Tugas Mata kuliah Komputer
PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL
Disusun Oleh :
Nama : Muh. Miftah
NIM : S 850208016
Pengampu : Drs. Sarngadi Palgunadi Yohanes, MSc.
Aspek Skor Max Nilai
Originalitas 3
Kedalaman Materi 3
Peranan Maple 2
Kebenaran Konsep 2
Total 10
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PASCA SARJANA
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR
A. Tujuan Pembelajaran
Tujuan dari pembelajaran materi Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak
Wajar ini antara lain:
a. mahasiswa dapat lebih menguasai materi mengenai Bentuk Tak Tentu dan
Integral Tak Wajar
b. mahasiswa dapat membedakan bentuk limit tak-tentu dan dapat
menyelesaikan bentuk integral tak wajar.
c. mahasiswa dapat menggunakan program maple dalam menentukan bentuk
limit dan bentuk integral.
B. Alokasi Waktu
Alokasi waktu untuk pembelajaran materi Bentuk Tak Tentu dan
Integral Tak Wajar ini adalah 3 x 2 jam pelajaran.
C. Materi Pembelajaran
Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar
1. Bentuk Tak-Tentu Jenis 0/0
2. Bentuk Tak-Tentu yang Lain
3. Integral Tak-Wajar : Batas Tak-Terhingga
4. Integral Tak-Wajar : Integran Tak-Terhingga
1. Bentuk Tak Tentu Jenis 0/0
Di bawah ini ada tiga masalah limit yang telah kita kenal, yaitu
, ,
Limit yang pertama telah dibahas dalam pasal 3.4 dan limit yang ketiga sebenarnya
mendefinisikan turunan . Ketiga limit tersebut memiliki penampilan yang sama,
yaitu ada hasil bagi dan dalam ketiga limit itu pembilang dan penyebut berlimit nol.
Kalau kita menghitung limit itu dengan menggunakan aturan penarikan limit untuk
hasil bagi, kita akan memperoleh jawaban yang tak ada artinya, yaitu 0/0. memang
aturan tersebut tak dapat digunakan disini oleh karena aturan itu hanya berlaku
apabila limit penyebut bukan 0. kita tidak mengatakan bahwa limit tersebut diatas
tidak ada. Kita hanya mengatakan bahwa limit tersebut tidak dapat ditentukan dengan
aturan hasil bagi limit.
Penulisan limit dalam program maple dapat dituliskan sebagai berikut :
Misal kita akan menulisakan bentuk-bentuk limit di atas ke dalam program maple,
maka perintah yang kita tuliskan dalam maple adalah :
> Limit(sinx/x,x=0);
Maka hasil yang akan muncul adalah
limx 0
sinxx
> Limit((x^2-9)/(x^2-x-6),x=3);
Maka hasil yang akan muncul adalah
limx 3
x2 9
x2 x 6
> Limit((f(x)-f(a))/(x-a),x=a);
Maka hasil yang akan muncul adalah
limx a
( )f x ( )f ax a
Anda tentunya ingat bahwa dengan menggunakan geometri, kita dapat
membuktikan bahwa . Di lain pihak, dengan menggunakan
pemaktoran dalam aljabar, kita peroleh
Tentunya akan lebih baik bila ada aturan baku yang dapat dipakai untuk menghitung
limit-limit demikian. Memang ada, yaitu suatu aturan yang lazim dinamakan Aturan
l’Hôpital (baca: loupital).
ATURAN L’HÔPITAL Pada tahun 1696, Guillaume Francois Antoine de l’Hôpital
menerbitkan buku pertama tentang kalkulus diferensial; di dalamnya ada aturan di
bawah ini, yang ia peroleh dari gurunya bernama Johann Bernoulli.
Sebelum kita mencoba membuktikan teorema tersebut, terlebih dahulu akan
kita berikan beberapa contoh. Perhatikan bahwa dalam aturan l’Hôpital, suatu limit
dapat diganti dengan limit yang lain lebih sederhana dan tidak lagi berbentuk 0/0.
Contoh 1 Tentukan dan
Penyelesaian Kedua limit berbentuk 0/0. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan
aturan l’Hôpital sebagai berikut,
Teorema A
(Aturan l’Hôpital untuk bentuk 0/0). Andaikan .
Apabila ada, baik ia terhingga atau tak-terhingga
(jadi bilangan terhingga L, ∞, atau -∞), maka
Di sini,u dapat mewakili sebarang simbol a,a-,a+,-∞ atau +∞.
