Download - Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 · PDF fileKumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT ... Perhatikan pertidaksamaan pada soal melibatkan harga ... dan 2 2adalah akar-akar persamaan

Pembahasan Soal

SIMAK–UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA

Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS

Matematika IPA

Disusun Oleh :

Pak Anang

Bimbel SIMAK–UI 2013 Matematika IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 1

Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan Soal SIMAK–UI 2012

Matematika IPA Kode Soal 521 By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

PETUNJUK A: Untuk soal nomor 1-11 pilihlah satu jawaban yang paling tepat.

1. Misalkan 𝑥 dan 𝑦 bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut:

{𝑥2 − 𝑥𝑦 + 3𝑦2 + 2𝑥 − 5𝑦 − 4 = 0

𝑥 + 2𝑦 = 4

maka 𝑥2 − 𝑦2 = .... A. −6 B. −3 C. 0 D. 3 E. 6

Pembahasan:

Perhatikan bentuk sistem persamaan berikut:

𝑥2 − 𝑥𝑦 + 3𝑦2 + 2𝑥 − 5𝑦 − 4 = 0 .....................(1)

𝑥 + 2𝑦 = 4 ...................................................................(2)

Persamaan (1) akan menjadi persamaan kuadrat dengan mensubstitusikan 𝑥 atau 𝑦 dari persamaan (2).

𝑥 + 2𝑦 = 4 ⇒ 𝑥 = 4 − 2𝑦 atau 𝑦 = 2 −1

2𝑥

Dengan mudah dilihat bahwa substitusi 𝑥 ke persamaan (1) lebih mudah daripada substitusi 𝑦, karena tidak mengandung unsur pecahan.

Substitusi 𝑥 = 4 − 2𝑦 ke persamaan (1) akan diperoleh:

𝑥2 − 𝑥𝑦 + 3𝑦2 + 2𝑥 − 5𝑦 − 4 = 0 ⇒ (4 − 2𝑦)2 − (4 − 2𝑦)𝑦 + 3𝑦2 + 2(4 − 2𝑦) − 5𝑦 − 4 = 0

⇔ 16 − 16𝑦 + 4𝑦2 − 4𝑦 + 2𝑦2 + 3𝑦2 + 8 − 4𝑦 − 5𝑦 − 4 = 0

⇔ 4𝑦2 + 2𝑦2 + 3𝑦2 − 16𝑦 − 4𝑦 − 4𝑦 − 5𝑦 + 16 + 8 − 4 = 0

⇔ 9𝑦2 − 29𝑦 + 20 = 0Pembuat nol

⇒ (9𝑦 − 20)(𝑦 − 1) = 0⇔ 9𝑦 − 20 = 0 atau 𝑦 − 1 = 0

⇔ 𝒚 =𝟐𝟎

𝟗 atau 𝑦 = 1

𝑻𝑴

Karena 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan bulat, maka 𝑦 =20

9 tidak memenuhi (TM).

Sehingga, nilai 𝑦 yang memenuhi adalah 𝑦 = 1, sehingga 𝑥 = 4 − 2𝑦 ⇒ 𝑥 = 4 − 2(1)= 4 − 2= 2

Jadi, nilai 𝑥2 − 𝑦2 = (2)2 − (1)2 = 4 − 1 = 3

LOGIKA PRAKTIS:

Apabila 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan bulat, maka kemungkinan nilai 𝑥2 − 𝑦2 adalah bilangan nol, atau bilangan bulat ganjil. Jadi jelas jawaban A dan E bukan jawaban yang benar.

http://pak-anang.blogspot.com/



2. Misalkan 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)3 + (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 1). Maka sisa dari pembagian 𝑓(𝑥 + 2) oleh 𝑥2 − 1 adalah .... A. −2 + 5𝑥 B. −9 + 14𝑥 C. 5 − 2𝑥 D. 14 − 9𝑥 E. 11 + 19𝑥

Pembahasan:

Fungsi 𝑓(𝑥 + 2) dapat diperoleh dengan mensubstitusikan 𝑥 dengan 𝑥 + 2, sehingga:

