Saiz Roldan Mariana LCapítulo2

1 Sáiz Roldán Mariana Luisa (2002). Capítulo 2 de la tesis para obtener el grado de Doctor en Ciencias (Matemática Educativa) en el Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav). “El pensamiento del maestro de primaria acerca del concepto matemático volumen y su enseñanza”. Págs. 23-45. México.

23

El concepto matemático volumen

Este capítulo versa sobre la descripción del componente de modelos

de competencia formal el cual, como se ha dicho, constituye uno de los resultados globales de la investigación llevada a cabo para elaborar el modelo teórico local final. En la reseña de este

componente se incluyen todos los resultados derivados del proceso mismo de su construcción. Dicho proceso se orientó principalmente

en dos direcciones. Una de ellas se sustentó en la aplicación de una fenomenología

histórica. Usando sus métodos, se hace una revisión de la constitución del concepto volumen a través del tiempo con el propósito de describir el desarrollo de las ideas matemáticas

relacionadas con ese concepto así como identificar obstáculos epistemológicos en su desarrollo histórico para intentar explicar

algunas de las dificultades inherentes en su aprendizaje. La otra se basa en la aplicación de una fenomenología pura al

concepto matemático volumen lo que lleva a considerarlo como parte del saber matemático universal. Se analizan los fenómenos que

organiza dicho concepto, sus distintas definiciones, sus propiedades, las relaciones que guarda con otros conceptos y otros aspectos similares para rescatar las ideas esenciales que puedan fundamentar

cualquier acercamiento pedagógico de esta noción.

2.1 Historia del concepto

La revisión y el análisis de libros de historia de las matemáticas muestran que existen dos maneras de rastrear el concepto volumen. Una de ellas es a través de la historia del cálculo, la otra tiene que ver

con el desarrollo de la geometría. Estos dos caminos se entrelazan en

2

24

ocasiones y es difícil separarlos de forma que la exposición incluye ambos y el orden en el cual se estructura es más bien cronológico.

2.1.1 Antes de Newton y Leibniz

Resultaría muy complicado intentar explicar la historia del concepto volumen sin recurrir a la historia del cálculo. Puede decirse que el

cálculo se desarrolló en el siglo XVII d.C. Sin embargo, los problemas que le dieron origen surgieron 18 siglos antes de nuestra era en el campo de la geometría.

De aquella época, las matemáticas que hoy se conocen son las que se conservan en

las tablas babilónicas y los papiros egipcios. Respecto al volumen, en las primeras

se encuentran varios problemas prácticos en los que se requiere calcular el

volumen de sólidos geométricos sencillos. En cuanto a los egipcios, la fórmula para

obtener el volumen de una pirámide truncada aparece en el papiro de Moscú (1890 a.C.) y el cálculo del volumen de un cilindro como el producto del área de la base

por la altura se encuentra en el papiro de Rhind (Gillings, 1982, pág. 146).

Los historiadores coinciden al señalar que los conocimientos geométricos de los babilonios aparecen siempre ligados con

problemas cotidianos, también los egipcios escriben la obtención del volumen de un cilindro como la solución de un problema real: la necesidad de calcular la capacidad de un contenedor de granos. Sin

embargo, la fórmula de la pirámide truncada aparece sin contexto alguno. Como las pirámides de Egipto tenían esta forma, puede pensarse que el hecho de conocer dicha fórmula podría inferirse a

partir de problemas de la construcción de tales monumentos. Sin embargo,

… no se trata de pensar que los arquitectos o constructores de las pirámides de

Egipto tuvieran necesidad de conocer su volumen, más bien se trata de sugerir que

la arquitectura, la tecnología y el arte en general pueden haber estimulado el

pensamiento matemático al tratar de obtener algún entendimiento de las

características abstractas involucradas en su desarrollo (Pottage, 1983, pág. 219).

Existe aún controversia acerca de si los egipcios conocían la fórmula para obtener el volumen de una pirámide truncada, o sólo conocían

un procedimiento para realizar este cálculo en un caso particular. La única evidencia al respecto es un problema que aparece en el papiro

de Moscú (ver Gillings, 1982): obtener el volumen de una pirámide cuadrangular truncada con arista de base inferior igual a 4, arista de base superior igual a 2, y altura igual a 6. En el papiro el escriba

explica los cálculos:


25

i) se eleva 4 al cuadrado ii) se duplica este 4

iii) se eleva 2 al cuadrado iv) se suman estos resultados y resulta 28

v) se obtiene un tercio de 6 resulta 2 vi) 2 se multiplica por la suma anteriormente obtenida vii) el resultado final es 56

Los cálculos anteriores corresponden a la aplicación de la fórmula

que se usa hasta la fecha: 22

3baba

hV . ¿Estaban los egipcios

aplicando una fórmula general que ellos conocían de antemano? Algunos especialistas dudan que la respuesta sea afirmativa, no

creen que los métodos de análisis de los egipcios pudieran llevarlos a deducir tal resultado.

Van der Waerden (1983) especula acerca de cómo los egipcios pudieron inferirla, aunque no deja de sorprenderse pues considera que ellos aparentemente no contaban con las habilidades necesarias

para trabajar con cantidades abstractas.

Gillings (1982) imagina algunas maneras mediante las cuales los egipcios podrían haber llegado a este resultado. Él afirma que, generalmente, se acepta que los egipcios conocían la fórmula

haV 2

3

1 para calcular el volumen de una pirámide cuadrangular y

opina que de aquí podrían haber deducido la del volumen de la pirámide truncada. Sin embargo, no deja de sorprenderse, pues tal

proceso de inferencia no es inmediato si no se tienen ciertas habilidades para operar algebraicamente.

Antes de seguir este recorrido histórico, existen dos puntos en los que vale la pena detenerse respecto a los cálculos encontrados en las

tablas babilónicas y los papiros egipcios: el primero es el comentado por Boyer (1989) en el sentido de que estos pueblos no distinguieron

entre sus cálculos y fórmulas exactas y los que eran sólo una aproximación.

