ALJABAR VEKTOR MATRIKS
oleh: Yeni Susanti
Materi
โข SPL : Definisi, Solusi, SPL Nonhomogen, SPL Homogen, Matriks Augmented, Bentuk Eselon Baris (Bentuk Eselon baris Tereduksi), Eliminasi Gauss (Eliminasi Gauss-Jordan)
โข Matriks : Definisi, Operasi Aljabar Matriks, Sifat-Sifat, Invers Matriks, SPL dan Matriks, Determinan, Metode Mencari Determinan, Aturan Sarrus, Aturan Cramer
โข Vektor : Vektor di ๐ 2 (Ruang Dimensi 2) dan ๐ 3 (Ruang Dimensi 3), Operasi Vektor dan Sifat-Sifatnya, Dot Product dan Cross Product serta Sifat-Sifatnya, Arti Geometris, Garis dan Bidang di ๐ 2 dan ๐ 3, Ruang ๐ ๐
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Referensi
โข Anton, H., Rorres, C., Elementary Linear Algebra:
Application Version, John Wiley and Sons, 2000 โข Nicholson, W. K., Elementary Linear Algebra, Mc. Graw
Hill, 2001 โข Mattews, K. R โข Bersumber dari internet (keywords: elementary linear
algebra exercises) โข Dll.
Penilaian
KOMPONEN NILAI โข 40% Nilai UAS (Ujian Akhir Semester) โข 40% Nilai UTS (Ujian Tengah Semester) โข 20% Tugas โข Keaktifan Nilai Akhir = 40% Nilai UAS+ 40% Nilai UTS + 20% Tugas + Nilai Keaktifan NILAI AKHIR : A : >80 B : 60-80 C : 40-60 D : 20-40 E : <20
Yeni Susanti
Email : [email protected]
Website : http://acadstaff.ugm.ac.id/yeni
Kantor : Jurusan Matematika MIPA UGM (MIPA UTARA)
SPL โ Sistem Persamaan Linear CONTOH PERMASALAHAN YANG BISA DIBAWA KE MASALAH SPL
1. Di sebuah kantin, si A membeli 3 buah kue donat dan 2 botol minuman
tertentu, seharga total Rp. 10000,- dan si B membeli 2 buah kue donat dan 2
botol minuman (yang sama dengan yang dibeli si A), seharga total Rp. 8000,-.
Berapa harga sebuah kue donat dan sebotol minuman yang dibeli si A dan si
B?
2. Sebuah pesawat I menempuh perjalanan 1200 km dari A ke B selama 2 jam
searah arah angin saat itu. Sebuah pesawat lain dari arah berlawanan (B ke A)
membutuhkan waktu 2.5 jam dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan
pesawat I. Tentukan kecepatan pesawat dan kecepatan angin saat itu!
CONTOH PERMASALAHAN YANG BISA DIBAWA KE MASALAH SPL
3. Tentukan besar arus I1, I2, I3 pada rangkaian listrik berikut :
CONTOH PERMASALAHAN YANG BISA DIBAWA KE MASALAH SPL
4. Tentukan titik potong 2 garis dengan persamaan :
3x+2y+5=10 dan 3x+2y=5 !
5. The admission fee at a small fair is $1.50 for children
and $4.00 for adults. On a certain day, 2200 people
enter the fair and $5050 is collected. How many
children and how many adults attended?
(http://www.purplemath.com/modules/systprob.htm)
6. The sum of the digits of a two-digit number is 7.
When the digits are reversed, the number is
increased by 27. Find the number!
(http://www.purplemath.com/modules/systprob.htm)
Contoh Persamaan Linear
โข Persamaan garis dalam ruang dimensi 2
misal 2x+3y-10=0
โข Persamaan bidang dalam ruang dimensi 3
misal 2x+4y-7=10
โข Persamaan : 3x=5
โข Persamaan : -2a+10b+7c=0
Bentuk Umum Persamaan Linear
Persamaan linear dalam n variabel (unknown,
anu) ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ secara umum berbentuk :
๐1๐ฅ1 + ๐2 ๐ฅ2 + โฏ + ๐๐๐ฅ๐ = ๐
dengan ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ adalah bilangan-bilangan
real.
