PESQUISA OPERACIONAL DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS POR MEIO DA LINGUAGEM...

PESQUISA OPERACIONALDESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS POR MEIO DA

LINGUAGEM GAMS

UNESPAneirson Francisco da Silva- Doutorando-UNESP

Fernando Augusto Silva Marins, Dr- UNESPGuilherme Martin Silva

Paulo Roberto Marcondes de Andrade Lopes

http://www.pdfonline.com/easypdf/?gad=CLjUiqcCEgjbNejkqKEugRjG27j-AyCw_-AP

O objetivo desta apostila é fornecer conceitos matemáticos sobre a estrutura da

linguagem de modelagem General Algebraic Modeling System – GAMS. Após a

leitura desta apostila o leitor estará apto a desenvolver e otimizar modelos lineares

e combinatórios utilizando a linguagem e o software GAMS.

A estrutura da apostila está definida primeiramente pela revisão da história da

pesquisa operacional, e em seguida a explicação a respeito dos modelos lineares,

iniciando pelas particularidades desse modelo, teoria de redes DEA. Também são

abordados modelos de otimização combinatória e problemas NP-HARD.


Capítulo 1

1. A EVOLUÇÃO DA PESQUISA OPERACIONAL

O termo Pesquisa Operacional “PO” foi empregado pela primeira vez em 1939. A partir de

individualizada e batizada, tornou-se possível fixar suas origens em épocas remotas da história

da ciência e da sociedade.

1.1. O MÉTODO DA PESQUISA OPERACIONAL

A experimentação tomada no sentido restrito - isto é, a manipulação física das variáveis - é

geralmente impossível ou impraticável quando se lida com organizações governamentais,

militares ou industriais. Apesar disso, a experimentação é às vezes possível, particularmente no

caso de subsistemas, e desempenha papel importante na PO. Na maioria das vezes, entretanto, o

sistema global em estudo não pode ser submetido a um tratamento desta natureza. Quem

trabalha em pesquisa operacional é geralmente obrigado a construir representações do sistema e

do seu comportamento para se orientar durante a pesquisa. Os modelos em PO assumem a forma

de uma ou mais equações ou inequações para traduzir a condição de que algumas, ou todas as

variações controladas só podem ser manipuladas dentro de limites. O conjunto destas equações

constitui, ao mesmo tempo, um modelo de sistema e um modelo de decisão.

A solução pode ser extraída do modelo mediante experimentação (isto é, por simulação) ou

mediante análise matemática. Para alguns tipos de função f (por exemplo, relações algébricas

elementares), desde que as restrições não sejam numerosas, a matemática clássica fornece

instrumentos perfeitamente adequados para a determinação dos melhores valores das variáveis

controladas. Por outro lado, a função f pode consistir em um conjunto de regras de cálculo (um

algoritmo) que nos permita medir a utilidade (U) do desempenho para qualquer conjunto de

valores das variáveis controladas e não controladas.

Em alguns casos o comportamento do elemento humano que toma a decisão não pode ser

representado no modelo. Ocorre a necessidade do uso de simulações que envolverão a

participação de seres humanos, sendo denominados jogos de operações.


Introdução________________________________________________________________________ 4

A otimização, portanto, produz a melhor solução para o problema que foi modelado.

A correspondência entre modelo e realidade terá de ser aferida (testada) e a solução avaliada.

Isto é, teremos de comparar seu desempenho com o da política ou procedimento que ela irá

substituir. Os resultados da pesquisa devem ser implantados. É nesta fase que se faz o teste e a

avaliação final da pesquisa; proporcionando, pois, ao especialista as maiores e melhores

oportunidades de aprender.

Cinco fases num projeto de PO:

1. Formulação do problema

2. Construção do modelo

3. Obtenção da solução

4. Teste do modelo e avaliação da solução

5. Implantação e acompanhamento da solução (manutenção)

As vantagens e desvantagens da utilização de modelos foram assim definidas:

Vantagens

a) Emerge sob a forma gráfica, para representar a realidade aprendida em

determinado momento;

b) Simplifica a visualização da amplitude das variáveis sem alterar a essência;

c) Ajuda a identificar várias relações possíveis entre os elementos da realidade;

d) Possibilita compreender relações complexas;

e) Serve como base para estabelecer e aprimorar parâmetros.

Desvantagens

f) Limitações na identificação de todas as variáveis relevantes que influenciam em

determinada situação;

g) Problemas na definição das propriedades a serem mensuradas e na especificação

de procedimentos para tal;

h) Dificuldades no entendimento entre os provedores e os usuários da informação.


Introdução________________________________________________________________________ 5

A representação simplificada de um problema prático por meio de um modelo matemático

permite que sobre ele se aplique técnicas e métodos que facilitam a obtenção de uma solução.

1.2. O IMPACTO DA PESQUISA OPERACIONAL

A Pesquisa Operacional tem tido um grande impacto crescente na administração de empresas

nos anos recentes. Tanto o número quanto a variedade de suas aplicações continuam a crescer

rapidamente. Algumas de suas técnicas envolvem idéias sofisticadas em ciências políticas,

matemática, economia, teoria da probabilidade e estatística. Como também sendo usada

amplamente em outros tipos de organizações, inclusive negócios e indústria.

Muitas indústrias, inclusive a de aviação e mísseis, automóveis, comunicações, computadores,

energia elétrica, eletrônica, alimentos, metalúrgica, mineração, papel, petróleo e transporte, têm

feito uso extensivo da pesquisa operacional. Mesmo instituições financeiras, agências

governamentais e hospitais têm aumentado rapidamente o uso que fazem da pesquisa

operacional.

Vejamos alguns dos problemas que têm sido resolvidos por técnicas particulares de pesquisa

operacional:

PROGRAMAÇÃO LINEAR: tem sido usada com sucesso na solução de problemas relativos à

alocação de pessoal, mistura de materiais, distribuição, transporte, carteira de

investimento, avaliação da eficiência;

PROGRAMAÇÃO DINÂMICA: tem sido aplicada também com sucesso a áreas como

planejamento de despesas de publicidade, distribuição do esforço de vendas e

programação de produção;

TEORIA DAS FILAS: tem tido aplicação na solução de problemas relativos a

congestionamento de tráfego, máquinas de serviços sujeitas à quebra, determinação do

nível de uma força de serviço, programação do tráfego aéreo, projetos de represas,

programação de produção e operação de hospitais;

PROGRAMAÇÃO INTEIRA: que é uma forma de programação linear onde as variáveis

podem apenas apresentar números inteiros. Tem sido utilizada na resolução de

problemas de investimento dentre outros;


Introdução________________________________________________________________________ 6

PROGRAMAÇÃO MISTA: que é uma forma de programação linear onde as variáveis podem

assumir valores binários, inteiros e contínuos, este modelo também é definido como

otimização combinatória, enquadrando-se em problemas de dificuldades não polinomiais

NP-HARD;

PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR: modelo matemático onde a função objetivo, as restrições

ou ambas, apresentam não linearidade em seus coeficientes.

PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO: é uma forma de programação linear e não linear onde

se analisa múltiplas funções objetivos;

GOAL PROGRAMMING: que é uma extensão dos modelos de programação multiobjetivo,

contendo vários modelos específicos para cada problema de decisão;

Outras técnicas de pesquisa operacional, tais como teoria de estoque, teoria dos jogos,

teoria dos grafos e simulação, também tem sido aplicadas com sucesso a(em) diversos contextos.


Capítulo 2

2. ESTRUTURAÇÃO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS LINEARES ESTACIONÁRIOS

O anexo A contempla a linguagem de modelagem GAMS. Abordando as principais funções e a

estrutura dessa linguagem de modelagem, mostrando suas principais vantagens. O anexo B

contempla as principais linguagens de modelagens, abordando as principais vantagens da

linguagem GAMS em relação às demais linguagens.

Vamos iniciar a modelagem do problema do Giapetto pela linguagem GAMS. A linguagem GAMS

requer que o problema seja traduzido na forma algorítmica.

1- Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira. Soldados e trens. Um soldado é

vendido por R$ 27,00 e usa R$ 10,00 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado

tem um custo adicional de R$ 14,00 relativo à mão de obra. Um trem é vendido por R$

21,00 e gasta R$ 90,00. O custo de mão de obra adicional para cada trem é de R$

10,00. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: Carpintaria e

Acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 para carpintaria.

Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana,

Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até

100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a

venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar seu lucro

diário. Formular o modelo matemático que poderia ser usado por Giapetto para

maximizar seu lucro semanal.

1 passo: Modelar o problema. Vamos descrever as variáveis do problema, o que na linguagem

GAMS é chamada de (SETS ) numa tradução pode-se chamar de índices ou conjuntos.

Índices:

Xi,j: Quantidade a ser produzida do produto i utilizando os recursos j. O GAMS é um software

orientado ao objeto, logo temos que declarar esses objetos que no caso são os i produtos e os j

recursos.


Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários________________________________ 8

2 passo: Definir os parâmetros (PARAMETER) do modelo: Neste caso sabemos a margem de

contribuição unitária por produto i. Portanto, é necessário esse parâmetro que estará ligado ao

índice i. Vamos chamar este parâmetro de MCi. Outro parâmetro é com relação à disponibilidade

dos recursos, sendo este parâmetro ligado ao índice j. Vamos chamar este parâmetro de Aj.

Finalmente, devemos criar um parâmetro que mostre o consumo unitário de cada recurso por

produto, sendo este parâmetro pertencente aos índices i e j. Neste caso na linguagem GAMS deve

ser criado uma Tabela (TABLE), que vamos chamar de R i, j.

3 passo: Definir as variáveis de decisão: Temos uma decisão que é saber o valor da margem de

contribuição, vamos definir essa variável de Xi. Na linguagem GAMS é necessário informar uma

variável que vai definir a função objetivo, neste caso chamaremos de Z, que vai definir os valores

ótimos de produção de cada produto.

4 passo: Definir as equações (EQUATIONS): as equações são definidas por meio do número de

restrições mais a função objetivo. A primeira equação vai definir o valor da margem de

contribuição, portanto chamaremos a mesma de margem. A segunda equação vai determinar o

quanto será consumido por recurso j vamos chamar essa equação de consumo. E a última

equação definirá o limite máximo de demanda do produto soldado. Agora podemos resolver o

problema do Amigo Giapetto.

0

40

.

:asujeito

. Z

,

""

,

2

JI

SOLDADO

n

ijiji

iii

X

X

AXR

XMCMax

A Tabela 2.1 mostra alguns comandos básicos da linguagem GAMS

Tabela 2.1- Comandos básicos em linguagem GAMS



Símbolo Significado

G Define uma inequação de sinal maior ou igual

L Define uma inequação de sinal de menor ou igual

E Define uma equação (X= n)

“ São fixadores de índices

‘ Também é um fixador de índices

PROD Expressão para produto de uma série

SUM Expressão para somatório

Model Descreve o modelo estudado

Solve Descreve a utilização de um solver específico

Display Recurso utilizado para calcular o primal e o dual

A Tabela 2.2 mostra as funções padrão de GAMS.

Tabela 2.2- Funções padrão em GAMS

Nome Descrição Definição Número de Argumentos

ABS Valor absoluto |ARG| 1

ARCTAN Arco Tangente Arctan (arg); resultado em

radianos

1

CEIL Função teto Maior inteiro ≥ arg 1

COS Cosseno Cos (arg) argumento em

radianos

1

ERRORF Função erro Integral de distribuição normal

padrão

1

EXP Exponencial earg 1

FLOOR Função piso Maior inteiro ≤ arg 1



Nome Descrição Definição Número de Argumentos

LOG Logaritmo

natural

Log do arg na base e 1

Log10 Logaritmo

comum

Log de arg na base 10 1

MAPVAL Função

mapeamento

Atribuiu números a valores

especiais

1

MAX Maior valor Max (arg1, arg2,...,argn) >1

MIN Menor valor Min (arg1, arg2,..,argn) >1

MOD Resto arg1-trunc(arg1/arg2) x arg3 2

Normal Randômica

normal

Número aleatório distribuído

normalmente com argumento

arg1 e desvio padrão arg2

2*

POWER Potência inteira

ROUND Arredondamento

SIGN Sinal

SIN Seno Sem (arg); arg em radianos

SQR Quadrado arg x arg 1

SQRT Raiz quadrada 1

TRUNC Truncamento Sign (arg) x floor (abs(arg)) 1

UNIFORM Randômica

uniforme

Número aleatório distribuído

uniformemente entre arg1 e arg2

2*

A Figura 1.1 mostra os processos para obtenção do modelo do Giapetto em linguagem GAMS.

Clicando em F9 é obtido a solução para este modelo. A solução ótima para este modelo seria.

Produzir 20 soldados e 60 trens gerando um lucro máximo de R$ 180,00 reais. O GAMS oferece

algumas estatísticas referentes ao tamanho do modelo, como se pode ver abaixo no caso do



modelo Giapetto. As contagens de “BLOCKS” se refere ao número de equações genéricas e

variáveis. As contagens de “SINGLE” se refere as linhas e colunas individuais que estão sendo

geradas na instancia particular do modelo. Para os modelos não lineares, são fornecidas outras

estatísticas para descrever o grau de não linearidade do problema (BROOKE et al., 1997).