Limit yang pertama telah dihitung dengan menguraikan penyebut dan pembilang
dalam bab permulaan tentang limit. Jelas bahwa jawabannya sama dengan jawaban di
atas, yang diperoleh dengan aturan l’Hôpital.
Kita juga dapat menyelesaikan pembuktian limit di atas dalam program
maple, langkah pertama yang kita lakukan adalah terlebih dahulu menuliskan limit
tersebut,
> Limit((x^2-9)/(x^2-x-6),x=3);
limx 3
x2 9
x2 x 6
Selanjutnya kita dapat langsung menentukan nilai dari limit di atas, yaitu
dengan menuliskan
> limit((x^2-9)/(x^2-x-6),x=3);
65
Hasil dari proses manual dan program maple sama yaitu 6/5.
Dan untuk
> Limit((x^2+3*x-10)/(x^2-4*x+4),x=2);
limx 2
x2 3 x 10
x2 4 x 4
Hasilnya adalah
> limit((x^2+3*x-10)/(x^2-4*x+4),x=2);
undefined
Jadi nilai dari limit tersebut adalah ∞
Contoh 2 Tentukan
Penyelesaian Pembilang dan Penyebut menuju 0.Sehingga menurut aturan l’Hôpital
kita peroleh,
Seringkali juga berbentuk 0/0. Oleh karena itu kita dapat lagi
menggunakan aturan l’Hôpital.
Dalam program maple dapat ditulis;
> Limit((tan2*x)/ln(1+x),x=0);
limx 0
tan2 x( )ln 1 x
Hasilnya adalah
> limit((tan(2*x))/ln(1+x),x=0);
2
Jadi nilai dari limit tersebut adalah 2
Contoh 3 Tentukan
Penyelesaian Kita dapat menggunakan aturan l’Hôpital berturut-turut tiga kali,
sebagai berikut,
Walaupun Aturan l’Hôpital mudah digunakan, namun kita harus hati-hati
dalam pemakaiannya, khususnya harus diteliti benar apakah persyaratan yang diminta
terpenuhi. Apabila tidak, kiya dapat melakukan kesalahan-kesalahan seperti dalam
contoh di bawah ini.
Untuk penyelesaian di atas dalam program maple, langkah pertama yang kita
lakukan adalah terlebih dahulu menuliskan limit tersebut,
> Limit((sinx-x)/x^3,x=0);
limx 0
sinx x
x3
Maka hasil yang akan muncul adalah
> limit((sin(x)-x)/x^3,x=0);
-16
Jadi nilai dari limit tersebut adalah 2
TEOREMA NILAI RATA-RATA CAUCHY Bukti mutakhir Aturan l’Hôpital
didasarkan pada Teorema Nilai Rata-rata dari Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).
Perhatikan bahwa teorema tersebut berubah menjadi Teorema Nilai Rata-rata
yang lebih kita kenal apabila g(x)=x. (Teorema 4.8A).
Bukti Bentuk di atas mendorong kita untuk menggunakan Teorema Nilai Rata-rata
pada pembilang dan penyebut di ruas kiri. Kita akan memperoleh
(1) f(b)-f(a)=f’(c1)(b-a)
dan
(2) g(a)-g(b)=g’(c2)(b-a)
Teorema B
(Teorema Nilai Rata-rata Cauchy). Andaikan f dan g fungsi yang
terdiferensialkan pada selang (a,b) dan kontinu pada selang [a,b]. apabila g’(x)
≠ 0 untuk semua x di (a,b), maka ada bilangan c dalam selang (a,b) sehingga
Untuk nilai c1 dan c2 dalam selang (a,b). kalau c1 dan c2 sama, yang tentunya tidak
perlu sama sekali, kita dapat membagi persamaan pertama dengan yang kedua dan
terbuktilah Teorema B di atas. Walaupun c1 dan c2 tak sama, dari persamaan (2), oleh
karena g(b)-g(a) ≠0, karena kenyataan yang kelak kita butuhkan (hal ini mengikuti
dari hipotesis yang menyatakan, bahwa g’(x) ≠0 untuk semua x di (a,b).
