BANGUN RUANG BIDANG DATAR
Disusun
Oleh : Muntiarsih,S.Pd
NIP 196809072006042011
D
A. UNSUR-UNSUR BALOK
SISI ATAS =TUTUP
SISI BAWAH =ALAS
RUSUK YG TERPANJANG = PANJANG = p
RUSUK YG LEBIH
PENDEK= LEBAR = l
RUSUK YG BERDIRI =
TINGGI = t
p l
t
A BC
E FGH
RUSUK
I. BALOK
TITIK POJOK
Pada setiap Balok :• Titik Pojok ada 8 buah.
Titik pojok : A, B, C, D, E, F, G dan H• Rusuk ada 12 buah , terdiri dari
3 kelompok garis sama panjang dan sejajar, yaitu :
1). Kelompok panjang : Garis AB, DC , HG dan EF
2). Kelompok Lebar : Garis AD , BC , FG dan EH
3). Kelompok Tinggi :Garis AE , BF , CG dan DH
• Sisi terdiri dari 6 buah persegipanjang.Pasangan sisi :1). ABCD dan EFGH2). ABFE dan DCGH3). ADHE dan BCGF
• Diagonal Sisi dan Diagonal Ruang.Pada balok ABCD.EFGH :1). Diagonal sisi ada 12 buah.
Misalnya : garis EB2). Diagonal Ruang 4 buah semua sama panjang.
Misalnya : Garis EC- Rumus menentukan Panjang diagonal sisi.
Diagonal Sisi pada setiap balok ada 3 jenis panjangnya , yaitu :1). EB =2). AC =3). AC =
- Rumus untuk menentukan panjang Diagonal Ruang. Pada setiap balok , panjang diagonal ruang sama semuanya.
Diagonal ruang =
Diag. RuangDiagonal sisi
p2 + l2 + t2
D
A B
C
H
E F
G
AB2 + AE2
BC2 + AB2 AB2 + BC2
p l
t
Contoh 1 :Diketahui ukuran balok KLMN.OPQR ,adalah 16 dm x 9 dm x 12 dm.Tentukanlah :
a. Panjang KPb. Panjang MPc. Panjang PR
Penyelesaian :Dik. : KL= 16 dm , LM = 9 dm
dan MQ = 12 dm .Dit. : a. Panjang KP = … ?
b. Panjang MP = … ?c. Panjang PR = … ?
Jawab :a. KP =
Jadi Panjang KP = 20 dm b. MP =
Jadi Panjang MP = 15 dm c. PR =
= Jadi Panjang KP = 18,36 dm
K L
MN
O PQR
16 dm
12 dm
9 dm
KL2 +LP2
162 + 122 256 + 144 400
== = 20
LM2 + LP2 92 + 122 81 +144 225
== = 15
OP2 + OR2 162 + 92
256 + 81
337= == 18,36
Contoh 2 :Diketahui Balok ABCD.EFGH seperti gambar dibawah ini.Jika panjang balok = 24 cm , lebar = 18 cm dan tingginya = 16 cm , hitunglah panjang diagonal ruang BH!
Penyelesaian :Dik. : p = AB = 24 cm
l = BC = 18 cm t = CG = 16 cm
Dit. : BH = …?
Jawab :
A B
CD
E FGH
24 cm
16
cm
18 cm
p2 + l2 + t2BH =242 + 182 + 162BH =576 + 324 + 256BH =
1156BH =
34BH =
Panjang diagonal ruang = BH = 34 cm
A B
D
E F
GH
C
• Bidang diagonal
Pada setiap balok Bidang Diagonalada 6 buah persegipanjang , terdiri dari 3 pasang.
Pada Balok ABCD.EFGH bidang diagonal adalah :
Pasangan (i) : ABGH dan CDEF
Pasangan (ii) : BCHE dan ADGF
Pasangan (iii) : AEGC dan BFHD
Setiap pasangan bidang Diagonal terdiri dua persegi panjang yang luasnya sama
……
……
……
Rumus menentukan Luas Bidang Diagonal :
D
22 CG BC x AB ABGH Luas
22 BC AB x AE AEGC Luas
22 AEAB x BC BCHE Luas
1.
2.
3.
A B
C
H
E FG
D
A B
C
H
E FG
D
A B
C
H
E FG
A B
CD
E FGH
Contoh 1 :Pada Balok ABCD.EFGH :AB = 20 cm , BC = 9 cm danAD = 12 cmHitung panjang :a. Diagonal sisi CF.b. Diagonal ruang BH.
Penyelesaian :Dik. : AB = 20 cm , BC = 9
cmdan BF = AD = 12 cm
Dit. : a. CF = … cm ? b. BH = … cm ?
Jawab :a. Pada ∆BCF, ∠B = 900
Maka :
CF2 = BC2 + BF2
= 92 + 122
= 225
CF = √225 = 15
Jadi CF = 15 cm
20 cm9 cm1
2 c
m
b. Cara I : Pada ∆BAD, ∠A = 900
Maka :BD2 = AB2 + AD2
BD2 = 202 + 92
BD2 = 481 ………. 1)
Pada ∆BDH , ∠D = 900
Maka :BH2 = BD2 + DH2
= 481 + 122
= 625BH = √625 = 25
Cara II :Panjang diagonal ruang :
BH = = = =
A B
CD
E FGH
20 cm
9 cm
12
cm
p2 + l2 + t2
202 + 92 + 122
400 + 81 + 144625 = 25
Jadi Panjang BH = 25 cm
Contoh 2 :
Pada balok di kanan ini KL = 24 cm , LM = 18 cm dan KO = 11 cm.
Hitunglah luas bidang diagonal LNRP (yang diarsir)!
