PENENTUAN BILANGAN RAMSEY PADA GRAF BINTANG S2n
TERHADAP GRAF RODA Wn DENGAN n ≥ 10 DAN n GENAP
THE DETERMINATION OF RAMSEY NUMBER FOR THE STAR GRAPH
S2n VERSUS WHEELS Wn WITH n ≥ 10 AND n EVEN
NUR ROHMAH OKTAVIANI PUTRI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2017
ii
PENENTUAN BILANGAN RAMSEY PADA GRAF BINTANG S2n
TERHADAP GRAF RODA Wn DENGAN n ≥ 10 DAN n GENAP
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar Magister
Program Studi
Matematika
Disusun dan diajukan oleh
NUR ROHMAH OKTAVIANI PUTRI
Kepada
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2017
iii
iv
PERNYATAAN KEASLIAN TESIS
Yang bertanda tangan di bawah ini :
Nama : Nur Rohmah Oktaviani Putri
Nomor Mahasiswa : P3500215008
Program Studi : Matematika
Menyatakan dengan sebenarnya, bahwa tesis yang saya tulis ini
benar – benar merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan
pengambilalihan tulisan atau pemikiran orang lain. Apabila dikemudian
hari terbukti, atau dapat dibuktikan bahwa sebagian atau keseluruhan
tesis ini hasil karya orang lain, saya bersedia menerima sanksi atas
perbuatan tersebut.
Makassar, 8 Agustus 2017
Yang menyatakan,
Nur Rohmah Oktaviani Putri
v
PRAKATA
Alhamdulillahi Rabbil Alamin. Tak ada kalimat indah lain yang
mampu menggambarkan ungkapan syukur penulis ke hadirat Allah SWT.
Karena atas limpahan rahmat, hidayah, dan kasih sayang-Nya, penulis
masih diberikan kesempatan dan kesehatan sehingga tesis ini dapat
terselesaikan dengan baik. Shalawat dan salam juga tak henti – hentinya
tercurah kepada Baginda Rasulullah SAW sebagai tauladan bagi umat
muslim.
Tesis ini dapat terselesaikan berkat bantuan dan motivasi dari
berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis menyampaikan ucapan terima
kasih yang tulus dan mempersembahkan karya ini kepada : kedua orang
tua, terkhusus Ibunda Sri Maryani, S.Pd yang tak pernah berhenti
mendoakan dan memberikan motivasi, Moch. Dimas Saputra, A.Md
selaku adik dari penulis, serta keluarga lainnya di Jawa.
Penghargaan yang tulus dan ucapan terima kasih dengan penuh
keikhlasan juga penulis ucapkan kepada :
1. Prof. Dr. Hasmawati dan Dr. Loeky Haryanto, MS., M.Sc., MA.
selaku pembimbing pertama dan kedua, yang dengan kesabaran
dan keikhlasannya telah membimbing serta membagi ilmunya.
2. Prof. Dr. Amir Kamal Amir, Prof. Dr. Hj. Aidawayati Rangkuti, MS,
dan Dr. Eng. Mawardi, M.Si selaku penguji yang sudah
memberikan banyak kritik dan saran yang sangat membangun.
vi
3. Seluruh dosen Prodi Matematika Unhas yang telah membimbing,
mendidik, serta membekali penulis dengan ilmu yang berguna.
4. Dekan, Wakil Dekan, staf fakultas, Bu Evi, dan Pak Irsan yang
selama ini banyak membantu penulis dalam urusan administrasi.
5. PRISMA 2015 : Riska, Mala, Kak Meri, Kak Dian, Kak Tina, Yaya,
Kak Anita, Kak Rika, Dina, Kak Nitnot, Ikbal, Fajrin, Kak Syukur,
Kak Armin, Kak Amil, Kak Muhlis, Kak Aris, dan Pak Agus.
6. Senior dan junior PPs Matematika angkatan 2012, 2013 2014, dan
2016. Terkhusus Kak Lisa, Kak Agus, Kak Edy, Kak Ammar, dan
Kak Ilmy yang setahun belakangan ini banyak menemani penulis.
7. Regresi 2010 : Inda, Juni, Madi, Ryan, Kiky, dan lainnya yang tak
sempat disebut. Kanda dan adinda di Himatika FMIPA Unhas,
adikku Oktosar Sabri, serta adik – adik panitia SENAMAS 2017.
8. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Dengan segala kerendahan hati, penulis menerima segala kritik
dan saran yang dapat membantu penyempurnaan tesis ini. Semoga
segala bantuan yang telah diberikan bernilai ibadah dan mendapat
imbalan yang setimpal dari Allah SWT. Akhir kata, semoga tulisan ini
dapat memberikan manfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Amin
Yaa Rabbal Alamin.
Makassar, 8 Agustus 2017
Nur Rohmah Oktaviani Putri
vii
viii
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL i
HALAMAN PENGAJUAN ii
HALAMAN PENGESAHAN iii
LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN iv
PRAKATA v
ABSTRAK vii
ABSTRACT viii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR TABEL xi
DAFTAR GAMBAR xii
DAFTAR ARTI LAMBANG xiv
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang ………………………………………… 1
B. Rumusan Masalah ………………………………………… 5
C. Tujuan Penelitian ………………………………………… 6
D. Manfaat Penelitian ………………………………………… 6
E. Batasan Masalah ………………………………………… 6
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Tinjauan Pustaka
1. Konsep Dasar Graf ………………………………………… 7
2. Pewarnaan dan Operasi Dalam Graf …………………… 12
x
3. Jenis – Jenis Graf ………………………………………… 15
4. Beberapa Teorema, Lemma, dan Sifat Yang Terkait Batas Bawah dan Batas Atas Bilangan Ramsey ………………
24
5. Bilangan Ramsey ………………………………………… 30
B. Kerangka Pikiran ………………………………………… 36
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN
A. Rancangan Penelitian ………………………………… 38
B. Metode yang Digunakan ………………………………… 39
C. Lokasi dan Waktu Penelitian ………………………………… 39
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Penentuan Bilangan Ramsey 𝑅(𝑆20 , 𝑊10) …………………… 40
B. Penentuan Bilangan Ramsey 𝑅(𝑆24 , 𝑊12) …………………… 45
C. Penentuan Bilangan Ramsey 𝑅(𝑆28 , 𝑊14) …………………… 50
D. Penentuan Bilangan Ramsey 𝑅(𝑆32 , 𝑊16) …………………… 55
E. Penentuan Bilangan Ramsey 𝑅(𝑆36 , 𝑊18) …………………… 60
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan ……………………………………………… 70
B. Saran ……………………………………………… 71
DAFTAR PUSTAKA 72
xi
DAFTAR TABEL
Nomor Halaman
1. Hasil Penelitian Bilangan Ramsey Graf 34
xii
DAFTAR GAMBAR
Nomor Halaman
1. Graf Sederhana 9
2. Graf H Adalah Pseudograf 10
3. Derajat Titik Pada Graf 𝐺 11
4. Graf, Subgraf, dan Komplemennya 12
5. Pewarnaan Titik Pada 𝑊7, 𝑊6, dan 𝑆7 13
6. Pewarnaan – 𝑓 pada graf 𝐺 14
7. (a) Graf 𝑃3 ∪ 𝐾 4 dan (b) Jumlah graf 𝑃3 + 𝐾 4 15
8. Graf Siklus 16
9. Graf Lengkap 17
10. Graf Bipartit 17
11. Graf Siklus 𝐶6 17
12. Graf Bipartit Lengkap 18
13. (a) Graf Bipartit (b) Graf Multipartit (c) Graf multipartit Lengkap (d) Graf Multipartit Seimbang
19
14. Jalur Euler 𝑎𝑏𝑑𝑐𝑏𝑓𝑒𝑑𝑓 Pada Graf 𝑀 dan Sirkuit Euler 𝑢𝑟𝑠𝑡𝑟𝑞𝑝𝑢 Pada Graf 𝑁
19
15. Graf Hamilton Dengan siklus 𝑎𝑏𝑐𝑙𝑔𝑘𝑓𝑜𝑗𝑛𝑠𝑡𝑝𝑞𝑟𝑚𝑖𝑑𝑒𝑎 21
16. Graf Semi-Hamilton 𝐺 21
17. Graf Pohon 22
18. Graf Bintang 22
19. Graf Roda 23
xiii
20. 𝐺1 Graf Pansiklik dan 𝐺2 Graf Pansiklik Lemah 23
21. Graf Non Pansiklik 24
22. Graf 𝐺 25
23. Graf Non Bipartit 𝐻 26
24. Graf Terhubung 𝐺 dan Graf Tak Terhubung 𝐺 − 𝑐 dan 𝐺 − 𝑒4
27
25. Berat titik pada graf 29
26. Pewarnaan Pada Graf 𝐾10 31
27. Identifikasi 𝑆4 pada 𝐹 dan 𝑊5 pada 𝐹 32
28. Flowchart Penelitian 37
29. Graf 𝐹 = 2𝐾3×7 41
30. Komplemen Graf 𝐹 41
31. Graf 𝐾23 ∪ 𝑇 45
32. Komplemen Graf 𝐹 46
33. Graf 𝐹 = 𝐾2×14 ∪ 𝐾5×6 50
34. Komplemen Graf 𝐹 51
