ОСНОВИ НАРИСНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

П. Г. Буянов

ОСНОВИ НАРИСНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Навчально-методичний посібник

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

як навчально-методичний посібник для студентів вищих педагогічних

навчальних закладів

Донецьк

Юго-Восток 2009

УДК 514.18(075.8) ББК 22.15.3(я73) Б94

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчально-методичний посібник

для студентів вищих педагогічних навчальних закладів (лист 1/118375 від 02.10.09 р.)

Рецензенти: Гуревич Р. С. — доктор педагогічних наук, професор, директор інституту математики, фізики і технологічної освіти Вінницького державного педагогічного університету імені Михайла Коцюбинського; Гусєв В. І. — доктор педагогічних наук, професор, завідувач кафедри професійної педагогіки та методики трудового навчання Бердянського державного педагогічного університету; Корець М. С. — доктор педагогічних наук, професор, директор інституту гуманітарнотехнічної освіти, завідувач кафедри загальнотехнічних дисциплін Національного педагогічного університету ім. М. П. Драгоманова

Буянов П. Г.

Б94 Основи нарисної геометрії : навчально-методичний посіб-ник / П. Г. Буянов. — Донецьк : Юго-Восток, 2009. — 141 с.

ISBN 978-966-374-472-8

У навчальнометодичному посібнику висвітлені основні відомості з тем нарисної геометрії, типові приклади та хід розв’язання графічних задач, завдання для самоперевірки.

Видання розраховане на студентів усіх форм навчання індустріальнопедагогічних, технологічних факультетів вищих навчальних педагогічних закладів.

Навчальнометодичний посібник може бути корисним для викладачів та учнів коледжів, технікумів, училищ, ліцеїв, гімназій і шкіл.

УДК 514.18(075.8) ББК 22.15.3(я73)

ISBN 978-966-374-472-8 © П. Г. Буянов, 2009

3

ЗМІСТ

ЗМІСТ ……………………………………………………………………… 3 ПЕРЕДМОВА …………………………………………………………….. 5 ВСТУП …………………………………………………………………….. 6 ЗАЛІКОВИЙ

КРЕДИТ 1 ОСНОВИ ПРОЕКЦІЙНОГО КРЕСЛЕННЯ ………………. 10 Змістовий модуль 1 …………………………………. 10

1.1. Метод проекцій ……………………………………… 10 1.2. Проекції точки ...…………………………………….. 14 1.3. Проекції прямої ...…………………………………… 19 1.4. Проекції площини ...………………………………... 25 1.5. Взаємне положення двох площин, прямої лінії і

площини ……………………………………………… 33 Запитання і завдання …..…………………………… 41 ЗАЛІКОВИЙ

КРЕДИТ 2 КОМПЛЕКСНЕ КРЕСЛЕННЯ ПРЕДМЕТА ТА СПОСОБИ ПЕРЕТВОРЕННЯ КРЕСЛЕННЯ ……

43

Змістовий модуль 1 …………………………………. 43 2.1. Способи перетворення креслення ………………… 43

2.1.1. Спосіб заміни площин проекцій …………………... 43 2.1.2. Спосіб обертання …………………………………….. 47

2.1.2.1. Спосіб обертання навколо осі, перпендикулярної до площини проекцій ……………………………….. 48

2.1.2.2. Спосіб плоскопаралельного переміщення ………. 51 2.1.2.3. Спосіб обертання навколо осі, паралельної

площині проекцій …………………………………... 53 2.1.2.4. Спосіб суміщення …………………………………… 55

Запитання і завдання …..…………………………… 56 Змістовий модуль 2 …………………………………. 57

2.2. Криві лінії та їх проекціювання …………………... 57 2.2.1. Плоскі криві лінії ……………………………………. 59 2.2.2. Просторові криві лінії………………………………. 60

Запитання і завдання …..…………………………… 62 2.3. Поверхні ......................................................................... 63

2.3.1. Багатогранники ……………………………………… 64 2.3.1.1. Утворення і зображення багатогранних поверхонь 64 2.3.1.2. Точки і прямі на поверхні багатогранників ……. 65

2.3.2. Криві поверхні ………………………………………. 66

4

2.3.2.1. Загальні поняття і визначення ……………………. 66 2.3.2.2. Лінійчаті поверхні …………………………………... 66 2.3.2.3. Поверхні обертання ………………………………… 73 2.3.2.4. Каналові та циклічні поверхні ……………………. 78 2.3.2.5. Точки на кривих поверхнях ……………………….. 79 2.3.2.6. Прямі та площини, дотичні до кривих поверхонь 79

2.4. Побудова і читання комплексних креслень моделей 81 Запитання і завдання …..…………………………… 82

2.5. Розгортання поверхонь …………………………….. 83 2.5.1. Спосіб нормального перерізу ……………………... 84 2.5.2. Спосіб розгортання …………………………………. 86 2.5.3. Спосіб трикутників (тріангуляції) ……………….. 87 2.5.4. Умовні розгортки ……………………………………. 90

Запитання і завдання …..…………………………… 91 2.6. Аксонометричні проекції ………………………….. 91

2.6.1. Прямокутні аксонометричні проекції …………... 93 2.6.2. Косокутні аксонометричні проекції ……………... 100

Запитання і завдання …..…………………………… 104 ЗАЛІКОВИЙ

КРЕДИТ 3 ПЕРЕТИН ЕЛЕМЕНТІВ ПОВЕРХОНЬ …………… 105 Змістовий модуль 1 …………………………………. 105

3.1. Перетин поверхонь площиною і прямою лінією 105 3.1.1. Перетин багатогранників площиною …………… 105 3.1.2. Перетин багатогранників прямою лінією ……… 109 3.1.3. Перетин кривих поверхонь площиною …………. 111 3.1.4. Перетин кривих поверхонь прямою лінією ……. 119 3.1.5. Загальні відомості про розрізи і перерізи ………. 122

3.2. Взаємний перетин поверхонь …………………….. 123 3.2.1. Взаємний перетин багатогранників ……………... 124 3.2.2. Взаємний перетин кривих поверхонь …………… 126

3.2.2.1. Спосіб допоміжних січних площин ……………… 126 3.2.2.2. Спосіб допоміжних січних сфер ………………….. 127

3.2.3. Лінії перетину і переходу в техніці ………………. 133 Запитання і завдання …..…………………………… 134 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ……………………………... 136 ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК ………………………………………… 138

5

ПЕРЕДМОВА Автоматизація сучасного виробництва докорінно змінює не

лише характер трудової діяльності людини, а й відповідні вимоги до її технічної підготовленості, які нерозривно пов’язані з уміннями й навичками вільного читання та виконання графічних документів, наявністю сформованої графічної культури.

Пріоритетна роль у реалізації цих вимог належить учителеві і насамперед учителеві технології зі сформованими графічними знаннями та вміннями і, як наслідок цього, – з високим рівнем графічної культури.

Навчальний посібник має на меті дати достатній і різноманітний матеріал для аудиторних та індивідуальних занять і цим сприяти засвоєнню теоретичних основ нарисної геометрії, переосмисленню значення графічної інформації (як мови ділового спілкування в галузі науки і техніки).

Навчальний посібник містить достатню кількість ілюстрацій. Щоб активізувати самостійну роботу студентів, подаються приклади розв’язування характерних задач, методичні рекомендації для їх виконання, а також запитання і завдання для самоперевірки.

Посібник рекомендовано для студентів усіх форм навчання, ним можуть також користуватися ті, хто вивчає нарисну геометрію самостійно.

Автор щиро вдячний рецензентам за допомогу в підготовці рукопису до друку.

6

ВСТУП Важливим досягненням нашої цивілізації є можливість

графічного спілкування, історія якого знаходиться в межах від класичної давнини до сучасності.

Ще в стародавні часи людина прикрашала предмети побуту, стіни оселі, зображала різні моменти зі свого життя. Зростання матеріального виробництва, поява і розвиток торгівлі, науки і техніки почали вимагати від людини вміння зображати земну поверхню, шляхи сполучення, будинки, захисні споруди тощо, уміння читати (розуміти) ці зображення. Правил виконання таких зображень, тобто правил встановлення геометричного співвідношення між точками зображуваного предмету та точками його зображення на площині, у ті часи ще не існувало. Тому зображення були не точними, мало зрозумілими і не могли повністю задовольняти потреби будівельників, ремісників, мореплавців, учених, художників.

Спроби встановлення правил побудови зображень, поступовий розвиток цих правил стали початком для створення методу проекцій. Цей метод використовували для побудови таких зображень предметів, які б відповідали видимій формі цих предметів.

