Di r ecci ó n:Di r ecci ó n: Biblioteca Central Dr. Luis F. Leloir, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires. Intendente Güiraldes 2160 - C1428EGA - Tel. (++54 +11) 4789-9293

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Tesis de Posgrado

Predicción numérica de la onda dePredicción numérica de la onda detormenta en el Río de La Platatormenta en el Río de La Plata

Alvarez, José Angel

1973

Tesis presentada para obtener el grado de Doctor en CienciasMeteorológicas de la Universidad de Buenos Aires

Este documento forma parte de la colección de tesis doctorales y de maestría de la BibliotecaCentral Dr. Luis Federico Leloir, disponible en digital.bl.fcen.uba.ar. Su utilización debe seracompañada por la cita bibliográfica con reconocimiento de la fuente.

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Cita tipo APA:Alvarez, José Angel. (1973). Predicción numérica de la onda de tormenta en el Río de La Plata.Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires.http://digital.bl.fcen.uba.ar/Download/Tesis/Tesis_1446_Alvarez.pdf

Cita tipo Chicago:Alvarez, José Angel. "Predicción numérica de la onda de tormenta en el Río de La Plata". Tesis deDoctor. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. 1973.http://digital.bl.fcen.uba.ar/Download/Tesis/Tesis_1446_Alvarez.pdf

PREDICCION NUMERICA DE LA ONDA

DE TORMENTA EN EL RIO DE LA PLATA

Iesis de : JCSE A. ALE/AEZ

Director de Tesis: Profesor RC33;iTO. RED (Texas A 8.-bi

University)

15 de Agosto de 1973

Buenos Aires, 31 d3 octubre de 1973.

rmmsmm nz amos mars

FAC[LÏAD DE CIENCIAS EXACTAS ï NATURALES

En la fecha, la Sub-Comisión de Doctorado delDepartamento de heteorología, presentó un ejemplar delTrabajo de Tesis, realizado por el Licenciado JOSE ANGELALVáhic, para su carrera del Doctorado.

Buenos Aires, 5 de noviembre de 1973.

PAS: al Jurado designado, a fin de que sesirva considerar el presente Trabajo de Tesis.

‘ " JH ,RszTARmAle SECRETARÍA¿“gamma

Buenos Aires, marzo 29 de 1974.

En el día de la fecha, el Jurado designadoprocedió a considerar la presente tesis, resolviendo a­ceptarla.

fi n.fea“ K,me“.

11.

12.

13.

INDICE

INTRODUCCION

1.1 Objetivos

1.2 Antecedentes

CARACTEjISTICAS GEOGRAFICAS DEL AREA EN ESTUDIO

INFLUENCIAS METE RCLOGICAS Y MAREDLOGICAS

LAS CÏDAS DE ÏCÉKBHTA EN EL RIO DE LA PLATA

EL N’ÏCDO-ïUïjlldC D3 PREDICCION DE LAS ONDAS DE TORMENTA

5.1 Las ecuaciones de movimiento y continuidad

5.2 Solución (e las ecuaciones

5.3 Condiciones de contorno

5.h Ecuaciones de preüicción

5.5 Dominioscon costas irregulares

APLICACION DEL METODO NUMERICO AL RIO DE LA PLATA

6.1 Discusión de las ecuaciones y su aplicación

6.2 Condiciones de contorno

6.3 Calidracion del modelo

6.4 Verificacion del modelo

COMPAEACION DEL METODO NUMERICO CON EL METODO EN USO

CONCLUSIONES

AGRADECIMIENTOS

APENDICES

I. Analisis dimensional

II. Diferencias finitas

III. Suavizamientoo filtrado

IV. Condiciones de estabilidad de cálculo

V. Condiciones de contorno para un caso no-rotacional

VI. Costas irregulares

BIBLIOORAFIA

FIGURAS l a 32

TABLAS 1 a 10

//2

1. INTRODUCCION

1.1. OBJETIVOS

Los objetivos de la presente investigación son:

A. Investigar 1a factibilidad de mejorar el presente métodode predic­

ción de los niveles de agua anómalos en el área del Rio de 1a Plata,

mediante el uso de un modelo numérico.

B. Ganar experiencia para aplicar este último método a otras areas de

1a costa argentina.

1.2. ANTECEDENTES

Desde hace largo tiempo se ha reconocido que los cambios bruscos ape­

riódicos del nivel del mar (u onda daetormenta) pueden ser causados por las

grandes variaciones de la presión atmosférica y de los fuertes vientos. La

observación de que el mar interacciona con la atmósfera comoun barómetro

invertido data de 1747 (Proudman, 1953). Sin embargo, es tan solo en este

siglo que se intenta un profundo conocimiento del fenómenoy de su pronós­

tico. En ese sentido, varias etapas han contribuido al conocimiento presente.

En 1881 Colding demuestra empíricamente que la pendiente del mar

varía con el cuadrado de la velocidad del viento e inversamente con la pro­

fundidad (Proudman,1953). Jeffreys, en 1923, introduce la teoría de las ba­

rreras costeras. Conanterioridad Ekmanhabía relacionado 1a pendiente del

mar con la tracción del viento (Defant, 1961). Proudmany Doodson (1924),

discuten los cambios del nivel del mar, lígándolos con el tiempo, retardos

y relaciones causales.

Después de los años #0 los autores de diferentes países tales comoAp

lemania, Finlandia, Inglaterra, E.E.”U.U. y los Paises Bajos, hicieron im­

portantes contribuciones al conocimiento específico de este tema.

A1presente, el problemacontinúa no totalmente resuelto. La solución

de ecuaciones que involucran todos los parámetros y sus efectos de inter­

acción, es extremadamentelaborioso y fuera de los alcances prácticos.

La enunciación de esas ecvacicnes aún en forma tensorial se hace

//3

impráctica (Fortak, 1962; Harris, 1963)

Diferentes parámetros han sido objeto de investigación: la profun­

didad, la naturaleza de la cuenca y su comunicacióncon el océano, la

relación de tamañoo escala entre la tormenta y el espejo de agua afec­

tado, la tracción del viento y la estabilidad en las capas bajas, la fric­

ción con el fondo, el efecto de Coriolis, la adrección de momentoo ace­

leración y la precipitación. Esa enumeración afin hoy merece mayor inves­

tigación (Reid, 1955). Cabe agregar que algunos de los factores mencio­

nados sólo son conocidos aproximadamente.

Aunqueno se alcanzó una cómprensión total del fenómeno, se ha inten­

tado el pronóstico de las ondas de tormenta debido al interés científico

que reviste y a su importanciapráctica. Se han utilizado distintos pro­

cedimientos, a saber:

l) métodosempírico-estadísticos.

2) métodos analíticos.

3) métodos numéricos.

E1 primero ha sido el método inicial; el último, comenzógracias a los

avances tecnológicos'en computadoreselectrónicos.

Los métodos empírico-estadísticos han sido y son afin de gran uso,

sin embargoadolecen de falta de datos. Los métodos analíticos tratan

con modelos simplificados debido a 1a complejidad de las ecuaciones. Al

presente; los métodos numéricos prometen una mejor comprensión del pro­

blema (Jelesnianski, 1966).

Los computadores también han favorecido diversos refinamientos en

soluciones a la onda de tormenta por el métodoempírico-estadístico

(Pore, 1964, 1966). Sin embargo, la aplicación intensiva de los compu­

tadores realmente se adapta al máximoa las necesidades de las solucio­

nes digitales y analógicas del problema. Ebtas últimas han incluído ana­

logías del tipo eléctrico (Ishiguro, 1962). ­

Las soluciones digitales que fueron iniciadas por Hanseny Platzman

(Jelesnianski, 1966) han experimentado sucesivos desarrollos. Muya me­

nudo se han utilizado modelosunidimensionales y las ecuaciones no linea­

//4

les se han simplificado convirtiéndolas en sistemas lineales. Asimismo

diversos investigadores han aplicado el métodonumérico para áreas espe­

cificas, adaptando las ecuaciones en consecuencia (Platzman, 1963; Jeles­

nianski, 1965: Banks, 1967: Reid y Bodine, 1968; Cartwright, 1968, etc.)

Tambiénse han aplicado soluciones numéricas para determinar la respuesta

a ondas de otro período, tales comolos "Tsunami", en las costas de islas

(Vastano y Reid, 1967, 1970).

En Argentina la predicción de las ondas de tormenta ha sido desarrollada

por métodos empírico-estadísticos y aplicada solamente a un área: el Río

de 1a Plata (Balay, 1954, 1958, 1961). Ese es también el único método

en uso diario (Servicio de Hidrografía Naval, 1965). Se basa en una co­

rrelación simple y está restringido a vientos de velocidad menorque 50

Km/h;a velocidades superiores la correlación falla (Balay, 1961). Otro

ensayo ha hecho uso de una correlación múltiple pero el mismono ha sido

puesto a prueba para predicciones (Samatán, 1952). Otras investigaciones

de carácter descriptivo han sido efectuadas recientemente para el área

mencionaday otras zonas costeras argentinas, pero en ninguna de ellas

se da método de predicción (Daien, 1969: Alvarez y Balay, 1970; Montesar­

chio, 197o; Alvarez, 197o).

2. CARACTERISTICASqggggAFICAs DELpgggA EN ESTngg

El Rio de la Plata está formadopor la confluencia de los ríos Paraná

y Uruguap (fig. l). La cuenca de amboscomprenden alrededor de 4 x lO6 sz­

El Paraná en su curso final se divide en varios brazos, que tomandiversos

nombres. Entre ellos, el Paraná Bravo se une al Uruguayfrente a la ciu­

dad de Nueva Palmira (Uruguay). Ese es el extremo superior del Rio de

la Plata, donde tiene un ancho de 1.900 m. Másal sur el Paraná descar­

ga su enormecaudal al Río de la Plata a través del Paraná Guazú, Paraná

de las Palmas, Paraná Mini, Sauce, Barca Grande y otros brazos menores.

En su extremo marítimo, desde Punta del Este (Uruguayí a Punta Rasa (Ar­

gentina), el Río de la Plata tiene un ancho de 221 Km(Servicio de'Hidro­

grafía Naval, 1965). Se puedendistinguir tres sub-áreas fluviales: la

//5

interior, la intermedia y la exterior. Las mismascomprendenuna exten­

sión total de alrededor de 30.212sz. Las tres sub-áreas tienen distin­

tas características, aunquetodas ellas tienen muybajas profundidades,

que van desde 1,20 m en la interior a 16,5 m en la exterior. La sub-área

interior comprendedesde el origen del río hasta Playa Hondao linea Co­

lonia (Uruguay)- Quilmes (Argentina): la intermedia desde el límite an­

terior hasta la línea Punta Brava (Uruguay- Punta Piedras (Argentina);

la exterior desde la linea antes mencionadahasta la linea Punta del Es­

te (Uruguay) - Punta Rasa (Argentina). Aquellas áreas comprenden un de­

sarrollo de costa de 416 Kmen el lado norte y 393 Kmen el sur. Desde

su origen al extremomaritimo, el Río de la Plata tiene una longitud de

31? Km(Servicio de Hidrografía Naval, 1965).

La pendiente del fondo es del orden de 5 cm/Km. La sub-área inte­

rior muestra en Playa Hondaun bajofondo de 0.3 a 0.9 m de profundidad

en ciertos puntos. E1 bajofondo se prolonga en la margen Sur hasta 11.5

millas de la costa en Punta Piedras (Argentina) y luego bordea la costa

hasta CaboSan Antonio. En 1a ribera norte el gran bajío interior se

prolonga hasta unas 23 millas de la costa uruguaya con el nombrede Ban­

co Ortiz. Su superficie es uniforme, siendo su profundidad mínimade

2.7 m. La barra del Río de la Plata, dragada artificialmente hasta la

isobata de 8.2 m, se extiende entre los bancos antes nombrados(Servicio

de Hidrografía Naval, 1965).

Otros bancos de menor extensión como el Chico, Magdalena, Gaviota

y Cuirassier están ubicados entre los bancos Ortiz y Piedras. En la mar­

gen uruguaya en la sub-área intermedia hay bancos menores: Jesüs María

y Santa Lucía (Servicio de Hidrografía Naval, 1965).

La sub- área exterior presenta algunas islas en la zona uruguaya:

Lobos, Gorriti y Libertad. Los bajofondos Arquïmides, Inglés y Rouen

se encuentran en esta sub--area. Las profundidades entre los bancos Ar­

químedes e Inglés y la costa uruguaya son de 12.6 a 10.2 m. Entre el

Inglés y Rouen el agua tiene una profundidad de 9.3 m. Por otro lado,

//6

entre el banco Roueny la costa argentina la profundidad oscila entre

19.2 y ll.l m. Las profundidades mínimas sobre los bancos nombradosva­

rían de un mínimode 0.90 en la cresta del Banco Inglés a 4.5 m en el

Arquímides y a 6.4 m sobre el banco Rouen (S.H.N., 1965).

La costa uruguaya es más profunda que la margen argentina. Al E.

de Punta del Este (Uruguay)el declive del fondo es tal que la isobata

de 10 m se encuentra a unos pocos centenares de metros de la costa. Por

fuera de la barra del Río de la Plata las isobatas son aproximadamente

transversales con respecto al eje del río (Servicio de Hidrografía Naval,

1965).

E1 sedimento de orígen terrígeno que aporta el Paraná al Río de la

Plata da una coloración peculiar hasta unos 100 Kmde su límite, en la

boca exterior (Servicio de Hidrografía Naval, 1965).

Algunos ríos desembocanal Río de la Plata; entre ellos los más im­

portantes son el Luján y el Salado en la margen derecha y el Santa Lucía

en la margenizquierda. Sus aportes son relativamente reducidos; otros

pequeñosríos.y arroyos tienen una contribución despreciable con respecto

al volúmentotal de descarga del Río de la Plata. A ese respecto el río

Paraná es el más importante, siguiéndole el río Uruguay. El régimen del

primero tiene una variación estacional: en cambio el flujo del Uruguay

es más estable (figuras 2 y 3). E1 río de la Plata está bajo aquellas

influencias en su extremo superior: por el otro lado, la onda de marea

oceánica se hace sentir hasta algo más allá de los 200 Kmdel origen del

río. Es entonces fácil de comprenderque la cuenca del Río de la Plata

puede ser esquematizada comoun complejo sistema hidráulico donde la ac­

ción del mar y la descarga de un río voluminoso, ya oponen o ya superpo­

nen sus efectos (Servicio de Hidrografía Naval, 1965).