35. Graf 𝐹 = 𝐾2×16 ∪ 𝐾6×6 56
36. Komplemen Graf 𝐹 56
37. Graf 𝐾35 ∪ 𝐾8×5 61
38. Komplemen Graf 𝐹 61
39. Graf 𝐹 = 𝐾2𝑛−1 ∪ 𝐾𝑛−2
2×5
65
40. Komplemen Graf 𝐹 66
xiv
DAFTAR ARTI LAMBANG
Lambang Arti dan Keterangan
∪𝑖=1𝑘 𝐺𝑖 Gabungan saling lepas graf 𝐺𝑖
𝐵𝑛1 ,𝑛2 ,…,𝑛𝑘 Graf multipartit
𝐵𝑛1 ,𝑛2 Graf bipartit
𝐶𝑛 Graf siklus berorde 𝑛
𝐸 𝐺 Ukuran atau banyaknya sisi pada graf 𝐺
𝐺 Komplemen graf 𝐺
𝐺1 + 𝐺2 Graf jumlah
𝐺𝑛 Graf 𝐺 dengan 𝑛 titik
𝐾𝑛1 ,𝑛2 ,…,𝑛𝑘 Graf multipartit lengkap
𝐾𝑘×𝑡 Graf multipartit seimbang
𝐾𝑛 Graf lengkap berorde 𝑛
𝑃𝑛 Graf lintasan berorde n
𝑆𝑛 Graf bintang berorde 𝑛
𝑇𝑛 Graf pohon berorde 𝑛
𝑊𝑛 Graf roda berorde 𝑛 + 1
𝑑(𝑣𝑖) Derajat titik 𝑣𝑖
𝑑(𝑢, 𝑣) Jarak dari titik 𝑢 ke titik 𝑣 di 𝐺
|𝐹| Kardinalitas himpunan 𝐹
∅ Himpunan kosong
⊉ Tidak memuat
⨁ Dekomposisi
ℕ Bilangan asli
Δ 𝐺 Derajat titik maksimum dari suatu graf 𝐺
𝐶(𝐺) Banyaknya titik pada komponen terbesar graf 𝐺
𝐸(𝐺) Himpunan sisi pada graf 𝐺
𝐺 – 𝑒 Subgraf dari 𝐺 dengan menghilangkan sisi 𝑒 dari 𝐺
xv
𝐺 – 𝑣 Subgraf dari 𝐺 dengan menghilangkan titik 𝑣 dari 𝐺
𝐺(𝑉, 𝐸) Graf dengan himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸
𝐺[𝑆] Subgraf dari 𝐺 yang diinduksi oleh himpunan titik 𝑆
𝐺\𝐻 Subgraf dari 𝐺 yang diinduksi oleh himpunan titik 𝑉 𝐺 \𝑉(𝐻)
𝐺 + {𝑢𝑣} Graf 𝐺 tambah sisi 𝑢𝑣
𝑅(𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺𝑘) Bilangan Ramsey untuk graf 𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺𝑘
𝑅(𝑆𝑛 , 𝑊𝑛) Bilangan Ramsey graf bintang terhadap graf roda
𝑅(𝐺, 𝐻) Bilangan Ramsey untuk graf 𝐺 dan 𝐻
𝑉(𝐺) Himpunan titik pada graf 𝐺
𝑐(𝐺) Circumference atau panjang siklus terbesar pada suatu graf 𝐺
𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 Diameter atau jarak terbesar dari setiap dua titik pada 𝐺
𝑒(𝑣) Eksentrisitas atau jarak antara titik 𝑣 dengan sebuah titik terjauh dari 𝑣
𝑔(𝐺) Girth atau panjang siklus terkecil pada suatu graf 𝐺
𝑟𝑎𝑑 𝐺 Radius atau eksentrisitas minimum dari titik pada 𝐺
𝛼(𝐺) Kardinalitas himpunan bebas terbesar dari 𝐺
𝛿(𝐺) Derajat titik minimum dari suatu graf 𝐺
𝜅(𝐺) Keterhubungan titik pada 𝐺
𝜒(𝐺) Bilangan kromatik 𝐺
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Graf umumnya merupakan suatu model Matematika yang
digunakan untuk menganalisa banyak masalah kongkrit yang
berhubungan dengan dunia nyata. Beberapa masalah dalam Fisika,
Kimia, Sains Komunikasi, Teknologi Komputer, Genetika, Psikologi dan
Sosiologi bisa diformulasikan sebagai masalah dalam teori graf. Selain itu,
cabang Matematika seperti teori grup, matriks, peluang, dan topologi juga
memiliki implementasi dalam teori graf (Balakrishnan & Ranganathan,
2012).
Tiga puluh tahun terakhir ini merupakan periode yang sangat
intensif dalam aktivitas pengembangan teori graf baik murni maupun
terapan. Sejumlah penelitian besar telah dilakukan, ribuan artikel telah
diterbitkan dan banyak buku telah ditulis. Di antaranya orang terkenal
yang banyak berkecimpung dalam bidang ini adalah J.A. Bondy, Paul
Erdos, Frank Harary, dan masih banyak lagi.
Graf didefinisikan sebagai struktur diskrit yang terdiri dari pasangan
himpunan berhingga dari obyek yang disebut titik (vertex) dan pasangan
titik yang disebut sisi (edge). Jumlah sisi yang berkaitan dengan suatu titik
pada suatu graf disebut derajat. Suatu graf yang memiliki 2 titik berderajat
2
1 dan titik lainnya berderajat 2 disebut lintasan. Jika untuk setiap
pasangan titik 𝑢 dan 𝑣 pada suatu graf, terdapat lintasan dari 𝑢 ke 𝑣, maka
graf tersebut disebut graf terhubung.
Terdapat beberapa graf khusus antara lain lintasan, graf siklus, graf
bipartit, graf lengkap, graf Euler, graf Hamilton, graf bintang, graf roda, dan
lain-lain. Lintasan adalah graf yang dua titiknya berderajat 1 dan titik – titik
lainnya berderajat 2. Graf dikatakan terhubung jika dua titiknya
dihubungkan oleh suatu lintasan. Suatu graf terhubung yang setiap titiknya
berderajat dua disebut graf siklus. Graf siklus berorde n dilambangkan
dengan 𝐶𝑛 . Graf 𝐺 yang himpunan titiknya dapat dipisah menjadi dua
himpunan bagian 𝑉1 dan 𝑉2, sedemikian sehingga setiap sisi pada 𝐺
menghubungkan sebuah titik di 𝑉1 ke sebuah titik di 𝑉2 disebut graf bipartit.
Selanjutnya, jalur pada graf 𝐺 disebut jalur Euler apabila melewati
setiap sisi di 𝐺 tepat satu kali. Jika suatu jalur Euler berawal dan berakhir
pada titik yang sama (tertutup), maka jalur itu disebut sirkuit Euler. Suatu
graf yang memiliki sirkuit Euler disebut graf Euler. Sedangkan graf yang
hanya memiliki jalur Euler disebut graf semi Euler.
Selain graf Euler, graf yang memiliki sifat yang berbeda dengan
graf-graf lainnya yaitu graf Hamilton. Lintasan Hamilton adalah lintasan
yang melalui setiap titik di dalam graf tepat satu kali. Bila lintasan tersebut
kembali ke titik awal membentuk siklus, maka siklus tersebut dinamakan
siklus Hamilton. Graf 𝐺 disebut graf Hamilton jika 𝐺 memuat siklus
Hamilton.
3
Suatu graf yang terdiri atas satu titik berderajat 𝑛 – 1 dan titik lainnya
berderajat satu disebut graf bintang. Graf bintang dengan 𝑛 titik
dinotasikan dengan 𝑆𝑛 . Selain graf bintang, dikenal pula graf roda atau
biasa disimbolkan dengan 𝑊𝑚 . Graf roda merupakan graf yang diperoleh
dengan cara menambahkan satu titik pada graf lingkaran 𝐶𝑛 , dan
menghubungkan titik tersebut dengan semua titik pada graf lingkaran
tersebut.
Salah satu topik kajian dalam teori graf yang berkaitan dengan
kombinatorik yaitu mengenai penentuan bilangan Ramsey, Perkembangan
teori ini diawali dari ide dasar mengenai bilangan Ramsey klasik dua
warna oleh Erdos dan Szekeres (Wikipedia, 2016). Adapun definisi
bilangan Ramsey dua warna, yaitu : diberikan sebarang dua graf 𝐺 dan 𝐻,
bilangan Ramsey graf dua warna 𝑅(𝐺, 𝐻) adalah bilangan asli terkecil 𝑚
sedemikian sehingga untuk setiap pewarnaan dengan dua warna pada
setiap sisi graf lengkap 𝐾𝑚 katakanlah merah atau biru, maka 𝐾𝑚 akan
selalu memuat subgraf merah yang isomorf dengan 𝐺 atau subgraf biru
yang isomorf dengan 𝐻.
Selanjutnya, Chvátal dan Harary (1972) menemukan batas bawah
untuk 𝑅(𝐺, 𝐻), yaitu 𝑅 𝐺, 𝐻 ≥ 𝜒 𝐻 − 1 𝐺 − 1 + 1) dengan 𝜒 𝐻
merupakan bilangan kromatik graf 𝐻. Sejak saat itu, banyak peneliti yang
mengkaji tentang bilangan Ramsey. Salah satunya adalah Parson (1973)
yang mengkaji tentang bilangan Ramsey untuk graf lintasan dan graf
lengkap 𝑅 𝑃𝑛 , 𝐾𝑚 . Selanjutnya Chvátal (1977) memperluas kajian
4
tentang bilangan Ramsey untuk graf pohon dan graf lengkap 𝑅(𝑇𝑛 , 𝐾𝑚 ).
Kemudian, Burr S.A. (1984) mengkaji bilangan Ramsey 𝑅 𝐺, 𝑛𝐻 dan
𝑅(𝑛𝐺, 𝑛𝐻) untuk 𝐺 dan 𝐻 merupakan graf lengkap 𝐾𝑘 dan 𝐾𝑙 dan
menghasilkan 𝑅 𝐾𝑘 , 𝑛𝐻 = 𝑛 ∙ 𝑙 + 𝑟 𝐾𝑘−1, 𝐻 − 1 serta
𝑅 𝑛𝐾𝑘 , 𝑛𝐾𝑙 = 𝑘 + 𝑙 − 1 𝑛 + 𝑅 𝐾𝑘−1, 𝐾𝑙−1 − 2.
