Download - DERET GRADIEN

EKONOMI TEKNIK

DERET GRADIEN ARITMATIK

Sederetan penerimaan atau pengeluaran tunai yang meningkat atau berkurang secara seragam setiap periode.

Misalnya : (1). Biaya perawatan & perbaikan peralatan mekanik (2). Beban depresiasi (metode Sum Of Years Digit)

P = G(P/F,I%,2 ) + 2G(P/F,I%,3) +3G(P/F,I%,4) +……+ [(N-2)G] (P/F,I%,N-1) + [(N-1)G] (P/F,I%,N)

Keluarkan G :

P = G[(P/F,I%,2 ) + 2(P/F,I%,3) +3(P/F,I%,4) +……+ (N-2) (P/F,I%,N-1) + (N-1) (P/F,I%,N)]

……………..(1)

kedua ruas x (1+i)

…………(2)

Pers. (2) – Pers (1)

Keluarkan factor n yang terakhir dan bagi dengan i

FF- Bunga dan Rumus Bunga

1

0 1 2 3 4 N-2 N-1 N

G

2G

3G

(N-3)G

(N-2)G

(N-1)G

EKONOMI TEKNIK

Faktor nilai sekarang dr deret gradient (Present Worth of Gradient Series Factor)

P = G(P/G,i%,N)

Untuk memperoleh factor nilai mendatang dari deret gradient :

F = P(F/P,i%,N)

F = G(F/G,i%,N)

Jika dikonfersikan ke deret seragam :

A=P(A/P,i%,N)

Substitusikan P

A = G(A/G,i%,N)

Dari hubungan-hubungan diatas juga terjadi hubungan inversi :


2

EKONOMI TEKNIK

Juga Hubungan perkalian :

(G/P,i%,N)= (G/A,i%,N) (A/P,i%,N)

(G/F,i%,N)= (G/P,i%,N) (P/F,i%,N)

(G/A,i%,N)= (G/F,i%,N) (F/A,i%,N)

Contoh :

Perkiraan ongkos operasi dan perawatan mesin-mesin yang digunakan oleh sebuah industri kimia adalah Rp. 6 juta pada tahun pertama, Rp.6,5 juta pada tahun kedua dan seterusnya selalu meningkat 0,5 juta setiap tahun sampai tahun ke-5. Bila tingkat bunga yang berlaku adalah 15% pertahun hitunglah :

a. Nilai sekarang dari semua ongkos tersebut (pada tahun ke-0).

b. Nilai semua ongkos tersebut pada tahun ke-5

c. Nilai deret seragam dari semua ongkos tersebut selama 5 tahun

Diagram alir :


3

6 jt

6,5 jt

7 jt

7,5 jt

8 jt

0 1 2 3 4 5

6 jt 6 jt 6 jt6 jt6 jt

0 1 2 3 4 5

A

G

FP

(F/G,i%,N)

(G/F,i%,N)

(P/G,i%,N)

(P/G,i%,N)

(A/G,i%,N) (G/A,i%,N)

EKONOMI TEKNIK

a. Nilai sekarang (P) dapat dihitung sebagai berikut :

P = P1 + P2 = Rp. 6 juta (P/A, 15% , 5) + Rp. 0,5 juta (P/G,15%, 5)= Rp. 6 juta (3,352) + Rp.0,5 juta (5,775)= Rp. 22,9995 juta

b. Nilai pada tahun ke-5 dapat dihitung dengan mengkonversi P ke F

F = P (F/P, 15%, 5)= Rp. 22,9995 juta (2,011)= Rp. 46,252 juta

atau langsung dari diagram alir kas :

F = F1 + F2= Rp. 6 juta (F/A,15%,5) + Rp.0,5 juta (F/G, 15%,5)= Rp. 6 juta (6,742) + Rp.0,5 juta (11,62)= Rp.46,262 juta

c. Nilai deret seragam juga dapat menggunakan cara tsb :

A = P (A/P,15%, 5)= Rp. 22,9995 juta (0,29832)= Rp. 6,861 juta

atau

A = A1 + A2= Rp. 6 juta + Rp. 0,5 juta (A/G, 15%,5)= Rp. 6 juta + Rp. 0,5 juta (1,723)= Rp. 6,862 juta

atau dicari dari F yang diperoleh dari perhitungan (b).

Contoh 2 : 1000


4

0 1 2 3 4 5

0,5 jt

1 jt

1,5 jt

2 jt

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

A A A A A

(a) (b)

EKONOMI TEKNIK

800 600400

200

Perhatikan gambar 2 diatas. Berapakah nilai A agar keseluuhan nilai diagram alir kas bagian (a) sama dengan nilai diagram alir kas bagian (b). Gunakan tingkat bunga 10%.

Jawab :

Dari sini diperoleh nilai A1 sebagai berikut :

A1 = 1000 – 200(A/G, 10%,5)= 1000 – 200 (1,810)= 638

A2 diperoleh dengan menggeser A1 satu periode kedepan :A2 = A1 (P/F, 10%, 1)

= 638 (0,9091)= 580

Contoh 3 :Carilah nilai i yang mengakibatkan 2 aliran kas pada diagram berikut menjadi ekivalen.

Solusi :


5

1500 1500 1500 1500

1 2 3 4 5 =

1 2 3 4 5

1500

2000

2500

3000

1000 1000 1000 1000 1000

0 1 2 3 4 5 6 7

-

0 1 2 3 4 5 6 7

200

400

600

800

3500

4.0007.000

EKONOMI TEKNIK

Dengan mengkonversi semua aliran kas ke dalam deret seragam akan diperoleh persamaan sebagai berikut :

-4.000(A/P, I, 5) + 1.500 = -7.000 (A/P, I, 5) + 1.500 (A/G, I, 5)

atau

3000 (A/P, I, 5 ) = 500 (A/G, I, 5)

atau

(A/G,I,5) = 6(A/P,I,5)

Pada i = 12%

(A/G,12%,5) – 6(A/P,15%,5) = 0,1102

Pada i = 15%, nilai

(A/G,15%,5) – 6(A/P, 15%,5) = -0,0670

Kita akan cari I sehingga nilai (A/G,15%,5) – 6(A/P, 15%,5) = 0, dengan interpolasi diperoleh :

‘i = 0,1386

Jadi kedua diagram tersebut ekuivalen pada tk. Bunga 13,86%


6

EKONOMI TEKNIK

JENIS BUNGA DAN PEMAJEMUKAN KONTINYU

3.1. Tingkat Bunga Efektif dan Nominal Tingkat bunga nominal tahunan adalah perkalian antara jumlah

periode pemajemikan per tahun dengan tingkat bunga per periode.

Tk. Bunga nominal mengabaikan nilai uang dari waktu Secara matematis :

R = I .mDimana :

Tingkat Bunga efektif adalah tingkat bunga tahunan termasuk efek pemajemukan dari setiap perio


7