Escuela Politecnica Del Ejercito

Departamento de Electrica y Electronica

Carrera De Ingenierıa Electronica

Nivel: 5to Nivel

Procesos Estocasticos

Docente: Ing. Marco Flores

Tema: Procesos Estocasticos aplicado a Sistemas LTI

Integrantes:

1. Bermeo Juan

2. Fiallos Christian

3. Guaman Fabricio

4. Moreno Andres

5. Procel Galo

6. Reyes Fabricio

1 de julio de 2013

Indice

1. Tema 2

2. Objetivos 22.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Marco Teorico 23.1. Procesos Estocasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2. Parametros Estadısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2.1. Autocorrelacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2.2. Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2.3. Correlacion cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2.4. Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.3. Propiedades Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3.1. Estacionariedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3.2. Ergocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4. Densidad espectral de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.5. Procesos gausianos, senal y ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.6. Ruido gausiano y blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.7. Procesos Estocasticos en Sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.7.1. Sistemas LTI (Lineales e Invariantes en el tiempo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.8. Sistemas LTI con entradas estocasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.8.1. Condicion de Estacionariedad: | φ1 |< 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Conclusiones y Recomendaciones 19

5. Bibliografıa 20

1

1. Tema

Procesos Estocasticos aplicado a Sistemas LTI

2. Objetivos

Analizar sistemas invariantes en el tiempo que procesan senales aleatorias

2.1. Objetivo General

2.2. Objetivos Especıficos

Determinar las caracterısticas de procesos estocasticos y su aplicacion en Ingenierıa Electronica.

Destacar la importancia de los procesos con distribucion Gaussiana en el analisis de sistemas LTI.

3. Marco Teorico

3.1. Procesos Estocasticos

Concepto matematico que sirve para caracterizar una sucesion de variables aleatorias que evolucio-nan en funcion de otra variable, generalmente el tiempo.Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia funcion de distribucion de probabilidady, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.Una secuencia de variables aleatorias es un caso particular de proceso estocastico, y cada posible resul-tado una realizacion del proceso estocastico. Como se puede ver en [1]

Los procesos estocasticos constituyen, junto con las variables aleatorias, las herramientas para modelarla incertidumbre inherente a todo proceso de comunicacion (de no existir incertidumbre en el receptor,no existirıa la necesidad de la comunicacion).

2

EJEMPLO:

Imaginemos que, para estimar el tiempo de vida medio de una bombilla, su fabricante decide encender10.000 bombillas simultaneamente, y esperar a que todas ellas se fundan.Podemos definir, en tal caso, el proceso estocastico X tal que, X(t) representa el numero de bombillasque permanecen encendidas en el instante t.Tenemos, por tanto, un proceso estocastico en tiempo continuo de variables discretas (que solo puedentomar valores enteros entre 0 y 10.000). Ademas, por la naturaleza del problema, podemos esperar quecada una de las variables aleatorias X(t) se caracterice por una funcion de probabilidad diferente: porejemplo, el valor medio de X(t), es decir, el numero medio de bombillas que permanecen encendidas,decrecera con el tiempo, t.Tambien podemos asegurar que X(t0) es estadısticamente dependiente de todas las variables X(t), an-teriores y posteriores. Para comprobarlo, basta advertir que el conocimiento del numero de bombillasencendidas en un instante de tiempo proporciona una cota superior del numero de bombillas encendi-das en cualquier instante posterior, e inferior del numero de bombillas encendidas en cualquier instanteanterior.

3.2. Parametros Estadısticos

3.2.1. Autocorrelacion

La autocorrelacion del proceso estocastico X(t) o (X[n]) se define como:

RX(t1, t2).= EX(t1)X∗(t2)

(RX [n1, n2].= EX[n1]X∗(n2)

3.2.2. Media

La media de un proceso estocastico continuo X(t) se define como:

µX(t).= EX(t)

3

y admitira la expresion

µX(t) =

∫C

xfX(t)(x) dx CasoAnalogo

µX(t) =∑xk∈Ω

xkpX(t)(xk) CasoDiscreto

Donde : C se refiere a la region de integracion es decir, al contorno de una curva cerradaΩ es el periodo de la senal discreta

3.2.3. Correlacion cruzada

La correlacion cruzada entre los procesos estocasticos X(t) e Y (t) o (X[n] e Y [n]) se define como:

RXY (t1, t2).= EX(t1)Y ∗(t2)

(RXY [n1, n2].= EX[n1]Y ∗[n2])