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)3 + (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 1) ⇒ 𝑓(𝑥 + 2) = ((𝑥 + 2) − 3)3+ ((𝑥 + 2) − 2)

2+ ((𝑥 + 2) − 1)

⇔ 𝑓(𝑥 + 2) = (𝑥 − 1)3 + 𝑥2 + (𝑥 + 1)

Misal sisa pembagian dari 𝑓(𝑥 + 2) oleh 𝑥2 − 1 adalah 𝑝𝑥 + 𝑞, maka menurut teorema pembagian suku banyak bisa dirumuskan sebagai berikut:

𝑓(𝑥 + 2) = 𝑝(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) + 𝑠(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥 + 2) = (𝑥2 − 1)ℎ(𝑥) + (𝑝𝑥 + 𝑞)

⇔ 𝑓(𝑥 + 2) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)⏟ Substitusikanpembuat noldari pembagi

yaitu𝑥=−1 𝑑𝑎𝑛 𝑥=1

ℎ(𝑥) + (𝑝𝑥 + 𝑞)

Dengan mensubstitusikan pembuat nol dari fungsi pembagi, maka akan diperoleh persamaan:

𝑥 = −1 ⇒ 𝑓(1) = −𝑝 + 𝑞 ....................................... (1)

𝑥 = 1 ⇒ 𝑓(3) = 𝑝 + 𝑞 ............................................... (2)

Padahal 𝑓(𝑥 + 2) = (𝑥 − 1)3 + 𝑥2 + (𝑥 + 1), sehingga:

𝑓(1) = 𝑓(−1 + 2) = ((−1) − 1)3+ (−1)2 + ((−1) + 1) = (−2)3 + 1 + 0 = −8 + 1 = −7

𝑓(3) = 𝑓(1 + 2) = (1 − 1)3 + (1)2 + (1 + 1) = 0 + 1 + 2 = 3

Dengan mensubstitusi 𝑓(1) = −7 dan 𝑓(3) = 3 serta mengeliminasi 𝑞 pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh:

−𝑝 + 𝑞 = −7𝑝 + 𝑞 = 3

−2𝑝 = −10 ⇒ 𝑝 =−10

−2⇔ 𝑝 = 5

Substitusi 𝑝 = 5 ke persamaan 𝑝 + 𝑞 = 3 menghasilkan:

𝑝 + 𝑞 = 3 ⇒ 5 + 𝑞 = 3⇔ 𝑞 = 3 − 5⇔ 𝑞 = −2

Jadi, sisa pembagian dari 𝑓(𝑥 + 2) oleh 𝑥2 − 1 adalah 5𝑥 − 2.

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ada di halaman berikutnya!



TRIK SUPERKILAT:

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)3 + (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 1) ⇒ 𝑓(𝑥 + 2) = (𝑥 − 1)3 + 𝑥2 + (𝑥 + 1)

⇔ 𝑓(𝑥 + 2) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥

⇔ 𝑓(𝑥 + 2) = 𝑥3 − 𝑥⏟ 𝑥(𝑥2−1)

+ 𝑥−2𝑥2 + 2⏟ −2(𝑥2−1)

− 2 + 4𝑥

⇔ 𝑓(𝑥 + 2) = 𝑥(𝑥2 − 1) + 𝑥 − 2(𝑥2 − 1) − 2 + 4𝑥

⇔ 𝑓(𝑥 + 2) = (𝑥 − 2)(𝑥2 − 1) + 5𝑥 − 2


LOGIKA PRAKTIS

Soal tersebut bisa dikerjakan menggunakan pembagian ”porogapit”.

