A. Menentukan orde galat
Pada penurunan rumus turunan numerik dengan deret Taylor, kita dapat langsung
memperoleh rumus galatnya. Tetapi dengan polinom interpolasi kita harus mencari
rumus galat tersebut dengan bantuan deret Taylor.
1. Hampiran selisih-maju
Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan
dengan deret Taylor di sekitar x0:
E =
=
=
=
=
=
= O(h)
Jadi, hampiran selisih – maju memiliki galat E = , dengan orde
O(h).
1
2. Hampiran selisih-mundur
Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan
dengan deret Taylor di sekitar x0:
E =
=
=
=
=
=
= O(h)
Jadi, hampiran selisih – mundur memiliki galat E = ,
dengan orde O(h).
3. Hampiran selisih-pusat
2
Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan
dengan deret Taylor di sekitar x0:
E =
=
=
=
=
=
= O(h2)
Jadi, hampiran selisih – pusat memiliki galat E = ,
dengan orde O(h2).
Contoh menentukan orde galat:
Tentukan nilai galat dari turunan f(x) = –0,1x4 – 0,15x3 – 0,5x2 – 0,25x + 1,2 pada x = 0,5 dengan h = 0,5.
Jawaban:
f(x) = –0,1x4 – 0,15x3 – 0,5x2 – 0,25x + 1,2
3
f’(x) = –0,4x3 – 0,45x2 – x – 0,25
f”(x) = –1,2x2 – 0,9x – 1
f ”’(x) = –2,4x – 0,9
1. Hampiran selisih–maju:
E = – f”(t)
= – (–1,2x2 – 0,9x – 1)
= – (–1,2(0,5)2 – 0,9(0,5) – 1)
= – (–0,3 – 0,45 – 1)
= – (–1,75)
= 0,4375
2. Hampiran selisih–mundur:
E = f”(t)
= (–1,2x2 – 0,9x – 1)
= (–1,2(0,5)2 – 0,9(0,5) – 1)
= (–0,3 – 0,45 – 1)
= (–1,75)
= –0,4375
3. Hampiran selisih–pusat:
E = – f”’(t)
4
= – (–2,4x – 0,9)
= – (–2,4(0,5) – 0,9)
= – (–1,2 – 0,9)
= – (–2,1)
=
= 0,0875
TURUNAN NUMERIK UNTUK TURUNAN KEDUA
Penurunan Formula Derifatif Dan Orde Galatnya
A. Penurunan Formula Derifatif
Penurunan Formula (rumus) turunan numerik dengan polinom interpolasi
Misalkan diberikan titik-titik data berjarak sama,
dan
.
Bentuk inter polasi Newton – Gregory nya adalah sebagai berikut :
Yang dalam hal ini,
Turunan pertama dari adalah :
5
Berdasarkan (P. 7. 12), diperoleh rumus turunan numeric dengan ketiga pendekatan (maju, mundur, pusat) sebagai berikut :
a. Hapiran selisih-maju
- Bila digunakan untuk titik – titik :
- Bila digunakan titik – titik :
Untuk titik , sehingga
b. Hampiran selisih-mundur
- Bila digunakan titik – titik :
- Bila digunakan titik – titik :
6
c. Hampiran selisih-pusat
- Bila diunakan titik – titik
- Bila digunakan titik – titik
Untuk titik = , sehingga
7
Untuk titik
Untuk titik , sehingga
B. Penentuan Orde Galat
Pada penurunan rumus numerik dengan deret taylor, kita dapat langsung memoeroleh rumus galatnya. Tetapi dengan polinom interpolasi, kita harus mencari rumus galat tersebut dengan bantuan deret Taylor. Contohnya kita akan menentukan rumus galat dan orde dari rumus turunan numerik hampiran selisih- pusat:
Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan dengan
deret Taylor disekitar :
8
=
Jadi, hampiran selisih-pusat memiliki galat E , dengan
orde .
PENGERTIAN INTEGRAL DAN ATURAN
A. Metode Simpson
Di samping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara lain
untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti adalah menggunakan polinomial order lebih
tinggi untuk menghubungkan titik-titik data. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di
antara f (a) dan f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar
7.5a). Apabila terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan f (b),
maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar 7.5b).
Rumus yang dihasilkan oleh integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode
(aturan) Simpson.
Gambar 7.5. Aturan Simpson
1) Aturan Simpson 1/3
Di dalam aturan Simpson 1/3 digunakan polinomial order dua (persamaan parabola) yang
melalui titik f (xi – 1), f (xi) dan f (xi + 1) untuk mendekati fungsi. Rumus Simpson dapat
diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini.
9
(7.11)
Apabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x, akan menjadi:
(7.12)
Dengan memperhatikan Gambar 7.6. dan persamaan (7.12) maka persamaan deret
Taylor adalah:
(7.13)
(7.14)
Pada Gambar 7.6, nilai I (xi + 1) adalah luasan dibawah fungsi f (x) antara batas a dan xi + 1.
Sedangkan nilai I (xi - 1) adalah luasan antara batas a dan I (xi - 1). Dengan demikian luasan di
bawah fungsi antara batas xi - 1 dan xi + 1 yaitu (Ai), adalah luasan I (xi + 1) dikurangi I (xi - 1)
atau persamaan (7.13) dikurangi persamaan (7.14).