3. INFLUENCIAS NETÉOROL011CAS Y MAREOLOCICAS _

La onda de marea oceánica arriba a la boca exterior del río con una

amplitud de 0.9 m por la parte sur y de 0.3 m en la parte norte. Desde

allí su velocidad de propagación, de aproximadamente 200 Km/h, se reduce

//7

por efecto del fondo a una velocidad de unos 30 Km/haguas arriba. La

onda de marea es del régimen de desigualdades diurnas (Servicio de Hidro­

grafía Naval, 1965).

La poca profundidad del río y su gran extensión hace que aquella

onda demoreunas 12 horas en propagarse hasta su extremo interior. Por

lo tanto, en el área del Rio de la Plata, se alcanzan a registrar simul­

táneamente una pleamar y una bajamar o dos pleamares y una bajamar o dos

bajamares y una pleamar (Servicio de Hidrografía Naval, 1965).

La onda de marea por efecto de la descarga fluvial y de la fricción

del fondo sufre modificaciones aguas arriba. Acierta distancia de 1a

boca_marítima el perfil de la onda de marea muestra un lapso de bajante

de mayor duración seguido de un abrupto cambio a creciente cuya-duración

es menor (figura 4) (Balay, 1961).

Las horas de bajamar sufren retardos según los vientos sean hacia

1a costa o desde la costa. Éh esos casos se verifica que: A s 2.25 Vc

(A = adelanto de la hora de bajamar en minutos; vc = velocidad del viento

desde la costa en Km/h); R a 3 Vm(R - retardo hora de bajamar en minu­

tos: Vmn vientos desde el mar en Km/h). (Servicio de Hidrografía Naval,

1965).

Las líneas de isoamplitud y cotidales tienen la distribución que se

indica en la figura 5. Alli se observa la marcadadiferencia en 1a am­

plitud de mareas ordinarias entre ambascostas, siendo máximaen la ri­

bera Sur en Cabo San Antonio (1.10 m) y minima en la ribera Norte entre

Punta del Este y Montevideo (0.18 m).

Las crecientes de marea son de dirección y velocidad variables en

las diferentes zonas. La máximavelocidad de la zona exterior se obser­

va en la zona argentina (área del Cabo San Antonio) donde alcanza 1,2 Ns,

mientras que a 23 millas al SWde la costa uruguaya (área de Punta del

Este) sólo alcanza a 0,h Hs. (Balay, 1961). En las sub-áreas intermedia

e interior las corrientes de marea, a diferencia de la exterior, son me­

nos dependientes de la dirección del viento. Asimismoen aquellas sub­

//8

áreas las velocidades de corriente de marea entre la zona argentina y

la uruguaya tienen escasa diferencia (Servicio de Hidrografía Naval,

1965).

E1 área del Río de la Plata está alternativamente bajo la influen­

cia de masasde aire tropical que provienen del norte por la influencia

del anticiclón semípermanentedel Atlántico Sur. Esos ciclos, unos 80

a 100 por año, son algo más frecuentes en verano que en invierno. Cada

ciclo varia entre l y 15 dias; siendo de tres a cuatro días la duración

media de los mismos. (Balay, 1961).

Aquella sucesión de masas de aire está marcada por el pasaje de fren­

tes fríos o calientes más o menosdefinidos. De acuerdo a la intensidad

de'éstos, son más o menosmarcadas las virazones del viento, su intensi­

dad, la discontinuidad en la presión atmosférica y la precipitación.

Los pasajes de frente frío producen vientos SE cuando avanzan desde

el 8.; o SWcuando avanzan desde el W. E1 brusco aumento de los vientos

llega a 110 Km/hen una o dos veces por año. La velocidad sostenida de

los vientos-del sector sur es mayoren invierno que en verano, alcanzando

velocidades de 55 Km/h. Asimismo, en invierno el viento después del pa­

saje del frente frío es SWmás que SE. En verano la virazdn del viento

al sector S es de corta duración y en lugar de los dos o más días de per­

sistencia que se observan en invierno, rotan más rápidamente al lo y 20

cuadrantes bajo 1a influencia de la brisa mar-tierra (Balay, 1961).

Enciertas oportunidades sobre el pasaje del frente frío y vientos

siguientes del SE, por efectos de la situación en altura se produce una

ondulación en el frente y se genera la depresión del litoral (Schwerdtfe­

ger, 1954). Ese ciclón extratropical marchaluego al SE, intensificándose

con la advección de aire húmedoen la tropósfera baja y media. La profun­

dización de la baja y su trayectoria, dan sostenidos vientos fuertes

del SE sobre el Rio de la Plata con cielo cubierto:

//9

abundantes y persistentes lluvias y lloviznas, constituyendo el tiempo

conocido regionalmente como"Sudestada". Estas, en oposición a los vien­

tos SW,fuertes y secos, que constituyen el denominado "Pampero", son de

notable influencia en 1a circulación de las aguas del Río de la Plata.

Las depresiones fuertes del litoral son de baja frecuencia; en general

se registran unas 5 a 8 "Sudestadas" por año (Balay, 1961: Servicio

de Hidrografía Naval, 1965). En un registro de una década se observa

.que la mayor frecuencia se produce de junio a septiembre (Schwerdtfeger,

1954).

Los.pasajes de frentes y los movimientosde las depresiones se rea­

lizan en 1a zona a velocidades que son usualmente entre 40 y 60 Km/h.

TOmandopara 1a sub-área interior 2 m como profundidad media y 20 m para

la sub-área exterior, vemosque la velocidad de propagación de una onda.

libre es de aproximadamenteentre lBLy 52 Km/h. Por tanto, los efectos

dinámicos de.la variación de presión atmosférica puedenllegar, teórica­

mente, a significar alteraciones del nivel de aguas importantes para la

última su-área, mencionada. (Balay, 1961).

Análisis por correlaciones simples y múltiples (Samatan, 1952; Balay,

1961) han comprobadoque los vientos de dirección general SE tienen una

marcada influencia sobre la altura de las aguas. Unode aquellos autores

(Balay, 1961) indica que en particular la dirección de viento SSEes la

que da un efecto máximode creciente y el viento N, máximoefecto bajan­

te. Los efectos menores corresponden a los vientos del SWy ENE. Las

correlaciones simples entre la velocidad del viento y la anomalíade la

altura del agua corregida por el efecto de la marea, indican que los e­

fectos no son unívocos para las mismasvelocidades (Balay, 1961). Las

correlaciones simples obtenidas para distintas direcciones se conservan

hasta vientos especialmente no mayores de 50 Km/h, en que la relación

deja de ser lineal (Balay, 1961). Las correlaciones obtenidas por un

autor (Balay, 1961) y que sirven para 1a predicción se muestran en la

figura 6.

//10

u. LAS ONDA; DE 103mm EN EL RIO DE LA PLATA.

El registro mareológíco de largo período del puerto de Buenos Aires

muestra numerosasoportunidades en que 1a altura de las aguas difirió

de la correspondiente a 1a marea astronómica.

El análisis de las alturas máximasmensuales (1905-1959) indica una

distribución cuasi-normal centrada en un valor de modade cota 2,45 m

respecto del cero de referencia, con una desviación standar de tfi= Í 37

cm. Puede usarse este criterio para discriminar comoondas de tormenta

extraordinarias aquéllas para las que 1a altura máximasupera 2,82 m

sobre el cero (Balay, 1961).

En todo ese período mencionado, las de los años 1911, 1914, 1922,

1923, l9k0, 1958y 1959 fueron catastróficas. Entre ellas la del 15 de

abril de 1940 registra la cota máxima(“,45 m). La razón de que prácti­

camente 1/3 de la población de Argentina está actualmente concentrada

en 1a ribera Sur del Río de 1a Plata, en una franja de #0 Kmde ancho,

indica 1a importancia económicade cualquier elevación significativa de

las aguas. Al respecto, comola cota de urbanización hasta 1958 era de

2.#5 m se observa 1a importancia de las crecidas llamadas extraordinarias

(Daien, 1969). Grandesbajantes, de las cuales la registrada el 13 de

julio de 1920 con 3,63 mbajo el cero es la mínimaregistrada, también

son económicamente importantes en una zona de muchotráfico marítimo y

tan poca profundidad. Sin embargo, las pérdidas en estos casos no tie­

nen el carácter catastrófico de las anteriores.

Las 94 crecidas extraordinarias observadas en 1905-59 muestran una

frecuencia mensual mayorpara enero, febrero, abril y setiembre. Las

más perjudiciales fueron registradas en el lapso 26-29 de julio de 1958,

13-16 de abril de 1959: ellas no ostentan las marcas de alturas próximas

a la máximaregistrada, sino de sólo 3,85 m en el puerto de Buenos Aires.

Noobstante, ambasondas de tormenta causaron grandes pérdidas, especial­

mente entre Punta Lara (Argentina) y el delta de1_Paraná. Fueron de lar­

//11

ga duración y en particular, la de 1959coincidió con una creciente del

Río Uruguay (Balay, 1961).

En la última década (1960 a 1970 inclusive) las mareas extraordina­

rias se registraron sólo en los mesesde agosto a diciembre y de enero

a marzo. En este último mes se produjeron el mayor número de casos de

onda de tormenta. Sin embargo, las más significativas ocurrieron en

setiembre y octubre 19677 con marcas máximasde 3,22 y 3,35 m respecti­

vamente.

El análisis de la evolución meteorológica correspondiente a las on­

das de tormenta importantes muestra que«en todos los casos se produjo

la entrada a la zona de un anticiclón polar poderoso y que se formó la

depresión litoral. E1viento fue SE, en especial en las sub-áreas exte­

rior e intermedia, soplando con velocidad que osciló entre 70 y 90 Km/m

en las zonas exteriores uruguayas.

La magnitud de la inundación ha dependido de la intensidad del viento

y de su duración. Cuandola trayectoria del anticiclón ha sido E o ENE,

estando centrado el mismohacia los 45° S, la duración del fenómenoha

sido de consideración. Cuandola trayectoria del anticiclón tuvo una

componentemás meridional que lo antes mencionado, las crecientes han

sido de poca duración.

Por otro lado, la trayectoria de la depresión del litoral ha defi­

nido si el fenómenoes de bajante o de creciente, según su curso sea ha­

cia el SE de la provincia de BuenosAires o hacia Uruguay. Las variacio­

nes de presión en los centros ciclónicos han implicado a veces magnitu­

des de 20 mb/día. Sus valores centrales alcanzaron con frecuencia

1000 mby algo menos: excepcionalmente se han registrado presiones mí­

nimas del orden de los 990 mb. (Balay, 1961).

De todo lo anterior se desprende que para un mejor pronóstico de

la onda de tormenta en el Río de la Plata, es necesario - aunque no su­

ficiente - un correcto pronóstico meteorológico. Dadoel tiempo que in­

volucra declarar el estado de alarma y considerando los factores que ha­

//12

cen a una decisión, es obvio que un preaviso suficientemente grande es

muyconveniente. Por otro lado, cuanto más largo sea el preaviso que

se necesite obtener, más refinado deberá ser el pronóstico meteorológi­

co.

5. ELLEETODO NUMERICO DE PREDICCION DE LA QEPA DE TORMENTA.

5.1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Y CONTIHEIQAQ

Diversos autores (Kisivild, 1954; Hansen, 1956; welander, 1957;

Reid, 1957: Platzmann, 1958, 1963: Fisher, 1959; Svansson, 1959) han

utilizado las ecuaciones hidrodinámícas de movimientoy de continuidad,

con el fin de obtener las alturas.de las aguas por influencias distintas

que las de marea astronómica.

Estableceremos a continuación el desarrollo general de esas ecuacio­

nes, que nos facilite luego 1a adaptación de las mismasal caso en estu­

dio.

Asumiendoque las fuerzas actuantes son: las de presión hidrostáti­

ca, gravedad, tracción del viento, Coriolis, la fricción con el fondo y

despreciando: la fricción lateral en las aguas,y la influencia de la pre­

sión atmosférica, la ecuación vectorial de movimientopara una masa uni­

taria de agua es:

(5.1) = [b + IFC-tnw+c

Donde:

\v es la velocidad del agua

¡L es 1a fuerza de presión hidrostática

la es la fuerza de Coriolis

Üwes 1a tracción del viento y fricción del fondo

G es 1a fuerza de gravedad

Despreciandoel término vertical de 1a fuerza de Coriolis y la re­

dondez de la Tierra, aquella ecuación (5.1) queda descompuesta en sus

componentescartesianas de la siguiente forma:

//13

(Sl-2°) Ó."+Ubu4 Wb ,_._ b A- ót ox'vgy” ¿Ï Ébf‘“ “¿É-z"

(5.3) bviubve a a- '82‘ 'bx 'vó;*wb‘;="’ 35-M”fi 3?

.b...

. Ó_Wb‘, .¿wifi-“35"”???1-2-1

Donde:

A , es el parámetro de Coriolis.

p j 1a densidad del agua

'p , la presión hidrostáiica

r , la tracción del viento y fricción del fondo.

Considerando el fluido comoincompresible, 1a ecuación de continui­

dad está expresada por:

(59 g+g+g=o

Los términos no lineales de las componentes x e y: u'gï, vgt; , wggil, e‘bc.introducen complicaciones adicionales para obtener la solución que,se

busca. Despreciaremos en este caso el campode aceleración, o sea asu­

//1u

miremos que la advección de momentoes nula, con lo que aquellos térmi­

nos se hacen cero (Apéndice I).

E1 término correspondiente a la fuerza de presión, considerando las

simplificaciones anteriores, se puede expresar por: b :7]; ¿52‘50n

dónde D = h 4-4 , siendo h la altura de agua referida al nivel medio

local del mar y" ¿ es 1a anomalía de la altura de agua con respecto a

ese nivel, tomadacomopositiva cuando el agua está sobre el nivel medio.

Entonces las ecuaciones de movimiento componentes para un océano

homogéneo, finalmente son:

<so6> 2:—“=—23í+s%?

(5.7) ¿y? Au=_gós_¡565

Integrando (5.6) y (5.7) a lo largo de Z, entre el fondo y la super­

ficie libre obtenemos:u" 4 1

(5.8) dz¿fÍAv dz = _fh¿ggídz + ¡[hágí‘ dz

r2 z c 4 vf°' d _ d 1er dzdz +¡puzum wmdonde:

(5.10) f‘íu dl ___U

u í -vthdZ_Los términos anteriores se convierten mediante la regla de Leibnitz y

las anteriores definiciones, (5.10) y (5.11), en:

é.fh 3-2 dl = 3-?

//15

fina: Avh

fíku dz = AUh

C

¡h zw = 2%

C

¡“saw 203€

fair, dz_= x _ fQ_Uh bl D?

