PengertianPengertian Pengintegrasian adalah kebalikan dari penurunanPengintegrasian adalah kebalikan dari penurunan suatu fungsi. Jika turunan suatu fungsi : Y = f (X) ; maka untuk menentukan fungsi asalnya melakukan pengintgrasian.Keterangan:
∫ : Tanda Integral f (x) : Integran (fungsi yang diintegralkan)
dx : Operator penurunan yang mengikat operasi yang dibentuk terhadap variabel X.
2
Bent k Um m IntegralBentuk Umum Integral
dF(X) / dx = f (x) ; maka ∫ f(x) dx = F (X) + k
Contoh :Contoh :F(X) = 2X2 + 3X + 5dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3
∫ (4X +3) dX = 2X2 + 3X + k∫ (4X +3) dX = 2X2 + 3X + k3
Integral Tak Tent dan TertentIntegral Tak Tentu dan Tertentu• Jika nilai k tidak didefinisikan (tidak• Jika nilai k tidak didefinisikan (tidak
ditentukan) berarti membicarakan Integral Tak Tentu (Indefinite Integral).Integral Tak Tentu (Indefinite Integral).
(4 3)x dx+∫• Jika nilai k didefinisikan (tertentu atau
dapat ditentukan) dan nilai X ditentukan berarti membicarakan Integral Tertentu (Definite Integral). 5
(4 3)x dx+∫42
(4 3)x dx+∫
ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI
Aturan pangkatAturan pangkat1
1n
n xd k+
∫ 11
nx dx k nn
= + ≠ −+∫
Contoh: 4 1 5+4 1 5
4
4 1 5x xx dx k k
+
= + = ++∫
5
4 1 5+
Contoh at ran pangkatContoh aturan pangkat0 1 1+0 1 1
0 1 1x xdx k k x k
+
= + = + = ++∫ 0 1 1+
1 1 25 5+1 1 25 551 1 2x xx dx k k
+
= + = ++∫
6
ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI
Aturan log natural (aturan pangkat n = -1)Aturan log. natural (aturan pangkat n = -1)
1 ld k+∫ lndx x kx
= +∫Contoh: 3 3lndx x k= +∫ x∫
3 3ln( 1)dx x k+ +∫ 773ln( 1)
1dx x k
x= + +
+∫
ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI
Aturan pangkat dari suatu fungsi linearAturan pangkat dari suatu fungsi linear1( )( )
nn mx dmx d dx k
+++ = +∫ ( )
( 1)mx d dx k
m n+ = +
+∫
Contoh:1untuk n ≠ −
Contoh: 2 1
2 3( 1) 1( 1) ( 1)1(2 1) 3xx dx k x k
+++ = + = + +
+∫88
1(2 1) 3+∫
Contoh lainContoh lain
5 1 65 (3 2) (3 2)(3 2)
3(5 1) 18x xx dx k k
++ ++ = + = +
+∫ 3(5 1) 18+∫
5 1 4(4 2) (4 2)x x− + −
∫ 5 (4 2) (4 2)(4 2)4( 5 1) 16x xx dx k k− − −
− = + = +− + −∫
9
ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI
Aturan pangkat dari suatu fungsi linear n = -1Aturan pangkat dari suatu fungsi linear n -1
1( ) dxmx d dx−+ =∫ ∫( )( )
ln( )mx dmx d
++
∫ ∫
Contoh:
ln( )mx d km+
= +Contoh:
1 ln(5 9)(5 9) dx xx dx k− −− = = +∫ ∫
101010
(5 9)(5 9) 5
x dx kx
+−∫ ∫
ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI
Aturan fungsi eksponensial dg basis eAturan fungsi eksponensial dg basis ex xe dx e k= +∫
( )( )
mx dmx d ed k
++
∫
∫Contoh:
( )mx de dx km
+ = +∫Contoh:
(4 10)(4 10)
xx ee dx k
++ = +∫
1111114∫
ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI
Aturan fungsi eksponensial dg basis bAturan fungsi eksponensial dg basis b
k 1x
x bb d k b∫ untuk 1ln
xb dx k bb
= + ≠∫Contoh:
2 2x x2 22ln 2 0,69315
x xx dx k k= + = +∫
121212
,
ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI
Aturan fungsi eksponensial dg basis bAturan fungsi eksponensial dg basis b( )
( ) untuk 1mx d
mx d bb dx k b+
+ = + ≠∫Contoh:
, untuk 1ln
b dx k bm b
= + ≠∫(3 5)
(3 5) 223ln 2
xx dx k
++ = +∫
(3 5) (3 5)3ln 2
2 2x x
k k+ +
= + = +1313133(0,69315) 2,07944
k k
ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI
Aturan fungsi logaritma naturalAturan fungsi logaritma natural
ln (ln 1)xdx x x k= − +∫( )[ln( ) 1]ln( ) mx d mx dmx d dx k+ + −
+ = +
∫
∫Contoh:
ln( )mx d dx km
+ +∫Contoh:
(6 2)[ln(6 2) 1]ln(6 2)6
x xx dx k+ + −+ = +∫
14141414
( )6∫
ATURAN ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI
Aturan substitusi
du∫ ∫( ) ( ) ( )duf u dx f u du F u k
dx= = +∫ ∫
dimana ( ),u g x
d d k b i i b d
=
∫ ∫dan du merupakan substitusi bg dx∫ ∫15
contohcontoh5(3 2)x dx+∫
misalkan
(3 2)x dx+∫(3 2)x u+ = 13du dx du→misalkan (3 2) ,x u+ = 3
3dx du
dx= → =
51⎛ ⎞ 55 5 1(3 2)
3 3ux dx u du du⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ ∫5 6(3 2)
3 18u xdu k+
= +∫16
3 18∫
Contoh lain 22 ( 1)x x dx+∫Contoh lain 2 ( 1)x x dx+∫2( 1) 2du dudmisalkan 2( 1) , 2
2du dux u x dxdx x
+ = = ⇒ =
d22 ( 1) 2 ( )2dux x dx x u u du
x+ = =∫ ∫ ∫
2 2 2( 1)2 2u xu du k k+
= + = +∫4 2 4 2
2 21 1( 2 1) ( 2 )k k+ + + + +
∫
17
4 2 4 2( 2 1) ( 2 )2 2
x x k x x k= + + + = + +
Integral TertentIntegral Tertentu
Integral Definit mempunyai nilai definit karena nilai X dibatasi yaitu antara Xa dan Xb, serta Xa < Xb.
Xa : Batas terendah dari integrasi;Xb : Batas tertinggi dari integrasi.bx
( ) ( ) ( ) ( )b
b
a
xxf x dx F x F b F a= = −∫
18ax
Integral TertentIntegral Tertentub
a∫f(x) Luas L ( ) ( ) ( ) ( )a
ba
f x dx F x F b F a= = = −∫
f(x)Luas L
x1 = a0 x2 = b
19
1x
2
contohcontoh2 32
20
0
3 3ln( 1)1
dx xx
= ++∫
0 1
3ln(2 1) 3ln(0 1)
x +
= + − +3ln 3 3ln1= −3(1,09861) 03 29584
= −=
213, 29584=
Contoh lain3 6x dx∫Contoh lain 20 1
dxx +∫
2 du dumisalkan 2( 1) , 22
du dux u x dxdx x
+ = = ⇒ =3 3 36x du1 1
20 0 0
6 6 ( ) 321
x dudx x u u duxx
− −= =+∫ ∫ ∫
0 0 033 2
0 03ln 3ln | 1|u x= = +2 23ln | 3 1| 3ln | 0 1|= + − +
223ln10 3ln 0 6,90776= − =
Penerapan IntegralPenerapan Integral
F i bi t t l (TC)Fungsi biaya total (TC)Fungsi penerimaan total (TR)Fungsi utilitas total (TU)Fungsi produksi total (TP)g p ( )Fungsi konsumsi (C) dan tabungan (S)In estasi dan pembent kan modalInvestasi dan pembentukan modalSurplus konsumen (SK) dan surplus
d ( )produsen (SP)25
∫ ∫TC MC dQ= ∫ TR MR dQ= ∫∫TU MU dQ= ∫ TP MP dX= ∫
C MPC dY= ∫ S MPS dY= ∫∫ ∫( ) ( )K t I t dt= ∫
26
∫
Contoh soalContoh soal
Diketahui : MC = Q + 5 ; jika diproduksi 10 unit biaya total 125; Tentukan Fungsi Biaya Total (TC)Diketahui Fungsi peneriaan marginal : MR = 5 – 3Q; Tentukan fungsi TR dan AR.Diketahui fungsi Produk marginal :Diketahui fungsi Produk marginal : MP = 9 + 16X – 3X2; Tentukan Fungsi Produksi Total (TP)Produksi Total (TP)
27
Contoh soalContoh soal