3.2.4. Covarianza

La covarianza cruzada entre los procesos estocasticos X(t) e Y (t):

CXY (t1, t2).= E(X(t1)− µX(t1))(Y (t2)− µY (t2))∗

(CXY [n1, n2].= E(X[n1]− µX [n1])(Y [n2]− µY [n2])∗)

Ejemplo:Suponga que x(t) es un proceso con η = 3 y R(t1, t2) = 9 + 4e|t1−t2|, determine la media, la varianza yla covarianza de las variables aleatorias z = x(5) y w = x(8)Claramente tenemos que:

Ez = η(5) = 3 y Ez = η(8) = 3 por consiguiente

Ez2 = R(5, 5) = 13 Ew2 = R(8, 8) = 13

Ezw = R(5, 8) = 9 + 4e−0,6 = 11,195

por lo tanto:

z y w tienen la misa varianza σ2 = 4 y su covarianza C(5, 8) = e−0,6 = 2,195

Ejemplo:Determine la autocorrelacion del proceso x(t) = rcos(ωt + ϕ) asumimos que las varables aleatorias r yϕ son independientes y ϕ es uniforme en el intervalo (−π, π)

Ex(t1)x(t2) =1

2Er2Ecosω(t1 − t2)cos(ωt1 + ωt2 + 2ϕ)

Ecos(ωt1 + ωt2 + 2ϕ) =1

2π

∫ π

−πcos(ωt1 + ωt2 + 2ϕ)dϕ = 0

de donde obtenemos:

R(t1, t2) =1

2tEr2cosω(t1 − t2)

4

3.3. Propiedades Importantes

3.3.1. Estacionariedad

Para simplificar analisis de sistemas se necesita: propiedad de la de linealidad y la de invarianza tem-poral. En los procesos estocasticos existe una propiedad analoga que, de cumplirse, tambien simplificasu analisis: la estacionariedad.

Procesos cicloestacionarios. Existe un tipo de procesos no estacionarios que aparece frecuentementeen comunicaciones (en general, relacionados con operaciones de modulacion o demodulacion) en la quelos estadısticos varıan de forma cıclica.

Procesos blancos. Un caso particular de procesos estocasticos estacionarios de especial interes sonaquellos en los que la autocorrelacion de las muestras del proceso en dos instantes cualesquiera (diferen-tes) es cero.

RX [n] = ηδ[n]

3.3.2. Ergocidad

¿Existe alguna relacion entre medidas equivalentes (por ejemplo, media y valor medio) de procesosy senales? o, en otras palabras, ¿existe alguna relacion entre el operador esperanza matematica y elpromedio temporal?

gt = lımT→∞

1

2T

∫ T

−Tg(x(t)) dt = Eg(X(t))

gn = lımN→∞

1

2N + 1

N∑n=−N

g(x[n]) = Eg(X[n]))

Ergodicidad en la media. ¿Es posible estimar la media del proceso a partir de los valores de unarealizacion?

Ergodicidad en la autocorrelacion. De forma similar se define la ergodicidad en la autocorrelacion.Un proceso es ergodico en la autocorrelacion si su funcion de autocorrelacion coincide con el promediotemporal equivalente.

Cicloergodicidad. Permite relacionar las medidas estadısticas con los promedios temporales para losprocesos cicloestacionarios.

Ergodicidad y caracterizacion de procesos y senales. El caracter ergodico de un proceso po-demos interpretarlo de dos formas distintas: por una parte, nos permite caracterizar estadısticamenteun proceso a partir de una unica realizacion del mismo y, por otra, las propiedades temporales de lasrealizaciones de un proceso a partir de su caracterizacion probabilıstica.Propiedades importantes que se pueden encontrar en [1]

5

3.4. Densidad espectral de potencia

SX(jω).= lım

T→∞

E | XT (jω) |22T

Ejemplo: Supongamos que un sistema LTI de respuesta impulsiva h(t) y funcion de transferencia H(f)esta excitado por un ruido blanco. La densidad de potencia espectral del ruido blanco es la siguiente:

Cual es la densidad de potencia espectral de la senal de salida y la croscorrelacion entre las senalesde entrada y salida?