[Clórydz = Y_fQ_Vh bl D2

DondeX e Y representan la tracción del viento en superficie divi­

dida por la densidad del agua; Q - u2+ vZ g y la ley de fricción

en el fondo se ha supuesto cuadrática, siendo I el coeficiente de fric­

ción, que depende del tipo de 1a pendiente del fondo y del grado de tur­

bulencia.

Conrespecto a 1a ecuación de continuidad su integración vertical

nos lleva a la siguiente ecuación:

Dado que

(5-12) + + [wc-wn] = R , W¿=gg a- Wh= °

donde R es el escurrimiento más la precipitación por uñidad de tiempo

en el dominio en estudio.

De allí se ve que nuestras ecuaciones modificadas constituyen un sis­

//16

tema que permite resolver los valores U, V y ¿ que son nuestras varia­

bles dependientes en:

bU__ 061;(5.13) ¿t- g m+)\V+X.10ï)u2

(5.14) gngogyL Au+ Y_fqñv2

E1 cálculo de las ecuaciones (5.13), (5.14) y (5.15), se puede obte­

ner por mediode diferencias finitas (ApéndiceII).

5.2. SOLUCION DE LAS ECUACIONES

Observamosque para calcular los valores de Uj, k, n = l, Vj, k,n + l

las ecuaciones deben ser resueltas sinmlt'áneamentedado que los términos

U, V al nivel (n + l)At están incluidos. Omitiendola expresión explí­

cita de 1a fórmula de filtrado correspondiente (ApéndicesIII. 17; III.18;

.III.l9),aquel_las ecuaciones pueden escribirse en forma más compacta con

las siguientes transformaciones (Reid, 1968)

-.- ¡kn+| ‘2"tU¡k "-l ­2/\tI' U - ¿‘Vunfl +évnn-1-zfisoik(¿¡+1kn’ ¿“MF

2

+ xikn- mln-IUHnH/Dik

2

(5.16) ('+ ’A“0¡kn_¡/Dik) Puan/“3‘ :2‘Átujkn—1+_%vikn+1+ÉVÍkn—1—

Dik(¿|+] kn - ¿1-1un) + xikn-— 4’

zÁs

//17

Mültiplicando 1a ecuación anterior por 2 At y haciendo

(5'17) A: Uikn—1'+AAtvlkn—l-'g%;0¡k ¿inu- ¿i-lkn) + ’Atxikn

con (5.16) y (5.17) y haciendo:

(5-18) G: l+ 2 At í 0]kn—l Í Dgzk

Ulkn-HZé + LGA-IVikn+l

para la ecuación a diferencia finita de la segunda componentedel movi­

miento tenemos:

. - D .

{Álvnnfl - vikn-l) Z- é Ullrn+l- g”! “‘4- g ïÁ-¿‘(éunn+¿¡ k-ln) +2

'+ Yihn .—toikn-lviknfl/ Du

Multiplicando por 2 At los términos de la ecuación anterior y hacien­

do: .

(5.20) IB: Viknq —A 4‘ U¡kn-1— Dik(¿HHH _ ¿ik-1-0)+2AtYikn

es entonces:

(5.21) VJIUIH= - Allá Uikn-o-l

De (5.19) y (5.21) se obtiene:

AG+UJkn-H=“2-24?

Similamente es:

.2 ) v ._LQ:.-&AIA(5 3 ¡“H 62+ AzAt

//18

Para la anomalía de la altura de agua:Í

(5'2’4')¿it :¿Ian-l+ (¡kn-l) +l

O sea que finalmente, es:

(5.25) (MM: (¡km —AtAs

2As (U¡+lkn + UÍ-lkn)+1

2AS( vi|l+ln _ V¡k_ln)

(UHlkn —Ui-lkn + Vik-pln" VÍLID)

De (5.17), (5.20), (5.22), (5.23) y (5.25) se observa que para cal­

cular: Uj, k, n+l, Vj, k, n+l,

habiendo establecido ¿Ss y habiendo calculado

Uj,k,n-1

Vj,k,n-l

¿3+1,k,n

¿j-l,k,n

¿ú,k+1,n

¿j,k-l,n

Dj,k

Xj,k,n

Yj,k,n

Qj,k,n-l

¿j,k,n-l

Uj+1,k,n

Uj-1,k,n

Vj,k+1,n

Vj,k-l,n

At.

éj, k, n+l, se necesita conocer:

Todolo anterior es aplicable solamente a los puntos interiores de

nuestra grilla. Para ello vemos que U, V se calculan para puntos comu­

nes, pero que para el cálculo de ¿3,k se usan U, V de los puntos del en­

torno al lugar donde desea ser obtenido. AsímíSmovemos que unos son pa­

//19

ra un t - n {lt y otros para t - (n + 1) At. Esta peculiaridad lleva

a definir este modode cálculo comoel de "grilla equilibrada". Vemos

que con respecto a otro procedimiento donde hubiere que calcular U, V,

para cada punto, el descripto ocupa la mitad de tiempo de computación

y disminuye el almacenamiento de datos, siendo, por lo tanto, más econo­

mico. La precaución principal que requiere es un adecuado suavizamiento

en tiempo y en espacio para evitar la inestabilidad de cálculo (Reid,

l968áApéndices III y IV).

Dadoque U, Vy é están dispuestos por el procedimiento anterior

cada V2-AS según se ve en la figuras 7.8.121resolución espacial en a­

quellas variables dependienteses igual a ese valor de AS.

Para el cálculo de los puntos interiores de las grillas, es necesa­

rio conocer los valores de las variables dependientes en los puntOs de

contorno, así comolas condiciones iniciales.

En ese sentido se observa que con valores de ¿3,k,n,lfi,k,n-l,

Vj,k,n-l, dato del viento y de la topografía obtenemospara diversos pun­

tos valores de U, V para el instante t + (n + l) ¡At. El campode valo­

res obtenido sirve para determinar el de ¿5,k,n+2 partiendo de ¿3.k.n­

y de los valores de Uj.k,n+l, Vj,k,n+1o Procediendo así, sucesivamente ,

podemosdeterminar los futuros valores U, Vy 4'.

La condición inicial del campode valores de nuestras variables in­

dependientes debe partir de un instante suficientemente alejado del mo­

mento de perturbación y donde ¿.se supone igual al de la marea astronómica

que debe ser conocida, y se asumeuniforme para toda el área con valores

nulos de U y V.

5.3. MICIONE‘S DE CONTO-‘INO

Observamosantes que (5.22), (5.23), (5.24) y (5.25) eran aptas pa­

ra puntos interiores pero no para los bordes de nuestra grilla. Efecti­

vamente en el contorno carecemos de los datos necesarios alrededor del

punto considerado. Para resolver ese aspecto debemosfijar condiciones

//20

de contorno. Aunquelas ecuaciones derivadas de esas condiciones

no serán exactamente aplicadas a nuestra área - comose verá más

adelante - estableceremos las mismasaqui con el fin de completar

el antecedente teórico necesario. Para nuestra grilla imaginaria

supondremosque el tope superior es la línea de costa, que el

borde inferior coincide con el talud continental y que los bordes

izquierdo y derecho se encuentran dentro de la plataforma conti­

nental. Asimismoadoptaremos la convención que, el vector normal

de transporte de volumena un determinado contorno, es positivo

si el transporte es hacia afuera del dominioconsiderado.

Conaquellas definiciones fijaremos que: Q1- 0 en la costa.

Ello Suponeuna pared vertical y que la reflexión de ondas en esa

zona es total. Ambascosas son deformaciones de la realidad.

En todos los bordes marítimos (izquierdo, derecho y exterior

marítimo), despreciando la marea astronómica:

(5.26) Qn - c (¡k donde c es la velocidad de propagación

de una onda libre É Cs en aguas muy profundas).

La presencia en nuestro dominiode supuestas barreras externas (is­

las) o internas (espigones, diques inundados) puede ser introducida como

lo han'hecho otros investigadores para un. caso sin considerar la rotación

terrestre (Reid and Bodine, 1968),(Apéndice V).

Para el cálculo U, V, 4 en los bordes, asumiendo que usamos la gri­

lla de cálculo de la figura 7 y despreciando la marea astronómica tenemos

para:

l) El borde que está sobre el talud continental ( o sea Qn - -v) j - l

a) Para n par

(5.27) "_—'—cs(M)2 2

b) Para n impar:

(5.28)X1:U.Lï_v.¡‘_l—u: —cs(2) En el borde iunierdo (donde Cj,k es variable de acuerdo a Dj,k)

//21

Qn = - U, j ' 1

a) Para n par

(5.29) _.lhk.nz¿.‘;_11u;1;__<(_c¡ki¡;c¡¡_¡) (¿¡¡¡+¡u;(“_¡ ’

b)Paran

(5'30)Ulm‘n’;‘g‘-HLI—°1I’ 2

?) A lo largo del borde derechO. donde Qn _ U y c ‘ ej. k variable

según Dj' k: j = JM

a) Para n Par:

(5.31) y_lan-tï..Ï__Ui-‘m_k_n;l,z 61mm + Cimk-l ¿im m" + (¡m k-ln2 2 2

b) Para n impar:

(538 ÉmhmJJEHanqu(¿Mkm4+4mn4)2 2

5.4. ECUACIONES DE PREDICCÏON

Delas relaciones anteriores obtenemoslas siguientes ecuaciones de

preQicción en los bordes; que, comose especificó antes, no serán las mis­

mas.que aquellas de posterior aplicación a nuestro modelo:

1) En el borde exterior (sobre el talud continental)

a) Para n par: __

(5.33) Viln+4= -Cs l ¿i+lln'* (LJln) " Vilkb) Para n impar:

(5.34)Cn‘mz_ _¿“n-12) En el borde izquierdo:

a) Para n par:

(5-35)u1kn—1: __9_1_k_._1_j_cl_k._1(¿“un + (¡un!) - Ulkn_lb) Para n imparz' 2

(5:36) ¿1k"+1: - HJK¿J%JLELLLLE—¿akn‘l

3) En el borde derecho:lk

a) Para n par:

(5.37) “mm- EWJJJJJImi-l(¿imk+ln+6mk—17)- Uimkn-l— 2

//22

b) Para n impar:

'¿thxH4]: _¿jm'hhlDe las anterioreslmeZuaciones se desprende que U, V en las esquinas

( j - l, k -=1, j - JM, k - 1) no puede calcularse. mi se'asume

U'f V - 0.

Si consideramos la marea astronómica nuestra condición de radiación

se modifica así:

=—C(C_ ¿3) , donde ¿g es la altura de 1a marea en el bordeconsiderado.

En ese caso las condiciones de contorno son comose indica abajo:

l) Para el borde del talud continental: _

(5-39) Ï”_n*_1__+_VLL2—_1.; _CS(¿I+]1n + ¿i-“n _ ¿251)2 2

2) Para el borde izquierdo:

(540) Unm+Ulkn-l=_ (¡HHHClk-l) W- ¿ml

3) Para el borde derecho: _

' (5-141) Uimkn vl + Uimkn-l _( Cimk-H+ cimk-l) ( ¿[Im¡+10 + ¡mk_'1_"—(mi)_ 2

En el borde superior (línea de costa) la condición de contorno en

nuestra área ideal es VKN- 0.

Conella para calcular en el punto mayorinterés - costa - de

(5.25) haciendo:

(5.42) V¡¡N+¿q,___ VikN-‘z (o sea VLKN - 0)

por lo tanto:

(5-’+3) 4’im n+l É ¿im n -2 _ A; Um kHn _ Ui-lku nA5

5. 5. ¡DI-{INIOS CON COSTAS IRREX'JULARES

En el caso anterior se supone un 'área ideal rectangular con una lí­

//23

nea de playa recta, paralela al eje de.abcisas. En la naturaleza aquellas

condiciones son limitativas. Para el cálculo de dominios con costas irre­

gulares se han utilizado diversos artificios (ApéndiceVI).

6. APLICACION DEL METODO IKREBJCO AL RIO DE LA PLATA.

6.1. DISCUSION DE LAS ECHAQIONES Y SU APLICACION

La configuración de la costa en nuestro caso (fig. 13) sugiere la

conveniencia de emplear una transformación a'coordenadas polares. Con

las mismasy reemplazandola costa natural por una costa ficticia, que

es en general coincidente con la costa real, podemosevitar un sinnúmero

de "esquinas" artificiales. Estas podrían ser perturbadoras en nuestro

modelo. Tomaremoscomolínea virtual de costa la isobata de 1 m o cual­

quiera profundidad real diferente de cero y asumiremosque allí la pared

es vertical de tal modoque el incremento del nivel del agua no signifi­

ca la inundación de otras tierras. 0 sea, que se conserva siempre la

miSmaárea cubierta por las aguas. En la fig. l se observa que por el

trazado de la línea de nivel de 5 m, aquella premisa es aceptable excepto

en la zona de la Bahía de Samborombón.

Comopareciera paradójico expresar lo anterior y por otro lado hablar

de las inundaciones desvastadoras del Río de la Plata es bueno aclarar

dos aspectos. Se omite acá el fenómenoen todo el delta. Por otro lado

la concentración urbana en el Gran BuenosAires ha llevado a instalarse

a ciertos grupos de habitantes en lugares que están por debajo de la co­

ta de 3 mreferida al nivel mediolocal.

Debido a que la batimetría en la zona varía desde muypequeña pro­

fundidad en la sub-área interior a grandes profundidades en el borde

del talud en la marítima, 1a adopción de un intervalo uniforme,lks , com­

prometerá la representatividad del modelo.

Sistemas de coordenadas apropiadas para casos algb similares han

sido resueltos por otros investigadores (Vastano and Reid, 1967, 1970).

En nuestro caso sean las variables espaciales a utilizar: 6

//2‘+

(ángulo polar) y r (distancia radial al orígen) y z (abscisa vertical

referida al nivel medio). Se supone que es D - D ( 0 , r). La elección

de un espacio de grilla adecuadopara la estabilidad del cálculo es se­

gún se vio en Apéndice IV.

Para obtenprun mínimo At si As varía (comoocurre en un sistema polar

ya que los radios son divergentes) una posibilidad de tomar incrementos

uniformes es elegir comouna de las variables el tiempo de trayectoria

r , de una onda libre. Elegido un .Af , el mismopuede ser uniforme.

Lógicamente siendo la velocidad de una onda libre, cz'

(6.2) um: y D-D(r.6)podemos obtener un '

(6,3) 0:: Dik+áv DÍ-lk-20ÍK+DÍ+H ,outilizando otra fórmulasimilar.

