Solusi SistemPersamaan Linier denganMetode Matriks
DR. AHMAD SABRI
UNIVERSITASGUNADARMA
Sistem Persamaan LinierBentuk Umum:
๐11๐ฅ1 + ๐12๐ฅ2 +โฏ+ ๐1๐๐ฅ๐ = ๐1๐21๐ฅ1 + ๐22๐ฅ2 +โฏ+ ๐2๐๐ฅ๐ = ๐2
โฎ โฎ๐๐1๐ฅ1 + ๐๐2๐ฅ2 +โฏ+ ๐๐๐๐ฅ๐ = ๐๐
SPL disebut homogen jika๐1 = ๐2 = โฏ = ๐๐ = 0, dan non homogen jikasekurang-kurangnya terdapat sebuah ๐๐ tidaksama dengan nol.
Contoh:
1. 2๐ฅ1 + 3๐ฅ2 โ ๐ฅ3 = 1โ๐ฅ1 + 4๐ฅ3 = 5
2๐ฅ2 โ 7๐ฅ3 = 2
2. ๐ฅ1 + 3๐ฅ2 + 5๐ฅ3 + ๐ฅ4 = 0๐ฅ1 โ 5๐ฅ2 + 2๐ฅ3 = 0โ2๐ฅ2 โ 2๐ฅ3 โ ๐ฅ4 = 0
๐ฅ1 + 3๐ฅ2 + ๐ฅ4 = 0๐ฅ1 โ 2๐ฅ2 โ ๐ฅ3 + ๐ฅ4 = 0
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 2
Matriks yang diperluas (augmented) Matriks yang diperluas memiliki entri yang berasal dari koefisien dan ruas kanan dari SPL
Matriks yang diperluas dari SPL adalah:
๐11 ๐12 โฏ ๐1๐ ๐1๐21 ๐22 โฏ ๐2๐ ๐2โฎ โฎ
๐๐1 ๐๐2 โฏ ๐๐๐ ๐๐
Matriks yang diperluas dari kedua contoh SPL pada slide sebelumnya:
1. 2๐ฅ1 + 3๐ฅ2 โ ๐ฅ3 = 1โ๐ฅ1 + 4๐ฅ3 = 5
2๐ฅ2 โ 7๐ฅ3 = 2
2. ๐ฅ1 + 3๐ฅ2 + 5๐ฅ3 + ๐ฅ4 = 0๐ฅ1 โ 5๐ฅ2 + 2๐ฅ3 = 0
โ2๐ฅ2 โ 2๐ฅ3 โ ๐ฅ4 = 0๐ฅ1 + 3๐ฅ2 + ๐ฅ4 = 0๐ฅ1 โ 2๐ฅ2 โ ๐ฅ3 + ๐ฅ4 = 0
2 3 โ1 1โ1 0 4 50 2 โ7 2
1 3 5 1 01 โ5 2 0 00 โ2 โ2 โ1 01 3 0 1 01 โ2 โ1 1 0
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 3
Metode untuk menyelesaikan SPL:
1. Eliminasi Gauss: dengan melakukan operasi baris elementer sampai tercapai matriks eselonbaris, kemudian dilakukan substitusi balik
2. Eliminasi Gauss-Jordan: dengan melakukan operasi baris elementer sampai tercapai matrikseselon baris terreduksi, dan diperoleh solusi.
