BAB I
BAB IVSistem Bilangan Real
Bilangan RiilBilangan Riil dapat dipandang sebagai kumpulan titik-titik dalam dalam sebuah garis mendatar atau selanjutnya kita sebut sebagai garis bilangan. Pada garis bilangan letak kumpulan titik-titik bilangan itu mengukur jarak ke kanan atau kiri dari suatu titik tetap/titik asal yang diberi label O. Tiap bilangan hanya mempunyai satu titik dalam sebuah garis bilangan yang kita sebut sebagai koordinat titik tersebut (lihat Gambar 1).
Kita sudah mengenal macam-macam bilangan yang membentuk sistem bilangan Riil, kita awali dengan sistem bilangan yang paling sederhana yaitu sistem bilangan asli (natural numbers) yang sering dilambangkan dengan (, bilangan itu:
1, 2, 3, 4, . . .
dengan bilangan ini kita dapat menghitung jumlah kendaraan yang melewati ruas jalan pada jam-jam tertentu, jumlah karyawan pada suatu perusahaan konveksi dan lain-lain. Bilangan bulat (integers) sering dilambangkan dengan ( (berasal dari bahasa Jerman, Zahlen), terdiri dari bilangan asli bersama dengan negatifnya dan angka 0:
. . ., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
Ternyata bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup ketika kita harus mengukur berat, panjang dan yang lainnya. Kita dapat membuat suatu bilangan rasional (rational numbers) sering dilambangkan dengan (; yang merupakan hasil bagi antara dua bilangan bulat, sehingga kalau r melambangkan bilangan rasional maka:
, dimana a, b bilangan bulat dan b 0
Contoh bilangan rasional adalah:
1/2
-3/2
0,13 = 13/100
2 = 6/3
Semua bilangan-bilangan yang disebutkan di atas berpangkat satu, tetapi sebenarnya kita dapat membuat variasi pangkat dari bilangan-bilangan tersebut misalnya , disamping itu ada bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, misalkan (, e dan yang lainnya. Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b disebut bilangan tak rasional/irasional (irrational numbers). Sekumpulan bilangan rasional dan tak rasional kita sebut sebagai bilangan riil (real numbers) dan sering kita lambangkan dengan (. Bilangan masih dapat kita perluas lagi menjadi bilangan kompleks, hampir semua mahasiswa mengenal bentuk bilangan . Akhirnya kita dapat mengikhtisarkan sistem bilagan dalam gambari di bawah ini.
Gambar 2 Sistem Bilangan
Untuk selanjutnya dalam buku ini kalau disebutkan bilangan, maka yang dimaksud adalah bilangan riil kecuali kalau disebutkan secara khusus.
Sifat-Sifat Operasi Bilangan Riil
Kombinasi dari bilangan riil x dan y. Kita dapat menambahkan atau mengkalikan bilangan-bilangan tersebut untuk mendapatkan suatu bilangan baru. Operasi penambahan diberi lambang + sehingga penambahan y dari x ditulis x + y, sedangkan operasi kali diberi lambang atau untuk memudahkan diberi lambang titik ., sehingga perkalian y terhadap x ditulis sebagai x x y atau x.y (atau cukup ditulis xy saja). Sifat-sifat dari operasi tambah dan kali dari bilangan riil dapat dilihat pada tabel di bawah ini.Sifat-Sifat Operasi Bilangan Riil
SifatContohDeskripsi
a. Sifat Komutatif
a + b = b + a 5 + 4 = 4 + 5Urutan pada operasi penjumlahan dua bilangan tidak berpengaruh
ab = ba7 8 = 8 7Urutan pada operasi perkalian dua bilangan tidak berpengaruh
b. Sifat Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c )(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) Pada saat menjumlahkan tiga bilangan, kita dapt menjumlahkan dua bilangan terlebih dahulu
(ab)c = a(bc)(5 3) 8 = 5 (3 8)Pada saat mengkalikan tiga bilangan, kita dapt mengkalikan dua bilangan terlebih dahulu
c. Sifat Distributif
a(b + c) = ab + ac4(3 + 5) = 4 3 + 4 5Pada saat kita mengkalikan suatu bilangan dengan jumlah dari dua bilangan hasilnya akan sama dengan mengkalikan bilangan itu dengan masing-masing masing-masing bilangan tersebut dan kemudian menjumlahkannya
(b + c)a = ab + ac(4 + 7)5 = 5 4 + 5 7
Mungkin secara intuitif kita percaya persamaan di atas benar adanya, tapi akan lebih baik kita tidak percaya sebelum mencoba membuktikannya, misalkan kita ambil sifat asosiatif dari penjumlahan seperti terlihat dari contoh dalam tabel di atas.