E1 (63) ves el indice de suavizamiento elegido y j, k son los ele­

mentos que caracterizan puntos coordenadas según r - const. y 0 - const. ,

respectivamente. En ese caso el "tiempo de'trayectoria" estará definido

desde un punto del borde interior (sub-zona interior) de coordenada radial

inicial ro hasta uno de coordenada r por:r df _ r dr

(6,4) r= ___—. — -_—­'/';VgD(r) '° ck

De alli se ve quedr_ L

(6.5) d! -- -.ckr:Dado que WIC) y comoc varia deacuerdo a la profundidad no­

tamos. que:

l) Ar_=_const. no implica Ars const.

2) Queparañk const. yAr ¿:_,const. Ar varía, disminuyendohacia

aquellos lugares de baja profundidad.

La característica 2) tiene dos aspectos a cosiderar:

a) rmax debe ser tal que permita una adecuada identificación no ambigua

de la onda considerada. A estos fines por lo menosse requieren 3 puntos

a lo largo de una longitud de onda. 0 sea debe ser aer- < l ., donde L

//25

es la longitud de onda del fenómeno. En nuestro caso L corresponde al

diámetro de una perturbación extra- tropical.

b) ComoA9 es constante en toda la grilla, Ar da. la resolución de

la misma. Por tanto, si elegimos un sistema de variables independientes

6 , r , t para nuestras ecuaciones hidrodinámicas el poder de re­

solución será mayor en las áreas menosprofundas que en las profundas.

Esta característica altamente deseable, tiene que ser compatibili­

zada con el número de bloques que haga nuestro almacenamiento de datos

y computación, factible y económico.

Obtengamosprimero la transformación de nuestras ecuaciones de movi­

miento deducidas en 5. a un sistema de coordenadas cilíndricas (fig. 11+).

Partiendo de la ecuación (5.1) para la. transformación de sistemas

cada punto esta identificado por:

P (x,Y,z,t] E P{ r,6,z,t)

X:rcose Y=Isin0

y: Uln+VÉ+Wlkdonde [n o {Í p 'k

cilindricas donde "MUR: n,jt.k ( La“)

son los versores de nuestro sistema de coordenadas

Es por lo tanto:

(6,5)M:Qu:n+.mlü +stlk+01m+vsü+wüdt dl dt dt dt dt dl

Siendo: d Ó; . bn br m 2.6 9.”) 'bz“¿y = 5%11'2ïl “í +‘b t + bz 75'

5'": CL"!= ¿un — bm - Aln _ In5T o br o bz _ o ¿.67 _ Ñ

(6.7) EL! =_V ¡IÍ

dit _(6.8) ¿1 —­

6. )ÉJE .. ¿uk ¿uz Q; k.99 Qfls 91 = o( 9 t ‘ bt 4' bt +'Ïïï bt + bz bt

donde hemosdespreciado la desviación de la vertical._

De (6.6)

//26

{ji-In fl bu br bu ¿a bu bz v2un bt+blbï+iïébt+ïzït-7 +

+" LV ¿HM 9.! ¿LL/0.1 2.!bt+brot+b6bt+01bt+r +

Ik mv .b_v.o_r ¿mas? ¿wa+ bï+brbt+babt+bzot

(6.10) d‘Y:'n b‘u ubu v'bu wbu_v2dt bt+ br+f60+ bz f +

t bv ubv va wbv uvot Or+fbü+ z+' +

ü coordenadas regulares para cualquier propiedad I . donde

I

u‘:l

es­

VÍ‘; .91" +Ó_' lj +91 lk ysiendo:Ox by — z

__f = DJ QB+QL «¿2+M EL":x Oul Óx Ou, bx bu3 bx

'r l“_'|_.QÍ. :JÏLIÍLÉI...9_f 9-";by bul by ouz by U3 by

9.1 = ÉL! 9.“) M. EL"? 2‘. QB Se verifica ue:bz c‘iul bz +0u2 Oz +bu3 bz q

(5.12) W: g ¿tu Ii gg ¡j ¿tu Ik 91 Luz" ¿Ez Iioul Óx +by + bz +bu2 Óx +by. +

la ¿Hui 2!” .2!“­+bu3 bx "Hay-fm

vt- DEVU1+.¿{V02 ¿uvas

. Vu" , Vuz ¡Vua , que son perpendiculares a las superficies

ul, uz, us; const. tiene por expresión: _

(6.13) _Vu'¡._.'Ï_*!-¿¡el' os. ‘

¡VUZ =AUJ Iezbs

Pero si d"

' Vu3: ¿lla le32 ¿>53

es un diferencial de un vector posición se verifica

que z hullfi .hul se denomina el factor de escala. Por otro lado

//27

entonces es:

y (6.12) se puede escribir así:

, Vt-¿ le Lbf: +_l_¿tne(614) ."hlgtlíll h.,2’o_'uz9 ¡135633

En nuestro caso, para determinar los factores de escala, recordando

que el elemento de arco ds esta dado por:­

(6.15) ds: dnr. dIr

siendo

(6.15.1) d'r: c050 dr_ r ganada) ¡i + (r casada + senadr- Ii + dzlk

Por lo tanto:

(6.16) ds7=dr2+r2d0_2+dzz

Comparando (6.15) y (6.16) se deduce que:

(6.17) hu1 -1, h =r, hu -13En nuestro caso 1a expresión de la fuerza de presión será entonces:

(6.18) lb=_ _b¿_¡n_ (¿4L bélkgbr gba gb’z

Comopara la ecuación de continuidad aparece la divergencia de W,

debemosver cuál es la expresión correspondiente en nuestras nuevas coor­

denadas. Determinaremospara ello 1a divergencia de un vector unitario,

para luego hacer extensión de 1a expresión en nuestras nuevas coordenadas.

//28

Para nuestro sistema de coordenadascurvilineas ortogonales se veri­

fica que:

(6-19) V.«e,=.leáVx‘ez]¿laz- (erej)

Para obtener previamente entonces el rotor de un versor cualquiera,

lel , vemos que:

Lehvul

según escribimos anteriormente.

Y

(6.20) Vaz 0El:ml

Luego,

_ ¡e v ._.-I_v le)(6 21) 1* (ha!) ,hul x:Pero 1a expresión del operador V en coordenadas curvílíneas es

‘\-eegün (6.1#) y por lo tanto se puede escribir:

6.22 V ,1_ _W1_bh|e__1__ bh¡|e_1 bhu.le3( ) H.)- nupuï’" ha.nuzm; 2 mafia

De (6.21):

.vx ¡eF huy:| x {T )u|

y utilizando aquí el resultado de (6.22) re­

cordando que: ¡eat ¡9.: 0 ¡Elxlez:|e3 ¡e' x “33.2.92

obtenemos:

n 1 bh , - .1 _ofl lle(6'23) V"°'--“5.;jauïo'u".'e3+En“: ’

//29

Usandolas expresiones análogas para los otros versores en (6.19) es:

(6.24) V. ue:z _,J__ 51.119€!)hulh.2hu3 ó u.

0 sea que para otro vector cualquiera, /A es:

(6-25) V' ¡A: __]__ .ÓÏDUZÉUBM+ .4 _ (hul_b"3_Aï_) ¿“NEWAJ)hmhuzhu3 b”! 'hu¡ migo-102 + hu¡ huz hu3 U3

._/

Para nuestra elección de coordenadas y con respecto a \v es, entonces:

(6.26) V.\v :._r1__[b_á_;u_)+ 37v) + ¿(IMJ

El término de Coriolís !Fces para nuestro sistema, siendo Q la velo­

cidad angular de rotación de 1a tierra:

(6.27) IFC;- 20 sengb-vm —29 Senda-u" +' '(vicoscp c056 - u cosd‘ senG) ¡k

donde se consideró uso.

ITwtiene una expresión similar a la que antes se describió en el párrafo

5, pero siendo ahora r, , r‘9las componentes a lo largo de las direcciones

or p?¡TW:l b_rL'n+P br 'bl­ 0 (b

//30

De acuerdo con todas las expresiones anteriores las componentes

de las ecuaciones del movimientose convierten para nuestro nuevo sis­

tema de coordenadas en las siguientes:

(6.29) Q u2_u 10.! WM._12=__ oC Av ¿gi¿HT r+r 6+ z' r gïí+ +Por

wm)m ul ¿a w4+u;_figáuigzt+ bí+ro + bl r Ebo +pbo

(6.31) _b_w,+ u__\1 +.v_b_1v_.+ WM =bt r

= _E _g_í+20vcos gb cos 6_2Qu cos<psen 0_ g

Admitiendoque existe incompresibilidad, la ecuación de continuidad

es:

(6.32) _;_ le‘ulj +_Zb>_6v_+(:2er = O

Asumimosque 1a advección de momentoes nula, que existe equilibrio

cuasi-hidrostático y que las componentesverticales de 1a fuerza de Corio­

lis son despreciables frente a la fuerza de gravedad. Asimismoconsideran­

do las magnitudes relativas de u,v y r en las áreas de estudio, las ecua­

ciones anteriores se simplifican. ,

Por otro lado utilizando U=jfu dl' ¡ V:fgv dz e integrandoh

(6.29) y (6.39) a lo largo de z y con D=h+.{ donde h.>C obtenemos:

6. ) bu;>\v_ Dbé Tr _L u( 33 F. g 6. +

a bV-_.\U_, b; T __f_9V(6.3.) 6. _ gr, 56 4- e

donde ’í‘ry T,son las componentesde la tracción del viento en superficie

dividida por p , f es un coeficiente adimensional de fricción y

//31

(6;35) o: \/u7+ v2

Las ecuaciones anteriores implican las aproximaciones de relación en­

tre profundidad y anomalíade altura del nivel del mar, así comola relación

de escala entre la longitud del área considerada y profundidad que se ex­

pusieron en el Apéndice I. Es de notar que para 1a sub-área interior la

aproximación h:>C deja de tener validez en los casos de las grandes on­

das de tormenta e implica por cierto, una fuente de error muydifícil de

eliminar.

Si asumimosque R es el aumentode agua por precipitación y escurri­

miento, al integrar verticalmente la ecuación de continuidad (6.32) se con­

vierte en: iW wasA los fines de obtener los términos de tracción del viento, flw , en

sus componentes Tr, 13 r donde:

(6'37) 'T": X’HYÍÍ = Ïri“ ïalt

efectuamos las transformacioneS‘que siguen.

Los versores: unitarios en el plano horizontal según r y.0 son de (6.15.1):

_ng: cos 0‘ Ii + sen 0: Ii,¿p '

'¿firsenü ¡í +605 6 Ii¿6

Resolviendo:

ú: c056 m _ sm16 u

Ij; smmünn + c056 n

//32

O sea

(6.38) H={XcosG+Ysen6)m+(—Xsen6 + .Ycos6 ’ It

Conlo que nuestras expresiones de transformación son:

T,_— X cosB+ sen 6

(6-39)

Ta=—X‘sen6+ cos 9

que nos permiten computar Tr y T9 conociendo las coordenadas r, a del

punto y las componentes X, Y del viento para ese mismo punto.

Á su vez X, Y pueden ser calculadas con expresiones del tipo (wil­

son, 1960; Reid and Bodine, 1968).

(6,140) x = KW2cosy

(6.41)_ Y = KWZSeny

donde X=_.í y Y:_'.Lp p

(642) K=Kl wgwc.2

(6-143)‘K=K¡+K2(Í_.w_) W>WcW

(6.1.4) K: 1.1 x 10-6

(6.45) K2: 2.5 x10—6 W¿= ¡4 Kt

//33

y es el ángulo contado desde el eje x positivo hasta la dirección hacia

donde el viento sopla, Wees la velocidad crítica del viento a la cual la

superficie del mar se torna hidrodin‘ámicamente"rugosa"­

Con.(6.33), (6.34), (6.36) y (6.39) podemosescribir:

bv-_ _ b¿ a_b_t__ AU E__l)_0_Xsen‘ + Ycasa_f_QIíV2

t

(6.156) íCr_ + _1_b Ur}

ribV __R[1-78-5­

(-0­

bu_ Av-gDQ¿_ a '0f3..- of Xcos +Ysen -19602

Comoantes mencionamos, a los fines de la computación para el caso que

tratamos es conveniente hacer afin una transformación más

Con 6. n 6.46 con Ó.-. :Q 131.2; ¿L­( e ( ) y .or br br ckbr

podemosescribir comolas ecuaciones definitivas en un sistema de coordena­

das r, 6 , t a las siguientes expresiones:

6.1+ bU IW LEM-X c050 - Y sen0_f U( 7) bt- + ,_ _. + 90.2.ck br

6,u8 ¿v AU LQÓ¿__XSGFI6 Ycos6 _{ V( ) + I 6-6.- + 307­

(6.u9) . 4. _L.glud 1 bv _ R- É‘ÏÁ-rïk f +7376­

fijaremos pare el cálculo numéricouna grilla del tipo de la indicada. en

la figura 13, ya previamente mencionada.

Para completar el trazado de nuestra grilla consideraremos la conve­

niencia de conservar pocos requerimientos de almacenamiento junto con un

razonable poder de resolución.

Para determinar un adecuado Ar , comenzamospor calcular

c - c(r) según se ve de Tabla l y figura 15.

//3'+

Con esos valores y con (6.4) calculamos r según se indica en Tabla

Con las cantidades de Tabla 2 podemosdeterminar r - r (r), según

observamos en fig. 16.

De fig. 16 vemos que eligiendo Ar del orden de 1000 s leemos los va­

lores de los radios que son' aquéllos de Tabla 3. UsandoA6= 3° y con los

valores de los radios previamente definidos, obtenemosun sistema de coor­

denadas compuesto de algo más de 900 bquues, lo que puede ser manejado

por nuestro sistema de computación. En la parte más baja de la sub- zona

interior la resolución es de 5 km, lo que resulta aceptable.

A los efectos de la computación, usando diferencias centrales y re­

cordando la dirección de j y k crecientes, así como1a de los versoreSIn

y ¡t , las ecuaciones (6.47), (6.h8) y (6.h9) se transforman del siguien­

te modo:

(6.50). u¡k .=_¿_ALYiLr¿:L + An+1G G

Donde:

-2

(6.52) A: u¡kn-i + A At Vik'n-Fg gí- :Dik ¿“fin ' ¿ik-ln +2At x”cosQÜL'i-Yflsen(9l

u

//35

De (6.48)

Vlknbl‘_vlkn¿|:_ Á Unml+uikn—l - E—D2 r]u.¿”Mijailk 2A0

_ X“ sen Or + Y“ cos 0¡ _ _LQ|'¡n-]2VÍkn+]¡k

O sea:

ijnfl: — UIin-rl+DIU?

