AnalisisAnalisis Rangkaian Listrik · PDF fileberubah posisi, kedudukan teropong kita...

AnalisisAnalisisAnalisisAnalisis Rangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian ListrikRangkaian Listrik

Jilid 2

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO

Analisis Rangkaian Listrik (2)

Darpublic, Bandung

are-0710

edisi Juli 2011

http://ee-cafe.org

Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.

Fax: (62) (22) 2534117

3

BAB 8

Analisis Pada Suatu Sistem

Pengenalan pada sistem ini bertujuan agar kita

• memahami sinyal dalam pengertian yang lebih luas;

• memahami pengertian tentang sistem;

• mampu membangun diagram blok suatu sistem;

• mampu mereduksi diagram blok suatu sistem.

8.1. Sinyal

Di awal buku ini kita telah mempelajari bentuk gelombang sinyal yang

merupakan suatu persamaan yang menyatakan sinyal sebagai fungsi dari

waktu. Dalam analisis rangkaian listrik, sinyal-sinyal yang kita tangani

biasanya berupa tegangan ataupun arus listrik. Pengertian ini dapat kita

perluas menjadi suatu pengertian yang tidak hanya mencakup sinyal

listrik saja tetapi juga mencakup sinyal-sinyal non-listrik yang juga

merupakan fungsi waktu. Dengan perluasan pengertian ini maka kita

mempunyai definisi untuk sinyal sebagai,

Sinyal adalah suatu fungsi yang menyatakan variasi terhadap

waktu dari suatu peubah fisik.

Fungsi yang kita tetapkan untuk menyatakan suatu sinyal kita sebut

representasi dari sinyal atau model sinyal dan proses penentuan

representasi sinyal itu kita sebut pemodelan sinyal. Suatu sinyal yang

tergantung dari peubah riil t dan yang memodelkan peubah fisik yang

berevolusi dalam waktu nyata disebut sinyal waktu kontinyu. Sinyal

waktu kontinyu ditulis sebagai suatu fungsi dengan peubah riil t seperti

misalnya x(t). Sebagaimana telah disebutkan di awal buku ini, sinyal jenis

inilah yang sedang kita pelajari.

Untuk memberi contoh dari sinyal non-listrik, kita bayangkan suatu

benda yang mendapat gaya. Benda ini akan bergerak sesuai dengan arah

gaya., posisinya akan berubah dari waktu ke waktu. Dengan mengambil

suatu kooordinat referensi, perubahan posisi benda akan merupakan

fungsi waktu dan akan menjadi salah satu peubah fisik dari benda

tersebut dan merupakan suatu sinyal. Selain perubahan posisi, benda juga


mempunyai kecepatan yang juga merupakan fungsi dari waktu;

kecepatan juga merupakan suatu sinyal.

Jika posisi benda dalam contoh di atas merupakan suatu sinyal, apakah ia

dapat dijadikan suatu masukan (input) pada sebuah “rangkaian” ?

Bayangkanlah benda yang bergerak itu adalah sebuah pesawat terbang.

Kita ingin mengamatinya dengan menggunakan sebuah teropong, dan

untuk itu teropong kita arahkan pada pesawat. Setiap saat pesawat

berubah posisi, kedudukan teropong kita sesuaikan sedemikian rupa

sehingga bayangan pesawat selalu terlihat oleh kita melalui teropong.

Kita katakan bahwa posisi pesawat merupakan masukan pada kita untuk

mengubah arah teropong; dalam hal ini kita dan teropong menjadi

sebuah “rangkaian”. Apakah dari “rangkaian” ini ada suatu keluaran

(output)? Keluaran dari “rangkaian” ini adalah berupa perubahan arah

teropong. Jelaslah bahwa ada hubungan tertentu antara arah teropong

sebagai keluaran dengan posisi pesawat sebagai masukan, dan hubungan

keluaran-masukan demikian ini sudah biasa kita lihat pada rangkaian

listrik. Kalau kita yang meneropong pesawat tersebut digantikan oleh

sebuah mesin penggerak otomatis dan teropong diganti dengan sebuah

meriam, maka jadilah sebuah “rangkaian” mesin penembak pesawat.

Mesin penembak ini dapat kita sebut sebagai suatu perangkat yang

mampu menetapkan arah meriam jika mendapatkan masukan mengenai

posisi pesawat (istilah “perangkat” di sini kita beri pengertian sebagai

gabungan dari banyak piranti untuk menjalankan fungsi tertentu).

Dengan kata lain antara sinyal keluaran dengan sinyal masukan terdapat

hubungan yang sepenuhnya ditentukan oleh perilaku perangkat; hal ini

berarti bahwa perangkat “memiliki aturan” yang menetapkan bagaimana

bentuk keluaran untuk sesuatu masukan yang ia terima.

8.2. Sistem

Dengan contoh di atas, kita sampai pada pengertian mengenai sistem

yaitu :

sistem merupakan aturan yang menetapkan sinyal keluaran

dari adanya sinyal masukan.

atau

sistem membangkitkan sinyal keluaran tertentu dari adanya

sinyal masukan tertentu.

Jika kita ingat mengenai pengertian elemen sebagai model piranti dalam

rangkaian listrik, maka sistem dapat dipandang sebagai model dari

5

perangkat. Dengan demikian rangkaian-rangkaian listrik yang sudah

pernah kita pelajari, yang juga menetapkan hubungan antara keluaran dan

masukan, dapat kita pandang sebagai suatu sistem. Kalau rangkaian

tersebut merupakan bagian lain dari rangkaian (dalam hubungan kaskade

misalnya) kita dapat memandangnya sebagai sub-sistem. Hubungan

keluaran-masukan dari suatu sistem dapat kita nyatakan sebagai

[ ])()( txHty = (8.1)

dengan y(t) sinyal keluaran dan x(t) sinyal masukan. Hubungan ini dapat

kita gambarkan dengan diagram berikut.

