INTRODUCCION

En el presente reporte se hace referencia a una práctica queconsta en comprobar la respuesta a la salida de un sistema desegundo orden con una entrada de tipo escalón, el sistema será unodel tipo electrodinámico (RLC) en el cual obtendremos su señal derespuesta a la entrada de una señal de escalón, constara deobtener la señal de subamortiguamiento.

En electrodinámica un circuito RLC es un circuito lineal quecontiene una resistencia eléctrica, una bobina (inductancia) y uncondensador (capacitancia).

Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, segúnla interconexión de los tres tipos de componentes. Elcomportamiento de un circuito RLC se describen generalmente poruna ecuación diferencial de segundo orden (en donde los circuitosRC o RL se comportan como circuitos de primero orden).

Con ayuda de un generador de señales, es posible inyectar en elcircuito oscilaciones y observar en algunos casos el fenómeno deresonancia, caracterizado por un aumento de la corriente (ya quela señal de entrada elegida corresponde a la pulsación propia delcircuito, calculable a partir de la ecuación diferencial que lorige).

DESARROLLO

Para el desarrollo de la práctica necesitamos el uso de lossiguientes materiales:

1. Resistor de 1kΩ (potenciómetro, usado para llegar a unaresistencia de 10Ω)

2. Capacitor de .1ufaradio3. Inductancia (bobina) de 17.7uHenrios4. Generador de señales5. Osciloscopio6. Placa protoboard

Con los primeros elementos armamos un arreglo RLC en serie dondenuestra señal de respuesta en el sistema será el capacitor.

Lo siguiente es usar un osciloscopio para hallar la respuestasubamortiguada que buscamos propia del circuito. Para ellonecesitamos encontrar la función de transferencia del circuito,con los valores de cada elemento manejándolos como los constantesnaturales del circuito. Tenemos que por las leyes de Kirchhoff yOhm la entrada y salida son:

V¿ (t)=Ri (t )+L didt+1C∫i (t )dt

Vout (t)=1C∫i(t)dt

Necesitamos obtener la función de transferencia una vez queconocemos los elementos de entrada y salida y que es lo queconforma a estos. Para tenerlo en términos un poco másmanipulables lo pasamos a términos de Laplace, como todas lascorrientes se consideran iguales dentro del sistema, tenemos que:

Vout(s)

V¿ (s)=

1LCs2+RCs+1

Esta función de transferencia nos confirma que el sistema es desegundo orden pero para poder manipular y encontrar de una maneramás fácil las raíces de la función de transferencia del sistema,hacemos lo siguiente:

L117.7uH

C1.1uf

A

B

C

D

AMFM

+ -

1%

RV11k

Vout(s)

V¿ (s)=

1LC

s2+RL s+

1LC

Así podemos encontrarlas raíces igualando el término deldenominador a cero:

s2+RLs+

1LC

=0

Despejamos s:

s=−RL ±

(√(RL )2

−4 (1) ( 1LC ))2

Tomando el término dentro del radical e igualándolo a cero tenemosque:

RL2

2−4LC=0

Despejamos R

R2=4L2C

Es así como obtenemos nuestro factor de amortiguamiento críticoque es:

RC=2√ LCSi a esta ecuación la dividimos toda en relación a 2L tenemos que:

R2L=

2√LC2L

R2L

=√ 1LC

Este es nuestro ωn

La región de amortiguamiento es:

ε= CCc

= RRc

Por lo tanto R es igual a

R=εRc=ε2LωnPor lo que con la ecuación obtenida del amortiguamiento criticoigualamos las ecuaciones.

εωn=R2L

Bajo el siguiente criterio es como las regiones de amortiguamientose dan dentro de la reacción del sistema.

0<ε<1ε=RRc

CASO SOBREAMORTIGUADO DEL SISTEMA.

ε>1ε= RRc

siemprequeR>1

CASO CRITICAMENTE AMORTIGUADO DEL SISTEMA.

1= RRcR=Rc

CASO SUBAMORTIGUADO DEL SISTEMA.

En esta tabla podemos observar como son los distintos casos parala ubicación de las raíces y es así como tenemos que las raícesque puede tener nuestro sistema pueden llegar a ser complejas yaque alcanza el caso subamortiguado.

∝<ωaLos valores de cada elemento del sistema son: 1 resistor de 1kΩ, 1capacitor de 10uf, 1 inductor bobina de 1mH. El resistor de 1kΩ esun potenciómetro, lo usamos porque es necesario bajar el factordel resistor para poder apreciar la respuesta subamortiguada denuestro sistema

Por lo que la raíz queda:

s=−α±jωa

s=−RL2

± √(RL2−4 (1) ( 1LC ))

2;s=

−R2L

± √(RL 2−4 (1 )( 1LC ))2

;

s=−282485.8757±696544.5078j

Con esto podemos identificar los componentes de la raíz propia delsistema, por consiguiente.

α=−282485.8757yωa=696544.5078

Por lo que siguiendo la ubicación de las raíces complejas tenemoslo siguiente.

Para nuestra simulación se ocupó un software de simulaciónelectrónica Proteus, dándonos los siguientes resultados.

Donde nuestro voltaje de máximo pico resulto de 2.05v

Y al igual usamos Matlab para tener un supuesto de lo que seespera en la respuesta de nuestro sistema esto gracias a lafunción de transferencia propia del sistema.

Es aquí cuando después de obtener la función de transferencia delsistema y efectuar los respectivos cálculos observamos lo que seespera en la respuesta al escalón.

Como podemos observar la respuesta esperada en nuestra simulaciónde Matlab y la de ISIS Proteus son casi iguales.

En nuestro experimento físico esto es lo que tenemos comorespuesta del sistema.

Del presente circuito

CONCLUCIONES

COMO CONCLUSION SE PUEDE DECIR QUR EN UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN ENCONTRANDO EL LUGAR DE LAS RAICES DENTRO DE NUESTRO SISTEMA, ESTOLO HACEMOS MEDIANTE LA ECUACION CARACTERISTICA DEL MISMO (denominador de la función de transferencia), ES ASI COMO SABEMOS QUE EL SISTEMA ES INESTABLE O ES ESTABLE. COMO SE SABE LAS RESPUESTAS SON DIFERENTES PARA CADA ENTRADA; COMO LA ENTRADA FUE EN ESCALON, CONOCIENDO LA UBICACIÓN DEL LUGAR DE LAS RAICES, SE LOGRO QUE NUESTRA RESPUESTA FUESE SUBAMORTIGUADA. GRACIAS A LAS PREDICCIONES QUE NOS OFRECEN LOS SOFTWARE QUE SE USARON, EN UN EXPERIMENTO FISICO ES MAS FACIL SABER QUE ES LO QUE SE ESPERA.