Donde

(6'54) B: vikn-l - A At Uikn+|+ SALEN ¿Hum - ¿ii-¡kn +‘ Ík

+2 At _ xlksen 0¡ + chos 9¡

(6.50) y (6.53) nos proveen el sistema para el cálculo de U, V de:

Ulkmr- ¿Gm-VIH“ = e

¿mi “um. + vlkn+l=gG

(6-55) U

(6.56) Yun“:MA:

que ya habíamós obtenido en el párrafo 5, pero para distintas expresiones

//36

deAyB.En cuanto a (6.49) se transforma. en:

Qui:C¡.,n-.=_¿ __‘_ i R2 At rkïk 2 Ar 'k 2136

De donde

¿Íknq: ¿“n-1+ EL UlkÏ-Inr¡HL-uik-H"tk" +TrkEk

+ A ( Vlukn'VÍ—Ikn) + RA6 rIK

A fin de determinar un At tal que permita mantener la estabilidad de

computación, se selecciona: (6-58) Al <( % )mi'ndondeAs es la longitud de la. diagonal del bloque j,k en

nuestra grilla ("-fastanoy Reid, 1967: Reid, comunicación personal, 16/12/

1970).

De fín. 17, recordando que a causa de gue A0<<1se puede aceptar que en

’ )2 2 Ael b10que mm? es: ¿LS-M = As r + r = AREA M'NO- 2

, Ay que el area I'IITOPEAN-AG , pero siendo ¡4230?s 2 l-flv’o resulta:

(6-59) ¿ss = .__¿LL¿¿;1x5L.

Wr AQL‘ AI):

Pero Ar = c Ar de modo que de (6.58) es:

(6-60) At <( Arm/10(rAa)2+(Ar)' 2 .c mm

En nuestro caso es:

//37

A0 =3° y Ar= 1000 seg

Con esos va lores y con los parámetros conocidos es posible computar

el tiempo mínimode trayectoria.

(6.55), (6.56) y (6.57) nos proveen las fórmulas necesarias para el

cálculo de los puntos interiores de 1a grilla, conociendolas variables

correspondientes en los bordes.

6.2 CPT'DICIOPÉS DE COEF’É‘ORNO

A fin de calcular los puntos del borde, usamoslas siguientes condi­

ciones de contorno:

a) Para los bordes marítimos:

1) En el borde externo:

El borde ha sido demarcado en zig-zag, de tal modo que U y ‘J no son

necesarias en el borde y para C especificamos una condición de radiación

'del tipo:

on;u donde Qn>0 y U>0 cuando están

dirigidos hacia afuera del dominio.

Ello significa que para n impar:

(6.61) ¿”MF‘IFUWW’CS donde k=1,2 , j=2,1¡+ y ¿a es

la altura de la mareaastronómicapara el punto j,l de la grilla.

2) Eh los bordes izquierdo y derecho:

(6-62)0n: v ', (6.63) .0'na'I-‘l , respectivamente. Luego, para n

impar es:

(6.6L!) ¿MH =V¡¿..knÍCs+ ¿g 5: (61‘5) ¿iknu=_vl-Iknlcs + ¿g

donde j= 1,2 y j= 14,15 respectivamente y k varía desde 2 hasta el punto

costero de la grilla.

b) Para los bordes costeros:

Asumiremos:

1) que en la línea de costa es DLk- l m

2) que el flujo normal es nulo (On-0 ), por lo tanto para sementos

de costa paralelos a lt es U-Oy para segmentos de costa paralelos

a m es V=O.

Por lo tanto, para una costa orientada a. lo largo de It , de la ecua­

ción componenteen V, siendo U-Opara n-l,2.....1

v ¡:——...__1_____V n__¡ %.(¿Í+Ikn_¿Í-|kn) +¡m 1+‘2f Atvmfioi'k2 H - ' t¡(A6

+ QAÍ _Xn‘sen 6i+ Y‘lkCOS6’)

donde Dj'k puede ser considerado cemose dijo antes o tener cualquier

valor real diferente de cero; lo que nos permite calcular V a lo largo

de la costa para cualquier n.

Análogamente, para costas paralelas a m, siendo V=0para n=l,2.....

es:­

(6'67) uiknwu _—1____._ UÍkn—|+—g—4—’—m“(¿“wm -¿ik-In)1+2tAtu,kn_.o¡;2 Ar Ck

+ 2AÍ[ chos 0' ijSBn

lo que nos permite calcular U a lo largo de la costa para cualquier n par.

Las fórmulas (6.66) y (6.67) nos permiten obtener los datos para to­

dos los segmentos de costa cuya longitud es tal que C¡h4n .¿lbqn .¿FHkn­

¿qun. estén definidos.

En cuanto a los otros bordes costeros y fluviales el uso de la ecua­

ción de continuidad nos permite computar las alturas del agua usando el

siguiente criterio de ponderación, de acuerdo a la ubicación específica

del punto de grilla.

A fin de establecer la expresión matemática apropiada, vemosde la

rip. 18 que usando el teorema de la divergencia y la ecuación de conti­

fisz'ádA:_fvndsdonde dA y ds son áreas y segmentos elementales, respectivamente, y vn

nuidad:

es el flujo normal.

Para el cuadrado que rodea al punto de grilla j,k y usando diferen­

cias finitas:

(6.68) = (VBAr_ VAAr) +(Ua AB? ,UsAarA2Í .

A: (ru/39m)“

Siendo: A: (HAB Ar A,donde A¡ es el factor de peso del área e igual a l para el bloque total,

0,5 para la mitad y 0,25 para un cuarto del mismo. E1 primer factor de pe­

so corresponde a cualquiera de los puntos interiores, el segundo a áreas

costeras rectas y el último a las esquinas salientes.

De (6.68) y siendo A! = CmAr

(6.69) A4 =[2At m (vB _ VA] +_2_AL UB'rB__um“ Aí'kAÜ. WCmAr¿

los flujos Uy V son reducidos a la mitad si corren a lo largo de la cos­

ta, siendo los del lado terrestre obviamentenulos.

En los puntos de unión fluvial se aplica (6.69). La descarga fluvial

media, 0m, se asumeque se distribuye en un sector de la grilla en el lími­

te superior (k=61, j- 5 a 7) y en otro sector de grilla en el costado dere­

cho de la sub-área interior (j=15, ka 55 a 61). Las componentes U o V ha­

cia adentro del dominio se toman como:

RU:QNSk sl

donde Sk, Sj, son las longitudes de la costa que comprendenlos correspon­

dientes sectores para los cuales se computa Uy V.

Para la aplicación de (6.69) a los puntos de unión fluvial g se to­

maextendiendo la grilla más allá de k=6l en una distancia ¡(64 - ¡(50),siendo entonces:

¡B z y ‘sll _ [ rtsll é r ¡56’ J

6.3 CALIÉRACICï DEL HCDÉLO

Los requerimientos previos a la calibración eran: a)se1eccionar la

grilla, b)establecer un programade computaciónconveniente, c)coleccionar

los datos necesarios.

En cuanto a a) se efectuaron varias aproximaciones cambiandola línea

de costa virtual de tal modode obtener en el modelo una superficie de a­

gua tan próxima a la real comofuera posible y de acuerdo a la resolución

de rrilla elegida. Debidoa las condiciones de contorno se evitaron las

esquinas salientes-donde Uy Vtuviesen que ser calculadas.

Numerososensayos condujeron al programa que aquí se incluye (Tablas

//40

7 y 8). El mismoconsiste realmente de dos programas, A y B. El programa

A refina la grilla preliminar, computael tiempo mínimode trayectoria a

fin de establecer el intervalo conveniente entre iteraciones, asigna un

código nominador para la más adecuada aplicación de las ecuaciones y pro­

vee de datos de entrada al programa B.

El programa B computa U, V y H (designación en el programa para 4 ),

por medio de un procedimiento repetitivo. Finalmente, los valores de H pa­

ra localidades seleccionadas que corresponden a áreas con mareógrafos, son

impresos cada intervalo de tiempo de ZAt.

A los fines de la calibración es necesario conocer la marea en los

bordes externos. Dadoque para allí no hay'información disponible, la ma­

rea astronómica fue reemplazada aproximadamentepor el cálculo de una on­

da de marea M2, asumiendo amplitudes y tiempos de retardo para j=l, Rel;

j= 15, k=l de acuerdo a otros estudios (Dietrich, citado en Defant, 1961).

Se asumió que la onda general de marea se propaga paralela a la costa, así

comoque los contornos cotidales y los de amplitudes son perpendiculares a

una determinada línea azimutal. Las amplitudes y fases para otros puntos

se obtienen por interpolación lineal.

Para una verificación adicional, se seleccionó un caso real donde las

alturas coincidieron con las de marea astronómica. El lapso 1h—15de noviem­

bre 1966 se seleccionó también por poseer registro en un punto interior de

la subárea exterior (Torre Oyarvide). Los valores de marea se refirieron

a Cabo San Antonio (Fondeadero San Clemente) usando los contornos de ampli­

tudes y cotidales de otro estudio (Balay, 1954). La onda M2computada para

este caso se muestra en fig. 19.

Las condiciones iniciales para todos los puntos de la grilla han si­

do U=o V=o 4:0.

El campode las profundidades se mantuvofijo. E110evitó dificultades

que se experimentaron en ensayos preliminares donde la inestabilidad de cál­

culo y valores de Dnegativos impidieron la realización del cálculo.

Los términos de tracción del viento fueron hechos nulos para todas

las corridas de calibración a fin de permitir 1a_calibraci6n misma.

Para las corridas de computaciónse utilizaron los valores del coe­

ficiente de fricción de 0,0025, 0,0010, 0,0001 y 0. Durante esos ensayos

se variaron las amplitudes en el extremo exterior. En las condiciones de

radiación se usaron c =Vfifiñï así como.°s=VG;B:, la velocidad de propaga­

ción de onda en aguas profundas. La última fue la que se mantuvo para co­

rridas siguientes.

Los resultados de esas corridas están sintetizados en la Tabla 9.

Para ajustar el programase realizaron un gran númerode corridas cor­

tas variando los parámetros y las condiciones de contorno. Algunas de ellas

llevaron a computaciones inestables. Tambiéndespués de diferentes correc­

ciones fue necesario realizar un completo relevamiento de todo el campo

por medio del computadora fin de seleccionar un Al que diera cálculos

estables; el mismo es más pequeño que los valores mostrados en Tabla 4.

Las dificultades encontradas en los bordes marítimos forzaron a cam­

biar por un borde externo'en zíg-zag (que se indica en línea quebrada en

fig. lb). De este modolos flujos de U y V en los bordes no eran necesa­

rios y la condición de radiación se estableció usando los flujos computa­

dos para los puntos de grilla interiores inmediatamenteadyacentes.

Los problemas que se experimentaron en el límite fluvial fueron solu­

cionados tomando los flujos entrantes de U, V comose dijo en 6.2. La des­

carga fluvial total fue repartida proporcionalmente comosigue: 5.000 m35-1

para el borde fluvial superior y 15.000 m3s'1 para el borde derecho.

El‘cómputode las alturas en las áreas costeras presentó varias di­

ficultades. El uso de la ecuación de continuidad con convenientes factores

de ponderación probó ser un medio útil para computar las alturas de agua

requeridas, siendo mejor que otros métodos ensayados.

El programa diseñado fue corrido en computadores IBM360/50, IBM

360/65 y UNIVAC1108. Los resultados de las corridas de calibración lleva­

ron a adoptar r=0,001 comoel que mejor aproximaba a las condiciones reales.

La onda de marea H2de entrada fue reproducida aceptablemente excepto en

lo que hace a su tiempo de propagación, que fue 12 a 20%en exceso

//42

del tiempo real. Enciertas partes de la costa uruguaya la adaptación

es más desfavorable que aquella. Las ondas de marea en localidades se­

leccionadas se comparana ondas predichas por un predictor de mareas en

la fir. 20.

Uncaso interesante fue el corrido para f-O que se exhibe en fig. 21.

Se corrió otra pïmta para el modono-rotacional: sus resultados se indican

en fig. 22.

6.h "SLIEIoACION DEL MODELO

Para ese propósito se eligieron dos ondas de tormenta: la de julio

de 1958 y octubre de 1967. La primera mencionada ocupa el segundo lugar

entre las alturas anormalesregistradas y resultó la másdesvastadora; la

serunda fue de menorduración y no tan significativa.

Los esfuerzos de tracción del viento fueron obtenidos por medio del

análisis de las líneas de corriente e isogonas efectuados cada 6 horas.

De ellos se determinaron la velocidad y dirección del viento para cada

punto de la grilla. Los esfuerzos computadoseran luego interpolados li­

nealmente para el tiempo de iteración conveniente. Por medio de un marca­

dor adecuado se aseguró la compatibilidad en tiempo entre la información

del viento y la oportunidad de su uso. Dadoque para usos operacionales

la lectura de datos para cada punto de la grilla consumemuchotiempo, se

intentó una interpolación lineal en el espacio, con resultados aceptables.

Este modode operación reduce el tiempo invertido en aquella tarea en al­

rededor de un 204.

La primera prueba fue realizada para la onda de tormenta de julio

de 1958 por haber sido la mejor estudiada previamente. Los resultados se

compararoncon alturas de marea filtradas por el filtro 5-39 (Croves,

1955), así comotambién con las alturas de onda de tormenta obtenidas por

sustracción de la mareaastronómica. las primeras corridas de verifica­

ción probaron que el efecto del viento era considerablemente menor que el

real. Consecuentementeel factor de esfuerzo fue modificado, haciendo

K = 1 5 x 10-6 , K a 3 5 x 10-6, subsiguientemente la velocidad del vien­1 i 2 v

to se incrementó en 30%dado que los análisis fueron hechos contando so­

lamente con la observación de estaciones terrestres excepto en dos luga­

res aislados.

Las diferencias de amplitudes y fases entre los picos de la onda de

tormenta observados y computados, así comolas alturas se comparan en fig.

23, 24 25 y 26.

La computación de la onda de tormenta de julio de 1958 muestra la

debilidad de contar con análisis de vientos cada 6 horas y de asumir li­

nealidad en la función de impulsión a través de la interpolación entre

los análisis sucesivos. El intervalo de 6 horas fue elegido a propósito,

con mira a las posibles aplicaciones operativas del método. Para todas

las localidades hay una indicación de un débil acoplamiento de energía

entre la atmósfera y el_agua para el modeloen las primeras etapas y/u

otros efectos hidrostáticos en la gran área bajo estudio, para la direc­

ción de viento dada. Es significativo y coherente para todas las estacio­

nes el retardo de la función de respuesta del espejo de agua.

Observandoaquellas características, se usó un campode viento sim­

ple, conservando la velocidad, pero cambiandola dirección para aquellas

etapas en que el análisis del viento difería en algún modocon los vien­

tos geostróficos de las cartas del tiempo. Se efectuó esa corrección só­

lamente para el área másdébil de análisis del viento (es decir la sub­

área exterior).