До зображення почали висувати такі вимоги, як зручність вимірювання та зображення дійсних форм предметів. Централізація державної влади, що все підсилювалась, та розвиток економічних зв’язків призвели до необхідності укладання географічних карт і планів городів. Усе це викликало появу нових методів зображення.

Наприкінці ХVІІІ ст. накопичився значний матеріал з проекційних методів. Але вони були розрізнені, не об’єднані загальною теорією та часто являлися лише способами вирішення окремих практичних задач. Французький геометр Гаспар Монж (1746-1818) об’єднавши ці методи в своїй праці “Geometrie desckriptive” (1799), поклав тим самим початок існуванню нарисної геометрії як науки. Метод ортогональних проекцій на дві площини (метод Монжа) до нині є основним методом побудови та читання інженерно-технічних креслень.

У Росії перший курс нарисної геометрії був прочитаний у 1810 р. в інституті інженерів шляхів сполученням учнем Монжа інженером К.І. Потьє. У 1821 р. вийшов перший російський підручник з нарисної геометрії Я.О. Севастьянова. У ньому було вміщено велику кількість задач прикладного характеру. Схему курсу Я.О. Севастьянова використав М.І. Макаров, а вдосконалив її В.І. Курдюмов. Послідовникам цього курсу були професори М.О. Ринін та О.І. Добряков.

7

Новий етап розвитку нарисної геометрії та інженерної графіки почався в 40-ві роки ХХ ст., коли в Москві професор М.Ф. Четверухін, а в Києві професор С.М. Колотов опублікували ряд наукових праць, які започаткували систематичні наукові та науково-методичні дослідження в цій галузі знань.

Професор І.І. Котов перший застосував апарат нарисної геометрії до розв’язування прикладних задач у різних галузях техніки. Він розробив також основні принципи застосування ЕОМ у курсі нарисної геометрії, заснувавши московський семінар “Кібернетика графіки”. У результаті діяльності цього семінару, а також завдяки активній праці передових кафедр України та Росії усталився етап розвитку нарисної геометрії, який можна назвати етапом геометричного моделювання, або інженерної геометрії, коли за наперед заданими умовами формуються оптимальні геометричні моделі майбутнього виробу.

Нинішній етап розвитку суспільства характеризується зміною в структурі комплексу графічних дисциплін, фундаментальністю графічної підготовки, необхідністю оволодінням спеціальними прийомами продуктивної діяльності в сучасному інформаційному світі, насамперед, дво- і тривимірне моделювання тривимірних об’єктів.

Нарисна геометрія тісно пов’язана з такими науками, як геометрія, аналітична геометрія, геодезія, механіка тощо.

Нарисна геометрія – це наука про методи зображення та їх практичне використання. Вона вивчає геометричні основи методів побудови зображень просторових форм і методи вирішення геометричних задач по даних зображеннях цих форм.

Перша задача нарисної геометрії – дослідження та вивчення законів переходу від стереометричного уявлення зображуваних просторових фігур до їх планіметричного зображення (креслення).

Друга задача нарисної геометрії – дослідження та вивчення законів відтворення в просторі геометричного співвідношення елементів просторової фігури за даним планіметричним зображенням (кресленням) цієї фігури.

Третя задача нарисної геометрії – вивчення та дослідження методів графічного вирішення на плоскому кресленні задач, що відносяться до просторових фігур.

У всіх розглянутих задачах нарисної геометрії вивчаються та досліджуються закони, що у певних залежностях зіставляють площину зображення та тривимірний простір. Така площина стає самостійною моделлю простору. Завдяки цьому, ми маємо

8

можливість на плоскому зображенні – кресленні – виконувати всі геометричні операції, що відносяться до простору.

У нарисній геометрії креслення, як модель простору, є основою для вивчення геометричних форм предмету та вирішення просторових задач.

Вимоги до креслення: • наочність – креслення має давати змогу легко уявити

предмет, що зображається; • зворотність, тобто можливість чіткого відтворення форми

та розмірів предмета за кресленням; • простота та точність графічних рішень; • геометрична рівнозначність оригіналу, тобто креслення

має забезпечувати можливість виконання на зображенні таких геометричних операцій (вимірювання, перетин тощо), які можна виконати на самому предметі.

Прийнятті позначення та символіка (табл. 1 і 2). Таблиця 1

Позначення геометричних об’єктів Геометричний

об’єкт Позначення і приклад

Геометрична фігура Ф

Точка Великі літери латинського алфавіту: А, В, С, … або 1, 2, 3, ... Початок координат О.

Лінії

Малі літери латинського алфавіту: а, b, c, … (АВ) – пряма, що проходить через точки А і В; [А, В) – промінь з початком у точці А; [АВ] – відрізок прямої, обмежений точками А і В; |АВ| – довжина відрізку [АВ], відстань від точки А до точки В. Лінії рівня: “h” - горизонталь; “f” – фронталь; “p” – профіль. Осі проекцій: “x” – ось абсцис; “y” – ось ординат; “z” – ось аплікат.

Поверхні (площини)

Великі літери грецького алфавіту: Г (гамма), ∆ (дельта), Λ (лямбда), Σ (сигма), Ψ (псі) …

Площини проекцій

“H” – горизонтальна; “V” – фронтальна; “W” – профільна; “Р”, “ S ” – додаткові площини проекцій.

Кути Малі літери грецького алфавіту: α, β, γ, …

АВС – кут з вершиною в точці В.

Проекції об’єкта а – горизонтальна проекція точки А; а/ – фронтальна проекція точки А; а// – профільна проекція точки А.

9

Таблиця 2 Символи, що позначають співвідношення між геометричними

фігурами Знак Зміст знаку Приклад

, Взаємна належність

(інцидентність) об’єктів Р а – лінія а належить площині Р (площина Р проходить через лінію а)

{…} Спосіб задання об’єкта в натурі та на кресленні

Т = {А; а} – площина Т задана точкою А і прямою а; А = {а/, а} – точка А задана на кресленні фронтальною і горизонтальною проекціями

∩ Перетин а ∩ b – лінії а і b перетинаються.

= Результат дії

В = а ∩ b – лінії а і b перетинаються в точці В. |АВ| = |СЕ| – довжина відрізка АВ дорівнює довжині відрізка СЕ.

≡ Знак тотожності Використовується у випадку збіжності геометричних фігур

U Об’єднання |АВ| U |ВС| U |СЕ| – ламана лінія АВСЕ

Ø Пуста множина а U b = Ø ~ Подібність ∆АВС ~ ∆ЕКМ

Конгруентність ∆АВС ∆ОЕМ

|| Паралельність АВ|| СЕ Перпендикулярність АВ СЕ

Мимобіжність прямих а b → Відображається, перетворюється а → а1

Логічний наслідок (відповідно) а || b; b || c а || с

Логічна еквівалентність

(те ж саме) а ∩ b = Ø а b

/ Заперечення А а

Запитання і завдання 1. Що є предметом нарисної геометрії? 2. Які задачі вирішує нарисна геометрія? 3. Що є моделлю простору в нарисній геометрії? 4. Які вимоги висуваються до креслення?

_________________________________________________________________

10

ЗАЛІКОВИЙ КРЕДИТ 1 ОСНОВИ ПРОЕКЦІЙНОГО КРЕСЛЕННЯ

Змістовий модуль 1

1.1. Метод проекцій Основні геометричні положення. В основі правил побудови

зображень, що розглядаються в нарисній геометрії і використовуються в технічному кресленні лежить метод проекцій (від латинського projіcere – кинути вперед). Термін “проекціювання” означає процес побудови проекцій.

Розглянемо наступні положення прийняті при проекціюванні просторових форм:

1. Лінія – це нескінченний ряд послідовних положень точки, що рухається у просторі.

2. Поверхня – це нескінченний ряд послідовних положень лінії, що рухається у просторі.

3. Сукупність поверхонь, ліній, точок утворює просторову форму (предмет).

4. Точки, лінії та поверхні знаходяться у просторі в деяких співвідношеннях, одним з яких є інцидентність (взаємна належність).

5. Прямі, площини і простір нескінченні. Вони задаються власними (кінцевими) фігурами. Наприклад, нескінченну пряму а можна задати парою власних точок А, В.

6. Для забезпечення можливості виконання в усіх випадках операцій проекціювання та перетину прийняті такі положення: паралельні прямі або площина та паралельна їй пряма взаємно перетинаються в одній нескінченно віддаленій точці, що називається невласною. Отже, дві будь-які прямі, що належать одній площині, завжди взаємно перетинаються; взаємно перетинаються будь-які пряма і площина.