26

El segundo tiene que ver con el uso de unidades. De acuerdo a Gillings (1982), el cálculo del volumen de un cilindro en los papiros

egipcios se hacía de dos maneras distintas, a veces, ellos calculaban el volumen con una fórmula que permitía obtener el resultado directamente en unidades de volumen de granos. En otras,

calculaban el volumen usando la fórmula del área de la base por la altura y al final hacían la transformación de las unidades obtenidas a

las de capacidad. Este cambio de perspectiva entre procedimientos de cálculo de

volúmenes en los que el proceso involucrado consiste en un conteo eficiente de unidades de la misma naturaleza de aquello que se

pretende medir y otros procedimientos, en los cuales los cálculos involucran comparaciones entre unidades de distinta naturaleza a la que se está midiendo, como son longitudes y áreas en el caso del

volumen, acarrea dificultades cognitivas en el proceso de aprendizaje; sobre ellas se profundiza en el capítulo 5.

Al primer tipo de los procedimientos mencionados en el párrafo anterior, se les denomina de aquí en adelante unidimensionales, ya

que el cálculo radica en un conteo de unidades de volumen. Mientras al segundo se le llama bidimensionales, ya que se hacen mediciones o comparaciones de magnitudes de naturaleza diferente, tales como

áreas de bases y longitudes de alturas. En algún período, la historia del concepto matemático volumen corrió

en paralelo a la de los poliedros. Malkevitch (1988), al estudiar los orígenes de estos objetos geométricos, señala lo que él llama piedras

angulares en este camino. Entre ellas menciona tres relacionadas con el cálculo del volumen: una es la fórmula del volumen de una pirámide truncada que aparece en el Papiro de Moscú ; otra es el

conocimiento de Demócrito (500 a.C.) de que el volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura y la

demostración de este hecho realizada por Eudoxo (409-356 a.C.); la tercera se refiere a las discusiones de Euclides acerca del volumen de los prismas y pirámides en el Libro XII de Los Elementos.

Eudoxo demuestra la fórmula de Demócrito por un método que él llamaba de exhaución, grosso modo puede decirse que tal método

consistía en calcular exhaustivamente áreas y volúmenes, descomponiendo las figuras o cuerpos en regiones o partes más

sencillas de áreas o volúmenes conocidos.

Euclides (323-285 a.C.) describe dicho método de manera más rigurosa en el Libro

X de Los Elementos, donde lo demuestra y lo llama lema de exhaución. En el Libro

XII lo usa para demostrar fórmulas con las cuales obtiene el volumen de prismas y


27

pirámides. El método de Eudoxo puede considerarse un antecedente del cálculo

aunque no usa explícitamente una teoría de los límites (Kline, 1990, pág. 50).

La mayor parte de las fórmulas contenidas en el Libro XII de Los

Elementos era conocida por los geómetras de los valles del Eufrates y el Tigris, la importancia del trabajo de Euclides respecto al concepto volumen, estriba en la organización, formalización y demostración de

estos resultados.

Más adelante, Arquímedes (250 a.C.) demuestra, usando también el método de exhaución, muchos resultados nuevos, los cuales

descubre a través de lo que él denomina El Método. Éste procedimiento aparece explicado y ejemplificado en un manuscrito

hallado en el siglo XIX. Una de las razones que hacen tan interesante este hallazgo es que en ese documento se muestra cómo obtenía Arquímedes sus resultados, mientras que, en general, los griegos

acostumbraban exponer sus productos pulidos y terminados, demostrando su validez, pero sin revelar sus procesos de análisis y pensamiento para descubrirlos.

El método de Arquímedes no puede explicarse en unos renglones, se trata de un método mecánico que involucra pesos y centros de gravedad. En el caso del cálculo del volumen de, por ejemplo, un

cuerpo X, se utilizan otros dos cuerpos B y C tales que se conocen sus volúmenes, además de B se conoce también su centro de

gravedad. Como se desprende de esta breve descripción, Arquímedes calcula un volumen desconocido en términos del volumen de otros

cuerpos conocidos.

Estas técnicas sofisticadas permiten a Arquímedes encontrar áreas y volúmenes de figuras y cuerpos más complicados que los

considerados por Eudoxo. Para demostrar sus resultados, Arquímedes utiliza también el método de exhaución. Un ejemplo de los resultados obtenidos por Arquímedes, que pone de manifiesto la

potencia de su sistema es el siguiente: el volumen de una esfera es cuatro veces el del cono que tiene como base un gran círculo de la esfera y altura igual al radio.

Pero no sólo en el mundo occidental se encuentran evidencias relativas a la resolución de problemas de volúmenes. Se sabe que en el siglo III d.C., los chinos ya conocían la fórmula para calcular el

volumen de una pirámide truncada y la habían demostrado por un método puramente geométrico que consistía en dividir la pirámide en

28

un paralelepípedo central, cuatro pirámides cuadrangulares rectas y cuatro prismas triangulares. Para esta demostración usaban la

fórmula de la pirámide cuadrangular: haV 2

3

1 , que también habían

demostrado (ver van der Waerden, 1983).

A partir de este punto no se encuentran resultados relacionados con

este concepto, sino hasta la época de Tartaglia (1499-1557) quien calcula el volumen de un tetraedro a partir de la longitud de sus aristas.

Alrededor de 1544, los escritos de Arquímedes se popularizan gracias a su edición en griego con una traducción al latín e inspiran a autores de la época como Kepler y Galileo. A pesar de esa popularidad

ellos desarrollan sus propios métodos de integración y rechazan el rigor matemático de la demostración arquimediana que se basaba en una reductio ad absurdum. Según Boyer (1989) durante el Medioevo y

aún en el Renacimiento, se despreciaba un poco el método de exhaución. No había tanto interés en el rigor de las demostraciones

como en la búsqueda de un método de descubrimiento que condujera a nuevos resultados.