El segundo caso de verificación exhibe una mejor correspondencia

entre la computacióny 1a realidad, a pesar'de que sólamente se obtiene

un buen ajuste para la isla de Martín García (Tabla 10, fig. 2?, 28, 29

y 30).

La respuesta en el segundo caso de prueba si bien muestra un mejor

seruimiento de los cambios reales de la superficie del agua, en general,

falla en la predicción del pico.

La fase de la predicción está muchomás en correspondencia con la

real función de la onda de tormenta. El análisis del viento y los lap­

sos entre análisis fueron para el segundo caso comopara el primero,

aunque la evolución meteorológica y las secuencias de vientos fueron

diferentes y las discrepancias con las cartas meteorológicas ordina­

rias eran menores.

Las fig. 31 y 32 muestran la acción del viento en el pico real de

la onda de tormenta para cada uno de los casos de verificación.

Para la mejor predicción un campode vientos razonablemente pro­

nosticado es imprescindible. A pesar de que la sensibilidad del mode­

lo a la dirección del viento no se ha puesto en evidencia en el primer

caso, al virar el viento en una zona restringida y recomputar, se pre­

sumeque otras pruebas pueden llevar a distinto resultado. Precisamen­

te, el análisis del viento en la zonaexterior es inexacto y difícil

dependiendode la red sinóptica ordinaria.

7. QQEPARACION DEL METODO EQMEBICO CON EL METODO EN USO

La predicción por el método en uso actualmente se da tres veces

al día. Se basa en la correlación empírica entre el nivel de la super­

ficie del agua y la dirección y la velocidad del viento en la sub-área

exterior. El área de predicción abarca las sub-áreas interior y media

hasta alrededor del km66.

El método asumeun retardo casi nulo entre la acción del viento y

la respuesta del agua. Su aplicación depende en cierta forma de la ex­

periencia del operador y de su juicio profesional. Conociendolos valo­

res iniciales y con la corrección obtenida por mediode un gráfico o

tabla se da una altura final para el período de predicción (Balay,

1961).

Un estudio sobre 1a confiabilidad de este método (Junod y Valdez,

1972) señala que el acierto de la predicción para períodos de 0 a 12

horas es del 60 ó, considerando comoaceptable una predicción cuando

la curva de la altura real está dentro de ( Nt 1/2) pie, donde

N=O,1, 2, 3 variando de acuerdo al caso predicho..

Comoejemplo, las predicciones para octubre 9-11 1967 fueron re­

dactaoa: comosigue:

09-1600 a 10-0500: Coincidiendo con los valores tabulados luego

aumentando hasza un pie.

09-2200 a 10-1100: Coincidiendo con los valores tabulados luego

aumentandohasta dos pies por sobre aquéllos.

10-1000 a 10-2300: Cinco pies sobre los valores tabulados, luego

aumentandohasta siete pies sobre ellos.

10-1600 a 11-0500: Siete pies sobre los valores tabulados.

10-2200 a ll-llOO: Seis pies sobre los valores tabulados, luego

disminuyendohasta cuatro pies sobre ellos.

11-1000 a ll-2300: Un pie sobre los valores tabulados.

La tendencia dada comparadacon la curva de altura real (fig. 27)

muestra la dificultad en dar más que una correccion general estimada.

La necesidad de una corrección más definida es obvia, si bien di­

fícil de obtener.

La diferencia mássignificativa con la predicción numérica es la

posibilidad de estimar valores de altura en otras localidades fuera del

área de la predicción y en la factibilidad de ser numéricamentemás es­

pecífico. La información en los trasportes estimados merece mayor consi­

deración e investigación, pero puede resultar una útil elaboración 1a­

teral.

Dadoque para los casos estudiados lo que se ha realizado es más

una computación que una predicción, no es útil el comparar ambos méto­

dos con la información presente. Aparte, es esemcial experimentar en

varios casos en situaciones meteorológicas diferentes. Es de interés

notar que la eficiencia en el método numérico depende estrechamente

de la exactitud en la predicción de los mapasmeteorológicos y en un

conveniente lapso de predicción.

¡0/46

8. CONCLUSTONE

1. El modelodesarrollado provee las bases para una futura expe­

rimentación acerca de las diferentes situaciones meteorológicas y las;respuestas del río.

2. Es necesario efectuar experiencias en las que la información

del viento es especialmente confiable y en que hay estaciones suplemen­

tarias distribuidas convenientementeen-e1 área acuática. Por mediode

esas experiencias se puededeterminar la representatividad de 1a red

terrestre al fin específico. De acuerdo con los casos computados, Punta

del Este (Uruguay) parece ser una estación representativa para el campo

de viento en las sub-áreas mediay exterior.

3. El análisis de isosonas y líneas de corriente parece no ser tan

adecuado comoel uso de los vientos geostróficos de las cartas meteoroló­

gicas regularmente analizadas, pero no hay una clara definición a ese

respecto de acuerdo a este estudio.

h. Es de interés investigar la diferencia en resultados finales entreel

uso de cartas pronosticas por periodos de 6 homscomparadasconlas de3 horas.

5. Para el uso reular de la predicción numérica se requiere inves­

tigación adicional que adapte algunas de las tareas para un conveniente

uso operacional a la vez que probarla para predicciones en lugar de com­

putaciones de las ondas de tormenta. Esa investigación es, por los medios

disponibles actualmente y su amplitud, fuera de factibilidad para el pre­

sente estudio.

6. El plan de establecer una red de mareógrafos automáticos en di­

ferentes lugares del rio - actualmente en ejecución- no disminuye el in­

terés en perseguir una mejor predicción de las ondas de tormenta.

7. Los resultados observados indican que el método es merecedor de

futuras mejoras.

9. AGRADECINIBNTOS

Este trabajo ha sido posible a través de la generosa ayuda de va­

rias personas e instituciones, no todas ellas citadas aquí. E1 Servicio

de Hidrografía Naval (ArmadaArgentina) brindó cierta computación de da­

tos y algunos dibujos: el Servicio Hidrográfica (R.0. del Uruguay) prove­

yó información mareológica de las estaciones uruguayas. El organismo de

Sistemas Electrónicos y Computación Automática de Datos (ArmadaArgenti­

na), Texas A fi H y 1a Oficina Cceanográfica de la Armadade los EE.UU.

amablementepermitieron el uso del computador. La ayuda y consejo ofre­

cidos por el profesor Robert O. Reid han sido esenciales para el desarro­

llo de esta investigación. A todas las personas y organizaciones nombra­

das así como a aquéllos que no son específicamente mencionado pero que

cooperaron en diferentes maneras, el autor está profundamente en deuda.

APEHDICE I. ANALISIS DIHENSIONAL

Para conocer la limitación que implica el asumir que la advección

de momentoes nula, siguiendo los argumentos expuestos por Charnock y

Crease,(l957) comparamoslas magnitudes relativas de los términos en

cuestión.

A esos fines hacemos 3L_ y .í_ de (5.2) y de (5.4) res­

pectivamente, de donde elimijzndo el térZZno de la presión y asumiendo

9 = constante obtenemos:

«2

(1.1) o u ¿lugar L(Vï{)+ a_ (wï) _A_a¿/___¡ 3213+3? az 8x az ay 82 az az p 32?

=‘233. + Ami) ¿(vay A (“L”)BTBX ax ax 3x By ax bz

Despreciandopor ahora, y a los fines de nuestro análisis, las fuer­

zas de fricción; de (1.1) tenemos:

(1.2) azu ¡Faq +leï) +a_(wy) ¿aa+az 32 áx az ay az az az

azw 3 (uaw) a (vaw)._ q.- —-— + - —' "‘

afax ax ax 3x ay2 (wa-w)a'x az

Considerando la ecuación de continuidad para un fluido incompresi­

ble: .vov. o y asumiendo que:

Z, es la anomalíacaracterística de la altura de_agua.

T, es el período característico de la onda de tormenta.

L, es la longitud característica del área de mar bajo la onda detormenta.

í, es la profundidadcaracterística.ha

U, es la velocidad horizontal característica.

w, es la valocidad vertical característica.

Deaquella ecuación de continuidad se obtiene: %!.--gï¡'z x,o sea la relación entre las magnitudesde las velocidades verticales y

horizontales esta dada por:

W p U

(I.3) " “'0 I' donde la notación o implica el orden de mag­H ­

nitud de; luego:

La velocidad vertical varía entre cero en el fondo y WS-JN

8la superficie, o sea de (1.4) las magnitudeshorizontales son:

T _H

Utilizando (1.2) y comparandocada término con respecto al primero,

con las dimensiones características antes anunciadas obtenemos:

a (uï)3} az

azuafaz

IN

O) N o) N IN

afaz

32W

atax = fi?­azu L2afaza uaw

íx__az.= o ¿(uf32u H L

ataz

3 vaw

Aü .32 _ AT

azu

a+azEh cuanto al término rotacional, si v es de diferente magnitud que

u obtenemosuna expresión distinta. Si b es el ancho característico del

área en consideración, de la ecuación de continuidad:

V=OE=O ¿.2H T H

Luego,.es:

H_va AbTZ ==O ____

32u L

3T32

Los resultados anteriores indican que:

l) Si Z < H (o sea 1a anomalía de altura producida por la onda de tor­

menta es pequeñarespecto de la profundidad) se pueden despreciar los tér­

minos de advección de momento.

2) Si H < L y Z í: H (o sea si la relación de escala entre la longitud

característica del área y la profundidad es grande cuandola amplitud de

1a anomalía al máximoes igual a la profundidad) la aproximación hidros­

tática es válida, por cuanto los términos correspondientes a la acelerap

ción vertical son casi nulos. _

3) E1 término de Coriolis es importante para los períodos usuales de las

ondas de tormenta, especialmente en latitudes medias y altas. Ese término

sin embargo, puede ser despreciado para canales o ríos donde %.<<'En el área bajo estudio la importancia del término rotacional es evidente.

Igual procedimiento que el anterior, entre ecuaciones (5.3) y (5.h)

nos permite llegar a despreciar los términos no lineales de las componen­

tes del movimiento en y.

APENDICE II. DIFERENCIAS FINITAS

Para ello, desarrollando f (x * Ax ) por una serie de Taylor:

(II.l) f (x + Ax ) = f(x) + f'(x) Ax + f"(x) _é¿? s ......2!

De donde es, tomando los dos primeros términos

(11.2) Cf(x) = fíx + Ax) - f(x) + e 1CX Ax Ax

donde é y , es el error siendo

HLB)PI =cfiñg_.a%

dx? mPor el mismodesarrollo es:

II.@ ,( ) Hx-;kd = Hx)-f'00 Ax+H'm) AQ-f“'u) É h.”2! 3!

Restando (II.h) de (II.1) usando sólo los cuatro primeros términos

de cada serie es:

(IIoS) df(x) f(x + x) - f(x - x) + e.2dx 2Ax ¿x

Donde:

(II.6) . c.2= ELÏLQíL4¿5_ es el error.dx3 3!

Las fórmulas (II.2) y (11.5) constituyen 1a forma de calcular la

derivada por diferencias finitas de dos puntos, adelantada y central,

respectivamente. En ese cálculo se desprecian los últimos términos por

lo que los errores son

d2f(x) A x y d3f(x) Ax paradx2 21, dx3 3!

las diferencias adelantadas y centrales, respectivamente. Las diferen­

cias centrales permiten mayorexactitud que las diferencias adelantadas,

por lo que aquéllas son más convenientes. (welander, 1961).

Nuestras ecuaciones dependende las variables independientes x, y,

t, excluyendo los valores de las "funciones de forzamiento" o "impulsión".

Para resolver aquellas ecuaciones será. necesario entonces, elegir

Ax, Ay, At. Veamoslas consecuencias que ello puede tener en

nuestra solución al sistema (5.13), (5.110, (5.15).

Es evidente que los incrementos finitos Ax, Ay, At, de­

ben ser muchomás pequeños que las dimensiones características de las

perturbaciones estudiadas a fin de representar los valores que se desean.

Noobstante, el solo hecho de disminuir los Ax, Ay; At no

asegura que las soluciones de las ecuaciones de diferencias finitas con­

verjan hacia la solución de las correspondientes ecuaciones diferenciales

(Courant, Friedrichs and Lewy, 1928). En el caso de ecuaciones del tipo

hiperbólico, comoes la ecuación de ondas, si el incremento de tiempo ele­

gido para el c'a'lculo de extrapolación es mayor que el que corresponde al

de tránsito de la onda entre los puntos de nuestra red de cálculo, se pro­

duce la amplificación del error accidental en ciertas bandas del "espectro".

Cuandose produce esa amplificación, que distorsiona los cálculos, se dice

que hay inestabilidad. La misma,de carácter matemático, invalida el cál­

culo e imponeuna primera restricción a la solución de las ecuaciones de

interés.

La expresión aproximadadel error cuando se reemplaza la derivada por

una.diferencial finita esta. dada.por (Harris and Jelesnianski, 1964):

(II°7) €.= A(x,y)ei(ui¡8)*

SiendoA, (¡fo 1+0 5+0:

Para obtener que a = o_ se imponencondiciones del tipo At f. H

Donde M =‘M ( AS ) siendo As la expresión genérica del

Ax, Ay elegidos.

La forma de la función Mdepende del tipo de ecuación a. diferencias

finitas .

Por otro lado el decrecimiento.excesivo de esos incrementos puede

hacer el númerode repeticiones y el correspondiente almacenamientode

datos, de una medida tal que el mismono es manejable o económicamente

práctico.

La inestabilidad se nota porque la energía del sistema crece o de­

crece sin correspondencia con los términos de las ecuaciones. Es difi­

cil obtener conceptos teóricamente rigurosos que den las condiciones de

estabilidad en las ecuaciones de diferencias finitas que se presentan en

los problemas geofísicos prácticos. Por eSa razón, muchasveces, la prue­

ba final se obtiene estudiando el comportamientode la solución al produ­

cirse perturbaciones introducidas exprofeso (Harris and Jelesnianski, 1964).

La inestabilidad antes mencionadase la atribuyü en un principio al

uso de coeficientes de fricción inadecuados (Harris and Jelesnianski, 1964).

En realidad la misma es un fenómenode naturaleza matemática (Thempson,

1961).

Las ecuaciones (11.3) y (II.6) indican que los errores de truncación

son mayores para las armónicas más altas, por cuanto son proporcionales a

gg; y .ÉÏÉ3 . En especial los términos no lineales tienden aproducir transferencia de energia de las armónicasprincipales a las de

órdenes superior e inferior (Harris y Jelesnianski, l96h).

APBNDICE III. SUAVIZAMIÉNTO 0 FILTRADO

En cuanto a esos factores de inestabilidad últimamente comentados,

pueden ser atenuados por el "filtrado" o "suavizamiento" de los términos.

