Memanipulasi aljabar untuk merancang rumus trigonometri dan menyusun suatu bukti.
KOMPETENSI
Merancang rumus trigonometri jumlah
dan selisih dua sudut dan sudut gandaMembandingkan nilai sinus,
kosinus, dantangent suatu sudut
Membuktikan rumus identitas trigonometri
Menentukan luas segitiga yang komponennya diketahui dengan menggunakan fungsi trigonometri
Perhatikan
• Selesaikan
3. Buktikan tan3A.tan2A.tanA=tan3A-tan2A-tanA4. Hitung nilai sin 54 sin 185. Hitunglah Sin26+Sin242+Sin266+Sin278
2. Buktikan bahwa : 1 + cos 2A + cos 4A + cos 6A = 4 cos A cos 2A cos 3A
2cos1cos22
2cos1:.1
AA
Abuktikan
• Sudut dihasilkan oleh putaran sebuah sinar thd titik pangkalnya ( dari sisi awal ke sisi akhir)
• Sudut diberi “tanda positive” jika putarannya berlawanan dg putaran jarum jam
• Sudut diberi “tanda negative ” jika putarannya searah dg putaran jarum jam
• Besar sudut ditentukan oleh jarak putar yg dilalui dari sisi awal ke sisi akhir
Sisi awal
Sisi akhir Apa itu sudut
• Satuan sudut :siksagesimal : 1 putaran penuh dibagi 360
bag yg sama 1bag = 10
Sentisimal : 1 putaran penuh dibagi 400 bag yg sama
Radian
1 jejari
1 jejari1 jejari
maka, besar sudut yang terbentuk: 1 radian (rad)
1 rad
sehingga di dapat
Apa itu radian?
1 rad : besar sudut
pusat lingkaran yg menghadap pd busur yg panjangnya
= jari2 lingkaran
Seberapa besar 1 radian itu?
1
11 rad
1
1
1
60°
1
Mana yang lebih besar ? 1 rad atau 60º ?
Coba bandingkan
r
r
r
1 rad
Panjang Busur dan Radian
r
r
r
rad
r
Hubungan Radian Derajat
Kita putar jejari sejauh 180
1 derajat = 1 putaran penuh dibagi 360 bag yg sama
r
rad
Ingat: panjang setengah lingkaran = π r
p
rad = 180
180:rad
180
:rad
Rumus Perubahan
4
KESIMPULAN
180 rad
360 rad 2
rad 180 1
180 rad 1
Perbandingan trig
• Ada berapa perbandingan antar sisi dr segitiga siku-siku
tsb
Diketahui segitiga siku-siku berikut
adjacent side
opposite sidetan
hypotenuse
adjacent sidecos
hypotenuse
opposite sidesin
x
yA
r
xA
r
yA
opposite side
adjacent sidecot
adjacent side
hypotenusesec
opposite side
hypotenusecsc
y
xA
x
rA
y
rA
SUDUT ISTIMEWA
Perbandingan trigonometri sisi-sisi segitiga siku-siku
Sudut Istimewa segitiga siku-siku yaitu :
1. 00
2. 30o
3. 450
4. 60o
5. 90o
O
B
C
1
X
30O
30O
A
1
Untuk 300 dan 600
2
1
Segitiga OAB adalah
segitiga sama sisi
dengan r=1,
CB=CA=
.
C
OC= 32
1
.
SUDUT ISTIMEWA
Untuk 450
Sin 450 =
Cos 450 =
Tg 450 =
450
450
AB
C
22
1
2
1
AC
BC
22
1
2
1
AC
AB
11
1
AB
BC
1
12
SUDUT ISTIMEWA
Untuk 00
X=r
Sb. : y
Sb.: x
Sin 00 =
Cos 00 =
Tg 00 =
0r
0
r
y
1r
r
r
x
0x
0
x
y
Catatan :
X = r
Y = 0
Y=0
SUDUT ISTIMEWA
Untuk 900
Sin 900 =
Sin 900 =
Cos 900 =
y = r
X = 0
1r
r
r
y
0r
0
r
x
0
y
x
y
Catatan :
X = 0
Y = r
KESIMPULAN SUDUT ISTIMEWA
22
1
22
1
33
1
3
0O 30O 45O 60O 90O
Sin 0 1
Cos 1 0
Tg 0 1 ?
