Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
Pengantar Teori Game
“ Teori Game ”
Oleh : Farhat, ST, MMSI, MSc
{ Diolah dari berbagai Sumber }
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
A. Teori Game
Game pada dasarnya dikenali sebagai suatu permainan yang digunakan untuk tujuan
hiburan. Akan tetapi, dari sisi yang lain, game merupakan penerapan dari ilmu matematika
dan merupakan objek matematika dan secara lebih luas digunakan untuk keperluan ilmu
sosial seperti ekonomi, biologi, teknik, politik, hubungan internasional, filosopi, dan ilmu
komputer (khususnya intelegensia buatan). Game Theory bertujuan untuk menangkap
perilaku dalam situsasi strategis, dimana keputusan seseorang sangat tergantung kepada
keputusan orang lain.
Suatu game terdiri dari beberapa orang pemain, langkah-langkah atau strategi yang
dapat dilakukan oleh tiap pemain dan spesifikasi dari setiap langkah atau urutan permainan.
Representasi dari suatu permainan disesuaikan dengan spesifikasi dari permainan
tersebut serta jenis permainannya. Beberapa bentuk representasi game diantaranya adalah :
1. Bentuk Normal
Bentuk ini merupakan salah satu representasi dari game-theory yang paling tua.
Representasi sebenarnya dari bentuk ini adalah sebuah matriks yang
mengkalkulasi langkah yang dilakukan pemain dan efeknya terhadap pemain
lainnya. Bentuk ini merupakan bentuk yang masih digunakan untuk
merepresentasikan permainan strategi. Hal ini dikarenakan kemudahan dan
akurasi dalam pembacaan aksi yang dilakukan oleh satu pemain dan efeknya
terhadap keadaan lainnya. Sebagai contoh, jika pemain melakukan suatu langkah
maka pemain akan mendapatkan poin sedangkan lawannya akan kehilangan
poinnya. Sebagai contoh, misalnya untuk sebuah game berkelanjutan yang
dimainkan oleh dua orang seperti berikut ini.
Pemain ke-2 akan melakukan langkah dengan strategi sebagai berikut :
1. Kiri jika pemain 1 melangkah ke atas dan kiri
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
2. Kiri jika pemain 1 melangkah ke atas dan kanan
3. Kanan jika pemain 1 melangkah ke atas dan kiri
4. Kanan jika pemain 1 melangkah ke atas dan kanan
5. Dan seterusnya
2. Bentuk Ekstensif
Bentuk Ekstensif, umumnya digunakan untuk formalisasi permainan yang
memiliki urutan-urutan dan langkah-langkah penting. Bentuk representasi ini
biasanya digambarkan dengan media pohon yang menyimpan data kejadian pada
game. Cabang dari pohon menunjukkan langkah yang diambil pemain, sementara
simpul menunjukkan pemain yang mengambil langkah pada saat itu.
Representasi bentuk ini menggunakan struktur pohon sebagai media yang
menyimpan data kejadian pada game serta menghitung kemungkinan langkah
yang bisa diambil oleh pemain. Bentuk lengkap dari pohon ini selalu
mencantumkan :
1. Pemain
2. Kemungkinan untuk setiap pemain
3. Apa yang bisa dilakukan pemain pada setiap langkah
4. Apa yang diketahui pemain untuk setiap langkah
5. Efek yang akan didapat untuk setiap kombinasi langkah
Berikut adalah contoh representasi pohonnya :
Bentuk pohon ekstensif dengan informasi lengkap
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
Selain dari bentuk pohon sederhana seperti di atas, terdapat juga bentuk lanjutan yang
digunakan jika sebuah permainan mempunyai aksi yang tak terhingga. Bentuk
representasinya adalah pohon dengan tak berhingga kemungkinan atau node yang
kemudian lebih membentuk suatu ruang. 1 ruang dengan ruang lainnya dihubungkan
dengan node yang beririsan sebagai bentuk aksi yang dilakukan. Berikut ini adalah
gambaran bidangnya :
Bentuk pohon ekstensif untuk aksi tak terhingga
3. Contohnya
- Aturan permainan NIM
Dua batang korek api diletakkan dalam 2 kotak dengan jumlah yang sama.