Ese métodoha sido aplicado con éxito en el cálculo numérico de otros pro­

blemas geofísicos (Shuman,l95?). Entre los métodos usados, es de aplica­

ción:

(111.1) fix) = ¿- { f(x- Ax) + 2f(x) , f(x+ Ax) }

donde Ï es la función "suavizada".

Aquel "filtro" permite anular las armónicas de longitud de onda igual

al doble del incremento elegido ( A m, A y o A t según sea el

caso).

Conlo antes discutido se observa la necesidad de:

a) obtener la expresión en diferencias finitas correspondientes a las ecua­

ciones diferenciales elegidas;

b) Introducir en las expresiones resultantes la solución que verifique cum­

plir el problemade valor inicial que estamos tratando;

c) obtener de estas últimas ecuaciones una función del tipo At¿_ M

donde L = M ( As) que nos indique el valor límite de incrementos fi­

nitos temporales para con ellos determinar los incrementos finitos espacia­

les que sean satisfactorios para el tratamiento del problemay económica­

mente factibles desde el punto de vista de la computaciónelectrónica;

d) aplicar a las mismasla fórmula de filtrado seleccionada.

A los fines de la discusión que sigue estableceremos una grilla rec­

tangular que simula el cubrimiento de un área de estudio hipotética. Esa

grilla será del tipo de la indicada en fig. 7 o fig. 8, según se considere

o no el término rotacional.

Eligiendo el sistema de diferencias centrales para el cálculo de las

diferencias finitas, se verifica para un punto N (j,'k) que es:

(111.2) Df(.x,y)\a f(j+l1k)—m-IJLI

a x Jk 2Ax

"Suavizando" en el sentido del eje x es:

(111.3) ?(¡+I,k) - ?<¡-I¿k)ZAK

'Donde

(111.4) F(¿+¡,k) = ¿-[f(j+2,k)+2f(j+l,k)+f(j-2,k)] ­

-—-é[| 2 IJf(j+|,k)

. r .. . m . .

Slendo L J una nota01ón convenczonal para 1ndlcar el proceso de"suavizameínto" o "filtrado" aplicado;1los coeficientes encerrados entre

los corchetes.

"Suavizando" en la dirección del eje y

(III-5) ?<J+I,k) ==¿[f(j+l,k+l)+2f(j+l,k)+f(j+l,k-I)J =I

=i 2 f(J+l,k)I

0 sea que suavizando en los sentidos del eje x, y e independiente­

mente de en qué sentido se efectúe el primer suavizameinto es:

- I

(111.6) f(j+l,k) ==¿ 2l6 I

f(j+l,k)NÁN ._N_.

Volïríendoa (III.3)

(III.7) aí(><,x) á; [-?(j-I,k)+ï(J+I,k)]=3x ZAX

-l *2 0 2 I

g ¡ —2 —4 o 4 2 f(J,k)

-M L—¡ -2 o 2 IJLJ

La expresión anterior puede ser aproximada por:

-I O l

(III.8) __--’ [-13 mm

— —l o I

(111.9) __[_¡--2 o 2 “¿,107 JK :4- L" o l

z I 2 I

(III.lO) s.- =I o o o f(j,k)Jk '8As ' “2 "

A la. mismaexpresión se puede llegar por una expansión en series de

Taylor para dos variables (Harris y Jelesnianski, 1961+).

(III-11) ïM—)=——-'— [a{f(x+Ax,y+Ay)- f(x-Ax,y+Ay)+ax _(4a+2b)As

+ f(x+Ax,y-Ay) - f(x-Ax,y-Ay) } +b{.f(x+Ax,y) - f(x-Ax,y)}] '=-a 0 a ,

l -b 0 b f(x,y)

(4a+2b) AS ’a o a

dondea=l b-2

Otro tipo de suavizamiento utilizado Seta. dado por (Welander, 1961).

(111.12) ?(j,k) = af(_¡,k) + |—a_ [f(_j+l,k) —f(j-l,f<) + f(j,k+l) +4

+ f(j,k'l)]

..

donde 0 ¿y <l

Utilizando diferencias finitas centrales, las ecuaciones (5.13 - 5.15)

se convierten en:

(III.13) U(j,k,n+l) - U(j,k,n-l) ==-gD(j,k) _C(¡+!,k,1) - g(j»¡,k,n) +2M 2Ax

+ A v(J,k,n+I) + V(j,k,n-I) + X(j,k) —{Q(J,k.n-I)U(j,k,n+|)

2 02(J,k)

(111.14) V(j,k,n+|) —V(j,k,n-I) :3 LgD(J,2> (j,k+¡,n3 - (J,k-l,n) —2A+ 2Ay

- Á'U(J,k,n+l) + U(j,k,n-I) + Y(j,k)' - f0(j,k,n-l)V(J,k,n+l)2 02(J,k)

(111,15) gij,k,n#l) - c(j,k,n-l) I= UÏj+I,k,n) - U(J-|,k,n)ZAT 2Ax

_V(J,k+l,n) - V(_j,k-l,n)2Ay

Dondelos subíndices j, k, n expresan coordenadas horizontal, verti­

cal e instante respectivamente. O sea ix = AX-J: y = AY-k: t = nA+

Por comodidad para 1a computacidn haremos: Ax = Aï B ¿5°

Eh nuestras ecuaciones anteriores el término de Coriolis, para una me­

jor estabilidad de computación está expresado para t = nAT" Asimismo

para el término de fricción se optó, por las mismasrezones, por expresar­-\

lo para el instante t = n A t, usando Q al instante (n - 1) A t y U (o ‘;,

al instante (n + 1) At. Comolos téminos participantes U, j, k, n,+ 1

y V j, k, n + 1, son incógnitas que precisamente, se desean determinar,a­

quella disposición del cálculo implica que (III.13) y (III.1h) se deben

determinar simultáneamente (Reid, 1968).

Utilizando las fórmulasde filtrado (III.6), (III.9), (111.10), (III.11)

y con

-_ o(111.16) D<J,k) e ¿¿ I

4 o—o_

o

l D(j,k)o

las ecuaciones de movimientose convierten en las siguientes expresiones:

o l o

(111.17) U(j,k,n+l) = U(j,k,n-I) - 2A+ .g.¿_ I o l D(j,k) .o 4 o

4 I 2 l

-¡ o l í ]¿¿__ —2 o 2 g(j,k,n) + 2A+ A V(J,k,n+l) - l/I6 i á i V(J,k,n—l)Bla-¡0| 2

+ ZAT l/ló_N_ NbN ._N_

l 2 l

X(j,k) - 2Af.f I/ló 2 4 2 Q(j,k,n-l).l 2 I

, .-U(j,k,n+l) . Io l o

1/4 l o I 02(j,k)0 I o

Reordenando:

o I o

(111.18) U(J,k,n+l) = U(j,k,n-I) —A+9 l o l D(j,k) .o I o

I6As

-l o I l 2 I

-2 3 2 g(J,k,n) + A+.AV(J,k,noI) - I/l6 2 4 2 V(j,k,n-l)-l ; I 2 I

’n 2 l I 2 l _1/8 ¿T ¡2 4. 2 X(J,k) - A+.f 2 4 2 Q(j,k,n-l) .

L! 2 I I 2 l2

Análogamente sería para V:

o l o

(111.19) V!j,k,n+l) = V(J,k,n-I) - A+.9 l o l D(J,k) .I6As o ' o

I 2 I I 2 l

o o c c(j,k,n) - AT.AU(j,k,n+|) + I/l6 2 4 2 U(j,k,n-I)l 2 I I 2 I

(111.20)

[l 2 I I 2 I+ I/8 A+ 2 4 2 Y(j,k) - A+.f 2 4 2 Q(j,k,n-l) .

I 2 I l 2 l2

I V(j,k,n+l)o I o

l o l [?(J,k)0‘ I o

En cuanto a las anomalías de 1a altura

-l o I(111,20) c(j,k,n+l) = c(j,k,n) - AT -2 0 2 U(j,k;n) ­

4As -l 0 l

A+ o o o V(j,k,n)

APEYDICE IV. CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE CALCULO

Las soluciones típicas de nuestras ecuaciones diferenciales linea­

les a coeficientes constantes son del tipo (Platzman, 1963):

(IV.1) U = U emf. sen (kx) cos (ly)

(IV.2) V = V emT. cos'(kx) sen (ly)

(1v,3) g = c .cos (kx) cos (ly)

Si despreciamos los términos de tracción del viento y fricción del

fondo, y sustituyendo nuestras soluciones (IV.1), (IV.2) y (IV.3) en las

ecuaciones de diferencias finitas se verifica (Platzman, 1963):

(Iv.4) (e”‘*/2— c‘“A*/2> 2 = - {+2 + 89 DS/ (Ap)2} . (5r)2

donde

(Iv.5) s = z {senz (kAs/Z) + sén2(|As/2)}

leligl l que es una simplifica­usando la condición de estabilidad

ción dé la condición de estabilidad de Von Neuman(Lax and Richtmyer, 1956),

suficiente para nuestro caso en que el sistema físico real no tiene un de­

sarrollo exponencial (Platzman, 1963), vemos que de (IV.4) obtenemos:

24 ¿:{f‘ +.BgDS/ (As) I . (A+)2

A1'HA 2 . I

Ïfz + BQDS/(s)2} i {(f/2)2+ zgos/( s)2 1*

á­Pero: (1- < —2325— , si D es suficientemente grande.

2 __ (AS) .Para Smax es At minimo o sea que se puede tomar Smax = l, por

lo tanto según (IV.5)

(IV.6) A+ g I s, á á

{ZgD/<As> } (290) es 1a condición

de estabilidad.

Aquella condición nos indica que habiendo elegido un - As determi­

nado, el At no debe sobrepasar la magnitud determinada por (IV.6).

La elección de As depende de la longitud de onda (o del perío­

do) del fenómenoy de la precisión necesaria. El primer caso nos re­

leva de grandes compromisospor ser el período usual de las ondas de

tormenta de varias horas. En cuanto a la precisión, observamos que

un As muy pequeño puede llevar a un número de iteracciones muy grande.

Esto puede resultar antieconómico en cuanto a la computación, por el ex­

cesivo tiempo de uso de máquina: o no factible por estar el almacenaje

de datos fuera de la capacidad mnemónicade la misma. Dado que la pro­

fundidad en casos reales, no será constante, para elegir At mínimo

debemos usar Dmax.

Esta última condición podría producir tal vez, para un As de­

terminado, incrementos At muypequeños. Esto puede llevarnos a ele­

gir As mayores por la razón de computación antes mencionada. Observa­

mos que en áreas donde la profundidad varía mucho, o en las zonas bajas,

nuestra grilla proveerá un espaciamiento excesivo que no resultará con­

veniente. Veremosmás adelante qué solución puede adoptarse para evitar

esa dificultad.

APENDICE V. CONDICIONES DE CONTORNO PARA UN CASO EN MODO NO-ROTACIOEAL

Las siguientes han sido las condiciogea aplicadas a un caso sin con­

siderar la rotación terrestre: á; = 0 si D + g< H donde D es la pro­

fundidad, c la anomalíade altura de.agua y H, 1a altura de la barrera;

todos referidos al nivel mediodel mar con signo positivo hacia arriba de

ese nivel. i

Si en un lado de nuestro obstáculo es: D + g > H establecemos que:

(V.1) o": con V gob donde Co“l es un coeficiente adimensio­na1_de valor adecuadoy Db es la altura del agua sobre la cresta del obs­

táculo en el cuadrado pertinente.

En los casos de obstáculos inmersos o rodeados de agua por ambos 1a­

dos con alturas de agua ¡IvÉz en que siendo Hbla altura de la cresta

del Obstáculo Y ;1p;2> Hb la condición es:

(v.2) or;- cp!)b V9 ¡31‘ Ez!

siendo ICSJS un coeficiente adimensional adecuado.

En los casos anteriores es 'Qn>0 si el transporte es por inunda­

ción y ón< o si corresponde a la etapa de recesión de las aguas.Alos efectos de la aplicación de las condiciones anteriores, cada

cuadrado de la grilla debe ser caracterizado por una profundidad D j,k o

altura Hj}k según corresponda. En ese caso los valores j, k corresponde­

rían a un cuadrado designado a través de las coordenadas de sus esquinas.

La grilla debería ser comoindica la fig. 8)

APENDICB VI. COSTAS IRREGULARES

Los casos de costas irregulares pueden ser tratados comosigue:

a) Calcular una red cuyos bordes son en zig-zag y que termina a cierta

distancia de la costa (Hansen, 1956; Fischer, 1959; Welander, 1961), se­

gún fig. 9. El procedimiento tiene la desventaja de no proveer un valor

en la costa mismay aparte introduce muchasesquinas ficticias que son

fuente de posible perturbación y por la tanto de errores (Harris and Je­

lesnianski, 1964).

b) Reemplazarla costa natural por lados rectangulares que aproximan a

la anterior (Platzmann, 1958; Reid and Bodine, 1968). Allí se aplican las

condiciones de contorno antes mencionadas.

El reemplazo de las lineas naturales de costa en la forma indicada

permite obtener un dato de agua en la mismacosta. La conveniencia de

reemplaiar la costa real por una estricta poligonal rectilínea cuyos li­

mites puedenser interiores o exteriores a aquélla (figura 10) ha sido dis­

cutida. Cuandose adopta el procedimiento mencionado, se puede comparar el

"poderde resolución" del artificio mediantela relación ff /Íf;<l

donde Tf] es el período de oscilación libre de un elemento“cuadrangular\

de la costa virtual y T el período de oscilación significativo de laf2

predicción en cuestión. Evidentemente en ciertos casos, Según el Á so

elegidq puedeser necesario utilizar en las área costeras otra grilla de

trabajo de A 1< A o (Platzmann, 1963).

los condiciones de contorno son ¿U=0 o V=0 para los casos en que

la costa virtual esta orientada segun i; o x, respectivamente.

Las alturas de agua son computadas comose indicó antes en (5.h3).

c) Efectuar una transformación conformo por medio de la cual el área

real A en el plano Z (x.y) se convierte en un área rectangular A' en el

plano u . Donde

(VI-1) z= x + ly

(VI.2) v :E + i n‘_

(v1.3) z =F(u)

En ese caso 5 ' o o E 3 1+ son las transformadas de los bordes

izquierdo y derecho del área A' y la costa y el extremodel talud conti­

nental (o extremo exterior) se encuentran en la representación conforme

en n= d, n= O , donde d es un número real cualquiera constante.

Reid (manuscrito inédito, 1968), sugiere utilizar comotransforma­

ción para la línea de costa:

l) Cuandola función Y= Y (x) que la describe es de valor uniforme (fig.