Dik h i K d k i i lDiketahui Kecenderungan konsumsi marginal (Marginal Propensity to Consume): MPC = 0,8
d K i d t d t N l; dan Konsumsi pada saat pendapatan Nol (Y=0) adalah Rp 15, ; Tentukan Fungsi konsumsi ( C)konsumsi ( C)Diketahui fungsi kecenderungan tabungan marginal (Marginal Propensity to Save) :marginal (Marginal Propensity to Save) : MPS = 0,3 – 0,1 Y-1/2 ; diwaktu Tabungan Nol (S 0) Pendapatan ( Y 81); Tentukan Fungsi(S = 0) Pendapatan ( Y = 81); Tentukan Fungsi Tabungan 28
Contoh soalContoh soal
Diketahui Fungsi Marginal Cost : MC = 2.e 0,2Q ; Biaya produksi (TC) = 90 y p ( )diwaktu produksi Nol (Q=0) . Bentuklah fungsi TC
29
S rpl s Kons men (SK CS)Surplus Konsumen (SK = CS)
Jika fs. Permintaan : P = f(Q)
( )eQSK f Q dQ P Q∫0 ( )d e eSK f Q dQ P Q= −∫
Jika fs. Permintaan : Q = f(P)
0dP
∫0 ( )
e
PdP
SK f P dP= ∫31
S rpl s Prod sen (SP PS)Surplus Produsen (SP = PS)
Jika fs. penawaran: P = f(Q)
( )eQS Q f Q dQ∫0 ( )eQ
e e sSP P Q f Q dQ= − ∫Jika fs. penawaran: Q = f(P)
P
∫0
( )e
s
PsP
SP f P dP= ∫3232
ContohContohDiketahui fungsi permintaan:Diketahui fungsi permintaan:
Q = 60 – 4P P = 15 – 0,25QFungsi penawaran:
Q = – 30 + 5P P = 6 + 0,2QsQ QKeseimbangan pasar : QD = QS
30 + 5P = 60 4P 9P = 90– 30 + 5P = 60 – 4P 9P = 90Pe = 10, Qe = 20
33
Fungsi Permintaan: Q = 60 – 4P P = 15 – 0 25QFungsi Permintaan: Q = 60 – 4P P = 15 – 0,25QFungsi penawaran: Q = – 30 + 5P P = 6 + 0,2Qs
P
15
Surplus KonsumenS
10E
D6Surplus Produsen
3420 Q0 60
( )eQSK f Q dQ P Q= −∫Cara I
0( )d e eSK f Q dQ P Q= −∫Cara I
20
0(15 0, 25 ) (10)(20)SK Q dQ= − −∫
202015 0,125 200Q Q⎡ ⎤= − −⎣ ⎦
2{[12(20) 0,125(20 )] 0} 200250 200 50
= − − −= − =250 200 50= =
35
( )eQSP P Q f Q dQ∫Cara I
0( )e e sSP P Q f Q dQ= − ∫Cara I
20
0(10)(20) (6 0, 2 )SP Q dQ= − +∫
2020200 6 0, 2Q Q⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
2200 {[6(20) 0, 2(20 )] 0}200 160 40
= − + −= − =200 160 40= =
36
Cara II0 ( )dP
SK f P dP= ∫Cara II ( )e
dPSK f P dP= ∫
15
10(60 4 )SK P dP= −∫
[ ]15210
2 2
60 2P P= −2 2[60(15) 2(15 )] [60(10) 2(10 )]
[900 450] [600 200] 50= − − −= − − − =[900 450] [600 200] 50
37
Cara II ( )ePSP f P dP= ∫
10
Cara II0
( )s sPSP f P dP= ∫
10
610
( 30 5 )SP P dP= − +∫1026
2 2
30 2,5
[ 30(10) 2 5(10 )] [ 30(6) 2 5(6 )]
P P⎡ ⎤= − +⎣ ⎦2 2[ 30(10) 2,5(10 )] [ 30(6) 2,5(6 )]
[ 300 250] [ 180 90] 40= − + − − += − + − − + =[ ] [ ]
38
Contoh soalContoh soal
Fungsi permintaan: P = 16 – Q2,Fungsi penawaran : P = 4 + Q.g pCarilah surplus konsumen dan surplus
produsen.produsen.
39
Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan:Qd = 11 – P dan Qs = 2P – 4.Tentukan besarnya surplus konsumen danTentukan besarnya surplus konsumen dan surplus produsennya.
40
Bila Investasi netto pada tahun ke t : I(t) = 3 t1/2 (ribuan dollar pertahun) yaitu ( ) ( p ) yaliran yang tidak konstan. Apa yang terjadi dengan pembentukan modal selama interval waktu (1, 4), yaitu selama tahun kedua, ketiga, dan keempat.
41