Figura 1.1- Modelo Giapetto em linguagem GAMS.

2- O Senhor Martins é dono de uma oficina muito movimentada na cidade de

Guaratinguetá- SP. Ele querendo maximizar seus retornos e também, visando à

realização de novos investimentos na sua oficina. Resolveu procurar você/SA, para

fazer um planejamento da sua produção, visando à maximização do lucro, e

identificar possíveis áreas para realização de novos investimentos. Os dados da

empresa estão logo abaixo:

Tipo de Máquina Produto

1

Produto 2 Produto 3 Tempo

disponível

Torno 5 3 5 400

Fresa 8 4 0 500

Furadeira 2 5 3 300

Lucro 20 15 18

Demanda Semanal

máxima

40 50 20

Uma oficina mecânica deseja alocar o tempo ocioso disponível em suas máquinas para a

produção de três produtos. A Tabela abaixo mostra as informações sobre as necessidades de

horas de máquina para produzir uma unidade de cada produto, assim como a

disponibilidade das máquinas, o lucro dos produtos e a demanda máxima existente no

mercado. Deseja-se o esquema semanal de produção de lucro máximo.

Resolvendo o exemplo do senhor Martins.

1 passo: Descrever os índices.

i, j Os objetos são os i produtos e j recursos

2 passo: Descrever os parâmetros.



Ri, j: Consumo unitários por produto i de cada recurso j.

Aj: Quantidade disponível do recurso j.

Di: Demanda máxima por produto i.

Li: Lucro unitário por produto i.

3 passo: Descrever as variáveis de decisão.

Xi: Define a produção do produto i.

Z: Expressão da função objetivo.

4 passo: Descrever as equações.

Margem: Define o lucro máximo

Consumoj: Define o consumo por produto i do recurso j.

Dprodutosi: Define a demanda máxima por produto i.

5 passo: Construção do modelo matemático.

0X

DXDprodutos

A.XRconsumo

:asujeito

.XLMax Z

JI,

iii

n

ijiji,j

n

iii



Figura 1.2: Modelo matemático exemplo 2 em linguagem GAMS.

Solução ótima: Produzir 40 unidades do produto 1, 32 unidades do produto 2 e 20 unidades do

produto 3. Gerando um lucro máximo de R$ 1.640,00.

Solução Dual: Produto 1 R$ 14,00, produto 3 R$ 9,00 e Furadeira R$ 3,00. Interpretação

econômica do dual. Se a oficina aumentasse a demanda do produto 1 em uma unidade o lucro

aumentaria em R$ 14,00. Se a usina aumentasse a demanda em uma unidade do produto 2, o

lucro aumentaria em R$ 9,00. Se o tempo disponível de utilização da furadeira fosse aumentada

em uma hora o lucro aumentaria em R$ 3,00.

Desenvolva e otimize os modelos dos problemas descritos a seguir utilizando-se do

software GAMS.

1 – Uma indústria fabrica dois tipos de papel e para isso utiliza somente uma máquina. Devido a

certas restrições de matéria prima, não se pode diariamente produzir mais do que 4 tons de

papel do tipo A, nem mais do que 6 tons do tipo B. Requer-se 1 hora da máquina para produzir 1

ton. de papel do tipo A e 1 hora para produzir 1 ton. de papel do tipo B. O lucro por ton.

produzida é de R$ 2,00 para o papel do tipo A e de R$ 5,00 para o papel do tipo B. O tempo de

utilização da máquina é de 8 horas/dia. Elaborar o plano ótimo de produção.

2 – Uma pequena indústria usa três tipos de matérias primas, P, Q, R para a fabricação de dois

produtos A e B. As matérias primas em disponibilidade na fábrica são:

20 unidades de P;

12 unidades de Q; e

16 unidades de R.

Por razões tecnológicas, uma unidade do produto A necessita respectivamente de 2, 2 e 4

unidades de matérias primas P, Q e R. Para o produto B esses coeficientes técnicos são 4, 2 e 0,

respectivamente. O fabricante sabe que o lucro na produção de A é de 0,5 unidades monetárias e

de B é de 1 unidade monetária. Qual o lucro máximo e quais as quantidades produzidas das

mercadorias A e B para se obter o lucro máximo?



3 – Uma companhia de investimento dispõe de R$ 100.000,00 para investir em ações e letras

imobiliárias.

Sua política de aplicação consiste em:

Empregar, no máximo, 50% do disponível em ações; e

Empregar, no máximo, 60% do disponível em letras imobiliárias.

Através de uma pesquisa de mercado, a companhia verificou que deveria empregar, no máximo,

40% do disponível, na diferença entre o dobro da quantidade investida em ações e a quantidade

investida em letras; e empregar, no máximo, 1% do disponível na soma da oitava parte investida

em ações com a quinta parte investida em letras.

As ações produzem uma rentabilidade de 5% ao mês e as letras 4% ao mês. Qual o investimento

ótimo?

4 – Uma fábrica de canetas quer saber do Departamento de Engenharia quantas canetas de cada

tipo (standard, luxo e esferográfica) deverão ser produzidas, para que o lucro da empresa seja

máximo.

INFORMAÇÕES:

a) Do departamento de Produção

Produções máximas mensais possíveis para cada um dos tipos de canetas (isto é,

produzir-se só um tipo):

Standard 15.000

Luxo 10.000

Esferográfica 20.000

b) Do Departamento de Vendas

Máximo de vendas mensais para cada um dos tipos:

Standard 12.000

Luxo 8.000

Esferográfica 30.000

c) Do Departamento de Contabilidade

Lucro unitário para cada tipo:



Standard R$ 0,70

Luxo R$ 0,50

Esferográfica R$ 0,30

5 – Uma fábrica de automóveis e caminhões possui os seguintes departamentos;

1. Estamparia de pranchas metálicas;

2. Montagem de motores;

3. Montagem de automóveis; e

4. Montagem de caminhões.

O departamento 1 deve estampar, no mínimo por mês, as pranchas necessárias para 25.000

automóveis ou 35.000 caminhões, ou as correspondentes combinações de automóveis e

caminhões.

O departamento 2 deve no mínimo por mês, montar 33.333 motores de automóveis e 16.667

motores de caminhões ou as correspondentes combinações de motores de automóvel e

caminhão.

O departamento 3 pode montar e terminar 40.000 automóveis e o departamento 4, mensalmente

25.000 caminhões (ambos utilizando sua capacidade máxima).

Com o constante aumento do combustível, a fábrica sabe que o prejuízo na fabricação de um

automóvel é de R$ 500,00 e na fabricação de um caminhão é de R$ 200,00. Qual a quantidade de

automóveis e caminhões a ser produzida a fim de que a fábrica tenha o menor prejuízo possível,

dadas as condições atuais do mercado?

6 – Uma indústria de aparelhos eletrodomésticos tem equipamento para produzir geladeiras,

máquinas de lavar e fogões.

O regime de operação da indústria é de 45 horas semanais. Seu equipamento pode fabricar, por

hora, 50 geladeiras ou 25 máquinas de lavar ou 75 fogões.

Uma pesquisa de mercado revelou que a demanda semanal é de 1.000 geladeiras, 500 máquinas

de lavar e 1.500 fogões.



A geladeira proporciona, por cada unidade vendida, um lucro de R$ 40,00; a máquina de lavar R$

120,00 e o fogão um lucro de R$ 30,00.

Qual seria o modelo matemático da indústria que permitiria o lucro máximo semanal ?

7 – Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer

somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar uma unidade de sapato e uma

unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro

é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2

unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é

maximizar seu lucro por hora.

8 – Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele

necessita transportar 200 caixas com laranjas, tendo um lucro de 20 u.m. por caixa, pelo menos

100 caixas com pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa e no máximo 200 caixas com tangerinas a

30 u.m de lucro por caixa. Construir o modelo matemático que permita ao vendedor carregar o

caminhão de modo a obter o lucro máximo.

9 – Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com

20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores,

enquanto o programa “B” com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção

de 10.000 telespectadores. NO decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no

mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música.

Quantas vezes por semana cada programa devem ser levadas ao ar para obter o número máximo

de telespectadores? Construa o modelo do sistema.

10 – Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades

produtivas.



A (Arrendamento) – Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana de açúcar, a

uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00 por alqueire

por ano.

P (Pecuária) – Usar outra parte para criação de gado de corte. A recuperação das pastagens

requer adubação (100 kg / Alq) e irrigação (100.000 l de água / Alq) por ano. O lucro estimado

nessa atividade é de $ 400,00 / Alq no ano.

S (Plantio de Soja) – Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg

por alqueire de adubos e 200.000 l de água / Alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa

atividade é de $ 500,00 por alqueire no ano.

Disponibilidade de recursos por ano:

12.750.000 l de água;

14.000 kg de adubo; e

100 alqueires de terra.

Quanto alqueire deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno?


Capítulo 3

3. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS LINEARES PRÁTICOS POR MEIO DO GAMS

É comum durante o desenvolvimento de modelos matemáticos nos depararmos com problemas onde há

limites de demanda para determinados produtos. Como exemplo, iremos modelar um problema em

linguagem GAMS. Os dados estão dispostos abaixo. O Quadro 3.1 refere-se aos recursos disponíveis na

fazenda para realização das atividades leiteiras e de corte.

Quadro 3.1- Recursos disponíveis

Abreviatura RESTRIÇÕES

AT Área total disponível para a atividade leiteira – ha/ano

TR Custo da terra (devendo ser considerado o custo de oportunidade e o custo de manutenção –adubação, reforma de pasto, limpeza e destoca) – R$/ano

BE Custo e despesas com benfeitorias (considerando-se a depreciação, o custo de oportunidade eo custo de manutenção) – R$/ano

MI Custo e despesas com máquinas e implementos (considerando-se a depreciação, o custo deoportunidade e o custo de manutenção) – R$/ano

EQ Custo e despesas com equipamentos (considerando-se a depreciação, o custo deoportunidade e o custo de manutenção) – R$/ano

RE Custo e despesas com reprodutores (considerando-se a depreciação e o custo deoportunidade) – R$/ano

AL Custo e despesas com alimentação (considerando-se o gasto com concentrados, suplementose forrageiras e o custo alternativo) – R$/ano

PV Custo e despesas com produtos veterinários (considerando-se o gasto e o custo alternativo) –R$/ano

IA Custo e despesas com inseminação artificial (considerando-se o gasto e o custo alternativo) –R$/ano

TE Custo e despesas com transferência de embriões (considerando-se o gasto e o custoalternativo) – R$/ano

DA Gastos com despesas administrativas (considerando-se também o custo alternativo) – R$/ano

MK Gastos com marketing e propaganda (considerando-se também o custo alternativo) – R$/ano

MO Custo e despesas com mão-de-obra (considerando-se o gasto efetivo, os encargos pagos e ocusto alternativo) – R$/ano

A Tabela 3.1 mostra os recursos disponíveis e o consumo por categoria de animal para o ano de 2004.


Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 21Tabela 3.1- Consumo anual por animal.

RestriçõesRECURSOS

DISPONÍVEIS UnidadesRECURSOS CONSUMIDOS POR

CATEGORIA

Bezerras Bezerros Novilhas Vacas Touro

AT 196,50 ha/ano 0,09 0,09 0,25 0,35 0,42

TR 39.493,39 R$/ano 43,37 32,81 66,12 88,78 1535,85

BE 9.894,38 R$/ano 4,07 3,08 3,16 68,26 10,99

MI 51.601,87 R$/ano 70,83 53,59 45,25 276,01 57,34

EQ 13.605,94 R$/ano 3,73 2,83 2,17 99,14 15,12

RE 2.432,04 R$/ano 10,35 7,83 6,59 0,94 0,00

AL 235.063,69 R$/ano 161,32 122,07 393,56 1239,10 261,18

PV 19.243,82 R$/ano 42,26 31,98 27,62 73,10 21,38

IA 3.923,65 R$/ano 16,69 12,63 10,64 1,52 0,00

TE 7.240,00 R$/ano 30,81 23,31 19,63 2,81 0,00

DA 35.535,30 R$/ano 34,14 25,83 19,83 214,86 78,97

MK 18.089,05 R$/ano 69,52 52,60 51,92 5,61 80,40

MO 51.729,07 R$/ano 42,60 32,23 28,87 316,79 114,95RO Orçamento disponível: R$ 487.852,20

Essa Tabela foi obtida por meio de rateio, considerando o consumo efetivo de recursos e o tempo de

permanência de cada categoria animal na propriedade. Para garantir a sustentabilidade econômica da

produção de leite e da produção animais da Fazenda , foram inseridas restrições adicionais as

quantidades máximas e mínimas que cada categoria animal deveria possuir, conforme apresentado na

Tabela 3,2. Esses valores são baseados na taxa de lotação histórica da fazenda no ano de 2003.

Tabela 3.2- Categorias de animais

Categoria Qtde Máxima Qtde MínimaX1 95 39

X2 135 53

X3 170 60

X4 200 100

X5 12 -

O orçamento disponível é de R$ 487.852,20. O objetivo é maximizar a quantidade de animais. Formule o

modelo utilizando-se da linguagem GAMS.


Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 22Índices:

i associado às categorias de animais (Bezerras, Bezerros, Novilhas, Vacas e Touros).

j associado às categorias dos recursos (AT, TR, BE, MI, EQ, RE, AL, PV, IA, TE, DA, MK, MO,RO).

Parâmetros:

Pj: associado ao índice j define os limites máximos de cada recurso.

Ri, j: associado ao consumo unitário do recurso j por categoria de animal i.

Variáveis:

Xi: Quantidade por categoria de animal.

Z: Associada ao cálculo da função objetivo.

Equações:

Animais define a função objetivo

AJ: Calcula o quanto a ser utilizado do recurso j por categoria de animal i.

maxbezerrai: máximo de bezerras.

minbezerrai: mínimo de bezerras.

maxbezerrosi: máximo de bezerros.

minbezerrosi: mínimo de bezerros.

maxnovilhasi: máximo de novilhas.

minnovilhasi: mínimo de novilhas.

maxvacasi: máximo de vacas

minvacasi: mínimo de vacas.

mintouroi: mínimo de touro.

maxtouroi: máximo de touro.

Vamos introduzir outro comando na linguagem GAMS denominado SCALAR neste caso esse comando vai

representar uma constante que não está ligado a nenhum índice.


Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 23

0X

9Xmintouro

12Xmaxtouro

100Xminvacas

200Xmaxvacas

60Xsminnovilha

170Xsmaxnovilha

53"Xminbezerro

135"Xmaxbezerro

39"Xminbezerra

95"Xmaxbezerra

.

:a sujeito

Zanimais

ji,

touro""i

touro""i

vacas""i

vacas""i

novilhas""i

novilhas""i

bezerros"i

bezerros"i

bezerras"i

bezerras"i

j

n

iiji,

n

ii

PXR

X

Para este modelo temos um problema de programação inteira. Este assunto será discutido nos próximos

capítulos. Portanto, resolveremos o mesmo por meio da otimização linear contínua.

A Figura 3.1 mostra o modelo em linguagem GAMS. A solução ótima não inteira seria: bezerras= 39,

bezerros= 132,33, novilhas= 132,172, vacas= 127,773 e touro= 8,71. Utilizando 486.350,05 do

orçamento.



Figura 3.1- Modelo agricultura em GAMS.

Os ‘e as “ (estes pontos ‘ “) são indexadores de índices na linguagem GAMS.

Exemplo 4: Alocação de tarefas.

Uma empresa de correios deseja estabelecer o número de funcionários de horários integral que deve

contratar para iniciar suas atividades. Para fazê-lo, recebeu uma matriz da empresa com o número

mínimo de funcionários por dia da semana. Estas informações se encontram na Tabela 3.3. O


Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 25sindicato dos empregados de franqueadores dos correios mantém um acordo sindical que

determina que cada empregado deve trabalhar cinco dias consecutivos e folgar em seguida dois

dias, e que as franquias devem ter apenas empregados com horário integral. Desenvolva e otimize o

modelo de maneira a determinar o número total de empregados que a franquia deve contratar e o

número de empregados por dia, utilizando a linguagem de modelagem GAMS.

Tabela 3.3- Dados do problema da empresa correios.

Dia da semana Número de funcionários

Domingo 11

Segunda-feira 18

Terça-feira 12

Quarta-feira 15

Quinta-feira 14

Sexta-feira 14

Sábado 16

Índices:

n: associado ao número de funcionários

s: associado aos dias da semana.

Parâmetros:

Alocaçãos,n: associado ao número de funcionários n requeridos no dia da semana s.

Funcionáriosn: associado ao número mínimo de funcionários n para trabalhar no dia da semana s.

Variáveis:

Z associada à função objetivo.

Xs: número de funcionários i contratados no dia da semana s.

Equações:

Func: calcula a função objetivo.

Alocadosn: calcula o número de funcionários alocados em cada dia da semana s.

A Figura 3.2 mostra o resumo do modelo no GAMS. A solução ótima para o problema é contratar 22,6666

funcionários no total, sendo que seria contratado 5 funcionários no domingo, 1,666 na segunda, 4.667 na

terça, 7,667 na quinta e 3.667 no sábado. Os totais de empregados disponíveis por dia da semana estão

dispostos abaixo, sendo N1 número de funcionários que iniciam a atividade no domingo e N7 o número

de funcionários que iniciam a atividade no sábado. N1= 16.333, N2= 18, N3= 15, N4= 15, N5= 19 e N6=14

e N7= 16



0X

osfuncionari.alocacao alocados

:asujeito

X Zfunc.

ns,

ns

ns,n

ss

s

n

X

Figura 3.2- Modelo correios pelo GAMS.

Exemplo de decisão entre fazer ou comprar:

A turbo motores LTDA, uma fábrica de motores especiais, recebeu recentemente R$ 100.000,00 em

pedidos de seus três tipos de motores. Cada motor necessita de um determinado número de horas de

trabalho no setor de montagem e acabamento. A turbo motores deseja determinar quantos motores

devem ser produzidos em sua fábrica e quantos devem ser produzidos de forma terceirizada para


Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 27atender à demanda de pedidos. A Tabela 3.4 mostra as informações referentes a esta empresa.

Tabela 3.4- Dados da empresa turbo motores.

Modelo 1 2 3 Disponibilidade

Demanda 3000 unid 2500 unid 550 unid

Montagem 1 h/unid 2h/unid 0,5 h/unid 6000 h

Acabamento 2.5 h/unid 1h/unid 4h/unid 10000h

Custo de

produção

R$ 50 R$ 90 R$ 120

Terceirização R$ 65 R$ 92 R$ 140

Índices:

p: associado à produção.

j: associado aos recursos.

Parâmetros:

Aj: associado à disponibilidade dos recursos j.

Produzirp,: associado ao consumo da recurso j pelo produto p.

Custop: associado ao custo de produção do produto p.

cust: associado ao custo de terceirização t.

demandap,: associado a decisão unitária de produção e terceirização.

demandasp: associado a demanda do produto p que pode ser fabricado ou terceirizado.

Variáveis.

Z relacionado à função objetivo.

Mincp,: quantidade a ser produzida e terceirizada do produto p visando a obtenção do menor custo.

Produzidop: quantidade a ser fabricada do produto p.

Terceirizadop: quantidade a ser terceirizada do produto p.

Equações:

Customin: calcula o custo mínimo.

Consumop: calcula o consumo do recurso j pelo produto p.

Decisãop,t: calcula a decisão entre produzir e terceirizar.


Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS______________ 28Modelo matemático:

0zado terceiriproduzido, minc,

demandasoterceirzadproduzido

Aproduzido.produzir..consumo

:aSujeito

cus.doterceirizacusto.produzido Zcustomin.

ppp

jpjp,j

ptppp

p

t

A figura 3.3 resume o desenvolvimento desse modelo em GAMS.



Figura 3.3- Modelo de decisão de compra ou terceirização em GAMS

Solução ótima: Produzir P1=3.000; P2= 500; P3= 500, terceirizando a produção de P2= 2.000. Gerando um

lucro máximo= R$ 43.900,00.


Capítulo 4

4. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DINÂMICOS

A maioria dos problemas de otimização práticos são multiperíodo ou dinâmicos, e neste caso o

modelo matemático torna-se mais complexo. Resolvamos o problema de estoque:

Uma empresa de barcos precisa determinar quantos veleiros devem ser produzidos durante

cada um dos 4 próximos trimestres. A demanda de cada um dos trimestres é: primeiro

trimestre, 40 veleiros; segundo trimestre, 60 veleiros, terceiro trimestre, 75 veleiros, quarto

trimestre, 25 veleiros. A empresa quer atender a demanda prontamente. No início do

primeiro trimestre, a empresa tem 10 veleiros em estoque. No início de cada trimestre, a

empresa precisa decidir quantos veleiros devem ser produzidos durante o trimestre. Por

simplicidade, assume-se que os veleiros são fabricados durante um trimestre podem ser

usados para atender a demanda deste trimestre. Durante cada trimestre, a empresa pode

produzir até 40 veleiros com sua mão de obra regular a um custo de R$ 400,00 por veleiros.

Tendo de trabalhar com horas extras durante o trimestre, a empresa pode produzir veleiros

a mais a um custo total de R$ 450,00 por barco. No final de cada trimestre após ter ocorrido

a produção e a demanda do trimestre ter sido atendida, um custo de transporte ou

armazenagem de R$ 20,00 por barco ocorre. Desenvolva o modelo matemático por meio do

software GAMS.

Solução:

Índices:

i: associado ao produto veleiro.

t: associado aos trimestres.

Na linguagem GAMS há outra função chamada alias, esta função permite a inclusão de subíndices

no modelo matemático. Neste caso vamos criar 2 subíndices, associados ao índice principal t

t,textra: associado à produção utilizando horas extras no trimestre t.

t,stoks: associado ao estoque do produto veleiro no trimestre t.


Desenvolvimento e Otimização de Modelos Dinâmicos____________________________________ 31

Parâmetros:

Demandat: associado à demanda requerida do produto i para cada trimestre t.

Producaot: associado à produção máxima para o produto i para cada trimestre t.

Mt,i: associado à produção do produto i usando a mão de obra normal no trimestre t.

Extratextra,i: associado à produção do produto i utilizando horas extras no trimestre t.

Estocagemstoks,i: associado à estocagem do produto i no trimestre t.

I0t,i,: associado ao estoque inicial do produto i no trimestre t.

Contrt: controle de estoque inicial.

Variáveis:

Z função objetivo.

produtoextrat,i: produção do produto i com mão de obra extra no trimestre t.

produtoestoquet,i: estoque do produto i no trimestre t.

Equações:

Mincusto: calcula o custo mínimo da função objetivo.

Limitet: calcula a produção do produto i no trimestre t.

fabricaot: calcula o limite fabricado em horas disponíveis.

calculoestoquet: calcula a capacidade de estoque no trimestre t.

0 oqueprodutoest,raprodutoext,produtos

demandaoqueprodutoest

I0raprodutoextprodutooqueprodutoestoquecalculoest

producaoprodutofabricacao

demandaoqueprodutoestI0raprodutoextproduto.limite

:asujeito

estocagem.0quesprodutoestextra.raprodutoextM.produto

it,it,it,

ti1,-t

it,it,it,it,t

itit,t

iti1,-t,

iit,

iit,t

itextra, istoks,istoks,istoks,itextra,itextra,

it,it,it,

i

iii

it

Z

A Figura 4.1 mostra este modelo em linguagem GAMS.



Figura 4.1- Modelo dinâmico de estoque em linguagem GAMS.

Solução ótima: produção utilizando horas normais: t1=40; t2= 40; t3= 40 e t4= 25.

Produção utilizando horas extras: t2= 10; t3= 35.

Estoques: t1= 10. Custo mínimo R$ 7.840,00

Exemplo 2: Fluxo de caixa multiperíodo.

Uma empresa está construindo um novo restaurante que integrará a sua cadeia no próximo

ano. Para tal, necessita de um total de R$ 500.000,00 que será pago à construtora em duas

parcelas de R$ 150.000,00 ao final do 2º e 5º meses, e uma parcela de R$ 200.000,00 ao



término da construção no fim do 7º mês. A empresa dispõe de 4 tipos de investimentos que

podem ser utilizados a fim de gerar caixa para quitar a construção de maneira a reduzir a

necessidade total de caixa. Informações:

Investimento Aplicação

disponível no

início dos meses

Meses de duração

da aplicação

Retorno ao final do

investimento

Tipo A 1,2,3,4,5,6,7 1 1.5%

Tipo B 1,3,5 2 3.2%

Tipo C 1,4 3 4.5%

Tipo D 1 7 9%

Solução:

Índices:

j: associado aos tipos de investimento.

m: associado aos meses.

a: associado às aplicações disponíveis.

Parâmetros:

Investimentosj, a, m: associado a alocado do disponível a no tipo de investimento j no mês m.

Dm: associado à parcela a ser paga no mês m.

Variáveis:

Z associada à função objetivo.

Utilizadoj, a: associada ao valor aplicado no tipo de investimento j do disponível a.

Equações:

Aplicações: calcula a função objetivo.

Cálculom: calcula o valor aplicado em cada tipo de investimento.



0Utilizado

DUtilizado.tosInvestimen

:asujeito

UtilizadoDUtilizadoCUtilizadoBA UtilizadoMin Z..Aplicações

aj,

n

aj,maj,ma,j,

1111

A Figura 4.2 contempla o modelo fluxo de caixa em linguagem GAMS.

Figura 4.2- Modelo fluxo de caixa em linguagem GAMS.



Exercícios propostos

Uma fábrica produz refrigeradores, freezers e fornos. A demanda mensal média destes produtos

é, respectivamente, de 115.000, 58.000 e 48.000 unidades, e segue um esquema de médias

móveis com período de 4, isto é, a demanda de quatro meses consecutivos e constantes ao longo

do tempo. A demanda registrada nos últimos três meses foi à seguinte:

Demanda mensal por (unidades)

Produto Julho Agosto Setembro

Refrigerador 125.000 108.000 136.000

Freezer 57.000 52.000 73.000

Forno 45.000 36.000 58.000

Para fabricar estes produtos, três recursos básicos são necessários (MDO, MP e energia), cujos

consumos unitários estão apresentados no quadro abaixo.