Pada tahun berikutnya, Surahmat dkk (2004) mengkaji tentang
bilangan Ramsey untuk graf siklus dan graf roda dan menghasilkan
𝑅 𝐶𝑛 , 𝑊4 = 2𝑛 − 1 dan 𝑅 𝐶𝑛 , 𝑤6 = 3𝑛 − 2, untuk 𝑛 ≥ 5 dan pada
tahun 2006, ia juga menghasilkan bilangan Ramsey untuk graf siklus dan
graf roda, yaitu 𝑅 𝐶𝑛 , 𝑊𝑚 = 3𝑛 − 2 dimana 𝑚 ganjil, 𝑚 ≥ 5, dan
𝑛 ≥5𝑚−9
2. Pada tahun yang sama, Chen Y. dkk (2004) mengkaji bilangan
Ramsey antara graf bintang dan graf roda yang menghasilkan
𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊6 = 2𝑛 + 1 dimana n ≥ 3 dan 𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊𝑚 = 3𝑛 − 2 untuk m ganjil
dan 𝑛 ≥ 𝑚 – 1 ≥ 2.
Selanjutnya, Hasmawati dkk (2008) mengkaji bilangan Ramsey
untuk graf gabungan saling lepas bintang dan siklus yang menghasilkan
𝑅 𝑘𝑆1+𝑝 , 𝐶4 = 𝑘 𝑝 + 1 + 1 untuk 𝑘 ≥ 2 dan 𝑝 ≥ 3. Pada tahun 2009,
ia juga melakukan penelitian dan menghasilkan 𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊𝑚 = 3𝑛 − 6,
dimana 𝑚 = 2𝑛 − 8 atau 2𝑛 − 6 dan 𝑛 ganjil. Kemudian Hamdana
Hadaming (2014) membahas tentang bilangan Ramsey pada graf bintang
𝑆2𝑛 versus roda 𝑊𝑚 dengan 𝑚 = 2𝑛 + 2 dan 𝑛 ≥ 4 yang menghasilkan
𝑅 𝑆2𝑛 , 𝑊2𝑛+2 = 5𝑛 − 1 dan Andi Ardhilla (2014) menemukan bilangan
5
Ramsey graf bintang 𝑆𝑛 versus roda 𝑊𝑛+4 yang menghasilkan
𝑅 𝑆2𝑛 , 𝑊𝑛+4 = 2𝑛 +𝑛
2.
Hingga saat ini, perkembangan kajian tentang bilangan Ramsey
berkembang sangat pesat. Dalam uraian sebelumnya dapat dilihat bahwa
bilangan Ramsey untuk graf bintang terhadap graf roda berorde ganjil
sudah banyak ditemukan. Namun bilangan Ramsey untuk graf bintang
berorde genap terhadap roda berorde sembarang dengan orde bintang
yang lebih besar daripada orde roda masih kurang. Oleh karena itu, dalam
penelitian ini akan dikaji bilangan Ramsey pada graf bintang berorde
genap terhadap roda 𝑊𝑛 dimana n ≥ 10.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, maka rumusan masalah pada
penelitian ini disusun dalam bentuk pertanyaan sebagai berikut :
1. Bagaimana konstruksi graf kritis untuk mendapatkan batas bawah
bilangan Ramsey graf bintang berorde genap terhadap roda
berorde sembarang?
2. Bagaimana menentukan batas atas bilangan Ramsey untuk graf
bintang berorde genap terhadap roda berorde sembarang?
3. Apakah terdapat batas atas dan batas bawah yang nilainya sama?
6
C. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini antara lain :
1. Menentukan konstruksi graf kritis maksimal dan batas bawah
terbesar bilangan Ramsey graf bintang berorde genap terhadap
roda berorde sembarang.
2. Menentukan batas atas bilangan Ramsey untuk graf bintang
berorde genap terhadap roda berorde sembarang.
3. Mencari bilangan Ramsey graf bintang berorde genap terhadap
roda berorde sembarang yang eksak.
D. Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan
penulis tentang penentuan bilangan Ramsey, khususnya untuk graf yang
memuat bintang dan roda. Selain itu, dapat menjadi referensi bagi peneliti
lain yang akan melakukan penelitian yang terkait dengan bilangan
Ramsey graf yang memuat bintang dan roda.
E. Batasan Masalah
Kajian bilangan Ramsey untuk bintang dan roda meliputi cakupan
yang luas, olehnya itu penulis membatasi permasalahan pada penentuan
bilangan Ramsey untuk bintang 𝑆2𝑛 versus roda 𝑊𝑛 untuk 𝑛 ≥ 10.
7
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini dijelaskan tentang konsep dasar, serta beberapa
istilah – istilah penting dalam teori graf. Selain itu, akan disajikan kerangka
pemikiran dan flowchart yang berkaitan dengan penelitian ini.
A. Tinjauan Pustaka
Dalam subbab ini akan dikaji beberapa definisi, teorema, dan
lemma yang akan digunakan dalam membuktikan hasil penelitian.
1. Konsep Dasar Graf
Pada bagian ini akan dijelaskan definisi graf dan definisi dari
beberapa istilah dalam graf yang terkait dengan pembahasan hasil
penelitian dalam tesis ini. Namun, sebelum masuk ke definisi graf, maka
terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai batas bawah, batas atas,
suprimum, infimum, maksimum, dan minimum.
Misalkan terdapat himpunan bilangan 𝐴 dan 𝑎 ∈ 𝐴. Bilangan 𝑎
disebut batas atas dari himpunan 𝐴 apabila untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐴 berlaku
𝑥 ≤ 𝑎. Selanjutnya 𝑏 ∈ 𝐴 disebut batas bawah himpunan 𝐴 apabila untuk
setiap 𝑥 ∈ 𝐴 berlaku 𝑥 ≥ 𝑏.
8
Kemudian, 𝑠 disebut batas atas terkecil (suprimum) dari 𝐴 jika 𝑠
merupakan batas atas 𝐴 dan jika 𝑎 batas atas 𝐴 maka 𝑠 ≤ 𝑎. Dengan kata
lain, sebuah batas atas 𝑠 dikatakan suprimum dari 𝐴 jika tidak terdapat
bilangan yang lebih kecil dari 𝑠 yang merupakan batas atas dari 𝐴.
Sebaliknya, 𝑡 disebut batas bawah terbesar (infimum) dari 𝐴 jika 𝑡
merupakan batas bawah 𝐴 dan jika 𝑏 batas bawah maka 𝑏 ≤ 𝑡. Atau bisa
dikatakan sebuah batas bawah 𝑡 disebut infimum dari 𝐴 jika tidak ada
bilangan yang lebih besar dari 𝑡 yang merupakan batas bawah dari 𝐴.
Ketika suprimum adalah anggota dari himpunan 𝐴 maka suprimum
tersebut disebut maksimum, begitu pula apabila infimum merupakan
anggota himpunan 𝐴 maka infimum tersebut disebut minimum.
Selanjutnya akan dibahas mengenai beberapa definisi, istilah, dan
notasi yang terkait dengan graf.
Definisi II.1
Graf 𝐺 adalah pasangan himpunan 𝑉 dan 𝐸, dengan 𝑉 himpunan diskrit,
𝑉 ≠ ∅ dan 𝐸 = 𝑢𝑣 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 }.
Anggota himpunan 𝑉 kadang – kadang disebut titik, simpul, atau
titik simpul. Dan anggota himpunan 𝐸 kadang – kadang disebut sisi, rusuk,
atau garis. Di dalam penulisan tesis ini, anggota 𝑉 disebut titik dan
anggota 𝐸 disebut sisi sehingga 𝑉 disebut himpunan titik dan 𝐸 disebut
himpunan sisi. Notasi sebuah graf adalah 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Jika pada 𝐺, 𝑢 ≠ 𝑣
dan 𝑢𝑣 = 𝑣𝑢 maka 𝐺 disebut graf sederhana. Jika 𝑢 = 𝑣, maka sisi 𝑢𝑣
dinamakan gelang atau loop karena berawal dan berakhir pada titik yang
9
sama. Dan jika 𝑢𝑣 ≠ 𝑣𝑢 maka titik 𝑢 dan 𝑣 memiliki sisi paralel. Graf 𝐺
yang memiliki sisi paralel dan loop disebut pseudograf.
Misalkan 𝐺 adalah graf dan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺). Jika 𝑒 = 𝑢𝑣 ∈ 𝐸 𝐺 , maka
titik 𝑢 disebut tetangga dari 𝑣, begitu pula sebaliknya. Sehingga titik 𝑢 dan
𝑣 disebut bertetangga. Lebih jauh, sisi 𝑒 disebut terkait (incident) dengan 𝑢
atau 𝑣. Banyaknya titik dari 𝐺 disebut orde dari 𝐺 yang biasanya
disimbolkan dengan 𝑛 dan banyaknya sisi dari 𝐺 disebut ukuran (𝑠𝑖𝑧𝑒)
yang disimbolkan dengan 𝐸 𝐺 . Suatu graf 𝐺 dengan 𝑛 titik, disebut graf
berlabel orde 𝑛 apabila masing-masing titik pada 𝐺 mempunyai nama
yang berlainan, misalkan 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3,…, 𝑣n.
Jika diberikan sebuah graf 𝐺, dimana 𝑉 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} dan
𝐸 𝐺 = {𝑎𝑏, 𝑏𝑐, 𝑐𝑑, 𝑑𝑎, 𝑎𝑐}, maka graf 𝐺 dapat digambarkan sebagai
berikut.
Pada Gambar II.1, terdapat sisi 𝑎𝑏 ∈ 𝐸(𝐺), sehingga dapat
dikatakan bahwa titik 𝑎 merupakan tetangga dari 𝑏, begitupula sebaliknya.
Karena 𝑏𝑐 dan 𝑐𝑑 terkait dengan titik 𝑐, maka sisi 𝑏𝑐 dan 𝑐𝑑 juga disebut
bertetangga. Graf 𝐺 pada Gambar II.1 merupakan contoh graf sederhana.
Selanjutnya, untuk contoh pseudograf, misalkan diberikan sebuah graf 𝐻,
a b
⋯
c d
Gambar II.1 Graf Sederhana
𝐺 :
10
dengan 𝑉 𝐻 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 dan 𝐸 𝐻 = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5, 𝑒6, 𝑒7, 𝑒8}. Maka
𝐻 dapat digambarkan sebagai berikut.