Закони переходу проекціюванням від просторового уявлення про предмет до його плоского зображення – креслення – та від креслення до натуральних форм предмету в просторі складають метод проекцій.

Побудова зображення просторової форми може бути виконана за допомогою побудови зображень точок, що належать цій формі. Отже, вивчення методу проекцій починають з побудови проекцій точки.

11

На рис. 1.1 показано просторову модель методу проекцій, де точка А – точка простору (точка-оригінал); Р – площина проекцій; S – центр проекцій; SА – проекційний промінь; ар – проекція точки.

Для побудови проекції точки А проведемо через центр проекцій S і точку А пряму SA (проекційна пряма, проекційний промінь) та продовжимо її до перетину з площиною Р у точці ар. Отримана точка є проекцією точки А на площину Р.

Як зазначено вище, для побудови проекцій точки проекційну пряму проводять у заданому напряму. У залежності від взаємного положення центра проекцій, площини проекцій та оригіналу проекції поділяють на центральні та паралельні.

Рис. 1.1 При центральному проекціюванні задають площину

проекцій і центр проекцій – точку, що не лежить у площині проекцій. На рис. 1.2 площина Р – площина проекцій, точка S – центр проекцій.

Для проекціювання довільної точки через неї і центр проекцій проводять пряму. Центральна проекція заданої точки – точка перетину цієї прямої з площиною проекцій.

На рис. 1.2 центральною проекцією точки А є точка ар перетину прямої SA з площиною Р. Аналогічно побудовані центральні проекції bр, ср, dр точок В, С, D на площині Р. Прямі SA, SC, SD – проекційні прямі.

Рис. 1.2 Центральні проекції bр, ср, двох різних точок В і С у просторі,

що розміщені на одній проекційній прямій, збігаються. Отже, точки, які лежать на одній проекційній прямій, проекціюються в одну точку на площині проекцій.

При заданих площині проекцій та центрі проекцій одна точка в просторі має одну центральну проекцію. Але одна центральна проекція точки не дозволяє визначити положення точки в просторі. Для забезпечення зворотності креслення необхідні додаткові умови.

12

Центральним проекціюванням може бути побудована проекція будь-якої лінії або поверхні як сукупність проекцій всіх її точок (рис. 1.3; 1.4).

Рис. 1.3 Рис. 1.4 Узагальнюючи, відзначимо такі властивості центрального

проекціювання. 1. При центральному проекціюванні:

а) точка проекціюється точкою; б) пряма, що не проходить через центр проекцій, проекціюється

прямою (проекційна пряма – точкою); в) плоска (двовимірна) фігура, що не належить проекційній

площині, проекціюється двовимірною фігурою (фігури, що належать проекційній площині, проекціюється разом з нею у вигляді прямої);

г) тривимірна фігура відображається двовимірною. 2. Центральні проекції фігур зберігають взаємну належність,

неперервність і деякі інші геометричні властивості. 3. При заданому центрі проекцій фігури на паралельних

площинах подібні. 4. Центральне проекціювання встановлює однозначне

співвідношення між фігурою та її зображенням, наприклад, зображення на кіноекрані, фотоплівці.

Центральне проекціювання використовують для зображення предметів у перспективі. Зображення в центральних проекціях наочні, але для технічного креслення незручні.

Паралельне проекціювання (рис. 1.5) можна вважати окремим випадком центрального проекціювання, коли центр проекцій лежить у нескінченності й проекційні прямі, таким чином стають паралельними між собою.

13

При паралельному проекціюванні використовують паралельні проекційні прямі, проведені в заданому напряму відносно площини проекцій. Якщо напрям проекціювання перпендикулярний площині проекцій, то проекції називають прямокутними або ортогональними, у інших випадках – косокутними.

Рис. 1.5 Рис. 1.6 При паралельному проекціюванні зберігаються всі властивості

центрального проекціюванні, а також виникають нові, зокрема: 1. Паралельні проекції взаємно паралельних прямих паралельні,

а відношення довжин відрізків цих прямих та довжин їх проекцій однаково.

2. Плоска фігура, яка паралельна площині проекцій, проекціюється при паралельному проекціюванні на цю площину в таку ж фігуру.

3. Паралельний перенос фігури у просторі або площині проекцій не змінює вигляду та розмірів проекції фігури.

Прямокутне (ортогональне) проекціювання — особливий випадок паралельного проекціювання, при якому напрям проекціювання перпендикулярний до площини проекцій.

Прямокутна (ортогональна) проекція точки – основа перпендикуляру, проведеного з точки на площину проекцій (рис.1.6).

Разом із властивостями паралельних проекцій ортогональне проекціювання має особливу властивість: ортогональні проекції двох взаємно перпендикулярних прямих, одна з яких паралельна площині проекцій, а інша не перпендикулярна їй, взаємно перпендикулярні (рис. 1.7).

14

Ортогональне проекціювання значно спрощую побудову проекцій геометричних фігур і є основним у виконанні комплексних креслень технічних форм.

Рис. 1.7 1.2. Проекції точки Проекціювання точки на дві взаємно перпендикулярні

площини проекції Найбільшого розповсюдження в техніці отримали комплексні

креслення в ортогональних проекціях, тобто такі геометричні моделі, які утворені паралельним прямокутним проекціюванням на взаємно перпендикулярні площини проекцій. Метод такого комплексного креслення в літературі називають методом Монжа, а саме креслення епюром Монжа.

Зворотність креслення забезпечується проекціюванням на дві непаралельні площини проекцій. Для зручності проекціювання обирають дві взаємно перпендикулярні площини.

Одну з них розташовують горизонтально – її називають горизонтальною площиною проекцій (Н), іншу – вертикально. Вертикальну площину проекцій називають фронтальною площиною проекцій (V). Ці площини проекцій перетинаються по лінії, що називається віссю проекцій (х або V/Н).

Горизонтальна та фронтальна площини проекцій нескінченні та при перетині розділяють простір на чотири двогранних кути, які називаються чвертями або квадрантами. Порядок нумерації чвертей наводимо на рис. 1.8.

Рис. 1.8

15

У системі двох взаємно перпендикулярних площин проекцій горизонтальною проекцією точки (а) називають ортогональну проекцію точки на горизонтальній площині проекцій. Фронтальною проекцією точки (а/) називають ортогональну проекцію точки на фронтальній площині проекцій (рис. 1.9).

Рис. 1.9 Рис. 1.10 Площина V зображена у вигляді прямокутника, а площина Н –

у вигляді паралелограму. Похилу сторону цього паралелограму проводять під кутом 45º до його горизонтальної сторони. Довжина похилої сторони дорівнює 0,5 її дійсної довжини, тому аах на наочному зображенні зменшується в 2 рази.

Побудова будь-якої точки А в просторі за двома заданими її проекціями фронтальною а/ та горизонтальною а показано на рис. 1.10

Отже, дві прямокутні проекції точки визначають її положення у просторі відносно даної системі взаємно перпендикулярних площин проекцій.

Наочне зображення точки в системі V, Н незручне для досягнення цілей креслення. Його перетворюють так, щоб горизонтальна площина проекцій збігалась з фронтальною площиною проекцій, утворюючи одну площину креслення. Це перетворення здійснюють шляхом обертання навколо вісі х площини Н на 90º вниз (рис. 1.11).

16

Рис. 1.11 Рис. 1.12 При цьому відрізки аха/ та аха утворюють один відрізок а/а,

перпендикулярний до осі проекцій, він називається лінія зв‘язку. У результаті вказаного суміщення площин V та Н отримуємо креслення (рис. 1.12), відоме під назвою епюр Монжа. Це креслення в системі V, Н (або в системі двох прямокутних проекцій).

У підсумку відзначимо, що: • комплексне креслення точки – сукупність ортогональних

проекцій цієї точки на взаємно перпендикулярні площини проекцій; • на двокартирнному комплексному кресленні горизонтальна

та фронтальна проекції однієї точки розташовуються на вертикальній лінії зв‘язку, перпендикулярній до осі проекцій;

• відстань фронтальної проекції точки від осі х дорівнює відстані точки-оригіналу до горизонтальної площині проекцій. Відстань горизонтальної проекції точки від осі х дорівнює відстані від точки-оригіналу до фронтальної площини проекцій;

• двокартинне комплексне креслення точки повністю визначає положення цієї точки у просторі;

• якщо точка розташована вище площини Н (І і ІІ чверті), то її фронтальна проекція знаходиться вище осі та, навпаки, якщо точка розташована нижче площини Н (ІІІ і ІV чверті), то її фронтальна проекція знаходиться нижче осі х;

• якщо точка розташована перед площиною V (І і ІV чверті), то її горизонтальна проекція знаходиться нижче осі та, навпаки, якщо точка розташована за площиною V (ІІ і ІІІ чверті), то її горизонтальна проекція знаходиться вище осі х.