29

Kepler pensó en la esfera como si estuviera compuesta de pirámides con vértice

en el centro de la esfera y bases de áreas B1, B2, B3... infinitésimalmente cercanas a

la superficie.

B2

B3

B1

Volumen = 3213

1

3

1

3

1rBrBrB

= 3213

1BBBr

= r3

1(superficie del área)

Figura 2.1 El cálculo del volumen de una esfera de Kepler

(Baumgart, 1989, pág. 408).

En 1615 Johann Kepler dedica su Nova stereometria doliorum vinariorium (Nueva geometría sólida de barriles de vino) al cálculo del

volumen de sólidos de rotación de superficies. Algunos de estos sólidos ya eran conocidos en ese entonces, y tenían nombres, mientras que a otros Kepler los bautiza (Struick, 1969, pág. 192). El

método de Kepler para obtener volúmenes no era muy riguroso, él estaba interesado en contar con los resultados y evitaba los puntos álgidos de la demostración formal. Basaba la obtención de sus

soluciones en un cierto ‘principio de continuidad’. Obtuvo la fórmula para el volumen de una esfera al considerarla compuesta por

pirámides con vértices en el centro y bases infinitesimalmente cercanas a la superficie (ver Figura 2.1).

30

El interés de Kepler por los barriles de vino surge de cuestiones comerciales, ya que

los vendedores de vino tenían métodos para medir la capacidad de sus barriles que

no le resultaban convincentes. Ellos utilizaban una vara que atravesaban en el barril y la longitud DS (ver Figura 2.2) que quedaba dentro determinaba el precio a

pagar por el vino (Brannan, 1989, pág. 424).

S

D

S

D

Figura 2.2 La medición de barriles de vino

(Brannan, 1989, pág. 424).

La importancia del cálculo de volúmenes en las transacciones comerciales de todos los tiempos, para evitar trampas entre los vendedores y los compradores no es un asunto superfluo.

El uso de medidas de volumen nos parece actualmente muy sencillo, fácil de controlar y sin motivos para dudas o desacuerdos. Pero ese uso cotidiano,

practicado por muchas generaciones, durante muchos siglos, en comunidades a

veces divididas por fuertes antagonismos, ha complicado un tanto la cuestión

(Kula, 1980, pag.57).

Algunos autores (ver por ejemplo Boyer, 1989) consideran que el

trabajo más importante del Renacimiento en cuanto al cálculo en general, y al volumen en particular, es el publicado en 1635:

Geometria indivisibilibus continuorum de Bonaventura Cavalieri, antiguo alumno de Galileo. Su libro es considerado por algunos autores el primer libro de texto sobre lo que ahora se conoce como

métodos de integración.

El método de Cavalieri para obtener volúmenes consiste en medir mediante la comparación de lo que él llama los indivisibles; son los sólidos que se forman al cortar el cuerpo con planos paralelos a su

base. La idea de Cavalieri era la de considerar todos los planos paralelos a la base que cortan al cuerpo, en consecuencia se forman

sólidos infinitamente delgados. El teorema de Cavalieri para volúmenes puede enunciarse así:


31

Si entre dos planos paralelos cualquiera se encuentran dos cuerpos sólidos y si secciones paralelas a las bases y a distancias iguales de

ellas están siempre en una razón dada, entonces los volúmenes de los sólidos están también en la misma razón.

En particular, si se tienen dos o más cuerpos con la misma altura h, tales que al ser intersectados por cualquier plano paralelo a sus

bases las figuras A1 y A2 que determinan tales intersecciones (ver Figura 2.3) tienen la misma área, entonces los sólidos tienen el mismo volumen.

h

A1

A2

Figura 2.3 Ejemplo del uso del teorema de Cavalieri.

A mediados del siglo XVII en la teoría de los infinitésimos, precursora del cálculo, se concentran los cálculos para obtener áreas, volúmenes

y centros de gravedad. En esta época vivieron Fermat, Roberval y Torricelli. Este último, aunque más reconocido como físico, tiene un

trabajo publicado en 1643: De solido hyperbolico acuto. En éste se encuentra el cálculo del volumen que resulta finito de un sólido de revolución de extensión infinita. Algo sorprendente en aquella época

(ver Struick, 1969, pág. 227).

32

Puede apreciarse en este recorrido, que la historia del concepto matemático volumen ha regresado a la historia del cálculo, de hecho,

se observa que se ha vinculado con las ideas precursoras del concepto integral, el cual fue formalizado en el siglo XVII.

2.1.2 Después de Newton y Leibniz

La historia del concepto volumen enredada con la del concepto integral llega en este punto a la época de Newton (1642–1727) y de

Leibniz (1646–1716) quienes son considerados los inventores del cálculo, aunque no será sino hasta el siglo XIX que sus resultados

adquieran el rigor matemático con el que ahora se conocen. Si bien no fueron los primeros en resolver los problemas clásicos del cálculo, como obtener la cuadratura de curvas y encontrar tangentes, ni en

darse cuenta que ambos procesos son inversos, sí fueron los primeros en reconocer la importancia de este hecho. La contribución principal de Newton y Leibniz es la de extender estos resultados y hacerlos

universales (ver Boyer, 1989 y Kline, 1990).

El cálculo se fundamenta en dos conceptos inversos: la derivada y la integral. Este último estaba ligado con varios problemas, algunos de

los cuales se refieren a la obtención de longitudes de arco, áreas de regiones en superficies y volúmenes de cuerpos.