SOLUCION

*Comenzamos nuestro desarrollo aplicando la formula que se demuestra a continuacion:

Sy(f) =∫ τ=∞τ=−∞Ry(τ)e−jπfτδτ

Sy(f) =∫∫∫

h(s)h(u)Ry(τ + s− u)e−j2πfτδsδuδτ

Sy(f) =∫∫∫

h(s)h(u)Rx(v)e−j2πf(v−s+u)δsδuδv

Sy(f) =∫h(s)ej2πfsδs

∫h(u)e−j2πfuδu hspace0,2cm

∫Rx(v)e−j2πfv)δv

Sy(f) = H∗(f)H(f)Sx(f)

Sy(f) = |H(f)|2Sx(f) (1)

*Ahora si nos fijamos en el grafico tenemos que:

Sx(f) =N0

2(2)

por lo tanto si reemplazamos (1) en (2) tenemos que:

Sy(f) = |H(f)|2N0

2(3)

6

*La autocorrelacion de la senal de ruido blanco es el impulso unitario, es decir:

Rx(τ) =N0

2δτ (4)

*Ahora aplicamos la siguiente formula:

Ryx(τ) =

∫ ∞−∞

Rx(τ − u)h(u)δu (5)

y al reemplazar (4) en (5) tenemos:

Ryx(τ) =N0

2

∫ ∞−∞

δ(τ − u)h(u)δu (6)

*Como sabemos cuando tenemos uns funcion multiplicada por un delta de dirac, lasolucion de este producto se da al evaluar dicha funcion en donde existe el dirac en este caso:

La funcion delta de dirac existe en:τ = u

*Entonces el resultado de esta integral serıa:

Ryx(τ) =N0

2h(τ) (7)

Por lo tanto concluimos que el sistema es excitado por un ruido blanco, la croscorrelacion entrela entrada y salida da la respuesta impulsiva al sistema

3.5. Procesos gausianos, senal y ruido

Para el analisis de procesos estocasticos en sistemas LTI, es necesario, para facilitar dicho analisis,que posean funciones de distribucion distintas y cuya media y funcion de autocorrelacion sean identicas.La distribucion Gaussiana tiene estas caracterısticas por eso hablaremos de PROCESOS GAUSSIANOS.La salida de un sistema lineal e invariante, cuando la entrada es otro proceso gausiano es tambien unproceso gausiano.

Propiedades

La caracterizacion completa del proceso puede obtenerse a partir de su media y su funcion deautocorrelacion.

Si un proceso gausiano es estacionario en sentido amplio, tambien lo es en sentido estricto. Larazon es la misma que la de la propiedad anterior

Si un proceso gausiano posee media nula, es ergodico si cumple

7

∞∑k=−∞

| CX [k] |<∞∫ ∞−∞| CX(τ) | dτ <∞

donde CX [k] y CX(τ) representan procesos gaussianos

3.6. Ruido gausiano y blanco

Por ruido entendemos toda perturbacion de caracter aleatorio sobre una senal o proceso que resultade interes.Uno de los tipos de ruido mas importante es el denominado ruido termico, que esta presente en todocircuito electrico o electronico y afecta a la senal de interes de forma aditiva.Este ruido esta provocado por el movimiento desordenado de los electrones en un conductor y poseeuna dep aproximadamente plana para las frecuencias habituales en sistemas de comunicaciones. Comose puede ver en [6]

EJEMPLOS DE RUIDO EN TRANSMISION DE VOZ

SENAL DIGITALIZADA, QUE SE PROPAGA

8

AL PROPAGARSE, SE ATENUA Y SE LE SUMA UNA COMPONENTE DE RUIDO

SE AMPLIFICA EN EL RECEPTOR, POR LO TANTO SE AMPLIFICA EL RUIDO TAMBIEN

3.7. Procesos Estocasticos en Sistemas LTI

3.7.1. Sistemas LTI (Lineales e Invariantes en el tiempo)

Un sistema es lineal solo si satisface dos propiedades para todo x1(t), x2(t) y α(valorconstante):

En tiempo continuo

1. T [x1(t) + x2(t)] = H[x1(t)] +H[x2(t)]

2. T [αx(t)] = αT [x(t)]

En tiempo discreto

1. H[x1(n), x2(n)] = H[x1(n)] +H[x2(n)]

2. H[αx(n)] = αH[x(n)]

Todo sistema lineal es definido a traves de su respuesta impulsiva.

9

En tiempo continuo

En tiempo discreto

Se caracterizan porque en estos sistemas se puede expresar la entrada como combinacion lineal deimpulsos desplazados.Como se puede ver en [?]