3. Metode invers matriks
4. Aturan Cramer
Metode no. 3 dan 4 khusus untuk SPL n persamaan dengan n variabel
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 4
Metode Eliminasi Gauss-JordanTemukanlah solusi dari sistem persamaan linier berikut dengan eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan:
๐ฅ1 + ๐ฅ2 + 2๐ฅ3 = 92๐ฅ1 + 4๐ฅ2 โ 3๐ฅ3 = 13๐ฅ1 + 6๐ฅ2 โ 5๐ฅ3 = 0
Bentuklah matriks koefisien yang diperluas, kemudian lakukan serangkaian operasi baris elementersehingga terbentuk matriks eselon baris.
b2-2b1 b3-3b1
ยฝb2 b3-3b2 -2b3
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 5
i. Untuk metode Gauss, lanjutkan dengan substitusi balik, dimulai dari persamaan paling bawah.
sehingga diperoleh ๐ฅ1 = 1, ๐ฅ2 = 2, ๐ฅ3 = 3
ii. Untuk metode Gauss-Jordan, lanjutkan operasi baris elementer sampai diperoleh matrikseselon baris terreduksi:
Dari matriks terakhir, diperoleh ๐ฅ1 = 1, ๐ฅ2 = 2, ๐ฅ3 = 3
๐ฅ1 + ๐ฅ2 + 2๐ฅ3 = 9๐ฅ2 โ
7
2๐ฅ3 = โ17
2
๐ฅ3 = 3
b1-b2
๐1 โ112๐3
๐2 +72๐3
๐ฅ3 = 3๐ฅ2 โ
7
23 = โ17
2, ๐ฅ2 = 2
๐ฅ1 + 2 + 2 3 = 9, ๐ฅ1 = 1
Substitusibalik
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 6
Menyelesaikan SPL n variabel denganm persamaan, m < nJika SPL konsisten, maka SPL di mana m < n memiliki tak hingga kemungkinan solusi.
Contoh: Tentukan solusi dari SPL berikut:
+
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 7
Dengan metode Gauss-Jordan, diperoleh matriks eselon baris terreduksi berikut:
Berdasarkan matriks EBT, diperoleh persamaan
โฏ
matriks yang diperluas matriks eselon baris terreduksi
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 8
Dengan memisahkan variabel utama (yaitu variabel yang diwakili oleh 1 utama pada matriksEBT), diperoleh persamaan:
๐ฅ1 = โ3๐ฅ2 โ 4๐ฅ4 โ 2๐ฅ5
๐ฅ3 = โ2๐ฅ4
๐ฅ6 =1
3
Dalam hal ini, ๐ฅ1, ๐ฅ3, ๐ฅ5 adalah variabel dependen, dan ๐ฅ2, ๐ฅ4 dan ๐ฅ5 nya adalah variabelindependen. Oleh karena itu nilai-nilai untuk ๐ฅ2, ๐ฅ4 dan ๐ฅ5 ditentukan secara bebas.
Misalkan ๐ฅ2 = ๐, ๐ฅ4 = ๐ , ๐ฅ5 = ๐ก, maka diperoleh ๐ฅ1 = โ3๐ โ 4๐ โ 2๐ก, ๐ฅ2 = โ2๐ , ๐ฅ6 =1
3.
Karena r, s, dan t adalah sebarang bilangan riil, maka SPL tersebut memiliki tak terbataskemungkinan himpunan solusi.
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 9
SPL HomogenUntuk SPL homogen berlaku salah satu dari dua kemungkinan berikut:
1. SPL tersebut HANYA memiliki solusi trivial, atau
2. SPL tersebut memiliki solusi trivial DAN tak terhingga banyaknya himpunan solusi nontrivial
Teorema
Sistem persamaan linier homogen dengan jumlah variabel lebih banyak daripadajumlah persamaan selalu memiliki tak hingga banyaknya himpunan solusi
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 10
Contoh:
Dengan eliminasi Gauss-Jordan, diperolehmatriks eselon baris :
1 1 0 0 1 00 0 1 0 1 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0
Sehingga diperoleh:
Dengan memisahkan variabel utama:
๐ฅ1 = โ๐ฅ2 โ ๐ฅ5๐ฅ3 = โ๐ฅ5๐ฅ4 = 0
Diperoleh solusi:
๐ฅ1 = โ๐ โ ๐ก; ๐ฅ2 = ๐ ; ๐ฅ3 = โ๐ก; ๐ฅ4 = 0; ๐ฅ5 = ๐ก
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 11
Ruang pemecahanSecara vektor, ๐ฅ1 = โ๐ โ ๐ก; ๐ฅ2 = ๐ ; ๐ฅ3 = โ๐ก; ๐ฅ4 = 0; ๐ฅ5 = ๐ก dapat ditulis sebagai:๐ฅ1๐ฅ2๐ฅ3๐ฅ4๐ฅ5
=
โ๐ โ ๐ก๐ โ๐ก0๐ก
=
โ๐ ๐ 000
+
โ๐ก0โ๐ก0๐ก
= ๐
โ11000
+ ๐ก
โ10โ101
Dengan kata lain, vektor solusi merupakan kombinasi linier dari vektor ๐ฃ1 =
โ11000
dan ๐ฃ2 =
โ10โ101
.