Definisi II.2
Derajat suatu titik 𝑣𝑖 pada graf 𝐺, yang dilambangkan dengan 𝑑(𝑣𝑖),
adalah banyaknya sisi 𝑒 𝐸(𝐺) yang terkait dengan titik 𝑣𝑖 . (Hasmawati.
1989).
Titik suatu graf yang berderajat nol disebut titik terasing dan graf
yang hanya terdiri dari satu titik disebut graf trivial. Sedangkan titik yang
derajatnya satu disebut titik terminal atau titik ujung. Derajat titik terkecil
dari graf 𝐺 dinotasikan dengan 𝛿(𝐺), atau secara matematis dapat ditulis
𝛿(𝐺) = min 𝑑(𝑣𝑖) 𝑣𝑖𝜖 𝑉(𝐺)}. Sedangkan derajat titik terbesar dari graf 𝐺
dinotasikan dengan Δ 𝐺 atau Δ 𝐺 = max 𝑑(𝑣𝑖) 𝑣𝑖𝜖 𝑉(𝐺)} (Chartrand &
Zhang, 2009).
Teorema II.1
Misalkan 𝐺 adalah sebarang graf berorde 𝑛 dan berukuran 𝑞. Jika
𝑉 𝐺 = 𝑣1, 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 , maka
Gambar II.2 Graf H Adalah Pseudograf
𝐻 ∶
a
b
d
e 1
e 2
e 3
e 5 e 6
e 4
e 7
e 8
c
11
𝑑(𝑣𝑖)
𝑛
𝑖=1
= 2𝑞
Misalkan diberikan suatu graf 𝐺, dengan 𝑉 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒, 𝑓, 𝑔} dan
𝐸 𝐺 = {𝑎𝑒, 𝑏𝑒, 𝑐𝑒, 𝑒𝑓}. Maka graf 𝐺 dapat digambarkan sebagai berikut.
Pada Gambar II.3, terdapat empat titik yang berderajat satu yaitu
titik 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑓 atau 𝑑(𝑎) = 𝑑(𝑏) = 𝑑(𝑐) = 𝑑(𝑓) = 1 sebagai titik
terminal. Satu titik berderajat nol yaitu titik 𝑔 atau d(𝑔) = 0 sebagai titik
terasing. Dari sini terlihat bahwa derajat terkecil dalam 𝐺 adalah 0 atau
𝛿(𝐺) = 0. Selanjutnya, titik berderajat empat adalah titik e atau 𝑑(𝑒) = 4.
Jadi ∆(𝐺) = 4.
Akibat II.1
Banyaknya titik berderajat ganjil dalam sebuah graf selalu genap.
Sebagai contoh, perhatikan graf pada Gambar II.3. Titik yang
berderajat ganjil adalah 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑓.
Definisi II.3
Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah sebuah graf. 𝐺1 = (𝑉1, 𝐸1) adalah subgraf dari
𝐺 jika 𝑉1 ⊆ 𝑉(𝐺) dan 𝐸1 ⊆ 𝐸(𝐺). Komplemen dari subgraf 𝐺1 terhadap graf
a
b
c
e f g
1
1
1
4 1
0
Gambar II.3 Derajat Titik Pada Graf 𝐺
𝐺 ∶
12
𝐺 adalah graf 𝐺2 = (𝑉2, 𝐸2) sedemikian sehingga 𝐸2 = 𝐸 − 𝐸1 dan 𝑉2
adalah himpunan titik yang terkait dengan sisi 𝐸2.
Berdasarkan Definisi II.3, subgraf 𝐺1 dikatakan subgraf maksimal
dari 𝐺 jika 𝐺1 memuat semua sisi 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝐺) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉1. Untuk
sebarang himpunan 𝑆 ⊂ 𝑉(𝐺), subgraf terinduksi oleh 𝑆 dari 𝐺 adalah
subgraf maksimal dari 𝐺 dengan himpunan titik 𝑆 dan dinotasikan dengan
𝐺[𝑆].
2. Pewarnaan dan Operasi Dalam Graf
Dalam teori graf terdapat beberapa aturan dan operasi yang akan
digunakan dalam penentuan batas atas dan batas bawah bilangan
Ramsey graf antara lain sebagai berikut.
a. Pewarnaan Graf
Di dalam teori graf, terdapat konsep yang disebut pewarnaan graf.
Pewarnaan terbagi atas tiga jenis, yaitu pewarnaan titik, pewarnaan sisi,
serta pewarnaan yang tidak umum yaitu pewarnaan – 𝑓. Pewarnaan titik
merupakan pemberian warna pada himpunan titik 𝑉(𝐺) dimana setiap titik
Komplemen Subgraf
a
d
e b
a
c d
e
Graf G
Gambar II.4 Graf, Subgraf, dan Komplemennya
b e
c d Subgraf
a
13
diberi hanya satu warna dan dua titik yang bertetangga diberi warna yang
berbeda.
Suatu graf 𝐺 dikatakan berwarna 𝑘 apabila terdapat 𝑘 warna dalam
pewarnaan graf tersebut. Jumlah warna minimum yang digunakan dalam
pewarnaan titik tersebut dinamakan bilangan kromatik dari 𝐺, yang
dinotasikan dengan 𝜒(𝐺). Perhatikan gambar berikut.
Pada Gambar II.5, diperoleh berturut – turut bahwa jumlah warna
minimum pada 𝑊7 adalah 5, pada 𝑊6 adalah 3, dan pada 𝑆7 adalah 2,
sehingga diperoleh bilangan kromatik 𝜒 𝑊7 = 5, 𝜒 𝑊6 = 3, dan 𝜒 𝑆7 =
2.
Selanjutnya, dikenal pula pewarnaan sisi yaitu memberi warna
pada himpunan sisi 𝐸(𝐺) sedemikian sehingga sisi – sisi yang bertetangga
memiliki warna yang berbeda. Metode pemberian warna pada sisi tidak
berbeda dengan yang dilakukan pada pewarnaan titik.
Selain pewarnaan titik dan sisi, terdapat pula pewarnaan lain yang
tidak umum yaitu pewarnaan – 𝑓 . Pada tahun 1986. Hakim dan Kariv
memperumum konsep pewarnaan sisi sejati menjadi pewarnaan – 𝑓 .
Gambar II.5 Pewarnaan Titik Pada 𝑊7, 𝑊6, dan 𝑆7
14
Definisi II.4
Diketahui suatu graf 𝐺(𝑉, 𝐸) dan fungsi 𝑓 ∶ 𝑉 → ℕ. Pewarnaan – 𝑓 pada
𝐺 merupakan suatu pemetaan 𝑐 ∶ 𝐸 → ℕ sehingga setiap titik 𝑣 ∈ 𝑉
terkait dengan paling banyak 𝑓(𝑣) buah sisi yang berwarna sama.
Berdasarkan definisi tersebut, banyaknya sisi yang terkait dengan
titik 𝑣 berwarna sama paling banyak 𝑓(𝑣). Misalkan terdapat graf 𝐺
dimana sisi yang terkait pada setiap sisinya akan diwarnai paling banyak
2. Maka pewarnaan 𝐺 digambarkan sebagai berikut.
b. Operasi Dalam Graf
Di dalam teori graf dikenal beberapa jenis operasi yang akan
digunakan dalam penelitian ini, antara jumlah dan gabungan graf.
Misalkan 𝐺𝑖 adalah graf dengan himpunan titik simpul 𝑉𝑖 dan himpunan sisi
𝑥𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … . , 𝑘. Graf gabungan 𝐺 =∪𝑖=1𝑘 𝐺𝑖 adalah suatu graf dengan
himpunan titik 𝑉𝑉 =∪𝑖=1𝑘 𝑉𝑖𝑉𝑖 dan himpunan sisi 𝑉𝑋 =∪𝑖=1
𝑘 𝑋𝑖𝑉𝑖
(Hasmawati, 2007). Definisi jumlah dalam graf secara umum belum ada.
Namun pada tahun 1952, Zykov telah mendefinisikan untuk jumlah dua
graf seperti berikut.
𝐺 ∶
Gambar II.6 Pewarnaan – 𝑓 pada graf 𝐺
15
Definisi II.5
Jumlah 𝐺 = 𝐺1 + 𝐺2 adalah suatu graf dengan 𝑉 𝐺 = 𝑉1 ∪ 𝑉2 dan
𝑋 𝐺 = 𝑋1 ∪ 𝑋2 ∪ 𝑢𝑣 : 𝑢 ∈ 𝑉1, 𝑣 ∈ 𝑉2 .
Misalkan terdapat graf 𝑃3 dan 𝐾 4. Jumlah graf 𝑃3 + 𝐾 4 ditunjukkan pada
Gambar II.7 berikut.
Selain jumlah dan gabungan graf, dikenal pula istilah dekomposisi
pada graf. Misalkan 𝐺 adalah graf dan 𝐻𝑖 ⊆ 𝐺 untuk setiap 𝑖. Dekomposisi
graf 𝐺 adalah himpunan {𝐻1, 𝐻2, … , 𝐻𝑘} sedemikian sehingga 𝐸 𝐺 =
𝐸(𝐻𝑖)𝑘𝑖=1 , 𝑉 𝐻𝑖 = 𝑉(𝐻𝑗 ) dan 𝐸 𝐻𝑖 ∩ 𝐸 𝐻𝑗 = ∅ untuk setiap 𝑖 ≠ 𝑗 dan
𝑖, 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑘}, dengan 𝐸(𝐻𝑖) ≠ ∅. Dekomposisi dari graf 𝐺 dinyatakan
dengan 𝐺 = 𝐻1⨁𝐻2 ⨁…⨁𝐻𝑘 . Sebagai contoh 𝐾𝑚 = 𝐹𝑚 ⨁ 𝐹𝑚 .
3. Jenis – Jenis Graf
Sebelum membahas tentang jenis – jenis graf, perlu diketahui
beberapa definisi dari beberapa istilah berikut, seperti jalan (walk), lintasan
(path), jalur (trail), siklus (cycle).