17

Проекціювання точки на три взаємно перпендикулярні площини проекції

У деяких випадках для забезпечення більшої наочності комплексного креслення та, відповідно, для полегшення з‘ясування форм зображуваного предмету, а також при вирішенні деяких задач виконують побудови проекцій на три площини проекції.

Уведемо в систему V, Н третю вертикальну площину проекцій, перпендикулярну до вісі х і відповідно до фронтальної і горизонтальної площин проекцій. Її називають профільною площиною проекцій та позначають W. Таку систему площин називають системою V, Н, W. У цій системі осі проекцій z та y утворюються в результаті перетину профільної площини проекцій з фронтальною та горизонтальною. Точка О – перетин усіх трьох осей проекцій.

Три взаємно перпендикулярні площини проекції розділяють простір на вісім тригранних кутів, які називають октантами (від латинського слова octo – вісім) (рис. 1.13).

Рис. 1.13 Схема суміщення трьох взаємно перпендикулярних площин

проекцій в одну площину креслення показана на рис. 1.13. Для вісі y дано два положення (рис. 1.15).

Ортогональна проекція а// точки А на профільну площину проекцій є профільною проекцією точки. Наочне зображення точки А та її проекцій а/, а, а// у системі V, Н, W наведено на рис. 1.14.

18

Рис. 1.14 Рис. 1.15 За двома проекціями а/і а точки А побудувати профільну

проекцію можна такими способами (рис. 1.15): а) з початку координат О проводять допоміжну дугу радіусом

Оау, що дорівнює координаті уа; б) з початку координат О проводять допоміжну пряму під

кутом 45º до вісі Оу; в) через фронтальну проекцію проводять лінію зв‘язку

перпендикулярну до вісі z, та від вісі z відмічають координату уа (відрізок аах);

За напрямом осей проекцій відносно точки О легко уявити кожний октант (табл. 1.1)

Таблиця 1.1 Система знаків для визначення координат x, y, z точок в октантах

Знаки координати Октанти

X Y Z I + + + II + - + ІІІ + - - ІV + + - V - + + VI - - + VII - - - VIII - + -

Узагальнимо закономірності розташування проекцій точки на трикартинному комплексному кресленні:

• фронтальна та профільна проекції однієї точки лежать на горизонтальній лінії проекційного зв’язку;

19

• відстань від профільної проекції точки до осі z дорівнює відстані від точки-оригінала до фронтальної площині проекцій;

• за двома будь-якими ортогональними проекціями точки можна побудувати третю проекцію цієї точки.

1.3. Проекції прямої Модель прямої Пряма у просторі визначається двома точками, які належать

цій прямій. Отже, щоб побудувати проекції прямої, необхідно спроекціювати дві будь-які точки, що належать їй, на площини проекцій. Сполучивши однойменні проекції цих точок отримаємо горизонтальну (аb) і фронтальну (a/b/ )проекції відрізка (рис. 1.16).

Комплексне креслення прямої – сукупність прямокутних проекцій цієї прямої на взаємно перпендикулярні площини проекцій.

а) б)

Рис. 1.16 Положення прямої у просторі характеризується її положенням

відносно площин проекцій. Прямі загального положення Прямі загального положення – прямі, розташовані похило до

всіх площин проекцій (рис. 1.16). Довжина будь-якої ортогональної проекції відрізка прямої

загального положення менш довжини самого відрізка цієї прямої.

20

Прямі особливого положення Прямі особливого положення – прямі, розташовані паралельно

або перпендикулярно до площин проекцій, або прямі, які лежать у площині проекцій.

Прямі рівня – прямі, паралельні площинам проекцій. Горизонтальна лінія рівня або горизонтальна пряма – пряма,

паралельна горизонтальній площині проекцій (рис. 1.17). а) б)

Рис. 1.17 аb – натуральна величина; β – кут нахилу відрізка АВ до площини V. Фронтальна лінія рівня або фронтальна пряма – пряма,

паралельна фронтальній площині проекцій (рис. 1.18).

а) б)

Рис. 1.18 c/d/ - натуральна величина; α – кут нахилу відрізка СD до площини Н. Профільна лінія рівня або профільна пряма – пряма

паралельна профільній площині проекцій (рис. 1.19).

21

а) б)

Рис. 1.19 е//f// - натуральна величина; β і α – кути нахилу прямої відповідно

до площин V і H. Проекційні прямі – прямі, перпендикулярні до площин проекцій.

Така пряма одночасно паралельна двом іншим площинам проекцій та вісі проекцій, що знаходиться між ними.

Горизонтально-проекційна пряма – пряма, перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій (рис.1.20, а).

Фронтально-проекційна пряма – пряма, перпендикулярна до фронтальної площини проекцій (рис.1.20, б).

Профільно-проекційна пряма – пряма, перпендикулярна до профільної площини проекцій (рис.1.20, в).

а) б) в)

Рис. 1.20

22

Лінії нульового рівня – прямі, що лежать на будь-якій площині проекцій.

У цьому випадку вона співпадає зі своєю проекцією на цю площину. На іншу площину вона проекціюється в пряму, що лежить на вісі проекцій.

Фронтальна (рис 1.21, а), горизонтальна (рис 1.21, б), профільна лінії нульового рівня (рис 1.21, б).

а) б) в)

Рис. 1.21 Визначення натуральної величина відрізка прямої

загального положення методом прямокутного трикутника Жодна проекція відрізка прямої загального положення не

дорівнює його натуральній величині, тобто проекції такого відрізка завжди будуть менші, ніж відрізок у просторі. Поте у багатьох випадках виникає необхідність визначити натуральну величину відрізка загального положення, маючи на епюрі лише його проекції. Таку задачу можна розв’язати за допомогою прямокутного трикутника (рис. 1.22).

Натуральна величина відрізка ВС прямої загального положення знаходиться як гіпотенуза прямокутного трикутника ВС-1. У цьому трикутнику один катет В-1 паралельний площині Н і дорівнює горизонтальній проекції відрізка ВС, а другий катет – різності відстаней кінців відрізка С і В від площини проекцій Н (│С-1│= zc – zb = ∆z).

Отже, натуральна величина відрізка прямої загального положення є гіпотенузою прямокутного трикутника, один з катетів якого дорівнює одній з проекцій, другий катет – різниці відстаней точок початку та кінця відрізка до тієї площини проекцій, у якій знаходиться перший катет.

23

а) б)

Рис. 1.22 Кут між прямою лінією та площиною проекцій визначається як

кут між прямою та її проекцією на цю площину. Поділ у заданому відношенні відрізка прямої Відзначимо, якщо в просторі точка лежить на прямій, то на

епюрі проекції точки лежать на однойменних проекціях прямої. Якщо точка на відрізку поділяє його довжину в певному

відношенні, то проекція точки поділяє довжину однойменної проекції відрізка в тому ж відношенні.

Для побудови проекцій к і к/ точки К, що лежить на відрізку АВ прямої і поділяє його у відношенні 1:3, з точки а проведемо допоміжну пряму та відкладемо на ній від а чотири відрізка однакової довжини. Провівши відрізок b4 і паралельно до нього через точку 1 пряму, отримаємо точку к, яка поділяє проекцію ab у відношенні 1:3; за допомогою лінії зв’язку знаходимо точку к/ (рис. 1.23).

Рис. 1.23

24

Сліди прямої Слід прямої – точка перетину прямої з площиною проекцій.

а) б)

Рис. 1.24 Горизонтальний слід прямої – М (т); Фронтальний слід прямої – N (n/). Для визначення горизонтального сліду прямої АВ необхідно

продовжити фронтальну проекцію a/b/ до перетину з віссю V/H у точці m/ (фронтальна проекція горизонтального сліду) (рис. 1.24, б); з отриманої точки проводимо перпендикуляр до перетину з продовженням горизонтальної проекції ab. Точка перетину m – горизонтальна проекція горизонтального сліду; вона збігається з точкою М – самим слідом.