(2 + 3) + 5 = 5 + 5 =10 dan 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10
sifat distributif dapat diterapkan ketika kita mengkalikan suatu bilangan dengan suatu jumlah dari bilangan. Hal ini dapat dilihat dari ilustrasi di bawah ini:
Sifat Bilangan Negatif
Angka nol mempunyai sifat khusus dalam penjumlahan, sering disebut identitas penjumlahan (additive identity), karena a + 0 = 0 + a = a, untuk setiap bilangan riil a mempunyai negatif (ditulis a), sedemikian sehingga a + (-a) = 0, pengurangan adalah operasi penjumlahan dengan negatif. Sehingga operasi pengurangan bilangan dapat kita tuliskan sebagai berikut:
a b = a + (-b)
Kombinasi dari bilangan riil bersama dengan negatifnya, mempunyai sifat sebagaimana terlihat pada tabel di bawah ini:
Sifat Bilangan Negatif
SifatContoh
1. (-1)a = -a(-1)7 = -7
2. (-a) = a-(-8) = 8
3. (-a)b = a(-b) = -(ab)(-3)8 = 3(-8) = - (3 8)
4 (-a)(-b) = ab(-6)(-4) = 6 4
5 (a + b) = a b -(8 + 9) = -8 9
6 (a b) = a + b-(7 5) = -7 + 5
Berdasarkan sifat nomot 6, secara intuisi kita bisa mengambil kesimpulan bahwa antara a b dengan b a adalah saling negatif satu sama lainnya. Sedangkan sifat 5 dapat diperumum menjadi:
(a + b + c) = a b c Angka 1 sangat spesial pada operasi perkalian, sering disebut identitas perkalian (multiplicative identity) karena a.1 = 1. a = a untuk setiap bilangan riil a. Setiap bilangan tak nol a mempunyai balikan/invers 1/a, sehingga a.(1/a) = 1. pembagian adalah perkalian dengan balikan bilangan. Jika b 0, maka:
a ( b = a .
kita tulis a.(1/b) sebagai a/b. Berikutnya sifat-sifat dari operasi bagi bilangan riil.Sifat-Sifat Pembagian
SifatContohDeskripsi
Operasi kali antar dua pembagian sama dengan perkalian antar pembilang dibagi dengan perkalian antar penyebut
Operasi bagi antar dua pembagian sama dengan membalik pembagi kemudian mengkalikan
Penjumlahan dua pembagian yang mempunyai penyebut sama adalah dengan menjumlahkan pembilangnya
Untuk menjumlahkan dua pembagian yang mempunyai penyebut yang berbeda sama dengan membuat penyebut persekutuan. Kemudian jumlahkan kedua pembilangnya
Bilangan dapat dicoret jika pembilang dan penyebut mempunyai faktor persekutuan
Jika
maka
juga
Perkalian silang
Pangkat Bilangan Bulat
Sebuah perkalian dari bilangan yang identik (identical number) sering kali dinyatakan sebagai pangkat, sebagai contoh 3 3 3 = 33.