Jawab :Luas LNRP = LN x LP
= 30 cm x 11 cm
= 330 cm2
Pada ∆KLN, ∠K = 900
Maka : LN2 = KL2 + KN2
= 242 + 182
= 576 + 324 LN2 = 900LN = √900 = 30
24 cm 18 cm11
cm
P
N
K L
M
R
O
Q
Contoh 3 :Untuk membuat kerangka sebuah balok seperti gambar di kanan ini diperlukan kawat dengan panjang 288 cm.Jika Panjang : lebar : tinggi = 5 : 4 : 3 ,tentukanlah masing-masing Panjang balok , Lebarnya dan Tinggi balok itu!Jawab :Untuk panjang diperlukan 4 potong kawat , lebar 4 potong dan tinggi 4 potong.Jadi : 4p + 4l + 4t = 288 4(p + l + t) = 288
p + l + t = 288 : 4p + l + t = 72
p : l : t = 5 : 4 : 3
Maka :
Panjang = 5/12 x 72 cm = 30 cm
Lebar = 4/12 x 72 cm
= 24 cm
Tinggi = 3/12 x 72 cm
= 18 cm
pl
t
5 + 4 + 3 = 12
p l t
p = 30 cml = 24cm
=18cm
3 cm
B. VOLUM BALOK• Pengertian Volum
Sebuah Kotak berukuran 5 cm x 3 cm x 4 cm , di isi kotak-kotak kecil sebagai berikut.
Ditanyakan :1). Untuk mengisi kotak sampai
penuh tentukan kotak kecil yang diperlukan.
2). Jika 1 kotak kecil volumnya 1 cm3 , berapakah Volum Kotak Besar?
= 1 cm3
5 cm
4 cm
Dari pengertian itu diperolah bahwa :Volum suatu bangun ruang adalah banyaknya bangun 1 satuan kubik yang dapat dimasukkan kedalam bangun ruang tersebut.
Karena Kotak tersebut adalah Balok , maka Rumus Volum Balok didapat sbb :
Contoh 1 :Hitunglah Volum balok jika ukurannya Panjang 12 cm , lebar 10 cm dan tinggi 9 cm!Jawab :
V = 12 cm x 10 cm x 9 cm = 1.080 cm3
V = p x l x tV = Volum Balok p = panjang balokl = lebar balokt = tinggi balok
Jadi Volum balokitu adalah 1080 cm3
Contoh 2 : (Soal untuk dibahas bersama guru) Diketahui Volum balok = 1536 liter.Panjang : Lebar : tinggi = 4 : 3 : 2 Tentukanlah : a. panjangnya
b. lebar c. tinggi balok ituPenyelesaian :Dik. : V = 1536 liter = 1536 dm3
p : l : t = 4 : 3 : 2Dit. : a. p= … ?
b. l = … ?c. t = … ?
Jawab :a. p : l = 4 : 3 4l = 3p
.…
l = 34 p …(1)
p : t = 4 : 2 4t = 2p
t = 12 p …(2)
V = p x l x t
1536 = p x 34 p x 1
2 p
1536 = 38 p3
1536 : 38p3 = = 4096
p =
b. l = 34 p = 3
4 x 16 = 12
Panjangnya = 16 dm
Lebarnya = 12 dm
c. t = 12 p = 12 x 16 = 8
Tingginya = 8 dm
∛4096 = 16
Contoh 3 :Diketahui Volum balok = 1728 literPanjang : Lebar : tinggi = 4 : 2 : 1 Tentukanlah : a. panjangnya
b. lebarnya c. tinggi balokPenyelesaian :Dik. : V = 1728 liter = 1728
dm3
p : l : t = 4 : 2 : 1Dit. : a. Panjang = … ?
b. Lebar = … ?c. Tinggi = … ?
Jawab :a. p : l = 4 : 2 4l = 2p
l = 12 p …(1)
p : t = 4 : 1 4t = 1p
t = 14 p …(2)
V = p x l x t
1728 = p x 12 p x 1
4 p
1728 = 18 p3
1728 : 18p3 = = 13824
p =
b. l = 12 p = 1
2 x 24 = 12
Panjangnya = 24 dm
Lebarnya = 12 dm
c. t = 14 p = 14 x 24 = 6
Tingginya = 6 dm
∛13824 = 24
Contoh 4 :Sebuah bak akan diisi air melalui kran sampai penuh seperti gbrdibawah ini. Ukuran bagian dalam bak adalah 1,2 m x 1 m x 0,8 m. Bila kran mampu mengalirkan air 5 liter permenit , tentukanlah waktu yang diperlukan untuk mengisi bak sampai penuh!
Penyelesaian :Dik. : p = 1,2 m = 12 dm ,
l = 1 m = 10 dm , t = 0,8 m = 8 dm ,
Kecepatan air = 5 ltr / menitDit. : Wkt yg diperlukan sd penuh =…?Jawab :Waktu = Volum bak : kecepatan air
= (12 dm x 10 dm x 8 dm) : 5 ltr/mnt
= 960 dm3 : 5 ltr / mnt= 960 ltr : 5 ltr / mnt = 192 mnt
Jadi waktu yg diperlukansampai penuh adalah 192 menit = 3 jam 12 menit
E
C. JARING-JARING BALOK
Bila Balok ABCD.EFGH (Gbr (i))dibuka akan didapat rangkaian persegipanjang seperti Gbr (ii).
Rangkaian Persegipanjang tersebut dinamakan jaring-jaring balok.Masing-masing Persegipanjang itu adalah sisi balok yang terdiridari 3 pasang , dan setiap pasang ada 2 persegipanjang yangsama luasnya.
A B
C
FGH
A B FE
E F
GH CD
E F
GH
Gbr (i)
Gbr (ii)
D
Dibuka
D. LUAS SISI BALOKPada setiap Balok Luas Sisinya adalah sama dengan luas jaring-jaringnya.Pada Balok ABCD.EFGH sisinya :• Pasangan (i) : ABCD dan EFGH
Luas ABCD = Luas EFGH = p x l • Pasangan (ii) : ABFE dan DCGH
Luas ABFE = Luas DCGH = p x t• Pasangan (iii) : ADHE dan BCGF
Luas ADHE = Luas BCGH = l x t
Maka Luas seluruh sisi pada satu balok adalah :L = 2 (p x l) + 2 (p x t) + 2 (l x t) = 2pl + 2pt + 2lt = 2(pl + pt + lt)
Jadi Rumus Luas balok :
L = luas sisi balokp = panjang balokl = lebar balokt = tinggi balok
L = 2(pl + pt + lt)
B
E
AC
FGH
D
p
t
l
Contoh 1 :Diketahui suatu balok dengan panjang = 17 cm , lebar = 12 cm dan tingginya = 9 cm.Hitunglah Luas sisinya !Penyelesaian :Dik. : p = 17 cm , l = 12 cm dan t = 9 cmDit. : L = …..?Jawab :Luas = 2(pxl + pxt + lxt)
= 2(17x12 + 17x9 + 12x9) = 2(204 + 153 + 108)
= 2 . 465= 930
204 108
153
153
108
204
17
12
99
12
9
9
1712
9
Jadi luas balok itu = 930 cm2
Contoh 2 :
Luas sisi balok = 2964 cm2.