Terdapat dua pemain. Pemain bermain secara bergantian.
Setiap giliran, masing-masing pemain mengambil batang korek api dari salah satu
kotak.
Pemain mengambil satu atau dua korek api (tidak diperbolehkan tidak mengambil).
Pemain hanya mengambil dari salah satu kotak saja.
Pemain yang mengambil terakhir adalah pemain yang kalah.
- Bentuk normal
Bentuk normal dari permainan NIM ini, dapat ditulis sebagai berikut.
Dari matriks playoff tersebut dapat dilihat bahwa strategi berapapun yang digunakan
oleh pemain pertama, pemain kedua dapat selalu menang, yaitu ketika pemain
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
tersebut menggunakan strategi ke-enam. Akan tetapi apabila pemain kedua
menggunakan strategi kedua, maka pemain tersebut akan selalu kalah.
- Bentuk ekstensif permainan NIM
Dari bentuk ekstensif di atas, strategi masing-masing pemain, yaitu pemain I dan
pemain II dapat diklasifkasikan menjadi :
Strategi pemain I ada 3, yaitu :
I1 mengambil 1 korek api pada ( = , = ) dan 1 pada ( = , )
I2 mengambil 1 korek api pada ( = , = ) dan 2 pada ( = , )
I3 mengambil 2 korek api pada ( = , = )
Sedangkan strategi pemain II ada 6, antara lain :
II1 jika ( = , ) mengambil 2 korek api atau jika ( = , - ) mengambil 1 darikotak
berjumlah terkecil
II2 jika ( = , ) mengambil 2 korek api atau jika ( = , - ) mengambil 1 dari
kotak berjumlah terbesar
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
II3 jika ( = , ) mengambil 2 korek api atau jika ( = , - ) mengambil 2 darikotak
berjumlah terbesar
II4 jika ( = , ) mengambil 1 korek api atau jika ( = , - ) mengambil 1 darikotak
berjumlah terkecil
II5 jika ( = , ) mengambil 1 korek api atau jika ( = , - ) mengambil 1 darikotak
berjumlah terbesar
II6 jika ( = , ) mengambil 1 korek api atau jika ( = , - ) mengambil 2 darikotak
berjumlah terbesar
B. Teknik solusi untuk Memecahkan Static Games.
Sebagaimana dinyatakan di awal bab ini solusi untuk permainan adalah
prediksi apa yang setiap pemain dalam permainan yang akan dilakukan. Ini
mungkin sangat prediksi yang tepat, di mana solusinya memberikan satu
strategi yang optimaluntuk setiappemain. Ketika ini terjadi solusinya dikatakan
unik. Namun, seringkali kasus untuk permainan tertentu yang kurang tepat
solusinya, bahkan Sejauh ini tidak ada strategi yang tersedia. Seperti yang
mungkin diharapkan banyak teknik solusi yang berbeda telah diusulkan untuk
berbagai jenis pertandingan. Untuk game statis dua teknik solusi yang luas telah
diterapkan. Set pertama teknik solusi mengandalkan konsep dominasi. Solusi
untuk pertandingan ditentukan dengan mencoba untuk menyingkirkan strategi
bahwa orang yang rasional tidak akan bermain. Argumen yang didasarkan pada
dominasi berusaha untuk menjawab pertanyaan "Strategi apa yang akan
digunakan untuk pemain yang rasional tidak akan pernah bermain?" Set kedua
teknik solusi didasarkan pada konsep ekuilibrium. Dalam permainan non-
kooperatif keseimbangan terjadi ketika tidak ada pemain, bertindak sendiri-
sendiri, memiliki insentif untuk menyimpang dari prediksi . Dengan teknik
solusi ini game diselesaikan dengan menjawab Pertanyaan "sifat Apa solusi
harus memiliki untuk itu menjadi ekuilibrium? ".Pada bagian berikut kita
meneliti berbagai teknik dominasi yang dapat diterapkan untuk game statis.