Для визначення фронтального сліду прямої АВ необхідно продовжити горизонтальну проекцію ab до перетину з V/H у точці n (горизонтальна проекція фронтального сліду); з отриманої точки проводимо перпендикуляр до перетину з продовженням фронтальної проекції a/b/. Точка перетину n/ – фронтальна проекція фронтального сліду; вона збігається з точкою N – самим слідом.

Взаємне положення двох прямих Прямі лінії у просторі можуть перетинатися, бути паралельними

і мимобіжними. Паралельні прямі Якщо в просторі дві прямі паралельні між собою, то їх

однойменні проекції також будуть паралельні між собою (рис. 1.25, а).

25

Перетинні прямі Якщо в просторі дві прямі перетинаються, то на епюрі їх

однойменні проекції перетинаються між собою, а проекції точок перетину лежать на одній лінії зв‘язку (рис. 1.25, б).

Мимобіжні прямі Якщо дві прямі не паралельні і не перетинаються між собою, то

вони називаються мимобіжними. Точки, що лежать на одній лінії проекційного зв’язку і належать різним лініям називаються конкуруючими (рис.1.25, в).

а) б) в)

Рис. 1.25 Із двох конкуруючих точок 1 і 2 на фронтальній площині

проекцій видима та, що розташована в просторі далі від площини проекцій V. Про це можна судити за горизонтальними проекціями точок, дивиться за стрілкою М (рис.1.25, в).

Із двох конкуруючих точок L і К на горизонтальній площині проекцій видима та, що розташована у просторі далі від площини проекцій Н. Про це можна судити за фронтальними проекціями точок, дивиться за стрілкою N (рис.1.25, в).

1.4. Проекції площини

Задання площини на кресленні На кресленні площина може бути задана: а) проекціями трьох точок, що не лежать на одній прямій (рис. 1.26, а); б) проекціями прямої і точки, яка не належить прямій (рис. 1.26, б); в) проекціями двох перетинних прямих (рис. 1.26, в);

26

г) проекціями двох паралельних прямих (рис. 1.26, г); д) плоскою фігурою (рис. 1.26, д); е) слідами площини (рис. 1.27; 1.28)

а) б) в)

г) д)

Рис. 1.26

Сліди площини Слід площини – це пряма, по якій площина перетинається з

площиною проекцій (рис. 1.27). Якщо площина перетинає ось проекцій, то на цій осі утворюється

точка перетину слідів площин – точка збігу слідів. Якщо розглядати площину в системі V, H, W, то в загальному

випадку площина буде перетинати кожну з осей проекцій. Така площина називається площиною загального положення.

Р – площина загального положення; РV – фронтальний слід площини; РH – горизонтальний слід площини; РW – профільний слід площини; РX, РY, РZ – точки збігу слідів.

27

Рис. 1.27 Рис. 1.28 Для побудови горизонтального сліду площин Q (рис. 1.28), яка

задана двома перетин ними прямими АВ і ВС, достатньо побудувати дві точки, які одночасно належать площинам Q і Н. Ці точки є слідами прямих АВ і ВС на площині Н, тобто точками перетину цих прямих з площиною Н. Після побудови проекцій цих слідів проводимо через точки m1 і m2 пряму та отримуємо горизонтальну проекцію лінії перетину площин Q і Н.

Лінія перетину площин Q і V визначаться фронтальними слідами прямих АВ і ВС.

Положення площини у просторі характеризується її

положенням відносно площин проекцій. Площини загального положення Площини загального положення – площини розташовані похило

до всіх трьох площин проекцій (рис. 1.27, 1.28).

Площини особливого положення Площини особливого положення – площини розташовані

паралельно або перпендикулярно до площин проекцій. Площини рівня – площини, паралельні будь-якій площині

проекцій (площини перпендикулярні до двох площин проекцій).

28

Горизонтальна площина рівня – площина, паралельна горизонтальній площині проекцій (рис. 1.29).

а) б)

Рис. 1.29 Фронтальна площина рівня – площина, паралельна фронтальній

площині проекцій (рис. 1.30). а) б)

Рис. 1.30 Профільна площина рівня – площина, паралельна профільній

площині проекцій (рис. 1.31). а) б)

Рис. 1.31

29

Проекційні площини – площини, перпендикулярні до одній з площин проекцій.

Проекційні площини мають збиральні властивості: усі геометричні елементи, які лежать у проекційних площинах, проекціюються в пряму лінію і збігаються зі слідом площини у тій площині проекцій, до якої задана площина є проекційною.

Горизонтально-проекційна площина – площина, перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій (рис. 1.32).

а) б)

Рис. 1.32 Фронтально-проекційна площина – площина, перпендикулярна

до фронтальної площини проекцій (рис. 1.33). а) б)

Рис. 1.33

30

Профільно-проекційна площина – площина, перпендикулярна до профільної площини проекцій (рис. 1.34).

а) б)

Рис. 1.34 Пряма і точка у площині Побудова на кресленні прямої лінії, що належить площині,

засновано на таких положеннях: • пряма, належить площині, якщо вона проходить через дві

точки, які належать цій площині (рис. 135, а); • пряма, належить площині, якщо вона проходить через

точку, яка належить даній площині, і паралельна прямій, що розташована в даній площині (рис. 135, б);

• пряма належить площині, якщо сліди прямої розташовані на однойменних слідах площини(рис. 135, в);

• пряма належить площині, якщо вона паралельна одному зі слідів площини, і має з іншим слідом спільну точку (рис. 135, г).

31

а) в) б) г)

Рис. 1.35 Точка належить площині, якщо вона належить будь-якій прямій

у площині. Наприклад, необхідно знайти фронтальну проекцію точки D,

якщо задана її горизонтальна проекція d і відомо, що точка D має лежати у площині, яка визначена трикутником АВС (рис. 1.36).

Спочатку побудуємо горизонтальну проекцію деякої прямої так, щоб точка D лежала на цій прямій, а пряма була б розташована в даній площині. Для цього проводимо пряму через точки a і d та позначаємо точку m, у якій пряма ad перетинає відрізок bc. Побудувавши фронтальну проекцію m/

на b/c/, отримуємо пряму АМ, розташовану в даній площині: ця пряма проходить через точки А і М, з яких перша належить площині за умовою, а друга в ній побудована. Шукана фронтальна проекція d/ точки D має бути на фронтальній проекції прямої АМ.

32

Головні лінії площини Головні лінії площини – прямі, що займають особливе

положення в площині (горизонталі, фронталі, профілі та лінії найбільшого нахилу до площин проекцій).

Горизонталь – пряма, що лежить у площині та паралельна горизонтальній площині проекцій (рис. 1.37).

а) б)

Рис. 1.37 Фронталь – пряма, що лежить у площині та паралельна фронтальній

площині проекцій (рис .1.38).

а) б) Рис. 1.38

Профіль – пряма, що лежить у площині та паралельна профільній площині проекцій.

Лінії найбільшого нахилу площини до площин H, V, W – прямі, що лежать у площині й перпендикулярні до горизонталей, фронталей, або до її профільних прямих.

Лінія схилу – лінія найбільшого нахилу площини до площини Н (рис. 1.39). Відповідно до правил проекціювання прямого кута

33

горизонтальна проекція лінії схилу площини перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі цієї площини або до її горизонтального сліду. Фронтальна проекція лінії схилу будується після горизонтальної і може займати різні положення в залежності від задання площини.

Рис. 1.39 1.5. Взаємне положення двох площин, прямої лінії і площини Огляд взаємних положень двох площин, прямої лінії і

площини Дві площини можуть бути паралельними або перетинними. Випадки взаємної паралельності площин:

• якщо дві перетинні прямі, однієї площини відповідно паралельні двом перетинним прямим другої площини (рис. 1.40, а);

• якщо два перетинні сліди однієї площини паралельні однойменним слідам другої площини (рис. 1.40, б).

а) б)

Рис. 1.40

34

Якщо площини задані слідами і хоча б одна пара однойменних слідів перетинається, то площини перетинаються; якщо площини задані не слідами, а будь-яким іншим способом і треба дізнатися, чи перетинаються ці площини, слід використати допоміжні побудови.

Взаємне положення прямої лінії і площини в просторі може бути таким:

• пряма лежить у площині; • пряма перетинає площину; • пряма паралельна площині.

Якщо на кресленні безпосередньо неможливо встановити взаємного положення прямої і площини, то слід використати допоміжні побудови.

Перетин двох площин Для побудови лінії перетину двох площин треба знайти дві

точки, що одночасно належать обом площинам і провести через ці точки пряму.