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)3 + (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 1) ⇒ 𝑓(𝑥 + 2) = (𝑥 − 1)3 + 𝑥2 + (𝑥 + 1)

⇔ 𝑓(𝑥 + 2) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥

𝑥 − 2𝑥2 − 1 𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥

𝑥3 − 𝑥− 2𝑥2 + 5𝑥− 2𝑥2 + 2

5𝑥 − 2




3. Nilai-nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑥 − 2 ≤ |1 − 2𝑥| adalah .... A. Semua bilangan riil

B. 𝑥 ≥ −1 atau 𝑥 ≤1

2

C. −1 ≤ 𝑥 ≤1

2

D. 𝑥 ≤ −1 atau 𝑥 ≥ 1

E. 𝑥 ≤1

2 atau 𝑥 ≥ 1

Pembahasan:

Perhatikan pertidaksamaan pada soal melibatkan harga mutlak, ingat lagi definisi nilai mutlak:

|1 − 2𝑥| = {1 − 2𝑥 , untuk 𝑥 ≤

1

2

−(1 − 2𝑥), untuk 𝑥 >1

2

Jadi, kita harus memisah pertidaksamaan tersebut menjadi dua bentuk, yaitu:

Bentuk pertama,

Untuk 𝑥 ≤1

2, maka:

𝑥 − 2 ≤ 1 − 2𝑥 ⇒ 𝑥 + 2𝑥 ≤ 1 + 2⇔ 3𝑥 ≤ 3

⇔ 𝑥 ≤3

3⇔ 𝑥 ≤ 1

Bentuk kedua,

Untuk 𝑥 >1

2, maka:

𝑥 − 2 ≤ −(1 − 2𝑥) ⇒ 𝑥 − 2 ≤ −1 + 2𝑥⇔ 𝑥 − 2𝑥 ≤ −1 + 2⇔ −𝑥 ≤ −1

⇔ 𝑥 ≥−1

−1⇔ 𝑥 ≥ 1

Jadi, karena penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah 𝑥 ≤ 1 atau 𝑥 ≥ 1, maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah 𝑥 = semua bilangan riil.



4. Misalkan 𝑥1 dan 𝑥2 adalah akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − (2𝑘2 − 𝑘 − 1)𝑥 + (3𝑘 + 4) = 0 dan kedua akar itu bilangan bulat dengan 𝑘 konstan. Jika 𝑥1, 𝑘, 𝑥2 merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah 𝑛 suku pertama dari barisan tersebut adalah ....

A. −1

2(−1)𝑛 +

1

2

B. −1

2(−1)𝑛 −

1

2

C. 1

2(−1)𝑛 +

1

2

D. −(−1)𝑛

E. 1

2(−1)𝑛 −

1

2

Pembahasan:

Akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − (2𝑘2 − 𝑘 − 1)𝑥 + (3𝑘 + 4) = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2 dimana 𝑥1, 𝑥2 adalah bilangan bulat serta 𝑘 konstan.

𝑎 = 1, 𝑏 = −(2𝑘2 − 𝑘 − 1), 𝑐 = (3𝑘 + 4)

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar diperoleh:

𝑥1𝑥2 =𝑐

𝑎⇒ 𝑥1𝑥2 =

(3𝑘 + 4)

1⇔ 𝑥1𝑥2 = (3𝑘 + 4)……… . (1)

Dengan memandang bahwa 𝑥1, 𝑘, 𝑥2 adalah 3 suku pertama barisan geometri, maka kuadrat suku tengah adalah perkalian dari suku pertama dan suku terakhir, sehingga diperoleh:

𝑘2 = 𝑥1𝑥2……… . (2)

Dengan mensubstitusi persamaan (1) dan (2) diperoleh:

𝑘2 = 3𝑘 + 4 ⇒ 𝑘2 − 3𝑘 − 4 = 0⇔ (𝑘 + 1)(𝑘 − 4) = 0Pembuat nol

⇔ 𝑘 − 4 = 0 atau 𝑘 + 1 = 0⇔ 𝑘 = 4 atau 𝑘 = −1

Kasus pertama,

Jika 𝑘 = 4, maka:

𝑥2 − (2(4)2 − (4) − 1)𝑥 + (3(4) + 4) = 0

⇒ 𝑥2 − 27𝑥 + 16 = 0Kok sepertinya tidak bisa difaktorkan ya? Mari kita periksa diskriminannya!

