10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 1
PengantarVariabel RandomVariabel Random DiskritNilai Ekspektasi dan Variansi Variabel Random DiskritVariabel Random KontinyuKovariansi dan KorelasiDistribusi BivariatMoment Generating FunctionFungsi TransformasiThe Law of Large Number
Variabel Random 3
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 2
Output sebuah proses dapat dikategorikan defect (B) dan baik(G). Dari 4 produk berurutan akan ada 2*2*2*2=24 = 16kemungkinan kemunculan, sehingga membentuk ruang sample:
BBBB BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBGBBGB BGGB GBGB GGGBBBGG BGGG GBGG GGGG
Jika kemunculan defect dan baik sama (equally likely) [P(G)=P(B) = 1/2], dan sebuah kemunculan independen dengan kemunculanberikutnya, maka probabilitas dari setiap kemunculan:(1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16.
3-1 Pengantar
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 3
Jumlah produk baik (G) dari 4 kemunculan adalah:
BBBB (0) BGBB (1) GBBB (1) GGBB (2)BBBG (1) BGBG (2) GBBG (2) GGBG (3)BBGB (1) BGGB (2) GBGB (2) GGGB (3)BBGG (2) BGGG (3) GBGG (3) GGGG (4)
Setiap kemunculan dinyatakan dengan sebuah nilai numerikSemua kemunculan diberikan nilai numerikNilai yang diberikan berbeda untuk setiap kejadian urutanJumlah produk baik (G) adalah sebuah variabel random:
Variabel Random adalah sebuah fungsi yang memberikannilai numerik tunggal (tetapi variabel) pada setiap elemendalam ruang sample.
3-2 Variabel Random (1)
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 4
Karena variabel random X = 3 terjadi dengan 4 urutan BGGG, GBGG, GGBG, atau GGGB,
P(X = 3) = P(BGGG) + P(GBGG) + P(GGBG) + P(GGGB) = 4/16
Distribusi probabilitas dari sebuah variabel random membentuk tabel semua nilai variabel random dan probabilitasnya.
x P(x)0 1/161 4/162 6/163 4/164 1/16
16/16=1 43210
0 .4
0 .3
0 .2
0 .1
Num b er o f g irls , x
P(x)
0 .0 62 5
0 .2 5 0 0
0 .37 5 0
0 .25 0 0
0 .06 2 5
P ro b ab ility D is trib utio n o f the Num b e r o f G irls in F o ur B irths
Variabel Random (2)
Jumlah produk baik
Distribusi probabilitas dari variabel random jumlah produk baik
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 5
Percobaan melempar dua buah dadu, ada 36 hasil. Variabel random X menyatakan jumlah angka sisi dadu:
2 3 4 5 6 71,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 82,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 93,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 104,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 115,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 126,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
x P(x)*
2 1/363 2/364 3/365 4/366 5/367 6/368 5/369 4/3610 3/3611 2/3612 1/36
1
12111098765432
0.17
0.12
0.07
0.02
x
p(x )
ProbabilityDistribution of Sum of Two Dice
36/))7(6()( :Fungsi * 2xxP −−=
Variabel Random (3)
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 6
Sebuah variabel random diskrit:Memiliki jumlah nilai yang terhitungMemiliki ruang di antara nilai yang berurutanMemiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai individual
Sebuah variabel random diskrit:Memiliki jumlah nilai yang terhitungMemiliki ruang di antara nilai yang berurutanMemiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai individual
Sebuah variabel random kontinyu:Memiliki jumlah nilai yang tidak terhitung dan tidak terbatasBergerak secara kontinyu di antara nilai-nilaiTidak memiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai ukuran
Sebuah variabel random kontinyu:Memiliki jumlah nilai yang tidak terhitung dan tidak terbatasBergerak secara kontinyu di antara nilai-nilaiTidak memiliki ukuran probabilitas untuk setiap nilai ukuran
Variabel Random Diskrit-Kontinyu
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 7
[ ]
1 0
1
0 1
. for all values of x.
2.
