UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS

ÁLGEBRA LINEAR

Trabalho referente à 3ª nota

Emanuelle de Araújo Silva - 1011206

São Luís – MA

Julho 2011

SUMÁRIO

1. Funções Vetoriais2. Transformações Lineares3. Núcleo de uma transformação linear4. Imagem de uma transformação linear5. Propriedades e Núcleo da Imagem6. Matriz de uma transformação linear7. Operações com transformações lineares8. Transformações lineares planas

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

1.0 FUNÇÕES VETORIAIS

Considerando que o domínio e o contra domínio de uma função sejam espaços vetoriais reais, e que a variável dependente e independente são vetores, então, essas funções são denominadas de funções vetoriais ou transformações lineares.

Então, para simbolizar matematicamente que f é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W, escreve-se

. Sendo f uma função, cada vetor tem um só vetor imagem , que será indicado por: .

2.0 TRANSFORMAÇÕES LINEARES

2.1 Definição

Seja V e W espaços vetoriais, é chamada transformação linear de V em W, se:

I)

II)

No caso em que V = W, uma transformação linear , é chamada também de operador linear.

2.2 Interpretação geométrica

Na interpretação geométrica das transformações lineares de dois vetores u e v, por exemplo, as operações de adição e multiplicação,

na forma escalar, possuem resultados idênticos na forma geométrica, sendo assim, dizemos que f preserva a operação de vetor que foi realizada.

2.3 Propriedades das transformações lineares

I) Se é uma transformação linear, a imagem do vetor é o vetor , ou seja, F(0v)= 0w

II) Se é uma transformação linear, tem-se:

Isto é, a imagem de uma combinação linear dos vetores v1 e v2 é umacombinação linear das imagens f (v1) e f (v2) com os mesmoscoeficientes k1 e k2.

NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR

3.0 Núcleo de uma transformação linear T: V W é o conjunto de vetores do espaço vetorial V cuja imagem é o vetor 0w.

Notação: N(T) = Ker(T)= {v V | T(v)=0w}.

4.0 Imagem de uma transformação linear T:V W é o conjunto de vetoresde W que são imagem dos vetores do conjunto V.

Notação: Im(T) = T(V) = {w W | T(v)=w, para algum v V}.

5.0 PROPRIEDADES

1. N(T) é um subespaço vetorial de V. 2. Im(T) é um subespaço vetorial de W. 3. Teorema do Núcleo e da Imagem: dimV=dimN(T) + dimIm(T)

Exemplo: Seja T:R²R³ tal que T(x,y)=(0,x + y,0).

N(T) ={(x,y) R²|T(x,y)=(0,0,0)}.

Então, T(x,y)=(0,x + y,0) = (0,0,0).

Assim, x + y = 0 .:. x= -y.

Portanto, N(T)={(x,y) R²| x = -y} = {(-y,y),y R}.

Uma base é {(-1,1)} e dimN(T) = 1.

Representação gráfica,

Im(T) = {T(x,y) = (0,x + y,0), para todo (x,y) R²}.

Uma base para o conjunto imagem é {(0,1,0)} e dim Im(T) = 1.

Observe que, dim R² = dim N(T) + dim Im(T), (2 = 1 + 1).

7.0 TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS

São transformações pertencentes ao plao R², seus domínios e contradomínios constituem o plano. Serão consideradas as Reflexões, Dilatações e Contrações e Rotação de planos.

1. Reflexões – ocorrem em relação a um eixo, ordenadas, abscissas ou uma reta.

a) Reflexão ao eixo x:

Relaciona o ponto ou vetor (x,y) para sua imagem simétrica em relação ao eixo x, (x, -y), como na figura

A matriz canônica da transformação é

A = ,

logo:

b) Reflexão ao eixo y:

f: R² -> R², f(x,y) = (-x,y)

A matriz canônica dessa transformação é

A = ,

logo:

c) Reflexão com relação à origem

f R² -> R², f(x,y) = (-x,-y)

A matriz canônica da transformação é

A = ,

logo:

d) Reflexão com relação à reta y = xf: R² -> R², f(x,y) = (y,x)

A matriz canônica dessa transformação é

A = ,

logo:

e) Reflexão com relação à reta x = y

f R² -> R², f(x,y) = f(-y,-x)

A matriz canônica da transformação é

A = ,

logo:

2. CONTRAÇÕES E DILATAÇÕES

Trata-se da multiplicação por uma escalar real, k, que altera as dimensões do vetor.

a) Na direção do vetor

f R² -> R², f(x,y) = k (x,y) = (kx, ky)

A matriz canônica datransformação é

Que gera:

O efeito no vetor dependerá do valor de k:

- se |k| > 1, f dilata o vetor

- se |k| < 1, f contrai o vetor

- se k = 1, f é a identidade de I.

- se k < 0, f muda o sentido do vetor

b) Na direção do eixo xf: R²->R², f(x,y) = f(kx,y), k 0≥

O efeito de k no vetor édefinido pelas expressões

- se k >1, f dilata o vetor

- se 0 k ≤ 1 ≤, f contrai o vetor

c) Na direção do eixo y

f R² -> R², f(x,y) = (x, ky), k ≥ 0

A transformação tem comomatriz canônica:

Que gera:

Se:

k >1, f dilata o vetor

0 k 1, f ≤ ≤ contrai o vetor

3 CISALHAMENTOS

a) Direção eixo x

O cisalhamento na direção do eixo x tem o efeito de transformar o retângulo OAPB, na figura, no paralelogramo OAP’B’.