Notasi pangkat
Jika a suatu bilangan Riil dan n sebuah bilangan bulat, maka pangkat n dari a adalah:
Bilangan a disebut basis dan n disebut eksponen
Perkalian dua perpangkatan yang mempunyai basis sama, yaitu dengan menjumlahkan eksponennya:
42 x 4-1 = 4(2-1) = 41 = 4atau dapat kita nyatakan sebagai
55 . 52 = (5 . 5 . 5 . 5 . 5).(5 . 5) = (5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5)
= 57 = 55 + 2 = 78125dapat disimpulkan bahwa:
, dimana m dan n bilangan bulat positif. Hal itu akan berlaku untuk m dan n nol dan negatif seperti terlihat di bawah
30 x 33 = 30+3 = 33Hal ini dapat dilakukan karena 30 = 1, demikian juga untuk:
43 x 4-5 = 43 + (- 5) = 4-2dan ini benar jika 4-2 = 1/42.
Pangkat Nol dan Negatif
Jika a 0 suatu bilangan Riil dan n sebuah bilangan bulat, maka:
dan
Akar
Selama ini pangkat dari suatu bilangan selalu bernilai bulat. Tetapi pangkat dari suatu bilangan tidak selalu bernilai bulat misalkan 22/3, pangkat dari bilangan tersebut merupakan bilangan rasional. Simbul dibaca dengan akar positif dari. Sehingga: setara dengan b2 = a dan b 0
Karena a = b2 0, simbul hanya akan berlaku jika a 0. Misal
karena 32 = 9 dan 3 0.
Akar ke-n dari bilangan a adalah bilangan yang ditimbulkan dari pangkat ke-n suatu bilangan lain, yaitu:
Akar Pangkat n
Jika n bilangan bulat positif, akar pangkat n dari bilangan Riil a didefinisikan sebagai
= b setara dengan bn = aJika n genap maka a 0 dan b 0
Maka:
karena 23 = 8
karena (-2)3 = -8
akar tidak lain adalah akar pangkat n dimana n = 2 sehingga cukup ditulis , akan tetapi tidak terdefinisi, karena akar dari setiap bilangan riil adalah nonnegatif.
Pangkat Rasional
Jika pangkat rasional m/n, dimana m dan n bilangan bulatdan n > 0, maka
setara dengan
Jika n genap maka kita mensyaratkan a 0
Berdarkan definisi di atas dapat bibuktikan bahwa hukum perpangkatan juga berlaku untuk pangkat rasional.
Sederhanakan pangkat rasional 641/3!
Penyelesaian: Dengan menggunakan definisi di atas maka:
Dengan beberapa aturan yang sudah dikemukakan di atas maka kita dapat membuat beberapa aturan umum untuk menyelesaikan suatu eksponensial, beberapa aturan umum yang dimaksud dapat kita singkat dalam tabel yang ada di bawah ini:
Aturan Pangkat
AturanDeskripsi
Mengalikan dua pangkat dari bilangan yang sama, yaitu dengan menjumlahkan pangkatnya
Membagi dua pangkat dari bilangan yang sama, yaitu dengan mengurangkan eksponennya
Pangkat dari suatu pangkat, mengkalikan eksponennya
Pangkat dari perkalian, mengkalikan bilangan berpangkat tersebut
Pangkat dari pembagian, timbul dari hasil bari pembagian pembilang dan penyebut dengan pangkat sama
Hasil pangkat negatif dari pembagian sama dengan membalik pembagian dengan pangkat sama
Jika bilangan rasional pembilang dan penyebutnya mempunyai pangkat negatif maka kita dapat membalik posisinya
Sederhanakan persamaan !
Penyelesaian: Dengan menggunakan beberapa aturan yang ada pada tabel di atas kita dapat menyelesaikan, yaitu
EMBED Equation.3
Sederhanakan penulisan akar menjadi bentuk pangkat dari bilangan berikut!
Penyelesaian:
a. =
=
b.
Soal-Soal yang Berkaitan
1. Sederhanakan bentuk pangkat berikut:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
2. Gunakan manipulasi aljabar untuk menghilangkan tanda kurung dari soal di bawah ini
a. 4 6(8 9) 13
b.
c.
d.
