Download - Kuliah Sisipan Mekban 2013 Materi 3

Tegangan Normal dan

Tegangan Geser

Tegangan Akibat Gaya Normal Sentris

Tegangan normal akibat gaya Normal

Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh permukaan penampang batang akan

timbul tegangan normal = P/A

Dari uraian tentang tegangan normal di atas, maka

bagaimanapun bentuk penampang batang, jika luasnya A

dan menderita gaya normal P, maka akan selalu menghasilkan

tegangan yang sama yaitu :

A

P

Tegangan Normal Akibat Momen Lentur (Tegangan Lentur)

Dari rumus di atas maka untuk menentukan

tegangan normal akibat momen lentur dapat

menggunakan rumus :

Ix

yM

Dengan y adalah jarak serat ke sumbu berat

penampang dan Ix adalah momen inersia penampang terhadap

sumbu X.

Balok dengan panjang 19.5 meter mempunyai ukuran penampang 30 x 60 cm2. Balok menderita beban merata q = 5 kN/m’. Hitung tegangan maksimum yang terjadi pada posisi tumpuan A dan tumpuan B serta pada titik C. Gambarkan diagram tegangan pada ketiga titik tersebut.

Momen pada titik A = MA = ½*5*2.52 = 15.625 kNm Momen pada titik B = MB = ½*5*22 = 10 kNm Momen pada titik C = MC = 50.375*7.5 – ½*5*102 = 127.8125 kNm Ix = 1/12 * B * H3 = 1/12 * 0.30 * 0.603 = 0.0054 m4

W = 1/6 * B * H2 = 1/6 * 0.30 * 0.602 = 0.018 m3

contoh

σmax di A = (15.625*0.30/0.0054) kN/m2 = 868.056kN/m2 = 0.868

MPa σmax di B = (10*0.30/0.0054) kN/m2 = 555.556 kN/m2= 0.556 MPa σmax di C = (127.8125*0.30/0.0054) kN/m2 = 7100.694 kN/m2= 7.101 MPa

contoh

contoh

Tegangan Normal Akibat Kombinasi Gaya Normal Sentris dan Momen Lentur

Tegangan akibat gaya normal : = P/A Tegangan akibat momen lentur : = MY/Ix

Kedua tegangan dapat di kombinasikan (dijumlahkan) dan rumus kombinasi tegangan menjadi :

Ix

MY

A

Nσ

Tanda + pada rumus tegangan kombinasi dipakai jika arah tegangan N/A sama dengan MY/Ix

Tanda - pada rumus tegangan kombinasi dipakai jika arah tegangan N/A berlawanan dengan MY/Ix

Ix

MY

A

Nσ

Ix

Ya*M

A

Nσa

Ix

Yb*M

A

Nσb

Pada balok bekerja gaya normal Tekan dan Momen

Positif

Ix

MY

A

Nσa

Ix

MY

A

Nσb

Pada balok bekerja gaya normal Tekan dan Momen

Negatif

21Ix

Ya*M

A

Nσa

31Ix

Yb*M

A

Nσb

contoh

Sebuah balok di atas dua tumpuan menderita beban merata q = 5 kN/m

dan beban normal N = 200 kN. Hitung dan gambarkan tegangan maksimum pada balok pada posisi

tumpuan A, B dan pada posisi momen positif maksimum akibat gaya normal

dan momen lentur

Dari gambar bidang gaya dalam terlihat :

MA = 15.625 kNm (-) MB = 10 kNm (-)

MC = 127.827 kNm (+) MC adalah momen positif maksimum terletak pada

jarak 7.575 m dari tumpuan A

Gaya normal N = 200 kN (tekan)

contoh

MA = 15.625 kNm N = 200 kN

1 = N/A = 1111.111kN/m2 = 1.111MPa 2=3 = 15.625*0.3/0.0054 = 868.056 kN/m2

= 0.868 Mpa.

Ix = 1/12*0.3*0.63 m4= 0.0054 m4

A = 0.3*0.6 m2 = 0.18 m2

contoh

MB = 10 kNm N = 200 kN

1 = N/A = 1111.111kN/m2 = 1.111MPa 2=3 = 10*0.3/0.0054 = 555.556 kN/m2

= 0.556 Mpa.

Ix = 1/12*0.3*0.63 m4= 0.0054 m4

A = 0.3*0.6 m2 = 0.18 m2

contoh

Tegangan di titik A

Tegangan di titik B

contoh

MC = 127.827 kNm N = 200 kN

1 = N/A = 1111.111kN/m2 = 1.111MPa 2=3 = 127.827*0.3/0.0054 = 7101.5 kN/m2

= 7.102 Mpa.

