FUNGSI GREEN PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Skripsi
untuk memenuhi sebagian persyaratan
mencapai derajat Sarjana S-1
Program Studi Matematika
diajukan oleh
Slamet Mugiyono
05610038
Kepada
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SUNAN KALIJAGA
YOGYAKARTA
2011
ii
iii
iv
v
vi
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat dan hidayah-Nya sehingga penelitian dalam skripsi ini dapat terselesaikan.
Shalawat dan salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW
sebagai suri tauladan bagi umat Islam.
Penyusunan skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu persyaratan
untuk memperoleh gelar sarjana Program Studi Matematika. Skripsi ini berisi
tentang pembahasan mengenai Fungsi Green pada Persamaan Diferensial Biasa.
Penyusunan skripsi ini mendapat bantuan dari berbagai pihak. Ucapan terima
kasih disampaikan sebesar-besarnya kepada:
1. Ibu, Bapak dan Keluargaku atas pengertian, bantuan, dan dukungannya
sehingga penyusunan skripsi ini dapat selesai.
2. Bapak Prof. Drs. H. Akh. Minhaji, M.A, Ph.D selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.
3. Ibu Sri Utami Zuliana, M. Si selaku Ketua Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.
4. Bapak Yudi Ari Adi, M.Si dan Bapak Sugiyanta, M.Si selaku dosen
pembimbing I dan II yang telah meluangkan waktu memberikan bimbingan,
arahan, bantuan, dan ilmu dalam menyelesaikan skripsi ini.
5. Bapak/Ibu Dosen dan Staf Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga
Yogyakarta atas ilmu, bimbingan dan pelayanan selama perkuliahan dan
penyusunan skripsi ini selesai.
vii
6. Saudara Burhanuddin Arif Nur Nugroho S.Si, terima kasih atas ilmu, bantuan,
waktunya dan dukungan selama ini.
7. All My Best Friends, Arif, Herman, Mahrus, Ima, Adit, Lukman, Raudak,
Novandi, Idi, Sus, Indah, Anisyah, Minal, Desi, Desti, Lita dan teman-teman
Matematika angkatan 2005 lainnya yang telah memberi warna, bantuan dan
dukungan selama ini.
8. Teman-teman MAN Godean , Nuryadi, Joko, Supri, Tahmid, dan Agus, terima
kasih atas doa’ dan dukungannya selama ini.
9. Teman-teman komunitas Anime Lovers dimana saja, terima kasih atas
semangat dan motivasinya selama ini.
10. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah
membantu dalam penyusunan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini masih banyak kekurangan
dan kesalahan. Namun demikian, penulis berharap semoga skripsi ini dapat
bermanfaat bagi semua pihak.
Yogyakarta, 21 Januari 2011
Penulis
Slamet Mugiyono
05610038
viii
PERSEMBAHAN
Skripsi ini penulis persembahkan kepada:
Ibu dan Bapakku yang telah membesarkanku, mendidik, dan
mendoakanku
Para Guru yang telah ikut mendidik dan memberikan ilmunya kepadaku
Almamater Prodi Matematika Fakultas Sains & Teknologi UIN Sunan
Kalijaga Yogyakarta.
ix
MOTTO
” Kemampuan manusia itu ada batasnya,
akan tetapi usaha manusia tidak ada batasnya,
asalkan kemungkinannya tidak 0%,
maka masih terlalu cepat untuk menyerah”.
(Hiruma Yoroichi).
”Jangan pernah mengejar kesuksesan, kejarlah kesempurnaan.
Maka kesuksesan akan mendatangimu”.
(Amir Khan).
