GARDJITO2006
Selamat Pagi ...........!!!Nama saya:
GARDJITO
Semoga Tidak Mengantuk !!!
Who cares?!!
I KNOW WHAT YOU’RE THINKING, GUYS !!!
GARDJITO2006
Bisa dianalisis dan dihitung dalam kuliah ..
Bahan untuk konstruksi bangunan ini kekuatannya berapa ya?!
KEKUATAN BAHANGARDJITO2006
GARDJITO2006
PENDAHULUAN
Ilmu Kekuatan Bahan (Strength of Materials) termasuk Ilmu Mekanika terutama untuk bahan padat (Mechanics of Solid Materials)
Pengertian:
Analisis mengenai reaksi internal (tegangan dan deformasi) dari suatu bahan dengan konstruksi tertentu yang menahan beban
Ilmu gaya dan sifat-sifat (mekanis, fisik dan kimiawi) bahan merupakan ilmu-ilmu dasar yang diperlukan dalam analisis, selain matematika dan fisika
GARDJITO2006
Reaksi Internal:
P1
P2
Tegangan (Stress)
Deformasi (Deformation)
C M
Akibat pembebanan yang dapat berupa gaya tekan (P1), gaya tarik (P2), momen (M) dan atau kopel (C), timbul reaksi-reaksi internal berupa tegangan (stress) dan perubahan bentuk atau deformasi (deformation)
Reaksi Internal
GARDJITO2006
Pembebanan• Jenis pembebanan (loading) bervariasi menurut tipe atau
macam konstruksi dasar dari bangunan yang dipakai, yaitu beban aksial pada konstruksi batang (rod), beban lateral, momen titik dan kopel pada konstruksi balok (beam), beban aksial pada konstruksi kolom (column), dan beban puntir/torsional pada konstruksi poros (shaft), serta kombinasi dari berbagai beban tersebut
• Berdasarkan garis/cara kerjanya, pembebanan dapat dibedakan menjadi beban-beban terpusat (concentrated loads) dan beban-beban tersebar (distributed loads); sedangkan terhadap waktu dapat dibedakan menjadi beban statis (besaran dan arah tetap sepanjang waktu) dan beban dinamis (besaran dan arah berubah sepanjang waktu)
CATATAN: Dalam analisis kekuatan bahan ini lebih dikonsentrasikan pada beban-beban bersifat statis
• Semua beban dalam kondisi equilibrium, yaitu aksi = reaksi
GARDJITO2006
batang tekanP P
batang tarikP P
P
R1 R2
w
balok M
kolom
P
P
porosT T
(2)
(1)
(3)
(4)
Empat macam konstruksi dasar dengan pembebanannya, dalam bentuk diagram badan bebas
GARDJITO2006
Sifat-Sifat Penampang (Cross Section Properties)
b
hr
D
Dimensi-1 (panjang): b, h, D, r (satuan: m) [L1]
Dimensi-2 (luas): A (satuan: m2) [L2]
Dimensi-3 (modulus penampang): Z (satuan: m3) [L3]
Dimensi-4 (inersia): I (satuan: m4) [L4]
GARDJITO2006
P σ P
A
TARIKAN DAN TEKANAN(Tension and Compression)
Suatu batang dengan penampang A dan panjang L mengalami gaya tarik (tension) sebesar P, maka akan terjadi tegangan tarik σ sebagai reaksi internalnya. Gaya P bekerja pada centroid penampang batang.
Besarnya tegangan tarik σ (rata-rata) dapat dihitung dengan rumus rancangan sebagai berikut (tegangan yang timbul harus lebih kecil atau sama dengan tegangan ijin atau tegangan kerja):
Dimana σ adalah tegangan ijin/kerja (N/m2)
L
σ = P/A ≤ σ
GARDJITO2006
Kesetimbangan yang terjadi bila penampang A yang kita amati membentuk
sudut α (miring) adalah bahwa reaksi internal pada penampang tersebut
berupa tegangan normal σ dan tegangan geser τ seperti yang terlihat pada bagan badan bebas berikut ini:
αP
σ
τP
A
0.5
0.0
-0.5
1.0
-1.0
45º0º 135º90º 180º
σ
τ
Variasi sudut α dari 0º sampai 180º memberikan nilai-nilai σ dan τ seperti pada garafik, dimana:
τ max = 0.5 σmax
GARDJITO2006
Akibat gaya tarik, suatu batang akan mengalami perpanjangan sebesar ΔL. Pada kondisi elastis, berlaku Hukum Hooke σ = Εε.
