ALJABAR VEKTOR MATRIKS

oleh: Yeni Susanti

Materi

• SPL : Definisi, Solusi, SPL Nonhomogen, SPL Homogen, Matriks Augmented, Bentuk Eselon Baris (Bentuk Eselon baris Tereduksi), Eliminasi Gauss (Eliminasi Gauss-Jordan)

• Matriks : Definisi, Operasi Aljabar Matriks, Sifat-Sifat, Invers Matriks, SPL dan Matriks, Determinan, Metode Mencari Determinan, Aturan Sarrus, Aturan Cramer

• Vektor : Vektor di 𝑅2 (Ruang Dimensi 2) dan 𝑅3 (Ruang Dimensi 3), Operasi Vektor dan Sifat-Sifatnya, Dot Product dan Cross Product serta Sifat-Sifatnya, Arti Geometris, Garis dan Bidang di 𝑅2 dan 𝑅3, Ruang 𝑅𝑛

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Referensi

• Anton, H., Rorres, C., Elementary Linear Algebra:

Application Version, John Wiley and Sons, 2000 • Nicholson, W. K., Elementary Linear Algebra, Mc. Graw

Hill, 2001 • Mattews, K. R • Bersumber dari internet (keywords: elementary linear

algebra exercises) • Dll.

Penilaian

KOMPONEN NILAI • 40% Nilai UAS (Ujian Akhir Semester) • 40% Nilai UTS (Ujian Tengah Semester) • 20% Tugas • Keaktifan Nilai Akhir = 40% Nilai UAS+ 40% Nilai UTS + 20% Tugas + Nilai Keaktifan NILAI AKHIR : A : >80 B : 60-80 C : 40-60 D : 20-40 E : <20

Yeni Susanti

Email : inielsusan@yahoo.com

yeni_math@ugm.ac.id

Website : http://acadstaff.ugm.ac.id/yeni

Kantor : Jurusan Matematika MIPA UGM (MIPA UTARA)

SPL – Sistem Persamaan Linear CONTOH PERMASALAHAN YANG BISA DIBAWA KE MASALAH SPL

1. Di sebuah kantin, si A membeli 3 buah kue donat dan 2 botol minuman

tertentu, seharga total Rp. 10000,- dan si B membeli 2 buah kue donat dan 2

botol minuman (yang sama dengan yang dibeli si A), seharga total Rp. 8000,-.

Berapa harga sebuah kue donat dan sebotol minuman yang dibeli si A dan si

B?

2. Sebuah pesawat I menempuh perjalanan 1200 km dari A ke B selama 2 jam

searah arah angin saat itu. Sebuah pesawat lain dari arah berlawanan (B ke A)

membutuhkan waktu 2.5 jam dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan

pesawat I. Tentukan kecepatan pesawat dan kecepatan angin saat itu!

CONTOH PERMASALAHAN YANG BISA DIBAWA KE MASALAH SPL

3. Tentukan besar arus I1, I2, I3 pada rangkaian listrik berikut :

CONTOH PERMASALAHAN YANG BISA DIBAWA KE MASALAH SPL

4. Tentukan titik potong 2 garis dengan persamaan :

3x+2y+5=10 dan 3x+2y=5 !

5. The admission fee at a small fair is $1.50 for children

and $4.00 for adults. On a certain day, 2200 people

enter the fair and $5050 is collected. How many

children and how many adults attended?

(http://www.purplemath.com/modules/systprob.htm)

6. The sum of the digits of a two-digit number is 7.

When the digits are reversed, the number is

increased by 27. Find the number!

(http://www.purplemath.com/modules/systprob.htm)

Contoh Persamaan Linear

• Persamaan garis dalam ruang dimensi 2

misal 2x+3y-10=0

• Persamaan bidang dalam ruang dimensi 3

misal 2x+4y-7=10

• Persamaan : 3x=5

• Persamaan : -2a+10b+7c=0

Bentuk Umum Persamaan Linear

Persamaan linear dalam n variabel (unknown,

anu) 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 secara umum berbentuk :

𝑎1𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏

dengan 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 adalah bilangan-bilangan

real.

Solusi Persamaan Linear

Solusi persamaan linear 𝑎1𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏

adalah barisan bilangan-bilangan 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑛 yang

memenuhi persamaan 𝑎1𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 ketika

disubstitusikan 𝑥1 = 𝑠1, 𝑥2 = 𝑠2, … , 𝑥𝑛 = 𝑠𝑛

Contoh :

Tentukan semua solusi persamaan linear 2x+4y=10 !

Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear (SPL) Himpunan berhingga persamaan-persamaan linear dalam variabel 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 disebut SPL Bentuk Umum SPL dalam m persamaan dan n variabel 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 : 𝑎11𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Solusi SPL dalam variabel 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah barisan bilangan-bilangan 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑛 yang memenuhi semua persamaan dalam SPL ketika disubstitusikan 𝑥1 = 𝑠1, 𝑥2 = 𝑠2, … , 𝑥𝑛 = 𝑠𝑛

Latihan

Formulasikan SPL pada contoh di awal !!

Eksistensi Solusi SPL

Apakah SPL selalu mempunyai solusi ?