Cn Sen ( nku.)(VI-h) F(u) - p + Eln:

donde las dimensiones de u y de Cn;k que son constantes reales, son:

2) Cuandola función Ï - Y(x) que la describe es multiforme (fig. 12)

se hace una representación paramétrica del tipo

(VI-5) .x:x(c) wyícr)

donde

(V1.6) 5 =.41 donde a es longitud de arco desde el origen 0b .

b es longitud de arco total de la costa

En este caso un elemento de arco esta expresado por:

(v1.7) ds= 2 + (31 2 ‘Ï di3€ a;

Volviendo al caso anteriormente indicado por.1) de (71.1), (V1.2)

(V1.3) y (V1.4) es (Reid, 1968):

. ‘ N

(v1.8) _z- g + n + ¡Cn {sen(nkg) oasMnkn) + I cos(nkl;) senh(nkn)}n=l

donde cos (iy) - cosh y y sen (iy) - i senh y

O sea

(VI-9) x = 5+ hi Cn {Sen(nk¿) cosh(nkn)}n=l

N

(VLÏLO)y = n + z Cn {cos(nkg) senMnan‘n=l _

Donde para

y = 0 es "I -= 0

x -= 0 es g -= 0

x = ¿lv (donde l; es la abscisa del borde derecho del dominio real) es

E; =A tomando k a. __1r7H"

Para la línea de costa n'=dEconst. y, luego, es:N

("JI.11) y =' d *_nz_' Cn {cos(pk;) Senh(nkd)}

(v1.12) x.-= “El cn {senmkE}coshandJ}

Donde para obtener Cn y d se emplea:

(VI.13) d = I/a,,r:'y( x) dg

(VLlLL) cn: 2/ nsenhmkd) ¡ay (x) cas(nkg) dE

Dondese usan aproximaciones sucesivas en (VI.13) y (VI.14) del ti­

po: cn= o .Z x=E

| determin'a'ndose d, Cn, luego oo:n :x- "-=g .

Con esote valer de x repetimos 1QbíÏSqueda de nuevos Cn y así su­

cesivamente hasta llegar a un valor de N aproximaciones que permitan la

adecuadaprecisión de representación de la línea de costa.

Para el caso 2) (línea de costa expresada en ecuaciones paramétricas)

es de acuerdo a (V1.6) y (V1.7)i

5 2 2

j + ] a lolargode n-d(v1.15) o w ° a; a: d;

[zh-gr 1+1332] d;A fin de desarrollar y,x de acuerdo a (V1.9), (V1.10) tenemos:

.Áf(‘11.16) = I/ af ¡o y(o) d;

x(a)' - E . sen(nk'g) d;(v1.17) Cn' l/ ¡1. ¡:T yfq) cos(nk¿) +

senhand) Cosh<nkd)

Para evaluar d, Cr1se usan aproximaciones sucesivas. Haciendo “si

y con (VI.13) y (VI.1¡+), obtenemos un primer valor para d y Cn.

Con esos d y Cn de (V1.9) y (VI.10) evaluamos para n= d

N

a- l * X 0,, nk cosh(nkn) coscnmn=l

3€N

Éï_ _%‘I=lCn nk senh<nkn) Sen(nkg)

Luego, de (VI.15) obtenemos Choi!) g con este valor de a

repetimos el cálculo de nuevos d, Cn y así sucesivamente hasta un

m'ímeroNde aproximaciones, tal que nos permita una. representación adecua­

damenteprecisa de la línea de costa.

El trazado de una nueva grilla n o g ldonde AW y A;

se obtienen de tal forma que si JM - jmax KM= kmax es,

pq: _g_,¿g== A , ,lo que permite que los límites del dominio real es­KM m­

ten tótálméñte'bontenidos en la nueva grilla. La superposición de la nue­

va grilla sobre el dominioreal permite leer Djik para las nuevas coorde­nadas. Igualmente sobre la nueva grilla se puede colocar el respectivo

factor de escala, S, que servirá para los cálculos de las nuevas ecuaciones

de diferencias finitas.

Finalmente, al aplicar el procedimiento de transformar la línea de

costa, debemos expresar las ecuaciones de movimiento en las nuevas coor­

denadas. Despuésde ello, obtener las ecuaciones correspondientes a di­

ferencias finitas con las cuales determinamos1a nueva condición de es­

tabilidad. Conese Ataque asegure estabilidad y los nuevos intervalos

espaciales finitos procedemosa la evaluación de U ,‘V y ; o

Todoel procedimiento, que permite ganar mayor exactitud, requiere

mayor esfuerzo de computación y mayor capacidad de almacenamiento de day

tos.

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13 . TABLAS

TABLA 1 Ca-JJCULO DE C = C (r) COMO PROMEDIO DE TRES RADIOS

(A21 -=119‘wv; A22 - 124'15'; A23 - 130‘50v desdeel centro polar)

f C

lis. Km (m/seg)

35 64.8 o

1+5 83-3 3.8

55 101.9 5o?

65 120.l+ 7.7

75 138.9 7.4

85 157.4 7.o

95 175.9 5.3

120 222.2 6.8

145 268.5 8.0

17o 311+.8 10.1

195 361.1 11.9

220 now» 16.0

245 . 453.7 18.2

27o 500.0 24.1;

295 546.3 38.1

320 592.6 104.8

TABLA 2 CALCULO DE r

(n.mi.) (rn/seg) 2 E Ar - (seg) (seg)2(m5

r c A r r

35 0 '02.5 9,261 7,¡+09

no 2.5 7.4096.7 18,522 5.529

50 4.2 _ 12.9389.875 5,6 22,388

11.4 uó,305 8,124100 5.8 30.512

12.2 nó,305 7.591125 _6.u 38.103

14.6 46,305' 6,343150 8.2 44.446

18.2 46,305 5.088175 10.0 u9.534

22.8 u6,3os u,062zoo 12.8 53.596

28-5 “6.305 3.249225 15-7 56.845

35.2 46.305 2.631250 19.5 59.476

u4.1 46,305 2,100275 24.6 61.576

300 M5.0 62,907150.0 hó,305 617

325 105.0 63.524

TABLA 3 CALCULO DE LOS RADIOS DE LA CRILLA

(seg) (n.mi.) (seg) (n.mi.)

f |’ f f

-o 35.5 30000 107.4

1000 36.5 31000 110.6

2000 37.5 32000 113.8

3000 38.5 33000 117.2

4000 39.6 34000 120.6

5000 41.0 35000 124.0

6000 42.5 36000 127.7

7000 44.1 37000 131.8

8000 45.7 38ooo 136.0

9000 47.7 39000 140.7

10000 49.7 40000 145.5

11000 51.7 41000 150.3

12000 54.0 42000 155.1

13000 56.4 43000 159.9

14000 58.8 44000 164.8

15000 61.3 45000 169.8

16000 64.0 46000 174.9

17000 67.0 47000 180.6

18000 70.0 48000 186.5

19000 73.0 49000 192.6

20000 76.1 50000 198.9

21000 79.2 51000 205.6

22000 82.3 52000 213.0

23000 85.4 53000 221.0

24000 88.5 54000 229.6

25000 91.6 55000 238.5

26000 94.7 56000 248.0

27000 97.8 57000 259.0

28000 101.0 58000 271.0

29000 104.2 59000 285.1

TMïAh CMBMDIFÜMÁDMRDEÁt

(sea) Had.) (m) (m) (seg)Ar A6 Ar r At

1000 0,052 ---- 65190 --..

1852 67042 883

2222 69265 851

2222 71487 858

2222 73710 865

2222 71932 859

2778 78710 827

2963 81673 820

2963 84636 829

3704 88340 778

3704 92044 790

3704 95748 802

4260 100008 773

¡4445 104953 773

4445 108898 786

4630 113528 786

5000. 118528 776

5556 124084 757

5556 129640 771

5556 135196 784

5741 142048 789

5741 146678 799

5741 152420 809

5741 158161 820

5741 163902 829

5741 169643 838

5741 175384 846

5741 181126 853

5926" 187052 854

5926 192978 861

TABLAü (cont.)

(seg (Rad-) (m) (m) (seg)r A0 A! r At

5926 198905 867

5926 204831 873

5926 210758 879

6297 217054 873

6297 223351 879

6297 229648 884

6852 236500 873

7593 244093 858

7778 251852 858

8709 260576 841

8890 269466 884

8890 278356 852

8890 287285 859

8890 296135 866

9075 305210 868

926o 314470 870

9845 323915 872

10556 334471 854

10927 345398 854

11297 356695 854

11667 368363 854

12408 380771 834

13705 394476 831

14816 409292 820

15927 425219 811

16483 441702 802

17594 459296 805

20372 479668 761

22224 501892 761

26113 527820 724

TABLA 1+ (cont. )

(seg) (Rado) (m) (m) (seg)A r A0 Ar r At

36h84 564490 626

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TABLA9SINTESISDEALGUNASDELASCORRIDASDECALIBR/‘¡CION

CorridadelModeloNo.

puntoObservado1(1)2(2)4(3)

PuntodegrillaLugarTiemporel.AmpliTiemporel.Amp1¿Tiemporel;Amp.Tiemporel.Ampl.ver1f1c;J,kdeplea(hs)med.(cm)dep1ea(hs)(cm)dep1ea(hs)(cm)deplea(hs)(cm)

3,52BuenosAires030018030O30 5,40LaPlata-1.826-3;520-ü.336-3.840 8,33Bco;Chico-3.0'50036-5.946 8527TorreOyarvide-5.439-?;4"0-7o133-7o749 5,24Pte.Piedras-?¿2-9o373-9o183 2¡11SiClemente-8'.'8¡41+-11.980-12.626-12.25514555MartinGarcía+13119+4305+3.524+1o520

WWQMNHB

CostaUrugggza

811,“!Colonia+15‘31?-2325-2'.416-2.¡+14 912519Montevideo-ü;217-9;025-7.918-9.3231014,9PuntadelEste-13;227v13,910-13.616

TABLA9(cont;)

CorridadelModeloNo.

ObeervadoGAL(H)SAL(5)12AL(6)R1.2(7)

PuntoTiempoAmpl.TiempoAmpláTiempoAmpl.TiempoAmpl.TiempoAmpl.

Pto;grillaLugarre1.demed.re1.de(cm)re1.de(cm)re1.de(em)re1.de(cm)Verif;J,k .p1ea(hs)(cm)plea(hs)p1ea(hs)plea(hs)plea(hs)

3,52BuenosAiresO30080047O29035 5,40LaPlata-1.826-3.9101-3.959-3.337'3o635 8,33Bco.Chioo-3.o-5.884-5.758-5-539-5-442 8,27TorreOyarvide-5.ü39-7.560-7¿456-7.340-7o3#2 5,24Pte.Piedras-7.2-9.2107-9o090-8.765-8.663 2,118.01emente-8.8un-¡2.260-12¡450-12.328-12.o37

‘OWÉMNHB14,55MartinGarcía+1.119+2.n112+2.o42+2.222+0.?38

CostaUrusgala

11,4“Colonia+12317-u¡143-l¿922-1.714-1¿713 12,19Montevideo-4.217-8;830-8.9'22-8.?17-8.118

1014,9PuntadelEste-9;838-9¿925-10.020-8.63

TABLA9(cont.)

CorridadelModeloNo.

PuntoObservado15AL(8)16AL(9)

PuntodegrillaLugarTiemporel.Ampl.Tiemporel.Ampl;Tiemporel.Ampl.Verif.J,kdeplea(ha)med.(om)deplea(ha)(om)deplea(hs)(om)

CostaArentina

3,52Buenos.AiresO30035O34 5,40LaPlata-1.826-2.630-3.336 8,33Boo.Chico-3.o-3.u5o-ü.751 8,27TarreOyarvide-5.939-6.148-6.249 5,2hPte.Piedras-7.2-7.060-7.261 2,11S,Clemente-8.844-10.558-10.653

WWÉMNHB

14.55MartinGarcía+1.119+2.242+2.139

CostaUruggaza

811,h4Colonia+1.317-0.215-O.611 912,19Montevideo-u.217-6.823-6.521101h,9PuntadelEste-11.36-11.88

OBSERVACIONES:

BUENOSAIRESeelaestacióndereferenciaparalostiemposrelativos.ExceptocuandoseindicaesDELTE=360e.

TABLA9(oont.) OBSERVACIONES(oont.)

(1)r

g030025;AMPL

(2)r. (3)f

0;001¡AMPL 030011AMPL

(u)fI (5) (6) _ (7)fI

030013AHPL

AMPL

ANGLE

Ifi

0;005¡

iM

0.001s 03001;AMPL

(8)r .0.001;AMPL

I007m3 j001+!" B004m! -0.4ms

90°.

gOSHm;

AMPH AMPR AMPR AMPR AMPB AMPL AMPR AMPR

3|6.29!4|6.3515!6.43!6!

g0.2!!” g031m] g021m: -0:1m8= O.hm¡

aoilnt gO;1m;

TLAG TLAG TLAG TLAG TLAG AMPR TLAG TLAG

1.0thSMTHp30Asw:0.125:lacondiciónderadiaciónen

losbordesesV35

1.0hr.¡NosesuavizaronloscamposU,VH,lacondición

deradiaciónenlosbordesesVE% l

1.0hr.NSMTHg30ASW:0.10;seutilizaC8paralacondi­

ciónderadiación.Nuevasposicionesenlagrilladepuntosdeverificacióncomosigue.Puntou.7,32¡ 3|7,26;1:3,12;7n13,5h;9a11,18.

1.ohr.NSMTH=30;nuevaubicaciónengrilla:puntodeveri­

ficación9.11,18

1.0hr.NSMTH-30;ASW=0310 051m3TLAGglLOhr;NSMTHg30'ASWg0.10 1;0hr.3NSMTH=30gASWn0.10;DELTEn2h08.|losradios

delagrillasetomaronigualesalosde1arrillapreliminar.

1.0hrasNSMTHn30;ASWg0.10.nuevasubicacionesenla

grillacomoBiguespuntodeverificación:2|526;

#,55¡7|1ü957l8a11,48:9:13.18:elcampodeprofundidadesfuécorregido

unaVOZ.

(9)f n0;001¡AMPL.60.üm¡AMPRg0;1m¡TLAG.1;0hr.¡NSMTHg30;ASWg0510;elcampodeprofundidades

fuécorregidodo8'veoes.

TABLA 10 ERROR MEDIO DE LAS ALTURAS COl-ÏPUTADLQ

CORRIDA DE VERIFICACION No. 22

Lugar Error (cm )

Torre Cyarvide 31

Palermo (Buenos Aires) 30

Martín García 15