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (27)2 − 4(1)(16) = 665𝐷 > 0 dan 𝐷 bukan bilangan kuadrat Sehingga akar-akarnya bukan bil. bulat

Berarti untuk kasus pertama ini tidak memenuhi syarat 𝑥1, 𝑥2 adalah bilangan bulat.

Kasus kedua,

Jika 𝑘 = −1, maka:

𝑥2 − (2(−1)2 − (−1) − 1)𝑥 + (3(−1) + 4) = 0

⇒ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0⇔ (𝑥 − 1)2 = 0⇔ 𝑥1 = 𝑥2 = 1



Sehingga, substitusi 𝑥1, 𝑥2 pada persamaan (2) akan menghasilkan:

𝑘2 = 𝑥1𝑥2 ⇒ 𝑘2 = (1)(1)

⇔ 𝑘2 = 1⇔ 𝑘2 − 1 = 0⇔ (𝑘 + 1)(𝑘 − 1) = 0⇔ 𝑘 = −1 atau 𝑘 = 1

Dengan mudah kita memilih 𝑘 = −1 sebagai pilihan yang tepat, mengingat di semua opsi jawaban mengandung unsur (−1)𝑛

Jadi barisan geometri yang dimaksud adalah 1,−1, 1, −1,…

Hal ini berarti bahwa suku pertama 𝑎 = 1 dan rasio barisan 𝑟 = −1.

Jadi, jumlah 𝑛 suku pertama barisan geometri tersebut adalah:

𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛 − 1)

𝑟 − 1=1((−1)𝑛 − 1)

(−1) − 1=((−1)𝑛 − 1)

−2= −

1

2(−1)𝑛 +

1

2



5. Dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑎 , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗� . Jika titik 𝐺 adalah titik berat segitiga 𝐴𝐵𝐶 maka 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ....

A. 1

6(𝑎 + �⃗� )

B. 1

4(𝑎 + �⃗� )

C. 1

3(𝑎 + �⃗� )

D. 2

3(𝑎 + �⃗� )

E. 3

4(𝑎 + �⃗� )

Pembahasan:

Misalkan titik 𝐷 adalah titik tengah garis 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, sehingga 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ adalah salah satu garis berat segitiga. Dan titik 𝐺 adalah titik berat segitiga, yaitu titik perpotongan semua garis berat segitiga.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Jika 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑎 dan 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗� , maka:

𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −𝑎 + �⃗�

Sehingga,

𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ +1

2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

= 𝑎 +1

2(−𝑎 + �⃗� )

= 𝑎 −1

2𝑎 +

1

2�⃗�

=1

2𝑎 +

1

2�⃗�

=1

2(𝑎 + �⃗� )

Perhatikan bahwa titik 𝐺 membagi 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ sehingga 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∶ 𝐺𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 ∶ 1, sehingga:

𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ =2

3𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =

2

3(1

2(𝑎 + �⃗� )) =

1

3(𝑎 + �⃗� )

B C

A

D

G

B C

A

D

G



6. Dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶, diketahui sudut 𝛼, 𝛽, 𝛾 berhadapan dengan sisi 𝑎, 𝑏, 𝑐. Jika 𝑏 > 𝑐 maka 𝑏−𝑐

𝑏+𝑐= ....

A. sin

1

2(𝛽−𝛾)

cos1

2(𝛼)

B. cos

1

2(𝛽−𝛾)

sin1

2(𝛼)

C. tan

1

2(𝛽−𝛾)

sin1

2(𝛼)

D. tan

1

2(𝛽−𝛾)

tan1

2(𝛼)

E. tan

1

2(𝛽−𝛾)

cot1

2(𝛼)

Pembahasan:

Perhatikan gambar di samping!