Usando la propiedad de linealidad del sistema LTI tenemos que:

En tiempo continuo

H[x(t)] = H

[∫ ∞−∞

x(τ)δ(t− τ) dτ

]H[x(t)] =

∫ ∞−∞

x(τ)H[δ(t− τ)] dτ

H[x(t)] =

∫ ∞−∞

x(τ)h(t, τ) dτ

En tiempo discreto

δ[n− k]→ LTI → hk[n] = h0[n− k] = h[n− k]

x[n] =∞∑

k=−∞

x[k]δ[n− k]→ LTI → y[n] =∞∑

k=−∞

x[k]hk[n]

10

A h[n] se le denomina respuesta al impulso de un sistema LTI discreto.

δ[n] → LTI → h[n]

Aquı podemos observar como se aplica los procesos estocasticos dentro de los sistemas LTI.

Donde:

δ[n]: Impulso

h[n]: Respuesta al impulso

Un sistema LTI discreto esta completamente caracterizado por su respuesta al impulso.

A la operacion:

y[n] =∞∑

k=−∞

x[k]h[n− k] = x[k] ∗ h[n]

3.8. Sistemas LTI con entradas estocasticas

Se puede realizar un analisis temporal y frecuencial, cuando tenemos sistemas LTI involucrados conprocesos estocasticos.Por analisis temporal, encontrar la funcion media a la salida del proceso.

y[n]=x[n]*h[n]

11

Cuando un proceso estocastico pasa por un sistema LTI y por analisis temporal se tiene

mY (t) =

∫ ∞−∞

h(τ)mx(t− τ) dτ

En el caso de que el proceso sea estacionario en sentido amplio (ESA):

E[x(t− τ)] = mx(t− τ)

Entonces tenemos que la funcion media a la salida del proceso (mY (t)):

mY (t) =

∫ ∞−∞

h(τ)mx(t− τ) dτ

Tambien:

RY (τ) =

∫ ∞−∞

h(τ)mx(t− τ) dτ

Ahora si consideramos que la funcion de transferencia del sistema es H(f) (Analisis en frecuencia):

SXY (f) = H(f) ∗ SX → SY (f) =| H(f) |2 SX(f)

3.8.1. Condicion de Estacionariedad: | φ1 |< 1

Dada la generalizacion de las autocovarianzas, podemos encontrar una expresion general de la funcionde autocorrelacion:

φ11 = ρ1 = φ1 = 0,9

ρk =γkγ0

=φk1γ0

γ0

= φk1

ρ1 = (0,9)1 = 0,9

ρ2 = (0,9)2 = 0,81

...

12

φjj(Y ) =ρj(Y )−

∑j−1i=1 φj−1,iρj−1(Y )

1−∑j−1

i=1 φj−1,iρj(Y )(j = 2, 3, ...)

φ22 =ρ2 − φ1ρ1

1− φ1ρ1

=ρ2 − ρ2

1

1− ρ21

φ22 =0,81− (0,9)2

1− (0,92)= 0

13

3.9. Ejercicios

1.- Un sistema LTI esta ligado a la ecuacion de diferencias y[n] = x[n] − x[n − 1] dondey[n] es la salida del sistema y x[n] la entrada, considerando que x[n] es una senal deruido blanco con Sxx(z) = q, calcule el espectro de potencia de la salida y su funcionde autocorrelacion.

y[n] = x[n]− x[n− 1]

zy[n] = zx[n]− x[n− 1]Y (z) = X(z)− z−1X(z) = X(z)(1− z−1)

H(z) =Y (z)

X(z)

⇒ H(z) = 1− z−1

Syy(z) = Sxx(z) ·H(z) ·H(z−1)

Syy(z) = q · (1− z−1) · (1− z)

Syy(ejω) = Syy(z); cuando z = ejω

⇒ Syy(ejω) = q · (1− e−jω) · (1− ejω)

Syy(ejω) = q · (2− (e−jω + ejω))

Syy(ejω) = 2q · (1− cosω)

Para encontrar la funcion de auto correlacion aplicamos la transformada inversa de Syy(z)

Ryy[m] = z−1Syy(z)Syy(z) = Sxx(z) · (1− z−1) · (1− z)

Syy(z) = Sxx(z) · (−z + 1− z−1 + 1)

z−1Syy(z) = z−12Sxx(z)− zSxx(z)− z−1Sxx(z)Ryy[m] = 2Rxx[m]−Rxx[m+ 1]−Rxx[m− 1]

14

2.- Dado un proceso AR(1). Hallar:

a) Expresar el proceso con la notacion de operadores autorregresivos.

