Download - ALJABAR BOOLEAN II

ALJABAR BOOLEAN II

Sistem digitalSistem digital

TEKNIK INFORMATIKATEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS UNIVERSITAS TRUNOJOYOTRUNOJOYO

Slamet Dodik Eko Setyawan, S.KomSlamet Dodik Eko Setyawan, S.Kom

Oktober 2010Oktober 2010 22

PembahasanPembahasan Fungsi BooleanFungsi Boolean Komplemen FungsiKomplemen Fungsi Bentuk Kanonik Bentuk Kanonik

SOPSOP POSPOS

Aplikasi Aljabar BooleanAplikasi Aljabar Boolean


Fungsi BooleanFungsi Boolean Fungsi BooleanFungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) (disebut juga fungsi biner)

adalah pemetaan dari adalah pemetaan dari BnBn ke ke BB melalui melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagaisebagai

ff : : BnBn BByang dalam hal ini yang dalam hal ini BnBn adalah himpunan yang adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-beranggotakan pasangan terurut ganda-nn ((ordered n-tupleordered n-tuple) di dalam daerah asal ) di dalam daerah asal BB. .

Setiap ekspresi Boolean tidak lain Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. merupakan fungsi Boolean.


Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah

ff((xx, , yy, , zz) = ) = xyz xyz + + xx’’yy + + yy’’zz

Fungsi Fungsi ff memetakan nilai-nilai pasangan memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (terurut ganda-3 (xx, , yy, , zz) ke himpunan {0, 1}.) ke himpunan {0, 1}.

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti xx = 1, = 1, yy = 0, = 0, dan dan zz = 1 = 1

sehingga f(1, 0, 1) = 1 sehingga f(1, 0, 1) = 1 0 0 1 + 1’ 1 + 1’ 0 + 0’ 0 + 0’ 1 1 = 0 + 0 + 1 = 1 . = 0 + 0 + 1 = 1 .


ff((xx) = ) = xx ff((xx, , yy) = ) = x x ’’yy + + xy xy ’+ ’+ y y ’’ ff((xx, , yy) = ) = x x ’’ y y ’’ ff((xx, , yy) = () = (xx + + yy)’ )’ ff((xx, , yy, , zz) = ) = xyz xyz ’ ’

Contoh-contoh fungsi Boolean yang Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:lain:


Setiap peubah di dalam fungsi Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut komplemennya, disebut literalliteral. .

Contoh: Fungsi Contoh: Fungsi hh((xx, , yy, , zz) = ) = xyzxyz’ pada ’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu literal, yaitu xx, y, dan , y, dan zz’. ’.


Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.

Contoh.

Penyelesaian: x y z f(x, y, z) = xy z’

00001111

00110011

01010101

00000010


Cara pertama: menggunakan hukum Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan De Morgan

Hukum De Morgan untuk dua buah Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, peubah, xx1 dan 1 dan xx2, adalah 2, adalah

Komplemen Fungsi


Misalkan Misalkan ff((xx, , yy, , zz) = ) = xx((yy’’zz’ + ’ + yzyz), maka), maka ff ’( ’(xx, , yy, , zz) = () = (xx((yy’’zz’ + ’ + yzyz))’))’ = = xx’ + (’ + (yy’’zz’ + ’ + yzyz)’)’ = = xx’ + (’ + (yy’’zz’)’ (’)’ (yzyz)’)’ = = xx’ + (’ + (yy + + zz) () (yy’ + ’ + zz’)’)

Contoh.


Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.

Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan merepresentasikan ff, lalu komplemenkan , lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut. setiap literal di dalam dual tersebut.

Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), makadual dari f: x + (y’ + z’) (y + z)komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’

Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)


Bentuk KanonikBentuk Kanonik Jadi, ada dua macam bentuk kanonik:Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau

SOP)Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau

POS)


Contoh Contoh ::1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP Setiap suku (term) disebut minterm2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’) (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) POS

Setiap suku (term) disebut maxterm

Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap


Minterm Maxterm

x y Suku Lambang Suku Lambang

0011

0101

x’y’x’yxy’x y

m0

m1

m2

m3

x + yx + y’x’ + yx’ + y’

M0

M1

M2

M3


Minterm Maxterm

x y z Suku Lambang Suku Lambang

00001111

00110011

01010101

x’y’z’x’y’zx‘y z’x’y zx y’z’x y’zx y z’x y z

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

x + y + z x + y + z’x + y’+zx + y’+z’x’+ y + zx’+ y + z’x’+ y’+ zx’+ y’+ z’

M0

M1

M2

M3

M4

M5

M6

M7


Contoh Soal:Contoh Soal: Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini

dalam bentuk kanonik SOP dan POS.dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

x y z f(x, y, z)

00001111

00110011

01010101

01001001


PenyelesaianPenyelesaian::

SOPSOP

Kombinasi nilai-nilai peubah yang Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalahadalah

ff((xx, , yy, , zz) = ) = xx’’yy’’zz + + xyxy’’zz’ + ’ + xyzxyz

atau (dengan menggunakan lambang atau (dengan menggunakan lambang mintermminterm),),

ff((xx, , yy, , zz) = ) = mm1 + 1 + mm4 + 4 + mm7 = 7 = (1, 4, (1, 4, 7)7)


Contoh:Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.Penyelesaian:(a) SOPx = x(y + y’) = xy + xy’ = xy (z + z’) + xy’(z + z’) = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ y’z = y’z (x + x’) = xy’z + x’y’zJadi f(x, y, z) = x + y’z

= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz

atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = (1,4,5,6,7)


(b) POS f(x, y, z) = x + y’z

= (x + y’)(x + z) x + y’ = x + y’ + zz’

= (x + y’ + z)(x + y’ + z’) x + z = x + z + yy’

= (x + y + z)(x + y’ + z) Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ +

z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’) atau f(x, y, z) = M0M2M3 = (0, 2, 3)


Aplikasi Aljabar BooleanAplikasi Aljabar BooleanNyatakan fungsi Nyatakan fungsi ff((xx, , yy, , zz) = ) = xyxy + + xx’’yy ke ke dalam rangkaian logika.dalam rangkaian logika.

Jawab: (a) Cara pertama

x'

x

yxy

x

yx'y

xy+x'y


(b) Cara kedua

x '

xyxy

x 'y

xy+x 'y


x'

xy

x y

x'y

xy+x'y

(c) Cara ketiga


Penyederhanaan Fungsi Penyederhanaan Fungsi BooleanBoolean

Penyederhanaan Secara Aljabar Penyederhanaan Secara Aljabar Contoh:

f(x, y) = x + x’y = (x + x’)(x + y) = 1 (x + y ) = x + y


f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’ = x’z(y’ + y) + xy’ = x’z + xz’

f(x,y,z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’)

= xy + x’z + xyz + x’yz = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z


TUGASTUGAS


Daftar PustakaDaftar Pustaka