Perhatikanlah bahwa sistem didefinisikan menurut sinyal keluaran dan

masukannya. Jadi kita memandang sistem dari sudut pandang sinyal

masukan dan keluaran. Selain dari pada itu, Gb.8.1. mempelihatkan

bahwa arah propagasi sinyal adalah sesuai dengan arah anak panah. Jadi

sinyal berasal dari masukan menuju ke keluaran. Penggambaran ini

sesuai dengan definisi kita yaitu bahwa suatu sistem membangkitkan

sinyal keluaran dari sinyal masukan.

Suatu sistem dapat mempunyai satu masukan atau lebih; demikian juga

keluarannya bisa hanya satu atau lebih. Sistem dengan satu masukan dan

satu keluaran disebut single-input-single-output (SISO) system atau kita

terjemahkan dengan sistem masukan-tunggal-keluaran-tunggal (MTKT).

Jika masukan dan keluarannya lebih dari satu disebut multi-input-multi-

output (MIMO) system atau kita terjemahkan sistem masukan-ganda-

keluaran-ganda (MGKG).

8.3. Model Sistem

Pernyataan matematis secara eksplisit dari suatu sistem seperti pada (8.1)

disebut representasi sistem atau model sistem. Proses untuk memperoleh

model sistem kita sebut pemodelan sistem. Ada dua cara yang dapat

ditempuh untuk membangun model sistem. Cara pertama adalah

menurunkan langsung dari hukum-hukum fisika dan cara kedua adalah

melalui observasi empiris. Cara pertama dapat digunakan apabila proses-

proses fisiknya terdefinisi dengan jelas dan difahami. Model sistem yang

H sinyal

masukan sinyal

keluaran x(t) y(t)

Gb.8.1. Diagram suatu sistem.


diturunkan haruslah cukup sederhana untuk keperluan analisis dan

simulasi.

Cara kedua digunakan untuk sistem yang sangat kompleks dan sangat

sulit untuk dianalisis langsung, dan perilaku dinamiknya tidak difahami

secara baik. Untuk melakukan observasi empiris diperlukan sinyal

masukan yang harus dipilih secara cermat, dan sinyal keluarannya

diamati. Model sistem diperoleh dengan melakukan perhitungan balik

dari kedua sinyal tersebut. Pembangunan model sistem melalui cara

observasi sinyal masukan dan keluaran ini disebut identifikasi sistem.

Kita telah melihat bahwa ada empat macam cara untuk menyatakan

hubungan antara sinyal keluaran dan sinyal masukan, yaitu persamaan

diferensial, transformasi Laplace, konvolusi, dan transformasi Fourier.

Sejalan dengan itu, kita mengenal empat macam representasi sistem atau

model sistem sebagai berikut.

1. Persamaan Diferensial. Bentuk ini kita kenal misalnya sistem orde

kedua

)()()()(

2

2

tftbydt

tdya

dt

tyd=++

Bentuk umum dari model ini dinyatakan dalam persamaan diferensial

:

)()()(

)()()()(

0)1(

1)(

01)1(

1)(

txbtxbtxb

tyatyatyaty

mm

mm

nn

n

+++

=+++−

−

−−

L

&L

.)0( ,)0(

, ,)0( ,)0(

01

2)2(

1)1(

yyyy

yyyy nn

nn

==

== −−

−−

&

L (8.2)

Dalam (8.2) kita menganggap bahwa koefisien ak dan bk adalah

bilangan riil (konstan tidak tergantung waktu). Kita juga menganggap

m ≤ n. Masukan sistem adalah x(t) dan keluarannya adalah y(t). Orde dari persamaan diferensial ini adalah n.

2. Fungsi Alih Laplace

)()()(

)(

011

1

01

1 sHsTasasas

bsbsb

s

s

nn

n

mm

mm ==

++++

+++=

−−

−−

L

L

X

Y (8.3)

7

Di sini sinyal keluaran dan masukan dinyatakan di kawasan s, yaitu

Y(s) dan X(s). T(s) adalah fungsi alih Laplace, yang untuk selanjutnya

akan kita gunakan sebagai representasi sistem di bab ini dan kita

tuliskan sebagai H(s).

3. Integral Konvolusi

∫∞− λλλ−=0

)()()( dxthty (8.4)

dengan )()( 1 sth H−= L .

4. Fungsi Alih Fourier

)()()( ωω=ω XY H (8.5)

dengan )()( thH F=ω adalah fungsi alih Fourier.

Untuk selanjutanya, kita akan menggunakan cara representasi sistem

yang ke-dua, yaitu menggunakan fungsi alih Laplace.

8.4. Diagram Blok

8.4.1. Penggambaran Sistem Dengan Diagram Blok

Diagram blok adalah representasi dari fungsi alih dengan menggunakan

gambar. Diagram blok sangat bermanfaat untuk menggambarkan

struktur sistem, terutama jika sistem tersusun dari banyak sub-sistem

(penjelasan pengertian sub-sistem akan diberikan kemudian).

Diagram ini juga bermanfaat untuk melakukan analisis sistem. Di sub-

bab ini kita mengambil model sistem dengan transformasi Laplace (di

kawasan s). Hubungan masukan- keluaran sistem akan berbentuk :

)()()(atau )()(

)(ssHssH

s

sXY

X

Y== (8.6)

Diagram blok dari sistem

ini adalah seperti terlihat

pada Gb.8.2. Diagram blok

seperti ini telah kita kenal

dalam analisis rangkaian

listrik. Hanya di sini kita mempunyai pengertian H(s) sebagai

representasi dari sistem. Diagram blok ini ekivalen dengan persamaan

aljabar (8.6). Jadi susunan diagram blok merupakan pernyataan operasi-

H(s) X(s) Y(s)

Gb.8.2. Diagram blok.


operasi matematis. Hal ini berbeda dengan Gb.8.1. yang hanya

merupakan diagram untuk memperjelas definisi tentang sistem.