P P
ΔLL
Karena tegangan rata-rata σ = P/A dan regangan ε = ΔL/ L, maka nilai ΔL akibat tarikan dapat dituliskan dalam rumus rancangan sebagai berikut:
P L
ΔL = ----------- ≤ ΔL
A Ε
Catatan: Rumus-rumus tegangan dan deformasi untuk tarikan (tension) sama dengan tekanan (compression), hanya saja σ dan ΔL untuk tekanan dalam perhitungan bertanda negatif (-).
Asumsi: tidak ada perubahan pada penampang selama terjadi perpanjangan (tarikan) atau perpendekan (tekanan).
GARDJITO2006
PP
ΔL L
d D
Bila pada tarikan terjadi perubahan dimensi dari penampang dengan diameter D menjadi d, atau luas penampang (A) menjadi lebih kecil, maka kemungkinan regangan akan terjadi pada arah sb X, Y, dan Z, dengan rumus sebagai berikut:
εx = 1/Ε[σx – μ(σy + σz)]
εy = 1/Ε[σy – μ(σx + σz)]
εz = 1/Ε[σz – μ(σx + σy)]
Dimana μ adalah Poisson’s Ratio
GARDJITO2006
TEGANGAN GESER LANGSUNG(Direct Shear Stresses)
Definisi:
Tegangan geser (shear stress, τ) adalah tegangan yang bekerja sejajar
pada suatu bidang penampang, dimana τ = P/A (gaya geser dibagi luas
penampang), dan tegak lurus terhadap tegangan normal σ
a
a τ
σA
Asumsi: tidak ada perubahan pada penampang selama terjadi geseran pada batang, sehingga yang terjadi adalah tegangan geser rata-rata.
GARDJITO2006
Deformasi Akibat Geseran (Regangan Geser = Shear Strain)
γ
γ merupakan regangan geser (shear strain) karena adanya geseran pada penampang batang. Dalam keadaan elastis, maka berlaku Hukum Hooke untuk
geseran, yaitu: τ = G γ, dimana G adalah modulus kekakuan untuk geseran.
Aplikasi:
a. Pelubangan pelat (punching)
b. Uji tarik spesimen kayu dngan lem
c. Sambungan paku keling (rivet)
d. Sambungan las (welded joints)
e. Kunci pengikat (key)
f. Pasak (splines)
τ
τ
elemen elemen
GARDJITO2006
pelat
puncher
P
Bidanggeser (A)
a. Pelubangan pelat (punching)
Luas bidang geser A dihitung dengan rumus berikut:
Rumus rancangan untuk geseran adalah: τ = P/A ≤ τ
D
t
A = πD x t
P
τ
GARDJITO2006
b. Sambungan paku keling
P
PP
P/2
P/2
A
A1
A2Tampang -2
Tampang -1
A = πd2/4
GARDJITO2006
t
f
L
c. Sambungan las
P
b
L
tBidang geser A)
Bahan las
A = L x t
P
a
P
P/2P/2
P
T
T
D
A = π D x t
GARDJITO2006
d. Kunci atau pasak (Key or Spline)
+ T
F
d
T = F x d/2
kunci
F
L
tA = L x t
FBidang geser A
+
T2T1 D
Garis bidang geser
pulley
pulley
Shaft dengan ujung berbentuk spline
shaft
τ = F / A ≤ τ
GARDJITO2006 GARDJITO2005
GARDJITO2006
GAYA GESER DAN MOMEN LENTUR(Shearing Force and Bending Moment)
Balok Sederhana (Simple Beam):
Adalah balok yang didukung secara bebas di kedua ujungnya. Dukungan secara bebas memberikan implikasi bahwa kedua titik dukung tersebut hanya mampu memberikan gaya pada balok dan tidak mampu memberikan momen.
