Kuliah Sisipan Mekban 2013 Materi 3
-
Upload
putri-lokita-purnama-citra -
Category
Documents
-
view
85 -
download
12
Transcript of Kuliah Sisipan Mekban 2013 Materi 3
Tegangan Normal dan
Tegangan Geser
Tegangan Akibat Gaya Normal Sentris
Tegangan normal akibat gaya Normal
Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh permukaan penampang batang akan
timbul tegangan normal = P/A
Tegangan normal akibat gaya Normal
Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh permukaan penampang batang akan
timbul tegangan normal = P/A
Tegangan normal akibat gaya Normal
Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh permukaan penampang batang akan
timbul tegangan normal = P/A
Tegangan normal akibat gaya Normal
Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh permukaan penampang batang akan
timbul tegangan normal = P/A
Tegangan normal akibat gaya Normal
Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh permukaan penampang batang akan
timbul tegangan normal = P/A
Dari uraian tentang tegangan normal di atas, maka
bagaimanapun bentuk penampang batang, jika luasnya A
dan menderita gaya normal P, maka akan selalu menghasilkan
tegangan yang sama yaitu :
A
P
Tegangan Normal Akibat Momen Lentur (Tegangan Lentur)
Dari rumus di atas maka untuk menentukan
tegangan normal akibat momen lentur dapat
menggunakan rumus :
Ix
yM
Dengan y adalah jarak serat ke sumbu berat
penampang dan Ix adalah momen inersia penampang terhadap
sumbu X.
Balok dengan panjang 19.5 meter mempunyai ukuran penampang 30 x 60 cm2. Balok menderita beban merata q = 5 kN/m’. Hitung tegangan maksimum yang terjadi pada posisi tumpuan A dan tumpuan B serta pada titik C. Gambarkan diagram tegangan pada ketiga titik tersebut.
Momen pada titik A = MA = ½*5*2.52 = 15.625 kNm Momen pada titik B = MB = ½*5*22 = 10 kNm Momen pada titik C = MC = 50.375*7.5 – ½*5*102 = 127.8125 kNm Ix = 1/12 * B * H3 = 1/12 * 0.30 * 0.603 = 0.0054 m4
W = 1/6 * B * H2 = 1/6 * 0.30 * 0.602 = 0.018 m3
contoh
σmax di A = (15.625*0.30/0.0054) kN/m2 = 868.056kN/m2 = 0.868
MPa σmax di B = (10*0.30/0.0054) kN/m2 = 555.556 kN/m2= 0.556 MPa σmax di C = (127.8125*0.30/0.0054) kN/m2 = 7100.694 kN/m2= 7.101 MPa
contoh
contoh
contoh
Tegangan Normal Akibat Kombinasi Gaya Normal Sentris dan Momen Lentur
Tegangan akibat gaya normal : = P/A Tegangan akibat momen lentur : = MY/Ix
Kedua tegangan dapat di kombinasikan (dijumlahkan) dan rumus kombinasi tegangan menjadi :
Ix
MY
A
Nσ
Tanda + pada rumus tegangan kombinasi dipakai jika arah tegangan N/A sama dengan MY/Ix
Tanda - pada rumus tegangan kombinasi dipakai jika arah tegangan N/A berlawanan dengan MY/Ix
Ix
MY
A
Nσ
Ix
Ya*M
A
Nσa
Ix
Yb*M
A
Nσb
Pada balok bekerja gaya normal Tekan dan Momen
Positif
Ix
MY
A
Nσa
Ix
MY
A
Nσb
Pada balok bekerja gaya normal Tekan dan Momen
Negatif
21Ix
Ya*M
A
Nσa
31Ix
Yb*M
A
Nσb
contoh
Sebuah balok di atas dua tumpuan menderita beban merata q = 5 kN/m
dan beban normal N = 200 kN. Hitung dan gambarkan tegangan maksimum pada balok pada posisi
tumpuan A, B dan pada posisi momen positif maksimum akibat gaya normal
dan momen lentur
Dari gambar bidang gaya dalam terlihat :
MA = 15.625 kNm (-) MB = 10 kNm (-)
MC = 127.827 kNm (+) MC adalah momen positif maksimum terletak pada
jarak 7.575 m dari tumpuan A
Gaya normal N = 200 kN (tekan)
contoh
MA = 15.625 kNm N = 200 kN
1 = N/A = 1111.111kN/m2 = 1.111MPa 2=3 = 15.625*0.3/0.0054 = 868.056 kN/m2
= 0.868 Mpa.
