Державний навчальний заклад

«Регіональний центр професійної освіти будівельних технологій

Харківської області»

Методична розробка уроку

«Знаходження найбільшого та

найменшого значень функції.

Розв’язування прикладних задач».

Викладач: Т.О. Сидоренко

Зміст.

1. Характеристика теми.

2. Методичні рекомендації з проведення уроку.

3. Мета, тип, форми уроку.

4. План конспект уроку

5. Використовувані джерела.

Характеристика теми.

Для успішної участі в сучасному суспільному житті особистість повинна

володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх

застосувань до розв’язування практичних задач.

Тема «Знаходження найбільшого та найменшого значень функції.

Розв’язування прикладних задач» є однією з підтем теми «Похідна та її

застосування». Вивчення теми «Похідна» проводиться протягом 18 уроків. Даний

урок є 14. Він є другим уроком теми ««Знаходження найбільшого та найменшого

значень функції».

Елементи математичного аналізу займають значне місце у шкільному курсі

математики. Учні опановують математичний апарат, який може бути ефективно

використаний при розв’язанні багатьох задач математики, фізики, техніки. Мова

похідної дозволяє строго формулювати багато законів природи. У курсі

математики за допомогою диференціального числення досліджуються

властивості функцій, будуються їхні графіки, розв’язуються задачі на

екстремальні значення. Іншими словами, методи математичного аналізу

дозволяють розглянути низку задач, які складно розв’язати елементарними

методами. До таких задач також належать задачі на дослідження функції на

найбільше і найменше значення.

Розв'язування математичних задач, зокрема таких, що моделюють реальні

життєві ситуації зроблять певний внесок у формування ключових

компетентностей (математична компетентність, спілкування державною мовою,

Забезпечення прикладної спрямованості викладання математики сприяє

формуванню стійких мотивів до навчання взагалі і до навчання математики

зокрема.

Реалізація практичної спрямованості в процесі навчання математики означає:

1) створення запасу математичних моделей, які описують реальні явища і

процеси, мають загальнокультурну значущість, а також вивчаються у суміжних

предметах;

2) формування в учнів знань та вмінь, які необхідні для дослідження цих

математичних моделей;

3) навчання учнів побудові і дослідженню найпростіших математичних

моделей реальних явищ і процесів.

Методичні рекомендації з проведення уроку.

Тема «Похідна» є важливим завершенням функціональної лінії курсу

“Математика”. Основні ідеї математичного аналізу виглядають досить простими і

наочними, якщо викладати їх на тому інтуїтивному рівні, на якому вони виникли

історично і який цілком задовольняє потреби загальноосвітньої підготовки

здобувачів освіти.

Урок з теми: «Знаходження найбільшого та найменшого значень функції.

Розв’язування прикладних задач» розроблений відповідно до діючої програми з

математики для 10 класу (рівень стандарту). У конспекті розглянуто виклад

даного матеріалу, який оріентований на різний рівень навчальних досягнень

здобувачів освіти, розглянуте практичне застосування даної теми.

Математичні знання та навички необхідні практично у всіх професіях,

насамперед у тих, яких пов'язані з природничими науками, технікою. Одним з

моментів в модернізації сучасного математичної освіти є посилення прикладної

спрямованості шкільного курсу математики, тобто здійснення зв'язку його змісту

і методики навчання з практикою.

Метод спроб та помилок — належить до творчих методів навчання, найчастіше

використовується для пошуку плану розв’язання задачі. Завдання викладача

організувати роботу над задачею таким чином, щоб кожен учень мав змогу

висловити свою думку, висунути гіпотезу, обрати пропозицію щодо

раціональності розв’язання, міг звернутися по допомогу до вчителя чи інших

учнів. Тут у пригоді стає стратегії технології критичного мислення

«Взаємонавчання» - організаційна структура начально-творчого процесу, в якій

переважає форма організації навчання в парах змінного складу. Така форма

організації надає можливість працювати колективно, співробітничати, і в той же

час, формує самостійність мислення, розвиває мову та інші індивідуальні

здібностіздобувачів освіти, одночасно підвищуючи якість знань, умінь та навичок.

Методична мета:– навести приклади впровадження технології формування

критичного мислення на уроках математики, прикладної та практичної

спрямованості викладання математики.