Ix = 1/12*0.3*0.63 m4= 0.0054 m4

A = 0.3*0.6 m2 = 0.18 m2

contoh

Tegangan di titik C

Tegangan Geser

dy*y*BS

dy*BdAelemenuntuk

Ix*B

S*Dτ

q = 5 kN/m’

15 m 2 m2.5 m

A B

VA = 50.375 kN VB = 47.125 kN

Hitung dan gambarkan diagram tegangan geser pada posisi tumpuan A dan B.

q = 5 kN/m’

15 m 2 m2.5 m

A B

VA = 50.375 kN VB = 47.125 kN

12.5

37.875

37.125

10+

+

-

-

Bid D

7.575 7.425

-

Gaya geser maksimum pada tumpuan

A = 37.875 kN B = 37.125 kN

Statis momen bagian I : S1 = 30*10*35 cm3 = 10500 cm3

S1 = 0.0105 m3

Untuk B = 30 cm

MPa0.13125τ1

kN/m131.250.0101*0.3

0.0105*37.875

BIx

DSτ1

2

Untuk B = 15 cm

MPa2625.0τ2

kN/m5.6220.0101*0.15

0.0105*37.875

BIx

DSτ2

2

MPa0.2625τ1*0.15

0.3τ2

Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN B = 37.125 kN

Ix = 1/12*30*803 – 2*1/12*7.5*603

Ix = 1010000 cm4

Ix = 1010000 cm4

Statis momen bagian II : S1 = 30*10*35 cm3 = 10500 cm3

S1 = 0.0105 m3

S2 = S1 + 0.3*0.15*0.15 S2 = 0.0105 + 0.00675 = 0.01725 m3

MPa0.43125τ3

kN/m25.3140.0101*0.15

0.01725*37.875

BIx

DSτ3

2

Untuk B = 15 cm


MPa42271.00.43125*875.37

125.37τ3

MPa12865.00.13125*875.37

125.37τ1

0.2573MPa0.2625*37.875

37.125τ2

Tegangan geser pada titik B


Diagram tegangan geser pada tumpuan A

Diagram tegangan geser pada tumpuan B

Pada soal yang sama bagaimana jika penampang seperti pada gambar di samping

Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN dan pada tumpuan B = 37.125 kN


S1 = 0.0105 m3

Statis momen bagian II : S2 = S1 + 0.05*0.15*0.275 S2 = 0.0105 + 0.00675 = 0.01256 m3

Statis momen bagian III : S3 = S1 + S2 + 0.5*0.05*0.252= S3 = 0.01256 + 0.00156 = 0.01412 m3

Ix = 905833.333 cm4


S1 = 0.0105 m3

Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN

MPa0.146348τ1

kN/m348.4610.009058*0.3

0.0105*37.875

BIx

DSτ1

2

MPa2927.0τ2

kN/m697.2920.009058*0.15

0.0105*37.875

BIx

DSτ2

2

Ix = 905833.333 cm4



MPa0.350τ3

kN/m121.3500.009058*0.15

0.01256*37.875

BIx

DSτ3

2

MPa050.1τ4

kN/m364.10500.009058*0.05

0.01256*37.875

BIx

DSτ4

2


Ix = 905833.333 cm4



MPa181.1τ5

kN/m11810.009058*0.05

0.01412*37.875

BIx

DSτ5

2



Ix = 905833.333 cm4

Diagram tegangan geser pada tumpuan A

Diagram tegangan geser pada tumpuan B

Hitung dan gambarkan diagram tegangan normal dan tegangan geser pada posisi momen negatif maksimum , momen positif maksimum dan pada posisi beban P

VA = (5*19.5*7.75 + 10*5.5)/15 = 54.04167 kN (↑) VB = (5*19.5*7.25 + 10*9.5)/15 = 53.45833 kN (↑)

M+maks = 156.946 kNm

M- maks = 15.625 kNm Pada posisi momen positif maksimum, D = 0 kN N = 200 kN (tekan) Pada posisi momen negatif maksimum, D = 41.54167 kN N = 200 kN (tekan) Pada posisi beban P M = 153.3959 kNm (+) N = 200 kN (tekan) D = 15.95833 kN

Pada posisi momen negatif maksimum, M = 15.625 kNm D = 41.54167 kN N = 200 kN (tekan)