Suatu sistem yang kompleks tersusun dari sistem-sistem yang lebih

sederhana. Diagram blok dapat kita gunakan untuk menyatakan

hubungan dari sistem-sistem yang lebih sederhana tersebut untuk

membentuk sistem yang kompleks. Diagram blok akan mempelihatkan

struktur dari sistem yang kompleks yaitu interkoneksi dari komponen-

komponen sistem. Lebih dari itu, diagram blok juga dapat dimanfaatkan

sebagai alat untuk melakukan perhitungan-perhitungan; fungsi alih

sistem diturunkan dari diagram blok yang tersusun dari banyak

komponen tersebut.

8.4.2. Hubungan-Hubungan Sistem

Berikut ini kita akan melihat hubungan-hubungan sederhana dari sistem

yang akan menjadi dasar bagi kita untuk memandang sistem yang lebih

kompleks. Kita akan meninjau dua sistem yaitu H1(s) dan H2(s). Untuk

menghubungkan dua sistem, atau dua blok, harus ada titik-titik hubung.

Titik Hubung. Ada dua macam titik hubung yang perlu kita perhatikan

yaitu titik pencabangan (pickoff point) dan titik penjumlahan. Titik

pencabangan adalah titik tempat terjadinya duplikasi sinyal; sinyal-sinyal

yang meninggalkan titik pencabangan sama dengan sinyal yang

memasuki titik pencabangan. Hal ini digambarkan pada Gb.8.3.a. Pada

titik penjumlahan, beberapa sinyal dijumlahkan. Sinyal yang keluar dari

titik penjumlahan adalah jumlah dari sinyal yang masuk ke titik

penjumlahan. Jika sinyal yang masuk bertanda “+” maka ia dijumlahkan

dan jika bertanda “−” ia dikurangkan. Untuk titik penjumlahan ini ada konvensi, yaitu bahwa hanya ada satu sinyal saja yang meninggalkan

titik penjumlahan. Hal ini digambarkan pada Gb.8.3.b.

a). titik pencabangan b). titik penjumlahan

Gb.8.3. Titik-titik hubung.

Hubungan Kaskade atau Hubungan Seri. Hubungan seri antara dua

sistem terjadi jika keluaran dari sistem yang satu merupakan masukan

X(s) X(s)

X(s)

titik pencabangan

X1(s)−X2(s)+ X3(s)

X1(s)

X2(s)

X3(s)

+

+

−

9

pada sistem berikutnya seperti terlihat pada Gb.8.4. Fungsi alih dari

hubungan kaskade, yang merupakan fungsi alih total, adalah hasil kali

dari fungsi alih sistem yang menyusunnya. Jadi hubungan kaskade sistem

H1(s) dan H2(s) dapat digantikan oleh satu sistem H1(s)H2(s). Hal ini

sesuai dengan kaidah rantai yang telah kita pelajari dalam analisis

rangkaian di kawasan s.

Gb.8.4. Hubungan seri

Hubungan Paralel. Hubungan paralel antara dua sistem terjadi jika

kedua sistem mendapat masukan yang sama sedangkan keluarannya

merupakan jumlah dari keluaran kedua sistem tersebut, seperti terlihat

pada Gb.8.4.b. Jadi hubungan paralel antara dua sistem H1(s) dan H2(s)

dapat digantikan oleh satu sistem dengan fungsi alih H1(s)+H2(s).

Gb. 8.5. Hubungan paralel.

Hubungan Umpan Balik. Pada hubungan umpan balik, keluaran dari

sistem pertama menjadi masukan pada sistem kedua dan keluaran sistem

kedua menjadi pengurang pada sinyal dari luar R(s); sinyal hasil

pengurangan ini menjadi masukan pada sistem pertama. Hubungan ini

diperlihatkan pada Gb.8.6.

Gb.8.6. Hubungan umpan balik .

H1(s)

H2(s)

R(s) Y(s) −−−− +

X1(s)

X2(s) Y2(s)

Y(s) R(s) )()(1

)(

21

1

sHsH

sH

+

H1(s)

H2(s)

X(s)

Y(s) +

+

H1(s)+H2(s) Y(s) X(s)

H1(s) H2(s) X(s) Y(s)

H1(s)H2(s) Y(s) X(s)


Dari diagram blok pada Gb.8.6. diperoleh persamaan berikut.

[ ]

[ ])()()()()(

)()()()(

)()()()()()(

211

211

2111

ssHsHssH

ssHssH

sssHssHs

YR

YR

YRXY

−=

−=

−==

[ ]

)()(1

)(

)(

)(

)()()()()()(

21

1

121

sHsH

sH

s

s

ssHssHsHs

+=⇒

=+⇒

R

Y

RYY

Dengan hubungan umpan balik seperti pada Gb.8.6. fungsi alih sistem

keseluruhan menjadi

)()(1

)(

21

1

sHsH

sH

+

Fungsi alih H1(s) adalah fungsi alih dari suatu sistem yang disebut sistem

loop terbuka sedangkan )()(1

)(

21

1

sHsH

sH

+ adalah fungsi alih dari sistem

yang disebut sistem loop tertutup. Jika pada titik penjumlahan terdapat

tanda negatif pada jalur umpan balik maka sistem ini disebut sistem

dengan umpan balik negatif. Jika fungsi alih H2(s) = − 1 maka sistem menjadi sistem dengan umpan balik negatif satu satuan.

Sub-Sistem. Jika kita memisahkan salah satu bagian dari diagram blok

suatu sistem yang tersusun dari banyak bagian dan bagian yang kita

pisahkan ini merupakan suatu sistem juga maka bagian ini kita sebut sub-

sistem. H2(s) dalam contoh hubungan paralel di atas merupakan salah

satu sub-sistem.

8.5. Pembentukan Diagram Blok

Berikut ini kita akan melihat contoh penggambaran diagram blok dan

penyederhanaan diagram blok. Sebagaimana telah disebutkan, walaupun

kita telah mengembangkan pengertian sistem akan tetapi dalam contoh-

contoh yang akan kita lihat di sini kita membatasi diri pada sistem listrik.