x
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................. i
HALAMAN PENGESAHAN .................................................................... ii 1 1
HALAMAN SURAT PERSETUJUAN SKRIPSI ...................................... iii
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI ................................ v
HALAMAN MOTTO ................................................................................ vi
HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................. vii
ABSTRAK ................................................................................................ viii
KATA PENGANTAR ............................................................................... ix
DAFTAR ISI ............................................................................................. xi
DAFTAR SIMBOL ................................................................................... xii
BAB I. PENDAHULUAN ....................................................................... 1
1.1. Latar Balakang ..................................................................... 1
1.2. Batasan Masalah ................................................................... 2
1.3. Rumusan Masalah................................................................. 3
1.4. Tujuan Penelitian .................................................................. 3
1.5. Manfaat Penelitian ................................................................ 3
1.6. Tinjauan Pustaka .................................................................. 4
1.7. Metode Penelitian ................................................................ 4
BAB II DASAR TEORI............................................................................ 5
2.1. Sistem Persamaan Linier ........................................................ 5
2.2. Ekspansi Kofaktor ................................................................. 7
2.3. Persamaan Diferensial ........................................................... 14
xi
2.4. Fungsi Dirac Delta ................................................................. 21
2.5. Transformasi Laplace ............................................................ 24
2.5.1. Sifat-sifat tranformasi Laplace ..................................... 24
2.5.2. Tranformasi Laplace fungsi Heaviside ......................... 26
2.5.3. Transformasi Laplace fungsi Dirac Delta ..................... 26
2.5.4. Beberapa teorema yang digunakan dalam transformasi
Laplace ....................................................................... 27
2.5.5. Transformasi Laplace invers ........................................ 29
2.5.6. Konvolusi .................................................................... 31
2.5.7. Tabel transformasi Laplace dari beberapa fungsi ......... 32
2.5.8. Aplikasi transformasi Laplace dalam Persamaan
Diferrensial Biasa ....................................................... 36
BAB III FUNGSI GREEN PADA PERSAMAAN DIFFERENSIAL
BIASA ......................................................................................... 41
3.1. Fungsi Green pada Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen
Orde-n Melalui Transformasi Laplace .................................... 41
3.2. Fungsi Green pada Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen
Orde-n Melalui Metode Variasi Parameter ............................. 49
BAB IV PENUTUP ................................................................................... 58
4.1. Kesimpulan ............................................................................ 58
4.2. Saran ...................................................................................... 59
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 60
LAMPIRAN-LAMPIRAN
xii
DAFTAR SIMBOL
= Delta
= Lamda
= Phi
= Chi
= Tau
e = Exponensial
= Tak berhingga
ty = Nilai fungsi f pada t
tg = Nilai fungsi g pada t
ty' = Nilai turunan fungsi y pada t
ba, = Interval tertutup dari a ke b
ba, = Interval terbuka dari a ke b
Lxfcx
lim = Limit xf menuju L untuk x mendekati
c
dxxf
t
0
= Integral fungsi f dari 0 ke t
t = Fungsi Dirac Delta dengan titik singular
.
sY = Transformasi Laplace dari ty
sF = Transformasi Laplace dari tf
g t = Fungsi Green
sG = Transformasi Laplace dari tg yang
dipengaruhi oleh
tH = Fungsi Heaviside
xiii
FUNGSI GREEN PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
ABSTRAK
SLAMET MUGIYONO
05610038
Persamaan diferensial yang memiliki satu variabel bebas dinamakan
persamaan diferensial biasa. Persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan
dengan beberapa metode penyelesaian salah satunya adalah metode fungsi Green.
Skripsi ini membahas cara mencari solusi dari persamaan diferensial biasa
khususnya persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien
konstan menggunakan metode fungsi Green. Metode fungsi Green yang
digunakan untuk mencari solusi persamaan diferensial linier tak homogen orde-n
dengan koefisien konstan dalam skripsi ini dibagi menjadi dua pembahasan yaitu:
Metode fungsi Green melalui transformasi Laplace dan metode fungsi Green
melalui metode variasi parameter.
Metode fungsi Green melalui transformasi Laplace yaitu: (1) Menggubah
f t pada persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien
konstan menjadi suatu fungsi Dirac delta t . (2) Mentransformasi-
Laplacekan kedua ruas persamaan diferensial tak homogen tersebut. (3)
Mentransformasi-Laplace invers persamaan diferensial tak homogen yang sudah
ditransformasi Laplace dan didapatkan fungsi Green g t . (4) Solusi persamaan
diferensial linier tak homogen orde-n didapatkan dengan mengintegralkan fungsi
Green g t dikalikan dengan f terhadap dengan batas bawah 0 dan
batas atas t, jadi 0
t
y t g t f d .