A = 1000 cm2

Ix = 905833.333 cm4

MPa2kN/m2000kN/m0.1

200σ1

22

MPa0.690kN/m689.97270.00905833

0.4*15.625σ3σ2

2



S1 = 0.0105 m3



Gaya geser D = 41.54167 kN

Ix = 905833.333 cm4

MPa1605.00.146348*875.37

54167.41τ1

MPa321.02927.0*875.37

54167.41τ2

MPa384.00.350*875.37

54167.41τ3

MPa2625.1050.1*875.37

54167.45τ4

MPa295.1181.1*875.37

54167.41τ3

Pada posisi momen negatif maksimum, D = 41.54167 kN

Pada posisi momen positif maksimum, M = 156.946 kNm D = 0 kN N = 200 kN (tekan)

A = 1000 cm2

Ix = 905833.333 cm4

MPa2kN/m2000kN/m0.1

200σ1

22

MPa93.6kN/m6930.46070.00905833

0.4*156.946σ3σ2

2

Pada posisi Beban P, M = 153.3959 kNm D = 15.95833 kN N = 200 kN (tekan)

A = 1000 cm2

Ix = 905833.333 cm4

MPa2kN/m2000kN/m0.1

200σ1

22

MPa77.6kN/m6945.77360.00905833

0.4*153.3959σ3σ2

2

MPa0617.00.146348*875.37

95833.15τ1

MPa123.02927.0*875.37

95833.15τ2

MPa1475.00.350*875.37

95833.15τ3

MPa442.0050.1*875.37

95833.15τ4

MPa498.0181.1*875.37

95833.15τ3


Balok di atas 2 tumpuan menderita beban merata q = 2 kN/m dan P = 5 kN ( seperti terlihat

dalam gambar ). Penampang Balok seperti terlihat pada potongan I-I.

a. Hitung dan Gambarkan diagram tegangan normal ( ) yang terjadi akibat beban tersebut

pada penampang di titik 1

b. Hitung dan Gambarkan diagram tegangan normal ( ) yang terjadi akibat beban tersebut

pada penampang di titik 2

c. Hitung dan Gambarkan diagram tegangan geser ( t ) yang terjadi akibat beban tersebut pada

penampang di titik 1

d. Hitung dan Gambarkan diagram tegangan geser ( t ) yang terjadi akibat beban tersebut pada

penampang di titik 2

Potongan I-I

Ukuran Penampang dalam cm

Potongan I-I

Ukuran Penampang dalam cm

VA = (5sin60*3 + 2*11.5*(11.5/2-2))/8 = 12.405 kN (↑) VB = (5sin60*5 + 2*11.5*(11.5/2-1.5))/8 = 14.925 kN (↑) HA = 2.5 kN (→)

Gaya dalam pada titik 1 : N = 2.5 kN (tekan) M = 12.405 * 3.5 – 0.5*2*52 = 18.4175 kN m(+) D = 12.405 – 2*5 = 2.405 kN

Gaya dalam pada titik 2 : N = 0 M = 14.925 * 1 – 0.5*2*32 = 5.925 kN m (+) D = 12.405 – 2*8.5 – 5sin60 = -8.925 kN

Tidak

dianjurkan

untuk

membuatnya

Tidak dianjurkan untuk membuatnya

2cm4425A

25*3015*8515*6540*4515*75A

cm39.534y

4425

45*25*30

7.5*15*8522.5*15*65

50*40*4577.5*15*75

y

4

23

23

23

23

23

cm665.3634663I

39.534)-(45*25*30-30*25*12

1

39.534)-(7.5*15*8515*85*12

1

39.534)-(22.5*15*6515*65*12

1

39.534)-(50*40*4540*45*12

1

39.534)-(77.5*15*7515*75*12

1I

x

x

2cm4425A

cm39.534yb

4cm665.3634663I x

cm466.54ya

Gaya dalam pada titik 1 : N = 2.5 kN (tekan) M = 18.4175 kN m(+)

(tekan)MPa236034.0kN/m034.236σa

6650.03634663

0.45466*18.4175

0.4425

2.5σa

Ix

ya*M

A

Nσa

2

(tarik)MPa0.194676kN/m676.194σb

6650.03634663

0.39534*18.4175

0.4425

2.5σb

Ix

yb*M

A

Nσb

2

Diagram tegangan normal pada titik 1 :