8.5.1. Diagram Blok Elemen Rangkaian

Definisi sistem menyatakan bahwa dari sinyal masukan tertentu suatu

sistem akan memberikan sinyal keluaran tertentu. Definisi ini dipenuhi

oleh elemen-elemen rangkaian seperti R, L, dan C, karena elemen-elemen

11

ini akan memberikan sinyal keluaran (tegangan atau arus) tertentu jika

diberi sinyal masukan (arus atau tegangan) tertentu yang kita kenal

sebagai karakteristik i-v dalam analisis rangkaian listrik. Jika sistem

dapat divisualisasikan menggunakan diagram blok, maka elemen-elemen

rangkaian listrik dapat pula digambarkan dengan diagram blok.

Resistor. Gb.8.7. memperlihatkan diagram blok dari resistor. Hubungan

tegangan-arus resistor adalah )()( sRs IV = atau )()/1()( sRs VI = .

Kedua relasi memberikan diagram blok seperti ditunjukkan pada gambar.

Gb.8.7 Diagram blok resistor.

Kapasitor. Gb.8.8. memperlihatkan diagram blok dari kapasitor.

Hubungan tegangan-arus kapasitor adalah )()/1()( ssCs IV = atau

)()()( ssCs VI = . Kedua relasi memberikan diagram blok seperti

ditunjukkan pada gambar.

Gb.8.8. Diagram blok kapasitor.

Berbeda dengan resistor, kapasitor adalah elemen dinamik. Hubungan

yang pertama mengambil peubah status, yaitu tegangan kapasitor,

sebagai keluaran dan dapat ditulis sebagai )()/1)(/1()( ssCs IV = dan

diagram bloknya menjadi :

I(s)→→→→C

1→→→→

s

1→→→→V(s)

R

I(s)

+

V(s)

− R

1

I(s) V(s)

I(s) V(s) R

I(s)

+

V(s)

− sC

1

I(s) V(s) sC

1

I(s) V(s) sC


Di kawasan t hubungan tersebut adalah ∫= idtCtv )/1()( . Oleh karena

itu blok s

1 disebut sebagai blok integrator.

Induktor. Gb.8.9. memperlihatkan diagram blok dari induktor.

Hubungan tegangan-arus induktor adalah )()()( ssLs IV = atau

)()/1()( ssLs VI = . Kedua relasi memberikan diagram blok seperti

ditunjukkan pada gambar.

Gb.8.9. Diagram blok induktor.

Seperti halnya kapasitor, induktor adalah elemen dinamik. Hubungan

yang kedua mengambil peubah status, yaitu arus induktor, sebagai

keluaran dan dapat ditulis sebagai )()/1)(/1()( ssLs VI = . Dengan blok

integrator diagram bloknya menjadi :

V(s)→→→→L

1→→→→

s

1→→→→I(s).

8.5.2. Pembentukan Diagram Blok

Dalam contoh-contoh berikut ini kita akan melihat bagaimana diagram

blok dibentuk. Kita menggabungkan pemahaman mengenai rangkaian

listrik dengan pemahaman hubungan-hubungan sistem.

I(s)

+

V(s)

− sL

I(s) V(s) sL

I(s) V(s) sL

1

13

CO*TOH-8.1: Gambarkan diagram blok rangkaian-rangkaian berikut.

Penyelesaian :

a). [ ]

−=−==

121222

)()()()()()(

R

ssRssRsRs

VIIIIV

Diagram blok rangkaian ini adalah:

b). [ ]

−=−==

112

)()()()()()(

R

sssLsssLssLs

VIIIIV


c). [ ]

−=−==

112

)()(

1)()(

1)(

1)(

R

ss

sCss

sCs

sCs

VIIIIV


R2

I(s)

+

V(s)

− R1

I2(s)

I1(s)

(a)

I(s)

+

V(s)

− R1

I2(s)

I1(s)

sL

(b)

sC

1

I(s)

+

V(s)

− R1

I2(s)

I1(s)

(c)

sL I(s) V(s) +

1

1

R

−

R2 I(s) V(s) +

1

1

R

−

sC

1I(s) V(s) +

−

1

1

R


CO*TOH-8.2: Gambarkan diagram blok rangkaian-rangkaian berikut.

Penyelesaian :

a). [ ]

−=−==

sL

ssRssRsRs

)()()()()()( 11121

VIIIIV

Diagram blok:

b). [ ] [ ])( )()()()()( 11121 ssCsRssRsRs VIIIIV −=−==

Diagram blok:

Tegangan V(s) pada contoh 8.1.b. dan 8.1.c. haruslah identik dengan

tegangan pada contoh 8.2. karena tegangan ini adalah tegangan pada

hubungan paralel dari dua elemen. Walaupun demikian kita mendapatkan

diagram blok yang berbeda pada kedua contoh tersebut. Kita akan

menguji apakah kedua diagram blok tersebut identik dengan mencari

fungsi alih masing-masing. Untuk itu kita akan memanfaatkan formulasi

hubungan blok paralel.

Untuk rangkaian R-L paralel di kedua contoh tersebut di atas kita peroleh

:

I(s) V(s) + − R1

sC

I(s)

+

V(s)

− R1

I2(s)

I1(s)

sL

(a)

+

V(s)

− sC

1

I(s)

R1

I2(s)

I1(s)

(b)

sL

1

I(s) V(s) + − R1

15

Untuk rangkaian R-C paralel kita peroleh :

Fungsi alih dari kedua hubungan paralel terserbut ternyata sama yang

tidak lain adalah impedansi total rangkaian R-L dan R-C paralel. Jadi

diagram blok yang diperoleh pada kedua contoh di atas adalah identik.

I(s) V(s) + − R1

sC

)(

)(

)/1(

/

))((1)(

1

1

1

14

s

s

RsC

sCR

sCR

RsH

I

V=

+=

+=

sC

1I(s) V(s) +

1

1

R

−

)(

)(

)/1(

/

)/1)(/1(1

/1)(

1

1

13

s

s

sCR

sCR

RsC

sCsH

I

V=

+=

+=

sL I(s) V(s) +

1

1

R

−

)(

)(

)/1)((1)(

1

1

11

s

s

sLR

sLR

RsL

sLsH

I

V=

+=

+=

I(s) V(s) + − R1

sL

1

)(

)(

)/1)((1)(

1

1

1

12

s

s

RsL

sLR

sLR

RsH

I

V=

+=

+=


CO*TOH-8.3: Bangunlah diagram blok dari rangkaian listrik yang telah

ditransformasikan ke kawasan s di bawah ini.