Corollary:
all x
P x
P x
P X
( )
( )
( )
≥
=
≤ ≤
∑
Distribusi probabilitas untuk variabel random diskrit X memenuhi dua kondisi berikut
3-3 Variabel Random Diskrit
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 8
F x P X x P iall i x
( ) ( ) ( )= ≤ =≤
∑
Fungsi distribusi kumulatif, F(x), dari variabel random diskrit X adalah:
x P(x) F(x)0 0.1 0.11 0.2 0.32 0.3 0.63 0.2 0.84 0.1 0.95 0.1 1.0
1543210
1 .00 .90 .80 .70 .60 .50 .40 .30 .20 .10 .0
x
F(x)
Cumulative Probability Distribution of the Number of Switches
Fungsi Distribusi Kumulatif (1)
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 9
x P(x) F(x)0 0.1 0.11 0.2 0.32 0.3 0.63 0.2 0.84 0.1 0.95 0.1 1.0
1
Probabilitas bahwa paling banyak ada 3 switch
543210
0 .4
0 .3
0 .2
0 .1
0 .0
x
P(x
)
P X F( ) ( )≤ =3 3
Fungsi Distribusi Kumulatif (2)
Probabilitas bahwa paling banyak ada 3 switch
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 10
x P(x) F(x)0 0.1 0.11 0.2 0.32 0.3 0.63 0.2 0.84 0.1 0.95 0.1 1.0
1
Probabilitas bahwa ada lebih dari satu switch:
543210
0 .4
0 .3
0 .2
0 .1
0 .0
x
P(x
)
P X F( ) ( )> = −1 1 1F( )1
Fungsi Distribusi Kumulatif (3)
Probabilitas bahwa ada lebih dari satu switch:
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 11
x P(x) F(x)0 0.1 0.11 0.2 0.32 0.3 0.63 0.2 0.84 0.1 0.95 0.1 1.0
1
Probabilitas bahwa ada dari satu sampai tiga switch:
543210
0 .4
0 .3
0 .2
0 .1
0 .0
x
P(x
)
Probabilitas ada satu sampai tiga switch
F( )0
F( )3
F X F F( ) ( ) ( )1 3 3 0≤ ≤ = −
Fungsi Distribusi Kumulatif (4)
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 12
543210
Mean dari distribusi probabilitas adalah ukuranpemusatan sebagai rata-rata dari distribusifrekuensi, yang juga adalah rata-rata terbobotdari setiap nilai variabel random, dimana nilaiprobabilitas merupakan bobotnya.
Mean juga merupakan nilai harapan (atau ekspektasi) darisebuah variabel random.
Nilai ekspektasi dari sebuah variabelrandom diskrit X adalah jumlah setiap nilaiyang dikalikan dengan nilai probabilitas-nya: µ = = ∑E X xP x
all x( ) ( )
x P(x) xP(x)0 0.1 0.01 0.2 0.22 0.3 0.63 0.2 0.64 0.1 0.45 0.1 0.5
1.0 2.3 = E(X)=µ
2.3
3-4 Nilai Ekspektasi dan VariansiVariabel Random Diskrit
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 13
Dilakukan percobaan melemparkan sebuah koin yang seimbang. Jika muncul sisi muka akan mendapat manfaatsebesar Rp. 1 juta, sedangkan jika muncul sisi belakangakan rugi sebesar Rp. 1 juta. Nilai ekspektasi dari persoalantersebut adalah E(X) = 0. Sebuah percobaan denganekspektasi 0 dikenal sebagai sebuah “fair game”.
Dilakukan percobaan melemparkan sebuah koin yang seimbang. Jika muncul sisi muka akan mendapat manfaatsebesar Rp. 1 juta, sedangkan jika muncul sisi belakangakan rugi sebesar Rp. 1 juta. Nilai ekspektasi dari persoalantersebut adalah E(X) = 0. Sebuah percobaan denganekspektasi 0 dikenal sebagai sebuah “fair game”.
x P(x) xP(x)-1 0.5 -0.501 0.5 0.50
1.0 0.00 = E(X)=µ-1 1
0
Sebuah “Fair Game”
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 14
Number of items, x P(x) xP(x) h(x) h(x)P(x)5000 0.2 1000 2000 4006000 0.3 1800 4000 12007000 0.2 1400 6000 12008000 0.2 1600 8000 16009000 0.1 900 10000 1000
1.0 6700 5400
Contoh: Penjualan bulanandiketahui mengikuti distribusiprobabilitas seperti disamping. Misalkan perusahaanmengeluarkan ongkos tetapbulanan sebesar $8000 dansetiap item menghasilkankeuntungan $2. Tentukanekspektasi keuntungan h(x)bulanan.