Структура уроку:

Передбачає перевірку і корекцію здобутих знань, умінь і навичок на різних

рівнях їхнього засвоєння: репродуктивному, продуктивному або

реконструктивному, творчому. Має структуру: повідомлення теми, цілей і

завдань уроку; мотивація навчання; перевірка засвоєння здобувачами освіти

знань на репродуктивному рівні; перевірка здатності здобувачів освіти

установлювати внутрішньо системні та зовнішньо системні зв'язки; застосування

здобутих знань, навичок на практиці у стандартних та змінених умовах;

перевірка, аналіз, корекція та оцінка виконаних робіт; підведення підсумків

уроку; повідомлення та пояснення домашнього завдання.

Дидактична мета: Поглибити й розширити знання учнів про застосування

похідної; закріпити навички знаходження найбільшого та найменшого значень

функції; формування в учнів умінь застосовувати набуті знання у реальних

життєвих ситуаціях, під час розв'язання практичних завдань та здатності визначати

і обґрунтовувати власну життєву позицію; учити бачити єдину математичну модель

у різних ситуаціях, складати її в нестандартних умовах; допомогти сформувати

особисте ставлення до діяльності, яка вимагає математичних знань.

Розвиваюча мета: розвивати критичне мислення учнів, формувати вміння

виступати перед аудиторією, чітко формулювати і відстоювати свою думку;

розвивати спостережливість, логічне мислення, інтелектуальні здібності учнів;

сприяти розширенню їх кругозору; розвивати фізико-математичну мову учнів.

Виховна мета: виховувати уважність, кмітливість, вміння раціонально

використовувати робочий час.

Тип уроку: Урок вдосконалення знань, умінь і навичок

Вид діяльності на уроці: спільна робота викладача і здобувачів освіти,

самостійна робота з самоконтролем, робота в парах, усні вправи.

Міжпредметні зв’язки: геометрія, фізика, економіка, хімія, біологія,

будівництво.

Очікувальні результати:

Здобувачі освіти повинні:

мати уявлення про похідну, знаходження похідних елементарних функцій,

екстремальні точки, локальний екстремум функції, монотонність функції,

знаходження найбільшого і найменшого значення функції,

вміти застосовувати методи диференціального числення до розв’язування

прикладних задач, виділяти етапи в розв’язуванні прикладних задач.

Урок розрахований на 45 хвилин.

План конспект уроку.

I. Орг. момент.

1. Привітання.

2. Відсутні.

3 Релаксація: Назвіть п'ять слів, які асоціюються у вас з поняттям похідна.

II. Перевірка Д/З. Перевіряють за правильними розв’язками (презентація)

Приклад 1. Знайти найбільше та найменше значення функції 𝑓(𝑥)=3𝑥2−2𝑥3 на

відрізку [−1; 2]

Розв’язання:

𝑫(𝒇)=𝑹 .

𝑓′(𝑥) = 0

6𝑥 − 6𝑥2 = 0

6𝑥(1 − 𝑥) = 0,

𝑥 = 0, 𝑥 = 1

Обидві критичні точки належать відрізку [−𝟏; 𝟐]

f(−1) = 3 ∙ (−1)2 − 2 ∙ (−1)3 = 3 + 2 = 5;

f(2) = 3 ∙ 22 − 2 ∙ 23 = 3 ∙ 4 − 2 ∙ 8 = 12 − 16 = −4;

f(0) = 3 ∙ 0 − 2 ∙ 0 = 0;

f(1) = 3 ∙ 12 − 2 ∙ 13 = 3 − 2 = 1.

Відповідь: max[−1;2]

f(x) = f(−1) = 5, min[−1;2]

f(x) = f(2) = −4

Приклад 2. Запишіть число 10 у вигляді суми двох невід’ємних доданків так,

щоб сума квадратів цих чисел була найменшою.

Розв’язання:

Нехай одне невід’ємне число буде х, тоді друге – (10 – х).

𝑥2 + (10 − 𝑥)2- сума квадратів цих чисел:

Розглянемо функцію 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + (10 − 𝑥)2 на відрізку [0;10] і дослідимо її

на найменше та найбільше значення на даному відрізку.

Знайдемо похідну цієї функції та критичні точки

f ′(x) = 2x + 2(10 − x) ∙ (−1) = 2x − 2(10 − x) = 2x − 20 + 2x = 4x − 20

f ′(x) = 0

4x − 20 = 0

x = 5

f(5) = 25 + (10 − 5)2 = 25 + 25 = 50;

f(0) = 0 + (10 − 0)2 = 100;

f(10) = 102 + (10 − 10)2 = 100.

min[0;10]

𝑓(𝑥) = 𝑓(5) = 50.

Значить перший доданок дорівнює 5, другий 10 – 5 = 5.