Perhatikan Gambar Berikut : Sumber gambar : http://www.solitaryroad.com/c630.html

Perhatikan Gambar Berikut sumber gambar : http://geomalgorithms.com/a05-_intersect-1.html

EKSISTENSI SOLUSI SPL

• SPL MEMPUNYAI SOLUSI (SOLUSI ADA)

-> SPL dikatakan KONSISTEN

SOLUSI TUNGGAL

SOLUSI TAK BERHINGGA BANYAK

• SPL TIDAK MEMPUNYAI SOLUSI (SOLUSI TIDAK ADA)

-> SPL dikatakan INKONSISTEN

Menyelesaikan SPL= Mencari Solusi SPL

• Metode apa yang selama ini Anda pakai ?

• Menurut Anda metode yang Anda pakai mempunyai kelemahan atau tidak?

• METODE ALTERNATIF ??

Dari SPL ke Augmented Matrix

SPL : 𝑎11𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮ 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

Disajikan dalam bentuk matriks

“Augmented Matrix”

Contoh :

• SPL dalam 3 persamaan dan 3 variabel 𝑥1, 𝑥2 dan 𝑥3 dan augmented matrix-nya sbb :

Selanjutnya apa yang harus kita lakukan dengan augmented matrix?

• Augmented Matrix kita ubah menjadi matriks yang lebih sederhana

Sama artinya dengan

• Mengubah SPL ke dalam SPL yang lebih sederhana dengan solusi yang sama dengan SPL mula-mula !!

Pertanyaan : Dengan cara apa??

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) :

1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta yang tidak nol

2. Menukar baris

3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris yang lain

Perhatikan Langkah Berikut :

Matriks

dikatakan ber-Bentuk Eselon Baris Tereduksi (BEBT)

Proses yang dikerjakan pada matrix sampai mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi disebut Eliminasi Gauss Jordan

Bentuk Eselon Baris (Tereduksi)- BEB(T)

Suatu matriks dikatakan ber-Bentuk Eselon Baris (BEB) jika memenuhi tiga syarat berikut:

1. Elemen tak nol pertama dalam setiap baris (jika ada) adalah

(Elemen tak nol pertama ini selanjutnya disebut “leading

one”)

2. Leading one baris yang lebih bawah, terletak lebih ke kanan

dibandingkan leading one baris-baris di atasnya.

3. Baris-baris nol terkumpul di barisan terbawah.

Suatu matriks dikatakan ber-Bentuk Eselon Baris Tereduksi (BEBT) jika matriks tersebut dalam BEB dan setiap elemen (kecuali leading one) yang sekolom dengan leading one sama dengan nol.

Contoh matriks dalam BEB(T)

Contoh Matriks dalam BEB(T)

Eliminasi GAUSS-(JORDAN)

•Proses mendapatkan BEB

disebut Eliminasi Gauss

•Proses mendapatkan BEBT disebut Eliminasi Gauss-Jordan

Langkah Eliminasi Gauss

1. Kumpulkan baris nol (jika ada) ke barisan bawah, dengan cara menukar baris (OBE 2)

2. Pastikan : posisi elemen tak nol pertama pada baris yang lebih atas berada lebih ke kiri atau minimal sekolom dengan elemen tak nol pertama pada baris-baris yang lebih bawah. Gunakan OBE 2 (menukar baris) bila perlu.

3. Jadikan elemen tak nol pertama dalam baris pertama menjadi leading one. Jika elemen tak nol pertama dalam baris tersebut tidak sama dengan 1, gunakan OBE 1 (mengalikan suatu baris dengan konstanta yang tidak nol).

Eliminasi Gauss-Jordan

4. Nol-kan semua elemen di bawah leading one.

5. Kerjakan langkah 3 dan 4 untuk semua baris tidak nol.

Sampai di sini akan diperoleh BEB

6. Nol-kan semua elemen (selain leading one) yang sekolom

dengan leading one.

Sampai di sini akan diperoleh BEBT.

Contoh Eliminasi Gauss -Jordan http://www.algebra.com/algebra/homework/Matrices-and-determiminant/Matrices-and-determiminant.faq.question.190355.html

Menentukan solusi SPL yang augmented matrix-nya dalam BEB (BEBT) http://marcelita2789.blogspot.com/2010/07/gauss-jordan-method.html

Selesaikan SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan

Jawab:

Bentuk augmented matrix :

BEB :

Dengan BACK-SUBSTITUTION diperoleh :

w=0

y-z+w=0 y-z=0 y=z

x+y-z+w=0 x=0

SOLUSI :

dengan s bilangan real sebarang.

BEBT :

SOLUSI : 𝑥 = 0 𝑦 − 𝑧 = 0 → 𝑦 = 𝑧 𝑤 = 0

atau

dengan s bilangan real sebarang.

____________________________________________________

CATATAN :

leading one leading variable

non-leading variable variabel bebas

Latihan :

Tentukan Solusi SPL dalam variabel p, q, r, s jika BEB augmented matrix SPL tsb adalah :

Tentukan Solusi SPL dalam variabel p, q, r, s jika BEB augmented matrix SPL tsb adalah :

JAWAB :

𝑠 = 3

𝑞 − 𝑟 = 2 𝑞 = 𝑟 + 2

𝑝 + 2𝑞 − 𝑠 = 1 𝑝 = 1 − 2𝑞 + 𝑠

= 1 − 2 𝑟 + 2 + 3 = −2𝑟

atau

Bagaimana jika BEB tersebut dieliminasi lagi hingga dalam BEBT?

Tambahkan -2 kali baris kedua ke baris pertama (RI + (-2) RII), diperoleh :

Tambahkan baris ketiga ke baris pertama (RI + RIII), diperoleh :

SOLUSI :

SOAL-SOAL LATIHAN Selesaikanlah SPL berikut dengan menggunakan metode Gauss atau Metode Gauss-Jordan