Solusi Persamaan Linear
Solusi persamaan linear ๐1๐ฅ1 + ๐2 ๐ฅ2 + โฏ + ๐๐๐ฅ๐ = ๐
adalah barisan bilangan-bilangan ๐ 1, ๐ 2, โฆ , ๐ ๐ yang
memenuhi persamaan ๐1๐ฅ1 + ๐2 ๐ฅ2 + โฏ + ๐๐๐ฅ๐ = ๐ ketika
disubstitusikan ๐ฅ1 = ๐ 1, ๐ฅ2 = ๐ 2, โฆ , ๐ฅ๐ = ๐ ๐
Contoh :
Tentukan semua solusi persamaan linear 2x+4y=10 !
Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear (SPL) Himpunan berhingga persamaan-persamaan linear dalam variabel ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ disebut SPL Bentuk Umum SPL dalam m persamaan dan n variabel ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ : ๐11๐ฅ1 + ๐12 ๐ฅ2 + โฏ + ๐1๐๐ฅ๐ = ๐1
๐21๐ฅ1 + ๐22 ๐ฅ2 + โฏ + ๐2๐๐ฅ๐ = ๐2 โฎ
๐๐1๐ฅ1 + ๐๐2 ๐ฅ2 + โฏ + ๐๐๐๐ฅ๐ = ๐๐ Solusi SPL dalam variabel ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ adalah barisan bilangan-bilangan ๐ 1, ๐ 2, โฆ , ๐ ๐ yang memenuhi semua persamaan dalam SPL ketika disubstitusikan ๐ฅ1 = ๐ 1, ๐ฅ2 = ๐ 2, โฆ , ๐ฅ๐ = ๐ ๐
Latihan
Formulasikan SPL pada contoh di awal !!
Eksistensi Solusi SPL
Apakah SPL selalu mempunyai solusi ?
Perhatikan Gambar Berikut : Sumber gambar : http://www.solitaryroad.com/c630.html
Perhatikan Gambar Berikut sumber gambar : http://geomalgorithms.com/a05-_intersect-1.html
EKSISTENSI SOLUSI SPL
โข SPL MEMPUNYAI SOLUSI (SOLUSI ADA)
-> SPL dikatakan KONSISTEN
SOLUSI TUNGGAL
SOLUSI TAK BERHINGGA BANYAK
โข SPL TIDAK MEMPUNYAI SOLUSI (SOLUSI TIDAK ADA)
-> SPL dikatakan INKONSISTEN
Menyelesaikan SPL= Mencari Solusi SPL
โข Metode apa yang selama ini Anda pakai ?
โข Menurut Anda metode yang Anda pakai mempunyai kelemahan atau tidak?
โข METODE ALTERNATIF ??
Dari SPL ke Augmented Matrix
SPL : ๐11๐ฅ1 + ๐12 ๐ฅ2 + โฏ + ๐1๐๐ฅ๐ = ๐1 ๐21๐ฅ1 + ๐22 ๐ฅ2 + โฏ + ๐2๐๐ฅ๐ = ๐2
โฎ ๐๐1๐ฅ1 + ๐๐2 ๐ฅ2 + โฏ + ๐๐๐๐ฅ๐ = ๐๐
Disajikan dalam bentuk matriks
โAugmented Matrixโ
Contoh :
โข SPL dalam 3 persamaan dan 3 variabel ๐ฅ1, ๐ฅ2 dan ๐ฅ3 dan augmented matrix-nya sbb :
Selanjutnya apa yang harus kita lakukan dengan augmented matrix?
โข Augmented Matrix kita ubah menjadi matriks yang lebih sederhana
Sama artinya dengan
โข Mengubah SPL ke dalam SPL yang lebih sederhana dengan solusi yang sama dengan SPL mula-mula !!
Pertanyaan : Dengan cara apa??