Jika ukuran balok itu adalah
25 cm x 18 cm x t cm ,
tentukanlah tinggi balok itu!
Penyelesaian :
Dik. : L = 2964 cm2 ,
p = 25 cm ,
l = 18 cm
Dit. : t = …?
Jawab :
L = 2 ( pl + pt + lt )2964 = 2 ( 25.18 + 25.t + 18.t )2964 = 2 ( 450 + 25t + 18t )2964 = 2 ( 450 + 43t )2964 = 900 + 86t 86t = 2964 – 900
= 2064 t = 2064 : 86
= 24
Jadi Tinggi Balok itu adalah 24 cm
Contoh 3 :Diketahui Balok dengan Luas 7128 cm2 dan p : l : t = 3 : 2 : 1Tentukan p = panjang , l = lebar dan t = tinggi !Jawab :Dari p : l : t = 3 : 2 : 1 , didapat :(i). p : t = 3 : 1
p = 3t
(ii). l : t = 2 : 1 l = 2t
L = 2(p.l + p.t + l.t)7128 = 2(3t.2t + 3t.t + 2t.t)7128 = 2(6t2 + 3t2 + 2t2)7128 = 22t2
t2 = 7128 : 22 = 324t = √324 = 18
t = 18p = 3t p = 3.18 p = 54
l = 2t l = 2.18 l = 36
Jadi : Panjang = p = 54 cmLebar = l = 36 cm
Tinggi = t = 18 cm
II. KUBUSKubus termasuk Balok , yaitu : Balok yang Istimewa.
Contoh :Manakah balok berikut yang termasuk Kubus?
Jika pada suatu Balok : PANJANG = LEBAR = TINGGIMaka balok itu dinamakan KUBUS
No. Panjang Lebar Tinggi
1 12 cm 12 cm 12,5 cm
2 13 cm 13 cm 13 cm
3 0,3 m 30 cm 3 dm
4 4 m 40 cm 0,4 dm
5 25 dm 2,5 m 250 cm
Jawab :1. Bukan kubus
2. Kubus3. Kubus4. Bukan kubus5. Kubus
A. UNSUR-UNSUR KUBUS
1. Titik sudut (pojok) ada 8 buah , misalnya titik A , B , E , dll 2. Rusuk : semua sama panjang
(panjang = lebar = tinggi)Garis : AB = DC = EF= HG = BC = FG =
EH = AD = AE = BF = CG = DH3. Sisi : 6 buah , semua kongruen
berbentuk Persegi.Antara lain : ABCD , DCGH , BCGF , dll
4. Diagonal sisi : 12 buah semua sama panjang , a.l. : garis BGPanjang setiap Diagonal sisi Kubus =
5. Diagonal ruang : 4 buah , semua sama panjang , a.l. : garis BHPanjang Diagonal ruang Kubus =
2Panjang Rusuk x
3Panjang Rusuk x
A B
CD
E FGH
6. Bidang diagonal.Satu Kubus memiliki 6 buah bidang Diagonal.Semua Bidang diagonal Kubus berbentuk Persegi panjang
yang luasnya sama dan kongruen .
Pada Kubus ABCD.EFGH dibawah ini salah satu bidang diagonalnya adalah Persegipanjang BDHF
Luas setiap bidang diagonal dapatdihitung dengan rumus sbb :Luas bid. diag. = rusuk x diagonal sisi
= rusuk x rusuk x √2
Jika rusuk = s , dan Luas bidang diagonal = L.bd , maka :
L.bd = S x S x √2 A B
CD
E FGH
, sebagai berikut ini :
Contoh 1 :
Diketahui suatu kubus panjang
rusuknya 8 cm.
Tentukanlah :
a. Panjang salah satu diagonal sisinya
b. Panjang salah satu
diagonal ruangnya
c. Luas salah satu bidang
diagonalnya
Jawab :
a. Panjang diagonal sisinya = 8√2 cm
b. Panjang diagonal ruang = 8√3 cm
c. Luas bidang satu diagonal = 8 cm x 8√ 2 cm
= 64√3 cm2
Contoh 2 :
Sebuah kerangka kubus akan
dibuat dengan bahan kawat.
Jika panjang salah satu
Diagonal ruangnya = 25√3 cm.
Tentukanlah :
a. Panjang kawat yang diperlukan
b. Panjang satu diagonal sisi.
c. Luas satu bidang diagonal.
Jawab :a. dR = s√3 = 25√3
s√3 = 25√3 s = 25√3 : √3s = 25 Jadi panjang kawat yang diperlukan = 12 x 25 cm
= 300 cm
b. dS = s√2 = 25√2 Panjang diagonal sisi = 25√2 cm
c. Luas satu bidang diagonal = s2 √2 cm2
= 625√2 cm2
Contoh 3 :
Panjang rusuk suatu
kubus = 13√2 cm
Hitunglah :
a. Panjang diagonal ruangnya
b. Luas salah satu
bidang diagonalnya
Jawab :a. dR = s √3
= (13√2) x√3 = 13 √(2x3)= 13 √6
Panjang diagonal ruang = 13√6 cm
b. Luas Bid. Diag. = s2 √2 = (13 √2)2 x√2 = 132 x (√2 )2 x √2 = 169 x 2 x √2 = 338 √2
Jadi Luas salah satu bidang diagonalnya adalah 338 √2 cm2
B. VOLUM KUBUSKubus adalah Balok yang Panjangnya = Lebar = tingginya.Selanjutnya pada Kubus: Panjang , lebar dan tingginya disebut Rusuk.
Jika Volum Balok = Panjang x Lebar x Tinggi.Maka Volum Kubus = Rusuk x Rusuk x Rusuk.
Jadi Rumus Volum Balok adalah sebagai berikut :
Contoh 1 : Tentukan Volum kubus yang panjang rusuknya 25 dm!Jawab :
V = 25 cm x 25 cm x 25 cm = 15.625 cm3
V = S x S x S
V = S3
atauV = Volum KubusS = Panjang Rusuk Kubus
Jadi Volum Kubusitu = 15.625 dm3
Contoh 2 :Diketahui Panjang seluruh kerangka suatu kubus = 156 cm.Berapa liter volum kubus tersebut?