Por medio de la integración es posible calcular el volumen de un cuerpo acotado por dos superficies y obtener el volumen de sólidos de

revolución. En estos procedimientos, la integración se lleva a cabo sobre diferentes tipos de conjuntos. Para comentar y analizar estos procesos considérese la siguiente definición (tomada de Marsden y

Tromba, 1991, pág. 330):

Sea D una región en el plano, y R un rectángulo que contiene a D. Sea

f : R , continua y f * la función tal que:

),(* yxf Dyxsiyxf ),(),,( y ),(* yxf 0 Dxsi

defínase D

dAyxf ),( = R

dAyxf ),(* .

Con esta definición, si f(x,y) 0 en D, el valor de la integral

corresponde al volumen de la región tridimensional entre la gráfica de

f y D (ver Figura 2.4).


33

Figura 2.4 Integral de superficie (Marsden y Tromba, 1991, pág. 331).

El ejemplo anterior pretende mostrar cómo en el estudio formal del cálculo también suceden procesos de cálculo bidimensionales, esto es, se centra la atención en dos parámetros que involucran tipos de

unidades distintos, uno de longitud y otro de área, los cuales permiten determinar el volumen.

El desarrollo del concepto volumen, como parte del conocimiento matemático, siguió aunado al del cálculo. Los fundamentos de esta

rama de las matemáticas despertaron el interés de matemáticos del siglo XVIII tales como Lagrange y, de manera más importante, Cauchy y Bolzano.

Weierstrass, en el siglo XIX, es quien traduce las expresiones “tan

cerca como se quiera” y similares en expresiones en términos de distancias o valores absolutos representados con las letras épsilon y delta tal y como ahora se utilizan.

Durante los siglos XIX y XX, la teoría de funciones de una o más variables se desarrolla a causa del intento por comprender y clarificar

una variedad de descubrimientos extraños hechos en el siglo XIX; por ejemplo, funciones continuas pero no diferenciables, funciones con

34

derivadas acotadas que no son Riemann integrables y funciones no integrables que son límite de sucesiones de funciones integrables.

La investigación en teoría de funciones enfatizó la de la integral porque parecía que

la mayoría de las incongruencias podrían ser resueltas extendiendo esa noción. Por

tanto, en un sentido amplio puede decirse que este trabajo es la continuación

directa del trabajo de Riemann, Darboux, De-Bois-Reymond, Cantor y otros (Kline, 1990, pág. 1040).

Una de las primeras extensiones a las que se refiere Kline es la integral de Stieltjes y la otra, en una dirección diferente, la integral de

Lebesgue. La teoría del contenido (el interior y el exterior) y, posteriormente, la teoría de la medida se introdujeron para extender

la noción de integral. Peano y Jordan trabajaron de manera considerable e hicieron contribuciones importantes en relación con las ideas de contenido.

Peano caracteriza el contenido interior de una región R como la mínima cota superior de todas las regiones poligonales contenidas en

la región R y el exterior como la máxima cota inferior de todas las regiones poligonales que contienen a R, estas definiciones permitían

extender la noción de integral de Riemann. Jordan va un poco más lejos al definir el contenido de una región en

un espacio unidimensional en términos de una unión de intervalos y en un espacio de dimensión dos en términos de una unión de rectángulos.

Más adelante, Borel usa estas ideas y algunos resultados de la teoría

de conjuntos de Cantor para definir un conjunto medible en términos de uniones numerables de conjuntos medibles en la recta real. Su trabajo supera al de Peano y Jordan, pero el paso final para presentar

la teoría de la medida, tal y como se conoce hoy, lo da Lebesgue (ver Kline, 1990, págs. 1041-1042).

Aunque la integral de Lebesgue también ha sido objeto de generalizaciones en distintas direcciones, para el caso del concepto

matemático que se estudia en este trabajo basta esta teoría: el volumen es un ejemplo de una medida en un espacio medible de dimensión tres. Por tanto, el trabajo de Lebesgue puede considerarse

como el último eslabón de la cadena que representa el desarrollo histórico del concepto matemático volumen.

Sin embargo, desde este punto de vista, el concepto volumen pierde su identidad al grado de que es posible estudiarlo como una medida,

sin distinguirlo de la longitud o del área. En cierto sentido esto empobrece tales conceptos, particularmente al de volumen que como


35

magnitud y concepto matemático contiene particularidades que lo enriquecen. Una de estas singularidades se desprende del tercer

problema de Hilbert, el cual se describe en la sección siguiente.

2.1.3 La medición del volumen y el tercer problema de Hilbert

Hilbert observa que desde los tiempos de Euclides el volumen de una pirámide había sido calculado usando un proceso de límite bastante

complicado. La esencia del problema es justificar el uso de este proceso de límite ‘superfluo’ (comparado con lo que ocurre en geometría plana), y demostrar que, sin el uso de

tal procedimiento, no se puede construir una teoría de volúmenes para poliedros

(Boltianskii, 1978, pág. 1).

Hilbert advierte que en geometría plana, una vez obtenido el área del rectángulo, el área de cualquier figura poligonal puede ser calculada sin recurrir a un proceso de límite; siempre es posible partirla en un

número finito de pedazos y reacomodarlos para obtener otra figura poligonal cuya área es conocida, esto es descomponerla en pedazos y

recomponerla formando otra figura. Al procedimiento de dividir una figura poligonal en un número finito

de figuras poligonales y volverlas a acomodar para formar otra, se le conoce como equidescomponibilidad. La figura original y la obtenida finalmente se dice que son equidescomponibles. El resultado general

que relaciona esta definición con el área dice: dos figuras poligonales equivalentes, en el sentido que tienen la misma área, son

equidescomponibles y viceversa. El resultado anterior tiene una aplicación importante ya que, para

calcular el área de cualquier figura poligonal, ésta puede descomponerse adecuadamente en otra figura con la misma área.

Una vez conocida la fórmula para encontrar el área del rectángulo, por equidescomponibilidad se obtiene la de los triángulos y, como todas las figuras poligonales pueden dividirse en triángulos, una vez

conocida el área del rectángulo, es posible calcular el área de cualquier figura poligonal.