Consumo unitário

Produto MDO/ horas Material Kg Energia kWh

Refrigerador 1,4 17 25

Freezer 1,7 21 23

Forno 1,1 10 17

A fábrica dispõe de 1.900 empregados na linha de produção, cada um dos quais trabalha 200

horas por mês. O custo de armazenamento mensal de uma unidade de cada produto R$ 10, R$ 13,

R$ 8, respectivamente. A disponibilidade mensal de energia é 5,5 x 106 KW/h. A empresa poderá

comprar até 3.850 ton/ mês de material, que poderá ser armazenado a um custo mensal de R$

0,15kg. Desenvolva o modelo matemático que permita determinar o plano ótimo de produção-

material-pessoal para os próximos 12 meses, de modo a garantir que todos os empregados

entrem em férias (1 mês) durante este período. Considere que no início do mês de outubro não

existe estoque de produto acabado e que o estoque de matéria-prima é de 3.200 toneladas.


Capítulo 5

5. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS INTEIROS

Supondo que a empresa X, tenha uma disponibilidade máxima de R$ 650 reais para realizar

vários investimentos. A taxa mínima de atratividade requerida por esta empresa é 10%,

para cada um dos projetos. Os projetos 1 a 6 são mutuamente excludentes, ou seja, a escolha

de um elimina os outros 5.

Após a realização dos cálculos obtiveram os seguintes resultados

Projeto Investimento Inicial/(UM 1.000,00)

Valor Presente p/ I= 10% p/UM 1.000,00

1 R$ 150,00 R$ 500,00

2 R$ 160,00 R$ 515,00

3 R$ 170,00 R$ 555,00

4 R$ 210,00 R$ 530,00

5 R$ 180,00 R$ 565,00

6 R$ 240,00 R$ 595,00

7 R$ 200,00 R$ 500,00

8 R$ 150,00 R$ 400,00

9 R$ 70,00 R$ 30,00

10 R$ 250,00 R$ 350,00

11 R$ 150,00 R$ 300,00

Selecionar o portfólio de projetos que maximize o valor presente desta empresa. Os recursos

disponíveis são de R$ 650.

Solução:

Índices:

p: associado aos projetos disponíveis.

Parâmetros:

Investimentop: capital disponível para investir no projeto p.


Desenvolvimento e Otimização de Modelos Inteiros______________________________________ 38

VPLp: Valor presente do projeto p.

Variáveis:

Z: Função objetivo

MAXVPLp: associado à escolha do projeto p.

Modelo matemático:

10,MaxVPL

650toInvestimen.MAXVPL

1MAXVPL

:asujeito

VPL.MAXVPLMax Z

p

pp

6

p

p

n

pp

p



Figura 5.1- Modelo MIP1 em GAMS.

Solução ótima: Investir nos projetos: P1, P7, P8 e P11. Gerando um VPL máximo R$ 1.700,00.

Exemplo 2:

Uma indústria quer se expandir, construindo nova Fábrica ou em Itajubá ou em

Guaratinguetá. Também será considerada a construção de um novo Depósito na cidade que

for selecionada para receber a nova Fábrica. O Valor Presente Líquido de cada alternativa

está na Tabela 5.1. A última coluna dá o Capital Requerido para os investimentos, sendo o

capital total disponível $25 milhões. Achar a combinação viável de alternativas que

Maximize o Valor Presente Líquido Total.

Tabela 5.1- Dados para a construção da nova Fábrica.

Decisão Sim ou Não VPL

Capital

Requerido

1 Fábrica em Itajubá 7.000.000 20.000.000

2 Fábrica em Guaratinguetá 5.000.000 15.000.000

3 Depósito em Itajubá 4.000.000 12.000.000

4 Depósito em Guaratinguetá 3.000.000 10.000.000



Solução: Modelo Matemático:

10,selecao

selecaoselecao

iaorçamentárRestrição25.000.000capital.selecao

:asujeito

VPL.selecaoMax Z

ji,

deposito"",itajuba""fabrica"",itajuba""

n

ji,ji,ji,

n

ji,ji,ji,

A Figura 5.2 mostra este modelo em linguagem GAMS.



Figura 5.2- Modelo MIP2 em linguagem GAMS.

Solução ótima: Construir tudo em Guaratinguetá. Gerando um VPL máximo de R$ 8.000.000,00.

Repare que utilizamos o solver MIP (CPLEX 12.1.0), sendo este solver o mais adequado para

resolver problemas mistos, binários e inteiros.


Capítulo 6

6. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE REDES

De forma geral, modelos de rede são utilizados em casos especiais de otimização linear que são

mais bem analisados por meio de uma representação gráfica.

Modelos de rede são diagramas compostos por uma coleção de vértices ou nós ligados entre si

por um conjunto de arcos, conforme mostra a Figura 6.1. Os nós são os círculos e os arcos são as

retas de ligação.

Figura 6.1- Componentes de uma rede.

Os problemas modelados como redes geralmente apresentam números associados aos nós e aos

arcos. Em problemas de transporte modelados como redes, por exemplo, os números associados

aos nós podem representar a quantidade de produtos ofertados ou demanda pelo nó, ao passo

que os valores dos arcos podem refletir os custos de transporte (ou tempo, ou à distância) entre

um nó e o outro. Diversos problemas de tomada de decisão práticos estão categorizados como

problemas de Rede. Entre eles pode-se citar:

Problemas de transporte; Escala de Produção; Rede de Distribuição; Problemas de Menor

Caminho; Problemas de fluxo máximo; Problemas de caminho crítico; Problemas de

árvores geradoras mínimas.

A Figura 6.2 contempla um exemplo de redes em problemas de transporte.


Desenvolvimento e Otimização de modelos de redes______________________________________ 43

Figura 6.2- Exemplo de problemas de transporte.

Exemplo 1:

Uma empresa fabricante de bicicletas possui três fábricas localizadas no Rio, em São Paulo e

em Belo Horizonte. A produção da empresa deve ser entregue em Recife, Salvador e Manaus.

Considerando os custos de transporte unitários, a capacidade de produção das fábricas e a

demanda dos centros consumidores ilustrados na Tabela a seguir.

Determine quanto deve ser produzido e entregue por fábrica em cada centro consumidor, de

forma a minimizar os custos de transporte.

Fábrica/

ConsumidorRecife Salvador Manaus Capacidade

Rio 25 20 30 2000

SP 30 25 25 3000

BH 20 15 23 1500

Demanda 2000 2000 1000

Solução:

Índices:

i: associado às fábricas

j: associado aos destinos.

Parâmetros:

Custoi, j: associado ao envio da fábrica i para o destino j.



Capacidadei: associado à capacidade máxima de armazenagem da fábrica i.

Demandasj: associado à demanda requerida pelo destino j.

Variáveis:

Z: função objetivo.

Mincustoi, j: associada à quantidade enviada da fábrica i para o destino j ao menor custo.

MODELO MATEMÁTICO:

0envio

Demandaenvio

capacidadeenvio

:asujeito

.custoenvio

ji,

jji,

jiji,

,ji,ji,

i

n

ji

Z

A Figura 6.3 mostra este modelo em GAMS.



Figura 6.3: Modelo Rede 1.



Este modelo pode ser representado por um formato de rede conforme contemplado pela Figura

6.4.

Figura 6.4- Modelo de rede do exemplo 1.

Em modelos de transporte as equações devem estar equilibradas, isto é, oferta total= demanda

total. Entretanto, podemos adotar um fluxo de balanceamento.

Hipótese do Problema Tipo de Restrição

Oferta > Demanda Entradas-Saídas ≥ Oferta ou demanda do nó

Oferta < Demanda Entradas- Saídas ≤ Oferta ou Demanda do nó

Oferta= Demanda Entradas-Saídas= Oferta ou demanda do nó

Neste caso a oferta é maior que a demanda.

A Figura 6.5 contempla este exemplo modelado em linguagem GAMS.



Figura 6.5- Exemplo de modelo de rede em transportes.



6.2 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE REDES EM PROBLEMAS

DE ESCALA DE PRODUÇÃO

Uma empresa fornece motores para um grande número de equipes de fórmula 1. A

companhia detém uma série de contratos de entregas futuras programadas para o próximo

ano. As entregas deverão ocorrer trimestralmente, de acordo com as necessidades das

equipes. A Tabela a seguir resume por trimestre as entregas programadas, a capacidade

máxima de produção e o custo unitário de produção. As entregas são feitas no final do

trimestre e os motores podem ser armazenados por quantos trimestres forem necessários

ao custo de 0,015 milhão de reais por trimestre. A diretoria deseja minimizar os custos

totais de produção (produção + armazenagem). Quantos e quando os motores pedidos

devem ser produzidos e entregues?

TrimestrePedidos

Contratados

Capacidade de

Produção

Custos unitários em milhares de

reais

1 10 25 1,08

2 15 35 1,11

3 25 30 1,1

4 20 10 1,13

Para resolver este problema como um problema de transporte, precisamos primeiramente

determinar quais serão as fontes, os destinos e as variáveis de decisão.

Solução:

Índices:

i: associado à produção dos motores.

j: associado à entrega dos motores.

t: associado aos trimestres.

Parâmetros:

Custoi, t: associado ao custo de produção.

Capacidadei: capacidade máxima de produção.

Contratosj, t: associado à demanda dos motores em cada trimestre.



Demandasj, i, t: associado à entrega do motor produzido no trimestre t a ser entregue nos

trimestres.

capacidadesp11i, t: associado à entrega dos motores produzidos no trimestre t.

estoquest: associado ao custo de estoque no trimestre t.

estoquessi, t: associado ao estoque no trimestre t.

Variáveis:

Z: função objetivo.

Envioi, t: quantidade a ser enviada do motor produzido no trimestre t.

Stokt: associada à ociosidade no trimestre t.

0stok

0envio

30stok

contratosdemandas.envio

capacidadeestoquess.stokcapacidade.envio

:asujeito

estoques.stok.custoenvio

t

ji,

t

tj, ti,j, ti,

t

n

ti ti,t ti, ti,

tt,

ti, ti,

n

t

i

n

t

n

ti

Z



Figura 6.6 - Exemplo de modelos de produção.

6.3 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE REDE DE DISTRIBUIÇÃO

Problemas que consideram múltiplas fontes, centros consumidores e locais intermediários por

onde os produtos simplesmente passam são denominados de problemas de rede de distribuição.

Os problemas de transporte podem ser vistos como uma simplificação do problema de rede de

distribuição de custo mínimo, onde as localizações intermediárias não existem.

Exemplo 1:

Uma montadora de tratores está iniciando as suas operações no país, construindo duas

fábricas: uma na Bahia e outra em São Paulo. A montadora está estudando a forma de

distribuição de seus carros para as diversas revendas, localizadas nos estados de Goiás, Rio

de Janeiro, Minas Gerais, Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul, que minimize o custo

total de distribuição. As capacidades instaladas de cada uma das fábricas, as demandas das

revendas, bem como os custos unitários de transporte entre fábricas e revendas estão

evidenciadas na rede abaixo:



Figura 6.7- Diagrama de Rede do exemplo 1.

Neste problema a oferta é maior que a demanda e, portanto, adota-se que as entradas- saídas ≤

oferta do nó.

Solução:

Índices:

i: associado aos nós de oferta.

j: associado aos nós de demanda.

Parâmetros:

Capacidadei: associado à capacidade máxima dos nós de oferta.

Demandaj: associado à demanda máxima do destino j.

Custoi, j: associado ao custo de envio da origem i para o destino j.

Redei j: associado à distribuição da origem i para o destino j.

Redesi, j: associado à distribuição da rede.

Variáveis:

Z: função Objetivo.

Envioi, j: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.



Modelo:

0envio

Demandaredes.envio

capacidaderede.envio

:asujeito

.custoenvio

ji,

ijji,ji,

jiji,ji,

,ji,ji,

n

ji

Z

A Figura 6.8 mostra esse modelo em linguagem GAMS. Solução ótima:

Origem/Destino SC MG GO RJ RS PR

BA 200 150 150

SP 100 200 300

D 50 250

Custo mínimo R$ 28.000,00



Figura 6.8- Modelo distribuição em GAMS.

A variável D é uma adição de uma origem fictícia, pois a demanda é maior que a oferta e, em

modelos de transporte a oferta total = demanda total. A leitura é a seguinte: não foram enviadas

50 e 250 unidades para SC e RS respectivamente.

6.4 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS DO MENOR CAMINHO

O problema do menor caminho representa um caso especial de problemas de redes, em que os

arcos significam a distância entre dois pontos (vértices ou nós). Quando desejamos achar a rota

que une estes pontos com distância mínima entre as possíveis rotas, temos um problema do tipo

do menor caminho.

Em problemas do menor caminho haverá sempre dois tipos de vértices especiais chamados de

origem e destino. Entre estes nós há nós intermediários, que podem representar cidades que

conectam rodovias, subestações em problemas de distribuição de energia, e assim por diante.

Exemplo 2:

A fábrica de artigos e decoração Águia, localizada em Lambari, Minas Gerais, deve entregar

uma grande quantidade de peças na cidade de Baependi, localizada no mesmo estado. A

empresa quer saber qual o caminho que seu caminhão de entregas deve percorrer para



minimizar a distância total percorrida. A Figura 6.9 mostra as cidades e as respectivas

distâncias.