Vektor-vektor ๐ฃ1dan ๐ฃ2 merentang sebuah ruang vektor yang disebut ruang pemecahan.
Karena ๐ฃ1dan ๐ฃ2 bebas linier, maka ๐ฃ1dan ๐ฃ2membentuk basis dari ruang pemecahan.
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 12
Penyelesaian SPL dengan invers matriks
(Teorema ini hanya berlaku untuk SPL npersamaan n variabel dan konsisten)
Contoh: Temukan solusi SPL berikut denganmetode invers matriks:
SPL tersebut dapat ditulis sebagai ๐ด๐ = ๐ต di mana:
๐ด =1 2 32 5 31 0 8
, ๐ =
๐ฅ1๐ฅ2๐ฅ3
, ๐ต =5317
Dengan menggunakan metode yang telahdipelajari, dapat ditemukan bahwa
๐ดโ1 =โ40 16 913 โ5 โ35 โ2 โ1
sehingga
๐ = ๐ดโ1๐ต =โ40 16 913 โ5 โ35 โ2 โ1
5317
=1โ12
Teorema
Jika A adalah matriks ๐ ร ๐ yang invertibel,maka untuk setiap matriks B yang berukuran๐ ร 1, sistem persamaan ๐ด๐ = ๐ต mempunyaipersis satu pemecahan, yaitu ๐ = ๐ดโ1๐ต
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 13
Penyelesaian SPL dengan Aturan CramerTeorema
Aturan Cramer. Jika ๐ด๐ = ๐ต adalah SPL n persamaan n variabel di mana det(๐ด) โ 0, maka SPL tersebutmemiliki pemecahan yang unik (tunggal), yang diberikan oleh:
๐ฅ๐ =det(๐ด๐)
det(๐ด), untuk ๐ = 1,2,โฏ , ๐
di mana ๐ด๐ adalah matriks yang didapatkan dengan mengganti entri-entri pada kolom ke i dengan entri-entri pada vektor
๐ต =
๐1๐2โฎ๐๐
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 14
Contoh: Carilah solusi SPL berikut dengan aturan Cramer
Jawab:
๐ด =1 0 2โ3 4 6โ1 โ2 3
, ๐ด1 =6 0 230 4 68 โ2 3
, ๐ด2 =1 6 2โ3 30 6โ1 8 3
, ๐ด3 =1 0 6โ3 4 30โ1 โ2 8
det ๐ด = โ44, det ๐ด1 = โ40, det ๐ด2 = 72, det ๐ด3 = 152.
๐ฅ1 =det(๐ด1)
det(๐ด)=
โ40
44= โ
10
11, ๐ฅ2 =
det(๐ด2)
det(๐ด)=
72
44=
18
11, ๐ฅ3 =
det(๐ด3)
det(๐ด)=
152
44=
38
11
DR. AHMAD SABRI - UNIVERSITAS GUNADARMA 15
๐ฅ1 + 2๐ฅ3 = 6
โ3๐ฅ1 + 4๐ฅ2 + 6๐ฅ3 = 30
โ๐ฅ1 โ 2๐ฅ2 + 3๐ฅ3 = 8
Top Related