Ctg 1 0
2
12
2
12
2
1
2
1
33
13
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DI BERBAGAI KUADRAN
00 18090 00 900
00 270180 00 360270
Sudut di Kuadran I = a Sin bernilai (+) Cos bernilai (+) Tan bernilai (+) Sudut di Kuadran II = β = (180 - a)Hanya Sin bernilai (+)
Sudut di Kuadran III =γ =(180 +a )Hanya Tan bernilai (+)
Sudut di Kuadran IV =θ =( 360 - )aHanya Cos bernilai (+)
Perbandingan Trig sudut Berelasi
A dalam derajat
A: dalam radian
)90sin(cos
)90cos(sin
AA
AA
)90csc(sec
)90sec(csc
AA
AA
)90tan(cot
)90cot(tan
AA
AA
AA
AA
2sincos
2cossin
AA
AA
2cscsec
2seccsc
AA
AA
2tancot
2cottan
KOORDINAT KUTUB DAN KARTESIUS
KOORDINAT KUTUB
r θ)B(r,
Koordinat Kutub
B(r,q)
KOORDINAT KARTESIUS
Koordinat kartesius A (x,y)y)A(x,
MENGUBAH KOORDINAT KUTUB MENJADI KOORDINAT KARTESIUS
Koordinat kutub B(r,q)
Dari diperoleh x = r . cos θ
sedangkan diperoleh y = r . sin θ
Sehingga didapat Koordinat kartesius B(x,y) = (r.Cosq ,
r.Sinq)
Cosθr
x
Sinθr
y
MENGUBAH KOORDINAT KARTESIUS MENJADI KOORDINAT KUTUB
Koordinat kartesius A (x,y)
22 yxr
x
yTanθ
x
yarc.Tanθ
Sehingga koordinat kutub A (r, )q
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Merancang rumus trigonometri jumlahdan selisih dua sudut dan sudut ganda
x
y
1
The Unit Circle
(x,y)
Diberikan segitiga siku siku berikut:.
x
y
btk x:
Btk y:
Dan utk nilai tan:
Lingkaran satuan - Pythagoras
2
2
2
222 cossin
r
x
r
y
12
2
2
22
r
r
r
yx
22
22
cos 1
sec 1
ecctgn
tgn
A D E B
C
G F
AC
AD cos
CF
GF sin
sin CFGF
AC
AFβ cos
cos ACAF
AF
AE cos
cos AFAE
Segitiga AFC
Segitiga CGF
Segitiga AEF,
AC
CF sin
sin ACCF
GF AC sin sin
Cause DE GF DE AC sin sin
AE AC cos cos
AD AE DE
cos ( + ) cos cos sin sin
AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin
henny
22
22
22
coscot1
sec1tan
1cossin
ec
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
5
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
Identitas trig utk :
BA
BABA
BABABA
BABABA
tantan1
tantantan
sinsincoscoscos
sincoscossinsin
5
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
JUMALH & SELISIH 2 SUDUT
BA
BABA
BABABA
BABABA
tantan1
tantantan
sinsincoscoscos
sincoscossinsin
6
SUDUT GANDA:
A
AA
AA
AA
AAA
AAA
2
2
2
22
tan1
tan22tan
1cos22cos
sin212cos
sincos2cos
cossin22sin
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
7
SETENGAH SUDUT:
2tan1
2tan2
tan
2sin211
2cos2
2sin
2coscos
2cos
2sin2sin
2
2222
A
A
A
AAAAA
AAA
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
8
JUMLAH/SELISIH 2 FUNGSI TRIG:
2sin
2sin2coscos
2cos
2cos2coscos
2sin
2cos2sinsin
2cos
2sin2sinsin
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
9
BENTUK LAIN:
)cos()cos(sinsin2
)cos()cos(coscos2
sinsincossin2
BABABA
BABABA
BABABA
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
10
Buktikan
AAA
sin
2cottan
TRIGONOMETRIC IDENTITIES
6160sec80sec40sec Jika A+B+C + D=1800 Buktikan :
cosAcosB+cos Ccos D = sin Asin B +sin C sin D
Dalam segitiga ABC , Buktikan tg A +tg B +tg C = tg A tgB tg C
ATURAN SINUS DAN KOSINUS
ATURAN SINUS
ATURAN KOSINUS
SinCc
SinBb