Ix = 1/12*0.3*0.63 m4= 0.0054 m4
A = 0.3*0.6 m2 = 0.18 m2
contoh
MB = 10 kNm N = 200 kN
1 = N/A = 1111.111kN/m2 = 1.111MPa 2=3 = 10*0.3/0.0054 = 555.556 kN/m2
= 0.556 Mpa.
Ix = 1/12*0.3*0.63 m4= 0.0054 m4
A = 0.3*0.6 m2 = 0.18 m2
contoh
Tegangan di titik A
Tegangan di titik B
contoh
MC = 127.827 kNm N = 200 kN
1 = N/A = 1111.111kN/m2 = 1.111MPa 2=3 = 127.827*0.3/0.0054 = 7101.5 kN/m2
= 7.102 Mpa.
Ix = 1/12*0.3*0.63 m4= 0.0054 m4
A = 0.3*0.6 m2 = 0.18 m2
contoh
Tegangan di titik C
Tegangan Geser
dy*y*BS
dy*BdAelemenuntuk
Ix*B
S*Dτ
q = 5 kN/m’
15 m 2 m2.5 m
A B
VA = 50.375 kN VB = 47.125 kN
Hitung dan gambarkan diagram tegangan geser pada posisi tumpuan A dan B.
q = 5 kN/m’
15 m 2 m2.5 m
A B
VA = 50.375 kN VB = 47.125 kN
12.5
37.875
37.125
10+
+
-
-
Bid D
7.575 7.425
-
Gaya geser maksimum pada tumpuan
A = 37.875 kN B = 37.125 kN
Statis momen bagian I : S1 = 30*10*35 cm3 = 10500 cm3
S1 = 0.0105 m3
Untuk B = 30 cm
MPa0.13125τ1
kN/m131.250.0101*0.3
0.0105*37.875
BIx
DSτ1
2
Untuk B = 15 cm
MPa2625.0τ2
kN/m5.6220.0101*0.15
0.0105*37.875
BIx
DSτ2
2
MPa0.2625τ1*0.15
0.3τ2
Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN B = 37.125 kN
Ix = 1/12*30*803 – 2*1/12*7.5*603
Ix = 1010000 cm4
Ix = 1010000 cm4
Statis momen bagian II : S1 = 30*10*35 cm3 = 10500 cm3
S1 = 0.0105 m3
S2 = S1 + 0.3*0.15*0.15 S2 = 0.0105 + 0.00675 = 0.01725 m3
MPa0.43125τ3
kN/m25.3140.0101*0.15
0.01725*37.875
BIx
DSτ3
2
Untuk B = 15 cm
Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN B = 37.125 kN
MPa42271.00.43125*875.37
125.37τ3
MPa12865.00.13125*875.37
125.37τ1
0.2573MPa0.2625*37.875
37.125τ2
Tegangan geser pada titik B
Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN B = 37.125 kN
Diagram tegangan geser pada tumpuan A
Diagram tegangan geser pada tumpuan B
Pada soal yang sama bagaimana jika penampang seperti pada gambar di samping
Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN dan pada tumpuan B = 37.125 kN
Statis momen bagian I : S1 = 30*10*35 cm3 = 10500 cm3
S1 = 0.0105 m3
Statis momen bagian II : S2 = S1 + 0.05*0.15*0.275 S2 = 0.0105 + 0.00675 = 0.01256 m3
Statis momen bagian III : S3 = S1 + S2 + 0.5*0.05*0.252= S3 = 0.01256 + 0.00156 = 0.01412 m3
Ix = 905833.333 cm4
Statis momen bagian I : S1 = 30*10*35 cm3 = 10500 cm3
S1 = 0.0105 m3
Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN
MPa0.146348τ1
kN/m348.4610.009058*0.3
0.0105*37.875
BIx
DSτ1
2
MPa2927.0τ2
kN/m697.2920.009058*0.15
0.0105*37.875
BIx
DSτ2
2
Ix = 905833.333 cm4
Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN dan pada tumpuan B = 37.125 kN
Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN
MPa0.350τ3
kN/m121.3500.009058*0.15
0.01256*37.875
BIx
DSτ3
2
MPa050.1τ4
kN/m364.10500.009058*0.05
0.01256*37.875
BIx
DSτ4