Pada ∆𝐴𝐵𝐶, berlaku aturan sinus yang nilai perbandingannya merupakan dua kali panjang jari-jari lingkaran luar segitiga, yaitu:

𝑎

sin 𝛼=

𝑏

sin 𝛽=

𝑐

sin 𝛾= 2𝑅

Dari aturan sinus bisa diperoleh kesamaan berikut:

𝑏

sin 𝛽= 2𝑅 ⇒ 𝑏 = 2𝑅 sin 𝛽 dan

𝑐

sin 𝛾= 2𝑅 ⇒ 𝑐 = 2𝑅 sin 𝛾

Sehingga, substitusikan 𝑏 = 2𝑅 sin 𝛽 dan 𝑐 = 2𝑅 sin 𝛾 ke persamaan pada soal,

𝑏 − 𝑐

𝑏 + 𝑐=2𝑅 sin 𝛽 − 2𝑅 sin 𝛾

2𝑅 sin 𝛽 + 2𝑅 sin 𝛾

=2𝑅(sin 𝛽 − sin 𝛾)

2𝑅(sin 𝛽 + sin 𝛾)

=sin 𝛽 − sin 𝛾

sin 𝛽 + sin 𝛾

=2 cos

12(𝛽 + 𝛾) sin

12(𝛽 − 𝛾)

2 sin12(𝛽 + 𝛾) cos

12(𝛽 − 𝛾)

=cos

12(𝛽 + 𝛾)

sin12(𝛽 + 𝛾)

∙sin12(𝛽 − 𝛾)

cos12(𝛽 − 𝛾)

= cot1

2(𝛽 + 𝛾) ∙ tan

1

2(𝛽 − 𝛾)

= cot1

2(180° − 𝛼) ∙ tan

1

2(𝛽 − 𝛾)

= cot (90° −1

2(𝛼)) ∙ tan

1

2(𝛽 − 𝛾)

= tan1

2(𝛼) ∙ tan

1

2(𝛽 − 𝛾)

=tan

12(𝛽 − 𝛾)

cot12(𝛼)

A B

C

𝑎 𝑏

𝑐

𝛼 𝛽

𝛾



7. Jika sin2 𝑡 (csc2 𝑡 − 1)(1 − sin 𝑡 + sin2 𝑡 − sin3 𝑡 + … ) = 𝑥, dengan 𝜋

2< 𝑡 ≤ 𝜋, maka nilai dari cos 𝑡

adalah ....

A. √1 − (𝑥 − 1)2

B. −√1 − (𝑥 − 1)2

C. −√1 + (𝑥 − 1)2

D. −1

√1−(𝑥−1)2

E. 1

√1+(𝑥−1)2

Pembahasan:

Perhatikan!

sin2 𝑡 (csc2 𝑡 − 1)⏟ 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠

𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖

csc2 𝑡−1=cot2 𝑡

(1 − sin 𝑡 + sin2 𝑡 − sin3 𝑡 + … )⏟ 𝐵𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖 𝑡𝑎𝑘 ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎=1 𝑑𝑎𝑛 𝑟=−sin 𝑡

𝑆∞=𝑎1−𝑟

= 𝑥

⇒ sin2 𝑡 ∙ cot2 𝑡 ∙ (1

1 + sin 𝑡) = 𝑥

⇔ sin2 𝑡 ∙cos2 𝑡

sin2 𝑡∙ (

1

1 + sin 𝑡) = 𝑥

⇔ cos2 𝑡 ∙ (1

1 + sin 𝑡) = 𝑥

⇔ (1 − sin2 𝑡) ∙ (1

1 + sin 𝑡) = 𝑥

⇔ (1 − sin 𝑡)(1 + sin 𝑡) ∙ (1

1 + sin 𝑡) = 𝑥

⇔ (1 − sin 𝑡) = 𝑥⇔ 1 − 𝑥 = sin 𝑡

Karena 𝜋

2< 𝑡 ≤ 𝜋 berarti 𝑡 berada di kuadran II, artinya nilai cos 𝑡 negatif.

Sehingga, bentuk cos 𝑡 dapat diperoleh dari sin 𝑡 dengan menggunakan identitas trigonometri:

cos2 𝑡 + sin2 𝑡 = 1 ⇒ cos2 𝑡 = 1 − sin2 𝑡

⇔ cos 𝑡 = −√1 − sin2 𝑡 (ingat 𝑡 di kuadran II maka cos 𝑡 bernilai negatif)

= −√1 − (1 − 𝑥)2 (ingat (1 − 𝑥)2 = (𝑥 − 1)2)

= −√1 − (𝑥 − 1)2



8. lim𝑥→−∞

2𝑥 − √4𝑥2 + 27 = ....