P w
M
Balok Kantilever (Cantilever Beam):
Adalah balok yang hanya didukung pada salah satu ujungnya, sedangkan ujung lain bebas
P w
GARDJITO2006
M
PP2 P3P1
Balok Gantung (Overhanging Beam)
Balok Statis Tertentu (Statically Determinate Beam)
Balok Statis Taktentu (Statically Indeterminate Beam)
M
P
R1
R3 R4
R2
w
M
P
R1 R2
ΣF = 0 dan Σ M = 0ΣF = 0; Σ M = 0; danPersamaan Deformasi
GARDJITO2006
P1 P2
R1
BA C D
P3 P4
R2
V
M
x
a
b
Gaya dan Momen Internal dalam Balok
Gaya Penahan (Resisting Force) pada penampang D :
ΣMD = M - R1(x) + P1(x - a) + P2(x - b) = 0 M = R1(x) - P1(x - a) - P2(x - b)
ΣFV= R1 - P1 - P2 – V = 0 V = R1 - P1 - P2
Momen Penahan (Resisting Moment) pada penampang D:
GARDJITO2006
Lenturan Positif
Geseran Positif
Dari analisis momen dan gaya internal tersebut, maka dapat dikatakan bahwa gaya penahan merupakan gaya geser (shearing force), sedangkan momen penahan merupakan momen lentur (bending moment) yang timbul di dalam konstruksi balok akibat pembebanan tertentu, yang dapat dituliskan dalam persamaan dasar dalam fungsi x sbb:
Mx = R1(x) – P1(x – a) – P2(x – b) - ........
Vx = R1 – P1 – P2 - ........
Konvensi Tanda:
Lenturan Negatif
Geseran Negatif
GARDJITO2006
Hubungan antara Intensitas Beban, Gaya Geser dan Momen Lentur :
Balok sederhana dengan beban bervariasi w(x)
VV + dV
M + dMM
dx
w Nm-1
Dari diagram badan bebas elemen diperoleh:
ΣFv = wdx + V –V - dV = 0, maka w = dV/dx
ΣMo = M – (M + dM) + Vdx + wdx(dx/2) = 0
dM = Vdx + 1/2w(dx) 2
Suku terakhir dapat diabaikan sehingga:
dM = Vdx atau V = dM/dx
dVw = ------- dx
dMV = ------- dx
O
w(x)
x dx
x
R1 R2
GARDJITO2006
Fungsi Singularitas (Singularity Function / Half-range Function):
fn(x) = ‹x – a›n
Untuk n>0 → ‹x - a›n = 0 bila x<a
‹x - a›n = (x – a)n bila x>a
Integrasi dengan fungsi jarak-paruh (Integration with half-range function):
x ‹x - a›n+1
∫-∞ ‹y - a›n dy = ----------------- untuk n>0 n + 1
x 0 bila x<a
∫-∞ ‹y - a›-1 dy = ‹x - a›0 → = { untuk n = -1 1 bila x>a
x
∫-∞ ‹y - a›-2 dy = ‹x - a›-1 untuk n= - 2
GARDJITO2006
Tipe Pembebanan Fungsi Singularitas Gambaran Piktorial
Momen terpusat w(x) = Wo‹x - a›-2 O x
a Mo
Gaya terpusat w(x) = Fo‹x - a›-1
Fo
O x
a
Beban tersebar merata w(x) = wo‹x - a›0
wo
O x
a
Beban bervariasi linier w(x) = dw/dx‹x - a›1
dw/dx
O x
a
Beban bervariasi kwadratis
w(x) = C‹x - a›2/2 C = d2w/dx2 O x
a
GARDJITO2006
Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur:
Beban terpusat:
R2
V
R1
M
Mmax
Persamaan:
0 < x < a
Vx = R1 (3)
Mx = R1x (4)
a < x < L
Vx = R1 – P (5)
Mx = R1x – P(x – a) (6)
Reaksi-reaksi:
R1 = P(L – a)/L (1)
R2 = Pa/L (2)
O
x
x
R1 R2
a b
P
L
x
GARDJITO2006
Beban tersebar merata:
x/2
x
O
w Nm -1
x
R1 R2L
wx
R1
R2
V
M
Mmax
Persamaan:
0 < x < L
Vx = R1 – wx (3)
Mx = R1x – wx2/2 (4)
Reaksi-reaksi:
R1 = wL/2 (1)
R2 = wL/2 (2)
GARDJITO2006
×Balok kantilever dengan beban terpusat:
Reaksi-reaksi:
R = P (1)
M1 = PL (2)
Persamaan:
0 < x < L
Vx = – P (3)
Mx = – Px (4)
V
RP
M
- PL
P
R
M1
x
L
O
GARDJITO2006
Balok kantilever dengan beban tersebar merata:
Reaksi-reaksi:
R = wL (1)
M1 = wL2/2 (2)
Persamaan:
0 < x < L
Vx = – wx (3)
Mx = – wx2/2 (4)
x/2
V
-wL
M
-wL2 /2
M1
R
xL
w Nm-1
O
wx
GARDJITO2006
TEGANGAN DALAM BALOK(Stresses in Beam)
Pengaruh Pembebanan pada Balok:
1. Menimbulkan tegangan-tegangan dalam balok baik tegangan normal σ (tegangan lentur) maupun tegangan geser τ pada suatu penampang di sepanjang balok dan tegak lurus sumbu balok.