3. Sederhanakan penulisan berikut:
a.
b.
c.
d.
e. (2x + 3)(5x+1)
4. Buktikan ketaksamaan bahwa:
a < b ( < bSifat-sifat Sistem Bilangan Real
Pembaca diingatkan kembali kepada sifat-sifat yang berlaku di dalam R. Untuk sebarang bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
1. Sifat komutatif
(i).
2. Sifat asosiatif
3. Sifat distibutif
4. (i).
(ii).
(iii).
5. (i).
(ii).
(iii).
6. (i). , untuk setiap bilangan .
(ii). tak terdefinisikan.
(iii). , untuk setiap bilangan .
7. Hukum kanselasi
(i). Jika dan maka .
(ii). Jika maka .
8. Sifat pembagi nol
Jika maka atau .
Relasi Urutan
Himpunan semua bilangan real dapat dibagi menjadi 3 himpunan bagian tak kosong yang saling asing: (i). Himpunan semua bilangan real positif; (ii). Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota; dan (iii). Himpunan semua bilangan real negative.
Untuk sebarang bilangan real a dan b, a dikatakan kurang dari b (ditulis jika positif. Bilangan a dikatakan lebih dari b (ditulis ) jika . Sebagai contoh, . Mudah ditunjukkan bahwa:
a. Bilangan a positif jika dan hanya jika .
b. Bilangan a negatif jika dan hanya jika .
Jika a kurang dari atau sama dengan b, maka ditulis . Jika a lebih dari atau sama dengan b, maka ditulis . Sedangkan dimaksudkan sebagai dan . Artinya b antara a dan c. Berikut ini adalah beberapa sifat yang sangat penting untuk diketahui. Untuk sebarang bilangan real a, b, dan c:
1. Jika maka untuk setiap bilangan real c.
2. Jika maka .
3. a. Jika dan maka .
b. Jika dan maka .
4. a. Jika maka .
b. Jika maka .
5. Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu:
6. Jika maka: .
Garis Bilangan
Secara geometris, sistem bilangan real R dapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama (segmen) dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, dapat dipasangkan dengan masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan dengan titik-titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan dst. (Perhatikan Gambar 1.1.3)
((( ((((
Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula Garis Bilangan Real.
Nilai Mutlak (Absolute Value)
Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Jadi, nilai mutlak 5 adalah 5, nilai mutlak (7 adalah 7, nilai mutlak 0 adalah 0, dan seterusnya.
Definisi 1.1.6 Nilai mutlak , ditulis dengan notasi , didefinisikan sebagai:
.
Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:
Sebagai contoh, , , , dst. Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.
Sifat 1.1.7 Jika maka:
a.
b.
c.
(Ketaksamaan segitiga)
Secara geometris, nilai mutlak dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai contoh, jika maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri 3 (lihat Gambar 1.1.5).
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
Jadi, penyelesaian adalah .
Dengan mengingat Sifat 1.1.7 (b), kiranya mudah dipahami sifat berikut:
Sifat 1.1.8 Jika , maka: .
Sebagai contoh,
Secara sama,
Sifat 1.1.9 Jika , maka:
(a). .
(b). .
Contoh 1.1.10 Selesaikan .
Penyelesaian: Menggunakan Sifat 1.1.9 (b), diperoleh:
Jadi, penyelesaian adalah .
Contoh 1.1.11 Tentukan semua nilai x sehingga .
Penyelesaian: Berdasarkan Sifat 1.1.9 (a), maka:
Selanjutnya, karena:
maka, diperoleh: .
Contoh 1.1.12 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan .
Penyelesaian:
(i). Apabila , maka selalu berlaku untuk setiap x. Sehingga diperoleh: .
(ii). Jika , maka:
Dari (i) dan (ii), diperoleh .
Selang (Interval)
Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan . Berturut-turut didefinisikan:
Contoh 1.1.13 Tentukan penyelesaian .
Penyelesaian: Berdasarkan Sifat 1.6 maka diperoleh:
Jadi, penyelesaian adalah .
