AnalisisAnalisisAnalisisAnalisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian Listrik
Jilid 2
Sudaryatno Sudirham
Darpublic
2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Hak cipta pada penulis, 2010
SUDIRHAM, SUDARYATNO
Analisis Rangkaian Listrik (2)
Darpublic, Bandung
are-0710
edisi Juli 2011
http://ee-cafe.org
Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.
Fax: (62) (22) 2534117
3
BAB 8
Analisis Pada Suatu Sistem
Pengenalan pada sistem ini bertujuan agar kita
• memahami sinyal dalam pengertian yang lebih luas;
• memahami pengertian tentang sistem;
• mampu membangun diagram blok suatu sistem;
• mampu mereduksi diagram blok suatu sistem.
8.1. Sinyal
Di awal buku ini kita telah mempelajari bentuk gelombang sinyal yang
merupakan suatu persamaan yang menyatakan sinyal sebagai fungsi dari
waktu. Dalam analisis rangkaian listrik, sinyal-sinyal yang kita tangani
biasanya berupa tegangan ataupun arus listrik. Pengertian ini dapat kita
perluas menjadi suatu pengertian yang tidak hanya mencakup sinyal
listrik saja tetapi juga mencakup sinyal-sinyal non-listrik yang juga
merupakan fungsi waktu. Dengan perluasan pengertian ini maka kita
mempunyai definisi untuk sinyal sebagai,
Sinyal adalah suatu fungsi yang menyatakan variasi terhadap
waktu dari suatu peubah fisik.
Fungsi yang kita tetapkan untuk menyatakan suatu sinyal kita sebut
representasi dari sinyal atau model sinyal dan proses penentuan
representasi sinyal itu kita sebut pemodelan sinyal. Suatu sinyal yang
tergantung dari peubah riil t dan yang memodelkan peubah fisik yang
berevolusi dalam waktu nyata disebut sinyal waktu kontinyu. Sinyal
waktu kontinyu ditulis sebagai suatu fungsi dengan peubah riil t seperti
misalnya x(t). Sebagaimana telah disebutkan di awal buku ini, sinyal jenis
inilah yang sedang kita pelajari.
Untuk memberi contoh dari sinyal non-listrik, kita bayangkan suatu
benda yang mendapat gaya. Benda ini akan bergerak sesuai dengan arah
gaya., posisinya akan berubah dari waktu ke waktu. Dengan mengambil
suatu kooordinat referensi, perubahan posisi benda akan merupakan
fungsi waktu dan akan menjadi salah satu peubah fisik dari benda
tersebut dan merupakan suatu sinyal. Selain perubahan posisi, benda juga
4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
mempunyai kecepatan yang juga merupakan fungsi dari waktu;
kecepatan juga merupakan suatu sinyal.
Jika posisi benda dalam contoh di atas merupakan suatu sinyal, apakah ia
dapat dijadikan suatu masukan (input) pada sebuah “rangkaian” ?
Bayangkanlah benda yang bergerak itu adalah sebuah pesawat terbang.
Kita ingin mengamatinya dengan menggunakan sebuah teropong, dan
untuk itu teropong kita arahkan pada pesawat. Setiap saat pesawat
berubah posisi, kedudukan teropong kita sesuaikan sedemikian rupa
sehingga bayangan pesawat selalu terlihat oleh kita melalui teropong.
Kita katakan bahwa posisi pesawat merupakan masukan pada kita untuk
mengubah arah teropong; dalam hal ini kita dan teropong menjadi
sebuah “rangkaian”. Apakah dari “rangkaian” ini ada suatu keluaran
(output)? Keluaran dari “rangkaian” ini adalah berupa perubahan arah
teropong. Jelaslah bahwa ada hubungan tertentu antara arah teropong
sebagai keluaran dengan posisi pesawat sebagai masukan, dan hubungan
keluaran-masukan demikian ini sudah biasa kita lihat pada rangkaian
listrik. Kalau kita yang meneropong pesawat tersebut digantikan oleh
sebuah mesin penggerak otomatis dan teropong diganti dengan sebuah
meriam, maka jadilah sebuah “rangkaian” mesin penembak pesawat.
Mesin penembak ini dapat kita sebut sebagai suatu perangkat yang
mampu menetapkan arah meriam jika mendapatkan masukan mengenai
posisi pesawat (istilah “perangkat” di sini kita beri pengertian sebagai
gabungan dari banyak piranti untuk menjalankan fungsi tertentu).
Dengan kata lain antara sinyal keluaran dengan sinyal masukan terdapat
hubungan yang sepenuhnya ditentukan oleh perilaku perangkat; hal ini
berarti bahwa perangkat “memiliki aturan” yang menetapkan bagaimana
bentuk keluaran untuk sesuatu masukan yang ia terima.
8.2. Sistem
Dengan contoh di atas, kita sampai pada pengertian mengenai sistem
yaitu :
sistem merupakan aturan yang menetapkan sinyal keluaran
dari adanya sinyal masukan.
atau
sistem membangkitkan sinyal keluaran tertentu dari adanya
sinyal masukan tertentu.
Jika kita ingat mengenai pengertian elemen sebagai model piranti dalam
rangkaian listrik, maka sistem dapat dipandang sebagai model dari
5
perangkat. Dengan demikian rangkaian-rangkaian listrik yang sudah
pernah kita pelajari, yang juga menetapkan hubungan antara keluaran dan
masukan, dapat kita pandang sebagai suatu sistem. Kalau rangkaian
tersebut merupakan bagian lain dari rangkaian (dalam hubungan kaskade
misalnya) kita dapat memandangnya sebagai sub-sistem. Hubungan
keluaran-masukan dari suatu sistem dapat kita nyatakan sebagai
[ ])()( txHty = (8.1)
dengan y(t) sinyal keluaran dan x(t) sinyal masukan. Hubungan ini dapat
kita gambarkan dengan diagram berikut.