Definisi II.6
Jalan 𝑊 pada graf 𝐺 dengan panjang 𝑘 adalah barisan barisan
berselang-seling titik dan sisi, yaitu 𝑣0 , 𝑒0, 𝑣1, 𝑒1, 𝑣2, 𝑒2, … , 𝑒𝑘−1, 𝑣𝑘 dengan
Gambar II.7 (a) Graf 𝑃3 ∪ 𝐾 4 dan (b) Jumlah graf 𝑃3 + 𝐾 4
𝑃3 ∶
𝐾 4 :
: (a) (b)
16
𝑒𝑖 = 𝑣𝑖𝑣𝑖+1, 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑘 − 1.
Dalam hal ini, 𝑣0 disebut titik awal dan 𝑣𝑘 disebut titik akhir. Sebuah
jalan disebut sebagai jalan tertutup apabila 𝑣0 = 𝑣𝑘 . Jalan 𝑊 disebut
lintasan (path) bila semua titiknya berbeda. Sedangkan jika setiap sisinya
yang berbeda maka jalan tersebut dinamakan jalur (trail). Jalur yang
berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut sirkuit dengan derajat
setiap titik adalah 2.
a. Graf Siklus
Sirkuit yang mengandung titik yang berlainan (kecuali titik awal dan
akhir) disebut siklus (cycle). Graf siklus adalah graf terhubung yang setiap
titiknya berderajat dua. Graf siklus berorde 𝑛 dilambangkan dengan 𝐶𝑛 .
Pada Gambar II.8 berikut, berturut-turut adalah graf siklus 𝐶3, 𝐶4, 𝐶5, dan
𝐶6.
Panjang siklus dapat dilihat dari banyaknya sisi dalam siklus
tersebut. Graf yang tidak mengandung siklus disebut asiklik.
b. Graf Lengkap
Jenis graf lainnya adalah graf lengkap. Graf lengkap ialah graf
sederhana yang setiap titiknya mempunyai sisi ke semua titik lainnya. Graf
lengkap dengan 𝑛 buah titik dilambangkan dengan 𝐾𝑛 . Jumlah sisi pada
𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶6
Gambar II.8 Graf Siklus
17
graf lengkap yang terdiri dari 𝑛 buah titik adalah 𝑛 𝑛 – 1
2. Untuk 𝑛 = 3, maka
graf lengkap 𝐾3 juga dapat dikatakan sebagai graf siklus 𝐶3.
c. Graf Bipartit
Graf 𝐺 yang himpunan titiknya dapat dipisah menjadi dua himpunan
bagian 𝑉1 dan 𝑉2, sedemikian sehingga setiap sisi pada 𝐺 menghubungkan
sebuah titik di 𝑉1 ke sebuah titik di 𝑉2 disebut graf bipartit.
Salah satu contoh graf bipartit adalah graf siklus 𝐶6. Graf 𝐶6 dapat dilabeli
sebagai berikut, 𝑉 𝐶6 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓} dan 𝐸 𝐶6 = {𝑎𝑏, 𝑏𝑐, 𝑐𝑑, 𝑑𝑒, 𝑒𝑓, 𝑓𝑎}.
Himpunan titik 𝑉(𝐶6) dapat dipisah menjadi 𝑉1 = {𝑎, 𝑐, 𝑒} dan 𝑉2 = {𝑏, 𝑑, 𝑓}.
Graf bipartit lengkap adalah graf bipartit dimana setiap titik pada 𝑉1
terhubung ke setiap titik pada 𝑉2 (Wilson, 1999). Jika banyak titik pada 𝑉1
sama dengan 𝑉2, maka graf bipartit dilambangkan dengan 𝐾𝑚 ,𝑚 dimana 𝑚
Gambar II.10 Graf Bipartit
𝐺:
𝐶6 ∶ c
d e
f
Gambar II.11 Graf Siklus 𝐶6
a b
𝐾1 𝐾2 𝐾3 𝐾4 𝐾5 𝐾6
Gambar II.9 Graf Lengkap
18
adalah banyak titik 𝑉1 dan 𝑉2. Sedangkan apabila banyaknya titik pada 𝑉1
berbeda dengan 𝑉2, maka graf bipartit dilambangkan dengan 𝐾𝑚 ,𝑛 dimana
𝑚 adalah banyak titik di 𝑉1 dan 𝑛 adalah banyak titik di 𝑉2.
d. Graf k – Partit
Misalkan 𝑉1, 𝑉2, … , 𝑉𝑘 adalah beberapa himpunan bagian dari
himpunan titik 𝑉 𝐺 pada suatu graf 𝐺. Untuk setiap 𝑖, himpunan 𝑉𝑖 disebut
partisi dari 𝑉 𝐺 jika 𝑉𝑖 ≠ ∅ dan 𝑉 𝐺 = 𝑉i𝑘𝑖=1 serta 𝑉𝑖 ∩ 𝑉𝑗 = ∅ dengan
𝑖 ≠ 𝑗. Graf 𝐺 disebut 𝑘-partit jika 𝑉 𝐺 dapat di partisi ke dalam 𝑘 partisi
himpunan bebas 𝑉1, 𝑉2, … , 𝑉𝑘 . Graf 𝑘-partit untuk 𝑘 ≥ 2 dengan 𝑉𝑖 = 𝑛𝑖
disebut graf multipartit, dinotasikan dengan 𝐵𝑛1 ,𝑛2 ,…,𝑛𝑘. Khusus untuk 𝐵𝑛1 ,𝑛2
grafnya disebut graf bipartit.
Misalkan terdapat suatu graf multipartit 𝐵𝑛1 ,𝑛2 ,…,𝑛𝑖, jika 𝑛1 = 𝑛2 =
⋯ = 𝑛𝑖 sebanyak 𝑛, maka 𝐵𝑛1 ,𝑛2 ,…,𝑛𝑖 ditulis 𝐵𝑛𝑖×𝑛 . Graf multipartit 𝐵𝑛1 ,𝑛2 ,…,𝑛𝑘
disebut graf multipartit lengkap jika setiap titik di setiap partisi bertetangga
dengan semua titik di partisi-partisi lainnya. Graf multipartit lengkap
dinotasikan dengan 𝐾𝑛1 ,𝑛2 ,…,𝑛𝑘. Graf 𝐾𝑛1 ,𝑛2 ,…,𝑛𝑘
multipartit lengkap
dikatakan seimbang jika 𝑉𝑖 = 𝑡 untuk setiap 𝑖 dan dinotasikan dengan
𝐾𝑘×𝑡 . Perhatikan Gambar II.13 berikut.
𝐾1,3 𝐾2,3 𝐾3,3 𝐾4,3
Gambar II.12 Graf Bipartit Lengkap
19
e. Graf Euler
Jalur pada graf 𝐺 disebut jalur Euler apabila melewati setiap sisi di
𝐺 tepat satu kali. Jika suatu jalur Euler berawal dan berakhir pada titik
yang sama (tertutup), maka jalur itu disebut sirkuit Euler. Suatu graf yang
memiliki sirkuit Euler disebut graf Euler. Sedangkan graf yang hanya
memiliki jalur Euler disebut graf semi Euler.
Gambar II.14 Jalur Euler 𝑎𝑏𝑑𝑐𝑏𝑓𝑒𝑑𝑓 Pada Graf 𝑀 dan
Sirkuit Euler 𝑢𝑟𝑠𝑡𝑟𝑞𝑝𝑢 Pada Graf 𝑁
𝑀 ∶ 𝑁 ∶ a
b
c
d
e f p q
r s
t
u
Gambar II.13 (a) Graf Bipartit (b) Graf Multipartit (c) Graf multipartit Lengkap (d) Graf Multipartit Seimbang
(b) (a)
(c) (d)
20
Dari Gambar II.14 tersebut, dapat dilihat bahwa 𝑀 merupakan graf
yang memuat jalur Euler, yaitu 𝑎𝑏𝑑𝑐𝑏𝑓𝑒𝑑𝑓 karena melewati semua sisi
yang berlainan. Sedangkan pada graf 𝑁, dapat dilihat bahwa graf tersebut
merupakan sirkuit Euler karena melewati semua sisi yang berlainan dan
kembali ke titik awal, yaitu 𝑢𝑟𝑠𝑡𝑟𝑞𝑝𝑢.
Teorema II.2
Misalkan 𝐺 merupakan graf terhubung tak trivial. 𝐺 merupakan graf Euler
jika dan hanya jika setiap titik pada 𝐺 berderajat genap.
Teorema II.3
Suatu graf terhubung 𝐺 merupakan graf Euler jika dan hanya jika setiap
sisi pada 𝐺 berada pada siklus ganjil.
f. Graf Hamilton
Selain graf Euler, graf yang memiliki sifat yang berbeda dengan
graf-graf lainnya yaitu graf Hamilton.
Definisi II.6
Lintasan Hamilton adalah lintasan yang melalui setiap titik di dalam graf
tepat satu kali. Bila lintasan tersebut kembali ke titik awal membentuk
siklus, maka siklus tersebut dinamakan siklus Hamilton.
Graf 𝐺 disebut graf Hamilton jika 𝐺 memuat siklus Hamilton. Graf 𝐻 berikut
adalah contoh graf Hamilton karena memiliki siklus Hamilton 𝐶20.
21
Pada Gambar II.15, siklus Hamilton 𝐶20 yang termuat di dalamnya
yaitu siklus 𝑎𝑏𝑐𝑙𝑔𝑘𝑓𝑜𝑗𝑛𝑠𝑡𝑝𝑞𝑟𝑚𝑖𝑑𝑒𝑎. Suatu graf non Hamilton dikatakan
semi-Hamilton jika terdapat sebuah lintasan yang melewati setiap titik.
Suatu graf sederhana dapat dikatakan sebagai graf Hamilton
apabila memenuhi sifat pada teorema berikut.
Teorema II.4
Misalkan 𝐺 merupakan graf sederhana dengan orde 𝑛 ≥ 3. Jika
𝑑 𝑢 + 𝑑 𝑣 ≥ 𝑛,
untuk setiap pasangan titik tak bertetangga 𝑢, 𝑣 pada 𝐺, maka 𝐺 adalah
graf Hamilton.