2. Menimbulkan defleksi y (lendutan) pada arah tegak lurus terhadap sumbu longitudinal balok
Pa aP
• Lenturan akibat gaya-gaya yang membentuk kopel disebut lenturan murni (pure bending)
• Lenturan akibat gaya-gaya yang tidak membentuk kopel disebut lenturan biasa (ordinary bending)
GARDJITO2006
P
x
w Nm-1
S N
S
Na
Sumbu Netral dan Permukaan Netral pada Balok Elastis
NS
y
σ
σ
σ
σ
NS 0
GARDJITO2006
Tegangan Lentur pada Balok Elastis
Keterangan:
O = pusat lengkungan kurva balok terlentur
R = radius lengkungan kurva
PN = permukaan netral
a
y
a
c
b
e
d
f
bR
O
MM
NP
Analisis geometri:
ΔcOd dan Δedf sebangun: ef de yε = ---- = ---- = ---- cd Oc R Eyσ = Eε → σ = ---- R EydF = σda → dF = ---- da R Ey E∫ ---- da = --- ∫ yda = 0 R RDalam hal ini ∫ yda = 0∫ yda = yA = 0 → y = 0;
Yaitu sumbu netral selalui melalui centroid.
GARDJITO2006
Momen yang diakibatkan gaya elemental dF terhadap sumbu netral adalah:
Ey2
dM = ∫ ---- da
R
Karena ∫ y2 da = I, maka:
EI
M = -----
R
Ey My Mc
Karena σ = ----- → σ = ------ → σ = ------
R I I
Mc
σ = ------
I
M
σ = ------
Z
I
Z = ------
c
GARDJITO2006
Tegangan Geser pada Balok Elastis
yoc
S N
bdx
M+dMM
a
a
b
b
c dτ
σ pada penampang a – a:
My
σ = ------
I
σ pada penampang b – b:
(M + dM)yσ’ = -------------- Idimana M adalah momen lentur
Equilibrium gaya pada elemen acdb: Myσda = ------ da pada penampang a-c I c My c (M+dM)yΣ Fh = ∫ ----- da = ∫ ------------- da + τbdx = 0 yo I yo I 1 dM c dMτ = --- ---- ∫ yda dimana ----- adalah = V Ib dx yo dx
Perhatikan elemen sepanjang dx dari suatu balok:
GARDJITO2006
V c
τ = ---- ∫ yda Ib yo
V Q
τ = --------
Ib
3V
τ = --------
2A
4V
τ = --------
3A
Dari analisis tersebut maka didapatkan persamaan gaya geser sebagai:
Untuk bentuk-bentuk penampang tertentu dapat diturunkan rumus-rumus sebagai berikut:
GARDJITO2006
DEFLEKSI ELASTIS DARI BALOK(Elastic Deflection of BeamS)
Definisi defleksi: adalah deformasi balok berupa simpangan titik-titik penampang sepanjang balof pada arah tegak lurus sumbu longitudinal balok yang dinyatakan sebagai defleksi y
O x
R1 R2
x
P
L
P
Ox
y
GARDJITO2006
A. Metoda Integrasi Ganda (Double Integration Method)
O x
yR
M = EI/R → 1/R = M/EI dimana 1/R mewakili kurva lengkungan dari permukaan netral
Dari kalkulus, rumus kurva lengkungan dengan jari-jari R adalah:
1 d2y/dx2 1 d2y M
---- = -----------------------, karena (dy/dx)2 sangat kecil, maka ---- = ----- = -----