Dalam pembuktian Teorema Nilai Rata-rata (Teorema 4.8A) kita telah
menggunakan fungsi-fungsi s. jika kita coba mengambil bukti-bukti sebelumnya,
maka kita diarahkan ke pilihan berikutnya untuk s(x). misalkan
Tidak ada pembagian oleh nol yang tercakup, karena kita sejak awal telah
menjelaskan, bahwa g(b)-g(a) ≠0. Perhatikan bahwa s(a) =0=s(b). Juga s kontinu
pada [a,b] dan dapat dideferensialkan pada (a,b); ini mengikuti dari fakta yang
beresuaian untuk f dan g. Jadi kita dapat menggunakan Teorema Nilai Rata-rata
terhadap x, maka ada bilangan c dalam selang (a,b) sehingga:
tetapi
atau
yang kita inginkan untuk membuktikannya.
BUKTI ATURAN L’HÔPITAL
Bukti Acu kembali ke Teorema A, yang sebenarnya menyatakan beberapa teorema
sekaligus. Kita akan membuktikan kasus untuk L terhingga dan lim kita maksud
adalah .
Menurut apa yang diketahui di dalam Teorema A, adanya
mengandung pula sifat adanya f’(x) dan g’(x) paling sedikit dalam lingkungan (a,b]
dari a dan bahwa g’(x)≠0. Di a kita tidak mengetahui apakah f dan g ada; kita hanya
mengetahui bahwa dan . Jadi kita dapat mendefinisikan
(atau apabila perlu mendefinisikan kembali) di a. Ini semua perlu agar f dan g
memenuhi syarat-syarat dalam Teorema Nilai Rata-rata Cauchy pada selang [a,b].
Dengan demikian maka ada c dalam (a,b) sehingga
oleh karena f(a)=0=g(a), maka
Apabila , jadi juga maka kita peroleh
ini sesuai dengan yang harus dibuktikan.
Bukti yang serupa berlaku untuklimit kiri, jadi dengan demikian terbukti pula
untuk limit yang dua arah. Bukti untuk a atau L yang tak terhingga agak sulit dan
tidak akan kita buktikan di tempat ini.
2. Bentuk Tak-Tentu yang Lain
Dalam penyelesaian contoh 6, pasal yang lalu, kita berjumpa dengan persoalan
limit sebagai berikut.
Dalam program maple dapat dituliskan sebagai berikut;
> limit(x/e^x,x=infinity);
limx
x
ex
Bentuk limit ini tergolong bentuk , yang memiliki sifat bahwa
pembilang dan penyebut menuju tak-terhingga. Bentuk tersebut dinamakan bentuk
tak-tentu dari jenis ∞/∞. Ternyata bahwa Aturan l’Hôpital juga berlaku dalam hal ini.
Jadi,
Bukti yang tepat agak rumit. Akan tetapi ada suatu cara yang meyakinkan kita
bahwa hasilnya memang benar. Andaikan bahwa f(t) dan g(t) menunjukkan
kedudukan dua kendaraan pada sumbu-t pada saat t. Kedua kendaraan itu, yang kita
sebut kendaraan-f dan kendaraan-g sedang dalam perjalanan tanpa akhir dengan laju
masing-masing f’(t) dan g’(t). Andaikan bahwa
ini berarti bahwa pada suatu saat tertentu laju kendaraan-f menjadi L kali laju
kendaraan-g. Jadi masuklah akal mengatakan bahwa pada suatu saat, kendaraan-f
akan menempuh jarak L kali lebih jauh. Dalam rumus
Uraian diatas tentulah bukan bukti secara matematika. Mengenai rumus di atas, ada
teorema sebagai berikut.
BENTUK TAK-TENTU ∞/∞ Kita gunakan Teorema A, untuk menyelesaikan
contoh 6, pasal yang lalu.
Teorema A
Andaikan Jika ada (terhingga atau
tak terhingga), maka
Di sini u dapat mewakili sebarang simbol a,a-,a+,-∞ atau +∞.
Contoh 1 Tentukan
Penyelesaian Apabila x→0+, maka x→−∞ dan cot x→∞, dengan demikian kita dapat
menggunakan Aturan l’Hôpital, sehingga
Limit terakhir ini masih tetap tentunya. Walaupun demikian kita tidak akan
menggunakan Aturan l’Hôpital, sebab bentuk tersebut akan menjadi makin rumit.
Untuk menghitung limit terakhir itu, kita ubah sebagai berikut
sehingga
Jika ditulis pada program maple adalah
> Limit(ln(x)/cot(x),x=0);
limx 0
( )ln x( )cot x
Dan hasilnya adalah
> limit(ln(x)/cot(x),x=0);
0
BENTUK TAK-TENTU 0-∞ DAN ∞-∞. Andaikan A(x)→0, tetapi B(x)→∞.