1. Dominasi yang ketat.
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
Sebuah strategi dikatakan ketat didominasi jika strategi lain selalu memberikan
hadiah ditingkat pemain lain dalam permainan apapun dilakukan. Ini Teknik solusi
membuat asumsi yang tampaknya wajar bahwapemain yang rasional tidak akan
memainkan strategi ketat didominasi. Jika seorang pemain sengaja memainkan
strategi ketat didominasi mereka tidak dapat memaksimalkan hasil yang
diharapkan mereka, mengingat keyakinan mereka tentang apa yang pemain lain
akan melakukan. Didalam merasakan pemain yang memainkan strategi ketat
didominasi dikatakan tidak rasional. Menerapkan prinsip aturan dominasi ketat
keluar jenis ini tidak rasional tingkah laku. Untuk menggambarkan teknik ini kita
menggunakannya untuk memecahkan tahanan dilema game. Dalam
menerapkanprinsip dominasi yang ketat kita memeriksa setiap pemain pada
gilirannya dan belum termasuk semua strategi yang ketat didominasi. Proses ini
dapat mengesampingkan semua kecuali satu strategi untuk masing-masing
pemain. Hal ini berlaku untuk narapidana permainan dilema, dan teknik ini
menghasilkan solusi yang unik untuk permainan ini. Pertimbangkan pertama
dilema yang dihadapi tahanan 1. Haruskah dia mengaku atau harus ia tetap tenang
berharap tahanan lainnya melakukan hal yang sama. Itu prinsip dominasi yang
ketat berpendapat bahwa tahanan 1 harus mengaku.
Alasan untuk ini adalah bahwa apa pun tahanan 2 memutuskan untuk
melakukan mengaku bahwa tahanan 1 selalu lebih baik. Ini berarti tidak mengakui
secara ketat didominasi dan sehingga tampaknya masuk akal untuk menduga itu
tidak akan dimainkan. Logika yang sama berlaku sama untuk tahanan 2 dan
dominasi begitu ketat memprediksi bahwa ia juga akan mengaku. Solusi untuk
permainan ini didasarkan pada dominasi yang ketat adalah bahwa kedua tahanan
mengaku meskipun kedua akan lebih baik jika tidak mengaku. Sebagai setidaknya
salah satu pemain dalam game ini bisa, dengan hasil yang berbeda, menjadi
membuat lebih baik tanpa pemain lain yang dibuat lebih buruk solusi ini adalah
dikatakan Pareto efisien. (Bahkan jika pemain tidak mengaku keduanya akan lebih
baik.) Ini adalah fitur yang sangat umum dari banyak permainan yang digunakan
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
dalam ilmu ekonomi,dan itu akan digambarkan dalam banyak konteks seluruh
buku ini.
Perlu dicatat di sini bahwa penyebab Pareto efisiensi bahwa pemain tidak
bisa berkomunikasi, melainkan bahwa mereka tidak dapat melakukan diri dengan
hasil yang efisien Pareto. Bahkan jika kedua tahanan setuju sebelum ditangkap
bahwa tak satu pun dari mereka akan mengaku, setelah ditahan itu adalah
dikepentingan diri masing-masing untuk melakukan yang sebaliknya. Ini
menggambarkan perbedaan antara non-kooperatif dan teori permainan
kooperatif. Dalam permainan kooperatif Teori kedua tahanan bisa masuk ke dalam
mengikat dan dapat dilaksanakan perjanjian untuk tidak mengaku dan jadi dibuat
lebih baik. Hal ini tidak mungkin di teori permainan non-kooperatif.