Soal Latihan
Untuk soal 1 21 tentukan penyelesaiannya.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Untuk soal 22 24 tentukan x sehingga masing-masing pernyataan mempunyai arti.
22.
23.
24.
25. Jika dan maka tunjukkan .
26. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut rata-rata aritmatika dari bilangan a dan b.
27. Jika maka tunjukkan bahwa . Bilangan disebut rata-rata geometri dari bilangan a dan b. Tunjukkan pula bahwa rata-rata geometri dari bilangan a dan b kurang dari rata-rata aritmatikanya.
28. Tunjukkan bahwa .
29. Jika dan maka tunjukkan .
30. Jika dan , tunjukkan .Sistem Bilangan Real
Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real R yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, dinotasikan dengan : ( R , + , x ).
Pada system bilangan real, diperlukan tiga aksioma, yaitu aksioma lapangan, urutan dan kelengkapan.
Aksioma Lapangan adalah aksioma yang mengatur tentang ketertutupan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, sifat kumulatif, asosiatif, distributive, dan terdapatnya unsur kesatuan 0 dan 1, serta terdapatnya unsur invers terhadap penjumlahan dan perkalian. Dari aksioma ini dapat dibuktikan berbagai sifat yang mendasari operasi aljabar atas berbagai objek kalkulus, yaitu konstanta, peubah dan parameter.
Aksioma Urutan adalah aksioma yang mengatur tentang pemunculan bilangan positif dan negatif, sehingga setiap bilangan real dapat diurutkan dari sampai besar. Dari aksioma ini pula dapat diturunkan berbagai sifat yang mendasari penyelesaian suatu pertidaksamaan. Selanjutnya dirancang konsep nilai mutlak sebagai ukuran jarak dua bilangan real dan suatu alat untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang berkaitan dengan limit.
Aksioma Kelengkapan, aksioma ini mengatur tentang adanya batas atas terkecil atau batas bawah terbesar bagi setiap himpunan bagian R yang tidak kosong dan terbatas diatas atau dibawah. Selanjutnya terdapatnya korespondensi satu-satu diantara bilangan real dan titik pada garis, dan diantara dua bilangan real terdapat tak terhingga banyaknya bilangan rasional dan irrasional, kemudian diperkenalkan konsep selang hingga dan selang tak hingga, yang akan berperan dalam kalkulus.
Aksioma Lapangan
Pandang () adalah system bilangan real, dan misalkan , maka berlaku sifat-sifat berikut :
1. ( (Sifat ketertutupan terhadap operasi penjumlahan) dan
( (Sifat ketertutupan terhadap operasi perkalian)
2.( (Sifat komutatif terhadap penjumlahan) dan
( (Sifat komutatif terhadap perkalian)
3.( (Sifat assosiatif terhadap penjumlahan) dan
( (Sifat assosiatif terhadap perkalian).
4.
(Sifat distributif)
5.( Terdapat unsur , sehingga dan
( Terdapat unsur , sehingga .
Bilangan 0 disebut unsur kesatuan terhadap penjumlahan dan
Bilangan 1 disebut unsur kesatuan terhadap perkalian
6.( Terdapat unsur invers sehingga dan
( Terdapat unsur invers, sehingga
EMBED Equation.3 .
Bilangan real dinamakan lawan atau negative dari, dan
Bilangan real dinamakan kebalikkan dari .
Aksioma Urutan
Sampai disini kita belum dapat menyatakan apakah suatu bilangan lebih besar atau lebih kecil dari bilangan lainnya, sebab kita belum mendefenisikan istilah lebih besar atau lebih kecil. Aksioma lapangan yang sudah dibicarakan diatas belum dapat mengurutkan bilangan-bilangan real.
Pada himpunan bilangan real R terdapat suatu himpunan bagian yang unsur-unsurnya dinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma urutan berikut.
(i). Jika bilangan real, maka hanya satu dari pernyataan- pernyataan dibawah ini yang benar positif ; ; positif
(ii). Jumlah dua bilangan positif adalah positif dan hasil kali dua bilangan positif adalah positif.