A. −∞ B. −2 C. 0 D. 4 E. ∞

Pembahasan:

Ingat bentuk limit tak hingga bentuk ∞−∞ adalah salah satu limit bentuk tak tentu.

Sekarang periksa nilai limit berikut dengan mensubstitusikan nilai 𝑥 pada fungsi limit terlebih dahulu, apakah menghasilkan sebuah limit bentuk tak tentu?

lim𝑥→−∞

2𝑥 − √4𝑥2 + 27 = 2(−∞) − √4(−∞)2 + 27

= −∞− √∞= −∞−∞= −∞

Karena nilai limit tidak menyebabkan limit menjadi limit bentuk tak tentu, maka nilai limit tersebut adalah −∞.



9. Diberikan 𝑓(𝑥) = sin2 𝑥. Jika 𝑓′(𝑥) menyatakan turunan pertama dari 𝑓(𝑥), maka

limℎ→∞

ℎ {𝑓′ (𝑥 +1

ℎ) − 𝑓′(𝑥)} = ....

A. sin 2𝑥

B. – cos 2𝑥 C. 2 cos 2𝑥 D. 2 sin 𝑥 E. −2 cos 𝑥

Pembahasan:

Perhatikan bentuk limit pada soal!

limℎ→∞

ℎ {𝑓′ (𝑥 +1

ℎ) − 𝑓′(𝑥)} (ingat ℎ → ∞ ⇔

1

ℎ=1

∞ dan ℎ =

1

1ℎ

)

⇒ lim1ℎ→1∞

1

1ℎ

{𝑓′ (𝑥 +1

ℎ) − 𝑓′(𝑥)} (ingat

1

∞= 0)

⇔ lim1ℎ→0

{𝑓′ (𝑥 +1ℎ) − 𝑓′(𝑥)}

1ℎ

(Bukankah ini identik dengan limℎ→0

{𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)}

ℎ= 𝑓′(𝑥))

⇔ 𝑓′′(𝑥)

Sehingga penyelesaian limit tersebut adalah turunan kedua dari fungsi 𝑓(𝑥).

Jadi,

𝑓(𝑥) = sin2 𝑥 ⇒ limℎ→∞

ℎ {𝑓′ (𝑥 +1

ℎ) − 𝑓′(𝑥)} = 𝑓′′(𝑥)

=𝑑2

𝑑𝑥2(sin2 𝑥)

=𝑑

𝑑𝑥(2 sin 𝑥 cos 𝑥)

= 2 ∙𝑑

𝑑𝑥(sin 𝑥 cos 𝑥)

= 2 ∙ (cos 𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 (− sin 𝑥))

= 2 ∙ (cos2 𝑥 − sin2 𝑥)= 2 cos 2𝑥

TRIK SUPERKILAT:

𝑓(𝑥) = sin2 𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥) =1

2−1

2cos 2𝑥

⇒ 𝑓′(𝑥) = − sin 2𝑥

⇒ 𝑓′′(𝑥) = 2 cos 2𝑥



10. Jika diketahui garis singgung parabola 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1, pada titik 𝑥 = −2 membentuk sudut terhadap sumbu 𝑥 sebesar arctan(6). Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus 𝑦 = −9𝑥 − 59 dan parabola tersebut adalah .... A. 0

B. 1

2

C. 1 D. 3 E. ∞

Pembahasan:

Gradien garis singgung parabola 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1 pada titik 𝑥 = −2 bisa diperoleh dari nilai turunan pertama dari kurva pada titik tersebut, sehingga:

𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 + 𝑎 ⇒ 𝑚 = 𝑓′(−2)

⇔ 𝑚 = 6(−2) + 𝑎⇔ 𝑚 = −12 + 𝑎 ................. (1)