2
Statis momen bagian II : S2 = S1 + 0.05*0.15*0.275 S2 = 0.0105 + 0.00675 = 0.01256 m3
Ix = 905833.333 cm4
Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN dan pada tumpuan B = 37.125 kN
Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN
MPa181.1τ5
kN/m11810.009058*0.05
0.01412*37.875
BIx
DSτ5
2
Statis momen bagian III : S3 = S1 + S2 + 0.5*0.05*0.252= S3 = 0.01256 + 0.00156 = 0.01412 m3
Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN dan pada tumpuan B = 37.125 kN
Ix = 905833.333 cm4
Diagram tegangan geser pada tumpuan A
Diagram tegangan geser pada tumpuan B
Hitung dan gambarkan diagram tegangan normal dan tegangan geser pada posisi momen negatif maksimum , momen positif maksimum dan pada posisi beban P
VA = (5*19.5*7.75 + 10*5.5)/15 = 54.04167 kN (↑) VB = (5*19.5*7.25 + 10*9.5)/15 = 53.45833 kN (↑)
M+maks = 156.946 kNm
M- maks = 15.625 kNm Pada posisi momen positif maksimum, D = 0 kN N = 200 kN (tekan) Pada posisi momen negatif maksimum, D = 41.54167 kN N = 200 kN (tekan) Pada posisi beban P M = 153.3959 kNm (+) N = 200 kN (tekan) D = 15.95833 kN
Pada posisi momen negatif maksimum, M = 15.625 kNm D = 41.54167 kN N = 200 kN (tekan)
A = 1000 cm2
Ix = 905833.333 cm4
MPa2kN/m2000kN/m0.1
200σ1
22
MPa0.690kN/m689.97270.00905833
0.4*15.625σ3σ2
2
Gaya geser maksimum pada tumpuan A = 37.875 kN dan pada tumpuan B = 37.125 kN
Statis momen bagian I : S1 = 30*10*35 cm3 = 10500 cm3
S1 = 0.0105 m3
Statis momen bagian II : S2 = S1 + 0.05*0.15*0.275 S2 = 0.0105 + 0.00675 = 0.01256 m3
Statis momen bagian III : S3 = S1 + S2 + 0.5*0.05*0.252= S3 = 0.01256 + 0.00156 = 0.01412 m3
Gaya geser D = 41.54167 kN
Ix = 905833.333 cm4
MPa1605.00.146348*875.37
54167.41τ1
MPa321.02927.0*875.37
54167.41τ2
MPa384.00.350*875.37
54167.41τ3
MPa2625.1050.1*875.37
54167.45τ4
MPa295.1181.1*875.37
54167.41τ3
Pada posisi momen negatif maksimum, D = 41.54167 kN
Pada posisi momen negatif maksimum, D = 41.54167 kN
Pada posisi momen positif maksimum, M = 156.946 kNm D = 0 kN N = 200 kN (tekan)
A = 1000 cm2
Ix = 905833.333 cm4
MPa2kN/m2000kN/m0.1
200σ1
22
MPa93.6kN/m6930.46070.00905833
0.4*156.946σ3σ2
2
Pada posisi Beban P, M = 153.3959 kNm D = 15.95833 kN N = 200 kN (tekan)
A = 1000 cm2
Ix = 905833.333 cm4
MPa2kN/m2000kN/m0.1
200σ1
22
MPa77.6kN/m6945.77360.00905833
0.4*153.3959σ3σ2
2
MPa0617.00.146348*875.37
95833.15τ1
MPa123.02927.0*875.37
95833.15τ2
MPa1475.00.350*875.37
95833.15τ3
MPa442.0050.1*875.37
95833.15τ4
MPa498.0181.1*875.37
95833.15τ3
Pada posisi momen negatif maksimum, D = 15.95833 kN
Pada posisi momen negatif maksimum, D = 15.95833 kN
Balok di atas 2 tumpuan menderita beban merata q = 2 kN/m dan P = 5 kN ( seperti terlihat
dalam gambar ). Penampang Balok seperti terlihat pada potongan I-I.