R [1 + (dy/dx)2]x/2 R dx2 EI
d2y
EI ----- = M
dx2
dy
EI ---- = ∫ M + C1
dx
EIy = ∫ ∫ M + C1x + C2
Didapat persamaan Euler-Bernoulli, kemudian diintegrasikan dua kali:
GARDJITO2006
Beban terpusat:
0 < x < 1
Mx = R1x = 15x (4)
EI(d2y/dx2) = 15x (5)
EI(dy/dx) = 15x2/2 + C1 (6)
EIy = 15x3/6 + C1x + C2 (7)
Reaksi-reaksi:
R1 + R2 = 20 kN (1)
R2 = (20)(1)/4 = 5 kN (2)
R1 = 20 – 5 = 15 kN (3)
1 < x < 4
Mx =1 5x – 20(x – 1) (8)EI(d2y/dx2) = 15x – 20(x - 1) (9)EI(dy/dx) =1 5x2/2 + 20(x – 1)2 /2 + C3 (10)
EIy = 15x3/6 + 20(x – 1)3/6 + C3x + C4 (11)
O
x
x
R1 R2
1 3
20 kN
4 m
x
Pada x = 0, y = 0
Pers. (7):
0 = 0 + 0 + C2 = 0 → C2 = 0 (12)
Pada x = 4, y = 0
Pers. (11):
0 = (15)(4)3/6 + (20)(4 – 1)3/6 + 4C3 + C4
4C3 + C4 = - 160 – 90 = - 250 (13)
Pada x = 1, pers. (6) = pers. (10):
15/2+ C1 = 15/2 + C3 → C1 = C3 (14)
Pada x = 1, pers. (7) = pers. (11):
15/6 + C1 = 15/6 + C3 + C4 → C4 = 0 (15)
Maka C1 = C3 = - 250/4 = 62.5
GARDJITO2006
B. Metoda Momen Luasan (Moment-Area Method)
AxB
tangen di A
tangen di B
Δθ
dx x
Digram momen lentur dibawah kurva AB
Teorema momen luasan pertama:
Sudut antara tangen di A dan di B sama dengan luas diagram momen lentur antara ke dua titik dibagi dengan perkalian EI.
Mdx
θ = ∫ -------
EIA
B
Teorema momen luasan kedua:
Jarak vertikal titik B pada kurva defleksi dari tangen di A (Δ) sama dengan momen terhadap garis vertikal melalui B dari luasan diagram momen lentur antara A dan B dibagi dengan perkalian EI.
Mxdx
Δ = ∫ --------
EIA
B
GARDJITO2006
Penurunan Teorema Momen Luasan Pertama dan Kedua:
Adθ
B
tangen di A
tangen di B
θ
dx x
Digram momen lentur dibawah kurva AB
b
R
xdθ
M
ds
dθ
M
EI
M = ------ (1)
R
ds = Rdθ → R = ds/dθ
Substitusi ke pers. (1):
M
dθ = ---- ds
EI
Elemen ds = dx, maka:
M
dθ = ---- dx
EI
B Mdx
θ = ∫ dθ = ∫ ----- A EI
Mxdx B Mxdx
xdθ = ------- → Bb = ∫ ------- = Δ
EI A EI
GARDJITO2006
Perhitungan luasan dibawah kurva x pangkat dua dan pangkat tiga:
y
x
h
y = ax2
y
b
x dx
O
x
y
h
y = ax3
bO
Luas elemen dA = ydx
b b
A = ∫ ydx = ∫ ax2 dx = (1/3) a[x3] o o
A = (1/3)ab3
Pada x = b → y = h, maka a = h/b2
Jadi: A = bh/3
Jarak centroid: x = (3/4)b
Dengan cara yang sama, untuk persamaan pangkat tiga didapat:
A = bh/4
x = (4/5)b
GARDJITO2006
PA
BL
tangen di A
tangen di B
θΔ
-PL
EI Δ = ∫ Mxdx
EI Δ = [(-PL)(L/2)][(2/3)(l)]
EI Δ = -PL3/3
Δ = - PL3/3EI
EI θ = ∫ Mdx