Perhatikanlah bahwa sistem didefinisikan menurut sinyal keluaran dan
masukannya. Jadi kita memandang sistem dari sudut pandang sinyal
masukan dan keluaran. Selain dari pada itu, Gb.8.1. mempelihatkan
bahwa arah propagasi sinyal adalah sesuai dengan arah anak panah. Jadi
sinyal berasal dari masukan menuju ke keluaran. Penggambaran ini
sesuai dengan definisi kita yaitu bahwa suatu sistem membangkitkan
sinyal keluaran dari sinyal masukan.
Suatu sistem dapat mempunyai satu masukan atau lebih; demikian juga
keluarannya bisa hanya satu atau lebih. Sistem dengan satu masukan dan
satu keluaran disebut single-input-single-output (SISO) system atau kita
terjemahkan dengan sistem masukan-tunggal-keluaran-tunggal (MTKT).
Jika masukan dan keluarannya lebih dari satu disebut multi-input-multi-
output (MIMO) system atau kita terjemahkan sistem masukan-ganda-
keluaran-ganda (MGKG).
8.3. Model Sistem
Pernyataan matematis secara eksplisit dari suatu sistem seperti pada (8.1)
disebut representasi sistem atau model sistem. Proses untuk memperoleh
model sistem kita sebut pemodelan sistem. Ada dua cara yang dapat
ditempuh untuk membangun model sistem. Cara pertama adalah
menurunkan langsung dari hukum-hukum fisika dan cara kedua adalah
melalui observasi empiris. Cara pertama dapat digunakan apabila proses-
proses fisiknya terdefinisi dengan jelas dan difahami. Model sistem yang
H sinyal
masukan sinyal
keluaran x(t) y(t)
Gb.8.1. Diagram suatu sistem.
6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
diturunkan haruslah cukup sederhana untuk keperluan analisis dan
simulasi.
Cara kedua digunakan untuk sistem yang sangat kompleks dan sangat
sulit untuk dianalisis langsung, dan perilaku dinamiknya tidak difahami
secara baik. Untuk melakukan observasi empiris diperlukan sinyal
masukan yang harus dipilih secara cermat, dan sinyal keluarannya
diamati. Model sistem diperoleh dengan melakukan perhitungan balik
dari kedua sinyal tersebut. Pembangunan model sistem melalui cara
observasi sinyal masukan dan keluaran ini disebut identifikasi sistem.
Kita telah melihat bahwa ada empat macam cara untuk menyatakan
hubungan antara sinyal keluaran dan sinyal masukan, yaitu persamaan
diferensial, transformasi Laplace, konvolusi, dan transformasi Fourier.
Sejalan dengan itu, kita mengenal empat macam representasi sistem atau
model sistem sebagai berikut.
1. Persamaan Diferensial. Bentuk ini kita kenal misalnya sistem orde
kedua
)()()()(
2
2
tftbydt
tdya
dt
tyd=++
Bentuk umum dari model ini dinyatakan dalam persamaan diferensial
:
)()()(
)()()()(
0)1(
1)(
01)1(
1)(
txbtxbtxb
tyatyatyaty
mm
mm
nn
n
+++
=+++−
−
−−
L
&L
.)0( ,)0(
, ,)0( ,)0(
01
2)2(
1)1(
yyyy
yyyy nn
nn
==
== −−
−−
&
L (8.2)
Dalam (8.2) kita menganggap bahwa koefisien ak dan bk adalah
bilangan riil (konstan tidak tergantung waktu). Kita juga menganggap
m ≤ n. Masukan sistem adalah x(t) dan keluarannya adalah y(t). Orde dari persamaan diferensial ini adalah n.
2. Fungsi Alih Laplace
)()()(
)(
011
1
01
1 sHsTasasas
bsbsb
s
s
nn
n
mm
mm ==
++++
+++=
−−
−−
L
L
X
Y (8.3)
7
Di sini sinyal keluaran dan masukan dinyatakan di kawasan s, yaitu
Y(s) dan X(s). T(s) adalah fungsi alih Laplace, yang untuk selanjutnya
akan kita gunakan sebagai representasi sistem di bab ini dan kita
tuliskan sebagai H(s).
3. Integral Konvolusi
∫∞− λλλ−=0
)()()( dxthty (8.4)
dengan )()( 1 sth H−= L .
4. Fungsi Alih Fourier
)()()( ωω=ω XY H (8.5)
dengan )()( thH F=ω adalah fungsi alih Fourier.
Untuk selanjutanya, kita akan menggunakan cara representasi sistem
yang ke-dua, yaitu menggunakan fungsi alih Laplace.
8.4. Diagram Blok
8.4.1. Penggambaran Sistem Dengan Diagram Blok
Diagram blok adalah representasi dari fungsi alih dengan menggunakan
gambar. Diagram blok sangat bermanfaat untuk menggambarkan
struktur sistem, terutama jika sistem tersusun dari banyak sub-sistem
(penjelasan pengertian sub-sistem akan diberikan kemudian).
Diagram ini juga bermanfaat untuk melakukan analisis sistem. Di sub-
bab ini kita mengambil model sistem dengan transformasi Laplace (di
kawasan s). Hubungan masukan- keluaran sistem akan berbentuk :
)()()(atau )()(
)(ssHssH
s
sXY
X
Y== (8.6)
Diagram blok dari sistem
ini adalah seperti terlihat
pada Gb.8.2. Diagram blok
seperti ini telah kita kenal
dalam analisis rangkaian
listrik. Hanya di sini kita mempunyai pengertian H(s) sebagai
representasi dari sistem. Diagram blok ini ekivalen dengan persamaan
aljabar (8.6). Jadi susunan diagram blok merupakan pernyataan operasi-
H(s) X(s) Y(s)
Gb.8.2. Diagram blok.
8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
operasi matematis. Hal ini berbeda dengan Gb.8.1. yang hanya
merupakan diagram untuk memperjelas definisi tentang sistem.