a. Hitung dan Gambarkan diagram tegangan normal ( ) yang terjadi akibat beban tersebut
pada penampang di titik 1
b. Hitung dan Gambarkan diagram tegangan normal ( ) yang terjadi akibat beban tersebut
pada penampang di titik 2
c. Hitung dan Gambarkan diagram tegangan geser ( t ) yang terjadi akibat beban tersebut pada
penampang di titik 1
d. Hitung dan Gambarkan diagram tegangan geser ( t ) yang terjadi akibat beban tersebut pada
penampang di titik 2
Potongan I-I
Ukuran Penampang dalam cm
Potongan I-I
Ukuran Penampang dalam cm
VA = (5sin60*3 + 2*11.5*(11.5/2-2))/8 = 12.405 kN (↑) VB = (5sin60*5 + 2*11.5*(11.5/2-1.5))/8 = 14.925 kN (↑) HA = 2.5 kN (→)
Gaya dalam pada titik 1 : N = 2.5 kN (tekan) M = 12.405 * 3.5 – 0.5*2*52 = 18.4175 kN m(+) D = 12.405 – 2*5 = 2.405 kN
Gaya dalam pada titik 2 : N = 0 M = 14.925 * 1 – 0.5*2*32 = 5.925 kN m (+) D = 12.405 – 2*8.5 – 5sin60 = -8.925 kN
Tidak
dianjurkan
untuk
membuatnya
Tidak dianjurkan untuk membuatnya
2cm4425A
25*3015*8515*6540*4515*75A
cm39.534y
4425
45*25*30
7.5*15*8522.5*15*65
50*40*4577.5*15*75
y
4
23
23
23
23
23
cm665.3634663I
39.534)-(45*25*30-30*25*12
1
39.534)-(7.5*15*8515*85*12
1
39.534)-(22.5*15*6515*65*12
1
39.534)-(50*40*4540*45*12
1
39.534)-(77.5*15*7515*75*12
1I
x
x
2cm4425A
cm39.534yb
4cm665.3634663I x
cm466.54ya
Gaya dalam pada titik 1 : N = 2.5 kN (tekan) M = 18.4175 kN m(+)
(tekan)MPa236034.0kN/m034.236σa
6650.03634663
0.45466*18.4175
0.4425
2.5σa
Ix
ya*M
A
Nσa
2
(tarik)MPa0.194676kN/m676.194σb
6650.03634663
0.39534*18.4175
0.4425
2.5σb
Ix
yb*M
A
Nσb
2
Diagram tegangan normal pada titik 1 :
2cm4425A
cm39.534yb
4cm665.3634663I x
cm466.54ya
(tekan)MPa0.074116kN/m116.74σa
6650.03634663
0.45466*5.925σa
Ix
ya*Mσa
2
(tarik)MPa064446.0kN/m446.64σb
6650.03634663
0.39534*5.925σb
Ix
yb*Mσb
2
Gaya dalam pada titik 2 : N = 0 M = 5.925 kN m (+)
Diagram tegangan normal pada titik 2 :
S1 = 75*15*37.966 = 42711.75 cm3
S2 = 45*10*25.466 = 11459.7 cm3
S3 = 2*10*20.466*0.5*20.466 = 4188.572 cm3
S5 = 65*15*17.034 = 16608.15 cm3
S4 = 2*10*9.534*0.5*9.534 = 908.972 cm3
S6 = 85*15*32.034 = 40843.35 cm3
Tegangan geser pada titik 1 :
t1 = (2.405*0.04271175)/(0.75*0.03634663) = 3.768 kN/m2 = 0.003768 MPa
D = 2.405 kN
t3= (2.405*0.05417145)/(0.45*0.03634663) = 7.965 kN/m2 = 0.00797 MPa
t5= (2.405*0.058360022)/(0.20*0.03634663) = 19.308 kN/m2 = 0.019308 MPa
t2 = 75/45*3.768 kN/m2 = 6.28 kN/m2 = 0.00628 MPa