Penyelesaian :

Dalam membangun diagram blok rangkaian ini, kita akan

menempuh langkah-langkah yang kita mulai dari tegangan keluaran

dan mencari formulasinya secara berurut menuju ke arah masukan.

Tegangan Vo(s) dapat dinyatakan sebagai )(52 sR I ataupun

(1/sC2) I4(s). Kita ambil yang kedua.

1. )(1

)( 42

o ssC

s IV =

2. )(1

)()()( o2

3534 sR

sss VIIII −=−=

3. [ ])()(1

)( o13 sssL

s VVI −=

2

1

sC1

1

sCR2

+

Vo(s)

−

R1 sL

I2(s)

I3(s) I1(s)

+

Vi (s)

−

I4(s)

I5(s) V1(s)

2

1

sC I4(s) Vo(s)

2

1

sC Vo(s)

2

1

R

I3(s) −−−−

+

I4(s)

17

4. [ ])()(1

)(1

)( 311

21

1 ssIsC

ssC

s IIV −==

5. [ ])()(1

)( 11

1 ssR

s i VVI −=

Pada langkah ke-5 ini terbentuklah diagram blok yang kita cari.

Walaupun diagram ini terlihat cukup rumit, tetapi sesungguhnya setiap

blok menggambarkan peran dari setiap elemen. Perhatikan pula bahwa

dalam diagram blok ini digunakan blok-blok integrator.

8.6. Reduksi Diagram Blok

Dalam Contoh-8.3 kita melihat bagaimana diagram blok dibentuk.

Diagram blok ini cukup panjang. Dengan menggunakan relasi-relasi

ekivalensi sistem terhubung seri dan paralel kita dapat menyederhanakan

diagram blok tersebut. Penyederhanaan diagram blok ini disebut reduksi

diagram blok. Karena diagram blok ekivalen dengan persamaan

rangkaian, maka penyederhanaan diagram blok akan menuju pada

diperolehnya fungsi alih.

2

1

sC Vo(s)

2

1

R

V1(s)

−−−− +

sL

1−−−−

I4(s) I3(s)

2

1

sC

Vo(s)

2

1

R

I1(s)

−−−− +

sL

1−−−−

I4(s) I3(s) 1

1

sC+

−−−− V1(s)

2

1

sCVo

2

1

R

I1(s)

−−−− +

sL

1−−−−

I4(s) I3(s) 1

1

sC+

−−−− V1(s) 1

1

RVi(s)

+ −−−−


Selain ekivalensi seri dan paralel, dalam melakukan reduksi diagram

blok kita memanfaatkan juga kaidah-kaidah pemindahan titik

pencabangan sebagai berikut.

Keluaran Y2(s) tidak akan berubah jika pemindahan titik

pencabangannya ke depan melampaui blok H(s) diikuti dengan

penambahan satu blok seri yang ekivalen dengan blok H(s).

Keluaran Y3(s) tidak akan berubah jika pemindahan titik

pencabangannya ke belakang melampauai blok H(s) diikuti

dengan penambahan satu blok seri 1/H(s).

Perhatikanlah Gb.8.10. Gambar b) diperoleh dengan jalan memindahkan

titik pencabangan di gambar a). Pencabangan keluaran Y2(s) di pindah ke

depan melewati blok H(s) dan pencabangan keluaran Y3(s) ke belakang

melewati blok H(s).

Gb.8.10. Pemindahan titik pencabangan.

CO*TOH-8.4: Lakukanlah reduksi pada diagram blok berikut ini.

Penyelesaian :

X(s) H(s)

Y2(s)

Y1(s)

Y3(s)

X(s)

Y2(s)

Y1(s)

Y3(s) )(

1

sH

H(s)

H(s)

a).

b).

Vo(s) −−−−

+ −−−−

+

−−−− Vi(s)

+ −−−−

1

s

1

s

1

s

12

19

1. Hubungan paralel dari blok 1 dan 1 s dapat digantikan

dengan )/1)(1(1

/1)(1

s

ssH

+= =

1

1

+s sehingga diagram blok

menjadi:

2. Titik pencabangan A dapat dipindahkan ke belakang dan terjadi

hubungan seri 1 s

dan 1

1

+s yang dapat diganti dengan

)1(

1

+ss .

Diagram blok menjadi :

3. Umpan balik langsung dari Vo(s) pada blok )1(

1

+ss sama

dengan memparalel blok ini dengan blok 1 walaupun tidak

tergambarkan dalam diagram. Hubungan paralel ini dapat

diganti

dengan

=++

+=

)1(/1)1(1

)1(/1)(2

ss

sssH

1)1(

1

++ss .

Diagram blok menjadi

Vo(s)

−−−− +

−−−− Vi(s)

+ −−−− )1(

1

+ss

s

1

2

s+1

Vo(s−−−−

+

−−−− Vi(s

+ −−−−

1

1

+s s

1

s

12

A


1. Titik pencabangan B dapat dipindahkan ke belakang yang akan

menyebabkan terjadinya hubungan seri antara blok

1 s dan

1)1(

1

++ss yang dapat diganti dengan

sss ++ )1(

1

2

Diagram blok menjadi :

5. Selanjutnya 1+s paralel dengan sss ++ )1(

1

2

=++++

++=

))1(()1(1

))1((1)(

2

2

3ssss

ssssH

)1())1((

1

2 ++++ ssss=

12

1

23 +++ sss

dan H3(s) seri dengan 2 sehingga diagram blok menjadi :

Vo(s)

+

−−−− Vi(s)

+ −−−− 1)1(

1

++ss

s

1

2

s+1

B

Vo(s) +

−−−− Vi(s)

+ −−−− sss ++ )1(

12

2

s+1

1)1( ++ss

21

6. Diagram blok paralel terakhir ini memberikan

343

2

)12/()1(21

)12/(2)(

23232

23

4+++

=++++++

+++=

ssssssss

ssssH

dan diagram blok menjadi

Reduksi diagram blok pada akhirnya akan memberikan fungsi alih

dari sistem yaitu H4(s).