EI θ = [(-PL)(L/2)]
EI θ = -PL2/2
θ = - PL2/2EI
Momen luasan diambil terhadap garis vertikal melalui ttk B (dibawah garis kerja gaya P)
GARDJITO2006
wL2
2
A
BL
tangen di A
Δ
w Nm-1
EI Δ = ∫ Mxdx
EI Δ = [(-wL2/2)(L/3)][(3/4)(L)]
EI Δ = -wL4/8
Δ = -wL4/8EI
Momen luasan diambil terhadap garis vertikal melalui ttk B (dibawah garis kerja gaya P)
CATATAN UMUM:
• Rumus umum untuk Δ adalah:
EI Δ = Σ[ A ][ x ]
• Δ belum tentu menunjukkan nilai defleksi suatu balok
GARDJITO2006
C. Metoda Fungsi Singularitas (Method of Singularity Function)
dVw = ------- dx
dMV = ------- dx
d2y
M = EI -----
dx2 d4yw = ------- dx4
d3yV = EI ----- dx3
GARDJITO2006
Tipe Pembebanan Fungsi Singularitas Gambaran Piktorial
Momen terpusat w(x) = Wo‹x - a›-2 O x
a Mo
Gaya terpusat w(x) = Fo‹x - a›-1
Fo
O x
a
Beban tersebar merata w(x) = wo‹x - a›0
wo
O x
a
Beban bervariasi linier w(x) = dw/dx‹x - a›1
dw/dx
O x
a
Beban bervariasi kwadratis
w(x) = C‹x - a›2/2 C = d2w/dx2 O x
a
GARDJITO2006
O x
R1 R2
a b
P
L
y
Reaksi-reaksi:
R1 = Pb/L (1)
R2 = Pa/L (2)
Dari pembebanan yang ada, momen lentur Mx dapat dicari berdasarkan perhitungan momen sepanjang balok:
Mx = Pb/L‹x›1 - P‹x - a›1 + Pa/L‹x - L›1 (1)
EI(d2y/dx2) = M = Pb/L‹x›1 - P‹x - a›1 + Pa/L‹x - L›1 (2)
Kemudian dilakukan integrasi dua kali untuk mendapatkan persamaan defleksi:
EI(dy/dx) = Pb/2L‹x›2 – P/2‹x - a›2 + Pa/2L‹x - L›2 + C1 (3)
EIy = Pb/6L‹x›3 – P/6‹x - a›3 + Pa/6L‹x - L›3 + C1x + C2 (4)
Pada x = o dan x = L, y = 0 → C2 = 0 dan C1 = - PbL/6 + Pb3/6L (5)
Pers. Defleksi:
EIy = Pb/6L‹x›3 – P/6‹x - a›3 + Pa/6L‹x - L›3 + (- PbL/6 + Pb3/6L)x (6)
GARDJITO2006
Atau dengan cara lain berdasarkan persamaan singularitas dari tipe pembebanan tertentu adalah sebagai berikut:
w(x) = Pb/L‹x›-1 - P‹x - a›-1 + Pa/L‹x - L›-1 (1)
V(x) = Pb/L‹x›0 - P‹x - a›0 + Pa/L‹x - L›0 (2)
M(x) = Pb/L‹x›1 - P‹x - a›1 + Pa/L‹x - L›1 (3)
Momen M(x) pada persamaan (3) sama dengan persamaan momen sebelumnya. Selanjutnya prosedur integrasi anda dilakukan seperti metode sebelumnya:
EI(d2y/dx2) = M = Pb/L‹x›1 - P‹x - a›1 + Pa/L‹x - L›1 (4)
EI(dy/dx) = Pb/2L‹x›2 – P/2‹x - a›2 + Pa/2L‹x - L›2 + C1 (5)EIy = Pb/6L‹x›3 – P/6‹x - a›3 + Pa/6L‹x - L›3 + C1x + C2 (6)Pada x = o dan x = L, y = 0 → C2 = 0 dan C1 = - PbL/6 + Pb3/6L (7)Pers. Defleksi: EIy = Pb/6L‹x›3 – P/6‹x - a›3 + Pa/6L‹x - L›3 + (- PbL/6 + Pb3/6L)x (8)
GARDJITO2006
Top Related