Suatu sistem yang kompleks tersusun dari sistem-sistem yang lebih
sederhana. Diagram blok dapat kita gunakan untuk menyatakan
hubungan dari sistem-sistem yang lebih sederhana tersebut untuk
membentuk sistem yang kompleks. Diagram blok akan mempelihatkan
struktur dari sistem yang kompleks yaitu interkoneksi dari komponen-
komponen sistem. Lebih dari itu, diagram blok juga dapat dimanfaatkan
sebagai alat untuk melakukan perhitungan-perhitungan; fungsi alih
sistem diturunkan dari diagram blok yang tersusun dari banyak
komponen tersebut.
8.4.2. Hubungan-Hubungan Sistem
Berikut ini kita akan melihat hubungan-hubungan sederhana dari sistem
yang akan menjadi dasar bagi kita untuk memandang sistem yang lebih
kompleks. Kita akan meninjau dua sistem yaitu H1(s) dan H2(s). Untuk
menghubungkan dua sistem, atau dua blok, harus ada titik-titik hubung.
Titik Hubung. Ada dua macam titik hubung yang perlu kita perhatikan
yaitu titik pencabangan (pickoff point) dan titik penjumlahan. Titik
pencabangan adalah titik tempat terjadinya duplikasi sinyal; sinyal-sinyal
yang meninggalkan titik pencabangan sama dengan sinyal yang
memasuki titik pencabangan. Hal ini digambarkan pada Gb.8.3.a. Pada
titik penjumlahan, beberapa sinyal dijumlahkan. Sinyal yang keluar dari
titik penjumlahan adalah jumlah dari sinyal yang masuk ke titik
penjumlahan. Jika sinyal yang masuk bertanda “+” maka ia dijumlahkan
dan jika bertanda “−” ia dikurangkan. Untuk titik penjumlahan ini ada konvensi, yaitu bahwa hanya ada satu sinyal saja yang meninggalkan
titik penjumlahan. Hal ini digambarkan pada Gb.8.3.b.
a). titik pencabangan b). titik penjumlahan
Gb.8.3. Titik-titik hubung.
Hubungan Kaskade atau Hubungan Seri. Hubungan seri antara dua
sistem terjadi jika keluaran dari sistem yang satu merupakan masukan
X(s) X(s)
X(s)
titik pencabangan
X1(s)−X2(s)+ X3(s)
X1(s)
X2(s)
X3(s)
+
+
−
9
pada sistem berikutnya seperti terlihat pada Gb.8.4. Fungsi alih dari
hubungan kaskade, yang merupakan fungsi alih total, adalah hasil kali
dari fungsi alih sistem yang menyusunnya. Jadi hubungan kaskade sistem
H1(s) dan H2(s) dapat digantikan oleh satu sistem H1(s)H2(s). Hal ini
sesuai dengan kaidah rantai yang telah kita pelajari dalam analisis
rangkaian di kawasan s.
Gb.8.4. Hubungan seri
Hubungan Paralel. Hubungan paralel antara dua sistem terjadi jika
kedua sistem mendapat masukan yang sama sedangkan keluarannya
merupakan jumlah dari keluaran kedua sistem tersebut, seperti terlihat
pada Gb.8.4.b. Jadi hubungan paralel antara dua sistem H1(s) dan H2(s)
dapat digantikan oleh satu sistem dengan fungsi alih H1(s)+H2(s).
Gb. 8.5. Hubungan paralel.
Hubungan Umpan Balik. Pada hubungan umpan balik, keluaran dari
sistem pertama menjadi masukan pada sistem kedua dan keluaran sistem
kedua menjadi pengurang pada sinyal dari luar R(s); sinyal hasil
pengurangan ini menjadi masukan pada sistem pertama. Hubungan ini
diperlihatkan pada Gb.8.6.
Gb.8.6. Hubungan umpan balik .
H1(s)
H2(s)
R(s) Y(s) −−−− +
X1(s)
X2(s) Y2(s)
Y(s) R(s) )()(1
)(
21
1
sHsH
sH
+
H1(s)
H2(s)
X(s)
Y(s) +
+
H1(s)+H2(s) Y(s) X(s)
H1(s) H2(s) X(s) Y(s)
H1(s)H2(s) Y(s) X(s)
10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Dari diagram blok pada Gb.8.6. diperoleh persamaan berikut.
[ ]
[ ])()()()()(
)()()()(
)()()()()()(
211
211
2111
ssHsHssH
ssHssH
sssHssHs
YR
YR
YRXY
−=
−=
−==
[ ]
)()(1
)(
)(
)(
)()()()()()(
21
1
121
sHsH
sH
s
s
ssHssHsHs
+=⇒
=+⇒
R
Y
RYY
Dengan hubungan umpan balik seperti pada Gb.8.6. fungsi alih sistem
keseluruhan menjadi
)()(1
)(
21
1
sHsH
sH
+
Fungsi alih H1(s) adalah fungsi alih dari suatu sistem yang disebut sistem
loop terbuka sedangkan )()(1
)(
21
1
sHsH
sH
+ adalah fungsi alih dari sistem
yang disebut sistem loop tertutup. Jika pada titik penjumlahan terdapat
tanda negatif pada jalur umpan balik maka sistem ini disebut sistem
dengan umpan balik negatif. Jika fungsi alih H2(s) = − 1 maka sistem menjadi sistem dengan umpan balik negatif satu satuan.
Sub-Sistem. Jika kita memisahkan salah satu bagian dari diagram blok
suatu sistem yang tersusun dari banyak bagian dan bagian yang kita
pisahkan ini merupakan suatu sistem juga maka bagian ini kita sebut sub-
sistem. H2(s) dalam contoh hubungan paralel di atas merupakan salah
satu sub-sistem.
8.5. Pembentukan Diagram Blok
Berikut ini kita akan melihat contoh penggambaran diagram blok dan
penyederhanaan diagram blok. Sebagaimana telah disebutkan, walaupun
kita telah mengembangkan pengertian sistem akan tetapi dalam contoh-
contoh yang akan kita lihat di sini kita membatasi diri pada sistem listrik.
