Materi
� Fungsi
� Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif
� Operasi Pada Fungsi� Operasi Pada Fungsi
� Fungsi Invers
� Fungsi Komposisi
� Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius ( 1 )
Fungsi
� Dalam berbagai aplikasi, hubungan/relasiantara dua himpunan ( sering disederhanakan menjadi variabel ) sering terjadi.
� Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi diberikan oleh relasi
� Secara definisi : Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap berelasi R dengan tepat satu
maka R disebut fungsi dari A ke B.
3
3
4rV π=
Ax ∈By ∈
Fungsi
� Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst.
� Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:
f : A → Bf : A → B
� Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan Bdinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.
Fungsi
� Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df,
� Himpunan semua anggota B yang
{ })ikanterdefinis(ada)(: xfxD f R∈=
� Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakanrange atau daerah hasil fungsi f, ditulisatau Im(f) → Perhatikan gambar berikut
fR
Fungsi
• Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen • Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen x ∈ A mempunyai kawan y ∈ B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).
• Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas.
• Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
Fungsi
� Contoh – 1 : Tentukan Df
Jawab-1 :
2
1)(
+=
xxf
� Jawab-1 :
Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,
{ } }2{02:ikanterdefinis2
1: −−=≠+∈=
+∈= RRR xx
xxD f
Fungsi
� Contoh – 2 : Tentukan Df
Jawab-2 :
1)(
2 −=
x
xxf
� Jawab-2 :
Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka:
{ } ).,1(]0,1(1atau01:
01
:ada1
:22
∞∪−=>≤<−∈=
≥−
∈=
−∈=
xxx
x
xx
x
xxD f
R
RR
Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan
Fungsi Bijektif
Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif
Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan
Fungsi Bijektif
Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif
Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan
Fungsi Bijektif
� Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1.
� Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.
Operasi Pada Fungsi
Diberikan skalar real α dan fungsi-fungsi f dan g. , maka :
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk
,
gf
{ }0)(: ≠∩∈= xgDDxD gfgf
Fungsi Invers
� Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga invers f juga merupakan fungsi.
� Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . 1−f
)()(1 xfyyfx =⇔= −
ffffDRRD == −− 11 dan
dengan
Fungsi Invers
� Contoh :
Tentukan jika diketahui .
� Jawab :
1−f23
11)(
+−−=
x
xxf
� Jawab :
23
11
23
11)(
+−=−⇔
+−−==
x
xy
x
xxfy
Fungsi Invers
3232
12233
1)23)(1(
yxyx
xyxyx
xxy
−=−⇔−=+−−⇔−=+−⇔
)(32
32
3232
1 yfy
yx
yxyx
−=−
−=⇔
−=−⇔
x
xxf
32
32)(1
−−=−
Fungsi Komposisi� Contoh :
Jika dan maka tentukan fungsi-fungsi berikut ini beserta domainnya.
a. b.
� Jawab :
21)( xxf −=22)( xxg =
gf o fg o
� Jawab :
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius
� Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:
� Fungsi Aljabar
� Fungsi Transenden
� Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius
� Contoh fungsi aljabar :
1
)1(3)(
2
322
+
+−=x
xxxxf
� Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebutfungsi transenden.
� Beberapa contoh fungsi transendenadalah fungsi trigonometri, fungsilogaritma, dsb.
12 +x
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius
� Fungsi Aljabar meliputi :
� Fungsi rasional :
� Fungsi bulat (fungsi suku banyak)
� Fungsi pecah.� Fungsi pecah.
� Fungsi irasional.
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius
� Fungsi suku banyak berderajat nmempunyai persamaan
f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xnf(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn
dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an ≠ 0.
Grafik Fungsi Suku Banyak
b. Fungsi linear: f(x)= mx + n
Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik .
Grafik Fungsi Suku Banyak
c. Fungsi kuadrat
Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Diskriminan: .
Secara umum, grafik fungsi kuadrat ini dapat digambarkan sebagai berikut:
0,)( 2 ≠++= acbxaxxf
acbD 42 −=
digambarkan sebagai berikut:
Grafik Fungsi Pecah
� Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak
nn xaxaa
xf+++
=...
)( 10
disebut fungsi pecah.
mm
n
xbxbb
xaxaaxf
+++
+++=
...
...)(
10
10
Top Related