Download - Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1

7/27/2019 Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1

1/11

BAB VII

SISTEM DERAJAT KEBEBASAN BANYAK

(MULTI DEGREE OF FREEDOM)

Persamaan gerak dari suatu sistem dapat diturunkan sebagai berikut :

( )11111221xmxkxxkm =

( ) 02212111=++ xkxkkxm

( ) ( )221222332xmxxkxxkm =

( ) 0332321222=++ xkxkkxkxm

( ) ( )332333443xmxxkxxkm =

( ) 0443432333=++ xkxkkxkxm

( ) ( )nnnnnnnnn

xmxxkxxkm = 2111

( ) 01121

=++ nnnnnnnnn xkxkkxkxm

Persamaan gerak ini kalau ditulis dalam bentuk matrix :

0

0

00

00

2

1

21

22221

11211

2

1

2

1

=

+

nnnnn

n

n

nn

x

x

x

kkk

kkk

kkk

x

x

x

m

m

m

dimana :

k11 = k1 + k2; k12 = k21 = -k2; k13 = k14 = k1n = 0

k22 = k2 + k3; k23 = k32 = -k3; k24 = k25 = k2n = 0

k33 = k3 + k4; k34 = k43 = -k4; k35 = k3n = 0

atau :

kii = ki + ki+1; ki,i+1 = ki+1,i = -ki+1

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA


2/11

kij lainnya = 0

Persamaan gerak di atas bisa juga ditulis sebagai berikut :

[ ] ( ) [ ] ( ) 0=+ xkxM dimana :

M adalah matrix massa (matrix diagonal)

K adalah stiffness matrix (matrix bujur sangkar)

xi adalah displacement tiap-tiap massa (matrix kolom)

ix adalah percepatan tiap-tiap massa (matrix kolom)

Asumsi solusinya adalah harmonis dengan periode yang sudut fasenya sama :

( ) ( ) == ntniintii AxAx coscos2

Disubstitusikan ke dalam persamaan di atas diperoleh

{ } ( ) 0cos2 = ntn AKM

Bentuk tersebut di atas hanya akan mempunyai solusi bila harga determinant

dari matrix sama dengan nol

02 =KMn

Harga determinant ini kalau diselesaikan akan kita peroleh harga-harga circular

natural frequency dari tiap-tiap mode n derajat kebebasan ada n buah n.

Bentuk ini hanya akan mudah dihitung bila derajat kebebasan (degree of

freedom) dari sistem masih kecil n 3 menghitung harga determinant dari marix

n x n dimana n > 3 cukup sulit, kecuali dibantu dengan komputer.

Contoh VII.1 :



3/11

Free Body Diagram

( )

( ) ( )101221111

1111122

111

=+

=

=

xxkxkxm

xmxkxxk

amFm x

( )

( ) ( )20

12222

22122

222

=+

=

=

xxkxm

xmxxk

amFm x

Anggap solusi adalah harmonis dengan sudut fasenya sama

( ) ( ) == tAxtAx nnn coscos2

1111

( ) ( ) == tAxtAx nnfasesudut

n coscos2

2222

Substitusikan ke dalam persamaan 1 & 2 di dapat

( ) ( ) ( ) 0cos112211

2

11=+ tAAkAkmA nn

( ) ( ) ( ) 0cos2122

2

22=+ tAAkmA nn

Atau

( ) ( ) 01221

2

121=+ AkAmkk n

( ) ( ) 022

2

2212=+ AmkAk n

( )( )2

121

2

2

11

nmkk

k

A

A

+=

( )(

2

2

22

2

12

k

mk

A

A n=



4/11

maka :

( )( )

2

2

22

2

121

2

k

mk

mkk

kn

n

=

+

( )( )222

2

121

2

2 nnmkmkkk +=

( ){ } ( ) 022212

2

22112

4

21=++++ kkkkmkkmkmm nn

( )0

21

212

1

21

2

24 =+

+

+mm

kk

m

kk

m

knn

, persamaan ini disebut persamaan

frequency, sebagai contoh : k1 = k2 = k ; m1 = m2 = m

02

2

2

24 =+

+

m

k

m

k

m

k

nn

03

2

2

24 =+m

k

m

knn

==

= 5

2

35

22

3

2

493

2

2

2

2

2

m

k

m

k

m

km

k

m

k

m

k

n

m

k

m

kn

38.0

2

5

2

321 =

=

m

kn

38.01 =

m

k

m

kn

62.22

5

2

322

=

+=

m

kn

62.22=

( )

( )

==

==tAx

tAx

A

A

m

k

n

n

n

122

121

2

1

1

cos

cos62.062.038.0

( )

( )

==

==tAx

tAx

A

A

m

k

n

n

n

222

221

2

1

2

cos

cos62.162.162.2

Contoh VII.2 :



5/11

Portal dua tingkat dengan massa balok m1 = 2m, m2 = m, massa kolom

diabaikan, kekakuan kolom EI dan kekakuan balok dianggap tak terhingga

dibandingkan terhadap kekakuan kolom.