2cm4425A

cm39.534yb

4cm665.3634663I x

cm466.54ya

(tekan)MPa0.074116kN/m116.74σa

6650.03634663

0.45466*5.925σa

Ix

ya*Mσa

2

(tarik)MPa064446.0kN/m446.64σb

6650.03634663

0.39534*5.925σb

Ix

yb*Mσb

2

Gaya dalam pada titik 2 : N = 0 M = 5.925 kN m (+)

Diagram tegangan normal pada titik 2 :

S1 = 75*15*37.966 = 42711.75 cm3

S2 = 45*10*25.466 = 11459.7 cm3

S3 = 2*10*20.466*0.5*20.466 = 4188.572 cm3

S5 = 65*15*17.034 = 16608.15 cm3

S4 = 2*10*9.534*0.5*9.534 = 908.972 cm3

S6 = 85*15*32.034 = 40843.35 cm3

Tegangan geser pada titik 1 :

t1 = (2.405*0.04271175)/(0.75*0.03634663) = 3.768 kN/m2 = 0.003768 MPa

D = 2.405 kN

t3= (2.405*0.05417145)/(0.45*0.03634663) = 7.965 kN/m2 = 0.00797 MPa

t5= (2.405*0.058360022)/(0.20*0.03634663) = 19.308 kN/m2 = 0.019308 MPa

t2 = 75/45*3.768 kN/m2 = 6.28 kN/m2 = 0.00628 MPa

t4= 45/20* 7.965 kN/m2 = 17.921 kN/m2 = 0.017921 MPa

Tegangan geser pada titik 1 :

t9 = (2.405*0.04084335)/(0.85*0.03634663) = 3.179 kN/m2 = 0.003179 MPa

D = 2.405 kN

t7= (2.405*0.0574515)/(0.65*0.03634663) = 5.848 kN/m2 = 0.005848MPa

t8 = 85/65*3.719 kN/m2 = 4.863 kN/m2 = 0.004863 MPa

t6= 65/20* 5.848 kN/m2 = 19.007 kN/m2 = 0.019007 MPa

t5= (2.405*0.058360472)/(0.20*0.03634663) = 19.308 kN/m2 = 0.019308 MPa

Tegangan geser pada titik 1 : D = 2.405 kN

Satuan tegangan geser MPa

Tegangan geser pada titik 2 : D = -8.925 kN

Satuan tegangan geser MPa

Untuk mencari tegangan geser pada titik 2, maka semua nilai tegangan pada titik 1 dikalikan dengan faktor 8.925/2.405

Tegangan Normal Akibat Kombinasi Gaya Normal Eksentris dan Momen Lentur

e = jarak titik tangkap gaya normal terhadap titik berat penampang

e = eksentrisitas gaya normal

Bagaimana menghitung tegangan akibat gaya normal eksentris ?

Pada balok bekerja beban P eksentris

Pada balok bekerja beban P eksentris dan dua beban tambahan yang besarnya sama dengan P dan bekerja saling berlawanan arah.

Me = P*e

Me = P*e

Akibat gaya normal eksentris P yang bekerja pada penampang balok, maka “seolah-olah” pada balok bekerja dua gaya yaitu gaya normal sentris P dan momen Me.

Momen Me juga biasa dikenal dengan nama “momen eksentris”

Analisa tegangan pada balok yang menerima gaya normal eksentris

sama seperti analisa tegangan balok yang menerima gaya normal

sentris dan momen lentur

Ix

y*e*P

A

Pσ

Ix

y*Me

A

Pσ

Contoh :

Balok AB menderita beban q = 5 kN/m’ dan beban terpusat P = 50 kN sebagaimana terlihat pada gambar. Balok juga menderita gaya normal eksentris N = 200 kN. Gaya normal N bekerja pada titik A. Hitung tegangan normal dan tegangan geser maksimum pada posisi momen positif maksimum dan momen negatif maksimum dan gambarkan diagram tegangan normal dan tegangan geser pada kedua posisi tersebut.

20.0

02

0.0

02

0.0

0

15.00 15.0015.00 15.0020.00

10

.00

40.00

A

X

Y

Contoh :

Gaya geser pada titik A ada dua yaitu D = -12.5 kN dan D = +56.20833kN Gaya geser pada titik P dapat dihitung dengan pendekatan D = 68.70833 – 12*5= 8.708 kN

Contoh :

Pada titik P terdapat dua gaya geser (karena adanya lompatan gaya geser). Gaya geser kedua diperoleh dari 8.708 – 50 = - 41.29167 kN Dengan gaya geser D pada posisi titik P yang berubah dari positif menjadi negatif, maka momen maksimum akan terjadi pada titik P.