Відповідь: 10 = 5 + 5

III. Актуалізація опорних знань.

Виклик вже наявних знань по досліджуваному питанню:

* Усне опитування. Метод «Інтерв’ю».

1. Що ми називаємо похідною?

2. Як називається операція знаходження похідної;

3. Яка функція називається спадною (зростаючою);

4. Що таке монотонність функції;

5. Що таке екстремум функції;

6. Що називається критичною точкою;

7. Схема знаходження найбільшого і найменшого значення функції.

IV. Мотивація навчальної діяльності.

1. На попередніх уроках ви познайомились із застосуванням похідної для

дослідження та побудови графіків функцій, знаходження найбільшого та

найменшого значення функції на відрізку.

А на сьогоднішньому уроці ви дізнаєтесь, як за допомогою похідної можна

розв’язувати цікаві задачі прикладного характеру в різних сферах життя.

2. Повідомлення теми і мети.

3. Проблемне питання.

Запитання « А навіщо?». На вашу думку в якій сфері життя і діяльності ми

можемо застосувати знання на цю тему?

V. Удосконалення вмінь і навичок.

1. Розв’язування прикладних задач методами математики, як правило,

містить чотири основні етапи:

а) перевести задачу на мову математики;

б) сконструювати математичну задачу;

в) виділити провідну математичну ідею (дослідити одержану функцію на

найбільше або найменше значення);

г) критично осмислити отриманий результат

2. На уроці ми будемо розв’язувати задачі, використовуючи даний алгоритм.

Задача 1. (розв’язує викладач за допомогою здобувачів освіти, пояснює

кожен крок)

Для конструкторського бюро будується прямокутна кімната, одна із стін якої

повинна бути зроблена із скла. Висота кімнати 4 м, а площа підлоги 80 м2.

Відомо, що 1м2. скляної стіни коштує 75 грн, а звичайної 50 грн. Якими

мають бути розміри кімнати, щоб загальна вартість стін була найменшою?

Розв’язання.

1. Перевести задачу на мову математики: Нехай довжина скляної стіни

кімнати х м., оскільки площа підлоги 80 м2, то ширина кімнати 80

𝑥м. Вартість

скляної стіни становитиме 75∙ 4x грн, вартість всіх інших стін 50(2 ∙80

𝑥 ∙ 4 +

4𝑥) грн. Загальна вартість робіт -75∙ 𝑥 ∙ 4 + 50(2 ∙80

𝑥 ∙ 4 + 4𝑥) . Як бачимо,

вартість робіт є функцією від розмірів кімнати. Тож, вартість робіт буде

найменшою, коли значення даної функції буде найменшим.

2. Сконструювати математичну задачу:

P(x) = 75∙ 𝑥 ∙ 4 + 50(2 ∙80

𝑥 ∙ 4 + 4𝑥) = 100(5x +

320

𝑥)

Знайдемо найменше значення даної функції на проміжку (0;80).

3. Дослідити одержану функцію на найбільше або найменше значення:

Визначимо критичні точки за допомогою похідної.

P`(x) = 100(5 - 320

𝑥2) = 0

Розв’язками цього рівняння є числа х= 8 .

4. Критично осмислити отриманий результат: Умові задачі задовольняє

х=8; х = -8 - не входить до заданого відрізка.

Зміна знака в околиці цієї точки вказує на те, що в цій точці

функція має мінімум.

Відповідь: довжина скляної стіни 8м, розміри кімнати 8м х10м.

Викладач сам читає зміст задачі й організовує колективний пошук

розв'язування. Розв'язування з'являється на слайді презентації, всі здобувачі

освіти- уважно слухають розв'язування і стежать за його оформленням.

Потім запис зникає, а здобувачам освіти пропонується самостійно

оформити розв'язування в зошиті.

Задача 2. Концентрація ліків у крові хворого через t секунд після ін’єкції

задається формулою c(t) = 16𝑡

(10𝑡+20)2. Знайти максимальну концентрацію і час,

коли вона досягається.

Розв'язання.

Знайдемо похідну. C’(t) =( 16𝑡

(10𝑡+20)2.)’ =

= 16(10𝑡+20)2−16𝑡∙2(10𝑡+20)∙10

(10𝑡+20)4 =

(10𝑡+20)(320−160𝑡)

(10𝑡+20)4

Визначимо критичні точки. (10𝑡+20)(320−160𝑡)

(10𝑡+20)4= 0

t≠ - 2

t1 = - 2

t2 = 2 Зміна знака в околиці цієї точки вказує на те, що в цій точці

функція має максимум.