Penyelesaian :
Dik. : Panjang seluruh kerangka kubus = 156 cm
Dit. : V = …?
Jawab :
V = s3
= (13 cm)3
= 2197 cm3
= 2,197 liter
Jadi Volum Kubus itu = 2,197 liter
Panjang kerangka = 156 cm 12 s = 156 cm
s = 156 cm12
s = 13 cm
Contoh 3 :Sebuah aquarium berbentuk Kubus diisi air 121 liter , ternyata tinggi air dalam aquarium adalah 40 cm.Tentukanlah Volum aquarium jikadiisi sampai penuh!
Penyelesaian :Dik. : Air = 121 liter dan tingginya = 20 cmDit. : V.aquarium = … ?
Jawab :
V = s3
= (55 cm)3
= 166375 cm3
= 166,375 literJadi Volum aquarium = 166,375 liter
Luas alas = s2
Volum Air = s2 x tinggi121 ltr = s2 x 40 cm121000 cm3 = s2 x 40 cms2 = 121000 cm3 : 40 cm
= 3025 cm2
s = √3025 cm2 = 55 cm
40 cm
55 cm
C. JARING-JARING KUBUSGbr (i) : kotak berbentuk kubus yang terbuat dari karton.Gbr (ii) : Jaring-jaring Kubus , yaitu rangkaian persegi hasil bukaan kotak disebut.
Rangkaian persegi yang merupakan jaring-jaring kubus adabeberapa jenis. Cobalah gambarkan sebanyak mungkin.
Gbr (i) Gbr (ii)
Alas Tutup
• Rangkaian persegi yang merupakan jaring- jaring kubus , seluruhnya ada 11 jenis , yaitu :
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(11)(7) (8) (9) (10)
Contoh :Pada masing-masing gambar jaring-jaring kubus dibawahini persegi bernomor 1 adalah alasnya. Persegi nomor berapa yang menjadi tutupnya?
Jawab : Tutup adalah : a. Nomor 3b. Nomor 5c. Nomor 4d. Nomor 4
2
4
5
6
1 3a. b. c. d.2
4 5
6
1 3
2
4
5
61
3
2
45
6
1
3
D. LUAS SISI KUBUS1. Tuliskan Rumus untuk
menghitung luas persegi2.a. Hitunglah luas persegi
Gbr (ii) . (1) di kiri ini! b. Gbr. (ii) adalah jaring-
jaring kubus gbr. (i).Hitunglah luas seluruhnya!
Jawab :1. Rumus Luas persegi.
Luas = sisi x sisi = s x s =s2
2.a. L(1) = 8 cm x 8 cm = 64 cm2
b. Luas seluruhnya :L = 6 x L(1)L = 6 x 64 cm2 = 384 cm2
Gbr (i)
(1) (2) (4) (5)
(3)
(6)Gbr (ii)
8 cm
8 cm
Pada setiap Kubus terdapat ada 6 buah sisi berbentuk persegi.Luas satu sisi = Panjang rusuk Kubus x Panjang rusuk Kubus. Misalkan Luas sisi pertama = L1 = s x s = s2, dan
L1 = L2 = L3 = L4 = L5 = L6 = s2
Maka Luas Sisi Kubus adalah :
Contoh 1 :Hitunglah Luas Sisi kubus tanpa tutup ( hanya 5 buah persegi )dengan rusuk 30 cm!Jawab : L = 6 x (30 cm)2 – (30 cm)2
= 5.400 cm2 – 900 cm2
= 4.500 cm2
L = 6s2L = Luas Sisi Kubus.S = panjang rusuk kubus.
Contoh 2 :Diketahui panjang salah satu diagonal ruang kubus 15√3 cmHitunglah Luas seluruh sisi kubus itu!
Penyelesaian :Dik. : dR = 15√ 3 cmDit. : L = ….?
Jawab :L = 6s2
= 6 x 152
= 1350
Jadi Luas seluruh sisiKubus itu = 1350 cm2
Contoh 3 :
Diketahui Volum sebuah
kubus = x cm3 dan Luas
seluruh sisinya = y cm2
Jika x = y, tentukanlah :
a. Nilai x .
b. Nilai y .
c. Panjang salah satu diagonal ruangnya.
d. Luas salah satu bidang diagonalnya.
dR = s√3 = 15√3
s =
s = 15
15√3√3
Penyelesaian Contoh 3 :Dik. : V = x cm3
L = y cm2 y = x
Dit. : a. V = x = …?
b. L = y = …?
c. dR = … ? b. L.BD = … ?
Jawab :V = x = s3 L = y = 6s2
a. V = s3 = 63 = 216Volum kubus itu = 216 cm3
b. L = 6s2 = 6 x 62 = 216Luas sisi = 216 cm2
c. dR = s √3 = 6√3
Panjang satu diagonal ruang = 6√3 cm
d. LBD = s x s x√2 = 62√3 = 36√2
Luas satu bidang
diagonal = 36√3 cm2
x = ys3 = 6s2
s3 s2 =
6s2 s2 s = 6
III. PRISMA
Gbr (i). PRISMA SEGI-3
Gbr (iii). PRISMASEGI-5
Gbr (iv). PRISMASEGI -6
Gbr (ii). PRISMASEGI-4
Perhatikan bahwa prisma segi-4 adalah merupakan balok.Perlu dipahami bahwa Balok maupun Kubus adalah termasuk prisma juga.Nama jenis Prisma biasanya dikaitkan dengan bentuk alasnya. Jika alasnya segi tiga maka prisma itu disebut prisma segitiga , Jika alas berbentuk segi-5 maka namanya prisma segi lima , dst.