Bagaimana dengan hasilkali A(x)B(x)? Apakah akan menuju nol, ataukah tak
terhingga atau akan memiliki limit yang lain? Ini semua tergantung pada masing-
masing A(x) dan B(x) caranya fungsi-fungsi ini menuju nol maupun tak terhingga. Di
sini pula Aturan l’Hôpital dapat membantu kita menentukan limit fungsi A(x)B(x)
setelah kita mengubahnya menjadi bentuk 0/0 atau ∞/∞.
Contoh 2 Tentukan .
Penyelesaian Suku pertama bertumbuh tanpa batas: demikian juga suku kedua. Kita
katakan bahwa limit tersebut memiliki bentuk tertentu ∞-∞. Kembali pertentangan
hebat terjadi. Aturan l’Hôpital akan menentukan hasilnya, tetapi hanya setelah kita
menuliskan kembali persoalantersebut dalam bentuk yang memungkinkan aturan ini
berlaku. Pada kasus ini, kedua pecahan haruslah dikombinasikan, prosedur yang akan
mengubah persoalan tersebut menjadi dalam bentuk 0/0. PenerapanAturan l’Hôpital
dua kali akan menghasilkan
Dapat juga di tulis dalam program maple sebagai berikut
> Limit((x/(x-1))-(1/ln(x)),x=1);
limx 1
xx 1
1( )ln x
Maka hasil yang diperoleh adalah
> limit((x/(x-1))-(1/ln(x)),x=1);
12
BENTUK TAK-TENTU 00, ∞0, 1∞ Sekarang kita akan membahas bentuk tak-tentu
jadi eksponen. Cara yang kita pakai ialah menulis bentuk tak-tentu tersebut sebagai
logaritma. Kemudian Aturan l’Hôpital kita gunakan pada bentuk logaritmaini.
Contoh 3 Tentukan
Penyelesaian Bentuk limit tersebut adalah 1∞ yang tak-tentu. Andaikan y=(x+1)cot x
maka
dengan menggunakan Aturan l’Hôpital bentuk 0/0, kita peroleh,
Kini y=eln y, dan oleh karena fungsi eksponensial f(x)=ex adalah kontinu,maka
Jika dikerjakan dalam program maple, maka hal yang dilakukan adalah
> Limit((x+1)^cot(x),x=0);
limx 0
( )1 x( )cot x
Dan hasil yang muncul, sebagai berikut;
> limit((x+1)^cot(x),x=0);
e
IKHTISAR Kita telah menggolongkan beberapa persoalan limit sebagai bentuk tak-
tentu, dengan menggunakan tujuh buah simbol 0/0, ∞/∞, 0.∞, ∞-∞, 00, ∞0, dan 1∞.
Masing-masing bentuk melibatkan persaingan kekuatan yang berlawanan, yang
berarti bahwa hasilnya tidak jelas terluhat. Akan tetapi, dengan bantuan Aturan
l’Hôpital, yang hanya diterapkan secara langsung pada bentuk 0/0 dan ∞/∞. Kita
biasanya dapat menentukan harga limit yang tepat.
Terdapat banyak kemungkinan lain yang misalnya dilambangkan oleh 0/∞,
∞/0, ∞+∞, ∞.∞,0∞, dan ∞∞. Mengapa yang ini tidak kita sebut bentuk tak-tentu?
Karena pada tiap kasus ini, gaya-gaya itu saling membantu, bukannya bersaing.
3. Integral Tak-Wajar (Improre), Batas Tak Hingga
Dalam mendefinisikan , telah diandaikan bahwa selang [a,b]
terhingga. Walaupun demikian, banyakpenerapan integral tentu dalam fisika,
ekonomi dan teori peluang yang menghendaki a atau b (atau keduanya) menjadi tak-
terhingga. Oleh karena itu, kita harus memberikan arti pada lambang seperti
, ,
Integral demikian dinamakan integral tak wajar dengan batas pengintegralan yang tak
terhingga.
Penulisan integral dalam program maple dapat dituliskan sebagai berikut :
Misal kita akan menulisakan bentuk-bentuk integral di atas ke dalam program maple,
maka perintah yang kita tuliskan dalam maple adalah :
Untuk bentuk integral pertama
> Int(1/(1+x^2),x=0..infinity);
d
0
1
1 x2 x
Untuk bentuk integral kedua
> Int(x*e^(-x^2),x=0..infinity);
d
0
x e( ) x2
x
Untuk bentuk integral ketiga
> Int(x^2*e^(-x^2),x=0..infinity);
d
0
x2 e( ) x2
x
SATU BATAS TAK TERHINGGA Integral mempunyai arti yang jelas
bagaimana pun besarnya nilai b. malahan kita dapat menghitungnya, sebagai berikut.