Розглянемо загальний випадок побудови лінії перетину двох площин (рис. 1.41). Одну з площин, Р, задано двома перетинними прямим, а другу, Q, – двома паралельними.

Рис. 1.41 Для побудови лінії перетину вказаних площин необхідно

знайти дві точки, що одночасно належать обом площинам.

35

Використаємо дві допоміжні фронтально-проекційні площини (Т1 і Т2), які перетинають кожну з площин Р і Q. При перетині площин Р і Q площиною Т1, отримуємо прямі з проекціями 1/2/, 1-2 і 3/4/, 3-4. Ці прямі, що розташовані в площині Т1, у своєму перетині визначають першу шукану точку, К1, лінії перетину площин Р і Q.

При перетині площин Р і Q площиною Т2, отримуємо прямі з проекціями 5/6/, 5-6 і 7/8/, 7-8. Ці прямі, що розташовані в площині Т2, в своєму перетині визначають другу шукану точку К2, спільну для Р і Q.

Побудувавши проекції k1 і k2, знаходимо на слідах Т1v і Т2v проекції k/1 і k/2. Отримані точки в горизонтальних і фронтальних площинах сполучаємо прямою лінією.

Якщо площини задані своїми слідами, лінія перетину визначається точками перетину однойменних слідів (рис. 1.42).

Рис. 1.42 Перетин прямої лінії з площиною загального положення Для побудови точки перетину прямої з площиною необхідно: 1) через задану пряму провести деяку допоміжну площину; 2) побудувати лінію перетину заданої площини з допоміжною; 3) у перетині побудованої лінії з заданою прямою визначити

шукану точку. Побудувати точку перетину прямої DE з площиною загального

положення, заданою трикутником АВС (рис. 1.43).

36

а) б)

Рис. 1.43 Проекції точки перетину будуємо в такому порядку:

• через пряму DE проводимо допоміжну фронтально-проекційну площину Р;

• будуємо проекції 1/2/ і 1–2 лінії перетину цієї площини з площиною трикутника; за фронтальними проекціями точок 1/ і 2/ знаходимо горизонтальні проекції точок 1 і 2;

• знаходимо проекції m/, m точки перетину заданої прямої з площиною трикутника. Для цього в перетині проекцій de і 1–2 визначаємо горизонтальну проекцію шуканої точки m і за допомогою лінії зв‘язку будуємо її фронтальну проекцію m/ на проекції d/e/ прямої. Прямі DE і 1–2 перетинаються так як належать одній площині Р;

• визначаємо видимі частини прямої DE. За допомогою конкуруючих точок визначаємо видимість

прямої відносно площини трикутника. Точки з проекціями 3/, 3 і 2/, 2 знаходяться на мимобіжних прямих з проекціями d/e/, de i a/b/, ab відповідно. Їх фронтальні проекції 2/ і 3/ збігаються. За положенням горизонтальних проекцій точок 2 і 3 при погляді за стрілкою N визначаємо, що точка 3 знаходиться перед точкою 2. Отже, пряма DE ліворуч від точки М розташована перед трикутником АВС. Тому її фронтальну проекцію d/m/ показано як видиму. Від точки М праворуч пряму DE закриває трикутник АВС до точки 1, відповідно відрізок m/1/ показано як невидимий.

37

Точки з проекціями 5/, 5 і 4/, 4 знаходяться на мимобіжних прямих з проекціями b/c/, bc i d/e/, de. За положенням фронтальних проекцій точок 5 і 4 при погляді за стрілкою К визначаємо, що точка 5 розташована вище точки 4. Отже, у цьому місці пряму DE закрито трикутником АВС до точки їх перетину М (частина з проекцією m–5). Ліворуч від точки перетину М пряма DE знаходиться над трикутником АВС і, відповідно, видима (частка з проекцією dm).

Побудова лінії перетину двох площин по точках перетину

прямих ліній з площиною Побудувати лінію перетину двох площин можна способом

допоміжних січних площин (розглянуто вище), а також використовуючи точки перетину двох прямих, які належать одній з площин, з другою площиною.

Отже, для побудови лінії перетину площин будують точки перетину прямих однієї площини з другою та через них проводять пряму.

Побудувати лінію перетину площин одну з яких задано трикутником АВС, другу – паралельними прямими (DE║FG) (рис. 1.44).

Рис. 1.44

38

Для побудови проекцій лінії перетину визначаємо проекції m/, m і n/, n двох її точок перетину прямих з проекціями d/e/, de і f/g/, fg з площиною трикутника. Проекції m/, m, n/, n точок перетину будуємо за допомогою фронтально-проекційних площин, які задані слідами Qv і Pv. Площина Q проходить через пряму DE і перетинає площину трикутника по лінії з проекціями 1/2/, 1–2. Перетином горизонтальних проекцій 1–2 і de є горизонтальна проекція m шуканої точки. За допомогою лінії зв’язку будуємо її фронтальну проекцію m/.

Аналогічно за допомогою площини Р (Pv) будуємо проекції n/, n нової точки. Через побудовані проекції m/, n/ і m, n проводимо проекції m/ m, n/ n відрізку перетину заданих площин.

За допомогою конкуруючих точок визначаємо видимість. Побудова прямої лінії і площини, паралельних між собою Пряма паралельна площині, якщо ця пряма паралельна будь-

якій прямій у площині. Через задану точку у просторі можна провести безліч прямих

ліній, паралельних заданій площині. Для отримання одного рішення треба додаткова умова. Наприклад, через точку М провести пряму, паралельну площині, заданою трикутником АВС, і площині проекцій Н (додаткова умова) (рис. 1.45).

Шукана пряма має бути паралельна лінії перетину обох площин, тобто має бути паралельна горизонтальному сліду площини, яка задана трикутником АВС. Для напряму цього сліду можна використати горизонталь площини трикутника АВС. Проводимо горизонталь DC, а далі через точку М проводимо пряму, паралельну цій горизонталі.

Рис. 1.45 Побудова взаємно паралельних площин Провести через точку К площину паралельну площині, заданій

перетинними прямими AF і BF (рис. 1.46).

39

Побудова двох паралельних площин ґрунтується на такій теоремі: якщо дві перетинні прямі, однієї площини відповідно паралельні двом перетинним прямим другої площини то ці площини паралельні.

Якщо через точку К провести прямі СК і DК, відповідно паралельні прямим AF і BF, то площина, визначена прямими СК і DК, буде паралельною заданій площині.

Рис. 1.46

Через точку А провести площину паралельну площині Р, заданій слідами (рис. 1.47).

Рис. 1.47

Через точку А проводимо пряму, паралельну площині Р. Це горизонталь з проекціями a/n/ і an, причому an║Рh. Оскільки точка N є фронтальним слідом горизонталі AN, то через цю точку пройде слід Qv║Pv, а через Qx – слід Qh║Ph. Площини Q і Р взаємно паралельні, оскільки їх однойменні перетинні сліди взаємно паралельні.

Побудова взаємно перпендикулярних прямої і площини У перпендикуляра до площини його горизонтальна проекція

перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі, фронтальна проекція – до фронтальної проекції фронталі, а профільна проекція – до профільної проекції профільної прямої площини (рис. 1.48, а).

40

а) б)

Рис. 1.48 Якщо пряма перпендикулярна до площини, заданої слідами,

то проекції цієї прямої перпендикулярні до відповідних слідів площини (рис. 1.48, б).

Провести перпендикуляр з точки А до прямої загального

положення ВС (1.49). 1. Через точку А проводимо площину Q, перпендикулярну до

прямої ВС. 2. Визначаємо точу К перетинання прямої ВС з площиною Q. 3. З‘єднуємо точки А і К відрізком прямої лінії.

Рис. 1.49

41

Побудова взаємно перпендикулярних площин Побудову площини Q, перпендикулярної до площини Р, може

бути виконано двома способами: а) площину Q проводимо через пряму, перпендикулярну до площини Р; б) площину Q проводимо перпендикулярно до прямої, що лежить у площині Р або паралельна цій площині. Для отримання єдиного вірного рішення необхідні додаткові умови.

Побудувати площину перпендикулярну до площини трикутника

CDE. Шукана площина має проходити через пряму АВ (рис. 1.50). Для проведення перпендикуляру до

площини CDE побудуємо фронталь CN і горизонталь СМ цієї площин: якщо b/f/┴c/n/ і bf┴cm, то BF перпендикулярна до площини CDE. Утворена перетинними прямими АВ і BF площина перпендикулярна до площини CDE, тому що проходить через перпендикуляр до цієї площини.