A. UNSUR-UNSUR PRISMAPada setiap Prisma selalu ditemukan unsur-unsur sbb : (1). Titik Sudut (pojok) , (2). Rusuk , (3) Sisi ,(4). Diagonal Sisi , (5) Diagonal Ruang dan (6). Bidang diagonal.Yang akan kita bahas di SMP hanya (1) sd (4).Masing-masing unsur , banyaknya tegantung pada jenis prisma itu.Misalnya seperti tabel berikut :
No. Jenis Prisma Pojok Rusuk sisi Diagonal Sisi
1. Prisma Segi-3 6 buah 9 buah 5 buah 6 buah
2. Prisma Segi-4 8 buah 12 buah 6 buah 12 buah
3. Prisma Segi-5 10 buah 15 buah 7 buah 20 buah
4. Prisma Segi-6 12 buah 18 buah 8 buah 30 buah
Contoh 1 :Pada Prisma segi-5 EFGHI.JKLMN :1. Titik sudut ada 10 buah titik , yaitu :
Pada Alas : Titik E , F , G , H dan I Pada Tutup : Titik J , K , L , M dan N
2. Rusuk ada 15 buah garis , yaitu :Pd Alas ada 5 garis , garis : EF , FG , GH , HI dan EIPd Tutup ada 5 garis , garis : JK , KL , LM , MN dan JNRusuk Tegak ada 5 garis , garis : EJ , FK , GL , HM dan IN
3. Sisi ada 7 buah. Dua Segi-5, Alas EFGHI dan Tutup JKLMNLima Persegipanjang : EFKJ, FGLK , GHML ,HINM dan EINJ.
4. Diagonal sisi 20 buah garis.Pada Alas 5 buah : EG , EH , FH , FI dan GIPada Tutup 5 buah : JL , JM , KM , KN dan LN (belum dibuat)Pada Sisi Tegak 10 buah : EK,FJ ,FL,GK,GM,HL,HN,IM,EN dan IJ
E F
GH
I
J K
LM
N
Catatan :Pada Prisma Segi-n :(1). Banyak titik sudut (pojok) = 2 x n(2). Banyak Rusuk = 3 x n(3). Banyak Sisi = n + 2(4). Banyak diagonal sisi = n x (n-1)
Contoh 2 :
Gunakan rumus di atas untuk menentukan banyak Titik sudut ,
banyak Rusuk , banyak Sisi dan banyak Diagonal sisi pada
Prisma segi-15 !
Jawaban Contoh 2 :
Pada Prisma Segi-15 , artinya n = 15
Maka :
Banyak Titik sudut = 2 x n = 2 x 15 = 30
Banyak Rusuk = 3 x n = 3 x 15 = 45
Banyak Sisi = n + 2 = 15 + 2 = 17
Banyak Diagonal sisi = n x (n – 1)
= 15 x (15 – 1)
= 15 x 14
= 210
Contoh 3 :Suatu Prisma segi-n , memiliki Banyak Rusuk 51 buah.Tentukanlah : a. n
b. Banyak Titik sudutnyac. Banyak Sisinyad. Banyak Diagonal Sisinya
Jawab :
a. Banyak Rusuk = 3 x n = 51Maka : n = 51 : 3 = 17 (Prisma itu adalah prisma segi-17).
b. Banyak Titik sudut = 2 x n = 2 x 17 = 34
b. Banyak sisi = n + 2 = 17 + 2 = 19
c. Banyak diagonal sisi = n x (n – 1)= 17 x (17- 1)= 17 x 16= 272
“BAGAIMANA CARA MENGHITUNG VOLUM PRISMA?”
Berikut ini kita akan bahas mengenai Rumus Volum Prisma!
A
B
D
Pada Balok ABCD.EFGH :Luas Alas = Luas DABC
= DA X ABVolum = (DA x AB) x BF Volum = Luas DABC x BF
Balok ABCD.EFGH dipotong melaluidiagonal sisi EG , sehingga terbentukdua Prisma segi-3 yang Volumnya =setengah volum ABCD.EFGH.Pada Prisma ABC.EFG , alasnya adalah ∆ABC dan tingginya = BF.
Luas ∆ABC =
C
A. VOLUM PRISMA
H
FG
E
12 x Luas ABCD
Volum Prisma ABC.EFG :V. ABC.EFG = 12 x Volum ABCD.EFGH
= 12 x Luas DABC X BF
= Luas ∆ABC X BFV. ABC.EFG
Jadi Volum Prisma ABC.EFG adalah : Luas alas x tinggi
BALOK AKAN DI POTONG DUA SAMA BESAR
KESIMPULAN :
Untuk setiap Prisma, rumus menghitung volum adalah :
Dengan catatan :1. Pada Prisma Luas Alas tergantung pada jenis
prisma itu.
2. Luas Alas sama dengan Luas Tutupnya.
V = La x tV = Volum PrismaLa = Luas Alas Prismat = Tinggi Prisma
Ket. :
Luas Alas PrismaSebagaimana sudah diketahui Luas Alas Prisma tergantung pada jenis Prisma itu. Misalnya Prisma Segi-6 , maka alasnyaadalah segi-6 dan luas alasnya samadengan luas segi enam tersebut.Segi-6 beraturan dapat dibentuk dengan6 buah segitiga sama sisi , sbb. :
Pada ∆ABO , AB = AO = BO = sisi. Jika alasnya
AB = s , maka tingginya = t = OP =
Luas ∆ABO =
A BP
C
E D
F
s√312x sisi x √31
2 =s x
2s√3½ = 1
4 s2√3
Luas Segi-6 beraturan ABCDEF = L = 6 x Luas ∆ABO
L = 6 x 14 s2√3
ss
s
O
t
L = 32 s2√3
• Luas Segi-6 beraturan :
L = 32 s2√3 L = Luas Segi 6 beraturan
S = panjang sisi segi-6 itu
• Rumus Luas Segitiga :Rumus untuk Luas segitiga ada dua jenis , yaitu :
12 K 1
2 K – S1)( 12 K – S2)( 1
2 K – S3 )(2). L =L = Luas segitigaK = Keliling Segitiga = S1 + S2 + S3
S1 = sisi 1 , S2 = sisi 2 dan S3 = sisi 3
1). L = a x t2
L = Luas segitigaa = alas segitiga dan t = tinggi segitga
Contoh 1 :Perhatikan prisma ABC.DEF dikanan ini!Jika AC = DF = 8 cm , BC = EF = 6 cm ,AD = 15 cm dan Sudut F = sudut C = 900 ,hitunglah volum prisma itu!
Penyelesaian :Dik. : AC = DF = 8 cm
BC = EF = 6 cmAD = tinggi = 15 cm , dan
sudut F = Sudut C = 900
Dit. : V = …?Jawab :
A B
C
F
D E
V = La x t V = 24 cm2 x 15 cm V = 360 cm3
La = 8 cm x 6 cm2 = 24 cm2
Contoh 2 :Pada Prisma segi-5 EFGHI.JKLMN di bawah ini ,alasnya EFGHI merupakan segi-5 beraturan dengan panjang sisi 8 cm , tinggi prisma = 14 cm. Jika titik O adalah titik pusat alas dan OP = 5,5 cm , tentukanlah volum prisma tersebut!