Garis singgung tersebut membentuk sudut terhadap sumbu 𝑥 sebesar arctan(6), sehingga:

𝜃 = arctan(6) ⇒ tan 𝜃 = 6

Padahal gradien garis singgung dari sebuah kurva juga merupakan nilai dari tan 𝜃, dimana 𝜃 adalah sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan sumbu 𝑥, sehingga diperoleh:

𝑚 = tan𝜃 ⇒ 𝑚 = 6 ............................................................................................. (2)

Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) akan diperoleh:

−12 + 𝑎 = 6 ⇒ 𝑎 = 6 + 12⇔ 𝑎 = 18

Jadi, dengan mensubstitusi nilai 𝑎 = 18, maka persamaan parabola tersebut adalah:

𝑦 = 3𝑥2 + 18𝑥 + 1

Sehingga, untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 3𝑥2 + 18𝑥 + 1 dan sebuah garis lurus, 𝑦 = −9𝑥 − 59 maka gunakan rumus cepat TRIK SUPERKILAT berikut:

Luas daerah yang hanya dibatasi kurva dan garis lurus adalah:

𝐿 =𝐷√𝐷

6𝑎2

dimana,

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐.

𝐷 adalah nilai diskriminan dari persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 yang diperoleh dengan mensubstitusi persamaan garis ke persamaan kurva.

Jadi, substitusi 𝑦 = −9𝑥 − 59 pada kurva, akan diperoleh:

−9𝑥 − 59 = 3𝑥2 + 18𝑥 + 1⇔ 0 = 3𝑥2 + 18𝑥 + 1 − (−9𝑥 − 59)

⇔ 0 = 3𝑥2 + 18𝑥 + 1 + 9𝑥 + 59⇔ 0 = 3⏟

𝑎

𝑥2 + 27⏟𝑏

𝑥 + 60⏟𝑐

Sehingga, nilai 𝐷 adalah:

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ⇒ 𝐷 = (27)2 − 4(3)(60)= 729 − 720= 9

Jadi, luas daerah tersebut adalah:

𝐿 =𝐷√𝐷

6𝑎2=9√9

6(3)2=9 ∙ 3

6 ∙ 9=3

6=1

2



11. Diberikan bidang empat 𝐴. 𝐵𝐶𝐷 dengan 𝐵𝐶 tegaklurus 𝐵𝐷 dan 𝐴𝐵 tegaklurus bidang 𝐵𝐶𝐷. Jika

𝐵𝐶 = 𝐵𝐷 = 𝑎√2 cm, dan 𝐴𝐵 = 𝑎 cm, maka sudut antara bidang 𝐴𝐶𝐷 dan 𝐵𝐶𝐷 sama dengan ....

A. 𝜋

6

B. 𝜋

4

C. 𝜋

3

D. 3𝜋

4

E. 𝜋

2

Pembahasan:

Perhatikan bidang segiempat 𝐴. 𝐵𝐶𝐷 di samping!

𝐵𝐶 ⊥ 𝐵𝐷, 𝐴𝐵 ⊥ bidang 𝐵𝐶𝐷

𝐵𝐶 = 𝐵𝐷 = 𝑎√2 cm

𝐴𝐵 = 𝑎 cm

Maka besar sudut antara bidang 𝐴𝐶𝐷 dan 𝐵𝐶𝐷 dapat ditentukan dengan membuat menentukan titik potong kedua bidang terlebih dulu.

Ternyata garis potong kedua bidang tersebut adalah terletak pada ruas garis 𝐷𝐶.

Sudut antara bidang bidang 𝐴𝐶𝐷 dan 𝐵𝐶𝐷 adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis pada masing-masing bidang yang tegak lurus dengan garis potong,

Misal 𝐸 adalah titik tengah 𝐷𝐶, maka sudut antara bidang bidang 𝐴𝐶𝐷 dan 𝐵𝐶𝐷 adalah sudut yang dibentuk oleh ruas garis 𝐴𝐸 dengan ruas garis 𝐸𝐵.