Рис. 1.50

Запитання і завдання

1. У чому суть методу проекцій? Що таке проекціювання? 2. Назвіть способи проекціювання. 3. У якому випадку центральна проекція прямої буде у вигляді точки? 4. Які основні властивості паралельної ортогональної проекції? 5. Як утворюється епюр Монжа? 6. Що таке лінії зв’язку і якими бувають ці лінії? 7. Як побудувати профільну проекцію точки за відомими її

горизонтальною і фронтальною проекціями? 8. Побудувати епюри і наочні зображення точок за їх

координатами А (10; -40; 20); В (-25; 10; -10). 9. Що називається комплексним кресленням прямої?

42

10. Що таке пряма загального положення? Які прямі називаються прямими особливого положення?

11. Що називається слідом прямої? Сформулюйте порядок побудови слідів прямої?

12. У чому суть побудови прямокутного трикутника для визначення натуральної величини відрізка прямої?

13. Побудувати проекції точки С, яка лежить на відрізку АВ прямої і поділяє його у відношенні 2:4.

14. Якими елементами простору можна задати площину? 15. Чим відрізняються площини рівня від проекційних площин? 16. Назвіть ознаки належності прямої й площини; точки й

площини. 17. Які лінії називають лініями особливого положення у

площині? 18. Побудувати сліди площини заданої трикутником АВС:

А (50; 0; 50); В (35; 45; 15); С (0; 15; 5). 19. У чому суть загального способу побудови лінії перетину

двох площин? 20. Яка ознака перпендикулярності прямої і площини? Як на

епюрі розміщаються проекції перпендикуляра до заданої площини? 21. Чим визначається взаємна паралельність двох площин? 22. Задайтесь довільною прямою а і точкою поза нею. Визначте

відстань від точки до прямої. 23. Побудувати площину паралельну площині, заданій

трикутником АВС: А (65; 20; 10); В (20; 0; 20); С (0; 60; 60), і яка знаходиться від неї на відстані 45 мм.

_________________________________________________________________

43

ЗАЛІКОВИЙ КРЕДИТ 2 КОМПЛЕКСНЕ КРЕСЛЕННЯ ПРЕДМЕТА

ТА СПОСОБИ ПЕРЕТВОРЕННЯ КРЕСЛЕННЯ


2.1. Способи перетворення креслення Багато задач вирішуються легко і просто, якщо прямі лінії, плоскі

фігури геометричних тіл знаходяться в особливому положенні. Таке особливе, найвигідніше взаємне розташування геометричного елемента і площини проекцій може бути забезпечено перетворенням креслення.

Розглянемо два основних способи перетворення креслення прямої лінії або плоскої фігури довільного положення в креслення з їх особливим положенням. Сутність цих способів полягає в наступному:

• в одному випадку задану систему площин проекцій замінюють на нову так, щоб розміщені в ній вихідні об‘єкти, не змінюючи свого розташування у просторі, опинилися б в особливому положенні (спосіб заміни площин проекцій);

• у другому випадку змінюють положення вихідних об‘єктів у просторі так, щоб вони зайняли особливе положення відносно незмінних площин проекцій (спосіб обертання і окремий його випадок – спосіб суміщення).

Беручи до уваги те, що і пряма лінія, і площина мають два певних положення відносно площин проекцій (паралельне й перпендикулярне), то всі задачі, які розв’язуються способами перетворення креслення, можна звести до однієї з основних чотирьох задач:

• перетворення прямої загального положення в пряму рівня; • перетворення прямої загального положення в проекційну; • перетворення площини загального положення в проекційну; • перетворення площини загального положення у площину рівня.

2.1.1. Спосіб заміни площин проекцій Сутність способу полягає в тому, що не змінюючи положення

предмета у просторі, замінюється система площин проекцій. Кожна нова система вибирається так, щоб по відношенню до

заданих геометричних елементів вона зайняла положення, найбільш зручне для виконання необхідних побудов (рис. 2.1).

44

а) б) Рис. 2.1

На рис. 2.1 (а, б) показано перетворення проекцій точки А із системи V, Н у систему S, Н, у якій замість площини V введено нову площину S, а площина Н залишилась незмінною. При цьому S┴Н. При введенні нової площини проекцій ось проекцій можна позначати у вигляді дробі, риска якої лежить на осі, кожну букву пишуть на “своїй” полиці. Проекції точок на нових площинах проекцій позначають індексами площини (наприклад, аs, bs тощо). У системі S, Н горизонтальна проекція а точки А залишилась незмінною. Проекція аs точки А на площині S знаходиться від площини Н на тієї ж відстані, що й проекція а/ точки А від площини V. Ця умова дозволяє легко будувати проекцію точки на кресленні (рис. 2.1, б) на новій площині проекцій. Для цього в новій системі (Н, S) з проекції точки (а) проводять лінію зв‘язку, перпендикулярну до нової осі проекцій (S/Н). На цій лінії зв‘язку відкладають відстань від осі Н/S до проекції аs точки на новій площині проекцій, що дорівнює відстані від проекції точки а/ до вісі V/Н проекцій у системі V,Н (|аs–2| = |а/–1|).

Заміну площин проекцій можна проводити декілька разів. Визначити натуральну величину відрізка АВ загального положення

(рис. 2.2). Для цього площину проекцій V замінюємо на нову площину проекцій S, паралельну відрізку (ось S/Н паралельна проекції ab). Відстані від осі S/Н до as і bs дорівнюють відстаням від a/ і b/ до вісі V/Н відповідно (|as–2|=|a/–1|). Водночас із визначенням натуральної величини відрізка визначено величину α кута нахилу відрізка АВ до площини Н.

45

Рис. 2.2 Рис. 2.3 Привести відрізок прямої загального положення в проекційне

(рис. 2.3). Для перетворення проекцій відрізка загального положення в проекційне необхідно послідовно ввести дві нові площини проекцій: першу – паралельно відрізку, другу – перпендикулярно до відрізка за умовою перпендикулярності між вихідними і новими площинами проекцій.

Площину проекцій V замінюємо на нову площину проекцій S, паралельну відрізку (ось S/Н паралельна проекції ab). Після цього відомим способом будуємо нову проекцію asbs відрізка АВ у системі S, Н. Далі вводимо ще одну нову площину проекцій Т, перпендикулярну до площини проекцій S і відрізка АВ (ось проекцій Т/S перпендикулярна до проекції asbs). Відносно цієї площині проекцій Т відрізок АВ займає проекційне положення (проекції at і bt збігаються, |a–2|=|at –3|).

Привести плоску фігуру загального положення в проекційне. Побудову виконують за

допомогою однієї з лінії особливого положення, наприклад, горизонталі з проекціями a/f/, af (рис. 2.4). Нову площину проекцій S у цьому випадку обираємо перпендикулярно до горизонталі AF (ось H/S перпендикулярна до проекції af) і відповідно перпендикулярно до площини Н.

Рис. 2.4

46

Визначити натуральну величину плоскої фігури, яка розташована у проекційному положенні.

Рис. 2.5 Вводимо нову площину проекцій Т (рис. 2.5), перпендикулярну

до площини V і паралельну площині чотирикутника з проекціями a/b/c/d/ і abcd (ось Т/V паралельна проекції a/b/c/d/). Проекція atbtctdt є натуральною величиною заданого чотирикутника.

Способом заміни площин проекцій визначити відстань між

двома мимобіжними прямими.

Рис. 2.6

47

Ця відстань визначається довжиною загального перпендикуляра до заданих прямих АВ і CD (рис. 2.6). Для визначення довжини перпендикуляра зручно, щоб одна з прямих розташовувалась перпендикулярно до площини проекцій. Для цього необхідно послідовно ввести дві нові площини проекцій:

• пл. S|| (АВ), пл. Н; ось Н/S|| (ab); • пл. Т (AB), пл. S; ось S/T (asbs).

На площині Т пряма АВ проекціюється в точку at=bt. Проводимо перпендикуляр з точки at=bt на проекцію ctdt, знаходимо проекцію точки nt точки N перетину його з прямою CD. Позначаємо проекцію mt точки точки М, яка збігається з проекціями точок atbt. Шукану відстань визначено – ntmt.

2.1.2. Спосіб обертання Спосіб обертання полягає в тому, що задана геометрична

фігура обертається навколо деякої нерухомої осі до заданого положення відносно нерухомих площин проекцій. При цьому кожна точка фігури, наприклад точка А (рис. 2.7), описує коло, розташоване в площині Σ, перпендикулярній до вісі обертання. Центр О цього кола є точкою перетину вісі обертання з площиною Σ. Радіус кола дорівнює відстані точки А до вісі і (|R| =|AO|).