Penyelesaian :Dik. : Sisi segi-5 EFGHI = 8 cm
t. prisma = 14 cmOP = 5,5 cm
Dit. : V = … ?Jawab :(dihalaman berikut)
o8 cm
E F
G
H
I
J K
L
M
N
P
14
cm
5,5
Jawab :
V = La x t
= (5 x L∆EFO) x t
5,5
E F
O
8 cm
o8 cm
E F
G
H
I
J K
L
M
N
P
14
cm
5,5
= (5 x 8 x 5,52
) x 14
= (5 x 22) x 14
= 110 x 14
= 1540
Jadi Volum Prisma EFGHI.JKLMN = 1540 cm2
Contoh 3 :Pada Prisma ABCDEF.GHIJKL dibawah ini , alasnya adalah segi-6 beraturan dengan sisi12 cm. Jika Tinggi prisma itu = 20 cm , tentukanlah : a. Luas Alasnya!b. Volum Prisma itu!
Penyelesaian :Dik. : Sisi alas = s = 12 cm
Tinggi prisma = t = 20 cmDit. : a. Luas alas = La = …
b. Volum = V = …Jawab :a. La =
=
= 216√3Jadi Luas alas = 216√3 cm2
b. V = La x tV = 216√3 x 20V = 4320√3
Volum prisma itu = 4320√3 cm3A B
C
DE
F
G HI
JK
L
32 s2√332 .122√3
12 cm
20 cm
“BAGAIMANA CARA MENGHITUNG LUAS SISI PRISMA?”
Berikut ini kita akan membahasnya!
B. LUAS SISI PRISMAPada setiap Prisma segi-n (prisma tegak) terdapat :Segi-n = 2 buah , yaitu : alas dan tutupSegi-4 = persegipanjang = n buah , yaitu semua sisi tegaknyaContohnya :
No. Jenis Prisma Alas dan tutup Sisi Tegak
1. Prisma Segi-3 2 bh segitiga 3 bh persegipanjang
2. Prisma Segi-4 2 bh segi empat 4 bh persegipanjang
3. Prisma Segi-8 2 bh segi delapan 8 bh persegipanjang
4. Prisma Segi-n 2 bh segi-n n bh persegipanjangMisalkan kita menghitung luas sisi prisma segi-3 , maka jawabannyaadalah : (2 x Luas segi-3) + (3 x luas persegi panjang) = 2 x luas alas + Luas sisi tegaknya
Contoh jaring-jaring prisma.Pada gbr dikiri ini adalah prismasegi-5 dan jaring-jaringnya.Alas dan tutup prisma itu adalah segi-5 beraturan dengan sisi = s dan tinggi prisma = t.Sisi Prisma itu : Alas dan tutup : 2 buah segi-5.Sisi Tegak : 5 buah persegipanjang
Misalkan s = 4 cm dan t = 7 cm , berapakah Luas semua sisi tegaknya?Jawab :L.Sisi tegak = 5 x (4 cm x 7 cm)
= 5 x 28 cm2
= 140 cm2
s
t
s
s
s
s s
s
t
t
t
t
t
(i). Prisma segi-5
(ii). Jaring-jaring Prisma segi-5
Contoh 1 :Gambarlah : a. Sebuah Prisma segi-3 dan jaring-jaringnya!
b. Sebuah Prisma segi-6 dan jaring-jaringnya!
Jawab :a. b.
Contoh 2 :
Perhatikan Prisma ABC.DEF dikanan ini!Jika AB = 10 cm , BC = 8 cm , AC = 6 cmdan AD = 7 cm∠ACB = 900 , hitunglah Luas seluruh sisinya!
Jawab :
Luas Sisi = 2 x Luas alas + Luas sisi tegak
Catatan tentang Luas sisi tegak :(10x7) + (6x7) + (8x7) = (10+6+8) x 7Luas sisi tegak = Keliling Alas x tinggi
AC x BC2
48
= 6 x 82
= +
+ L.ABED + L.ACFD + L.BCFE = 2 x
2 x
70 + 42 + 56
A B
C
DE
F
10 cm
7 c
m
8 cm6cm
(10 x 7) + (6 x 7) + (8 x 7)+
216=
Jadi Luas seluruh sisi prisma itu = 210 cm2
Kesimpulan :
(1). Luas Sisi Tegak Prisma :
Luas Sisi Tegak = Keliling alas x tinggi
(2). Luas Sisi Prisma :
Luas Sisi = 2 Luas alas + Luas Sisi Tegakatau dengan singkat , sbb :
Dengan catatan : L = Luas seluruh sisinyaLa = luas alas prismaKa = Keliling Alas Prismat = Tinggi Prisma
L = 2La + Kat
Contoh 3 :Pada Prisma di kiri ini , diketahui Luas sisi
tegak = 756 cm2
Tentukanlah :
a. Nilai t (tinggi prisma)
b. Luas seluruh sisinya
c. Volum prisma itu
Penyelesaian :Dik. : L.sisi tegak = 756 cm2
Sisi alas : s1 = 13 cm , s2 = 14 cm dan s3 = 15 cm
Dit. : a. tinggi = t cm = …?b. L = …?c. V = …?
15cm
14cm13cm
t c
m
Jawab :a. L. sisi tegak = Ka x t
756 cm2 = (13 cm + 14 cm + 15 cm) x t cm756 cm2 = 42 cm x t cmt cm = 756 cm2 : 42 cm = 18 cmJadi tinggi prisma itu = t cm = 18 cm
b. L = 2La + L.sisi tegak = 2x84 cm2 + 756 cm2
= 924 cm2
c. V = La x t= 84 cm2 x 18 cm= 1512 cm3
15cm
14cm13cm
t c
m
K = 13cm + 14cm + 15cm = 42 cm½K = ½ x 42 cm = 21 cm
La =12 K – S3)
12 K K – S1)( 1
2 K – S2)( (12
21 21 – 13 )( ( 21 – 14 ) ( 21 – 15 )La =21 . 8 . 7 . 6La = = 84
Contoh 4 :
Gambar dikiri ini adalah prisma
segi-7 Alasnya merupakan segi-7
beraturan dengan panjang sisi
10 dm. Jika titik O pusat alas ,
OP = 10,4 cm dan tinggi prisma
= 16 cm , hitunglah :
a. Luas Alas
b. Luas seluruh sisi tegak
c. Luas seluruh sisi Prisma10 dm
10,410 dm
P
O
M N55
16 d
m
Penyelesaian Contoh 4 :Dik. : Prisma segi-7
Pusat alas = titik OSisi alas = 10 dm
OP = 10,4 dmt = 16 dm
Dit. : a. La = … ?b. L. st = …?c. L = …?