Dari Teorema II.4 dapat diketahui bahwa tidak semua graf
sederhana juga merupakan graf Hamilton. Namun, dengan menggunakan
teorema tersebut, suatu graf dapat diidentifikasi, apakah termasuk graf
Hamilton atau bukan. Jika memenuhi 𝑑 𝑢 + 𝑑𝑒 𝑣 ≥ 𝑛, untuk setiap
Gambar II.16 Graf Semi-Hamilton 𝐺
𝐺 ∶
Gambar II.15 Graf Hamilton Dengan Siklus 𝑎𝑏𝑐𝑙𝑔𝑘𝑓𝑜𝑗𝑛𝑠𝑡𝑝𝑞𝑟𝑚𝑖𝑑𝑒𝑎
b
c d
e
f
g
h i
j k
l
m
n
o
p
q r
s
t
a
H :
22
pasangan titik tak bertetangga 𝑢, 𝑣 pada 𝐺, maka graf tersebut merupakan
graf Hamilton. Namun, hal itu belum tentu berlaku sebaliknya.
g. Graf Pohon
Suatu graf terhubung berorde 𝑛 yang tidak memuat siklus disebut
pohon atau biasa disimbolkan dengan 𝑇𝑛 .
h. Graf Bintang
Suatu pohon yang terdiri atas satu titik berderajat 𝑛 − 1 dan titik
lainnya berderajat satu disebut graf bintang dengan 𝑛 titik. Graf bintang
biasanya disimbolkan dengan 𝑆𝑛 . Selain itu, graf bintang juga dapat
didefinisikan sebagai suatu graf bipartit komplit 𝐾1,𝑡.
i. Graf Roda
Suatu graf yang terdiri atas 𝑛 + 1 titik dimana 𝑛 titik berderajat 3
dan 1 titik berderajat 𝑛 disebut graf roda, atau biasa disimbolkan dengan
𝑊𝑛 .
𝑇13:
Gambar II.17 Graf Pohon
𝑆9 ∶
Gambar II.18 Graf Bintang
23
j. Graf Pansiklik
Selain graf khusus yang telah disebutkan di atas, juga terdapat graf
pansiklik. Dalam pengertian graf pansiklik terdapat istilah girth dan
cirmcumference. Panjang siklus terbesar pada suatu graf 𝐺 disebut
circumference, dinotasikan dengan 𝑐(𝐺), sedangkan panjang siklus
terkecil disebut girth, dinotasikan dengan 𝑔(𝐺).
Sebuah graf 𝐺 yang berorde 𝑛 ≥ 3 disebut graf pansiklik (pancyclic)
jika 𝐺 memuat semua siklus dengan panjang dari 3 sampai 𝑛. Dan disebut
graf pansiklik lemah (weakly pancyclic) jika 𝐺 memuat siklus 𝐶𝑙 , untuk
𝑔(𝐺) ≤ 𝑙 ≤ 𝑐(𝐺). Berikut contoh graf yang termasuk graf pansiklik dan
pansiklik lemah.
Pada Gambar II.20 dapat dilihat bahwa 𝐺1 merupakan jenis graf
pansiklik yang memuat semua siklus 𝐶𝑙 dengan panjang 3 ≤ 𝑙 ≤ 5 dan 𝐺2
𝑊8 ∶
Gambar II.19 Graf Roda
𝑎
Gambar II.20 𝐺1Graf Pansiklik dan 𝐺2 Graf Pansiklik Lemah
𝑏 𝑐
𝑑 𝑒
𝐺1 ∶
𝑡
𝑢
𝑣
𝑤
𝐺2 ∶ 𝑥
𝑦
𝑧
24
adalah graf pansiklik lemah yang memuat semua siklus terkecil hingga
siklus terbesar 𝐶𝑙 dimana 3 ≤ 𝑙 ≤ 6.
Pada Gambar II.21, graf 𝐻 adalah graf non pansiklik karena hanya
memuat siklus 𝐶3, 𝐶6 dan 𝐶7. Dengan kata lain, graf 𝐻 tidak memuat
semua siklus 𝐶𝑙 , dimana 3 ≤ 𝑙 ≤ 7.
4. Beberapa Teorema, Lemma, dan Sifat yang Terkait Batas Bawah
dan Batas Atas Bilangan Ramsey
Pada subbab ini akan diberikan beberapa teorema dan lemma yang
akan terkait dengan masalah penentuan batas bawah dan batas atas
bilangan Ramsey graf. Selain itu juga akan dijelaskan beberapa sifat yang
akan digunakan dalam penentuan bilangan Ramsey.
a. Beberapa Teorema dan Lemma Yang Terkait Bilangan
Ramsey
Teorema dan Lemma yang terkait dengan penentuan batas atas
dan batas bawah bilangan Ramsey, antara lain sebagai berikut.
Gambar II.21 Graf Non Pansiklik
𝐻 ∶
25
Teorema II.5
Graf 𝐺 adalah graf bipartit jika dan hanya jika setiap siklus pada 𝐺 memiliki
panjang genap.
Teorema II.6
Jika 𝐺 adalah graf berorde 𝑛 dan berukuran 𝑛2
4 maka 𝐺 memuat sebuah
siklus ganjil atau 𝐺 = 𝐾𝑛
2,𝑛
2.
Lemma II.1 Lemma (Bondy, 1971)
Misalkan 𝐺 adalah graf berorde 𝑛. Jika 𝛿 𝐺 ≥𝑛
2, maka 𝐺 adalah pansiklik
atau 𝐺 = 𝐾𝑛
2,𝑛
2 untuk 𝑛 genap.
Lemma Bondy merupakan lemma yang digunakan untuk menjamin
keberadaan semua siklus. Salah satu contoh graf yang subgraf
pembangunannya adalah siklus yaitu graf roda, maka untuk mengetahui
keberadaan roda maka dapat pula digunakan Lemma II.2 tersebut. Berikut
disajikan contoh yang menerapkan Lemma II.2.
Contoh II.1
Misal terdapat suatu graf 𝐺 seperti berikut.
Pada Gambar II.22 dapat diketahui bahwa 𝛿 𝐺 = 3 ≥𝑛
2, maka
akan ditunjukkan bahwa 𝐺 pansiklik atau 𝐺 merupakan graf bipartit 𝐾3,3.
Karena pada graf 𝐺 tidak memuat siklus dengan panjang 3 dan 5, maka 𝐺
𝐺 ∶
Gambar II.22 Graf 𝐺
26
bukan graf pansiklik. Selanjutnya dapat dilihat bahwa derajat setiap titik
adalah 3. Oleh karena itu derajat terkecilnya juga 3. Sehingga
berdasarkan Lemma II.2, graf 𝐺 merupakan graf bipartit..
Selanjutnya, selain Lemma Bondy terdapat pula Lemma Brandt
yang berkaitan dengan graf pansiklik.
Lemma II.2 (Brandt)
Setiap graf non bipartit 𝐺 berorde 𝑛 dengan 𝛿 𝐺 ≥𝑛+2
3 adalah pansiklik
lemah dengan 𝑔 𝐺 = 3 atau 4.
Contoh II.2
Diberikan suatu graf 𝐻 sebagai berikut.
Pada Gambar II.23 dapat dilihat bahwa 𝐻 merupakan graf non bipartit
berorde 7 yang derajat titik terkecilnya adalah 3. Karena memenuhi
𝛿 𝐺 ≥𝑛+2
3 maka 𝐻 merupakan pansiklik lemah dimana 𝐻 memuat siklus
dengan panjang yang terkecil yaitu 3 hingga yang terbesar yaitu 6.
Lemma II.3 (Dirac, 1952)
Misalkan 𝐺 merupakan graf denga𝑛 titik 𝑛 ≥ 3 dan 𝛿 𝐺 = 𝛿. Jika 𝐺
adalah graf terhubung-2, maka 𝑐 𝐺 ≥ min 2𝛿, 𝐺 .
𝐻 ∶
Gambar II.23 Graf Non Bipartit 𝐻
27
Selain beberapa teorema dan lemma tersebut terdapat beberapa
kajian tentang sifat graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya.
b. Keterhubungan Graf dan Himpunan Bebas
Pada subbab ini akan dibahas mengenai salah satu topik penting
yang berkaitan dengan bilangan Ramsey, yaitu keterhubungan graf dan
himpunan bebas. Graf 𝐺 dikatakan terhubung (connected) jika untuk
setiap dua titik 𝑢 dan 𝑣 pada graf tersebut terdapat suatu lintasan yang
memuat 𝑢 dan 𝑣. Jika 𝑒 adalah suatu sisi dalam graf 𝐺, maka 𝐺 – 𝑒 adalah
subgraf dari 𝐺 yang mempunyai banyak titik sama dengan 𝐺 dan
mempunyai banyak sisi seperti 𝐺 terkecuali sebuah sisi 𝑒 .
Jika 𝑣 adalah suatu titik dalam graf 𝐺 yang paling sedikit
mempunyai dua titik, maka 𝐺 − 𝑣 adalah subgraf dari 𝐺 yang himpunan
titiknya memuat semua titik dari 𝐺 terkecuali 𝑣 dan himpunan sisi terdiri
atas semua sisi di 𝐺 terkecuali sisi-sisi yang terkait dengan 𝑣.
Misalkan 𝐺(𝑉, 𝐸) adalah graf sebarang dan 𝑘 bilangan bulat non
negatif. Graf 𝐺 disebut terhubung-k (k-connected) jika 𝐺 > 𝑘 dan 𝐺 − 𝑋
terhubung untuk setiap 𝑋 ⊆ 𝑉 dengan 𝑋 < 𝑘.
a
b
c d
e1
e2
e3 e4
G :
a
e1
b d
G - c :
a
b
c e1
e2
e3 d
G – e4 :
Gambar II.24 Graf Terhubung 𝐺 dan Graf Tak Terhubung 𝐺 − 𝑐 dan 𝐺 − 𝑒4
28
Suatu titik 𝑣 di dalam graf terhubung 𝐺 disebut titik pemotong (cut-
vertex) jika 𝐺 – 𝑣 tak terhubung. Suatu titik pemotong dengan kardinalitas
minimum pada 𝐺 disebut titik pemotong minimum (minimum vertex-cut)
pada 𝐺 dan kardinalitasnya disebut keterhubungan titik pada 𝐺 dan
disimbolkan dengan 𝜅(𝐺).