Figura 6.9- Mapa rodoviário que liga as cidades de Lambari a Baependi

Solução:

Índices:


j: associado aos nós de demanda.

Parâmetros:

Distânciai, j: associado à distância da origem i para o destino j.

Circuitoi, j: associado à rede entre a origem i para o destino j.

Circuito2i, j: associado à rede entre a origem i para o destino j.



Cicloi, j: associado à rede entre a origem i=lambari para o destino j.

Ciclosi, j: associado à rede para o destino final.

Nosi: associado ao nó especial da origem.

Nosj: associado ao nó especial do destino final.

Variáveis:




Envioi, j: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.

Modelo:

1;0envio

0circuito4.envio

0circuito3.envio

0circuito2.envio

0circuito.envio

Nosciclo.envio

Nosciclo.envio

:asujeito

.distanciaenvio

ji,

iji,ji,

iji,ji,

iji,ji,

iji,ji,

ijji,ji,

jiji,ji,

,ji,ji,

n

ji

Z

A Figura 6.10 mostra esse modelo em GAMS.



Figura 6.10- Problema do menor caminho em GAMS.



6.5 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS DE FLUXO MÁXIMO

O tipo de problema de fluxo máximo é utilizado quando queremos maximizar a quantidade de

fluxo de um ponto de origem para um ponto de destino, sujeitos a restrições de capacidade de

fluxo nos arcos.

Estes problemas geralmente envolvem um fluxo de materiais como água, óleo, gás, energia por

meio de uma rede de tubos ou cabos, porém, também podem representar o fluxo mínimo de

carros em uma malha rodoviária, de produtos em linha de produção, e assim por diante.

Exemplo:

Uma empresa distribuidora de gás deseja determinar a quantidade máxima de metros

cúbicos por segundo de gás que pode bombear da estação de campos para o centro

consumidor do Rio de Janeiro, por meio da rede de gasodutos. A Figura 6.11 ilustra a

estrutura da rede de distribuição e apresenta a capacidade de fluxo máximo nos trechos em

metros cúbicos por segundo.

Figura 6.11- Rede de gasodutos que ligam campos ao Rio de Janeiro.

Solução:

Índices:


ii: associado aos nós de destino.

Parâmetros:



Capacidadei, ii: associado à capacidade máxima de fluxo de cada nó.

Circuitoi,ii: associado ao circuito do nó A.

Circuito2i,ii: associado ao circuito do nó 1.

Circuito3i, ii associado ao circuito do nó 2.

Circuito4i, ii: associado ao circuito do nó 3.

Circuito5i, ii: associado ao circuito do nó 4.

Circuito6i, ii: associado ao circuito do nó B.

Variáveis:


Envioi, ii: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.

envio

0circuito.envio

0circuito5.envio

0circuito4.envio

0circuito3.envio

0circuito2.envio

0circuito.envio

capacidadeenvio

:asujeito

envio

iii,

iii,iii,iii,

iii,iii,iii,

iii,iii,iii,

iii,iii,iii,

iii,iii,iii,

iii,iii,iii,

iii,iii,

"a",b""Z

A Figura 6.12 contempla esse modelo em linguagem GAMS.



Figura 6.12: Modelo fluxo máximo em GAMS.

Solução ótima:

Origem/destino A 1 2 3 4 B

A 40 20

1 20 20

2 20

3 20

4 40

B 60

Fluxo máximo BA= 60.

6.6 DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS DE ESCALA DE PRODUCAO COMO

MODELOS DE REDE POR MEIO DO GAMS

O caso dos problemas de escala de produção pode ser visto como problemas de transporte na

forma tradicional.

Exemplo:

A fábrica de eletrodomésticos Galáctica deseja realizar o escalonamento de sua produção de

liquidificadores para os próximos quatro meses. A fábrica pode produzir mensalmente, em

jornada normal, 150.000 unidades a um custo unitário de R$ 15. Por meio do pagamento de

horas extras, a capacidade mensal de produção da fábrica pode ser aumentada em 50.000

liquidificadores, a um custo de produção unitário de R$ 22 (somente aos adicionais). Existe a

possibilidade de armazenagem ilimitada de unidades de um mês para o outro a um custo

unitário mensal de R$ 3. Sabendo que as demandas de liquidificadores para os próximos



quatro meses são de 120.000, 200.000, 120.000 e 180.000, resolva o problema utilizando-se

da linguagem GAMS.

Do nó Para o nó Custo

1 A 15

1 E 0

2 A 22

3 B 15

3 E 0

4 E 0

4 B 22

5 C 15

5 E 0

6 C 22

6 E 0

T D 15

T E 0

8 D 22

8 E 0

A B 3

A C 3

C D 3

Os nós ímpares são os nós de produção sem horas extras. As letras a, b, c e d referem-se à

demanda por mês, o nó E é um nó fictício utilizado para equilibrar a oferta com a demanda.

Solução:

Índices:


j: associado aos nós de destino.

Parâmetros:



Custoi ,j: associado ao custo entre os nós de saída com os nós de entrada.

Cicloi,j: associado ao circuito entre os nós com o nó fictício.

Circuitoi, j: associado ao circuito do nó A.

Circuito2i, j: associado ao circuito do nó 1.

Circuito3i, j associado ao circuito do nó b.

Circuito4i, j: associado ao circuito do nó c.

Circuito5i, j: associado ao circuito do nó e.

Variáveis:


Envioi, ii: quantidade a ser enviada da origem i para o destino j.

envio

180000circuito5.envio




120000circuito.envio

demandaciclo.envio

:asujeito

custo.envio

ji,

ji,ji,

ji,ji,

ji,ji,

ji,ji,

ji,ji,

ji,ji,j

ji,ji,

i

Z

A Figura 6.13 contempla este modelo em linguagem GAMS.



Figura 6.13: Modelo de escala de produção formulado em GAMS.

A Tabela abaixo apresenta um plano de manutenção de uma estufa dinâmica da Pintura a

Pó LTDA. Uma das aplicações desse tipo de estufa é curar a tinta pó (de alta resistência) que

é aplicada em peças metálicas. Por meio de um processo eletromagnético, o pó de tinta fica

impregnado na peça, que é levada para dentro da estufa. Quando a peça entra na estufa a

uma temperatura de aproximadamente 200 graus, a tinta derrete e fica impregnada na

peça, num processo denominado cura da tinta. Em casos de produção de alto volume de

peças pequenas e médias, produtos são fixados em gancheiras, que são transportados por

trilhos que passam dentro da estufa aquecida.

Atividade Descrição Predecessor

imediato

Tempo [hs]

A Desligar e desaquecer a estufa - 6

B Avaliar rolamentos danificados - 4

C Trocar rolamentos danificados B, A 7

D Avaliar e trocar resistências danificadas A 8

E Limpar estufa internamente D 10

F Lubrificar trilho com grafite C 2

G Fazer inspeção final E, F 1

H Religar estufa G 2

Figura 6.14- Atividades de um projeto de manutenção



As atividades A e B não possuem atividades precedentes e, portanto, não há arestas de entrada. A

atividade C possui arestas como predecessores imediatos, as atividades A e B. A atividade D

possui como predecessor apenas a atividade A. As outras atividades são introduzidas na rede da

mesma forma. Os números na construção da rede, algumas regras são levadas em consideração.

O tamanho da aresta não tem associação com as atividades;

As atividades iniciadas no final da aresta não podem ser iniciadas antes das atividades que

são iniciadas no inicio da arestas;

As atividades são representadas exclusivamente pelo seu início e término (evento inicial e

final);

Nós não podem ser duplicados;

Dois nós só podem ser conectados por uma única aresta;

OBS: A função objetivo neste caso é o tempo total, logo é definida por H+2, ou seja, o horário de

término da última atividade. Com relação às atividades A e B, como não há nenhuma atividade

predecessora tem-se A=B= 0. Sobre a modelagem das atividades que possuem predecessoras,

como por exemplo, a atividade C, que tem a atividade A e B como predecessoras, tem-se:

4ou 4

6ou 6

BCBC

ACAC

A figura 6.15 mostra a modelagem em GAMS



Figura 6.15- Modelo CPM EM GAMS

Exercícios para diversão.



1) Análise a rede abaixo e faça o que é pedido.

Considere que os números indicados em cada aresta significam o número de quilômetros

necessários para um automóvel percorrer a estrada entre duas cidades indicadas pelo nós

extremos das arestas observadas. Monte o modelo e determine a rota que um automóvel deve

seguir para sair de Chapecó e chegar a porto alegre, percorrendo a menor quantidade de

quilômetros possível.

2) Considere a reconstrução de um armazém que será feito. As atividades associadas são

apresentados na Tabela a seguir:

Atividad

e

Descrição Predecessor

imediato

Tempo

[dias]

A Demolir o armazém - 2

B Comprar materiais para atividade de

alvenaria

- 1

C Separar material reutilizável A 1

D Escavação de fundações A 2

E Preparação do acesso ao depósito A 1

F Fazer lista de outros materiais necessários C 1



G Fazer fundações de concreto B, D 2

H Fazer acesso E 1

I Levantar paredes de alvenaria B, G 8

J Nivelar chão e fazer o contra piso F, G 2

K Instalar fiação e sistema elétrico F, I 1

L Acabar paredes K, M, N 5

M Fazer telhado F, I 1

N Acabar piso de concreto J 5

O Montar calhas e tubulações de escoamento F, M 1

P Limpar H, L, O 1

Crie a rede associada ao projeto de reconstrução e indique qual o menor tempo para realização

do projeto. Qual é o caminho crítico?

3) A pessoa responsável pelo plano de atividade do armazém cometeu dois pequenos erros.

Ela introduziu duas relações da precedência imediata redundantes. Isso é uma falha

conceitual e acontece nos planos de atividades mal feitos. Quais são as duas relações de

precedência que não deveriam ter sido colocadas no plano?


72

Capítulo 7

7. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA

Neste tópico vamos comentar sobre problemas de dificuldade polinomial (P) e problemas de

dificuldade não polinomiais (NP).

Problemas polinomiais são problemas cujos algoritmos conhecidos fornecem soluções que

podem ser obtidas por meio de uma função polinomial de n tamanho de entrada, ou seja: f (n) =

O(nk) sendo que(k) uma constante. Problemas NP são problemas cujos algoritmos de solução

conhecidos são baseados em enumeração, seja ela implícita ou não. De maneira geral, o número

de combinações possíveis é assustadoramente grande, fazendo com que os algoritmos

enumerativos não consigam resolver problemas com grande número de entradas em tempo

hábil. São denominados algoritmos de tempo exponencial e, é nestes contextos que se encaixam

os problemas de otimização combinatória. Os problemas NP podem ser classificado, conforme

(COLIN, 2007):

Problemas NP - Completos: são problemas que possuem uma forte evidência da não

existência de um algoritmo cujo tempo de solução seja uma função polinomial do

tamanho da entrada. São considerados os mais difíceis da classe NP, e, se algum deles for

resolvido em tempo polinomial, então todos os problemas NP também serão.

Quando se sabe que um problema de otimização é NP - difícil, tem-se a certeza de que nem

sempre a solução ótima será encontrada. Portanto, tem se aplicado métodos heurísticos, como

por exemplo, algoritmos genéticos, colônias de formigas, busca tabu, dentre outras. Abaixo

encontra-se o modelo do problema do Caixeiro-Viajante (CV), sendo este modelo de otimização

combinatória.


Desenvolvimento e Otimização de Modelos de otimização combinatória_______________________73

0u,1,0

subrotasSão

n)2,3,...,jn;3,...,2,ij;(i1-nnxuu

chegadadeRestrição

saídadeRestrição

:asujeito

.Min Z

j,

ji,ji

1,

1,

1 1,,

ji

n

jji

n

iji

n

i

n

jjiji

X

X

X

XC

As restrições de saída e de chegada são binárias, e garantem que cada um dos xij seja 0 ou 1. As

restrições de saída garantem que para cada cidade haverá apenas uma rota de saída e,

analogamente uma chegada para as restrições de chegada.

As restrições de subrotas ou subcircuitos garantem que a solução ótima não contenha

subcircuitos.

Exemplo1:

PARA

Sede P1 P2 P3 P4

Sede 5 3.8 2.2 2.4

P1 5 2.6 3.1 5.1

P2 3.8 2.6 1.6 2.8

P3 2.2 3.1 1.6 2.3

DE

P4 2.4 5.1 2.8 2.3

A Figura 7.1 mostra a solução deste problema por meio da linguagem GAMS.



,



Figura 7.1-Modelo caixeiro viajante em GAMS.

A Figura 7.2 mostra os caminhos a serem percorridos.



Figura 7.2-Modelo Caixeiro Viajante otimizado pelo GAMS.

OBS: com n vértices há 2

)!1( n ciclos distintos.


Capítulo 8

8. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS DE ANÁLISE POR ENVOLTÓRIA DE

DADOS

Em termos de programação matemática, a análise por envoltória de dados (DEA- Data

Envelopment Analysis), também chamada de análise de fronteiras ou análise de eficiência, é

considerada uma técnica relativamente nova. Ao mesmo tempo, também é considerada um dos

sucessos recentes da programação linear. No DEA existem as chamadas DMU- Decision Making

Units, ou seja, as unidades tomadoras de decisão.