Nilai ekspektasi dari sebuah fungsi variabel random diskrit X adalah:
E h X h x P xall x
[ ( )] ( ) ( )= ∑
Nilai Ekspektasi (1)
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 15
Nilai Ekspektasi (2)
E h X h x P xall x
[ ( )] ( ) ( )= =∑ 5400
Nilai ekspektasi dari sebuah fungsi linier sebuah variabelrandom:
E(aX+b)=aE(X)+b
Dalam contoh ini: E(2X-8000)=2E(X)-8000=(2)(6700)-8000=5400
Number of items, x P(x) xP(x) h(x) h(x)P(x)5000 0.2 1000 2000 4006000 0.3 1800 4000 12007000 0.2 1400 6000 12008000 0.2 1600 8000 16009000 0.1 900 10000 1000
1.0 6700 5400
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 16
Variansi dari sebuah variabel random adalah ekspektasikuadrat penyimpangan dari rata-rata (mean):
σ µ µ2 2 2
2 2 22
= = − = −
= − = ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
− ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
∑
∑ ∑
V X E X x P x
E X E X x P x xP x
all x
all x all x
( ) [( ) ] ( ) ( )
( ) [ ( )] ( ) ( )
Deviasi standar dari sebuah variabel random adalahakar kuadrat dari variansi: σ = =SD X V X( ) ( )
Variansi dan Deviasi Standar (1)
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 17
Number ofSwitches, x P(x) xP(x) (x-µ) (x-µ)2 P(x-µ)2 x2P(x)
0 0.1 0.0 -2.3 5.29 0.529 0.01 0.2 0.2 -1.3 1.69 0.338 0.22 0.3 0.6 -0.3 0.09 0.027 1.23 0.2 0.6 0.7 0.49 0.098 1.84 0.1 0.4 1.7 2.89 0.289 1.65 0.1 0.5 2.7 7.29 0.729 2.5
2.3 2.010 7.3
Number ofSwitches, x P(x) xP(x) (x-µ) (x-µ)2 P(x-µ)2 x2P(x)
0 0.1 0.0 -2.3 5.29 0.529 0.01 0.2 0.2 -1.3 1.69 0.338 0.22 0.3 0.6 -0.3 0.09 0.027 1.23 0.2 0.6 0.7 0.49 0.098 1.84 0.1 0.4 1.7 2.89 0.289 1.65 0.1 0.5 2.7 7.29 0.729 2.5
2.3 2.010 7.3
σ µ
µ
2 2
2 2 01
2 2
22
7 3 2 32 2 01
= = −
= −∑ =
= −
= ∑⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ − ∑
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= − =
V X E X
xall x
P x
E X E X
xall x
P x xP xall x
( ) [( ) ]
( ) ( ) .
( ) [ ( )]
( ) ( )
. . .
Variansi dan Deviasi Standar (2)
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 18
Variansi dari fungsi linier dari sebuah variabel random:
V aX b a V X a( ) ( )+ = =2 2 2σ
Number of items, x P(x) xP(x) x2 P(x) 5000 0.2 1000 50000006000 0.3 1800 108000007000 0.2 1400 98000008000 0.2 1600 128000009000 0.1 900 8100000
1.0 6700 46500000
σ
σ
σσ
2
2 2
22
2
2
2 8000
46500000 6700 1610000
1610000 1268 862 8000 2
4 1610000 6440000
2 80002 2 1268 86 2537 72
=
= −
= ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
− ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= − =
= = =− =
= =
= −= = =
∑ ∑
−
V X
E X E X
x P x xP x
SD XV X V X
SD x
all x all x
x
x
( )
( ) [ ( )]
( ) ( )
( )
( ) .( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )( . ) .
