Kinematika Benda Tegar

Posisi titik dalam benda tegar

Rotasi dan cosinus sudut yang digunakan

Hubungan vektor satuan

• koordinat x’ dapat dinyatakan dalam x,y,z

Ada 9 cosinus sudut yang menghubungkan dua sistem koordinat. Perlu dicari koordinat umum untuk menyatakan gerak

Transformasi ortogonal dan Rotasi

• (x1,x2,x3) (x1’,x2’,x3‘)

Matriks transformasi

2D

Rotasi 2D

atau

Vektor tetap koordinat berputar

Vektor berputar koordinat tetap

• Matriks transformasi yang mentransformasikan balik disebut invers A-1 sehingga diperoleh matriks identity I=A A-1

• Maka syarat tarnsformasi ortogonal adalah

• matriks transpose

• Matriks dengan det[ ]=-1 adalah bukan rotasi benda tegar

Mengubah notasi sumbu dari positip menjadi negatip, bisa disajikan dengan rotasi dan refleksi

• Untuk mencari koordinat umum dalam benda tegar perlu dicari 3 koordinat yang dapat menyatakan rotasi benda tegar dengan matriks transformasi A yang memenuhi det[A]=1. Ada banyak kemungkinan, tetapi yang biasa digunakan adalah sudut Euler.

• (a/F) sudut sumbu-x dengan sumbu- N digunakan untuk rotasi pada sumbu-z. (b/q)sudut sumbu-z dengan sumbu- Z digunakan untuk rotasi pada sumbu N. (g/Y)sudut sumbu-N dengan sumbu- X digunakan untuk rotasi pada sumbu Z

•

Rotasi dg Sudut Euler

• Rotasi pada sumbu z dengan sudut f

• Rotasi pada sumbu x’ dg sudut q

• Rotasi pada sumbu z’ dengan sudut Y

Rotasi Total dengan sudut Euler

Sumbu rotasi yang digunakan

Sumbu rotasi yang digunakan

Kecepatan sudut dinyatakan padengan sumburotasi sebagai unit vektor

Kecepatan sudut dan sudut Euler

Kecepatan sudut dan sudut Euler• Hasil rotasi menunjukkan bahwa kita punya• (x,y,z) koordinat yang tetap terhadap ruang (fixed space

axis)• (x’,y’,z’=z) koordinat dengan rotasi pada sumbu-z dengan

kecepatan sudut w’ yang berbeda dengan w kecepatan sudut rotasi sumbu benda tegar suatu saat

• (x”,y”,z”) koordinat tetap terhadap body (fixed body axis)• Laju rotasi (x”,y”,z”) w’ dalam koordinat dapat

dinyatakan sebagai

'ˆcos'ˆsin'ˆ'ˆ'ˆ'ˆ' ''

''

'' k

dtdj

dtdi

dtdkwjwiw zyx q

fq

fqw

Masalah Rotasi Bumi

• Arah rotasi bumi berbeda dengan arah momentum sudut. Akibatnya sumbu rotasi bumi mengitari momentum sudut. Berapakah laju rotasi ini

• L pada bidang y-z, Lx=Ly=0, L=Lz. Pada (x’,y’,z’)

• Andaikan bumi simetri

• Mengingat Lx’ =0, maka wx’ =0, sehingga w di bidang (y’,z’)

• Untuk oblate (pancake)

• w mengelilingi bumi 1 kali tiap hari bila dilihat dari luar bumi

Mencari Komponen w

• Untuk mendapatkan komponen w

• Rotasi pada sumbu z,

• Rotasi pada sumbu x’=x’ =

zA wwf 3

qww xq

11 BB

•

• Sehingga w dapat dinyatakan dalam sudut Euler sebagai

• Tuliskan matriks transformasi yang mengubah

ww 33 BB

'

'

'

z

y

x

www

'ˆ'ˆ'ˆ ''' zyx zyx wwww

wqwfww qf ˆˆˆ

Persamaan Lagrange benda Tegar

Energi potensial dan Kinetiknya

• Ada 3 persamaan

Persamaan Hamilton