Yt = 2 + 0,9Yt−1 + et

Yt = δ + φ1Yt−1 + et

Yt − φ1Yt−1 = δ + et

(1− φ1B)Yt = δ + et

Φ1(B)Yt = δ + et

b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.

Aplicamos inicialmente el operador esperanza matematica,

E(Yt) = E(δ) + φ1E(Yt−1) + E(et)

Ahora bien, dado que

E(Yt) = E(Yt−1) = µ

E(et) = 0

Entonces

E(Yt) = E(δ) + φ1E(Yt−1) + E(et)

µ = δ + φ1µ

µ =δ

(1− φ1)=

2

(1− 0,9)= 20 = Media del proceso

Para el analisis de la varianza y las covarianzas del proceso, primero centraremos las variables, y hayque tener en cuenta que:

E(yt−jet) = 0 j = ±1,±2, ...

E(ytet) = σ2t

15

Entonces, el calculo de la varianza es:

γ0 = V ar(yt) = V ar(φ1yt−1 + et)

= φ21V ar(yt−1) + V ar(et)

= φ21γ0 + σ2

t

(1− φ21)γ0 = σ2

t

γ0 =σ2t

(1− φ21)

=4

(1− 0,92)∼= 21, 05263

El calculo de las covarianzas del proceso resulta:

γ1 = E(yt, yt−1) = φ1E(yt−1, yt−1) + E(yt−1, et)

γ1 = φ1γ0 = 0, 9x(21, 0526) = 18, 9474

γ2 = E(yt, yt−2) = φ1E(yt−1, yt−2) + E(yt−2et)

γ2 = φ1γ1 = φ1(φ1γ0)

γ2 = φ21γ0 = 0, 92x(21, 0526) = 17, 0526

Puede deducirse facilmente que la regla general, para el calculo de la autocovarianza de orden k, es:

γk = φk1γ0 j > 0

c) Analizar las condiciones de estacionariedad.

Dado que la varianza del proceso ha de ser positiva y finita, el coeficiente , en valor absoluto,tiene que ser menor a la unidad:

γ0 = V ar(yt) =σ2t

(1− φ21)

3.- Supongamos que un sistema LTI de respuesta impulsiva h(t) y funcion de transferenciaH(f) esta excitado por un ruido blanco. La densidad de potencia espectral del ruidoblanco es la siguiente:

Cual es la densidad de potencia espectral de la senal de salida y la croscorrelacion entrelas senales de entrada y salida?

16

SOLUCION

*Comenzamos nuestro desarrollo aplicando la formula que se demuestra a continuacion:

Sy(f) =∫ τ=∞τ=−∞Ry(τ)e−jπfτδτ

Sy(f) =∫∫∫

h(s)h(u)Ry(τ + s− u)e−j2πfτδsδuδτ

Sy(f) =∫∫∫

h(s)h(u)Rx(v)e−j2πf(v−s+u)δsδuδv

Sy(f) =∫h(s)ej2πfsδs

∫h(u)e−j2πfuδu hspace0,2cm

∫Rx(v)e−j2πfv)δv

Sy(f) = H∗(f)H(f)Sx(f)

Sy(f) = |H(f)|2Sx(f) (8)

*Ahora si nos fijamos en el grafico tenemos que:

Sx(f) =N0

2(9)

por lo tanto si reemplazamos (1) en (2) tenemos que:

Sy(f) = |H(f)|2N0

2(10)

*La autocorrelacion de la senal de ruido blanco es el impulso unitario, es decir:

Rx(τ) =N0

2δτ (11)

*Ahora aplicamos la siguiente formula:

Ryx(τ) =

∫ ∞−∞

Rx(τ − u)h(u)δu (12)

y al reemplazar (4) en (5) tenemos:

Ryx(τ) =N0

2

∫ ∞−∞

δ(τ − u)h(u)δu (13)

*Como sabemos cuando tenemos uns funcion multiplicada por un delta de dirac, lasolucion de este producto se da al evaluar dicha funcion en donde existe el dirac en este caso:

La funcion delta de dirac existe en:τ = u

*Entonces el resultado de esta integral serıa:

Ryx(τ) =N0

2h(τ) (14)

Por lo tanto concluimos que el sistema es excitado por un ruido blanco, la croscorrelacion entrela entrada y salida da la respuesta impulsiva al sistema

17

4.- Supongamos que es un filtro pasabanda ideal en tiempo continuo, es decir, H(f) tienela siguiente representacion:

Computar E[Y 2(t)] cuando la senal de entrada tiene una densidad de potencia espectralSX(f).