( )
Variansi dan Deviasi Standar (3)
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 19
Mean atau nilai ekspektasi dari penjumlahan variabelrandom adalah penjumlahan nilai ekepektasinya:
µ µ µ( ) ( ) ( ) ( )X Y X YE X Y E X E Y+ = + = + = +Contoh: E(X) = $350 dan E(Y) = $200
E(X+Y) = $550
Variansi dari penjumlahan variabel random yang independen adalah jumlah variansinya:
.independen Ydan X jika hanyadan jika)()()( 22
)(2
YXYX YVXVYXV σσσ +=+=+=+
Contoh: V(X) = 84 dan V(Y) = 60 V(X+Y) = 144
Sifat-sifat Mean dan Variansi
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 20
Teorema Chebyshev untuk distribusi probabilitas adalah sama halnya untuk distribusi frekuensi.
Untuk sebuah variabel random X dengan mean m, deviasistandar s, dan untuk setiap k > 1 berlaku:
P X kk
( )− < ≥ −µ σ 1 12
1 12
1 14
34 75%
1 13
1 19
89 89%
1 14
1 116
1516 94%
2
2
2
− = − = =
− = − = =
− = − = =
Sekurangnya berada deviasi standardari mean
2
3
4
Teorema Chebyshev
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 21
Sebuah variabel random kontinyu adalah variabel random yang dapat bernilai apapun dalam suatu interval.
Probabilitas variabel random kontinyu X ditentukan oleh fungsi densitas(probability density function), dinyatakan oleh f(x), dengan sifat sbb:
1. f(x) > 0 untuk setiap x. 2. Probabilitas bahwa X berada diantara a dan b adalah luas area di bawah kurva
f(x) di antara titik a dan b.3. Luas total area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.
Fungsi distribusi kumulatif odari variabel random kontinyu adalah:
F(x) = P(X < x) = area di bawah f(x) diantara nilai terkecil yang mungkin dari X(seringkali ∝) dan titik x.
Sebuah variabel random kontinyu adalah variabel random yang dapat bernilai apapun dalam suatu interval.
Probabilitas variabel random kontinyu X ditentukan oleh fungsi densitas(probability density function), dinyatakan oleh f(x), dengan sifat sbb:
1. f(x) > 0 untuk setiap x. 2. Probabilitas bahwa X berada diantara a dan b adalah luas area di bawah kurva
f(x) di antara titik a dan b.3. Luas total area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.
Fungsi distribusi kumulatif odari variabel random kontinyu adalah:
F(x) = P(X < x) = area di bawah f(x) diantara nilai terkecil yang mungkin dari X(seringkali ∝) dan titik x.
3-5 Variabel Random Kontinyu
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 22
F(x)
f(x)x
x0
0
ba
F(b)
F(a)
1
ba
}P(a ≤ X ≤ b) = luas area dibawah f(x) di antara titika dan b = F(b) - F(a)
P(a ≤ X ≤ b)=F(b) - F(a)
Fungsi Densitas dan DistribusiKumulatif
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 23
Sifat-sifat Fungsi Densitas• ∫ −==<< b
a xxx aFbFdttfbXaP )()()(][
• )(xFX adalah fungsi tidak menurun (non decreasingfunction)
• Dengan teori limit diperoleh ∫∞
∞−==∞ 1)()( dttfF xx dan
0)( =−∞xF , sehingga 1)(0 ≤≤ xFX
• Jika fx(x) adalah kontinyu maka∫
∆+ ∆==∆+≤≤ xx
x xx ExfdttfxxXxP )()(][ dimana x∆ >0 danxxEx ∆+≤≤
• )(1][1][ xFxXPxXP x−=≤−=>
• Jika variabel random X adalah diskrit, maka P(Xi)>0 dan
∑∞
==
11)(
iiXP
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 24
Ekspektasi dan Variansi (1)• Variabel random X dalam rentang R. Ekspektasi variabel
random X adalah integral perkalian semua nilai variabel random dengan fungsi densitasnya dan dinotasikan oleh
∫∈
⋅=Rx
dxxfxXE )()( .
• Variabel random X dalam rentang R. Variansi variabel random X adalah integral perkalian kuadrat nilai fungsi dengan fungsi densitasnya dan dinotasikan oleh
( )
[ ]22
2
)( )(
)()()(
XEdxxfx
dxxfXExXV
Rxi
Rxi
−⋅=
⋅−=
∫
∫
∈
∈
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 25
Ekspektasi dan Variansi (2)
Nilai ekspektasi dikenal sebagai metoda estimasi tidakbias (unbiased) terhadap harga rata-rata variabel random (the first moment), sedangkan nilai variansi dikenalsebagai metoda estimasi tidak bias (unbiased) terhadappenyimpangan (variansi) variabel random.