8.5.1. Diagram Blok Elemen Rangkaian
Definisi sistem menyatakan bahwa dari sinyal masukan tertentu suatu
sistem akan memberikan sinyal keluaran tertentu. Definisi ini dipenuhi
oleh elemen-elemen rangkaian seperti R, L, dan C, karena elemen-elemen
11
ini akan memberikan sinyal keluaran (tegangan atau arus) tertentu jika
diberi sinyal masukan (arus atau tegangan) tertentu yang kita kenal
sebagai karakteristik i-v dalam analisis rangkaian listrik. Jika sistem
dapat divisualisasikan menggunakan diagram blok, maka elemen-elemen
rangkaian listrik dapat pula digambarkan dengan diagram blok.
Resistor. Gb.8.7. memperlihatkan diagram blok dari resistor. Hubungan
tegangan-arus resistor adalah )()( sRs IV = atau )()/1()( sRs VI = .
Kedua relasi memberikan diagram blok seperti ditunjukkan pada gambar.
Gb.8.7 Diagram blok resistor.
Kapasitor. Gb.8.8. memperlihatkan diagram blok dari kapasitor.
Hubungan tegangan-arus kapasitor adalah )()/1()( ssCs IV = atau
)()()( ssCs VI = . Kedua relasi memberikan diagram blok seperti
ditunjukkan pada gambar.
Gb.8.8. Diagram blok kapasitor.
Berbeda dengan resistor, kapasitor adalah elemen dinamik. Hubungan
yang pertama mengambil peubah status, yaitu tegangan kapasitor,
sebagai keluaran dan dapat ditulis sebagai )()/1)(/1()( ssCs IV = dan
diagram bloknya menjadi :
I(s)→→→→C
1→→→→
s
1→→→→V(s)
R
I(s)
+
V(s)
− R
1
I(s) V(s)
I(s) V(s) R
I(s)
+
V(s)
− sC
1
I(s) V(s) sC
1
I(s) V(s) sC
12 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Di kawasan t hubungan tersebut adalah ∫= idtCtv )/1()( . Oleh karena
itu blok s
1 disebut sebagai blok integrator.
Induktor. Gb.8.9. memperlihatkan diagram blok dari induktor.
Hubungan tegangan-arus induktor adalah )()()( ssLs IV = atau
)()/1()( ssLs VI = . Kedua relasi memberikan diagram blok seperti
ditunjukkan pada gambar.
Gb.8.9. Diagram blok induktor.
Seperti halnya kapasitor, induktor adalah elemen dinamik. Hubungan
yang kedua mengambil peubah status, yaitu arus induktor, sebagai
keluaran dan dapat ditulis sebagai )()/1)(/1()( ssLs VI = . Dengan blok
integrator diagram bloknya menjadi :
V(s)→→→→L
1→→→→
s
1→→→→I(s).
8.5.2. Pembentukan Diagram Blok
Dalam contoh-contoh berikut ini kita akan melihat bagaimana diagram
blok dibentuk. Kita menggabungkan pemahaman mengenai rangkaian
listrik dengan pemahaman hubungan-hubungan sistem.
I(s)
+
V(s)
− sL
I(s) V(s) sL
I(s) V(s) sL
1
13
CO*TOH-8.1: Gambarkan diagram blok rangkaian-rangkaian berikut.
Penyelesaian :
a). [ ]
−=−==
121222
)()()()()()(
R
ssRssRsRs
VIIIIV
Diagram blok rangkaian ini adalah:
b). [ ]
−=−==
112
)()()()()()(
R
sssLsssLssLs
VIIIIV
Diagram blok rangkaian ini adalah:
c). [ ]
−=−==
112
)()(
1)()(
1)(
1)(
R
ss
sCss
sCs
sCs
VIIIIV
Diagram blok rangkaian ini adalah:
R2
I(s)
+
V(s)
− R1
I2(s)
I1(s)
(a)
I(s)
+
V(s)
− R1
I2(s)
I1(s)
sL
(b)
sC
1
I(s)
+
V(s)
− R1
I2(s)
I1(s)
(c)
sL I(s) V(s) +
1
1
R
−
R2 I(s) V(s) +
1
1
R
−
sC
1I(s) V(s) +
−
1
1
R
14 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
CO*TOH-8.2: Gambarkan diagram blok rangkaian-rangkaian berikut.
Penyelesaian :
a). [ ]
−=−==
sL
ssRssRsRs
)()()()()()( 11121
VIIIIV
Diagram blok:
b). [ ] [ ])( )()()()()( 11121 ssCsRssRsRs VIIIIV −=−==
Diagram blok:
Tegangan V(s) pada contoh 8.1.b. dan 8.1.c. haruslah identik dengan
tegangan pada contoh 8.2. karena tegangan ini adalah tegangan pada
hubungan paralel dari dua elemen. Walaupun demikian kita mendapatkan
diagram blok yang berbeda pada kedua contoh tersebut. Kita akan
menguji apakah kedua diagram blok tersebut identik dengan mencari
fungsi alih masing-masing. Untuk itu kita akan memanfaatkan formulasi
hubungan blok paralel.
Untuk rangkaian R-L paralel di kedua contoh tersebut di atas kita peroleh
:
I(s) V(s) + − R1
sC
I(s)
+
V(s)
− R1
I2(s)
I1(s)
sL
(a)
+
V(s)
− sC
1
I(s)
R1
I2(s)
I1(s)
(b)
sL
1
I(s) V(s) + − R1
15
Untuk rangkaian R-C paralel kita peroleh :
Fungsi alih dari kedua hubungan paralel terserbut ternyata sama yang
tidak lain adalah impedansi total rangkaian R-L dan R-C paralel. Jadi
diagram blok yang diperoleh pada kedua contoh di atas adalah identik.
