dapatkan bilangan
dxAA *)ˆ(),ˆ( (2)
Yang selalu merupakan konjugat kompleks bagi bilangan sebelumnya persamaan
(48). Jika kedua bilangan itu sama untuk sebarang fungsi ψ, operator Ấ yang muncul
pada persamaan itu dikatakan bersifat hermitan. Jadi jika Ấ merupakan operator
hermitan maka berlaku hubungan:
dxAdxA *)ˆ(ˆ*
(49)
Untuk sebarang fungsi ψ yang square integrable.
11. Bagaimana menjelaskan transisi dari mekanika kuantum ke klasik (teori
Ehferenhest)?
TRANSISI MEKANIKA KUNTUM KE MEKANIKA KLASIK,
TEORI EHRENFEST
A. Hubungan Momentum linier dengan posisi benda menurut kajian
mekanika kuantum
Pengantar Fisika Kuantum
24
Persamaan Schrodinger
Dalam mekanika kuantum kita mengenal adanya operator-operator. Jika kita
miasalkan operator tersebut adalah A , maka perubahan nilai harap terhadap
waktu dari operator tersebut dirumuskan seperti persamaan berikut
............................................(1)
Jika operator tersebut adalah operator posisi ( X ), maka perubahan nilai
harap operator posisi terhadap waktu adalah sebagai berikut
............................................... (2)
Kita ketahui bahwa
)ˆ(
2
ˆ 2
XVm
Pdikenal dengan hamiltonan, maka
Komutator yang dibentuk oleh operator posisi dan hamiltonan adalah
......................(3)
Pada komutator )ˆ(,ˆ XVX , operator X dan )ˆ(XV saling komute, sehingga
)ˆ(,ˆ XVX berharga nol, sedangkan komutator
m
PX
2
ˆ,ˆ
2
mempunyai suatu
harga
Diketahui bahwa iPX ˆ,ˆ , dengan demikian persamaan (3) menjadi
...................(4)
Secara ekspilsit, operator posisi ( X ) bersifat bebas waktu/tidak bergantung
waktu maka 0/ˆ tX , sehingga nilai harapnya juga nol; jadi:
X
t0/ˆ tX . Selanjutnya subtitusi nilai ini dan persamaan
m
PiHX
ˆˆ,ˆ ke dalam persamaan (2) diperoleh ungkapan tentang perubahan
nilai harap posisi ( X ) terhadap waktu sebagai berikut.
t
XHX
iX
dt
d
ˆˆ,ˆ1ˆ
t
AHA
iA
dt
d
ˆˆ,ˆ1ˆ
)ˆ(,ˆ2
ˆ,ˆ)ˆ(
2
ˆ,ˆˆ,ˆ
22
XVXm
PXXV
m
PXHX
m
PiPXPPPX
mPX
mm
PX
ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ
2
1ˆ,ˆ2
1
2
ˆ,ˆ 2
2
m
PiHX
ˆˆ,ˆ
m
Pi
iX
dt
d ˆ1ˆ
Pengantar Fisika Kuantum
25
Persamaan Schrodinger
.........................(5)
Oleh karena operator P mewakili momentum linier benda (P) dan operator X
mewakili posisi benda (X), maka dapat dibentuk suatu persamaan baru sebagai
berikut
Persamaan menunjukkan hubungan antara besaran momentum
dengan posisi berdasarkan tinjauan mekanika kuantum.
Perumusan ini ternyata sama dengan perumusan nilai momentum linier (P)
pada mekanika klasik sebagai berikut
Hali ini menunjukkan adanya transisi dari mekanika kuantum ke mekanika
klasik
B. Gaya menurut kajian mekanika kuantum
Berdasarkan persamaan 1) di atas yang merupakan persamaan perubahan
nilai harap suatu operator mekanika kuantum terhadap waktu, maka
perubahan nilai harap momentum linear terhadap waktu dapat dinyatakan
dengan hubungan
t
PHP
iP
dt
d
ˆˆ,ˆ1ˆ
.....................................6)
P merupakan suatu operator yang mewakili momentum linier benda (P),
yang disebut operator momentum linier.
Komutator yang dibentuk oleh operator momentum linear dan hamiltonan
adalah
m
PX
dt
d ˆˆ
dt
XdmP
ˆˆ
dt
XdmP
dt
XdmP
)(
dt
XdmP
vmP
)(
.
Pengantar Fisika Kuantum
26
Persamaan Schrodinger
)ˆ(,ˆ2
ˆ,ˆ)ˆ(
2
ˆ,ˆˆ,ˆ
22
XVPm
PPXV
m
PPHP
.........7)
Oleh karena operator P dan P saling komute, maka 0ˆ,ˆ PP sehingga
0ˆ,ˆ 2 PP .