Oleh karena , kita dapat mendefinisikan
Di bawah ini kita cantumkan definisi yang umum.
Contoh 1 Tentukan, jika mungkin,
Penyelesaian
Maka,
Kita katakan bahwa integral tak-wajar di atas konvergen dengan bernilai -1/2e.
Kita juga dapat mengerjakan perhitungan integral diatas dengan menggunakan
program maple, integral diatas bila ditulis dalam program maple adalah;
> Int(x*exp(-x^2),x=(-infinity)..(-1));
Definisi
Apabila limit pada ruas kanan ada dan bernilai terhingga, kita katakan bahwa
integral tak wajar yang bersangkutan konvergen dan memiliki nilai yang
terhingga itu. Jika tidak, integral disebut divergen.
d
-1
x e( ) x2
x
Hal pertama yang dilakukan adalah memisalkan fungsi rasional diatas dengan f(x),
yaitu;
> f(x):=x*exp^(-x^2);
:= ( )f x x exp( ) x2
Kemudian mengintegralkan f(x),
> int(x*exp^(-x^2),x);
12
exp( ) x2
( )ln exp
Contoh 2 Tentukan jika mungkin
Penyelesaian
Limit terakhir ini tidak ada, jadi integral tak-wajar diatas adalh divergen. Perhatikan
arti geometri integral itu untuk dapat memahami hasil tersebut.
Pengerjaan dalam program maple adalah;
> Int(sin(x),x=0..infinity);
d0
( )sin x x
KEDUA BATAS INTEGRAL TAK TERHINGGA Kita mulai dengan definisi
berikut.
Definisi
Apabila dan konvergen, maka dikatakan
konvergen dengan nilai
Dalam hal yang lain dinamakan divergen.
PARADOKS CORONG GABRIEL Andaikan kurva pada selang [1,∞)
diputar mengelilingi sumbu x. maka terbentuklah suatu permukaan yang disebut
corong Gabriel (Gambar 4). Akan kita tunjukkan bahwa:
1. volume V corong adalah
terhingga.
2. luas permukaan corong A tak
terhingga.
Jadi apabila corong itu kita isi dengan cat,
banyaknya cat ini terhingga. Namun tidak cukup
untuk untuk mengecat seluruh corong itu. Untuk
menjelaskan paradoks ini, terlebih dahulu kita
buktikan sifat-sifat pada (1) dan (2). Berturut-turut
kita peroleh
Oleh karena,
Maka,
dan karena ln b → ∞ apabila b → ∞, maka A tak terhingga.
Apakah ada kekeliruan pada matematik kita? Tidak. Bayangkan bahwa
corong tersebut akan dibelah, dibuka, dan diratakan. Berikan jumlah cat yang
terhingga banyaknya, kita tidak dapat mencat permukaan corong ini dengan lapisan
cat yang merata tebalnya. Akan tetapi, kita dapat melakukan hal itu jika mengijinkan
lapisan cat tersebut semakin tipis untuk permukaan yang sedemikian jauh dari ujung
besar corong. Dan, tentu saja, inilah yang sebenarnya terjadi ketika kita mengisi
GABRIEL MELAPIS JALAN
Ketika diminta untuk melapis jalan yang tak terhingga 0≤x≤∞,0≤y≤1
dengan emas murni, Gabriel mematuhi tetapi membuat tabel h emas murni di
titik x memenuhi
Berapa banyak emas yang diperlukan?
Hanya 1 kubik
corong utuh dengan π kubik cat (cat imajiner dapat disebarkan dengan sebarang
keenceran).
4. Integral Tak-Wajar: Integran Tak Terhingga
Dengan meninjau banyak pengintegralan rumit yang telah kita kerjakan
berikut salah satu yang kelihatannya cukup sederhana
???
Apabila kita memperhatikan, grafik pada Gambar 1 ini, tampaknya ada sesuatu yang
aneh. Sebab jawaban integral (jika memang ada)
tentunya harus suatu bilangan positif.
Mengapa? Di manakah letak kesalahan dalam
perhitungan integral tersebut? Untuk
menjawab pertanyaan ini, lihatlah kembali
Pasal 5.5 (Fungsi-fungsi apa yang dapat
diintegralkan) khususnya halaman 278.