I(s) V(s) + − R1
sC
)(
)(
)/1(
/
))((1)(
1
1
1
14
s
s
RsC
sCR
sCR
RsH
I
V=
+=
+=
sC
1I(s) V(s) +
1
1
R
−
)(
)(
)/1(
/
)/1)(/1(1
/1)(
1
1
13
s
s
sCR
sCR
RsC
sCsH
I
V=
+=
+=
sL I(s) V(s) +
1
1
R
−
)(
)(
)/1)((1)(
1
1
11
s
s
sLR
sLR
RsL
sLsH
I
V=
+=
+=
I(s) V(s) + − R1
sL
1
)(
)(
)/1)((1)(
1
1
1
12
s
s
RsL
sLR
sLR
RsH
I
V=
+=
+=
16 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
CO*TOH-8.3: Bangunlah diagram blok dari rangkaian listrik yang telah
ditransformasikan ke kawasan s di bawah ini.
Penyelesaian :
Dalam membangun diagram blok rangkaian ini, kita akan
menempuh langkah-langkah yang kita mulai dari tegangan keluaran
dan mencari formulasinya secara berurut menuju ke arah masukan.
Tegangan Vo(s) dapat dinyatakan sebagai )(52 sR I ataupun
(1/sC2) I4(s). Kita ambil yang kedua.
1. )(1
)( 42
o ssC
s IV =
2. )(1
)()()( o2
3534 sR
sss VIIII −=−=
3. [ ])()(1
)( o13 sssL
s VVI −=
2
1
sC1
1
sCR2
+
Vo(s)
−
R1 sL
I2(s)
I3(s) I1(s)
+
Vi (s)
−
I4(s)
I5(s) V1(s)
2
1
sC I4(s) Vo(s)
2
1
sC Vo(s)
2
1
R
I3(s) −−−−
+
I4(s)
17
4. [ ])()(1
)(1
)( 311
21
1 ssIsC
ssC
s IIV −==
5. [ ])()(1
)( 11
1 ssR
s i VVI −=
Pada langkah ke-5 ini terbentuklah diagram blok yang kita cari.
Walaupun diagram ini terlihat cukup rumit, tetapi sesungguhnya setiap
blok menggambarkan peran dari setiap elemen. Perhatikan pula bahwa
dalam diagram blok ini digunakan blok-blok integrator.
8.6. Reduksi Diagram Blok
Dalam Contoh-8.3 kita melihat bagaimana diagram blok dibentuk.
Diagram blok ini cukup panjang. Dengan menggunakan relasi-relasi
ekivalensi sistem terhubung seri dan paralel kita dapat menyederhanakan
diagram blok tersebut. Penyederhanaan diagram blok ini disebut reduksi
diagram blok. Karena diagram blok ekivalen dengan persamaan
rangkaian, maka penyederhanaan diagram blok akan menuju pada
diperolehnya fungsi alih.
2
1
sC Vo(s)
2
1
R
V1(s)
−−−− +
sL
1−−−−
I4(s) I3(s)
2
1
sC
Vo(s)
2
1
R
I1(s)
−−−− +
sL
1−−−−
I4(s) I3(s) 1
1
sC+
−−−− V1(s)
2
1
sCVo
2
1
R
I1(s)
−−−− +
sL
1−−−−
I4(s) I3(s) 1
1
sC+
−−−− V1(s) 1
1
RVi(s)
+ −−−−
18 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Selain ekivalensi seri dan paralel, dalam melakukan reduksi diagram
blok kita memanfaatkan juga kaidah-kaidah pemindahan titik
pencabangan sebagai berikut.
Keluaran Y2(s) tidak akan berubah jika pemindahan titik
pencabangannya ke depan melampaui blok H(s) diikuti dengan
penambahan satu blok seri yang ekivalen dengan blok H(s).
Keluaran Y3(s) tidak akan berubah jika pemindahan titik
pencabangannya ke belakang melampauai blok H(s) diikuti
dengan penambahan satu blok seri 1/H(s).
Perhatikanlah Gb.8.10. Gambar b) diperoleh dengan jalan memindahkan
titik pencabangan di gambar a). Pencabangan keluaran Y2(s) di pindah ke
depan melewati blok H(s) dan pencabangan keluaran Y3(s) ke belakang
melewati blok H(s).
Gb.8.10. Pemindahan titik pencabangan.
CO*TOH-8.4: Lakukanlah reduksi pada diagram blok berikut ini.
Penyelesaian :
X(s) H(s)
Y2(s)
Y1(s)
Y3(s)
X(s)
Y2(s)
Y1(s)
Y3(s) )(
1
sH
H(s)
H(s)
a).
b).
Vo(s) −−−−
+ −−−−
+
−−−− Vi(s)
+ −−−−
1
s
1
s
1
s
12
19
1. Hubungan paralel dari blok 1 dan 1 s dapat digantikan
dengan )/1)(1(1
/1)(1
s
ssH
+= =
1
1
+s sehingga diagram blok
menjadi:
2. Titik pencabangan A dapat dipindahkan ke belakang dan terjadi
hubungan seri 1 s
dan 1
1
+s yang dapat diganti dengan
)1(
1
+ss .
Diagram blok menjadi :
3. Umpan balik langsung dari Vo(s) pada blok )1(
1
+ss sama
dengan memparalel blok ini dengan blok 1 walaupun tidak
tergambarkan dalam diagram. Hubungan paralel ini dapat
diganti
dengan
=++
+=
)1(/1)1(1
)1(/1)(2
ss
sssH
1)1(
1
++ss .
Diagram blok menjadi
Vo(s)
−−−− +
−−−− Vi(s)
+ −−−− )1(
1
+ss
s
1
2
s+1
Vo(s−−−−
+
−−−− Vi(s
+ −−−−
1
1
+s s
1
s
12
A
20 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
1. Titik pencabangan B dapat dipindahkan ke belakang yang akan
menyebabkan terjadinya hubungan seri antara blok
1 s dan
1)1(
1
++ss yang dapat diganti dengan
sss ++ )1(
1
2
Diagram blok menjadi :
5. Selanjutnya 1+s paralel dengan sss ++ )1(
1
2
=++++
++=
))1(()1(1
))1((1)(
2
2
3ssss
ssssH
)1())1((
1
2 ++++ ssss=
12
1
23 +++ sss
dan H3(s) seri dengan 2 sehingga diagram blok menjadi :
Vo(s)
+
−−−− Vi(s)
+ −−−− 1)1(
1
++ss
s
1
2
s+1
B
Vo(s) +
−−−− Vi(s)
+ −−−− sss ++ )1(
12
2
s+1
1)1( ++ss
21
6. Diagram blok paralel terakhir ini memberikan
343
2
)12/()1(21
)12/(2)(
23232
23
4+++
=++++++
+++=
ssssssss
ssssH
dan diagram blok menjadi
Reduksi diagram blok pada akhirnya akan memberikan fungsi alih
dari sistem yaitu H4(s).