Fraksi pertama pada persamaan variansi dikenal sebagaimomen kedua (the second moment), dengan demikianvariansi dapat disusun dari pengurangan momen keduadengan kuadrat momen pertama atauvariansi = (second moment) - (first moment)2 .
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 26
3-6 Kovariansi dan Korelasi (1)Kovariansi (biasa dinyatakan dengan 12σ ) menjelaskan penyebaran relatif nilai variabel random terhadap lokasi ekspektasinya secara simultan untuk dua variabel random. Kovariansi diformulasikan oleh persamaan berikut
[ ]))(( ))((),(Cov 221121 XEXXEXEXX −−= [ ])()()( 2121 XEXEXXE ⋅−⋅= .
Koefisien korelasi menjelaskan kekuatan hubungan antara dua variabel rom dan diformulasikan sebagai berikut
21
12
21
21
)()(),(Cov
σσσρ
⋅=
⋅=
XVXVXX
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 27
Kovariansi dan Korelasi (2)Jika variabel random 1X dan 2X saling independen, maka
)()( )( )(
)()(
),()(
21222111
212211
21212121
XEXEdxxfxdxxfx
dxdxxfxxfx
dxdxxxfxxXXE
⋅=⋅=
⋅⋅=
⋅=⋅
∫∫
∫∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
• Dua variabel random yang saling independen secara teoritis memiliki koefisien korelasi nol 0=ρ , tidak perlu dihitung secara empiris.
• Perlu dibedakan antara dua variabel yang independen dan yang tidak berkorelasi (koefisien korelasi kecil atau nol).
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 28
3-7 Distribusi Bivariat (1)Untuk setiap hasil ],[ 21 ji
xx dari dua variabel random [ ]21, XX , fungsi distribusinya disebut sebagai fungsi distribusi kumulatif bivariat, dan didefinisikan oleh
][)( 22112,121 xXdanxXPxxF xx ≤≤= . Fungsi padat kemungkinan bivariat )( 2,121 xxf xx adalah
21
21212
2,121)()(
xxxxFxxf xx
xx ∂∂∂
= , jika 212 / xxF ∂∂∂ ada. Dari fungsi
padat kemungkinan bivariat )( 2,121 xxf xx , dapat ditentukan besarnya nilai kemungkinan untuk rentang tertentu
∫ ∫∞− ∞−= 1 2
2121212,121 ),()( α α dxdxxxfxxF xxxx
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 29
Distribusi Bivariat (2)Contoh : Ada dua variabel random dari hasil pengelasan, yaitu diameter ( 1X ) dan kekuatan (strength) ( 2X ). Diketahui bahwa rentang variable random adalah 25.00 1 <≤ x cm dan
20000 2 ≤≤ x kg dan diasumsikan berdistribusi uniform
otherwise 0 20000,25.00 ),( 21500
121
=
≤≤<≤= xxxxf
Besar probabilitas bahwa )200100 ,2.01.0( 21 ≤≤≤≤ XXP
adalah 501
2.0
1.021500
1200
100 =∫∫ dxdx .
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 30
Distribusi Bersyarat dan Marginal (1)• Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untuk
univariat Fx1(x1) dan fx1(x1) dari distribusi bivariat (ataumultivariat) pada sebagian rentang variabel randompasangannya (x2), disebut distribusi kemungkinanbersyarat (conditional).
• Fungsi distribusi kumulatif dan densitas kemungkinan untukunivariat Fx1(x1) dan fx1(x1) dari distribusi bivariat (ataumultivariat) pada seluruh rentang variabel randompasangannya (x2) dikenal sebagai distribusi marginal.
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 31
Distribusi Bersyarat dan Marginal (2)
Jika ),( 21 ji xxp atau ),( 21 xxf diketahui:• Untuk variabel random 1X distribusi marginalnya adalah :
L,3,2,1 ),()( all
2111 == ∑ ixxpxpj
jii (diskrit), atau
∫∞
∞−
= 22111 ),()( dxxxfxf (kontinyu).