36

Al revisar la historia del concepto volumen, algunos matemáticos se dieron cuenta que el método de equidescomponibilidad para calcular

volúmenes no parecía aplicable siempre en tres dimensiones. Todos los que obtenían el volumen de un tetraedro, lo hacían a través de un proceso de límite. La pregunta natural era entonces si esto se debía a

mala suerte de no encontrar cómo descomponer el tetraedro y reacomodar las piezas para obtener otro cuerpo de volumen conocido,

o se debía a que la generalización en tres dimensiones del resultado para polígonos no era válida. Esto es ¿existen poliedros equivalentes, es decir, con el mismo volumen, que no son equidescomponibles?

Otra manera de plantear el mismo problema es la siguiente: exhibir

dos tetraedros con bases equivalentes y alturas iguales que de ninguna manera puedan descomponerse y reacomodarse para formar dos tetraedros congruentes. Este planteamiento es, precisamente, el

tercer problema de Hilbert, resuelto por Dehn. No hay manera de demostrar la fórmula general para obtener el volumen de una pirámide usando los métodos de descomposición que funcionan en el

caso de las áreas.

Este resultado tiene un efecto en la educación secundaria, dicha fórmula no puede formalizarse más que a través de un proceso de límite. Boltianskii (1978) llama la atención sobre esta situación y

comenta que de los 23 problemas propuestos por Hilbert, sólo el tercero está relacionado con la enseñanza de la geometría en secundaria. Sin embargo, aclara que la inclusión de este problema

por parte de Hilbert, no responde sólo a sus intereses didácticos, sino a que preveía que el estudio de este problema iniciaría el desarrollo de

una teoría de la equidescomponibilidad de poliedros. Por cierto, Hilbert no se equivocó, su conjetura, planteada en 1900, fue probada por Dehn ese mismo año. A partir de allí, la teoría mencionada ha

tenido un desarrollo considerable.

Como se puede observar, el problema de Hilbert exhibe una particularidad del concepto volumen si se le compara con el área y pone de manifiesto la riqueza y complejidad de ese concepto. Así

mismo, muestra cómo el concepto volumen, a través de este problema, origina toda una teoría que amplía el conocimiento matemático universal.

2.2 El concepto volumen en las matemáticas de la actualidad


37

Existen varias posibilidades para definir el concepto matemático volumen, una de éstas es hacerlo de manera axiomática:

Sea M un conjunto de subconjuntos de 3.

Sea v una función real definida sobre M tal que: a) La función v es no negativa.

Esto es, si P , entonces v(P) es mayor o igual que cero. b) La función v es aditiva.

Esto es, si P y Q y no tienen ningún punto interior común,

entonces PQ y v(PQ) = v(P) + v(Q).

c) La función v es invariante bajo traslaciones (desplazamientos

paralelos).

Esto es, si P y P’ es la imagen de P al aplicarle una traslación,

entonces P’ y v(P) = v(P’). d) La función v es normalizada.

Es decir, el cubo unidad Q y v(Q) =1.

Una función con las propiedades descritas en a), b), c) y d) se llama volumen.

Al proponer una definición de manera axiomática es necesario mostrar la existencia de un conjunto M y una función v que

satisfagan las propiedades enumeradas. Una demostración de este tipo queda fuera de los alcances del presente trabajo.

Otra manera de definir el volumen es proceder de manera constructiva como lo hace Boltianskii (1978). Él considera un

mosaico tridimensional, es decir, una descomposición del espacio en cubos congruentes donde

el k-ésimo mosaico es el sistema de cubos en el que es descompuesto el espacio por los planos x = p/10k, y = q/10k y z = r/10k, donde p, q y r toman todos los valores

enteros. Esto permite considerar los límites

donde ak es el número de cubos del k-mosaico contenidos en P y bk es el número de

cubos del k-mosaico que tienen puntos en común con P (Boltianskii, 1978, págs.

42–43).

k

k

kk

k

k

blimPv

alimPv

33 10)(,

10)(

38

Si ambos límites coinciden se dice que P es medible o cubicable. Al número así obtenido se le denota v(P) y se le llama el volumen de P.

Con esta definición, los axiomas a a d pueden ser probados como

teoremas; demostraciones que no se incluyen en este trabajo. Una función que satisface las propiedades a a d se dice que es

positiva, aditiva, invariante y normalizada. De acuerdo con esta nomenclatura, una tercera manera de definir el concepto matemático

volumen es considerar una clase de sólidos cubicables , en la cual uno de los cubos es tomado como unidad de volumen. Una función

positiva V: + se llama volumen si es aditiva e invariante.

Existen varias maneras de elegir a la clase . Una posibilidad es restringirse a la clase de poliedros sólidos; otra puede ser considerar

la clase de todos los conjuntos Lebesgue medibles en un espacio de dimensión tres, o alguna otra colección de conjuntos de un espacio de dimensión tres.

Para los fines que interesan en este trabajo y, por ganar en claridad lo

que se pudiera perder en el rigor, basta con tener una idea menos general, como la que utilizan Antoniovskii et al. (1990). Estos autores, inician con una colección de sólidos que denominan

“cubicables”. Entre estos sólidos se elige un cubo E, como patrón, al cual se le denomina cubo unidad de volumen. Cada sólido cubicable

A se asocia con un número positivo mediante la función V(A) llamado volumen del sólido. La función V debe cumplir las siguientes propiedades:

1. Normalización: V(E) = 1. El volumen del cubo unidad es 1. 2. No negatividad: V(A) > 0. El volumen es una función positiva.

3. Congruencia: Si A=B, entonces V(A) = V(B). Si dos sólidos son congruentes entonces sus volúmenes son iguales.

4. Aditividad: Si A=BC, y B C = entonces V(A) = V(B) + V(C). Si un sólido está compuesto de dos sólidos ajenos B y C, entonces el

volumen del primero es la suma de los volúmenes de B y de C.