8.7. Sub-Sistem Statis dan Dinamis
Perhatikanlah bahwa dalam diagram blok yang diperoleh pada contoh
8.3. terdapat blok-blok yang berisi nilai konstan dan ada yang berisi
fungsi s atau lebih tepat blok yang menggambarkan fungsi alih bernilai
konstan dan blok yang menggambarkan fungsi alih yang merupakan
fungsi dari peubah Laplace s. Blok yang berisi nilai konstan berasal dari
elemen statis resistor, dan yang berisi fungsi s berasal dari elemen
dinamik C ataupun L. Suatu sub-sistem disebut dinamis jika fungsi
transfernya merupakan fungsi peubah Laplace s. Jika fungsi alihnya
bernilai konstan (gain kontan) maka sub-sistem itu disebut statis.
8.8. Diagram Blok Integrator
Suatu diagram blok yang seluruh blok-blok dinamisnya berupa blok
integrator disebut diagram blok integrator. Sebagaimana telah dibahas,
blok integrator berasal dari elemen dinamik apabila kita mengambil
peubah status sebagai keluaran. Untuk kapasitor )()/1)(/1()( ssCs IV =
dan untuk induktor )()/1)(/1()( ssLs VI = .
Pembentukan diagram blok integrator dari suatu fungsi alih dapat
dilakukan karena fungsi alih H(s) yang berbentuk rasio polinomial dapat
kita uraikan menjadi suku-suku :
Vo(s) Vi(s) 343
223 +++ sss
Vo(s) Vi(s) + −−−−
12
223 +++ sss
1)1( ++ss
22 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
)()()(
)())((
)())(()(
2
2
1
1
21
21
n
n
n
m
ps
k
ps
k
ps
k
pspsps
zszszsKsH
−++
−+
−=
−−−
−−−=
L
L
L
Hal ini telah kita lihat pada waktu kita membahas transformasi Laplace.
Selanjutnya, setiap suku dari fungsi alih H(s) yang berbentuk bs
a
+
dapat ditulis sebagai )/1(1
)/1(
sb
sb
b
a
+
yang diagram bloknya merupakan
hubungan seri antara blok statis b
a dengan blok berumpan balik
s
1
yang jalur umpan-balik-nya berisi blok statis b . Dengan demikian
maka diagram blok dari H(s) dapat dibuat hanya terdiri dari blok statis
dan blok integrator saja.
23
Soal-Soal
1. Susunlah diagram blok dari rangkaian-rangkaian berikut, lakukan
reduksi diagram blok, tentukan fungsi alihnya.
a). b).
c). e).
f).
g).
2. Lakukan reduksi diagram blok dan carilah fungsi alih dari diagram
blok berikut.
a).
b).
1 s
1 s
+ X(s) Y(s)
ω2
10 1 s
X (s) Y(s) +
−−−−
k
+
+
+
vo
− iin
2µF 1kΩ 5mH
+
vo
− iin 1µF
1kΩ 1kΩ 0.1H
vin
+
vo
−
+ − 1kΩ
1kΩ 1µF
1kΩ
100m
+
vin
−
10Ω
10Ω 1H
+
vo
−
+ −
1µF
10µF
5kΩ 10k
Ω
1kΩ
1kΩ
+ vo −
vin
vin +
vo
−
+ −
1µF
1kΩ 1kΩ 1µF
24 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
c).
c).
d).
e).
1 s
+ X(s)
Y(s)
4
−−−−
1 s
+
+ −−−− +
+
−−−−
5
1 s
1 s
1 s
+ X(s) Y(s)
3
−−−− +
+ −−−− +
1 s
+
4
−−−−
1 s
1 s
+ X(s) Y(s)
3
−−−−
4
1 s
+
+ −−−− +
+
X(s)
Y(s)
2 +s
−−−− 1
1 +s
25
BAB 9
Sistem Dan Persamaan Ruang Status
Persamaan ruang status (state space equations) atau representasi
ruang keadaan (state space reprentation) merupakan satu alternatif
untuk menyatakan sistem dalam bentuk persamaan diferensial.
Persamaan ini dapat diturunkan dari diagram blok integrator.
9.1. Blok Integrator dan Blok Statis
Kita lihat lebih dulu blok integrator X(s)→ 1 s→Y(s) yang
menunjukkan hubungan )(1
)( ss
s XY = . Hubungan ini di kawasan t
adalah
∫= )()( txty yang dapat kita tuliskan sebagai )()( tytx &=
Hubungan terakhir di kawasan t ini dapat kita baca sebagai : sinyal
masukan adalah turunan dari sinyal keluaran.
Sekarang blok 1 s kita pandang sebagai integrator dan bukan
sebagai gambaran dari fungsi alih 1/s. Dengan pandangan ini maka
jika keluaran integrator adalah q(t) masukannya adalah )(tq& . Kita
dapat menggambarkan hubungan keluaran dan masukan di kawasan
t dari integrator sebagai
)(tq& → 1 s→ )(tq
Perhatikan: Secara teknis penggambaran di atas tidak benar.
Akan tetapi kita harus mengartikan gambar tersebut sebagai
diagram sub-sistem yang mempunyai sinyal masukan )(tq& dan
sinyal keluarannya q(t) dan bukan q(t) sama dengan (1/s) kali
)(tq& .
26 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Berbeda dengan blok integrator, blok statis X(s)→ a →Y(s)
memberikan hubungan )()( sas XY = yang di kawasan t
memberikan hubungan
)()( taxty =
Jadi kita dapat menggambarkan hubungan )()( taxty = dengan
menggunakan blok statis, yaitu
x(t)→ a →y(t).