( )

2

12

2

6

h

xxEIM

= ;

2

1

1

6

h

EIxM =

Free Body Diagram

( )

( ) ( )10

2424

12111

113

12

3

1

111

=+

=

+

=

xxkkxxm

xmh

xxEIh

xEI

amFm



6/11

( )

( ) ( )20

24

12222

223

12

222

=+

=

=

xxkxm

xm

h

xxEI

amFm

dimana :3

24

h

EIk =

m1 = 2m ; m2 = m

maka :

( ) ( ) 0211211=+ xxkkxxm

( ) ( ) 021222=+ xxkxm

Anggap solusinya :


1111


2222

Substitusikan pada persamaan (1) dan (2) menghasilkan

( ) ( ) 0211211

2 =+ AAkkAAmn

( ) ( ) 02122

2 =+ AAkAmn

( ) ( )2

2

1

21

2

220221

n

nmk

k

A

AkAAmk

==

( ) ( )k

mk

A

AAmkkA

n

n

2

2

1

2

2

102

==+



7/11

k

mk

mk

k n

n

2

222

=

( )( ) ( ) 22222 222nnn

mkmkmkk ==

24222242 kmkmk

nn=+

0422242 =+ kkmm

nn

0422

2

24 =+m

k

m

knn ............... persamaan frequency

2

242

2

2

2

2

2 m

k

m

k

m

k

n

=

m

k

m

k

m

k

m

kn

293.022

112

2

121

=

==

m

k

m

k

m

k

m

kn

707.122

112

2

122

=

+=+=

707.0

2

1

1=

A

A

n

707.0

2

1

2=

A

A

n

Mode 1 Mode 2

Contoh VII.3 :



8/11

Portal 3 tingkat dengan EI kolom yang sama, m1 = 3m, m2 = 3m, m3 = m,

kekakuan balok dianggap tak terhingga dibandingkan dengan kekakuan kolom,

massa kolom diabaikan. Tentukan circular natural frequency dan normal

modenya.

2

1

1

6

h

xIEM = ;

( )2

12

2

6

h

xxIEM

= ;

( )2

23

3

6

h

xxIEM

=

Namakan :3

24

h

EIk =

Free Body Diagram :

( )111211xmxxkxkm =+

023 211 =+ xkxkxm (1)

( ) ( )2223122xmxxkxxkm =+

023 3212 =+ xkxkxkxm (2)



9/11

( )33233xmxxkm =

0323 =+ xkxkxm (3)

Misalkan :

( ) =nt

Ax cos11

( ) =ntn

Ax cos2

11

( ) =nt

Ax cos22

( ) =ntn

Ax cos2

22

( ) =nt

Ax cos33

( ) =ntn

Ax cos2

33

Dari persamaan (1), (2) dan (3)

023211

2 =+ AkAkAmn

0233212

2 =+ AkAkAkAmn

0323

2 =+ AkAkAmn

( ) ( ) 0032321

2 =+ AAkAmkn

(1a)

( ) 03232

2

1=+ AkAmkkA n (2a)

( ) ( ) 00 32

21 =+ AmkAkA n (3a)

( )( )

( )0

0

32

032

2

2

2

=

n

n

n

mkk

kmkk

kmk

( ) ( ) ( ) 035232 22242222 =+++ nnnn mkkkkmmkkmk

( ) ( ) ( ) 0353222342222

=+++ nnnn mkkmmkkmk

09153610222363422242223 =+++nnnnnn

mkkmmkmkmkmkk

0921126342223 =+nnn

mmkmkk

092112642

23

=

+

nnn

m

k

m

k

m

k

012219

3

2

2

46 =

+

m

k

m

k

m

knnn



10/11

namakan xn =2

; am

k =

0122193223 =+ axaxax

Dengan trial and error, didapat :

ax 487.11 = m

kn

487.12

1=

m

kn

487.11=

Persamaan di atas dibagi dengan (x 1.487a) didapat :

0671.0619.7922 =+ axax

( )

18

156.24619.7619.722

3,2

aaax

=

ax 10.02 =

ax 75.03 =

m

k

m

knn

1.01.02

2

2==

m

k

m

knn

75.075.03

2

3==

Jika disusun dari kecil ke besar

m

k

m

k

m

knnn

487.1;75.0;1.02

3

2

2

2

1===

Mencari mode shape

m

kn

1.02

1= , disubstitusikan ke dalam persamaan (1a), (2a) dan (3a)

didapat :

1.7 A1 A2 = 0 A2 = 1.7 A1

-A1 -1.7 A2 A3 = 0 A3 = 1.89 A1

A1 : A2 : A3 = 1 : 1.7 : 1.89

m

kn

75.02

2=

A1 : A2 : A3 = 1 : -0.25 : -0.94

m

kn

487.12

3=

A1 : A2 : A3 = 1 : -2.461 : 5.056



11/11

Mode 1 Mode 2 Mode 3