Sekarang pada himpunan bilangan real, kita defenisikan istilah lebih besar dan lebih kecil dengan menggunakan istilah bilangan positif yang telah dideskripsikan pada aksioma urutan.
Defenisi 1.7 Misalkan dan bilangan real, maka :
a). lebih kecil dari , ditulis Jika dan hanya jika adalah bil. Positif.
b). lebih besar dari , ditulis Jika dan hanya jika adalah bil. negatif.
c). Lambang (lebih kecil atau sama dengan) dan (lebih besar atau sama dengan) menyatakan relasi :
jika atau
jika atau
d). Lambang-lambang < , > , dinamakan tanda pertidaksamaan dan pernyataan yang dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan disebut pertidaksamaan
e). Bilangan real dikatakan negatif bila adalah bilangan positif
Aksioma Kelengkapan
Aksioma kelengkapan pada sistem bilangan real menyatakan bahwa setiap himpunan bagian dari R yang terbatas selalu mempunyai batas atas terkecil. Akibatnya setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas dibawah selalu mempunyai batas bawah terbesar. Sifat ini tidak dimiliki oleh himpunan bilangan rasional, dan inilah yang membedakan antara himpunan bilangan rasional dan bilangan real.0
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
2
7/2
-3/2
-(
Gambar 1 Garis Bilangan Riil
Bilangan
Riil
Bilangan
Irasional
Bilangan
Rasional
Bilangan
Bulat
Bilangan Bulat Positif/Asli
Nol
Bilangan Bulat Negatif
Bilangan
Kompleks
Bilangan
Imaginer
Bilangan
Prima
4(3 + 5)
4.3 + 4.5
EMBED Equation.3
(2(1 0 1 2 3
Gambar 1.1.3
7 unit 7 unit
(4 3 10
Gambar 1.1.5
PAGE 5
_1085076379.unknown
_1272590984.unknown
_1282829081.unknown
_1283227329.unknown
_1283227656.unknown
_1284921517.unknown
_1284921683.unknown
_1284921899.unknown
_1284922065.unknown
_1284922366.unknown
_1284922035.unknown
_1284921808.unknown
_1284921573.unknown
_1283227815.unknown
_1283228021.unknown
_1283227743.unknown
_1283227490.unknown
_1283227538.unknown
_1283227393.unknown
_1283226589.unknown
_1283226923.unknown
_1283227060.unknown
_1283226716.unknown
_1282889228.unknown
_1283136307.unknown
_1282829118.unknown
_1282807358.unknown
_1282828231.unknown
_1282828791.unknown
_1282828842.unknown
_1282828915.unknown
_1282828349.unknown
_1282826317.unknown
_1282827811.unknown
_1282808001.unknown
_1272592728.unknown
_1273063480.unknown
_1273064590.unknown
_1282805933.unknown
_1273065698.unknown
_1273064204.unknown
_1272593281.unknown
_1272593421.unknown
_1272591302.unknown
_1272592076.unknown
_1272592425.unknown
_1272592230.unknown
_1272591870.unknown
_1272591133.unknown
_1272548953.unknown
_1272549516.unknown
_1272590376.unknown
_1272590701.unknown
_1272590855.unknown
_1272590644.unknown
_1272589755.unknown
_1272590210.unknown
_1272549615.unknown
_1272549231.unknown
_1272549339.unknown
_1272549455.unknown
_1272549292.unknown
_1272549055.unknown
_1272549109.unknown
_1272549180.unknown
_1272549002.unknown
_1085077692.unknown
_1085161377.unknown
_1085213141.unknown
_1089269816.unknown
_1272548779.unknown
_1272548849.unknown
_1272548731.unknown
_1085213204.unknown
_1085213247.unknown
_1085213481.unknown
_1085213567.unknown
_1085213304.unknown
_1085213227.unknown
_1085213169.unknown
_1085161500.unknown
_1085213047.unknown
_1085213116.unknown
_1085213001.unknown
_1085161439.unknown
_1085161461.unknown
_1085161411.unknown