9.2. Diagram Blok Integrator, Sinyal Sebagai Fungsi t
Berikut ini kita akan melihat contoh suatu diagram blok integrator
yang sinyal masukan dan keluaran dari setiap integrator dinyatakan
sebagai fungsi t.
CO*TOH-9.1: Dalam diagram blok di bawah ini nyatakanlah
sinyal masukan dan keluaran pada setiap blok integrator
sebagai fungsi t.
Penyelesaian :
Dalam diagram blok ini terdapat dua blok integrator. Jika sinyal
masukan setiap blok integrator adalah )(tqi& dan sinyal
keluarannya adalah qi(t) maka diagram blok di atas dapat kita
gambarkan seperti di bawah ini, di mana masukan dua blok
integrator adalah
)(1 tq& dan )(2 tq&
sedangkan keluarannya adalah
q1(t) dan q2(t).
Y(s)
−−−− +
−−−−
a
s
1
s
1
b
c X(s)
d
+
27
Dengan diagram ini keluaran sistem adalah
)()()( 2 tdxtqty += .
9.3. Membangun Persamaan Ruang Status
Dari diagram blok di atas, kita dapat memperoleh satu set persamaan
di kawasan t yang akan memberikan hubungan antara sinyal
masukan dan sinyal keluaran sistem, yaitu x(t) dan y(t). Dengan
perkataan lain kita dapat memperoleh persamaan sistem di kawasan
t. Set persamaan tersebut kita peroleh dengan memperhatikan
masukan blok-blok integrator, dan keluaran sistem. Dalam contoh
ini set persamaan tersebut adalah :
)()()(
)()()(
)()()(
2
212
21
tdxtqty
taqtqtq
tcxtbqtq
+=
−=
+−=
&
&
(9.1)
Dengan cara ini set persamaan yang kita peroleh, yaitu persamaan
(9.1), akan terdiri dari dua kelompok. Kelompok pertama adalah
persamaan yang ruas kirinya berisi )(tq& , yang merupakan masukan
blok integrator, dan kelompok kedua adalah yang ruas kirinya berisi
y(t), yaitu keluaran sistem. Kelompok pertama dapat kita tuliskan
dalam bentuk matriks
)(0
1
)(
)(
1
0
)(
)(
2
1
2
1tx
tq
tq
a
b
tq
tq
+
−
−=
&
&
(9.2)
)()()( 2 tdxtqty +=
)(1 tq& )(1 tq
−−−− +
−−−−
a
s
1
s
1
)(2 tq& )(2 tq
+ +
b
c )(tx
d
+ +
)(ty
28 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Dengan mendefinisikan vektor
=
)(
)(
2
1
tq
tqq
&
&&r dan
=
)(
)(
2
1
tq
tqqr
maka
(9.2) dapat kita tuliskan
[ ] [ ] )(0
1)(
1
0)( txtq
a
btq
+
−
−=
r&r (9.3)
Kelompok kedua dari (9.1) adalah )()()( 2 tdxtqty += dan dengan
definisi untuk vektor q(t) maka ia dapat kita tuliskan dalam bentuk
matriks
[ ][ ] [ ] )()( 10)( txdtqty +=r
(9.4)
Dengan demikian maka set persamaan (9.1) dapat kita tuliskan
sebagai
[ ] [ ]
[ ][ ] [ ] )()( 10)(
)(0
1)(
1
0)(
txdtqty
txtqa
btq
+=
+
−
−=
r
r&r
(9.5)
Secara umum bentuk persamaan (9.5) dapat kita tulis sebagai
[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ] )()( )(
)()( )(
txDtqCty
txBtqAtq
+=
+=r
r&r
(9.6)
Set persamaan (9.6) ini disebut representasi ruang status dari sistem.
Sebutan lain dari representasi ini adalah model ruang status atau juga
persamaan peubah status atau persamaan ruang status.
CO*TOH-9.2: Carilah representasi ruang status dari sistem berikut.
2q& 2q
1q&
−−−−
3q3q&1q
+
−−−− c3 s
1
s
1
)(ty
+
+ a1
)(tx
b
+ +
ω2
a2 +
s
1
c2
d
29
Penyelesaian:
Dari diagram blok di atas, masukan blok-blok integrator dan
keluaran sistem memberi kita persamaan berikut.
)()(
)(
)(
2233
13
222
32
11
tdxqcqcty
bqtxaq
qtxaq
++=
=
−=
ω−=
&
&
&
Persamaan ini kita tuliskan dalam bentuk matriks, menjadi
[ ] [ ] )(
)(
)(
)(
0)(
)(
0)(
)(
)(
001
00
00
)(
)(
)(
)(
3
2
1
32
2
1
3
2
12
3
2
1
txd
tq
tq
tq
ccty
txa
a
tq
tq
tq
b
tq
tq
tq
tq
+
=
+
−
ω−
=
=&
&
&
&r
Inilah representasi ruang status dari sistem yang kita cari
9.4. Membangun Diagram Blok dari Persamaan Ruang Status
Melalui contoh berikut ini kita akan melihat bagaimana diagram blok
dari suatu sistem dapat dibangun jika persamaan ruang statusnya
diketahui.
CO*TOH 9.3: Bangunlah diagram blok sistem yang persamaan
ruang statusnya adalah sebagai berikut.
[ ] )( )(
1
0
0
)(
)(
)(
100
010
)(
321
3
2
1
321
tqbbbty
x(t)
tq
tq
tq
aaa
tq
r
&r
=
+
−−−
=
Penyelesaian :
30 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Langkah pertama adalah melakukan pengembangan dari
persamaan yang diketahui sehingga diperoleh set persamaan
berikut.
)()()()(
)()()()()(
)()(
)()(
332211
3322113
32
21
tqbtqbtqbty
txtqatqatqatq
tqtq
tqtq
++=
+−−−=
=
=
&
&
&
Langkah berikutnya adalah menggambarkan blok-blok
integrator dengan masukan dan keluaran masing-masing.