Ai = I (xi + 1) – I (xi - 1)
atau
10
(7.15)
Gambar 7.6 Penurunan metode Simpson
Nilai f ''(xi) ditulis dalam bentuk diferensial terpusat:
Kemudian bentuk diatas disubstitusikan ke dalam persamaan (7.15). Untuk memudahkan
penulisan, selanjutnya notasi f (xi) ditulis dalam bentuk fi, sehingga persamaan (7.15)
menjadi:
atau
(7.16)
Persamaan (7.16) dikenal dengan metode Simpson 1/3. Diberi tambahan nama 1/3
karena Dx dibagi dengan 3. Pada pemakaian satu pias, , sehingga persamaan
(7.16) dapat ditulis dalam bentuk:
(7.17)
dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b.
Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias adalah:
Oleh karena , maka:
11
Contoh soal:
Hitung dengan aturan Simpson 1/3.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persamaan (7.17) maka luas bidang adalah:
Kesalahan terhadap nilai eksak:
Terlihat bahwa pada pemakaian satu pias, metode Simpson 1/3 memberikan hasil lebih
baik dari rumus trapesium.
1) Aturan Simpson 1/3 Dengan Banyak Pias
Seperti dalam metode trapesium, metode Simpson dapat diperbaiki dengan
membagi luasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang sama (Gambar
7.6):
dengan n adalah jumlah pias.
gambar 7.7. Metode Simpson dengan banyak pias
Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias, seperti pada Gambar 7.7.
12
(7.18)
Dalam metode Simpson ini jumlah interval adalah genap. Apabila persamaan (7.16)
disubstitusikan ke dalam persamaan (7.18) akan diperoleh:
atau
(7.19)
Seperti pada Gambar (7.7), dalam penggunaan metode Simpson dengan banyak pias ini
jumlah interval adalah genap. Perkiraan kesalahan yang terjadi pada aturan Simpson
untuk banyak pias adalah:
dengan adalah rerata dari turunan keempat untuk setiap interval.
Contoh soal:
Hitung dengan metode Simpson dengan Dx = 1.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persamaan (7.19) maka luas bidang adalah:
Kesalahan terhadap nilai eksak:
13
2) METODE SIMPSON 3/8
Metode Simpson 3/8 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial order tiga
yang melalui empat titik.
Dengan cara yang sama pada penurunan aturan Simpson 1/3, akhirnya diperoleh:
(7.20)
dengan:
Persamaan (7.20) disebut dengan metode Simpson 3/8 karena Dx dikalikan dengan
3/8. Metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam bentuk:
(7.21)
Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar:
(7.22a)
Mengingat , maka:
(7.22b)
Metode Simpson 1/3 biasanya lebih disukai karena mencapai ketelitian order tiga dan
hanya memerlukan tiga titik, dibandingkan metode Simpson 3/8 yang membutuhkan
empat titik. Dalam pemakaian banyak pias, metode Simpson 1/3 hanya berlaku untuk
jumlah pias genap. Apabila dikehendaki jumlah pias ganjil, maka dapat digunakan metode
14
trapesium. Tetapi metode ini tidak begitu baik karena adanya kesalahan yang cukup
besar. Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias digunakan
metode Simpson 1/3 sedang 3 pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8.
Contoh soal:
Dengan aturan Simpson 3/8 hitung . Hitung pula integral tersebut dengan
menggunakan gabungan dari metode Simpson 1/3 dan 3/8, apabila digunakan 5 pias
dengan Dx = 0,8.
Penyelesaian:
a) Metode Simpson 3/8 dengan satu pias
Integral dihitung dengan menggunakan persamaan (7.21):
Besar kesalahan adalah:
b) Apabila digunakan 5 pias, maka data untuk kelima pias tersebut adalah:
f (0) = e0 = 1 f (2,4) = e2,4 = 11,02318.
f (0,8) = e0,8 = 2,22554 f (3,2) = e3,2 = 24,53253.
f (1,6) = e1,6 = 4,9530 f (4) = e4 = 54,59815.
Integral untuk 2 pias pertama dihitung dengan metode Simpson 1/3 (persamaan
7.17):
15
Tiga pias terakhir digunakan aturan Simpson 3/8:
Integral total adalah jumlah dari kedua hasil diatas:
Kesalahan terhadap nilai eksak:
4) Metode Integrasi Gauss
Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik-titik data diskrit,dengan
batasan :
H sama ( h = b-a )
Luas dihitung dari a sampai b
Maka mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.
Misalkan menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]
Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida
Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error
integrasinya min.
16
Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara
tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]
f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara
tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]
f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
Didapat
Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik
Transformasikan Dari Persamaan Satu Ke Persamaan Satunya
Range [a,b] = [-1,1]
X = u f(x) = g(u) dx = du
17
Analisa perbandingan antara metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8)
dengan metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi
aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.
Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.
Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi
Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)
Hitung nilai konversi variabel :
Tentukan fungsi g(u) dengan:
18
Hitung
Contoh Soal
Metode Gauss Legendre 3 Titik
Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa
kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :
Dengan cara yang sama didapat
19
Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik
20
21
Top Related