Metode fungsi Green melalui metode variasi parameter yaitu: (1) Menentukan
solusi umum persamaan diferensial homogennya cy t . (2) Memisalkan py t
dengan menggantikan konstanta 1 2, , , nc c c dengan 1 2, , ,n
u t u t u t . (3)
Menentukan nilai '
ku t dengan menggunakan aturan Cramer. (4) Menentukan
ku t dengan mengintegralkan '
ku t terhadap x dengan batas atas t dan batas
bawah 0t . (5) Mensubstitusikan ku t ke dalam py t sehingga diperoleh fungsi
Green g t x . (6) Solusi persamaan diferensial linier tak homogen orde-n
0
t
c
t
y t y t g t x f x dx .
xiv
Hasil dari penyelesaian menggunakan metode fungsi Green dengan cara
manual sama dengan hasilnya dengan menggunakan metode fungsi Green dalam
program maple.
Kata kunci : Persamaan diferensial, fungsi Green, transfomasi Laplace, metode
variasi parameter, syarat awal.
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang masalah
Matematika adalah salah satu ilmu pengetahuan yang mengalami
perkembangan seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan lainnya.
Matematika mempunyai peranan penting untuk ilmu pengetahuan lain
seperti, fisika, biologi, kimia, ekonomi, tata surya dan lain-lain. Salah satu
ilmu matematika yang mempunyai peranan penting dengan ilmu
pengetahuan lainnya adalah persamaan diferensial. Menurut peubah
bebasnya, persamaan diferensial dibagi menjadi 2, yaitu: persamaan
diferensial yang memuat satu peubah bebas dinamakan persamaan
differensial biasa (PDB) dan persamaan diferensial yang memuat dua atau
lebih peubah bebas dinamakan persamaan diferensial parsial (PDP).
Persamaan diferensial biasa atau sering disebut persamaan diferensial dapat
dibagi menurut kelinieran, orde, dan koefisiennya. Persamaan diferensial
yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah persamaan diferensial linier tak
homogen orde-n dengan koefisien konstan.
Persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien
konstan sering kali diselesaikan dengan beberapa metode penyelesaian,
antara lain: metode koefisien taktentu, metode invers operator, penyelesaian
dengan ekspansi Eigen. Selain metode-metode penyelesaian tersebut, masih
ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier tak homogen
2
orde-n dengan koefisien konstan, yaitu metode fungsi Green. Metode fungsi
Green adalah metode penyelesaian yang dalam proses menemukan
penyelesaian suatu persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan
koefisien konstan, terlebih dahulu ditentukan nilai fungsi Green dari suatu
persamaan diferensial tersebut. Nilai fungsi Green dapat ditemukan dengan
metode transformasi Fourier, transformasi Laplace, dan variasi parameter.
Dalam buku yang berjudul ”Green Function and Applications” dan Jurnal
Integral yang berjudul ”Mengkonstruksi Fungsi Green Persamaan
Diferensial Linier Orde-n” terdapat beberapa langkah yang belum dituliskan
khususnya fungsi Green pada persamaan diferensial linier tak homogen
orde-n dengan koefisien konstan melalui tranformasi Laplace dan metode
variasi parameter, sehingga memotivasi penulis untuk mencoba melengkapi
dan menjelaskan kepada pembaca mengenai metode fungsi Green dalam
penyelesaian suatu persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan
koefisien konstan melalui transformasi Laplace dan metode variasi
parameter.
1.2 Batasan masalah
Mengingat keterbatasan kemampuan penulis, maka pembahasan akan
difokuskan pada persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan
koefisien konstan yang diselesaikan dengan metode fungsi Green melalui
transformasi Laplace dan variasi parameter.
3
1.3 Rumusan masalah
Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah di atas, maka dapat
dirumuskan permasalahan sebagai berikut:
1. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak
homogen orde-n dengan koefisien konstan dengan metode fungsi Green
melalui transformasi Laplace?
2. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak
homogen orde-n dengan koefisien konstan dengan metode fungsi Green
melalui variasi parameter?
1.4 Tujuan penelitian
Berikut adalah tujuan penelitian:
1. Mengetahui cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak
homogen orde-n dengan koefisien konstan dengan metode fungsi Green
melalui transformasi Laplace.