2. Dominasi lemah.
Sebuah strategi dikatakan lemah didominasi jika strategi lain membuatorang
lebih baik dalam beberapa situasi dan membuat mereka acuh tak acuh dalam
semua orang lain.Sekali lagi tampaknya masuk akal untuk mengasumsikan bahwa
seorang pemain yang rasional tidak akan memainkan lemah didominasi strategi,
karena mereka bisa melakukan setidaknya juga, dan mungkinbahkan lebih baik,
dengan memainkan strategi dominan. Dalam game ini ada dua pemain masing-
masing dengan duastrategi yang mungkin. Player 1 dapat bergerak baik "up" atau
"down", dan pemain bisa 2 bergerak baik "kiri" atau "benar". Hadiah diberikan
dalam matriks, di mana yang pertama Angka adalah hadiah untuk pemain 1 dan
angka kedua adalah hadiah untuk pemain 2. Untuk ini tidak ada permainan
daristrategi yang tersedia di kesampingkan menggunakan prinsip dominasi yang
ketat. Hal ini karena tidak ada strategi yang membuat pemain yang buruk dalam
segala situasi. Misalnya, jika pemain 1 drama "up" maka pemain 2 adalah acuh tak
acuh antara "kiri" dan "kanan". Demikian pula jika pemain 2 memainkan "kiri"
pemain 1 adalah acuh tak acuh antara "up" dan"down". Meskipun kita tidak dapat
mengajukan banding keprinsip dominasi yang ketat untuk menyingkirkan salah
satu strategi yang tersedia, kita bisa menerapkan prinsip dominasi lemah.
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
Gambar 2.3. Aplikasi dari Dominasi Lemah.
Menurut prinsip pemain dominasi lemah 1 tidak akan pernah bermain
"Down" dan jadi ini dapat dikesampingkan. Demikian pula pemain 2 tidak akan
pernah bermain "benar",dan jadi ini juga dapat dikesampingkan. Daun ini hanya
salah satu strategi yang tersisa untukmasing-masing pemain. Hasilnya diperkirakan
adalah bahwa pemain 1 akan bergerak "up" dan pemain2 akan bergerak
"kiri". Sekali lagi ini adalah Pareto solusi efisien. Hal ini karena hasilnya "down /
kiri" membuat pemain 2 lebih baik dan pemain 1 tidak lebih buruk. Alasan pemain
1 tidak beralih ke bermain "down", meskipun lead ini untuk perbaikan Pareto,
adalah bahwa hal itu memerlukan resiko lebih besar untuk pemain ini. Jika
pemain2 yang bermain "benar" maka pemain 1 pasti lebih buruk bergerak "ke
bawah"bukannya "up". Unsur ini menghindari risiko yang tidak perlu tercermin
dalam prinsip dominasi lemah.
3. Nash Equilibrium Game ‘Dilema Tahanan’.
3.1.Keseimbangan Nash (Nash Equilibrium)
Fenomena ini diformulasikan pada tahun 1951 oleh John Nash,
matematikawan yang namanya disebut di awal tulisan. Menurut Nash, strategi
dominan tidak selalu ada, bahkan cenderung jarang terjadi. Jika kita perhatikan
matriks imbalan di bawah ini, tidak ada strategi dominan dari masing-masing pemain.
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
Saat strategi dominan tidak terjadi, keseimbangan masih dapat dicapai apabila
masing-masing pemain bisa memilih dengan optimal berdasarkan harapan terhadap
tindakan yang diambil oleh pemain lain. Pada situasi di atas, jika pemain A memilih
“atas”, pilihan optimal bagi B adalah “kiri”. Sebaliknya jika B memilih “kiri”, pilihan
optimal A adalah “atas”. Dengan demikian, “atas”-“kiri” (sel kuning) juga merupakan
posisi keseimbangan, yang disebut sebagai keseimbangan Nash (Nash equilibrium).
Jadi, keseimbangan Nash adalah sepasang strategi ketika pilihan yang diambil A
adalah pilihan optimal terhadap kondisi pilihan yang diambil B, dan sebaliknya.
Masalahnya, jika asumsinya dibalik dari B memilih “kanan” terlebih dahulu,
ternyata bisa timbul posisi keseimbangan Nash yang lainnya, yaitu “bawah”-“kanan”
(sel hijau). Jadi, keseimbangan Nash tidak selalu hanya satu keadaan. Selain itu, ada
juga situasi tanpa keseimbangan Nash seperti tergambar dalam matriks imbalan
berikut ini.
Jika A memilih “atas”, B akan memilih “kiri”. Namun, jika B memilih “kiri”,
A akan memilih “bawah”. Selanjutnya, jika A memilih “bawah”, B akan memilih
“kanan”, dan jika B memilih “kanan”, A akan memilih “atas”. Dengan demikian
keseimbangan tidak dapat tercapai.