t4= 45/20* 7.965 kN/m2 = 17.921 kN/m2 = 0.017921 MPa
Tegangan geser pada titik 1 :
t9 = (2.405*0.04084335)/(0.85*0.03634663) = 3.179 kN/m2 = 0.003179 MPa
D = 2.405 kN
t7= (2.405*0.0574515)/(0.65*0.03634663) = 5.848 kN/m2 = 0.005848MPa
t8 = 85/65*3.719 kN/m2 = 4.863 kN/m2 = 0.004863 MPa
t6= 65/20* 5.848 kN/m2 = 19.007 kN/m2 = 0.019007 MPa
t5= (2.405*0.058360472)/(0.20*0.03634663) = 19.308 kN/m2 = 0.019308 MPa
Tegangan geser pada titik 1 : D = 2.405 kN
Satuan tegangan geser MPa
Tegangan geser pada titik 2 : D = -8.925 kN
Satuan tegangan geser MPa
Untuk mencari tegangan geser pada titik 2, maka semua nilai tegangan pada titik 1 dikalikan dengan faktor 8.925/2.405
Tegangan Normal Akibat Kombinasi Gaya Normal Eksentris dan Momen Lentur
e = jarak titik tangkap gaya normal terhadap titik berat penampang
e = eksentrisitas gaya normal
Bagaimana menghitung tegangan akibat gaya normal eksentris ?
Pada balok bekerja beban P eksentris
Pada balok bekerja beban P eksentris dan dua beban tambahan yang besarnya sama dengan P dan bekerja saling berlawanan arah.
Me = P*e
Me = P*e
Akibat gaya normal eksentris P yang bekerja pada penampang balok, maka “seolah-olah” pada balok bekerja dua gaya yaitu gaya normal sentris P dan momen Me.
Momen Me juga biasa dikenal dengan nama “momen eksentris”
Analisa tegangan pada balok yang menerima gaya normal eksentris
sama seperti analisa tegangan balok yang menerima gaya normal
sentris dan momen lentur
Ix
y*e*P
A
Pσ
Ix
y*Me
A
Pσ
Contoh :
Balok AB menderita beban q = 5 kN/m’ dan beban terpusat P = 50 kN sebagaimana terlihat pada gambar. Balok juga menderita gaya normal eksentris N = 200 kN. Gaya normal N bekerja pada titik A. Hitung tegangan normal dan tegangan geser maksimum pada posisi momen positif maksimum dan momen negatif maksimum dan gambarkan diagram tegangan normal dan tegangan geser pada kedua posisi tersebut.
20.0
02
0.0
02
0.0
0
15.00 15.0015.00 15.0020.00
10
.00
40.00
A
X
Y
Contoh :
Gaya geser pada titik A ada dua yaitu D = -12.5 kN dan D = +56.20833kN Gaya geser pada titik P dapat dihitung dengan pendekatan D = 68.70833 – 12*5= 8.708 kN
Contoh :
Pada titik P terdapat dua gaya geser (karena adanya lompatan gaya geser). Gaya geser kedua diperoleh dari 8.708 – 50 = - 41.29167 kN Dengan gaya geser D pada posisi titik P yang berubah dari positif menjadi negatif, maka momen maksimum akan terjadi pada titik P.