2. Mengetahui cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak
homogen orde-n dengan koefisien konstan dengan metode fungsi Green
melalui variasi parameter.
1.5 Manfaat penelitian
1. Dapat memberikan gambaran dan penjelasan bagi mahasiswa,
khususnya mahasiswa matematika mengenai penyelesaian permasalahan
4
persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien
konstan menggunakan metode fungsi Green.
1.6 Tinjauan pustaka
Tinjauan pustaka dalam penulisan skripsi ini adalah
1. Buku yang berjudul ”Green Fuctions and Applications” ditulis oleh
Dean . G Duffy, 2001. Buku ini menjelaskan penyelesaian persamaan
diferensial menggunakan metode fungsi Green melalui transformasi
Laplace.
2. Jurnal yang berjudul “Mengkonstruksikan Fungsi Green Persamaan
Diferensial Linier Orde-n” ditulis oleh Iwan Sugiarto, 2002. Jurnal ini
menjelaskan bahwa melalui metode variasi parameter dapat
dikonstruksikan fungsi Green suatu persamaan diferensial linier orde-n
sehingga didapatkan suatu penyelesian persamaan diferensial untuk f
sebarang.
Dalam kedua tinjauan pustaka di atas masih terdapat beberapa langkah
yang belum dituliskan secara detail, sehingga memotivasi penulis untuk
berusaha melengkapi dan menjelaskan secara detail.
1.7 Metode penelitian
Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian studi literatur. Sumber
data yang digunakan dalam skripsi ini adalah sumber-sumber tertulis yang
berupa buku maupun penelitian lain yang dapat mendukung skripsi ini.
59
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan dari bab I sampai III, maka
dapat menyimpulkan beberapa hal sebagai berikut:
1. Penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen dengan koefisien
konstan dengan metode fungsi Green melalui transformasi Laplace
1
0 1 11
n n
n nn n
d y d y dya a a a y f t
dt dt dt
dengan syarat awal 2' 0,
ny t y t y t
dan
11
ny t
.
0
t
y t g t f d .
2. Penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen dengan koefisien
konstan dengan metode fungsi Green melalui variasi parameter.
1
0 1 11
n n
n nn n
d y d y dya a a a y f t
dt dt dt
adalah
0
t
c
t
y t y t g t x f x dx
3. Hasil dari penghitungan manual dan menggunakan program maple
penyelesian persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan
metode fungsi Green melalui transformasi Laplace dan variasi parameter
adalah sama.
60
4.2 Saran
Fungsi Green yang dibahas pada penelitian ini adalah Fungsi Green pada
persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan,
dimana untuk menemukan nilai fungsi Green dari suatu persamaan diferensial
digunakan metode transformasi Laplace, dan metode variasi parameter.
Penulis berharap, ada pembaca yang memiliki ketertarikan untuk mencoba
membahas fungsi Green pada persamaan diferensial parsial menggunakan
metode transformasi transformasi Fourier dan metode pemisah peubah.
61
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard., 1987, “ Aljabar Linier Elementer”, Bandung: Erlangga.
Duffy, D.F., 2001, ”Green’s Functions with Applications”, USA: Chapman &
Hall/CRC Press.
Duffy, D.F., 1998, “Advanced Engineering Mathematics”, USA: CRC Press.
Kartono, 2001, ” Maple untuk Persamaan Diferensial”, Yogyakarta: J & J
Learning Yogyakarta.
Kartono, 1994, “ Penuntun Belajar Persamaan Diferensial”, Yogyakarta:
Andi Offset.
Purwanto, H., 2005, ” Aljabar Linier”, Jakarta Pusat: PT. Ercontara Rajawali.
Soemartojo, N., 1987, ” Kalkulus Lanjutan”, Jakarta: UI-Press.
Sugiarto, I., 2002, ” Mengkonstruksi Fungsi Green Persamaan Diferensial Linier
Orde-n”, Jurnal Integral, Vol. 7 no 1, April 2002.
62
LAMPIRAN
Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Program Maple
Contoh 3.1.1
>
Contoh 3.1.2
>
63
Contoh 3.2.1
>
64
65
Jadi solusi umum persamaan ini adalah
>
Contoh 3.2.2 :
>
66
Top Related