Jawab :a. La = 7 x L ∆MNO
= 7 x= 7 x 52 = 364
b. L.st = Ka x t
= (7 x 10) x 16
= 70 x 16
= 1120
Luas sisi Tegak = 1120 dm2
c. L = 2 La + L.st
= 2 x 364 + 1120
= 728 + 1120
= 1848Luas seluruh sisinya = 1848 dm2
10 x 10,42
Jadi Luas Alas = 364 dm2
IV. LIMASA. JENIS-JENIS LIMAS DAN UNSUR-UNSURNYA
(i). LIMAS SEGITIGA (ii). LIMAS SEGIEMPAT
(iii). LIMAS SEGILIMA (iv). LIMAS SEGIENAM (Hanya Kerangkanya)
t
• UNSUR-UNSUR LIMAS
Untuk setiap limas, banyak unsur-unsurnya dapatdihitung dengan rumus sebagai berikut :
1). Banyak Titik Sudut Limas Segi-n = n + 1
2). Banyak Rusuk Limas segi-n = 2 x nSemua berbentuk garis lurus
3). Banyak Sisi Limas Segi-n = 1 + n Sisi Limas Segi-n terdiri dari :Alas = 1 buah bangun datar segi-nSisi Tegak = n buah , semua berbentuk segitiga.
Contoh :Isilah Tabel berikut ini!
No. Jenis LimasBanyak
Titik sudut Rusuk Sisi
1. Segi-3 4 buah 6 buah 4 buah
2. Segi-4 5 buah 8 buah 5 buah
3. Segi-5 6 buah 10 buah 6 buah
4. Segi-6 7 buah 12 buah 7 buah
5. Segi-10 11 buah 20 buah 11 buah
6. Segi-25 26 buah 50 buah 26 buah
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
Jawab :
B. VOLUM PRISMA(i). Kubus dan limas segi-4
1). Ada berapa buah lima yang
terbentuk setelah semua diagonal kubus digambar?
2). Jika panjang rusuk kubusadalah 12 cm , berapa panjang tinggi masing – masing Limas itu?
Tin
gg
i Ku
bu
s
Jawab : 1). Limas yang terbentuk 6 buah2). Tinggi Limas = t = ½ .12 = 6 cm
(ii). Soal Pengantar Pada kubus ABCD.EFGH di kiri ini
AG , BH , CE dan DF adalah
diagonal ruangnya.
1). Jika panjang AB = 8 cm ,
hitunglah Volum Kubus.
2). Sebutkan nama semua Limas
segi empat yang terdapat pada
3). Hitunglah Volum Limas ABCD.PA B
C
P
E F
GH
D
Jawaban Soal Pengantar :
1). Volum Kubus :
Vkubus = 8 cm x 8 cm x 8 cm= 512 cm3
2). Limas yang terbentuk :(i). Limas ABCD.P (ii). Limas EFGH.P (iii). Limas ADHE.P (iv). Limas BCGF.P (v). Limas ABFE.P(vi). Limas DCGH.P
3). Volum Limas ABCD.P =
A B
C
P
E F
GH
D
8 cm
4 c
m
85,33 cm3.
512 cm3 6
=
Cara lain penyel. soal peng. 3)
VABCD.P = (8 cm x 8 cm x 8 cm) : 6
= 8 cm x 8 cm x 4 cm x 2 : 6
= 8 cm x 8 cm x 4 cm x
= 85,33 cm3Perhatikan bahwa :
Luas Alas Limas ABCD.P = 8cm x 8cm
Tinggi Limas ABCD.P = OP = 4 cm
138
cmA B
C
P
E F
GH
D
8 cm
4 c
m
O
Sehingga Volum Limas ABCD.P = 13
x Luas Alas x tinggi ,
dan cara ini adalah merupakan rumus Volum setiap Limas
Volum Limas , rumusnya adalah :
Contoh 1 :Pada gambar Limas di kanan ini alasnya berbentuk persegipanjang dengan ukuran 11 cm x 10 cm. Jika tinggi limas itu 12 cm , hitunglah volum limas itu!
V = 13 La x t
V = Volum LimasLa = Luas Alas Limas t = Tinggi Limas
11 cm10 cm
12
Penyelesaian :
Dik. : Alas limas = persegipanjang , ukuran 11 cm x 10 cm
t = 12 cm
Dit. : V = …?
Jawab :
Jadi Volum Limas itu = 440 cm3
V = 13 x La x t
= 13
x 11 cm x 10 cm x 12 cm
= 13
x 110 cm2 x 12 cm
= 440 cm3
Contoh 2 :Diketahui volum limas segitiga ABC.P dikanan ini = 342 cm3. Jika pada ∆ABC , siku-siku di C , AB = 15 cm dan AC = 9 cm , tentukanlah tinggi OP!
Penyelesaian :Dik. : V = 342 cm3 , AB = 15 cm ,
AC = 9 cm , ∠ACB = 900 Dit. : t = OP = …? Jawab :
V = 1/3 x La x t
342 = 1/3 x 54 x t = 18 x t
t = 342 : 18 = 19Jadi tinggi limas itu = 19 cm
A B
C
P
O
La = Luas ∆ABC AB2 = AC2 + BC2
152 = 92 + BC2
225 = 81 + BC2
BC2 = 225 –81 = 144
La = ½ x AC x BC La = ½ x 9 x 12La = 54
BC = √144 = 12
9
15
12
Contoh 3 :Sebuah hiasan berbentuk limas segi-6 , di tempatkan dengan terbalik didalam kotak bentuk prisma tembus pandang seperti gbr di kanan ini.Alas Prisma adalah segi-6 beraturan dengan panjang sisi = 4 mm dan tinggi hiasan = tinggi kotak = 3 mm. Tentukanlah volum ruang kosong dalam kotak tersebut!