8.7. Sub-Sistem Statis dan Dinamis

Perhatikanlah bahwa dalam diagram blok yang diperoleh pada contoh

8.3. terdapat blok-blok yang berisi nilai konstan dan ada yang berisi

fungsi s atau lebih tepat blok yang menggambarkan fungsi alih bernilai

konstan dan blok yang menggambarkan fungsi alih yang merupakan

fungsi dari peubah Laplace s. Blok yang berisi nilai konstan berasal dari

elemen statis resistor, dan yang berisi fungsi s berasal dari elemen

dinamik C ataupun L. Suatu sub-sistem disebut dinamis jika fungsi

transfernya merupakan fungsi peubah Laplace s. Jika fungsi alihnya

bernilai konstan (gain kontan) maka sub-sistem itu disebut statis.

8.8. Diagram Blok Integrator

Suatu diagram blok yang seluruh blok-blok dinamisnya berupa blok

integrator disebut diagram blok integrator. Sebagaimana telah dibahas,

blok integrator berasal dari elemen dinamik apabila kita mengambil

peubah status sebagai keluaran. Untuk kapasitor )()/1)(/1()( ssCs IV =

dan untuk induktor )()/1)(/1()( ssLs VI = .

Pembentukan diagram blok integrator dari suatu fungsi alih dapat

dilakukan karena fungsi alih H(s) yang berbentuk rasio polinomial dapat

kita uraikan menjadi suku-suku :

Vo(s) Vi(s) 343

223 +++ sss

Vo(s) Vi(s) + −−−−

12

223 +++ sss

1)1( ++ss


)()()(

)())((

)())(()(

2

2

1

1

21

21

n

n

n

m

ps

k

ps

k

ps

k

pspsps

zszszsKsH

−++

−+

−=

−−−

−−−=

L

L

L

Hal ini telah kita lihat pada waktu kita membahas transformasi Laplace.

Selanjutnya, setiap suku dari fungsi alih H(s) yang berbentuk bs

a

+

dapat ditulis sebagai )/1(1

)/1(

sb

sb

b

a

+

yang diagram bloknya merupakan

hubungan seri antara blok statis b

a dengan blok berumpan balik

s

1

yang jalur umpan-balik-nya berisi blok statis b . Dengan demikian

maka diagram blok dari H(s) dapat dibuat hanya terdiri dari blok statis

dan blok integrator saja.

23

Soal-Soal

1. Susunlah diagram blok dari rangkaian-rangkaian berikut, lakukan

reduksi diagram blok, tentukan fungsi alihnya.

a). b).

c). e).

f).

g).

2. Lakukan reduksi diagram blok dan carilah fungsi alih dari diagram

blok berikut.

a).

b).

1 s

1 s

+ X(s) Y(s)

ω2

10 1 s

X (s) Y(s) +

−−−−

k

+

+

+

vo

− iin

2µF 1kΩ 5mH

+

vo

− iin 1µF

1kΩ 1kΩ 0.1H

vin

+

vo

−

+ − 1kΩ

1kΩ 1µF

1kΩ

100m

+

vin

−

10Ω

10Ω 1H

+

vo

−

+ −

1µF

10µF

5kΩ 10k

Ω

1kΩ

1kΩ

+ vo −

vin

vin +

vo

−

+ −

1µF

1kΩ 1kΩ 1µF


c).

c).

d).

e).

1 s

+ X(s)

Y(s)

4

−−−−

1 s

+

+ −−−− +

+

−−−−

5

1 s

1 s

1 s

+ X(s) Y(s)

3

−−−− +

+ −−−− +

1 s

+

4

−−−−

1 s

1 s

+ X(s) Y(s)

3

−−−−

4

1 s

+

+ −−−− +

+

X(s)

Y(s)

2 +s

−−−− 1

1 +s

25

BAB 9

Sistem Dan Persamaan Ruang Status

Persamaan ruang status (state space equations) atau representasi

ruang keadaan (state space reprentation) merupakan satu alternatif

untuk menyatakan sistem dalam bentuk persamaan diferensial.

Persamaan ini dapat diturunkan dari diagram blok integrator.

9.1. Blok Integrator dan Blok Statis

Kita lihat lebih dulu blok integrator X(s)→ 1 s→Y(s) yang

menunjukkan hubungan )(1

)( ss

s XY = . Hubungan ini di kawasan t

adalah

∫= )()( txty yang dapat kita tuliskan sebagai )()( tytx &=

Hubungan terakhir di kawasan t ini dapat kita baca sebagai : sinyal

masukan adalah turunan dari sinyal keluaran.

Sekarang blok 1 s kita pandang sebagai integrator dan bukan

sebagai gambaran dari fungsi alih 1/s. Dengan pandangan ini maka

jika keluaran integrator adalah q(t) masukannya adalah )(tq& . Kita

dapat menggambarkan hubungan keluaran dan masukan di kawasan

t dari integrator sebagai

)(tq& → 1 s→ )(tq

Perhatikan: Secara teknis penggambaran di atas tidak benar.

Akan tetapi kita harus mengartikan gambar tersebut sebagai

diagram sub-sistem yang mempunyai sinyal masukan )(tq& dan

sinyal keluarannya q(t) dan bukan q(t) sama dengan (1/s) kali

)(tq& .


Berbeda dengan blok integrator, blok statis X(s)→ a →Y(s)

memberikan hubungan )()( sas XY = yang di kawasan t

memberikan hubungan

)()( taxty =

Jadi kita dapat menggambarkan hubungan )()( taxty = dengan

menggunakan blok statis, yaitu

x(t)→ a →y(t).

9.2. Diagram Blok Integrator, Sinyal Sebagai Fungsi t

Berikut ini kita akan melihat contoh suatu diagram blok integrator

yang sinyal masukan dan keluaran dari setiap integrator dinyatakan

sebagai fungsi t.