Em linhas gerais, a DEA avalia problemas com múltiplos recursos (usados para gerar produtos e

ou serviços e múltiplas saídas para cada unidade) (COLIN, 2007). A capacidade com que as DMUs

conseguem gerar saídas para determinadas entradas define sua eficiência. Supõe-se que as DMUs

menos eficientes podem melhorar sua eficiência até o limite das melhores unidades , cuja

eficiência é de 100%. Mais especificamente, a DEA determina, segundo Colin (2007):

A melhor prática- grupo das DMUs mais eficientes;

As DMUs menos eficientes comparadas com as melhores práticas;

A quantidade de recursos utilizados de forma improdutiva nas DMUs menos eficientes;

Para cada uma das DMUs menos eficientes, o grupo das unidades de melhor prática que

são mais parecidas com elas e que poderiam ser usadas como benchmarks.

Antes de prosseguir com o DEA, vamos entender alguns significados.

Eficácia – Capacidade da unidade produtiva atingir as metas previamente estabelecidas;

Produtividade – Razão entre o que foi produzido e o que foi gasto para produzir. Ex.:

Peças/H.h;

Eficiência – Conceito relativo que compara o que foi produzido com o que poderia ter sido

produzido. Pode ser entendida como uma comparação entre as produtividades

observadas;


Desenvolvimento e Otimização de modelos de análise por envoltória de dados_________________ 81

Se uma unidade atingiu a meta, foi eficaz. Se conhecermos os recursos que a unidade dispunha

podemos avaliar se esta foi produtiva. Se soubermos quais foram os resultados da concorrência

podemos avaliar a eficiência da unidade (SOARES DE MELLO, 2005)

O modelo DEA CCR (Charnes, Cooper e Rhodes, 1978) é apresentado no modelo abaixo.

i , v

j,, u

nc,, k xv

yu

S.a.:

xv

yu

Max E

i

j

m

i

iki

s

j

jkj

m

i

ici

s

j

jcj

c

0

0

,,,,211

1

1

1

1

Onde: c é o índice da unidade que está sendo avaliada. O problema acima envolve a procura de

valores para u e v, que são os pesos, de modo que maximize a soma ponderada dos outputs

(output “virtual”) dividida pela soma ponderada dos inputs (input “virtual”) da DMU em estudo,

sujeita à restrição de que esse quociente seja menor ou igual a 1, para todas as DMUs.

Esta função está sujeita à restrição de que, quando o mesmo conjunto de coeficientes de entrada

e saída (vis e ujs) for aplicado a todas as outras unidades de serviços que estão sendo

comparadas, nenhuma unidade de serviço excederá 100% de eficiência ou uma razão de 1,00..

Porém, o modelo acima não é linear e sim um problema de programação fracionária. Entretanto,

o modelo linearizado é descrito abaixo.

x, y. , , v u

n...,c, , k xv- yu

xv S.a.:

yuMax E

ij

m

i

iki

s

j

jkj

m

i

ici

s

j

jcj c

0

,,,210

1

11

1

1

Esta forma do problema é conhecida como problema dos multiplicadores, como também são

chamados os pesos, uj e vi.



Exemplo 1:

Um hospital deseja avaliar sua eficiência em relação aos demais hospitais da cidade. A

Tabela abaixo contempla os dados de entrada e saída analisados

Hospital Entradas (x) Saídas (y)

CapitalMão de

obraJovens Adultos Idosos

1 5 14 9 4 16

2 8 15 5 7 10

3 7 12 4 9 13

Neste caso são 3 problemas de programação linear, uma para cada DMU.

A Figura 8.1 mostra a solução deste modelos por meio do GAMS. Lembrando-os que



Figura 8.1- Modelo DEA em GAMS

Basicamente o que muda de um modelo para o outro é a função objetivo e a equação 4 (calculo

4). Vamos interpretar a solução ótima para o último modelo. W2= 0,9 ; W3= 7.1% e V2= 8.3%.

Neste caso as saídas adultos e jovens são importantes para manter a eficiência máxima do

hospital 3. Deve-se conservar a mão de obra. A Figura 8.2 contempla um exemplo de como

modelar o dual de um problema de DEA.



Figura 8.2- Modelo primal e Dual de problemas de DEA.

Pelo GAMS também é possível rodar vários modelos continuamente. Vamos mostrar um exemplo

tomando como base o exemplo exposto acima. A Figura 8.3 mostra este exemplo.



Figura 8.3: Modelo DEA GLOBAL.



Repare que inseriu-se mais uma variável e também algumas equações e, ao rodar o modelo, deve

ser informado apenas as equações pertencentes ao modelo desejado.

Outro tipo de modelo DEA que iremos ver nesta apostila é conhecido por BCC (Banker, Charnes e

Cooper, 1984). No modelo DEA CCR há retornos de escalas constantes, válido para unidades

operando em escala ótima. No modelo BCC ou VRS, substitui o axioma da proporcionalidade pelo

axioma da convexidade linear, soma dos lambdas igual a 1. Fronteira côncava e linear por parte,

também chamado de retorno variáveis de escala.

u

j, i. , , v u

k ,uyuxv

xv S.a.:

uyuMax E

ij

jjkj

j

iki

i

ici

jjjff

*

0

0*

1

*.

.1

1

00

As eficiências no modelo DEA BCC são maiores ou iguais as eficiências do modelo CCR. No modelo

CCR as eficiências independem da orientação; os outros resultados de DEA dependem da

orientação

No modelo BCC todos os resultados de DEA dependem da orientação. A Figura 8.4 mostra as

diferenças entre estes modelos.

Figura 8.4- Modelos DEA



A figura 8.5 contempla a solução deste exemplo pelo modelo BCC ou (VRS).



Figura 8.5- Modelagem em GAMS modelo DEA BCC ou VRS

Neste exemplo foi necessário acrescentar outro objetivo (sets) chamado u que vai pertencer a

variável do modelo BCC.

Resolva os exercícios abaixo utilizando-se da linguagem de modelagem GAMS.

1)

Max

001,0 v,001,0w

0v145v

0v127v-w313w94w

0v158v-w310w75w

0v145v-w316w49w

:asujeito

w316w49w Z

kj

21

2121

2121

2121

21

Formule o problema dual dos hospitais. E resolva-o pelos dois métodos.

2) O banco S/A está analisando a eficiência de suas agências a Tabela abaixo mostra os dados

de entrada e saída analisados.

Recursos empregados (Entrada) Economia potencial (Saída)Agências

menos produtivas

Caixa [pessoas]

Plataforma [pessoas]

Gerente [pessoas]

Despesas (excl. pessoal e aluguel) [$]

Área da agência

[pé2]Caixa Plata-

formaGerente Despesas

Área da

agênciaA1 10,0 5,0 1,0 652.566 3.818 4,5 1,8 0,3 222.928 1.304A3 3,0 2,5 1,0 468.637 1.728 1,9 1,6 0,7 295.989 1.133A4 4,0 2,5 1,0 350.477 1.941 2,3 1,4 0,7 189.745 1.051A5 9,0 7,0 1,0 1.059.526 5.640 0,7 1,9 0,1 367.020 1.899A6 3,0 2,5 1,0 235.974 2.200 1,6 1,4 0,6 122.474 1.556A8 4,5 3,5 1,0 353.235 1.350 1,5 1,3 0,3 10.526 40A9 3,5 2,0 1,0 341.994 2.346 1,2 0,7 0,4 116.716 976

A11 7,5 3,5 1,0 768.338 3.243 3,3 0,7 0,2 329.403 774A12 2,5 2,0 1,0 269.998 1.422 1,1 1,1 0,7 122.433 889A13 9,0 6,5 1,0 1.112.090 5.400 0,1 0,1 - 131.389 1.477



Recursos empregados (Entrada) Economia potencial (Saída)Agências

menos produtivas

Caixa [pessoas]

Plataforma [pessoas]

Gerente [pessoas]

Despesas (excl. pessoal e aluguel) [$]

Área da agência

[pé2]Caixa Plata-

formaGerente Despesas

Área da

agênciaA14 3,5 4,0 1,0 433.868 1.700 0,7 2,0 0,4 81.024 502A15 2,0 2,0 1,0 253.902 1.486 1,1 1,3 0,7 135.920 961A18 4,0 2,5 1,0 571.090 1.420 2,0 0,8 0,4 206.693 361A20 7,0 4,0 1,0 666.133 3.180 3,0 1,5 0,4 280.853 1.176A22 7,5 3,5 1,0 929.668 1.865 5,2 1,5 0,3 496.072 605A26 3,5 3,0 1,0 411.922 3.092 1,0 1,0 0,3 112.147 1.491A27 5,5 5,5 1,0 545.976 2.781 1,9 3,1 0,3 188.394 960A28 6,0 5,0 1,0 914.990 2.187 1,8 1,6 - 233.870 60A29 7,0 4,0 1,0 568.054 6.686 1,7 0,9 0,2 176.227 3.669A30 15,0 13,0 1,0 1.402.615 9.963 4,0 6,1 0,3 551.272 5.377A31 5,5 6,0 1,0 679.451 3.133 0,8 2,7 0,1 94.692 824A32 3,0 2,0 1,0 367.828 1.637 0,9 0,6 0,5 107.934 480A33 17,5 18,0 1,0 3.191.789 8.000 3,3 10,6 0,2 2.510.589 2.016

Total 143,0 109,5 23,0 16.550.121 76.218 45,6 45,7 8,1 7.084.310 29.581Desenvolva e otimize os modelos desse problema. Avalie o dual e conclua quais são as melhores

agências e o que deveria ser feito pelo banco para que as agências não eficientes se tornem

eficientes.

3) Considere as 6 empresas do setor X listadas na Tabela a seguir

Empresa Receita Ativo EmpregadosA 800.331 1.487.845 4.478B 780.880 1.599.784 3.320C 1.582.624 3.886.613 4.176D 1.977.624 5.147.807 5.988E 3.105.444 5.299.049 6.646F 2.349.306 7.475.831 11.748

a- Utilize a DEA para classificar as empresas em termos de eficiência. Considere que as

entradas são definidas pelos ativos e empregados e que a saída seja definida pela receita.


Capítulo 9

9 Aplicações Reais

O próximo exemplo foi adaptado de Silva (2009). Uma usina deseja programar sua produção para

as próximas 5 semanas. Abaixo estão algumas informações sobre esta usina.

Matéria-Prima:

Própria: 150.000 toneladas

Comprada: 100.00 toneladas.

Estas matérias-primas devem ser consumidas totalmente nestas 5 semanas.

Porcentagem de MP comprada por semana.

Semana 1: 100%

Semana 2: 100%

Semana 3: 100%

Semana 4: 80%

Semana 5: 90%

Porcentagem de MP própria por semana.

Semana 1: 80%

Semana 2: 80%

Semana 3: 80%

Semana 4: 80%

Semana 5: 90%

Capacidade de transporte da frota própria em toneladas:

Semana 1: 47250

Semana 2: 47250

Semana 3: 51975

Semana 4: 51975


Aplicações reais___________________________________________________________________ 91

Semana 5: 51975

Capacidade de transporte da frota terceirizada em toneladas:

Semana 1: 37250

Semana 2: 27250

Semana 3: 19750

Semana 4: 14000

Semana 5: 15.000

Capacidade de transporte da frota terceirizada em toneladas:

Semana 1: 37250

Semana 2: 27250

Semana 3: 19750

Semana 4: 14000

Semana 5: 15.000

Capacidade de transporte da frota condomínio em toneladas:

Semana 1: 2250

Semana 2: 3250

Semana 3: 8750

Semana 4: 1400

Semana 5: 1000

Estes transportes são alocados na parte agrícola, pois estas matérias primas são colhidas no

campo. A Tabela abaixo mostra os níveis de moagem semanal, logo o total colhido na semana não

deve ser maior que a capacidade máxima de moagem e nem menor que a capacidade mínima.

Semana Moagem Máxima Moagem Mínima

1 40.00 30.200

2 42.000 31.600

3 45.000 32.500

4 50.000 33.000

5 55.000 36.000



A Tabela a seguir contempla a capacidade de estocagem em toneladas.

Produto Estoque próprio Estoque terceirizado

A 15.000 10.00

C 3000 0

D 14.000 3.000

A Tabela a seguir aborda o custo logístico agrícola em R$/toneladas.

Semana Frota própria Frota terceirizada Frota condomínio

1 10 8 9

2 12 10 11

3 9 11 12

4 8 10 8

5 10 8.7 8

A próxima tabela contempla o custo por processo. No caso desta usina somente um processo

pode ser utilizado por semana, logo essa é uma restrição binária.

Processos Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5

Processo 1 7.3 6.74 6.26 6.26 6.26

Processo 2 12 10 11 11 11

Processo 3 9 11 12 12 12

Processo 4 8 10 8 8 8

Processo 5 10 8.7 8 8 8

A próxima Tabela mostra o rendimento por processo, ou seja, qual é o nível de produção do

produto x utilizando o processo y na semana z.