3.2.Dilema tahanan (Prisoner’s dilemma)
Masalah lain dalam keseimbangan Nash adalah jika posisi keseimbangan yang
tercapai membuat kedua belah pihak mengambil pilihan yang bukan paling optimal.
Kondisi ini terkenal dengan sebutan dilema tahanan (prisoner’s dilemma). Kita
bayangkan, ada 2 tahanan (tersangka) yang diselidiki secara terpisah tanpa saling bisa
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
menebak pilihan tindakan satu sama lain. Masing-masing tahanan mempunyai pilihan
untuk mengaku atau menyangkal, dengan implikasi seperti tergambar pada matriks di
bawah ini.
Jika A mengaku, dia bisa bebas dan B akan menanggung hukuman 6 bulan.
Jika kedua tahanan sama-sama mengaku, keduanya akan ditahan selama 3 bulan. Jika
keduanya menyangkal, mereka akan ditahan 1 bulan.
A akan memilih untuk mengaku. Alasannya, bila B menyangkal, dia akan
bebas. Kalaupun B mengaku, dia masih akan lebih baik, yakni ditahan 3 bulan
daripada 6 bulan. Dengan demikian, bukan saja fenomena keseimbangan Nash,
melainkan keseimbangan strategi dominan dapat terjadi di sini, yaitu saat kedua
tahanan akan memilih mengaku (tanpa mengetahui strategi tahanan lain). Pada
akhirnya, kedua tahanan berada pada kondisi “A mengaku” dan “B mengaku” (-3, -3)
seperti ditunjukkan sel kuning. Akan tetapi, keseimbangan ini ternyata bukan kondisi
terbaik karena kedua tahanan bisa mendapatkan hasil lebih baik jika “A menyangkal”
dan “B menyangkal” pula (-1, -1), ditunjukkan oleh sel hijau. Tentu saja ini hanya
bisa terjadi jika keduanya dapat berkoordinasi.
4. Mixed-Strategy Nash Equilibrium
4.1.Definisi :
Keseimbangan adalah Suatu strategi su(sj untuk semua s S. i
dikatakan strategi
dominan bagi Pi jika u(si)j), dengan u(s
i) dan u(s
j) adalah perolehan dari strategi s
i dan
sjdimana i ≥≠ ∈ Dalam setiap permainan, setiap pemaian akan selalu menggunakan dominan
karena sifat rasional yang diasumsikan pada setiap pemain. Tetapi dalam beberapa
permainan, tidak terdapat strategi dominan sehingga pemain harus mencari strategi lain untuk
memaksimumkan perolehannya. Dengan menggunakan mixed-strategy seorang pemain dapat
menentukan strategi yang akan digunakannya dengan cara memilih strategi yang akan
digunakannya dengan suatu distribusi peluang sehingga strategi yang akan digunakan bukan
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
bersifat deterministik tetapi bersifat stokastik. Dengan menggunakan mixed-strategy
komposisi strategi yang akan digunakan oleh pemain adalah berupa himpunan pasangan
berurut distribusi-distribusi peluang yang akan digunakan oleh setiap pemain.
Defenisi lain tentang keseimbangan Nash adalah kondisi dimana strategi-strategi
yang digunakan oleh setiap pemain adalah strategi yang optimal baginya jika diberikan
strategi pemain lainnya dalam permainan tersebut dimana setiap pemain tidak dapat
meningkatkan hasil perolehannya dengan menggantikan strateginya.
Arti keseimbangan Nash menurut John Nash adalah jika ada serangkaian strategi
untuk sebuah permainan dimana tidak ada pemain yang bisa beruntung dengan mengubah
strateginya sedangkan pemain lain mempertahankan strateginya tidak berubah, maka
serangkaian strategi tersebut dan perimbangan (payoff) yang koresponden membentuk
keseimbangan Nash.