Suatu graf komplit 𝐾𝑛 tidak dapat menjadi suatu graf tak terhubung
dengan menghilangkan titik apapun, namun suatu graf trivial dapat
dihasilkan setelah menghilangkan 𝑛 − 1 titik, sehingga keterhubungan
pada graf lengkap berorde 𝑛 didefinisikan sebagai sebagai 𝑛 − 1 atau
𝜅 𝐾𝑛 = 𝑛 − 1. Kemudian secara umum, keterhubungan 𝜅(𝐺) pada graf 𝐺
merupakan bilangan terkecil banyaknya titik yang dihilangkan sehingga
penghilangan titik – titik tersebut pada 𝐺 menghasilkan suatu graf tak
terhubung atau suatu graf trivial. Selanjutnya, untuk setiap graf 𝐺 berorde
𝑛,
0 ≤ 𝜅 𝐺 ≤ 𝑛 − 1.
Suatu graf 𝐺 memiliki keterhubungan 0 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝐾1
atau 𝐺 tak terhubung, selanjutnya graf 𝐺 memiliki keterhubungan 1 jika
dan hanya jika 𝐺 = 𝐾2.
Sisi 𝑒 di dalam graf terhubung 𝐺 disebut suatu jembatan (bridge)
jika 𝐺 – 𝑒 tak terhubung. Sisi 𝑒4 di dalam Gambar II.24 merupakan suatu
jembatan.
Definisi II.7
Misalkan 𝐺 merupakan suatu graf terhubung, dimana 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺). Jarak
29
dari 𝑢 ke 𝑣 di 𝐺, ditulis 𝑑(𝑢, 𝑣), adalah panjang lintasan terpendek dari 𝑢
ke 𝑣 di 𝐺.
Eksentrisitas 𝑒(𝑣) pada suatu titik 𝑣 adalah nilai 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑢∈𝑉 𝐺 d(𝑢, 𝑣),
atau 𝑒(𝑣) merupakan jarak antara 𝑣 dengan sebuah titik terjauh dari 𝑣.
Radius, atau ditulis 𝑟𝑎𝑑 𝐺 pada 𝐺 merupakan eksentrisitas minimum dari
titik pada 𝐺, sementara diameter, atau ditulis 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 , merupakan
eksentrisitas maksimum. Dengan kata lain, 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺) merupakan jarak
terbesar dari setiap dua titik pada 𝐺.
Definisi II.8
Sebuah titik 𝑣 dikatakan titik pusat (central vertex) jika 𝑒 𝑣 = 𝑟𝑎𝑑(𝐺).
Selain beberapa istilah tersebut, pada graf terhubung juga dikenal
istilah berat dan pusat berat (centroid). Berat pada suatu titik 𝑣 adalah
jumlah maksimum sisi dalam setiap cabang di 𝑣. (Bondy & Murty, 1976)
Pada Gambar II.25, berat titik 𝑏, , dan 𝑓 adalah 8 karena jumlah
maksimum sisinya adalah 8. Sedangkan berat titik 𝑔 adalah 3.
Definisi II.9
Titik 𝑣 disebut pusat berat jika 𝑣 memiliki berat minimum.
Berdasarkan Definisi II.9, titik 𝑔 pada Gambar II.25 disebut pusat
berat karena memiliki berat minimum.
8
8 3 8 𝐺 :
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓 𝑔
𝑖
𝑗 𝑘
Gambar II.25 Berat titik pada graf
𝐺
30
Selanjutnya, misalkan terdapat suatu graf berorde 𝑛 yaitu 𝐺(𝑉, 𝐸)
dan 𝑋 ⊆ 𝑉. Himpunan 𝑋 disebut himpunan bebas jika untuk setiap dua titik
𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 berlaku 𝑥, 𝑦 ∉ 𝐸(𝐺). Misalkan 𝑌 merupakan suatu himpunan
bebas dari 𝐺. Jika untuk setiap himpunan bebas 𝑋 dari 𝐺 berlaku 𝑋 ≤
|𝑌|, maka 𝑌 disebut himpunan bebas terbesar dari 𝐺. Kardinalitas
himpunan bebas terbesar dari 𝐺 dinotasikan dengan 𝛼(𝐺). Sebagai
contoh 𝛼 𝑆𝑛 = 𝑛 − 1.
5. Bilangan Ramsey
Pada tahun 1935, perkembangan teori graf semakin pesat, hal
tersebut ditandai dengan penemuan yang dilakukan oleh Erdos dan
Szekeres yang pada saat itu mengkaji tentang teori Ramsey dan
kemudian mengaplikasikannya ke dalam teori graf. Kajian tersebut
dinamakan sebagai teori Ramsey klasik, dimana untuk kasus dua warna
dinyatakan sebagai berikut.
Definisi II.10
Diberikan sebarang dua graf 𝐺 dan 𝐻, bilangan Ramsey graf dua warna
𝑅(𝐺, 𝐻) adalah bilangan asli terkecil 𝑚 sedemikian sehingga untuk setiap
pewarnaan dengan dua warna pada setiap sisi graf lengkap 𝐾𝑚
katakanlah merah atau biru, maka 𝐾𝑚 akan selalu memuat subgraf merah
yang isomorf dengan 𝐺 atau subgraf biru yang isomorf dengan 𝐻.
Contoh II.3
Berdasarkan Baskoro dkk (2002) telah diketahui bahwa 𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊5 = 3𝑛 −
31
2 untuk 𝑛 ≥ 4, misalkan ambil 𝑛 = 4 maka 𝑅 𝑆4, 𝑊5 = 10. Akan
ditunjukkan bilangan Ramsey untuk graf bintang berorde 4 terhadap graf
roda berorde 5 atau 𝑅(𝑆4, 𝑊5). Ambil suatu graf lengkap berorde 10 atau
sebut 𝐾10. Maka pewarnaan dengan dua warna pada setiap sisi graf
lengkap 𝐾10 katakanlah merah dan biru, maka 𝐾10 akan selalu memuat
subgraf merah yang isomorf dengan 𝑆4 atau subgraf biru yang isomorf
dengan 𝑊5.
Berdasarkan Gambar II.26, dapat dilihat bahwa setiap titik pada
subgraf merah 𝐾10 berderajat 2 sehingga tidak ditemukan 𝑆4 yang isomorf
dengan subgraf berwarna merah. Namun, pada subgraf berwarna biru
pada 𝐾10 ternyata dapat ditemukan 𝑊5 dengan 𝑢 sebagai titik pusatnya
dan 1,2,3,4, dan 5 sebagai titik pada siklus 𝐶5 yang terkait dengan 𝑢.
Pewarnaan dua warna, yaitu merah dan biru, pada semua sisi graf
lengkap 𝐾𝑚 akan menghasilkan dua subgraf, yaitu subgraf berwarna
merah dan subgraf berwarna biru. Salah satu dari subgraf tersebut,
misalkan subgraf berwarna merah, merupakan subgraf pembangun 𝐾𝑚
dan subgraf berwarna biru adalah komplemen dari subgraf pembangun
𝑢 1
2
3
4
5
Gambar II.26 Pewarnaan Pada Graf 𝐾10
𝐾10 ∶
32
tersebut. Dengan memanfaatkan konsep dekomposisi graf, maka definisi
bilangan Ramsey graf dapat dituliskan sebagai berikut.
Definisi II.11
Diberikan sebarang dua graf 𝐺 dan 𝐻, bilangan Ramsey graf
𝑅(𝐺, 𝐻) adalah bulat terkecil 𝑚 sedemikian sehingga untuk setiap graf 𝐹
berorde 𝑚 memenuhi sifat berikut: 𝐹 memuat graf 𝐺 atau 𝐹 memuat 𝐻.
Perhatikan kembali Contoh II.3. Berdasarkan Gambar II.26
sebelumnya ternyata subgraf berwarna merah merupakan graf 𝐹 yang
berorde 10 dan subgraf berwarna biru merupakan komplemen dari 𝐹 (𝐹 )
yang memuat 𝑊5.
𝐹 ⊉ 𝑆4
𝐹 ⊇ 𝑊5
𝑊5
Selanjutnya, sebelum menyajikan teorema batas bawah dari
Chvátal dan Harary, akan disajikan terlebih dahulu definisi graf kritis
(good-gaph).
Definisi II.12
Diberikan graf 𝐺 dan 𝐻. Suatu graf 𝐹 disebut graf kritis untuk 𝐺 dan 𝐻, jika
𝐹 tidak memuat 𝐺 dan 𝐹 tidak memuat 𝐻.
𝑢 1
2
3
4
5
𝑢
1
2
3 4
5
Gambar II.27 Identifikasi 𝑆4 pada 𝐹 dan 𝑊5 pada 𝐹
33
Kardinalitas graf kritis untuk sepasang graf 𝐺 dan 𝐻 merupakan
dasar untuk menemukan batas bawah bilangan Ramsey 𝑅(𝐺, 𝐻). Berikut
teorema yang diberikan oleh Chvátal dan Harary.
Teorema II.7 (Chvátal dan Harary, 1972)
Misalkan 𝜒(𝐻) adalah bilangan kromatik graf 𝐻 dan 𝐶(𝐺) adalah
banyaknya titik pada komponen terbesar graf 𝐺, maka 𝑅 𝐺, 𝐻 ≥
𝜒 𝐻 − 1 𝐶 𝐺 − 1 + 1.
Bukti
Pandang graf 𝐹 ≔ 𝜒 𝐻 − 1 𝐾𝐶 𝐺 −1. Graf 𝐹 terdiri atas 𝜒 𝐻 − 1 graf
lengkap dengan kardinalitas masing-masing 𝐶 𝐺 − 1. Dengan demikian,
𝐹 tidak memuat graf terhubung yang berorde paling sedikit 𝐶 𝐺 .