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) :
1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta yang tidak nol
2. Menukar baris
3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris yang lain
Perhatikan Langkah Berikut :
Matriks
dikatakan ber-Bentuk Eselon Baris Tereduksi (BEBT)
Proses yang dikerjakan pada matrix sampai mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi disebut Eliminasi Gauss Jordan
Bentuk Eselon Baris (Tereduksi)- BEB(T)
Suatu matriks dikatakan ber-Bentuk Eselon Baris (BEB) jika memenuhi tiga syarat berikut:
1. Elemen tak nol pertama dalam setiap baris (jika ada) adalah
(Elemen tak nol pertama ini selanjutnya disebut โleading
oneโ)
2. Leading one baris yang lebih bawah, terletak lebih ke kanan
dibandingkan leading one baris-baris di atasnya.
3. Baris-baris nol terkumpul di barisan terbawah.
Suatu matriks dikatakan ber-Bentuk Eselon Baris Tereduksi (BEBT) jika matriks tersebut dalam BEB dan setiap elemen (kecuali leading one) yang sekolom dengan leading one sama dengan nol.
Contoh matriks dalam BEB(T)
Contoh Matriks dalam BEB(T)
Eliminasi GAUSS-(JORDAN)
โขProses mendapatkan BEB
disebut Eliminasi Gauss
โขProses mendapatkan BEBT disebut Eliminasi Gauss-Jordan
Langkah Eliminasi Gauss
1. Kumpulkan baris nol (jika ada) ke barisan bawah, dengan cara menukar baris (OBE 2)
2. Pastikan : posisi elemen tak nol pertama pada baris yang lebih atas berada lebih ke kiri atau minimal sekolom dengan elemen tak nol pertama pada baris-baris yang lebih bawah. Gunakan OBE 2 (menukar baris) bila perlu.
3. Jadikan elemen tak nol pertama dalam baris pertama menjadi leading one. Jika elemen tak nol pertama dalam baris tersebut tidak sama dengan 1, gunakan OBE 1 (mengalikan suatu baris dengan konstanta yang tidak nol).
Eliminasi Gauss-Jordan
4. Nol-kan semua elemen di bawah leading one.
5. Kerjakan langkah 3 dan 4 untuk semua baris tidak nol.
Sampai di sini akan diperoleh BEB
6. Nol-kan semua elemen (selain leading one) yang sekolom
dengan leading one.
Sampai di sini akan diperoleh BEBT.
Contoh Eliminasi Gauss -Jordan http://www.algebra.com/algebra/homework/Matrices-and-determiminant/Matrices-and-determiminant.faq.question.190355.html
Menentukan solusi SPL yang augmented matrix-nya dalam BEB (BEBT) http://marcelita2789.blogspot.com/2010/07/gauss-jordan-method.html
Selesaikan SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan
Jawab:
Bentuk augmented matrix :
BEB :
Dengan BACK-SUBSTITUTION diperoleh :
w=0
y-z+w=0 y-z=0 y=z
x+y-z+w=0 x=0
SOLUSI :
dengan s bilangan real sebarang.
BEBT :
SOLUSI : ๐ฅ = 0 ๐ฆ โ ๐ง = 0 โ ๐ฆ = ๐ง ๐ค = 0
atau
dengan s bilangan real sebarang.
____________________________________________________
CATATAN :
leading one leading variable
non-leading variable variabel bebas
Latihan :
Tentukan Solusi SPL dalam variabel p, q, r, s jika BEB augmented matrix SPL tsb adalah :
Tentukan Solusi SPL dalam variabel p, q, r, s jika BEB augmented matrix SPL tsb adalah :
JAWAB :
๐ = 3
๐ โ ๐ = 2 ๐ = ๐ + 2
๐ + 2๐ โ ๐ = 1 ๐ = 1 โ 2๐ + ๐
= 1 โ 2 ๐ + 2 + 3 = โ2๐
atau
Bagaimana jika BEB tersebut dieliminasi lagi hingga dalam BEBT?
Tambahkan -2 kali baris kedua ke baris pertama (RI + (-2) RII), diperoleh :
Tambahkan baris ketiga ke baris pertama (RI + RIII), diperoleh :
SOLUSI :
SOAL-SOAL LATIHAN Selesaikanlah SPL berikut dengan menggunakan metode Gauss atau Metode Gauss-Jordan
Top Related