• Untuk variabel random 2X distribusi marginalnya adalah : L,3,2,1 ),()(
all2122 == ∑ jxxpxp
ijij (diskrit), atau
∫∞
∞−
= 12122 ),()( dxxxfxf (kontinyu).
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 32
Distribusi Bersyarat dan Marginal (3)Contoh :Pertimbangkan dua variabel random dari hasil pengelasan,yaitu diameter ( 1X ) dan kekuatan (strength) ( 2X ) daricontoh sebelumnya.
Distribusi marginal 1X dan 2X dari bivariatnya adalah:
otherwise. 0
25.00 4 )( 1
2000
02500
111
=
<≤== ∫ xdxxf dan
otherwise. 0
20000 )( 220001
25.0
01500
122
=
<≤== ∫ xdxxf
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 33
Distribusi Bersyarat dan Marginal (4)Jika A dan B merupakan dua kejadian sedemikian sehinggadiperoleh rentang ][][ 2211 ββα ≤≤=≤= XBdanXA , maka daripersamaan kemungkinan bersyarat dapat diperoleh
∫
∫ ∫∞−=∩
= 2
1 222
2
1 212121
)(
),(
)()()|( β
β
α β
β
dxxfx
xdxxxxfx
BPBAPBAP
dimana P(B) diasumsikan 0≠ .
Selanjutnya dengan cara yang sama dan variabel random 2Xtidak dalam seluruh rentang (tapi pada batas tertentu, β ),maka dapat diformulasikan fungsi densitas probabilitasbersyarat )|( 21 βα =Xfx .
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 34
Distribusi Bersyarat dan Marginal (5)Formulasi fungsi densitas probabilitas bersyarat diberikanoleh persamaan
)(),()|(
2
2121 β
βαβα
x
xx
ffXfx == ⇔ α
βαβα∂
=∂==
)|()|( 2121
XFxXfx ,
dan dengan cara yang sama )(),()|(
1
212 α
βααβfxxfxfx = .
Persamaan terakhir ini disebut teorema Bayes untuk fungsidensitas probabilitas seperti halnya teorema Bayes untuknilai kemungkinan.
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 35
3-8 Moment Generating Function (1)Definisi:
Untuk variabel random X, moment generating function)(tM X dari fungsi distribusinya adalah nilai ekspektasi dari
tXe , dan secara matematis diformulasikan sebagai berikut
kontinyu X )(
diskrit X )()()( all
dxxfe
xPeeEtM
tx
ii
tx
tXX
i
∫
∑∞
∞−
⋅
⋅==
Jika moment generating function untuk sebuah fungsidistribusi probabilitas ada, maka moment generating functiontersebut adalah unique (menentukan pola proses stokastikyang diikuti oleh sebuah variabel random).
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 36
Moment Generating Function (2)Dengan menggunakan power series, dapat diperolehmomen-momen sebagai berikut
LL
LL
LL
+⋅++⋅+⋅+=
+⋅++⋅+⋅+=
+++++=
!'
!2'2
'1
!!22
!!2
2
2
22
1)(
)()()(1)(
1
rt
rt
X
rtrttX
rXtXttX
r
r
rr
ttM
XEXEtXEeE
tXe
µµµ
Selanjutnya, untuk beberapa momen awal (momen ke-r),dapat dievaluasi dengan turunannya (ke-r) pada kondisidimana t=0 : [ ] '
00|)( rttXr
tXdtd eXEtMr
rµ== == .
Dua momen awal yang penting, yaitu ][)0(' XEM X = ,][)0( 2'' XEM X = , menjelaskan rata-rata dan variansi melalui
22 ])[(][][ XEXEXV −= .
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 37
Moment Generating Function (3)Contoh: Sebuah variabel random X mengikuti distribusi
binomial otherwise 0
,,2,1,0 ,)1()(
=
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= − nxpp
xn
xp xnx K
Fungsi pembangkit momennya adalah ntX ppetM ))1(()( −+= .
Turunan pertama dan kedua fungsi pembangkit momentersebut adalah 1))1(1()(' −−+= ntt
X epnpetM dan 2))1(1)(1()('' −−++−= nttt
X epnpepnpetM .