Esta última definición del concepto matemático volumen, con las cuatro propiedades, tal y como se han enunciado en los dos párrafos

anteriores, son elementos que se integran a la red conceptual expuesta en el capítulo 6, en el cual se profundiza en los aspectos mencionados y en algunas implicaciones de esta definición para la

enseñanza. En ocasiones, en lugar de la propiedad de no negatividad se utiliza la

propiedad equivalente (ver por ejemplo, Boltianskii, 1978):


39

2’ . Monotonía: Si A B, entonces V(A) < V(B).

El concepto volumen, considerado como parte de los conocimientos

de la física, tiene significados de naturaleza diferente a los expuestos en los párrafos anteriores. Estas ideas se comentan en el apartado siguiente.

2.3 El concepto volumen en la física

La revisión de algunos libros de física muestra que este concepto se define de maneras diferentes. Por ejemplo, Espino (1942) menciona en su introducción que una propiedad de la materia es su extensión y

aclara que todo cuerpo “está dotado de ciertas dimensiones, pudiendo por lo tanto ocupar un lugar bien determinado en el espacio, lugar

que es llamado volumen [...]” (Ibid., págs. 3 y 4). Otros hablan del volumen como una magnitud y definen esta última como “todo aquello que puede medirse” (Félix et al., 1985, pág. 31).

La primera definición coincide con lo que Piaget, Inhelder y Szeminska (1970) denotan “volumen como espacio ocupado” (ver

capítulo 5). Considerar al volumen como una magnitud desde la perspectiva de la

física, es similar a la forma en la que en las matemáticas se define como una medida. El concepto físico de volumen pierde su individualidad; se convierte en una de tantas magnitudes como peso,

masa, presión, entre otras. Sin embargo, en la física el volumen también tiene particularidades que no deben dejarse de lado. Las

siguientes secciones se refieren a las relaciones con otras magnitudes, así como a las diferencias entre ellas, poniendo énfasis en la individualidad del concepto volumen.

2.3.1 Volumen y capacidad

La capacidad es una propiedad que tienen ciertos cuerpos. Como en el caso del volumen o cualquier otra magnitud, se requiere de un conjunto de objetos susceptibles de ser medidos respecto de esa

magnitud. En relación con la capacidad, tales objetos son los

40

recipientes o contenedores; usando un lenguaje coloquial, la capacidad de estos objetos puede definirse como: “lo que les cabe”, o

bien, “lo que contienen”. De forma un poco más precisa, la capacidad de un recipiente es igual

al volumen del objeto moldeable (cuerpo o unión de cuerpos, líquido o gas) que llena al recipiente.

El estudio del concepto volumen en la escuela elemental se inicia con actividades de llenado de cajas. Los alumnos construyen en el interior

de una caja un objeto “con la misma forma” que el interior del recipiente con cubos que representan unidades de medida del

volumen (tratamiento unidimensional). Por medio de este tipo de actividades y el conteo de las unidades de medida se sustenta el cálculo del volumen de los paralelepípedos

como el producto de las longitudes: largo, ancho y alto (tratamiento tridimensional).

En este acercamiento didáctico no se distingue, de manera clara, que la capacidad de la caja coincide con el volumen del cuerpo construido

en su interior. Por ello, es frecuente que los niños y adultos afirmen que el volumen de una caja es igual a su capacidad. Esta situación puede conducir a emplear los términos capacidad y volumen como

sinónimos y a que no se distinga la medida del volumen del propio recipiente como algo diferente a la medida de su capacidad.

Por tales razones, los diferentes significados de capacidad pueden formar parte del campo semántico personal del concepto volumen en

un individuo. Las relaciones entre el concepto volumen y el concepto capacidad forman parte del significado enciclopédico del primero.

2.3.2 Volumen y masa

Considerar al volumen como la cantidad de unidades que forman un

cuerpo, puede llevar a definirlo como la cantidad de materia que lo forma. “¿Podríamos afirmar que la masa de un cuerpo es la cantidad

de materia que esta posee?” (Felix et al.1985, pág. 101). Es fácil ver que una afirmación de esta naturaleza no tiene mucho sentido, pues si

bien es cierto que cuanta más materia tiene un cuerpo mayor es su masa, hay que

tener en cuenta que la masa es una propiedad de la materia y no la materia en sí.

(...) Y esta diferencia entre ambos conceptos está más que justificada cuanto que se

sabe actualmente que la masa de un cuerpo puede variar con su velocidad, cosa que no hace la materia y que, por otra parte, la masa no se conserva ya que puede transformarse en energía, en tanto que la materia sí lo hace [...] (Ibid.).


41

Como se observa no hay manera de concluir que el volumen interno de un cuerpo, entendido como la cantidad de unidades de material

que lo forman, sea equivalente a la masa, ni a la materia. Y de existir una relación entre el volumen de un cuerpo y su masa tal vez ésta se encuentre vinculada con otras propiedades de los cuerpos, las cuales

se discuten en los siguientes apartados.

2.3.3 Masa y peso

La masa gravitatoria, o simplemente masa, es una característica de los cuerpos que le permite atraer otros cuerpos con mayor o menor intensidad. Como los cuerpos están formados por partículas, la masa

del cuerpo es la masa total de las partículas que lo forman. La unidad de masa es el kilogramo y corresponde a la masa de un cilindro de

platino iridiado. El peso de un cuerpo es la fuerza con la que es atraído por la Tierra y

su unidad de medida es el Newton, que corresponde a la fuerza gravitatoria que a un kilogramo de masa le produce una aceleración de un metro por segundo cada segundo. Sin embargo, al pesar un

objeto, en la báscula se observa una escala en kilogramos, ya que, el peso de un cuerpo en la Tierra es igual a su masa por la aceleración

de la gravedad, pero como ésta es una constante se desprecia, considerando solamente la masa y sabiendo de manera implícita que el peso correspondería al producto de la masa por la constante de

atracción gravitacional: 9.81 m/s2.