Akibatnya, 𝐹 tidak memuat 𝐺. Komplemen dari 𝐹 yaitu 𝐹 adalah graf
multipartit 𝐾 𝜒 𝐻 −1 (𝐶 𝐺 −1). Jelas 𝐾 𝜒 𝐻 −1 (𝐶 𝐺 −1) terdiri dari 𝜒 𝐻 − 1
partisi, sehingga tidak memuat graf dengan bilangan kromatik 𝜒 𝐻 . Jadi,
𝐹 tidak memuat 𝐻. Karenanya, diperoleh 𝑅 𝐺, 𝐻 ≥ 𝐹 + 1 = 𝜒 𝐻 −
1 𝐶 𝐺 − 1 + 1. ∎
Selanjutnya, definisi batas atas bilangan Ramsey 𝑅(𝐺, 𝐻) telah
diberikan sebagai berikut.
Definisi II.13
Suatu bilangan asli 𝑛 disebut batas atas bilangan Ramsey 𝑅(𝐺, 𝐻) apabila
sembarang graf dengan orde 𝑛 akan selalu memuat 𝐺 atau
komplemennya memuat 𝐻.
34
Perkembangan Bilangan Ramsey Graf
Kajian mengenai bilangan Ramsey semakin lama semakin
berkembang untuk beberapa jenis graf. Berikut tabel yang menyajikan
hasil kajian mengenai bilangan Ramsey.
Tabel 1. Hasil Penelitian Bilangan Ramsey Graf
Tahun
Peneliti
Hasil Penelitian
1967
Gerencser
dan
Gyarfas
𝑅 𝑃𝑛 , 𝑃𝑚 = 𝑛 + 𝑚
2 − 1 untuk 𝑛 ≥ 𝑚 ≥ 2
1973 Lawrence 𝑅 𝑆16 , 𝐾2,2 = 20
1974 Faudree
dkk 𝑅 𝑃𝑛 , 𝐶𝑚 =
2𝑛 − 1, untuk 𝑚 ganjil dan 𝑛 ≥ 𝑚 − 1 ≥ 2
𝑛 + 𝑚
2 − 1, untuk 𝑚 genap dan 𝑛 ≥ 𝑚 − 1 ≥ 3
1974 Burr 𝑅 𝑆𝑛+1 , 𝑇𝑚 = 𝑚 + 𝑛 − 1, untuk 𝑛 ≡ 1 (mod 𝑚 − 1)
1974 Cockayne 𝑅 𝑆𝑛+1 , 𝑇𝑚 = 𝑚 + 𝑛 − 2, untuk 𝑛 dan m ya𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
1975 Parsons 𝑅 𝑆8 , 𝐾2,3 = 13
2001
Surahmat
dan
Baskoro
𝑅 𝑃𝑛 , 𝑊𝑚 = 2𝑛 − 1, untuk 𝑚 ≥ 4 genap dan 𝑛 ≥
𝑚
2 𝑚 − 2
3𝑛 − 2, untuk 𝑚 ≥ 5 ganjil dan 𝑛 ≥𝑚 − 1
2(𝑚 − 3)
2002 Baskoro
dkk
𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊4 = 2𝑛 − 1, untuk 𝑛 ganjil 2𝑛 + 1, untuk 𝑛 genap
𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊5 = 3𝑛 − 2
2002 Baskoro
dkk 𝑅 𝑇𝑛 , 𝑊𝑚 =
2𝑛 − 1, untuk 𝑚 = 43𝑛 − 2, untuk 𝑚 = 5
2003 Hasmawati 𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊𝑚 = 𝑚 + 𝑛 − 2, untuk 𝑚 genap dan 𝑛 ganjil
2004 Chen dkk 𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊6 = 2𝑛 + 1, untuk 𝑛 ≥ 3
𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊𝑚 = 3𝑛 − 2, untuk 𝑚 ganjil dan 𝑛 ≥ 𝑚 − 1 ≥ 2
2004 Zhang 𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊8 = 2𝑛 + 1, untuk n ganjil2𝑛 + 2, untuk n genap
2004 Rosyida
𝑅 𝑆4 , 𝐾𝑡 ,𝑚 = 𝑡 + 𝑚 + 2 untuk 𝑡, 𝑚 ≥ 2
𝑅 𝑆5 , 𝐾2,𝑚 = 𝑚 + 5, untuk 𝑚 genap𝑚 + 6, untuk 𝑚 ganjil
35
Tahun Peneliti Hasil Penelitian
2005 Korolova 𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊𝑚 = 3𝑛 − 2, jika 𝑛 = 𝑚, 𝑚 + 1 atau 𝑚 + 2
𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊𝑚 ≥ 2𝑛 + 1, untuk 𝑚 genap dan 𝑛 ≥ 𝑚 ≥ 6
2006
Surahmat 𝑅 𝐶𝑛 , 𝑊𝑚 = 2𝑛 − 1, untuk 𝑚 genap dan 𝑛 ≥
5𝑚
2− 1
3𝑛 − 2, untuk 𝑚 ≥ 5 ganjil dan 𝑛 >5𝑚 − 9
2
2006 Lortz 𝑅 𝐾2,2 , 𝐾3,𝑚 = 11 untuk 𝑚 = 3,4
𝑅 𝐾2,2 , 𝐾3,6 = 15, 𝑅 𝐾2,2 , 𝐾3,7 = 16, 𝑅 𝐾2,2, 𝐾3,8 = 17, 𝑅 𝐾2,2, 𝐾3,9 = 20
2007 Hasmawati 𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊𝑚 = 3𝑛 − 2, untuk 𝑚 ganjil dan 3 ≤ 𝑚 ≤ 2𝑛 − 13𝑛 − 4, untuk 𝑚 = 2𝑛 − 4 atau 𝑚 = 2𝑛 − 23𝑛 − 6, untuk 𝑚 = 2𝑛 − 8 atau 𝑚 = 2𝑛 − 6
, n ganjil
2007 M. Salman 𝑅 𝑃𝑛 , 𝑊𝑚 =
1, untuk 𝑛 = 1 dan 𝑚 ≥ 3
𝑚 + 1, untuk 𝑛 = 2 dan 𝑚 ≥ 3, atau 𝑛 = 3 dan 𝑚 genap, 𝑚 ≥ 4 𝑚 + 2, untuk 𝑛 = 3 dan 𝑚 ganjil, 𝑚 ≥ 5
3𝑛 − 2, untuk 𝑛 = 3 dan 𝑚 = 3 atau 𝑛 ≥ 4 dan 𝑚 ganjil, 3 ≤ 𝑚 ≤ 2𝑛 − 12𝑛 − 1, untuk 𝑛 ≥ 4 dan 𝑚 genap, 4 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛 + 1
2010 Ahsan 2𝑛 + 1 ≤ 𝑅 𝑆𝑛 , 𝑊8 ≤5(𝑛−1)
2, untuk 𝑛 ≥ 11, 𝑛 ≡ 3 (mod 4)
2010 Kondo
Korani
𝑅 𝑘𝑆𝑛 , 𝑊6 = 𝑘 + 1 𝑛 + 1 untuk 𝑛 ≥ 4 dan 𝑘 ∈ 𝑁
𝑅 𝑆𝑛𝑖 , 𝑊6𝑘𝑖=1 = 𝑅 𝑆𝑛𝑘 , 𝑊6 + 𝑛𝑖
𝑘−1𝑖=1 , untuk 𝑛𝑖 ≥ 4,
untuk setiap 𝑖 dan jika 𝑛𝑖 ≥ 𝑛𝑖+1 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 − 1 dan 2𝑛𝑘 > 𝑛𝑘−1
2014 Hamdana 𝑅 S2n , W2n+2 = 5n − 1, untuk m = 2n + 2 dan n ≥ 4
2014 Andi
Ardhilla 𝑅 𝑆𝑛 . 𝑊𝑛+4 = 2𝑛 +
𝑛
2
(Sumber : Hasmawati, 2007)
36
B. Kerangka Pikiran
Bilangan Ramsey terbagi atas : bilangan Ramsey dua graf,
bilangan Ramsey multigraf, Ramsey minimal, dan multipartite Ramsey
number. Masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah bilangan
Ramsey dua graf, yaitu antara graf bintang terhadap graf roda khususnya
yang berorde genap. Pembahasan tersebut akan dijelaskan menggunakan
konsep atau teori yang berkaitan dengan bilangan Ramsey.
Penelitian ini dibagi menjadi dua tahapan, yaitu tahap penentuan
batas bawah dan tahap penentuan batas atas. Dalam penentuan batas
bawah, teorema Chvátal dan Harary menjadi acuan untuk mengkonstruksi
graf kritis dengan orde yang lebih tinggi daripada yang diberikan oleh
Chvátal dan Harary sehingga akan didapatkan batas bawah terbesar yang
merupakan batas bawah yang lebih baik.
Selanjutnya, dalam menentukan batas atas akan digunakan
beberapa teorema dan lemma serta beberapa sifat yang terkait dengan
bilangan Ramsey graf. Teorema dan lemma tersebut antara lain : Lemma
Bondy, lemma Brandt, dan lemma Dirac.
Dalam penelitian ini, karena tidak ditemukan batas atas terkecil
yang sama dengan batas bawah terbesar, maka akan dihasilkan bilangan
Ramsey yang berada dalam suatu interval. Lebih jelasnya, tahapan
mengenai penelitian ini digambarkan dalam bentuk flowchart sebagai
berikut.
37
Bilangan
Ramsey Eksak
Gambar II.28. Flowchart Penelitian
Start
Bilangan
Ramsey
Konstruksi graf
kritis maksimal
Batas bawah terbesar
Penggunaan lemma
Bondy, lemma Brandt, lemma Dirac, dan konsep
keterhubungan
Batas atas terkecil
Batas bawah
=
batas atas
End
No Yes
Batas bawah
Chvátal – Harary
dan Korolova
Teorema, lemma, serta konsep yang
berkaitan dengan bilangan Ramsey
pada graf bintang terhadap graf roda
Studi Literatur
Interval
Top Related