Rendimento Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5

A.proc10,11 0,20 0,22 0,19 0,13

B.proc10,23 0,12 0,10 0,23 0,06

C.proc10,06 0,19 0,23 0,07 0,25



A.proc20,13 0,20 0,20 0,20 0,17

B.proc20,13 0,17 0,20 0,14 0,11

C.proc20,14 0,21 0,12 0,13 0,25

A.proc30,18 0,05 0,14 0,21 0,20

B.proc30,21 0,13 0,11 0,07 0,19

C.proc30,22 0,09 0,05 0,16 0,22

A.proc40,14 0,10 0,12 0,12 0,07

B.pro40,19 0,14 0,14 0,25 0,08

C.proc40,14 0,11 0,07 0,13 0,22

A.proc50,21 0,19 0,06 0,13 0,10

B.proc50,25 0,06 0,13 0,12 0,11

C.proc50,19 0,11 0,06 0,12 0,21

A próxima Tabela aborda o custo de estocagem em R$/toneladas. Nesta tabela é disposto o custo

por produto no estoque, ou seja, eprop (estoque próprio) e eterc(estoque terceirizado).

Estoque Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5

A.eprop4,00 9,00 3,00 9,00 5,00

B.eprop4,00 3,00 10,00 9,00 5,00

C.eprop7,00 10,00 7,00 8,00 3,00

A.eterc5,00 4,00 9,00 3,00 4,00

B. eterc10,00 8,00 8,00 10,00 5,00

C. eterc3,00 9,00 5,00 4,00 6,00

A próxima Tabela contempla o custo por fonte de matéria-prima.

Matéria-Prima Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5

Própria8.4 9 8.55 9.6 10

Comprada20 22 25 30 27

A Tabela a seguir mostra o preço de venda desses produtos.



Produtos Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5

A530,00 745,00 510,00 680,00 579,00

B527,00 726,00 567,00 892,00 359,00

C690,00 585,00 998,00 977,00 1000,00

A demanda pelo produto A é de 25.000 toneladas, B=2.000 e C=1.000, ambas as demandas são

referentes à quinta semana.

Os produtos A e C possuem estoques iniciais no estoque próprio nas quantidades de 500 e 1000

respectivamente.

Formule o modelo que auxilie às decisões agrícolas e industriais desta usina. Dica: ao todo são (

134 variáveis e 155 restrições e 25 variáveis binárias).

4- Considere que no exemplo extraído de Silva (2009) essa usina exporte seus produtos e, para

tanto utiliza de frota própria e terceirizada para realização deste transporte. O transporte é feito

para dois destinos. A Tabela abaixo mostra com mais detalhes.


A.Dest1 50 40 60

B.Dest1 40 20 50

A próxima Tabela aborda o preço de venda dos produtos exportados


A.Dest1784,00 883,00 974,00 757,00 836,00

B.Dest1944,00 918,00 929,00 785,00 742,00

A Tabela a seguir mostra o custo de transporte. Tterc= transporte terceirizado, Tprop=

transporte próprio.


A.Dest1.tterc81,00 98,00 86,00 71,00 92,00

B.Dest1.tprop86,00 91,00 93,00 86,00 72,00

A.Dest1.tprop89,00 93,00 78,00 87,00 71,00

A.Dest2.tterc95,00 95,00 100,00 74,00 82,00



Faça as análises inserindo esses dados no modelo matemático.

5- Resolva os problema abaixo utilizando-se dos modelos BCC e CCR.

Loja Faturamento [R$ M] Área [m2] Empregados Renda região [R$]Copacabana 29,24 1.002 140 3.000 Ilha do Governador 18,39 1.192 147 2.500 Ipanema 30,54 1.087 103 2.900 Jacarepaguá 20,48 1.183 160 1.500Tijúca 23,27 1.245 156 1.800 Angra dos Reis 28,98 1.357 136 2.700 Miracema 27,85 1.127 160 800 Niterói 31,81 1.291 159 1.200 Nova Friburgo 17,99 1.169 106 900 Petrópolis 23,94 1.603 142 1.400 Resende 15,17 1.303 119 700

a) Analise os resultados duais dos modelos, e esboce um plano para tornar eficientes as

unidades que não forem eficientes.

6- Resolva este problema pelo modelos CCR e BCC e analise os resultados.

Saídas EntradasEmpresa

MN P AS L PT AITelerj 66.715 898.157 3.348.768 13.707 99.951 3.692.804

Telemig 104.585 650.575 2.746.105 10.947 73.407 2.895.328CTBC Telecom MG 17.858 83.923 362.485 2.373 7.465 464.154

Telest 25.006 133.454 50.388 1.837 1.669 561.042Telebahia 93.584 289.541 1.302.615 4.785 54.439 1.406.159Telergipe 8.366 32.158 159.206 314 6.776 170.519

Telasa 6.268 45.267 227.226 256 11.681 25.135Telpe 33.575 129.859 714.117 2.821 41.304 831.171Telpa 16.296 51.858 293.823 686 13.519 328.803Telern 13.949 58.218 294.634 556 12.607 329.721

Teleceará 3.233 170.784 761.737 303 34.874 791.541Telepisa 6.971 41.227 236.549 649 10.554 24.633

Telma 176 58.613 299.971 868 15.296 32.177Telepará 20.711 114.351 513.635 105 23.521 532.904

Teleamapá 4.379 12.061 69.287 220 2.055 7.147Teleamazon 447 47.623 301.052 1.039 1.042 315.052

Telaima 1.898 7.402 46.024 183 1.602 4.812Telesc 92.233 182.877 1.049.553 3.461 25.623 1.193.985



Saídas EntradasTelepar 99.189 382.924 1.710.688 10.659 46.327 2.227.874

Sercomtel 7.281 37.475 13.919 851 2.203 154.499Telems 9.766 36.771 387.969 2.633 1.055 472.702

CTBC Telecom MS 165 1.629 6.143 44 163 7.788Telemat 1.802 80.212 328.261 195 13.745 451.478

Telegoiás 71.272 226.598 957 4.859 38.487 1.155.173CTBC Telecom GO 1.194 4.391 22.076 86 588 30.402

Telebrasília 20.617 19.946 74.912 3.278 20.175 884.852Teleron 9.766 36.771 180.469 718 6.345 253.011Teleacre 1.815 11.903 6.833 313 2.924 93.604

CRT 222.006 404.249 1.826.485 9.731 53.347 2.101.056CTMR 3.492 23.321 99.406 469 2.015 120.935Telesp 487.631 2.289.167 9.413.366 4.955 223.445 11.185.983Ceterp 6.483 47.654 184.837 1.307 3.017 217.837

CTBC Telecom SP 10.429 35.251 164.842 374 2.784 209.829CTBCampo 15.537 318.203 964.195 5.294 21.577 1.081.897


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANDRADE, E. L., 2004, Introdução à Pesquisa Operacional, LTC, Rio de Janeiro,Brasil.

BERTRAND, J. W. M. & FRANSOO, J. C. Operations management research methodologies using

quantitative modeling. International Journal of Operations & Production Management, v.22, n°2.

pp. 241-264, 2002.

BROOKE, A.; KENDRICK, D. & MEERAUS, A. GAMS: Sistema geral de modelagem algébrica.

São Paulo: Edgard Blücher, 1997.

BRUNETTA, M. R. Avaliação da eficiência técnica e de produtividade usando Análise por

Envoltória de Dados: Um estudo de caso aplicado a produtores de leite. Curitiba: Programa de

Pós-graduação de Métodos Numéricos em Engenharia, Universidade Federal do Paraná, 2004,

113p. Dissertação (Mestrado).

CAIXETA-FILHO, José Vicente . Pesquisa Operacional.:Técnicas de otimização em aplicadas a

sistemas agroindustriais. 2º .ed. – São Paulo: Atlas, 2004.

COLIN, C.C. Pesquisa Operacional: 170 aplicações em Estratégia, Finanças, Logística, Produção,

Marketing e Vendas. Rio de Janeiro LTC, 2007.

COLIN, E. C.; CIPPARRONE, F. A. M.; SHIMIZU, T. Otimização do custo de transporte na

distribuição-armazenagem de açúcar. Produção, v. 9. n°1. pp. 23-30, 1999.

BATISTA, F. D. Metodologia para o uso da análise por envoltória de dados no auxílio à decisão.

Itajubá: Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Universidade Federal de

Itajubá, 2009, 107p. Dissertação de Mestrado

COOPER, W.W.; SEIFORD, L.M.; Tone, K. – Introduction to Data Envelopment Analysis and its

uses. Springer – 2006.

LACHTERMACHER, Gerson pesquisa operacional na tomada de decisão: Modelagem em Excel. 2º

ed.- º ed.- Rio de Janeiro: Elsevier, 2004.

LINS,M .P. E; CALÔBA, G.M. Programação Linear: com aplicações em teoria dos jogos e avaliação

de desempenho (Data Envelopment Analysis). Rio de Janeiro; Interciência - 2006.

GOLDBARG, M. C. & LUNA, H. P. L. Otimização combinatória e programação linear: Modelos e

algoritmos. Rio de Janeiro: Campus, 2005.


NIEDERAUER, C. A. P. Avaliação dos bolsistas de produtividade em pesquisa da engenharia de

produção utilizando Data Envelopment Analysis. Florianópolis: Programa de Pós-Graduação em

Engenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina, 1998. Dissertação (Mestrado).

PAIVA, F. C. Eficiência produtiva de programas de ensino de pós-graduação em engenharias: uma

aplicação do método Análise Envoltória de Dados-DEA. Florianópolis: Programa de Pós-

graduação em Engenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina, 2000, 79p.

Dissertação (Mestrado).

PAIVA, R. P. O. MORABITO, R.. An optimization model for the aggregate production planning of a

Brazilian sugar and ethanol milling company. Annals Operations Research. 169 (2009) 117-130.

PRADO, Darci Santos do, Programação linear – Belo Horizonte MG: Editora de Desenvolvimento

gerencial , 2003. ( Série Pesquisa Operacional , Vol.1)

SOARES DE MELLO, J. C. C .B.; MEZZA, L.A.; GOMES E.G.; BLONDI NETO, L. Curso de Análise de

Envoltória de Dados. Em: XXXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Gramado-RS,

2005.

SILVA, A. F. Modelagem do planejamento agregado da produção de uma usina sucroalcooleira.

Itajubá: Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Universidade Federal de

Itajubá, 2009, 92p. Dissertação de Mestrado.

SHIMIZU, T. Decisão nas organizações: introdução aos problemas de decisão encontrados nas

organizações e nos sistemas de apoio à decisão. São Paulo: Atlas, 2010.


ANEXO A – LINGUAGEM DE MODELAGEM GAMSDurante as décadas de 50 e 60 fez-se um progresso substancial no desenvolvimento de

algoritmos e códigos computacionais para resolver grandes problemas de programação

matemática (PAIVA, 2006). Sendo que, na década posterior, não surgiu um grande número de

aplicações das ferramentas que foram desenvolvidas. Conforme Brooke et al (1997) comentou o

fato de que grande parte do tempo requerido para o desenvolvimento de um modelo era

despendido na preparação dos dados e dos relatórios de saída. Portanto, foram estudados os

meios para reduzir esse tempo, e nesse sentido desenvolveram-se os geradores de matrizes para

a programação linear, que faziam transformações dos modelos matemáticos para a forma

algorítmica exigida pelos softwares. O percussor para adequação desses objetivos foi o

desenvolvimento das linguagens de modelagem (LMs). Dentre as LMs que se destacaram a

década de 80 e início da década de 90, cita-se: CML(Conversational Modeling Language), a LPM

(System for Constructing Linear Programming System), a LAMP (Language for Interactive General

Optimization), LINGO (Language for Interactive General Optimization) e o GAMS (General

Algebraic Modeling System). Essas LMs vêm adquirindo maiores significâncias para os

modeladores, visto que os problemas analisados estão se tornando cada vez mais complexos, e as

LMs propiciam que os modeladores dediquem cada vez mais tempo para solucionar problemas

referentes ao modelo, e não a implementação computacional.

O GAMS é uma LMs e foi projetada para o desenvolvimento e solução de modelos de programação

matemática complexa (BROOKE et al, 1997). As principais vantagens intrínsecas a utilização do

GAMS são:

I. Fornecer uma linguagem de alto nível para uma representação compacta de modelos

extensos e complexos;

II. Permitir mudanças na especificação dos modelos de forma simples e segura;

III. Permitir relações algébricas enunciadas de forma não ambígua;

IV. Permitir descrições de modelos independentes dos algoritmos de solução;


Linguagem de Modelagem GAMS ___________________________________________________ 100

V. Simplificar a preparação de dados de entrada e relatórios de saída e transformar

automaticamente os dados para a forma requerida pelos pacotes de programação

matemática.

Além destas vantagens, o GAMS é um compilador baseado na teoria de banco de dados (quando

se faz manipulação dos dados) e na teoria de programação matemática ( para descrição e solução

dos problemas). GAMS também disponibiliza um conjunto de Solvers, que são pacotes com opções

de várias técnicas de solução de problemas de programação matemática (p.ex: PL, PIM, PNL,

MIQCP, MINLP, DNPLP...), que podem ser utilizados conforme a escolha do modelador,

A UNESP-Guaratinguetá-SP possuiu o GAMS [23.4.3]e o solver CPLEX [12.1.0], para a solução do

problema programação inteira mista (PIM).