Esto ha provocado una confusión entre estos dos conceptos físicos y esto a su vez puede ser causa de confusiones con el concepto

volumen. En la red conceptual se incluye al peso como una de las propiedades de los cuerpos con las que está conectado el concepto

volumen y a través del componente de comunicación y el análisis de los datos obtenidos se busca evidencia respecto a las ideas de los maestros sobre la relación peso–volumen.

2.3.4 El principio de Arquímedes

A pesar de que Freudenthal (1983, pág. 399) duda en considerar como un elemento esencial en la constitución del objeto mental

42

volumen al principio de Arquímedes, el hecho de que en los libros de texto de primaria de uso actual se incluyan actividades relacionadas

con esta propiedad y las evidencias de que algunos niños y algunos adultos adjudican el cambio en el nivel del agua, al sumergir un objeto en ella, al peso, obliga a comentar acerca de este principio que

dice lo siguiente: Todo cuerpo que se encuentra dentro de un fluido (líquido o gas), experimenta un empuje vertical ascendente, igual al peso del fluido desalojado por dicho cuerpo

(Espino, 1942, pág. 47).

De acuerdo con este principio todo cuerpo que se sumerge en un

líquido experimenta un empuje vertical ascendente y, por tanto, si este empuje es menor que el peso del objeto, este flota en la

superficie. Si ambas fuerzas son iguales, el cuerpo permanece donde es colocado sin hundirse ni elevarse. Si el peso del cuerpo es mayor que la fuerza que experimenta, el cuerpo se hundirá. Las aplicaciones

de este principio en la fabricación de vehículos marítimos son evidentes, aunque deben considerarse algunas otras variables para lograr que un barco no se hunda.

Otra aplicación del principio de Arquímedes es permitir la medición

del volumen de un cuerpo de manera indirecta al sumergirlo en agua, el líquido lo empuja hacia arriba con una fuerza cuyo valor en gramos, representa al mismo tiempo el volumen en centímetros

cúbicos que dicho cuerpo tiene. Un centímetro cúbico de agua pesa aproximadamente un gramo. De manera que, si se pesa el agua

desalojada por un cuerpo, el resultado en gramos corresponde al volumen en centímetros cúbicos del cuerpo.

Cuando se mide el volumen de un objeto utilizando inmersión lo que se hace es medir el volumen de agua que tal cuerpo desaloja. Basándose en el principio de impenetrabilidad, dicho volumen

corresponde al volumen como espacio ocupado del objeto en cuestión. Sin embargo, esto no es claro para muchos niños y adultos, quienes

creen que el peso del cuerpo determina el cambio en el nivel de líquido.

2.4 Vínculos de los resultados expuestos con la

didáctica del concepto volumen

Como ya se mencionó en el primer capítulo, para Freudenthal es importante hacer un análisis fenomenológico–histórico de los

conceptos para evitar la anti-inversión didáctica. De acuerdo con esta idea, se han reseñado algunos episodios claves en la historia del


43

desarrollo del concepto volumen, hasta llegar a la forma como se le considera en la actualidad en las matemáticas.

En este seguimiento se han encontrado elementos para los cuales sería relevante hacer una reflexión más profunda debido a que de

alguna manera remiten a indicaciones hechas por los investigadores interesados en la educación matemática para la enseñanza de este

concepto.

En primer lugar, al hablar del cálculo del volumen de la pirámide truncada, se señaló que en realidad los egipcios no requerían conocer esta magnitud. Esto es, se tiene que el volumen, como parte del

pensamiento matemático, es un concepto sobre el que se reflexiona no sólo en situaciones en las que se necesita calcularlo para resolver

un problema real, sino también como una característica abstracta de los cuerpos.

Actualmente los planes y programas de estudio y los libros de texto de matemáticas (ver capítulo 3) hacen hincapié en actividades de

vaciado y llenado de recipientes de distinta forma, de modelado con plastilina y de trabajo con cajas de todos tipos. Se invita a los niños a que busquen y observen en su entorno cuerpos distintos y a

reflexionar en torno a cualidades abstractas de lo que perciben, tales como la longitud, el área, la capacidad y el volumen.

Otro hecho importante de reflexión es que los cálculos realizados por

los egipcios y los babilonios no eran siempre exactos; no les interesaba ni siquiera hacer una distinción entre ellos mientras que resultaran útiles. Esto lleva a pensar acerca de una recomendación

didáctica tomada en cuenta en la actualidad para acercarse a la medición de cualquier tipo de magnitud: iniciar con comparaciones

que sean fáciles de determinar perceptivamente y, posteriormente, enfrentar situaciones en las que haya que afinar los instrumentos de medición para poder comparar. Se trata de centrar la atención de los

estudiantes en la necesidad de fraccionar la unidad de medida para mejorar la aproximación y de proponerles situaciones en las cuales no se requiere un cálculo exacto (ver por ejemplo Bright, 1976 y

capítulo 3 de esta tesis).

La idea de calcular un volumen desconocido usando aproximaciones o comparaciones con otros cuerpos de volúmenes conocidos era un

44

método usado por científicos tales como Arquímedes y Kepler con excelentes resultados. El uso de esta estrategia de cómputo se ha

tornado en la actualidad en una sugerencia didáctica defendida por muchos educadores. En el caso de transformar cuerpos por medio de las transformaciones de romper y rehacer para obtener cuerpos de

volúmenes conocidos, no debe perderse de vista que ello no siempre es posible, como conjeturó Hilbert y demostró Dehn.

Antes de contar con resultados formales que transforman integrales de volumen en integrales dobles, Eudoxo y Cavalieri, entre otros,

intuyeron que un volumen podía considerarse como una suma infinita de áreas.