La definicion de la funcion de autocorrelacion de un proceso E.S.A establece que:

E[Y 2(t)] = RY (0)

Luego, aplicando las propiedades de la transformada de Fourier, obtenemos que

RY (0) =

∫ ∞−∞

SY (f) df (15)

Teniendo en cuenta que

SY (f) =| H(f) |2 SX(f) (16)

Reemplazando (8) en (9)

RY (0) =

∫ −f0+∆

2

−f0−∆

2

| H(f) |2 SX(f) df +

∫ f0+∆

2

f0−∆

2

| H(f) |2 SX(f) df

=

∫ −f0+∆

2

−f0−∆

2

SX(f) df +

∫ f0+∆

2

f0−∆

2

SX(f) df

Si SX(f) es continuo y ∆ es suficientemente pequeno, luego

RY (0) = SX(−f0)∆ + SX(f0)∆

Esto, implica que

SX(f0) =E[Y 2(t)]

2∆

Esta ultima expresion justifica empıricamente la denominacion de densidad espectral para la funcionSX(f).

18

5.- Supongamos que tenemos dos filtros de tiempo continuo H1(Ω) y H2(Ω) dispuestos enparalelo

Los filtros son dos pasabandas que no se superponen. Ambos filtros tienen un ancho debanda ∆ y H1(Ω) esta centrado en Ω1, y H2(Ω) esta centrado en Ω2, con | Ω1Ω2 |> ∆. TantoΩ1 y Ω2 son frecuencias continuas dadas en Hz.

¿Cual es la croscorrelacion entre las senales de salida RY1Y2(τ) suponiendo que X(t) es E.S.A?

Utilizando la definicion de croscorrelacion entre dos senales tenemos que

RY1Y2(τ) = E[Y1(t)Y2(t+ τ)]

Ya que X(t) es una entrada estacionario en sentido amplio, se tiene que

E[Y1(t)Y2(t+ τ)] =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

h1(s)h2(u)RX(τ + s− u) ds du

Similarmente, la transformada de Fourier es como sigue:

SY1Y2(Ω) = H∗1 (Ω)H2(Ω)SX(Ω)

Dado que H1(Ω) y H2(Ω) no se superponen en ninguna frecuencia, el producto H∗1 (Ω)H2(Ω) es siemprenulo. Por ende, SY1Y2(Ω) = 0 en todas las frecuencias. Esto implica que RY1Y2(τ) es identicamente nulo,es decir, las salidas de los dos filtros estan descorrelacionadas.En general, podemos deducir que las diferentes componentes en frecuencia de un proceso E.S.A (X(t))estan descorrelacionadas entre sı.

4. Conclusiones y Recomendaciones

Las senales aleatorias son parte de la ingenierıa en todo aspecto, comprender su estructura ypropiedades implica optimizar el conocimiento de la ingenierıa misma..

En la transmision de datos en sistemas de comunicacion, procesos aleatorios interactuan en elproceso: ruido, caracterısticas intrınsecas del material de las lıneas de transmision.

Los procesos estocasticos con distribucion Gaussiana tienen propiedades unicas y de suma im-portancia que simplifican totalmente el analisis matematico del comportamiento de un sistemacualquiera.

19

5. Bibliografıa

Referencias

[1] A. Diego, Introduccion a los procesos estocasticos 2, [en red]: Disponible en: http://pwp.etb.net.co/apa368/professional/pages/presentaciones/semana_11_2010.pdf [Consulta: 15 de junio de2013].

[2] Anonimo, Sistemas LTI, [en red]: Disponible en: http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/senales-y-sistemas/material-de-clase-2/Tema2.pdf [Consulta: 15 de junio de 2013].

[3] Anonimo, Sistemas Lineales con Excitacion Aleatoria, [en red]: Disponible en: http://materias.fi.uba.ar/6615/Material/IE66sislin.pdf [Consulta: 15 de junio de 2013].

[4] Drake, A.W., Fundamentals of Applied Probability Theory. New York, NY: McGraw-Hill, 1967.

[5] Ross, S., Introduction to Probability Models. 5a ed. Boston, MA: Academic Press, 1993.

[6] Artes A. y Perez F., Comunicaciones Digitales. Pearson-Prentice Hall, 2007.

20