CO*TOH-9.1: Dalam diagram blok di bawah ini nyatakanlah

sinyal masukan dan keluaran pada setiap blok integrator

sebagai fungsi t.

Penyelesaian :

Dalam diagram blok ini terdapat dua blok integrator. Jika sinyal

masukan setiap blok integrator adalah )(tqi& dan sinyal

keluarannya adalah qi(t) maka diagram blok di atas dapat kita

gambarkan seperti di bawah ini, di mana masukan dua blok

integrator adalah

)(1 tq& dan )(2 tq&

sedangkan keluarannya adalah

q1(t) dan q2(t).

Y(s)

−−−− +

−−−−

a

s

1

s

1

b

c X(s)

d

+

27

Dengan diagram ini keluaran sistem adalah

)()()( 2 tdxtqty += .

9.3. Membangun Persamaan Ruang Status

Dari diagram blok di atas, kita dapat memperoleh satu set persamaan

di kawasan t yang akan memberikan hubungan antara sinyal

masukan dan sinyal keluaran sistem, yaitu x(t) dan y(t). Dengan

perkataan lain kita dapat memperoleh persamaan sistem di kawasan

t. Set persamaan tersebut kita peroleh dengan memperhatikan

masukan blok-blok integrator, dan keluaran sistem. Dalam contoh

ini set persamaan tersebut adalah :

)()()(

)()()(

)()()(

2

212

21

tdxtqty

taqtqtq

tcxtbqtq

+=

−=

+−=

&

&

(9.1)

Dengan cara ini set persamaan yang kita peroleh, yaitu persamaan

(9.1), akan terdiri dari dua kelompok. Kelompok pertama adalah

persamaan yang ruas kirinya berisi )(tq& , yang merupakan masukan

blok integrator, dan kelompok kedua adalah yang ruas kirinya berisi

y(t), yaitu keluaran sistem. Kelompok pertama dapat kita tuliskan

dalam bentuk matriks

)(0

1

)(

)(

1

0

)(

)(

2

1

2

1tx

tq

tq

a

b

tq

tq

+

−

−=

&

&

(9.2)

)()()( 2 tdxtqty +=

)(1 tq& )(1 tq

−−−− +

−−−−

a

s

1

s

1

)(2 tq& )(2 tq

+ +

b

c )(tx

d

+ +

)(ty


Dengan mendefinisikan vektor

=

)(

)(

2

1

tq

tqq

&

&&r dan

=

)(

)(

2

1

tq

tqqr

maka

(9.2) dapat kita tuliskan

[ ] [ ] )(0

1)(

1

0)( txtq

a

btq

+

−

−=

r&r (9.3)

Kelompok kedua dari (9.1) adalah )()()( 2 tdxtqty += dan dengan

definisi untuk vektor q(t) maka ia dapat kita tuliskan dalam bentuk

matriks

[ ][ ] [ ] )()( 10)( txdtqty +=r

(9.4)

Dengan demikian maka set persamaan (9.1) dapat kita tuliskan

sebagai

[ ] [ ]

[ ][ ] [ ] )()( 10)(

)(0

1)(

1

0)(

txdtqty

txtqa

btq

+=

+

−

−=

r

r&r

(9.5)

Secara umum bentuk persamaan (9.5) dapat kita tulis sebagai

[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ] )()( )(

)()( )(

txDtqCty

txBtqAtq

+=

+=r

r&r

(9.6)

Set persamaan (9.6) ini disebut representasi ruang status dari sistem.

Sebutan lain dari representasi ini adalah model ruang status atau juga

persamaan peubah status atau persamaan ruang status.

CO*TOH-9.2: Carilah representasi ruang status dari sistem berikut.

2q& 2q

1q&

−−−−

3q3q&1q

+

−−−− c3 s

1

s

1

)(ty

+

+ a1

)(tx

b

+ +

ω2

a2 +

s

1

c2

d

29

Penyelesaian:

Dari diagram blok di atas, masukan blok-blok integrator dan

keluaran sistem memberi kita persamaan berikut.

)()(

)(

)(

2233

13

222

32

11

tdxqcqcty

qq

bqtxaq

qtxaq

++=

=

−=

ω−=

&

&

&

Persamaan ini kita tuliskan dalam bentuk matriks, menjadi

[ ] [ ] )(

)(

)(

)(

0)(

)(

0)(

)(

)(

001

00

00

)(

)(

)(

)(

3

2

1

32

2

1

3

2

12

3

2

1

txd

tq

tq

tq

ccty

txa

a

tq

tq

tq

b

tq

tq

tq

tq

+

=

+

−

ω−

=

=&

&

&

&r

Inilah representasi ruang status dari sistem yang kita cari

9.4. Membangun Diagram Blok dari Persamaan Ruang Status

Melalui contoh berikut ini kita akan melihat bagaimana diagram blok

dari suatu sistem dapat dibangun jika persamaan ruang statusnya

diketahui.

CO*TOH 9.3: Bangunlah diagram blok sistem yang persamaan

ruang statusnya adalah sebagai berikut.

[ ] )( )(

1

0

0

)(

)(

)(

100

010

)(

321

3

2

1

321

tqbbbty

x(t)

tq

tq

tq

aaa

tq

r

&r

=

+

−−−

=

Penyelesaian :


Langkah pertama adalah melakukan pengembangan dari

persamaan yang diketahui sehingga diperoleh set persamaan

berikut.

)()()()(

)()()()()(

)()(

)()(

332211

3322113

32

21

tqbtqbtqbty

txtqatqatqatq

tqtq

tqtq

++=

+−−−=

=

=

&

&

&

Langkah berikutnya adalah menggambarkan blok-blok

integrator dengan masukan dan keluaran masing-masing.