Komutator suku terakhir dapat diselesaikan dengan mengerjakan komutator
tersebut dengan suatu fungsi gelombang sebagai berikut:
)ˆ(,ˆ XVP
Akibatnya xX ˆ dan xiP /ˆ
xixVxV
xiPXVXVPXVP )(ˆ)ˆ()ˆ(ˆ)ˆ(,ˆ
Akibatnya x
xViXVP
)()ˆ(,ˆ
Dengan demikian persamaan 7) menjadi
x
xViHP
)(ˆ,ˆ .........................................................8)
Secara eksplisit, operator momentum ( P ) tidak bergantung waktu, sehingga
0/ˆ tP . Oleh karena itu persamaan 6) menjadi
HPi
Pdt
d ˆ,ˆ1ˆ
Selanjutnya substitusi persamaan 8) ke persamaan
HPi
Pdt
d ˆ,ˆ1ˆ
,
mak akan diperoleh persamaan berikut
dx
xdVi
iP
dt
d )(1ˆ
dx
xdVP
dt
d )(ˆ
...................................................9)
Oleh karena P merupakan operator yang mewakili momentum linier benda
(P), maka persamaan 9) akan menjadi
dx
xdVP
dt
d )()( ...............................10)
x
xVi
xxV
xxV
x
xVi
)()()(
)(
Pengantar Fisika Kuantum
27
Persamaan Schrodinger
Persamaan 10) merupakan persamaan yang menyatakan hubungan antara gradien
momentum dengan gradien energi potensial.
Dalam mekanika klasik, besaran dp disebut impuls, di mana terdapat suatu hubungan
antara gaya, impuls, dan waktu seperti berikut
Dalam kasus sistem konservativ, terdapat hubungan antara gaya dengan energi
potensial, di mana gaya merupakan negatif gradien energi potensial.
dx
dVF
Oleh karena itu, dalam sistem yang konservativ
Teori Ehrenfest
Teori Ehrenfest berawal setelah Paul Ehrenfest berhasil menghubungkan antara
waktu derivative dari harga ekspektasi untuk operator mekanika kuantum ke dalam
komutator. Secara matematis, teori Ehrenfest ini dirumuskan dengan persamaan
t
AHA
iA
dt
d)],[(
1)(
Di mana,
H = operator hermitian
A operator mekanika kuantum
)(A harga ekspektasi
Teori Ehrenfest ini memperkuat kemurnian/kerapian gambaran Heisenberg tentang
mekanika kuantum.
Waktu Derivative
Andaikan beberapa system dinyatakan dengan suatu bagian kuantum . Jika kita
ingin mengetahui waktu derivative dengan segera dari harga ekspektasi A atau
dilambangkan dengan (A), maka waktu derivative dari harga ekspektasi A tersebut
dapat dirumuskan dengan persamaan berikut
3333 ***
*)( dxt
Adxt
AdxA
tdxA
dt
dA
dt
d
dt
dpF
dx
dV
dt
dp
Pengantar Fisika Kuantum
28
Persamaan Schrodinger
333 **
* dxt
At
AdxA
tdxA
dt
d
Jadi persamaan waktu derivative dari harga ekspektasi A adalah sebagai berikut
33 **
)( dxt
At
AdxA
tA
dt
d
………………………1)
Kadang-kadang operator A bersifat bebas waktu (time independent). Jika hal ini
terjadi, maka persamaan 1) akan menjadi
33 **
)( dxt
AdxAt
Adt
d
Jika persamaan schrodinger diaplikasikan untuk , maka akan terbentuk persamaan
berikut
H
it
1…………………2)
**1*
Hit
………….3)
Dalam hal ini, H adalah Hamiltonian, sedangkan *H adalah hermitian. Oleh karena
Hamiltonian merupakan hermitian, maka *HH , maka persamaan 1) akan menjadi
t
AdxHAAH
iA
dt
d 3*1
t
AHA
iA
dt
d],[
1
…………………..4)
Persamaan 4) di atas merupakan bentuk matematis dari teori Ehrenfest.