Contoh :
Momen positif maksimum dapat dihitung dengan rumus : MX = -1/2*q*122 + VA*9.5 MX = -1/2*5*122 + 68.70833*9.5 = 292.729 kNm
Contoh :
Contoh :
A = 80*20 + 40*50 – 20*20 cm2 = 3200 cm2 = 0.32 m2
m0.3375cm33.75y
30)/3200*20*2020*50*4050*20*(80y
2
0.0
02
0.0
02
0.0
0
15.00 15.0015.00 15.0020.00
10
.00
40.00
A
X
Y
24
222
333
m0.011017cm71101666.66Ix
33.75)-(30*20*20-33.75)-(20*40*5033.75)-(50*20*80
20*20*12
1-40*50*
12
120*80*
12
1Ix
A = 3200 cm2 = 0.32 m2
m0.3375cm33.75y
30)/3200*20*2020*50*4050*20*(80y
20.0
02
0.0
02
0.0
0
15.00 15.0015.00 15.0020.00
10
.00
40.00
A
33
.75
X
Y
Contoh :
A = 3200 cm2 = 0.32 m2
Gaya dalam pada posisi Momen positif maksimum : ML = 292.729 kNm (+) ex= 33.75 – 10 cm = 23.75 cm Mex = 200*0.2375 = 47.5 kNm
24m0.011017cm71101666.66Ix
20.0
02
0.0
02
0.0
0
15.00 15.0015.00 15.0020.00
10
.00
40.00
A
33
.75
X
Y
Contoh : A = 3200 cm2 = 0.32 m2
24m0.011017cm71101666.66Ix
2
3
1
+ +2
0.0
02
0.0
02
0.0
0
15.00 15.0015.00 15.0020.00
10
.00
40.00
A
X
Y
4
5
N = 200 kN
Mex = 47.5 kNm
ML = 292.729 kNm
(tekan)MPa6.468kNm/m6468.026σa
0.011017
0.2625*292.729
0.011017
0.2625*47.5
0.32
200σa
2
Contoh : A = 3200 cm2 = 0.32 m2
24m0.011017cm71101666.66Ix
2
3
1
+ +2
0.0
02
0.0
02
0.0
0
15.00 15.0015.00 15.0020.00
10
.00
40.00
A
X
Y
4
5
N = 200 kN
Mex = 47.5 kNm
ML = 292.729 kNm
(tarik)MPa6.888kNm/m461.8876σb
0.011017
0.3375*292.729
0.011017
0.3375*47.5
0.32
200σb
2
Contoh :
20.0
02
0.0
02
0.0
0
15.00 15.0015.00 15.0020.001
0.0
0
40.00
A
X
Y
a=6.468
b=6.888
30
.94
33
.75
Contoh :
A = 3200 cm2 = 0.32 m2
Gaya dalam pada posisi tumpuan : ML = 15.625 kNm (-) N = 200 kN ex= 33.75 – 10 cm = 23.75 cm Mex = 200*0.2375 = 47.5 kNm
24m0.011017cm71101666.66Ix
20.0
02
0.0
02
0.0
0
15.00 15.0015.00 15.0020.00
10
.00
40.00
A
33
.75
X
Y
Contoh : A = 3200 cm2 = 0.32 m2
24m0.011017cm71101666.66Ix
(tarik)MPa798.0-kNm/m068.879σa
0.011017
0.2625*15.625
0.011017
0.2625*47.5
0.32
200σa
2
4
5
1
++2
0.0
02
0.0
02
0.0
0
15.00 15.0015.00 15.0020.00
10
.00
40.00
A
X
Y
2
3
N = 200 kN
Mex = 47.5 kNm
ML = 15.625 kNm
Contoh : A = 3200 cm2 = 0.32 m2
24m0.011017cm71101666.66Ix
(tekan)MPa2.559kNm/m801.2558σb
0.011017
0.3375*15.625
0.011017
0.3375*47.5
0.32
200σb
2
4
5
1
++2
0.0
02
0.0
02
0.0
0
15.00 15.0015.00 15.0020.00
10
.00
40.00
A
X
Y
2
3
N = 200 kN
Mex = 47.5 kNm
ML = 15.625 kNm
Contoh :
20.0
02
0.0
02
0.0
0
15.00 15.0015.00 15.0020.00
10
.00
40.00
A
X
Y
a=0.879
b=2.559
44
.66
33
.75