4.2.Memilih Strategi
Dalam permainan dua pemain berjumlah nol ini tujuannya adalah menemukan jawab
yang kokoh bagi kedua pemain. Memilih strategi sama artinya dengan menemukan jawab
permainan. Jawab yang dimaksud hanya ada bila tiap pemain berusaha memperkecil derita
atau memperbesar perolehan, dengan kata lain tiap pemain berusaha meraih strategi optimal
bagi dirinya sehingga tidak ada lagi dari antara pemain yang dapat meningkatkan posisi
masing-masing dengan memilih strategi lain. Hasil yang diharapkan bila kedua pemain telah
menggunakan strategi optimalnya disebut “harga permainan”. Salah satu langkah dari satu
permainan adalah pemilihan satu strategi oleh tiap pemain. Usaha menemukan strategi
optimal dan harga permainan di sebut menyelesaikan permainan dan langkah berikutnya
tidak boleh lagi dilanjutkan dan permainan telah selesai.
4.3.Kriteria Maksimin dan Minimaks
Tujuan utama menyelesaikan suatu permainan adalah menentukan strategi optimal.
Strategi optimal dapat ditentukan dengan menggunakan teori yang disebut teori minimaks
yang pada prinsipnya mengatakan bahwa tiap pemain secara sepihak mencari tingkat
keamanan yang maksimum bagi diri sendiri. Dalam memilih strategi optimal, beberapa
asumsi ditetapkan terlebih dahulu yaitu: Berdasarkan asumsi diatas, tiap pemain mengetahui
bahwa pemain yang lain cukup rasional serta mempunyai tujuan yang sama yaitu
memaksimumkan perolehan sendiri. Pemain I memeriksa tiap baris dari matriks perolehan
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
dan memilih harga maksimum dari harga minimum. Cara menentukan pilihan seperti ini
adalah cara yang konservatif dan biasa disebut sebagai cara memilih yang terbaik dari antara
yang terburuk. Cara ini juga disebut kriteria maksimum dari minimum disingkat dengan
kriteria maksimin.
Sebaliknya, pemain II menyelesaikan permainan untuk menentukan strategi optimal
dengan menggunakan teori yangn dinamakan teori minimaks. Teori ini menetapkan bahwa
pemain secara sepihak mencari tingkat keamanan yang maksimum bagi dirinya sendiri, yaitu
dengan memilih derita terkecil dari antara sejumlah derita maksimum. Cara ini ialah memilih
kriteria minimum dari maksimum atau disingkat dengan minimaks. 1) Bahwa kedua pemain
memiliki kepintaran yang sama 2) Tiap pemain sudah mengetahui strategi yang lain 3) Tiap
pemain mengetahui jumlah perolehan sendiri dan derita pemain lain 4) Tiap pemain harus
menentukan strategi (pilihan).
4.4.Peranan Dominasi
Lihat kembali contoh yang diatas, terlihat bahwa strategi 1 menghasilkan keuntungan
maksimum bagi A, tanpa memperhatikan strategi mana yang dipilih B. Sehingga strategi 1
dikatakan mendominasi strategi 2. untuk kasus dimana suatu strategi secara sempurna
didominasi oleh strategi lain, strategi yang didominasi dapat dibuang dari matriks pay-off
karena pemain tidak pernah memilihnya. Untuk pemain B, strategi x didominasi oleh strategi
y karena kerugian strategi x selalu lebih besar daripada kerugian strategi y tanpa
memperhatikan strategi yang dipilih A. strategi x juga didominasi oleh strategi z. Karena itu,
strategi x dapat dibuang. Pemain A hanya dapat memilih strategi 1, yanng berarti B akan
memilih strategi y untuk meminimumkan kerugian menjadi 4 daripada 7,5. Ingat bahwa
solusinya tetap sama. Jadi, jika setiap pemain memiliki sebuah strategi dominan, games akan
mencapai keseimbangan atau memiliki saddle point. 8 (4) 7,5 7 3,5 3
Farhat, ST., MMSI., MSc
Pengantar Teori Game
Universitas Gunadarma
DAFTAR PUSTAKA
http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/26310/3/Chapter%20II.pdf.
http://majalah1000guru.net/2011/07/teori-permainan-game-theory/
http://dekysudrajat.blogspot.co.id/2012/02/teori-game.html
http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2007_2008/Makalah/MakalahIF2153-
0708-058.pdf
http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2008_2009/Makalah2008/Makalah080
9-071.pdf
Top Related