12. Bagaimana menjelaskan kuantisasi energy dan fungsi-fungsi eigen
I. Kuantisasi Energi
Salah satu konsep penting dalam fisika kuantum adalah pengkuantuman
energi, yaitu bahwa energi partikel pada umumnya tidak boleh sebarang. Khusus
pada keadaan terikat, energi partikel harus terkuantisasi. Pada persamaan
Schrodinger bebas waktu (pers. 23), secara matematis, parameter E pada persamaan
tersebut dapat bernilai sebarang, artinya berapapun nilai E yang kita isikan,
persamaan tersebut selalu dapat kita selesaikan untuk menghasilkan r
. Namun
demikian, fungsi r
yang dihasilkan belum tentu memenuhi persyaratan fungsi
Pengantar Fisika Kuantum
29
Persamaan Schrodinger
eigen. Sebaliknya, jika r
harus memenuhi persyaratan fungsi eigen tersebut
maka E tidak boleh bernilai sembarang. Dengan kata lain, untuk menghasilkan r
yang memenuhi syarat maka E harus bernilai tertentu. Energi total (E) bersifat
diskrit. Pada umumnya terdapat sejumlah besar pasangan r
dan E yang
memenuhi persamaan )()(ˆ rErH
untuk H tertentu. Oleh karena itu, untuk
membedakan antara pasangan yang satu dengan lainnya digunakan indeks diskrit n.
Sehingga persamaannya menjadi:
)()(ˆ rErH
dan penyelesaian Schrodinger diperluas menjadi:
/)(),(
tiE
nnnextx
(31)
Bilangan n disebut bilangan kuantum (quantum number). Nilai terendah n, biasanya
0, menyatakan keadaan dasar (ground state). Nilai berikutnya: 1, 2, dst, menyatakan
keadaan tereksitasi (terbangkit) pertama, kedua, dan seterusnya.
II. Sifat-Sifat Fungsi Eigen Energi
a. Persamaan Schrodinger sebagai Persamaan nilai eigen Energi
Ketika persamaan Schrodinger untuk fungsi gelombang dinyatakan dengan
tx, yang merupakan perkalian fungsi posisi, misalnya x , dan fungsi waktu,
misalnya tf , maka diperoleh:
tfxtx ,
dt
tdf
tfitxV
dx
xd
xm
1,
1
2 2
22
bila V hanya bergantung pada x maka:
dt
tdf
tfixV
dx
xd
xm
11
2 2
22
(32)
Ruas kiri dan ruas kanan ini menyatakan suatu kesamaan namun tidak
menyatakan saling ketergantungan sehingga karena masing-masing menyatakan
jumlah energi, persamaan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut.
Pengantar Fisika Kuantum
30
Persamaan Schrodinger
EtxVdx
xd
xm ,
1
2 2
22
(33)
dan
E
dt
tdf
tfi
1
(34)
Dari penyelesaian persamaan (34) diperoleh perumusan persamaan Schrodinger
menjadi:
iEt
extx
,
(35)
Persamaan bebas waktu dinyatakan pada persamaan (33) dapat dinyatakan dengan:
xExH ^
(36)
Faktor dalam kurung di ruas kiri menyakan operator Hamiltonan )(^
H , yaitu
operator yang mewakili jumlah energi kinetik dan energi potensial. Dalam
persamaan nilai eigen persamaan (34) diungkapkan bahwa x adalah fungsi eigen
(fungsi karakteristik) dari operator )(^
H dengan nilai eigen (nilai karakteristik)
sebesar E. Hal ini berarti bahwa nilai E harus memenuhi persamaan nilai eigen,
sehingga E tidak boleh bernilai sembarang dan E pun dikatakan bersifat diskret.
Karena E bersifat diskret terdapat sejumlah besar pasangan x dan E. Untuk
membedakan hal tersebut harus digunakan harus digunakan indeks diskrit n,
sehingga persamaan menjadi:
xExH nnn ^
(37)
Persamaan umun Schrodinger menjadi:
tiE
nn
n
extx
,
(38)
b. Prinsip Ketaktentuan dan Harga Ekspektasi dari E
Pengantar Fisika Kuantum
31
Persamaan Schrodinger
Kuantitas dinamis seperti energi total E, memiliki harga ekspektasi untuk
setiap t dari harga x, dan potensial partikel yang tidak dapat ditentukan secara tepat.
Harga ekspektasi E harus dihitung dari:
dxEE
2
(39)
Untuk tx, , kita harus menyatakan E sebagai fungsi dari x dan t untuk
kemudian diintegrasi. Tapi, dari prinsip ketaktentuan mengakibatkan tidak
terdapatnya fungsi E(x,t), sekali x dan t ditentukan hubungan:
2
tE
(40)
Berarti bahwa kita tidak dapat pada prinsipnya menentukan E secara eksak.
Jika E tertentu seperti kasus keadaan tunak (stasioner) seperti yang dinyatakan oleh
tingkat energi atomik x, dan t tidak dapat ditentukan secara eksak.