Para k um escalar real,

f: R² -> R², f(x,y) = (x+ky,y)

A matriz canônica da transformação é

Então

Nessas tranformações, todos os pontos nãopertencentes ao eixo x se movem paralelamentea tal eixo. O que torna o retângulo inicial eo paralelogramo de mesma base.

b) Direção do eixo y

O cisalhamento na direção do eixo y tem oobjetivo de transformação o retângulo OAPB noparalelogramo OAP’B’, de mesma base e altura.

A matriz canônica da transformação f: R² -> R², f(x,y)= (x,y + kx)

Então

4 ROTAÇÕES

Um vetor v = (x,y) pode ser rotacionado em torno da origemde coordenadas, cuja base é A = { e1 = (1,0) e e2 = (0,1)}. Essa rotação é uma transformação linear fo : R² -> R², que a cada vetor (x,y) faz-se corresponder um vetor fθ(v) = (x’,y’), com θ graus de diferença, no sentido horário ou antihorário.

Sendo A um base do plano e v um vetor pertencente ao plano, podemos escrever

v = x .e1 + y. e2

Ou ainda, de acordo com as propriedades de transformações lineares

fθ(v) = x fθ(e1) + y fθ(e2)

Pelo gráfico acima, os vetores fθ(e1) e fθ(e2) podem ser escritos

fθ(e1) = (cosθ, senθ)

fθ(e2) = (-senθ, cosθ)

Reescrevendo fθ(v) através da substituição das expressões acima, obtém-se

fθ(v) = (x’,y’) = [(cos θ)x + (-sen θ)y, (sen θ)x + (cos θ)y]

θ

A partir daí, determina-se a matriz canônica da transformação

Tθ =

=

É possível fazer o caminho inverso, ou seja, determinar vetor a partir da sua imagem (x’,y’). Uma vez que a rotação aconteceria no sentido anti-horário, o valor θ < 0 e os senos e cossenos são alterados.

sen(-θ) = -sen(θ)

cos(-θ) = cos(θ)

A matriz T(-θ) = poderá ser escrita

T(-θ) = , que é a matriz inversade T(θ). Se isso é verdade, o cálculo abaixo é válido:

f(v) = Tθ. v

v = Tθ-1. f(v)

Nas matrizes:

8.0 OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES

1. ADIÇÃO

Sejam T1 : V W e T2: V W transformações lineares. Define-se a

adição de T1 com T2 como sendo a transformação linear:

(T1+ T2):VW

v |(T1+ T2)(v)= T1(v)+ T2(v)

Matricialmente, = + , onde A

é uma base de V e B uma base de W.

Exemplo: Sejam T1:R3R3 tal que T1(x,y,z)=(x,2y,2z) e T2-

(x,y,z)=(0,0,z).

A transformação soma é (T1+ T2):R3R3 tal que (T1+ T2)

(x,y,z)=(x,2y,2z).

Ainda, [T1]= , [T2]= , e [T1+ T2]=

em relação a base canônica do R3.

2. MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR

Sejam T:VW uma transformação linear e k R um escalar. Define-

se a transformação linear produto de T pelo escalar k como

sendo:

(k.T):VW

v |(k.T)(v)=k.T(v)

Matricialmente, =k. , onde A é uma base de V e

B é uma base de W.

Exemplo: Seja [T]= e k=2.

Então, T(x,y)=(x+2y,y,3x) e (2.T)(x,y)=(2x+4y,2y,6x).

Ainda, [2.T]= =2.[T]

3. COMPOSIÇÃO

Sejam T1:VU e T2:UW transformações lineares. Define-se a

composta de T1 com T2 como sendo a transformação linear:

(T2ºT1):VW

v| (T2ºT1)(v)=T2 (T1(v))

Matricialmente, [T2ºT1 =[T2 .[T1 , onde

A é uma base de V, B é uma base de U e C é uma base de W.

Exemplo:

Sejam os operadores lineares no R2, T1(x,y)=(2x+y, -y) e

T2(x,y)=(2x, -x+3y).

(T2ºT1)(x,y)=T1(T2(x,y))= T1(2y,-x+3y)=(2(2y)+(-x+3y)-(-x+3y))=(-

x+7y,x-3y)

(T2ºT1)(x,y)=T1(T2(x,y))= T2(2x+y, -y)=(2(-y), -(2x+y)+3(-y))=(-

2y,-2x-4y)

Com relação a base canônica: [T1]= e [T2]=

.

Assim, [T1ºT2] = . =

e [T2ºT1]= , = .

Propriedades de Transformações Invertíveis

Sejam T:VW, T1:VW e T2:WU transformações lienares invertíveis

e k R, k≠0.

1. (T-1)-1=T

2. (k.T)-1=k-1,T-1

3. (T2ºT1)-1=T1-1ºT2

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