Contoh :

Momen positif maksimum dapat dihitung dengan rumus : MX = -1/2*q*122 + VA*9.5 MX = -1/2*5*122 + 68.70833*9.5 = 292.729 kNm

Contoh :

Contoh :

A = 80*20 + 40*50 – 20*20 cm2 = 3200 cm2 = 0.32 m2

m0.3375cm33.75y

30)/3200*20*2020*50*4050*20*(80y

2

0.0

02

0.0

02

0.0

0

15.00 15.0015.00 15.0020.00

10

.00

40.00

A

X

Y

24

222

333

m0.011017cm71101666.66Ix

33.75)-(30*20*20-33.75)-(20*40*5033.75)-(50*20*80

20*20*12

1-40*50*

12

120*80*

12

1Ix

A = 3200 cm2 = 0.32 m2

m0.3375cm33.75y

30)/3200*20*2020*50*4050*20*(80y

20.0

02

0.0

02

0.0

0

15.00 15.0015.00 15.0020.00

10

.00

40.00

A

33

.75

X

Y

Contoh :

A = 3200 cm2 = 0.32 m2

Gaya dalam pada posisi Momen positif maksimum : ML = 292.729 kNm (+) ex= 33.75 – 10 cm = 23.75 cm Mex = 200*0.2375 = 47.5 kNm

24m0.011017cm71101666.66Ix

20.0

02

0.0

02

0.0

0

15.00 15.0015.00 15.0020.00

10

.00

40.00

A

33

.75

X

Y

Contoh : A = 3200 cm2 = 0.32 m2

24m0.011017cm71101666.66Ix

2

3

1

+ +2

0.0

02

0.0

02

0.0

0

15.00 15.0015.00 15.0020.00

10

.00

40.00

A

X

Y

4

5

N = 200 kN

Mex = 47.5 kNm

ML = 292.729 kNm

(tekan)MPa6.468kNm/m6468.026σa

0.011017

0.2625*292.729

0.011017

0.2625*47.5

0.32

200σa

2

Contoh : A = 3200 cm2 = 0.32 m2

24m0.011017cm71101666.66Ix

2

3

1

+ +2

0.0

02

0.0

02

0.0

0

15.00 15.0015.00 15.0020.00

10

.00

40.00

A

X

Y

4

5

N = 200 kN

Mex = 47.5 kNm

ML = 292.729 kNm

(tarik)MPa6.888kNm/m461.8876σb

0.011017

0.3375*292.729

0.011017

0.3375*47.5

0.32

200σb

2

Contoh :

20.0

02

0.0

02

0.0

0

15.00 15.0015.00 15.0020.001

0.0

0

40.00

A

X

Y

a=6.468

b=6.888

30

.94

33

.75

Contoh :

A = 3200 cm2 = 0.32 m2

Gaya dalam pada posisi tumpuan : ML = 15.625 kNm (-) N = 200 kN ex= 33.75 – 10 cm = 23.75 cm Mex = 200*0.2375 = 47.5 kNm

24m0.011017cm71101666.66Ix

20.0

02

0.0

02

0.0

0

15.00 15.0015.00 15.0020.00

10

.00

40.00

A

33

.75

X

Y

Contoh : A = 3200 cm2 = 0.32 m2

24m0.011017cm71101666.66Ix

(tarik)MPa798.0-kNm/m068.879σa

0.011017

0.2625*15.625

0.011017

0.2625*47.5

0.32

200σa

2

4

5

1

++2

0.0

02

0.0

02

0.0

0

15.00 15.0015.00 15.0020.00

10

.00

40.00

A

X

Y

2

3

N = 200 kN

Mex = 47.5 kNm

ML = 15.625 kNm

Contoh : A = 3200 cm2 = 0.32 m2

24m0.011017cm71101666.66Ix

(tekan)MPa2.559kNm/m801.2558σb

0.011017

0.3375*15.625

0.011017

0.3375*47.5

0.32

200σb

2

4

5

1

++2

0.0

02

0.0

02

0.0

0

15.00 15.0015.00 15.0020.00

10

.00

40.00

A

X

Y

2

3

N = 200 kN

Mex = 47.5 kNm

ML = 15.625 kNm

Contoh :

20.0

02

0.0

02

0.0

0

15.00 15.0015.00 15.0020.00

10

.00

40.00

A

X

Y

a=0.879

b=2.559

44

.66

33

.75