Dalam fisika klasik tidak dapat pembatasan seperti itu, karena dalam dunia
makroskopik prinsip ketaktentuan dapat diabaikan. Jika kita terapkan hukum gerak
kedua pada gerak benda yang mengalami berbagai gaya, kita mengharapkan untuk
mendapatkan E(x,t) dari solusinya seperti juga x(t), untuk memecahkan persoalan
tersebut dalam mekanika klasik pada pokoknya berarti menetukan tempuhan masa
depan gerak benda tersebut. Dalam fisika kuantum, di lain pihak semua yang kita
dapatkan secara langsung dari persamaan Schrodinger dari gerak partikel itu ialah
fungsi gelombang Ψ, dan tempuhan masa depan gerak partikel itu, seperti juga
keadaan awalnya, hanya diketahui peluangnya, sebagai ganti sesuatu yang sudah
tertentu.
Untuk mendapatkan E dengan cara yang benar ialah dengan
mendeferensiasi fungsi gelombang partikel bebas ))(/( pxEtiAe terhadap x dan t,
maka peroleh:
E
i
t
(41)
yang dapat ditulis dengan cara:
Pengantar Fisika Kuantum
32
Persamaan Schrodinger
t
iE
(42)
Jelaslah kuantitas dinamis p dalam cara tertentu bersesuaian dengan operator
diferensial xi )/( dan kuantitas dinamis E bersesuaian dengan operator
diferensial xi . Operator xi mengintruksikan kepada kita untuk mengambil
turunan parsial kuantitas yang terdapat setelahnya terhadap tdan hasilnya dikalikan
dengan i .
Kita bisa melambangkan operator dengan huruf tebal tegak, sehingga E ialah
operator yang bersesuaian dengan energi total E. Operator E dinyatakan dalam
bentuk:
ti
E
(43)
Persamaan tersebut berlaku untuk partikel bebas, dan memiliki kesahan dengan
persamaan Schrodinger. Untuk mendukung penyataan ini, persamaan E = T + V
untuk energi total partikel dapat diganti dengan persamaan operator.
E = T + V
(44)
dengan m
pT
2
2
diperoleh persamaan operator energi-kinetik, yakni:
xmximm
p
22
1
2
ˆ 22 T
(45)
Sehingga persamaan (44) dapat ditulis:
Vxmt
i
2
22
2
(46)
Kalikan kedua ruas persamaan (46) dengan Ψ, diperoleh:
V
xmti
2
22
2
(47)
Pengantar Fisika Kuantum
33
Persamaan Schrodinger
Persamaan di atas disebut pesamaan Schrodinger.
Karena nilai E dapat dinyatakan dengan operator bersesuaian sehingga harga
ekspektasi E dapat dituliskan dengan:
x
tidx
tidxEE
(48)
c. Persyaratan Fungsi Eigen
Operator energi dapat kita tentukan dari persamaan schrodinger bebas waktu
antara lain sebagai berikut.
xxV
mt
xi
22
2
(49)
Operator energi total dapat dibuat dalam bentuk operator Hamilton H antara
lain sebagai berikut.
V
mH 2
2
2ˆ
(50)
Dengan demikian persamaan (50) dapat dituliskan sebagai berikut.
xExH ˆˆ
(51)
Jika kita analisis persamaan (51) maka kita dapatkan bahwa E adalah nilai
eigen energi pada persamaan schrodinger bebas waktu dan x adalah fungsi eigen
energi. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi eigen energi ini adalah sebagai berikut.
1. Fungsi eigen energi tidak tergantung pada waktu karena fungsi ini diturunkan
dari persamaan schrodinger bebas waktu.
2. Nilai )(x dan dx
xd )( berhingga di semua x karena )(x bersifat real.
3. Nilai )(x dan dx
xd )( tunggal di semua x.
4. Nilai )(x dan dx
xd )( kontinu di semua x.
Pengantar Fisika Kuantum
34
Persamaan Schrodinger
5. )(x tidak nol di mana-mana.
Persyaratan di atas harus dipenuhi dalam persamaan (51) agar nilai E tidak
bernilai sebarang. Untuk memperjelas makna persyaratan tersebut, dalam gambar
berikut disajikan beberapa contoh fungsi yang tidak memenuhi persyaratan tersebut.
Khususnya tiga persyaratan pertama.
x
F(x)
Bernilai tak hingga di x =
x
F(x)
Bernilai tak hingga di x =
x
F(x)
Tidak Bernilai tunggal di 21 xxx
=
X1 X2
x
F(x)
Tak kontinu hingga di x =0
Top Related