Solver CPLEX

A sigla CPLEX é a combinação da letra C, em referência à linguagem de programação C utilizada

no desenvolvimento deste algoritmo, com a terminação PLEX, em referência ao algoritmo

simplex de solução de problemas de PL. Este solver foi desenvolvido pela CPLEX Optimization

Inc., empresa fundada em 1988 com a ideia de comercializar algoritmos de PL que pudessem

ser utilizados para solucionar, de forma rápida, problemas grandes e difíceis de programação

linear. Atualmente o CPLEX é um produto de propriedade da ILOG S.A. A primeira versão do

CPLEX (CPLEX 1.0) foi lançada em 1988 com suporte para solucionar problemas de PL por

meio do método primal simplex. Posteriormente, este algoritmo incorporou o suporte

para utilizar o método dual simplex; incorporou o algoritmo barrier, que é uma alternativa ao

método simplex para problemas de programação linear e programação quadrática; incorporou

o algoritmo branch-and-bound, para solucionar problemas de PIM, programação inteira

mista quadrática e programação inteira mista com restrições quadráticas; incorporou

heurísticas de pré-processamento de dados, para gerar boas soluções iniciais; e

incorporou técnicas de programação por restrições, para melhorar o desempenho de busca.

Além disso, o CPLEX passou a utilizar um algoritmo branch-and-cut com cortes com famílias de

desigualdades válidas e genéricas. Atualmente, também é possível utilizar processamento

paralelo para solucionar grandes problemas práticos (ILOG,2008). A figura A1 mostra a


Linguagem de Modelagem GAMS ___________________________________________________ 101

estrutura geral da linguagem GAMS.

FiguraAnexo A1 - Estrutura geral do modelo GAMS(Fonte: adaptada de Brooke et al., 1997

Dados de EntradaDefinição e declaração de sets e alias;Definição e declaração de scalars, parameters, tables e equações de atribuição;Determinação de displays de controle sobre as equações de atribuição.

Elementos do modeloDefinição e declaração, designação do tipo, limitantes e valores iniciais de variables;Definição e declaração de equations (função objetivo e restrições).

Soluções do modeloComandos: Models; Solve; Displays.

Figura anexo A1- Estrutura geral do modelo GAMS(fonte: Adaptado de Brooke et al.,1997)


ANEXO B – MODELAGEM E SIMULAÇÃO

Pesquisa Quantitativa baseada em modelos

Extraído de BATISTA (2009).

Bertrand e Fransoo (2002) apresentam uma classificação das metodologias de pesquisa em

Administração da Produção que utilizam modelagem quantitativa. O trabalho de Bertrand e

Fransoo (2002) pode ser útil para os pesquisadores que trabalham com modelagem quantitativa,

e será abordado com profundidade nessa seção. Pesquisa quantitativa baseada em modelos é a

pesquisa onde são desenvolvidos, analisados e testados modelos de relações causais entre as

variáveis de controle e desempenho. Estas partem do princípio que podemos construir modelos

objetivos que expliquem parte do comportamento dos processos reais, ou que podem capturar

parte dos problemas de tomada de decisão enfrentados pelos gestores na vida real. Os diferentes

tipos de pesquisa quantitativa são dados na Figura B.1.

Figura B.1 – Classificação das metodologias de pesquisa quantitativa

Fonte: Bertrand e Fransoo (2002)

Ambas as classificações, axiomática e empírica, podem ser subdivididas em descritiva e

normativa. Normalmente a área descritiva relaciona-se com o estudo de um processo e a

normativa está ligada ao estudo de um problema.

Pesquisa axiomática:

A pesquisa axiomática é definida pelas seguintes características:


Modelagem e Simulação___________________________________________________________ 103

É guiada pelo modelo idealizado (assume-se que alguns aspectos do problema não afetam

a solução);

O objetivo primário é obter soluções que forneçam conhecimento acerca da estrutura do

problema;

São utilizados métodos formais de áreas científicas como matemática, estatística e ciências

da computação;

Os pesquisadores olham para os processos ou problemas através dos modelos

matemáticos que possam ser utilizados;

Necessita-se de um forte fundo matemático;

Deve-se julgar quais formulações de problemas científicos são bons problemas, ou seja,

problemas onde podem ser obtidos resultados de qualidade.

Os passos para realizar uma pesquisa axiomática são os seguintes:

1. Descrever as características dos processos ou problemas a serem estudados. A descrição

do modelo conceitual deve usar tanto quanto possível conceitos e termos aceitos como padrão na

literatura;

2. Especificar o modelo científico do processo ou problema. Este deve ser apresentado de

maneira formal, em termos matemáticos.

Na pesquisa axiomática descritiva, a modelagem do processo é o centro. Busca-se analisar um

modelo para explicar suas características. O pesquisador parte de um modelo conceitual e deriva

um modelo científico. Depois são feitas algumas análises do modelo científico para ganhar

conhecimento sobre o comportamento deste. Tipicamente não se passa à fase de solução do

modelo e a qualidade da pesquisa está ligada à extensão na qual os resultados provam dar as

características exatas do processo. A extensão para a solução do modelo é feita na pesquisa

axiomática normativa, onde a solução é a pesquisa central reportada. Em muitos artigos

axiomáticos normativos, o processo de modelagem também está incluído e os resultados

retornam ao modelo conceitual. Nesse caso a qualidade da pesquisa pertence à extensão no qual

o resultado prova ser a melhor solução possível para o problema. Quase todos os artigos no

domínio da PO caem na área normativa.

Pesquisa empírica:



A pesquisa empírica possui as seguintes características:

O objetivo principal é assegurar que há um ajustamento das observações e ações na

realidade e no modelo feito daquela realidade;

É voltada a criar um modelo que descreva adequadamente as relações causais que

possam existir na realidade e levem ao entendimento do processo;

Deve ser planejada para testar a validade de modelos teóricos quantitativos e suas

soluções;

A essência é validar o modelo conceitual ou a solução da pesquisa axiomática;

Como os processos operacionais são todos diferentes, premissas básicas e características

dos problemas são validadas para classes definidas de processos, implícitas nos modelos

teóricos e problemas;

Ao contrário da pesquisa axiomática quantitativa, a pesquisa empírica não tem sido muito

produtiva.

Os passos para aplicação de uma pesquisa empírica são os seguintes:

1. Identificar as premissas básicas dos processos onde estão baseados os modelos ou

problemas teóricos em questão. Na literatura existem diferentes linhas de pesquisa que

compartilham premissas comuns sobre processos ou problemas de decisão. Há por exemplo uma

linha de pesquisa baseada na visão do processo produtivo como um modelo de filas. Essa é

chamada de premissa básica;

2. Identificar o tipo de processo ou problema no qual as premissas básicas se apliquem;

3. Desenvolver um critério objetivo para decidir se um processo da vida real pertence à

classe de processos considerada e para identificar o sistema de decisão que representa o

problema em questão. Diferentes pesquisadores devem chegar ao mesmo resultado acerca

dessas classificações;

4. Derivar das premissas básicas, hipóteses sobre o comportamento dos processos. Esse

comportamento se refere a variáveis ou fenômenos que possam ser medidos;

5. Desenvolver uma maneira objetiva de medir ou fazer observações. Como não existe uma

maneira geralmente aceita de medir as variáveis, os pesquisadores devem desenvolver



maneiras próprias de medir e documentar essa etapa. Essa dificuldade ilustra a posição fraca da

pesquisa quantitativa empírica na administração científica;

6. Aplicar os sistemas de medição, coletar e documentar os resultados;

7. Interpretar os dados, o que geralmente irá incluir o uso de análise estatística. Técnicas

especiais são necessárias, pois os resultados não podem ser manipulados de maneira

arbitrária como num projeto experimental. As hipóteses devem ser restritas ao

comportamento dentro de um período esperado;

8. Interpretar os resultados em relação aos modelos teóricos ou problemas que deram

origem às hipóteses testadas. Esse passo completa a fase de validação e pode resultar na

confirmação do modelo teórico (ou partes) em relação ao problema de decisão e ao processo

considerado, ou levar a rejeição (parcial ou não) e sugestões para melhorar os modelos teóricos.

A pesquisa empírica descritiva é principalmente voltada a criar um modelo que descreva

adequadamente as relações causais que possam existir na realidade e levem ao entendimento do

processo corrente.

A pesquisa empírica normativa busca desenvolver políticas, estratégias e ações que melhorem a

situação atual. Essa área de pesquisa é pequena. Houve tentativa em alguns artigos, mas o

procedimento de verificação normalmente não é muito forte. Essa é a forma mais completa de

pesquisa científica, onde é conduzido o ciclo completo: Conceitualização, modelagem, solução do

modelo e implementação. Em muitos casos essa pesquisa é construída em trabalhos publicados

na categoria axiomática descritiva onde já foram desenvolvidos caminhos para os estágios de

modelagem e solução do modelo.

Não se deve confundir pesquisa empírica com uso dos resultados da pesquisa axiomática para

melhorar os processos. Nesse caso, os resultados se baseiam na crença que as premissas

admitidas nos modelos são válidas e as soluções irão funcionar bem.


RESUMO ARTIGO “Modelling and simulation: operations management research methodologies using quantitative modeling” (BERTRAND; FRANSOO, 2002)

O objetivo do artigo é apresentar uma revisão de um modelo de pesquisa quantitativa em

gerenciamento de operações com foco na metodologia de pesquisa. A modelagem quantitativa

em pesquisa operacional tem auxiliado no sentido de resolver problemas da vida real no

gerenciamento de operações. O gerenciamento de operações é definido no artigo como o projeto

de projetar, planejar, controlar e executar operações na indústria de manufatura de serviços.

Para os pesquisadores os modelos quantitativos são baseados em um conjunto de variáveis que

variam em um domínio específico, enquanto relações quantitativa e causal são definidas entre

estas variáveis. Pesquisa de operações é considerada como parte de uma pesquisa quantitativa

em gerenciamento de operações. Enquanto a abordagem de pesquisa operacional é um outro

ramo da modelagem quantitativa que pretende incluir todos os aspectos do processo

operacional, incluindo conhecimento, opiniões e atitudes das pessoas a nível operacional e

gerencial.

Classifica as pesquisas sobre gerenciamento de operações em duas classes distintas: 1) Pesquisa

axiomática, onde a principal preocupação do pesquisador é obter soluções dentro do modelo

definido e certificar-se que estas soluções forneçam insights na estrutura do problema tal como

definido no modelo. Pesquisa axiomática produz conhecimento sobre o comportamento de certas

variáveis no modelo, baseado em pressupostos sobre o comportamento de outras variáveis no

modelo. Normalmente, pesquisa axiomática é normativa, embora a pesquisa descritiva, com o

objetivo de compreender o processo que foi modelado, também esteja presente. Pesquisa

normativa está essencialmente interessada em desenvolver políticas, estratégias e ações para

melhorar ao longo dos resultados disponíveis na literatura existente, para encontrar a solução

ótima para um problema definido recentemente ou para comparar várias estratégias para

abordar um problema específico. Já a pesquisa descritiva está primeiramente interessada em

analisar um modelo, o que leva a entender e explanar as características do modelo. Pesquisas na

área de teoria das filas e dos jogos, são normalmente descritivas por natureza e na maioria dos

modelos. 2) A segunda classe de pesquisas é a empírica, onde a principal preocupação do

pesquisador é garantir que existe um modelo de ajuste entre observação e ação na realidade e o


Bertrand e Fransoo________________________________________________________________ 107

modelo feito desta realidade. Este tipo de pesquisa pode ser tanto descritiva quanto normativa,

onde a pesquisa empírica descritiva está normalmente preocupada em criar um modelo que

descreve adequadamente as relações causais que possam existir na realidade, o que leva à

compreensão do processo em curso. Pesquisa quantitativa empírica normativa está

principalmente interessada no desenvolvimento de políticas, estratégias e ações para melhorar a

situação atual. Em contraste com pesquisas quantitativas axiomáticas, modelos baseados em

pesquisas quantitativas empíricas não são muito produtivos, visto que reportam a aplicação dos

resultados das pesquisas teóricas nos processos operacionais da vida real. Na pesquisa

quantitativa axiomática, a principal relevância científica é principalmente determinada pelo que

cada pesquisador pretende contribuir para a literatura existente, o que pode ser de dois tipos:

novas variações de processo ou problema usando técnicas de soluções conhecidas. A outra seria

estudar um processo ou problema que já foi estudado antes, mas fornecendo novas ou melhores

soluções para o problema, seja aplicando novos tipos de soluções técnicas, ou alcançando novos

resultados com as soluções técnicas aceitas. Na pesquisa quantitativa axiomática usando

simulação, os resultados são obtidos via simulação computacional. Usada nos casos em que o

modelo ou problema é muito complexo para uma análise matemática formal. Os passos para este

tipo de pesquisa são apresentados.

Na pesquisa quantitativa baseada em modelos empíricos, a principal preocupação é testar a

validade dos modelos científicos usados em pesquisas teóricas quantitativas ou testar o uso e

desempenho da solução do problema obtido por meio da pesquisa teórica quantitativa nos

processo operacionais da vida real.


PESQUISA OPERACIONAL DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS POR MEIO DA LINGUAGEM...

Documents

Transcript of PESQUISA OPERACIONAL DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS POR MEIO DA LINGUAGEM...