Penyelesaian :
Dik. : Sisi Alas Prisma = Sisi Alas Hiasan = 4 mm
tP = tH = 3 mm
Dit. : V.ruang kosong dalam kotak = VRK = …?
Jawab :
VRK = VP – VH
= 72√3 – 24√3
= (72 – 24)√3
= 48√3
Jadi Volum Ruang
Kosong dalam
Kotak = 48√3 mm3
Volum Prisma :VP = La x t
= S2 √3 x t32
= . 42 √3 x 332
= 24 √3 x 3=
Volum Hiasan :
= S2 √3 x t32
= . 42 √3 x 332
= 8√3 x 3=
VP = La x t13
.1313
.
72√3
24√3
Sisi Limas Segi-5 :
Alas = 1 buah Segi-5
Sisi Tegak = 5 buah segitiga
Gambarlah :a. Satu Limas Segi-4 dan jaring-jaringnyab. Sebuah Limas Segi-6 dan jaring-jaringnya
B. LUAS SISI LIMASA. JARING-JARING LIMAS
(i). Limas segi-5 (ii). Jaring-jaring Limas segi-5
Jawaban a :
Limas segi-4 Jaring-jaring Limas segi-4
Jawaban a :
Limas segi-6 Jaring-jaring Limas segi-6
Isilah Tabel berikut ini!
No. Jenis Limas 1 buah alas berbentuk Sisi Tegak
1. Limas segi-3 Segi – 3 3 buah segitiga
2. Limas segi-4 Segi – … … buah segitiga
3. Limas segi-5 Segi – … … buah segitiga
4. Limas segi-6 Segi – … … buah segitiga
5. Limas segi-15 Segi – … … buah segitiga
4 4
5 5
6 6
15 15
Sisi Limas Segi-n : Alas = 1 buah segi-n Sisi tegak = n buah segitiga
Jawab :
B. LUAS SISI LIMAS
Pada Limas segi-n , sisinya terdiri dari Alas dan sisi tegak , maka :
Luas Sisi Limas = Luas Alas + Luas Sisi TegakDisingkat :
Contoh 1 :Diketahui sebuah Limas segitiga , semua rusuknya sama panjang = 8 cm. Hitunglah luas seluru sisi limas itu!
L = Luas sisi seluruhnyaLa = Luas alas limasLst = Luas Sisi tegak limas
L = La + Lst
Catatan : Sisi Tegak seluruhnya berbentuk segitiga
8
8
8
8 8
8
Penyelesaian :
Dik. : Limas Segitiga sama rusuk
Panjang Rusuk = 8 cm
Dit. : L = … ?
Jawab :
L = La + Lst
= 16√3 + 3x16√3
= 16√3 + 48√3
= 64√3
Jadi Luas Sisi
Limas = 64√3 cm2
Alas : K = 8 cm + 8 cm + 8 cm = 24 cm
8
88
8
8
½ K = 12 cm
La =12 K
12 K – S1)( 1
2 K – S2)(12 K – S3)(
La = √12. (12-8)(12-8)(12-8)
= 16√3La = √12. 4 .4 .4
La = Luas masing-masing sisi tegak
Contoh 2 :
Pada gambar dikanan ini! Alas Limas
itu adalah belah ketupat ABCD.
Luasnya ABCD = 384 cm2 dan
Volum limas ABCD.P = 3072 cm3.
Jika AB = 20 cm , hitunglah luas sisi
tegak limas tersebut!
Penyelesaian :
Dik. : Luas belah ketupat ABCD = 384 cm2
V = 3072 cm3
AB = BC = AD = CD = 20 cm
Dit. : Luas sisi tegak = Lst = …?
O
20 cm
AC
P
B
D
O
20
AC
P
B
D
Jawab :
10
V = 13 x La x t
3072 = 13 x 384 x t
3072 = 128 x t3072128 t =
t = OP = 24 Q
Pada ∆OPQ , ∠ACB = 900 , maka :
QP2 = OP2 + OQ2L∆BCP = L∆ABP = L∆ADP = L∆CDP L∆BCP = ½ x BC x QPL∆BCP = ½ x 20 x 26L∆BCP = 260 Maka Luas Sisi tegak = 4 x 260 cm2
= 1040 cm2
QP2 = 242 + (½AB)2
QP2 = 242 + 102
QP2 = 676QP = √676 = 26
26
Contoh 3 : Gbr dikiri ini adalah jaring-jaring limas yang terbuat dari karton dengan luas seluruhnya = 360 cm2. Alasnya PQRS adalah persegi dengan panjang sisi = 10 cm.Hitunglah volum limas yang akan dibentuk!
Penyelesaian :
Dik. : L = 360 cm2
Sisi (Rusuk) Alas = 10 cm
Dit. : V = …?
QP
RS
T1
T2
T3
T4
10 cm
Jawab : L = La + L.sisi tegak360 = 102 + (4 x L ∆QRT1) 360 = 100 + (4L ∆QRT1)4L ∆QRT1 = 360 – 100 = 260L ∆QRT1 = 260 : 4 = 65
Maka BT1 = (65 : 10) x 2 = 13Tinggi Limas yang akan tebentuk = AT1 (lihat gbr)AT1
2 = BT12 – AB2
AT12 = 132 – 52
AT12 = 169 – 25 = 144
AT1 = √144 = 12
QP
RS
T2
T3
T4
A
QP
RS
T1
T2
T3
T4
10 cm
T1
13
10
V = 1/3 x La x t
= 1/3 x 100 x 12= 400
Jadi Volum Limasitu = 400 cm3
T113
B13
5 B
12
cm
D. BIDANG DIAGONAL BALOK• Pada setiap balok Bidang Diagonal ada 6 buah persegipanjang ,
terdiri dari 3 pasang.
Pada Balok ABCD.EFGH bidang diagonal adalah :
Pasangan (i) : ABGH dan CDEF
Pasangan (ii) : BCHE dan ADGF
Pasangan (iii) : AEGC dan BFHD
• LUAS BIGANG DIAGONAL
LABGH = AB X BG
22 CG BC x AB ABGH Luas
D
A B
C
H
E
GF
……
……
……
22 CG BC BG 22 CG BC x AB =
Top Related