SinAa
2bcCosA2c2b2a 2acCosB2c2a2b
2abCosC2b2a2c
ATURAN SINUS
SinCc
SinBb
SinAa
Bukti :
SinΑb
CD
aSinBCD b.SinACD
SinBa
CD
aSinBbSinA
SinB
b
SinA
a
ATURAN KOSINUS
2bcCosA2c2b2a
2acCosB2c2a2b
2abCosC2b2a2c
43
Deriving the Law of Cosines
• Dengan Pythagoras teo b h a
k c - kA B
C
c
sin
cos
h b A
k b A
2 22
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
sin cos
sin 2 cos cos
sin cos 2 cos
2 cos
a b A c b A
a b A c c b A b A
a b A A c c b A
a b c c b A
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Bentuk Iacos x = b, syarat bahwa -aba
cos x = cos x = cos x = + k.360; x = - + k.360 ; kBContoh:Tentukan nilai x yang memenuhi;Cos x = - ½ , 0 x 360
a
b
Cos x = - ½Û Cos x = cos 120 x = 120 + k.360 untuk k=0, x1 = 120
x = -120 + k.360 untuk k=1, x2 = 240
Jadi HP = {120, 240}
4sin 2x = -2Û Sin 2x = - ½Û Sin 2x = sin 210 2x = 210 + k.360 x= 105 + k.180Untuk k=0, x1= 105
Untuk k =1, x2=285
2x = (180-210)+k.360 2x = -30 + k.360 x = -15 + k.180Untuk k=1, x3=165, untuk k=2, x4=345
Jadi HP ={105 , 165 , 285, 345}
3
3
asin x = b, sin x = sin x = sin x = + k.360; x = - + k.360 ; kBContoh :4sin 2x = -2 ; 0 x 360
a
b
3
tan x = tan x = tan
x = + k.180; x = - + k.180 ; kBContoh:Tentukan nilai x yg memenuhi, tan x = - , 0 x 360
a
b
3
CONTOH Tentukan nilai x yang memenuhi: Cos (x-30).sin(x-120) = 1, 0 x360 Jawab:Sin (2x-30-120) – sin (-30+120)=2Sin(2x-150) = 2-sin 90Sin (2x-150 ) = 1 2x -150 = 90 + k .360 2x = 240 + k.360
x= 120 + k.180 untuk k=0, x1=120 ; untuk k=1, x2=300
2x -150 = (180 - 90 ) + k .360 (kembali bentuk yg sama)
4. Bentuk a Cos x + b Sin x = c Penyelesaian : a Cos x + b Sin x = c
Misal Tan = Shg Cos =
Cos x + Tan Sin x =
22 ba
a
a
cxSin
a
bxCos
a
c
22 ba
a
a
cSinxSinCosxCos
Syarat ada penyelesaian :
atau Contoh : Tentukan x yang memenuhi -3 Cos 2x + Sin 2x = 1 ; 0º x 360º
Jawab : Cara I-3 Cos 2x + Sin 2x = 1
22)(
ba
cxCos
122
ba
c
222 cba
Cos 2x - Tan 30º Sin 2x =
Cos (2x + 30 ) =
Cos (2x + 30) = Cos 120 2x =90+360x=45 +k 180x1=45,x2 =
225 2x = -150 + k 360 x = -75 + k 180 x3
= 105, x4 = 285 ; HP {45, 105, 225, 285}
3
12
3
12
xSinxCos
3
1
2
3.
3
1
5. Bentuk Persamaan Kuadrat a. p Sin2 x + qSin x + r = 0 Syarat : q2 – 4 p r 0 dan -1 Sin
x 1
Sin x =
atau dengan pemfaktoran b. p Cos2 x + q Cos x + r = 0 Syarat : q2 – 4 p r 0 dan -1 Cos
x 1
p
rpqq
2
42
Cos x =
atau dengan pemfaktoran c. p Tan2 x + q Tan x + r = 0 Syarat : q2 – 4 p r 0 dan - < Tan
x <
Tan x =
atau dengan pemfaktoran
p
rpqq
2
42
p
rpqq
2
42
Contoh : Tentukan x yang memenuhi 7 Sin x – 3 Cos 2x + 5 = 0 ; 0º x
360ºJawab : 7 Sin x – 3 Cos 2x + 5 = 0 7 Sin x -3 (1-2 sin2 x ) + 5 = 0 7 Sin x – 3 + 6 Sin2 x + 5 = 0 6 Sin2 x + 7 Sin x + 2 = 0 (3 Sin x + 2 ) ( 2 Sin x + 1) = 0 3 Sin x + 2 = 0 2 Sin x + 1 = 0 Sin x = -0,66... V sin x = -0,5
Untuk Sin x = -0,66... x = 221,8 + k.380 x1 = 221,8 x = (180 -221,8) + k.360 x = -41,8 + k.360 x2 = 318,2
Untuk sin x = -0,5 x = 210 + k.360 x3 = 210 x = (180 -210) + k 360 x = -30 + k 360 x4 = 330 HP ={ 210º, 221,8º, 318,2º, 330º}
Top Related