С(2) = 0,02

Відповідь: t=2 секунди, Cmax = 0,02

Задача 3. Одна сторона прямокутної ділянки землі примикає до берега моря,

а три інші огороджуються ременем, довжина якого 600м. Якими мають бути сто

рони цієї ділянки, щоб його площа була найбільшою?

Розв’язання:

Нехай одна сторона прямокутника дорівнює х м, тоді інша сторона дорівнює

(600 - 2х) м. Площа прямокутника буде функцією від змінної х: у = х (600 - 2х)

= 600х - 2х2, область визначення якої (0; 300).

Знайдемо найбільше значення цієї функції на проміжку (0; 300).

Похідна цієї функції у '= 600 - 4х.

Критична точка знайдеться з рівняння:

600 - 4х = 0

х = 150.

Досліджуємо знак похідної на кожному інтервалі

(0; 150) у '> 0

(150; 300) у '<0

Так як при переході через точку х = 150 похідна змінює знак з плюса на

мінус, то при х = 150 функція має максимум. Значить, найбільшу площу має

прямокутник зі сторонами 150 м і 300 м.

Знайдемо площу обгородженої ділянки землі S = 45000 м2.

Ми вирішили задачу Дідони (коротка історична довідка), вважаючи, що

ділянка має форму прямокутника. Рішення подібних завдань, якщо форма

границі - крива лінія втілило в життя новий важливий розділ математики -

варіаційне числення, в якому основним поняттям є не функція, а функціонал. В

даний час цей розділ плідно використовується в багатьох областях математики,

фізики, техніки, економіки.

VI. Застосування знань і вмінь.

Самостійне розв’язування завдань в парах з подальшою самоперевіркою.

Задача 4 У живильне середовище вносять популяцію з 1000 бактерій.

Чисельність популяції зростає за законом P(t) = 1000 + 1000𝑡

( 100+𝑡2);

t- виражається в секундах.

Знайти максимальний розмір цієї популяції.

Розв’язання:

Знаходимо похідну функції:

P/(t) = 1000 (100+ 𝑡2)−1000𝑡 ∙2𝑡

(100+ 𝑡2)2 =

100000−1000 𝑡2

(100+ 𝑡2)2

Критичні точки: р(t) = 0 ;==>знаменник не дорівнює нулю, тоді

100000 − 1000 𝑡2 = 0.

1000t2 = 100000

t2 = 100

Від’ємних секунд не буває, тому t= -10 – сторонній корінь. Отже,

максимальний розмір цієї популяції через 10 секунд буде рівним р(10)=1050.

Відповідь: 1050.

Задача 5. Під час виверження вулкану камені гірської породи викидаються

перпендикулярно вгору з початковою швидкістю 120 м/с. Якої найбільшої

висоти досягне каміння, якщо опором вітру можна знехтувати ?

Розв’язання:

h(t) = 𝜗0𝑡 - 𝑔𝑡2

2

округлимо g =10 м/с

h’ = 𝜗0 - gt = 120 - 10t = 0

t = 12, Зміна знака в околиці цієї точки вказує на те, що в цій точці

функція має максимум.

h(12) = 720 м

Відповідь: 720 м.

VII. Підведення підсумків уроку. Рефлексія.

Особливістю розглянутих вище задач є те, що вони мають одну й ту саму

математичну модель. В житті постане ще багато задач, які ви зможете замінити

наближеними математичними моделями і розв’язати базуючись на своїх

знаннях.

Повернемося до проблемного питання, яке ми задали на початку уроку «На

вашу думку в якій сфері життя і діяльності ми можемо застосувати знання на

цю тему?»

Підведемо підсумки. «Хочу запитати».

(будь-який здобувач освіти може запитати педагога або товариша з

приводу предмета розмови, отримує відповідь і повідомляє про міру своєю

задоволеності отриманою відповіддю).

VII. Домашнє завдання.

1. Виконати тест (google клас)

2. Творче. Створити презентацію на дану тему.

Інтернет джерела.

1. (https://goo.gl/fwh2BR).

2. https://mon.gov.ua/ua/npa/shodo-metodichnih-rekomendacij-pro-vikladannya-

navchalnih-predmetiv-u-zakladah-zagalnoyi-serednoyi-osviti-u-20202021-

navchalnomu-ro

3. https://www.vspu.edu.ua/science/art/a206.pdf

3. https://vseosvita.ua/library/rozvazuvanna-zadac-prikladnogo-zmistu-59329.html

4. http://fel2005.dp.ua/docs/blog/07/004.pdf

5. http://fel2005.dp.ua/docs/blog/07/023.pdf