Langkah ini memberikan diagram blok integrator sebagai
berikut
Langkah berikutnya adalah melakukan penghubungan blok-blok
ini sesuai dengan persamaan yang diketahui, yaitu
persamaan )()( 21 tqtq =& berarti bahwa masukan blok
integrator nomer-1 adalah keluaran dari blok
integrator nomer-2.
persamaan )()( 32 tqtq =& berarti masukan blok
integrator nomer-2 adalah keluaran blok integratir
nomer-3. Kita mendapatkan hubungan:
Selanjutnya kita membuat pencabangan-pencabangan dan
penjumlahan dengan blok-blok statis, sesuai dengan persamaan
yang diketahui, yaitu
)()()()()( 3322113 txtqatqatqatq +−−−=&
Hasil yang kita peroleh adalah:
3q& 2q 1q& 1q
s
1
2q&
s
1
3q
s
1
2q2q&
s
1
3q3q&
s
1
1q& 1q
s
1
31
Satu persamaan lagi yang harus kita penuhi, yaitu persamaan
keluaran
)()()()( 332211 tqbtqbtqbty ++=
Dengan pencabangan dan penjumlahan persamaan ini kita
penuhi.
−−−−
a2
)(tx
a3
3q& 2q 1q& 1q
s
1
2q&
s
1
3q
s
1
a1
−−−− −−−−
+
−−−−
a2
)(tx
a3
3q& 2q 1q& 1q
s
1
2q&
s
1
3q
s
1
a1
−−−− −−−−
+ b1
b2
b3
+
+ +
)(ty
32 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Soal-Soal
1. Carilah persamaan ruang status dari sistem-sistem dengan diagram
blok di bawah ini.
a).
b).
c).
d).
10 1 s
X (s) Y(s) +
−−−−
k
+
+
1 s
1 s
+ X(s) Y(s)
ω2
+
X(s)
Y(s)
2 +s
−−−− 1
1 +s
1 s
1 s
+ X(s) Y(s)
3
−−−−
4
1 s
+
+ −−−− +
33
e).
f).
2. Gambarkan diagram blok dari sistem dengan persamaan status
berikut ini.
a).
[ ] )(10)( 009)(
)(5
3)(
460
537
012
)(
txtqty
txtqtq
+=
+
=
r
r&r
b).
[ ] )(5)( 005)(
)(
0
1
0
)(
002
104
200
)(
txtqty
txtqtq
+=
+
−=
r
r&r
1 s
+ X(s) Y(s)
3
−−−− +
+ −−−− +
1 s
+
4
−−−−
X(s) 1 s
+
Y(s)
4
−−−−
1 s
+
+ −−−− +
+
−−−−
5
1 s
1 s
34 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
c).
[ ] )( 11)(
)(1
1)()(
tqty
txtqtq
r
r&r
=
+
σ−ω−
ωσ−=
d).
[ ] )( 01)(
)(1
0)(
2
10)( 2
tqty
txtqtq
r
r&r
=
+
ζω−ω−
=
e).
[ ] )( 10)(
)(1
0)(
2
10)( 2
tqty
txtqtq
r
r&r
=
+
ζω−ω−
=
35
Daftar Pustaka
1. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB
2002, ISBN 979-9299-54-3.
2. Sudaryatno Sudirham, “Pengembangan Metoda Unit Output Untuk
Perhitungan Susut Energi Pada Penyulang Tegangan Menengah”,
Monograf, 2005, limited publication.
3. Sudaryatno Sudirham, “Pengantar Rangkaian Listrik”, Catatan
Kuliah El 1001, Penerbit ITB, 2007.
4. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Harmonisa Dalam Permasalahan
Kualitas Daya”, Catatan Kuliah El 6004, 2008.
5. P. C. Sen, “Power Electronics” McGraw-Hill, 3rd Reprint, 1990,
ISBN 0-07-451899-2.
6. Ralph J. Smith & Richard C. Dorf : “Circuits, Devices and Systems”
; John Wiley & Son Inc, 5th ed, 1992.
7. David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn : “Electric
Circuit Analysis” ; Prentice-Hall Inc, 2nd ed, 1992.
8. Vincent Del Toro : “Electric Power Systems”, Prentice-Hall
International, Inc., 1992.
9. Roland E. Thomas, Albert J. Rosa : “The Analysis And Design of
Linier Circuits”, . Prentice-Hall Inc, 1994.
10. Douglas K Lindner : “Introduction to Signals and Systems”,
McGraw-Hill, 1999.
36 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)
Daftar *otasi
v atau v(t) : tegangan sebagai fungsi waktu.
V : tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah.
Vrr : tegangan, nilai rata-rata.
Vrms : tegangan, nilai efektif.
Vmaks : tegangan, nilai maksimum, nilai puncak.
V : fasor tegangan dalam analisis di kawasan fasor.
V : nilai mutlak fasor tegangan.
V(s) : tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s.
i atau i(t) : arus sebagai fungsi waktu.
I : arus dengan nilai tertentu, arus searah.
Irr : arus, nilai rata-rata.
Irms : arus, nilai efektif.
Imaks : arus, nilai maksimum, nilai puncak.
I : fasor arus dalam analisis di kawasan fasor.
I : nilai mutlak fasor arus.
I(s) : arus fungsi s dalam analisis di kawasan s.
p atau p(t) : daya sebagai fungsi waktu.
prr : daya, nilai rata-rata.
S : daya kompleks.
|S| : daya kompleks, nilai mutlak.
P : daya nyata.
Q : daya reaktif.
q atau q(t) : muatan, fungsi waktu.
w : energi.
R : resistor; resistansi.
L : induktor; induktansi.
C : kapasitor; kapasitansi.
Z : impedansi.
Y : admitansi.
TV (s) : fungsi alih tegangan.
TI (s) : fungsi alih arus.
TY (s) : admitansi alih.
TZ (s) : impedansi alih.
µ : gain tegangan.
β : gain arus.
r : resistansi alih, transresistance.
g : konduktansi; konduktansi alih, transconductance.
Top Related