BAB 1
VEKTOR
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
1.1 DEFINISI VEKTOR
Contoh : kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet
Gambar : P Q
Titik P : Titik pangkal vektor
Titik Q : Ujung vektor
Tanda panah : Arah vektor
Panjang PQ = |PQ| : Besarnya (panjang) vektor
Notasi Vektor
A Huruf tebal
Pakai tanda panah di atas A
A Huruf miring
Panjang vektor A = |A|
(pakai tanda mutlak)
PENGGAMBARAN DAN NOTASI VEKTOR
1.2 PENYAJIAN VEKTOR
Bentuk vektor kolom:
4
3u
0
2
1
PQatau
Bentuk vektor baris:
4 ,3 AB atau 0 ,3 ,2 v
Vektor ditulis dengan notasi: i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k
• Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama.
▫ Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
▫ Jika u = v, maka
|u| = |v|
arah u = arah v
a=c dan b=d
1.3 KESAMAAN DUA BUAH VEKTOR
22|| bau Panjang vektor u =
Catatan:
a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama
A B A = B
b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika:
1. Besar sama, arah berbeda
A B
A B
2. Besar tidak sama, arah sama
A B
3. Besar dan arahnya berbeda
A B A B
A B
1.4.1 Penjumlahan Vektor
• Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang
• Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
6
v u w = u + v
w = u + v
u
v
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
au
1.4 OPERASI-OPERASI VEKTOR
1.4.2 Pengurangan Vektor
• Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v)
• Dalam bentuk pasangan bilangan
7
v u
w = u - v -v
u
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
au
1.4.3 Perkalian Vektor dengan Skalar
• mu adalah suatu vektor dg panjang m kali panjang vektor u dan searah dengan u jika m > 0, dan berlawanan arah jika m < 0.
8
u
2u
mb
ma
b
ammumaka
riilbilanganmdanb
auJika
:
,
• Komutatif a + b = b + a • Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c) • Elemen identitas terhadap penjumlahan • Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
berupa vektor • 1u = u • 0u = 0, m0 = 0. • Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
1.5 DALIL-DALIL OPERASI VEKTOR
Dalil-Dalil Operasi Vektor (lanj.)
• (mn)u = m(nu)
• |mu| = |m||u|
• (-mu) = - (mu) = m (-u)
• Distributif : (m+n)u = mu + nu
• Distributif : m(u+v) = mu + mv
• u+(-1)u = u + (-u) = 0
1.6.1 Vektor Nol
Vektor Nol adalah
Vektor yang
Semua komponennya
nol, misal 0 = (0, 0, 0)
1.6 JENIS-JENIS VEKTOR
1.6.2 Vektor Satuan
Vektor satuan adalah suatu
vektor yang panjangnya satu
Vektor satuan searah sumbu X,
sumbu Y , dan sumbu Z
berturut-turut
adalah vektor i , j dan k
1
0
0
dan
0
1
0
,
0
0
1
kji
Vektor Satuan
dari vektor a = a1i + a2j+ a3k
adalah
2
3
2
2
2
1
321 aaa
kajaia
a
aee
aa
Contoh: Vektor Satuan dari
vektor a = i - 2j+ 2k
adalah…. Jawab:
a
ae
a
222 2)2(1
22
kjie
a
222 2)2(1
22
kjie
a
3
22
kjie
a
kjiea 3
232
31
• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.
cos|||| baba
Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,a2,a3] dan b = [b1,b2,b3], maka :
332211 babababa
a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
1.7 DOT PRODUCT
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product
• Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
22
21
22
21
332211
|| ||cos
bbaa
bababa
ba
ba
1. Komutatif : A B = B A
2. Distributif : A (B+C) = (A B) + (A C)
3. a a = │a│2
Sifat-Sifat Perkalian Titik (Dot Product)
1. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa
panjang vektornya ?
Vektor
Jawab :
= + + 2 2
(-3) 2
4 2 A A
= 2i – 3j + 4k A
= = 29 satuan
2. Tentukanlah hasil perkalian titik (dot product) dari dua buah vektor berikut ini :
2i – 2j + 4k A =
i – 3j + 2k B =
Jawab :
Perkalian titik :
A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2
= 16
Contoh Soal
Definisi :
Misalkan himpunan vektor di ruang vektor
V, maka S dikatakan bebas linear jika
mengakibatkan k1 = 0, k2 = 0, …., kr = 0 dan dikatakan
bergantung linear jika terdapat skalar yang tidak semuanya
nol.
1 1 2 2 .... 0r rk v k v k v
1 2, ,..., rS v v v
1.8 Bebas Linier dan Bergantung Linier
Contoh:
1. Apakah vektor v1 = [1, 1], v2 = [1, 2] bebas linear?
2. Periksa apakah vektor-vektor v1 = [1, -2, 3], v2 =[5, 6, -1]
dan v3 = [3, 2, 1] bebas linier?
Definisi:
Vektor dikatakan kombinasi linear dari vektor-vektor
jika dapat dinyatakan sebagai
dengan k1, k2, …., kr merupakan skalar.
Contoh:
Misalkan diberikan vektor dan
Manakah diantara vektor-vektor ini yang merupakan
kombinasi linear dari
w
1 2, ,...., rv v v w
1 1 2 2 .... r rw k v k v k v
0, 2,2u 1,3, 1v
dan u v
1. 0, 2,2w 2. 0,4,5w
1.9 Kombinasi Linier
LATIHAN
1. Manakah vektor-vektor berikut ini yang bebas linier atau
bergantung linier?
a. u = [-3, 0, 4], v = [5, -1, 2], w = [1, 1, 3]
b. v1 = [3, 1, 2], v2 = [1, 2, 1], v3 = [2, -1, 1]
2. Misalkan diberikan vektor v1 = [1, 3, -1] dan v2 = [0, -2, 2]
Manakah diantara vektor-vektor w ini yang merupakan kombinasi
linear dari v1 dan v2?
a. w = [2, 2, 2]
b. w = [3, 1, 5]
c. w = [0, 0, 0]
d. w = [0, 4, 5]
Top Related