Como se expone con detalle en el capítulo 5, Vergnaud (1983) ha señalado la dificultad de esta reconceptualización. Al individuo se le

ha preparado para comprender la medición de volúmenes con unidades cúbicas y, posteriormente, se requiere que lleve a cabo una nueva conceptualización, considerar el volumen como el producto del

área de la base por la altura, o bien, como el producto de largo por alto por ancho.

Otras consideraciones rebasan las fronteras de la educación básica,

por ejemplo, el trabajo de Riemann o el de Lebesgue apuntan a procesos de formalización que son parte de cursos de nivel

universitario. Al trabajar con cualquier magnitud, como ya se ha dicho, es

necesario referirse a un conjunto de cuerpos susceptibles de ser medidos respecto a esa magnitud. En el caso del volumen, este conjunto lo forman cuerpos denominados en esta tesis: objetos

volumen–medibles, usando la terminología de Rouche (1992).

En la escuela primaria estos objetos juegan un papel primordial ya que el objeto mental que se pone en juego depende del objeto a medir. Aunque en los capítulos 5 y 6 se abunda sobre este tema, es

pertinente mencionar que para la educación primaria tal conjunto debe ser amplio y debe contener cuerpos con distintas características:

cuerpos sólidos cerrados, cuerpos huecos cerrados, recipientes sin tapa y con tapa, llenos y vacíos. Esto permitirá trabajar con diferentes objetos mentales asociados con el concepto volumen. Sin embargo,

para el trabajo con fórmulas en primaria bastará con estudiar el caso de algunos de los poliedros y prismas más comunes.

El problema de la unidad de medida se trata en el capítulo 5; en el cual se exponen resultados obtenidos por medio de estudios con

niños. No obstante, desde un punto de vista cognitivo, para que el


45

niño comprenda y use apropiadamente el concepto unidad se requiere que la capacidad de concebir una región como una unión de

subregiones y, además, como una unión de subregiones con la misma medida.

El párrafo anterior está relacionado con los axiomas b (aditividad) y d (normalización) mencionados en el apartado 2.2 y aunque para fines didácticos no se requiere hacer explícitos tales postulados –ni siquiera en la secundaria– es importante que el objeto mental unidad

de volumen se vaya desarrollando por medio de tareas en las cuales estos axiomas se encuentren de forma implícita. Tareas como la

construcción de cuerpos con cubos y el conteo de unidades, apuntan en esta dirección.

Los axiomas c (invarianza) y d (normalización) así como la

equidescomponibilidad están relacionados con los problemas de conservación del volumen, estudiados inicialmente por Piaget (ver capítulo 5). Un punto de vista para estudiar la invarianza es a través

de lo que en matemáticas se denomina isometrías, por ejemplo, las traslaciones y las rotaciones. Sin embargo, otras transformaciones

como las de romper y hacer (Freudenthal, 1983) y las de moldear juegan un papel principal al estudiar la conservación de esta magnitud.

La problemática en torno al tercer problema de Hilbert induce un reto educativo, ¿cómo trabajar las fórmulas de poliedros en el salón de clases? Para el paralelepípedo rectángulo y el prisma triangular no

hay problema, ¿pero y con las pirámides? Cuando los niños han trabajado en sus clases con la deducción de la fórmula del área del triángulo a partir de la del rectángulo, puede ocurrírseles que para

calcular el volumen de una pirámide puede procederse de manera análoga: obtenerla a partir de la fórmula del paralelepípedo

rectángulo, ¿cómo explicarles que esto es imposible?

Como se puede deducir de los párrafos anteriores, las propiedades que definen al concepto volumen, desde un punto de vista puramente

matemático, deben ser inseparables de las actividades y situaciones que se plantean a los estudiantes de primaria y secundaria.

Respecto al concepto volumen en la física, también se encuentran

vínculos con su didáctica. La confusión entre la capacidad y el

46

volumen se relaciona con las dificultades que emergen en los procesos de enseñanza y de aprendizaje.

La utilización de la inmersión para medir volúmenes causa problemas debido a que el cambio en el nivel del líquido se asocia con el peso del

objeto sumergido y no con su volumen. Esta confusión puede deberse al procedimiento de medición en el cual está implicado el principio de

Arquímedes, en cuyo enunciado aparece el peso. También, es posible que se deba a una intuición equivocada puesta de manifiesto por muchos niños: “si pesa, se sume más”.

Otro problema relacionado con la inmersión es el empleo de una escala lineal para medir el volumen. Es decir, se usan recipientes graduados con escalas lineales en las cuales se asocian longitudes

con unidades de volumen o capacidad. Esta transformación propicia dificultades, tal y como se pudo de manifiesto en los talleres con los maestros (ver capítulo 9).

Referente a las relaciones entre el concepto matemático volumen y el concepto físico de volumen Potari y Spiolotopoulou (1996) han subrayado las recomendaciones de otros expertos de integrar la

enseñanza de las matemáticas y la de las ciencias (física, química y biología, principalmente). Aunque ellos afirman se ha hecho poca

investigación respecto a conceptos comunes de las matemáticas y otras ramas del conocimiento.

Ya se ha mencionado en 1.4, la recomendación de Freudenthal de

aplicar análisis fenomenológico puro antes que cualquier otro para iniciar un estudio en educación matemática. En este sentido, la construcción del componente de modelos de competencia formal,

expuesto en este capítulo, es el resultado de la aplicación de esta recomendación. También, se ha mencionado que este componente es un marco de referencia en sí mismo y puede ser un punto de partida

para futuras investigaciones.

Algunos de los resultados expuestos en estas páginas permiten analizar los modelos de enseñanza desde la perspectiva de

competencia formal, como se ve en el capítulo 3.

Saiz Roldan Mariana LCapítulo2

Documents

Transcript of Saiz Roldan Mariana LCapítulo2