Seperti diketahui, agar suatu fungsi dapat diintegralkan dalam arti yang biasa, fungsi
tersebut harus terbatas. Dalam contoh di atas, fungsi itu adalah f(x)=1/x2, yang tak
terbatas. Jadi tak dapat diintegralkan dalam arti yang biasa. Dikatakan bahwa
adalah integral yang tak-wajar dengan integral yang tak terhingga (lebih tepat untuk
mengatakan integral yang tak-terbatas).
Hingga saat ini, kita menghindarkan dengan sengaja integral-integral yang
integrannya tak terhingga dalam soal maupun contoh. Dalam pasal ini kita akan
mendefinisikan dan membahas integral-integral itu.
INTEGRAN YANG TAK TERHINGGA PADA TITIK UJUNG SUATU
SELANG. Kita berikan definisi integral yang ontegrannya menuju taj terhingga di
titik ujung sebelah kanan selang pengintegralan. Untuk sifat ynag sama di titik
sebelah kiri ada definisi yang hampir serupa.
Contoh 1 Jika mungkin hitunglah .
Penyelesaian
Jadi integral ini divergen.
Jika dikerjakan dalam program maple, sebagai berikut;
> Int(1/x,x=0..1);
d
0
1
1x
x
Jika dihitung dalam penghitungan maple, adalah
> int(1/x,x=0..1);
Definisi
Andaikan f kontinu pada selang setengah buka [a,b) dan andaikan .
Maka,
Asalkan limit itu ada dan terhingga. Dalam hal ini dikatakan bahwa integral
tersebut konvergen. Dalam hal yang lain, integral disebut divergen.
Sehingga hasil yang diperoleh dalam penghitungan manual dan dalam maple adalah
sama, yaitu; ∞.
INTEGRAN YANG TAK-TERHINGGA PADA SEBUAH TITIK DALAM
Integral adalah sebuah contoh pasal ini. Perhatikan bahwa integran ini tak-
terhingga pada x = 0. definisi tepatnya adalah sebagai berikut:
Contoh 3 Buktikan bahwa divergen.
Penyelesaian
Menurut Contoh 4, integral kedua pada ruas kanan divergen. Jadi integral yang
diberikan adalah divergen.
Soal – Soal Evaluasi dan penyelesaiannya
Definisi
Andaikan f kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b. Andaikan
. Kita definisikan
Asal saja kedua integral di ruas kanan konvergen. Apabila tidak, integral
disebut divergen.
Selesaikan integral berikut dengan program maple :
1.
2.
3.
4.
Penyelesaiannya :
1. Hal pertama yang perlu dilakukan adalah menuliskan limitnya, maka dalam
program maple akan muncul sebagai berikut :
Limit((sin(x)-2*x)/x,x=0);
limx 0
( )sin x 2 xx
Hasil yang diperoleh adalah
> limit((sin(x)-2*x)/x,x=0);
-1
2. Hal pertama yang perlu dilakukan adalah menuliskan limitnya, maka dalam
program maple akan muncul sebagai berikut :
Limit((sec(x)+1)/tan(x),x=pi/2);
limx
2
( )sec x 1( )tan x
Hasil yang diperoleh adalah
> limit((sec(x)+1)/tan(x),x=pi/2);
sec
2
1
tan
2
3. Misal, kita nyatakan fungsi tersebut dalam f(x), maka dalam program maple dapat
kita tuliskan sebagai berikut;
> f(x):=e^x;
:= ( )f x ex
Kemudian kita integralkan fungsi tersebut.
> int(f(x),x=1..infinity);
limx
ex e
( )ln e
5. Misal, kita nyatakan fungsi tersebut dalam g(x), maka dalam program maple
dapat kita tuliskan sebagai berikut;
> g(x):=1/((x-1)^(1/3));
:= ( )g x1
( )x 1( )/1 3
Kemudian kita integralkan fungsi tersebut.
> int(g(x),x=1..2);
32
D. Penutup
1. Kelebihan pembelajaran ini
Dalam pembelajaran ini kita dapat mengetahui bagaimana kita bisa
membedakan bentuk-bentuk limit dan menyelesaikan limit dan pengintegralan.
2. Kekurangan pembelajaran ini
Kekurangan dalam pembelajaran ini ialah, di dalam program maple kita tidak
diajarkan bagaimana kita bisa memperoleh konstanta-konstanta yang mana
pada perhitungan secara manual dapat kita hitung.
Top Related