Langkah ini memberikan diagram blok integrator sebagai

berikut

Langkah berikutnya adalah melakukan penghubungan blok-blok

ini sesuai dengan persamaan yang diketahui, yaitu

persamaan )()( 21 tqtq =& berarti bahwa masukan blok

integrator nomer-1 adalah keluaran dari blok

integrator nomer-2.

persamaan )()( 32 tqtq =& berarti masukan blok

integrator nomer-2 adalah keluaran blok integratir

nomer-3. Kita mendapatkan hubungan:

Selanjutnya kita membuat pencabangan-pencabangan dan

penjumlahan dengan blok-blok statis, sesuai dengan persamaan

yang diketahui, yaitu

)()()()()( 3322113 txtqatqatqatq +−−−=&

Hasil yang kita peroleh adalah:

3q& 2q 1q& 1q

s

1

2q&

s

1

3q

s

1

2q2q&

s

1

3q3q&

s

1

1q& 1q

s

1

31

Satu persamaan lagi yang harus kita penuhi, yaitu persamaan

keluaran

)()()()( 332211 tqbtqbtqbty ++=

Dengan pencabangan dan penjumlahan persamaan ini kita

penuhi.

−−−−

a2

)(tx

a3

3q& 2q 1q& 1q

s

1

2q&

s

1

3q

s

1

a1

−−−− −−−−

+

−−−−

a2

)(tx

a3

3q& 2q 1q& 1q

s

1

2q&

s

1

3q

s

1

a1

−−−− −−−−

+ b1

b2

b3

+

+ +

)(ty


Soal-Soal

1. Carilah persamaan ruang status dari sistem-sistem dengan diagram

blok di bawah ini.

a).

b).

c).

d).

10 1 s

X (s) Y(s) +

−−−−

k

+

+

1 s

1 s

+ X(s) Y(s)

ω2

+

X(s)

Y(s)

2 +s

−−−− 1

1 +s

1 s

1 s

+ X(s) Y(s)

3

−−−−

4

1 s

+

+ −−−− +

33

e).

f).

2. Gambarkan diagram blok dari sistem dengan persamaan status

berikut ini.

a).

[ ] )(10)( 009)(

)(5

3)(

460

537

012

)(

txtqty

txtqtq

+=

+

=

r

r&r

b).

[ ] )(5)( 005)(

)(

0

1

0

)(

002

104

200

)(

txtqty

txtqtq

+=

+

−=

r

r&r

1 s

+ X(s) Y(s)

3

−−−− +

+ −−−− +

1 s

+

4

−−−−

X(s) 1 s

+

Y(s)

4

−−−−

1 s

+

+ −−−− +

+

−−−−

5

1 s

1 s


c).

[ ] )( 11)(

)(1

1)()(

tqty

txtqtq

r

r&r

=

+

σ−ω−

ωσ−=

d).

[ ] )( 01)(

)(1

0)(

2

10)( 2

tqty

txtqtq

r

r&r

=

+

ζω−ω−

=

e).

[ ] )( 10)(

)(1

0)(

2

10)( 2

tqty

txtqtq

r

r&r

=

+

ζω−ω−

=

35

Daftar Pustaka

1. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB

2002, ISBN 979-9299-54-3.

2. Sudaryatno Sudirham, “Pengembangan Metoda Unit Output Untuk

Perhitungan Susut Energi Pada Penyulang Tegangan Menengah”,

Monograf, 2005, limited publication.

3. Sudaryatno Sudirham, “Pengantar Rangkaian Listrik”, Catatan

Kuliah El 1001, Penerbit ITB, 2007.

4. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Harmonisa Dalam Permasalahan

Kualitas Daya”, Catatan Kuliah El 6004, 2008.

5. P. C. Sen, “Power Electronics” McGraw-Hill, 3rd Reprint, 1990,

ISBN 0-07-451899-2.

6. Ralph J. Smith & Richard C. Dorf : “Circuits, Devices and Systems”

; John Wiley & Son Inc, 5th ed, 1992.

7. David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn : “Electric

Circuit Analysis” ; Prentice-Hall Inc, 2nd ed, 1992.

8. Vincent Del Toro : “Electric Power Systems”, Prentice-Hall

International, Inc., 1992.

9. Roland E. Thomas, Albert J. Rosa : “The Analysis And Design of

Linier Circuits”, . Prentice-Hall Inc, 1994.

10. Douglas K Lindner : “Introduction to Signals and Systems”,

McGraw-Hill, 1999.


Daftar *otasi

v atau v(t) : tegangan sebagai fungsi waktu.

V : tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah.

Vrr : tegangan, nilai rata-rata.

Vrms : tegangan, nilai efektif.

Vmaks : tegangan, nilai maksimum, nilai puncak.

V : fasor tegangan dalam analisis di kawasan fasor.

V : nilai mutlak fasor tegangan.

V(s) : tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s.

i atau i(t) : arus sebagai fungsi waktu.

I : arus dengan nilai tertentu, arus searah.

Irr : arus, nilai rata-rata.

Irms : arus, nilai efektif.

Imaks : arus, nilai maksimum, nilai puncak.

I : fasor arus dalam analisis di kawasan fasor.

I : nilai mutlak fasor arus.

I(s) : arus fungsi s dalam analisis di kawasan s.

p atau p(t) : daya sebagai fungsi waktu.

prr : daya, nilai rata-rata.

S : daya kompleks.

|S| : daya kompleks, nilai mutlak.

P : daya nyata.

Q : daya reaktif.

q atau q(t) : muatan, fungsi waktu.

w : energi.

R : resistor; resistansi.

L : induktor; induktansi.

C : kapasitor; kapasitansi.

Z : impedansi.

Y : admitansi.

TV (s) : fungsi alih tegangan.

TI (s) : fungsi alih arus.

TY (s) : admitansi alih.

TZ (s) : impedansi alih.

µ : gain tegangan.

β : gain arus.

r : resistansi alih, transresistance.

g : konduktansi; konduktansi alih, transconductance.

AnalisisAnalisis Rangkaian Listrik · PDF fileberubah posisi, kedudukan teropong kita...

Documents

Transcript of AnalisisAnalisis Rangkaian Listrik · PDF fileberubah posisi, kedudukan teropong kita...