_1085160795.unknown
_1085161186.unknown
_1085161329.unknown
_1085161348.unknown
_1085161313.unknown
_1085160871.unknown
_1085161174.unknown
_1085160854.unknown
_1085078381.unknown
_1085160664.unknown
_1085160762.unknown
_1085160555.unknown
_1085078343.unknown
_1085078364.unknown
_1085077770.unknown
_1085077144.unknown
_1085077453.unknown
_1085077563.unknown
_1085077628.unknown
_1085077483.unknown
_1085077266.unknown
_1085077311.unknown
_1085077170.unknown
_1085076729.unknown
_1085076956.unknown
_1085077036.unknown
_1085076795.unknown
_1085076586.unknown
_1085076673.unknown
_1085076529.unknown
_961976882.unknown
_962684245.unknown
_963193788.unknown
_963197767.unknown
_980063632.unknown
_980064262.unknown
_983363355.unknown
_980064024.unknown
_963198076.unknown
_963198697.unknown
_963199056.unknown
_963198567.unknown
_963197889.unknown
_963197130.unknown
_963197665.unknown
_963197697.unknown
_963197252.unknown
_963197290.unknown
_963196534.unknown
_963196758.unknown
_963196383.unknown
_963187486.unknown
_963188155.unknown
_963193500.unknown
_963193702.unknown
_963193393.unknown
_963187961.unknown
_963188105.unknown
_963187705.unknown
_963185969.unknown
_963187390.unknown
_963186966.unknown
_963187358.unknown
_962684415.unknown
_963185828.unknown
_962684330.unknown
_961978473.unknown
_962683654.unknown
_962683910.unknown
_962684131.unknown
_962684177.unknown
_962684090.unknown
_962683830.unknown
_962683877.unknown
_962683722.unknown
_961978767.unknown
_962024448.unknown
_962683620.unknown
_962025185.unknown
_962024291.unknown
_961978597.unknown
_961978641.unknown
_961978503.unknown
_961977603.unknown
_961978192.unknown
_961978221.unknown
_961978332.unknown
_961978371.unknown
_961978394.unknown
_961978344.unknown
_961978303.unknown
_961978193.unknown
_961977952.unknown
_961978179.unknown
_961978191.unknown
_961978047.unknown
_961977616.unknown
_961977428.unknown
_961977556.unknown
_961977579.unknown
_961977502.unknown
_961977104.unknown
_961977228.unknown
_961976908.unknown
_945128311.unknown
_945129900.unknown
_961975139.unknown
_961975722.unknown
_961975853.unknown
_961976768.unknown
_961976793.unknown
_961975865.unknown
_961975772.unknown
_961975839.unknown
_961975753.unknown
_961975514.unknown
_961975688.unknown
_961975705.unknown
_961975556.unknown
_961975242.unknown
_961975438.unknown
_961975470.unknown
_961975201.unknown
_961974698.unknown
_961974941.unknown
_961975046.unknown
_961974833.unknown
_945130180.unknown
_961974486.unknown
_961974523.unknown
_945130244.unknown
_945130282.unknown
_961974151.unknown
_945130263.unknown
_945130195.unknown
_945130093.unknown
_945130166.unknown
_945129943.unknown
_945129448.unknown
_945129744.unknown
_945129807.unknown
_945129875.unknown
_945129765.unknown
_945129655.unknown
_945129685.unknown
_945129623.unknown
_945128571.unknown
_945129283.unknown
_945129323.unknown
_945128797.unknown
_945128386.unknown
_945128430.unknown
_945128344.unknown
_945127370.unknown
_945128113.unknown
_945128206.unknown
_945128244.unknown
_945128166.unknown
_945127878.unknown
_945128029.unknown
_945127408.unknown
_945127051.unknown
_945127227.unknown
_945127335.unknown
_945127190.unknown
_945126967.unknown
_945127014.unknown
_945126938.unknown
Top Related