Dengan demikian dapat ditentukan rata-rata adalahnptM tX === =0
'1 |)('µµ dan momen kedua )1(|)('' 0
'2 nppnptM tX +−== =µ ,
sehingga variansi adalah )1()()1( 22'2 pnpnpnppnp −=−+−=− µµ .
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 38
3-9 Fungsi Transformasi (1)Seringkali dua variabel random mengalami transformasi ataumerupakan fungsi dari variabel random yang lain. Misalkanvariabel random t merupakan transformasi dari sebuahvariabel random normal dan sebuah variabel random chi-kuadrat.
Pembentukan fungsi distribusi melalui transformasi dilakukandengan langkah-langkah berikut :
1. Diperoleh fungsi dari dua variabel random x1 dan x2 sebagaiberikut ),( 211 XXHY =
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 39
Fungsi Transformasi (2)2. Jika diamati variabel random lain yang juga merupakan fungsi
dari dua variabel random x1 dan x2 sebagai berikut),( 212 XXHZ = .
3. Dari kedua fungsi transformasi, dapat dibentuk fungsi-fungsiberikut ),(11 zyGx = dan ),(22 zyGx = .
4. Hitung turunan dari yx
∂∂ 1 , z
x∂∂ 1 , y
x∂∂ 2 dan z
x∂∂ 2 .
5. Tentukan fungsi gabungan untuk y dan z dengan fungsi berikut
),()],(),,([),( 21 zyJzyGzyGhzyl ⋅= , dimana z
xyx
zx
yx
zyJ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
22
11
),( = .
6. Tentukan fungsi marginal y dengan ∫= dzzylyf ),()( .
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 40
3-10 The Law of Large Number (1)Sebuah eksperimen dilakukan berulang kali sebanyak nkali. Misalkan hanya ada 2 outcomes, yaitu sukses dangagal, maka P S p( ) = dan P G p q( ) = − =1 yang berhargakonstan untuk j n= 1 2 3, , , ,L .
Definisikan X j =⎧⎨⎩
0, Outcome adalah Gagal1, Outcome adalah Sukses , dan
Y X X X n= + + +1 2 L ,adalah jumlah sukses dari eksperimen tersebut, maka Y n/adalah estimator untuk p , atau $ /p Y n= .
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 41
The Law of Large Number (2)Ekspektasi dan variansi Y adalah [ ]E Y n E X n q p npj( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =0 1 , dan
[ ]V Y n V X n q p p np pj( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ − = −0 1 12 2 2 .Karena $ ( / )p n Y= ⋅1 , maka E p n E Y p( $ ) ( / ) ( )= ⋅ =1 danV p n V Y p p
n( $ ) ( / ) ( ) ( )= ⋅ = −1 2 1 .
The law of large number menyatakan bahwa
[ ]P p p p pn
$( )
− < ≥ −−εε
1 12 , atau [ ]P p p p p
n$
( )− ≥ ≤
−εε
12 yang diturunkan
dari P p p k p pn k
$( )
− <−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ ≥ −
1 1 12 (chebyshev’s inequality). Jika
digunakan ε = −k p p n( ) /1 , maka dihasilkan[ ]P p p p p
n$
( )− < ≥ −
−εε
1 12 .
10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 42
The Law of Large Number (3)Untuk ε > 0 dan n → ∞ , maka [ ]P p p$ − < →ε 1 (kepastian, memilikikonvergensi secara probabilistik). Jika dituliskan [ ]P p p$ − < ≥ −ε α1 ,
maka dengan menentukan ε dan α , dapat dicari n p p≥
−( )12ε α
.
Contoh : Sebuah proses memiliki kemungkinan memberikan produkcacat sebesar p (unknown). Diinginkan dengan kemungkinan 0.95
bahwa error $p p− tidak lebih dari 0.01, maka n p p≥
−( )( . ) .
10 01 0 052 .
Asumsikan bahwa proporsi cacat maksimum adalah 0.5. Makan ≥ 50000 , artinya keinginan untuk mencapai perbedaan estimasikecil (akurat) dengan probability tinggi (presisi) mensyaratkanukuran sampel yang sangat besar.
Top Related