Jadi,

𝛼 = ∠(bidang 𝐴𝐶𝐷, bidang 𝐵𝐶𝐷) = ∠(𝐴𝐸, 𝐸𝐵)

Perhatikan bidang alas 𝐵𝐶𝐷 yang merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Apabila bidang alas kita perluas sehingga menjadi sebuah persegi 𝐵𝐶𝐷𝐹, sehingga 𝐷𝐶 adalah salah satu diagonal persegi.

𝐷𝐶 = √𝐵𝐶2 + 𝐵𝐷2 = √(𝑎√2)2+ (𝑎√2)

2= √2𝑎2 + 2𝑎2 = √4𝑎2 = 2𝑎

Dan dengan mudah kita mengetahui bahwa:

𝐷𝐸 = 𝐸𝐶 = 𝐵𝐸 =1

2𝐷𝐶 ⇒ 𝐷𝐸 = 𝐸𝐶 = 𝐵𝐸 =

1

2(2𝑎)

⇔ 𝐷𝐸 = 𝐸𝐶 = 𝐵𝐸 = 𝑎

Jadi, besar sudut 𝛼 dengan mudah ditentukan dari nilai tangen sudut 𝛼, dimana nilai tangen sudut 𝛼 adalah perbandingan antara ruas garis 𝐴𝐵 dengan ruas garis 𝐵𝐸:

tan𝛼 =𝐴𝐵

𝐵𝐸⇒ tan𝛼 =

𝑎

𝑎⇔ tan𝛼 = 1⇔ 𝛼 = arctan(1)⇔ 𝛼 = 45°

⇔ 𝛼 =𝜋

4

𝐴

𝐶

𝐵 𝐷

𝐸

𝛼



PETUNJUK C: Untuk soal nomor 12

12. Persamaan kuadrat 𝑥2 − 𝑝𝑞𝑥 + 𝑝2 + 𝑞2 = 0 akar-akarnya 𝑥1 dan 𝑥2 dengan 2𝑥1𝑥2 = 5(𝑥1 + 𝑥2). Pernyataan berikut yang BENAR untuk hubungan antara 𝑝 dan 𝑞 adalah .... (1) 𝑝 = 𝑞 (2) 𝑝 = 2𝑞 (3) 𝑝 = 𝑞 + 2 (4) 2𝑝 = 𝑞

Pembahasan:

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat maka dari persamaan kuadrat 𝑥2 − 𝑝𝑞𝑥 + 𝑝2 + 𝑞2 = 0 akan diperoleh:

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎⇒ 𝑥1 + 𝑥2 = −

(−𝑝𝑞)

1⇔ 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑝𝑞

𝑥1𝑥2 =𝑐

𝑎⇒ 𝑥1𝑥2 =

(𝑝2 + 𝑞2)

1⇔ 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑝

2 + 𝑞2

Sehingga 2𝑥1𝑥2 = 5(𝑥1 + 𝑥2) bisa dinyatakan menjadi:

2𝑥1𝑥2 = 5(𝑥1 + 𝑥2) ⇒ 2(𝑝2 + 𝑞2) = 5(𝑝𝑞)

⇔ 2𝑝2 + 2𝑞2 − 5𝑝𝑞 = 0

⇔ 2𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 2𝑞2 = 0

⇔ (𝑝 − 2𝑞)(2𝑝 − 𝑞) = 0Pembuat nol

⇒ 𝑝 − 2𝑞 = 0 atau 2𝑝 − 𝑞 = 0⇔ 𝑝 = 2𝑞 atau 2𝑝 = 𝑞

Sehingga diperoleh hubungan antara 𝑝 dan 𝑞, yaitu 𝑝 = 2𝑞 atau 𝑞 = 2𝑝

Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam menghadapi SIMAK-UI, UM STIS, SBMPTN, SNMPTN, OSN serta kumpulan pembahasan soal SIMAK-UI, SNMPTN, UM STIS, UMB PTN, OSN ataupun yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi http://pak-anang.blogspot.com. Terimakasih, Pak Anang.