Рис. 2.7

Якщо точка А геометричної фігури, обертаючись навколо вісі і, повернеться на деякий кут α, то і всі точки фігури повернуться на кут α. Точки геометричної фігури, що належать осі обертання і у процесі

48

обертання залишаються нерухомими. Для спрощення побудов на комплексному кресленні в якості вісі обертання доцільно обирати проекційну пряму або лінію рівня.

2.1.2.1. Спосіб обертання навколо осі, перпендикулярної до площини проекцій

Для використання способу обертання з метою перетворення креслення відзначимо такі елементи (рис. 2.8):

• ось обертання (MN); • площина обертання точки (пл. S (MN)); • центр обертання (О); • радіус обертання (R=|OA|).

а) б) Рис. 2.8

Обертаємо точку А відносно вісі MN, перпендикулярної до площини Н (рис. 2.8). Площина обертання S паралельна площині Н і на фронтальній проекції відображена слідом Sv. Горизонтальна проекція о центра обертання О співпадає з проекцією mn осі, а горизонтальна проекція оа радіуса обертання ОА є його натуральною величиною. Обертання точки А (рис. 2.8, б) виконано на кут φ проти годинної стрілки так, щоб у новому положенні точки з проекціями а/1, а1 радіус обертання був паралельний площині V. При обертанні точки

49

навколо вертикальної осі її горизонтальна проекція переміщається по колу, а фронтальна – паралельно вісі х (рис. 2.8).

При обертанні точки навколо вісі, перпендикулярної до площині V, її фронтальна проекція буде переміщатися по колу, а горизонтальна – паралельно вісі х (рис. 2.9).

а) б) Рис. 2.9

Відрізок прямої АВ повернути навколо осі перпендикулярної до горизонтальної площини проекцій на кут α (рис. 2.10).

Обертання відрізка прямої лінії навколо проекційної осі виконується обертанням двох його точок на заданий кут. Шляхи переміщення фронтальних проекцій цих точок указані прямими, проведеними через а/ і b/ перпендикулярно до фронтальної проекції осі обертання.

Нове положення горизонтальної проекції точки А (точка а1) отримуємо при обертанні радіуса оа на заданий кут α.

Рис. 2.10

50

Для того щоб знайти точку b1 (положення горизонтальної проекції точки В після обертання) проводимо дугу радіусом ob на заданий кут α. Далі з точок а1 і b1 проводимо лінії зв‘язку до перетину з напрямом переміщення фронтальних проекцій – знаходимо проекції а/1 і b/1. Відрізки прямих між точками а/1 і b/1 і між точками а1 і b1 визначають нові положення фронтальної і горизонтальної проекції відрізка АВ після його обертання в положення А1В1.

Оскільки у трикутниках abo і a1b1o (рис. 2.10) сторони bo і ao трикутника abo (як радіуси) відповідно дорівнюють сторонам b1o і a1o трикутника a1b1o і кути між указаними сторонами також дорівнюють один одному, то ці ∆abo = ∆a1b1o. Отже, ab = a1b1, а саме, розмір горизонтальної проекції відрізка, повернутого навколо осі, перпендикулярної до площини Н, не змінюється. Це твердження вірне і по відношенню до фронтальної проекції відрізка при його оберті навколо осі, перпендикулярної до площини V.

Якщо ∆abo = ∆a1b1o (рис. 2.10), то висоти проведені з точки о на ab і a1b1 дорівнюють одна одній.

Користуючись цим ствердженням встановлюємо такий спосіб побудови нових проекцій відрізка, який обертається навколо осі на заданий кут (рис. 2.11).

Через точку о проводимо пряму, перпендикулярну до ab; точку с (точка перетину перпендикуляра з ab) обертаємо на заданий кут. Далі через точку с1 (нове положення точки с) проводимо пряму, перпендикулярну до радіуса ос1, визначаємо напрям нового положення горизонтальної проекції відрізку. Відрізки са і cb не змінюють свого розміру тому, відкладаючи від точки с1 відрізки с1а1=са і с1b1=cb, знаходимо нове положення a1b1 проекції усього відрізку. Побудова нового положення фронтальної проекції a/1b/1 залишається таким як і раніше.

Обертання площини навколо заданої осі зводиться до обертання точок і прямих ліній, які їй належать.

Рис. 2.11

51

При обертанні площини, заданої її слідами, обертають один із слідів і горизонталь (або фронталь) площини. Повернемо площину загального положення Р на кут α навколо осі, перпендикулярної до площини Н (рис. 2.12).

Рис.2.12 На сліді Рh візьмемо точку, найближчу до осі обертання, –

точка а (оа Рh). Далі повернемо точку а на кут α. Через отриману точку а1 проведемо пряму лінію, перпендикулярну до оа1; це горизонтальний слід площини в її новому положенні.

Для знаходження фронтального сліду площини після її обертання достатньо знайти, крім Рх1 на вісі х, ще одну точку, яка належить сліду. У площині Р візьмемо горизонталь nf, n/f/, яка перетинає вісь обертання (nf проходить через горизонтальну проекцію вісі обертання). Оскільки горизонталь і в новому положенні площини залишається паралельною її горизонтальному сліду, то через о проводимо пряму, паралельну, Рh1; у результаті отримуємо нове положення горизонтальної проекції горизонталі. Фронтальна її проекція не змінює свого напряму, отже знаходимо новий фронтальний слід горизонталі – точку n/1, і будуємо фронтальний слід (Рv1).

2.1.2.2. Спосіб плоскопаралельного переміщення Якщо обертати геометричний образ навколо осі,

перпендикулярної до площини проекцій, то проекція на цю площину не змінюється ні за виглядом, ні за величиною – змінюється лише положення цієї проекції відносно вісі проекцій. Проекції точок

52

геометричного образа на площині, паралельній осі обертання (за винятком проекцій точок, розташованих на вісі обертання), переміщуються по прямих, паралельним осі проекцій, і проекція змінюються за формою та величиною. Користуючись цими властивостями, можна застосувати спосіб обертання, не зображуючи осі обертання і не встановлюючи величини радіуса обертання; досить лише, не змінюючи форми і величини однієї з проекцій геометричного образу, перемістити цю проекцію в необхідне положення, а потім побудувати другу проекцію. Це і є спосіб плоскопаралельного переміщення.

Визначити натуральну величину трикутника заданого

проекціями a/b/c/, abc способом плоскопаралельного переміщення.

Рис. 2.13 Для розв’язування цієї задачі необхідно виконати два оберти

площини загального положення, у якій розташовано трикутник так, щоб після першого оберту ця площина стала перпендикулярною до площини V, а після другого – паралельна площині Н (рис. 2.13). Перший оберт навколо осі, перпендикулярної до площині Н, без

53

вказівки її положення виконаємо за допомогою горизонталі з проекціями с/1/, с1 у площині трикутника. При цьому горизонтальну проекцію abc повернемо так, щоб вона збіглася з напрямом проекціювання (с111 х). Горизонтальна проекція трикутника зберігає свій вигляд і величину, змінюється лише її положення. Точки А, В, С при такому обертанні переміщуються в площинах, паралельних площині Н. Проекції a/1, c/1, b/1 знаходяться на горизонтальних лініях зв’язку а/а/1, b/b/1, c/c/

1. Фронтальною проекцією трикутника в новому положенні є відрізок a/1b/1c/1.

Другий оберт, який приводить трикутник у положення, паралельності площині Н, виконуємо навколо осі обертання, яка перпендикулярна до площини V. Фронтальна проекція при другому оберті зберігає вигляд і величину, отримані після першого оберту. Точки А1, В1, С1 переміщуються в площинах, паралельних площині V. Проекції a2, b2, c2 знаходяться на горизонтальних лініях зв’язку a1a2, b1b2, c1c2. Проекція a2b2c2 – натуральна величина трикутника.

2.1.2.3. Спосіб обертання навколо осі, паралельної площині

проекцій Відносно нерухомих площин проекцій, проводиться лінія

рівня (пряма, паралельна площині проекцій) (рис. 2.14). Точка В обертається навколо цієї лінії і описує коло, що лежить у площині S. Ця площина перпендикулярна до осі обертання і, відповідно, є горизонтально-проекційною. Отже, горизонтальна проекція кола, яке описується точкою В, знаходиться на Sh.

Рис. 2.14

54

Визначити натуральну величину трикутника з проекціями a/b/c/, abc обертанням навколо горизонталі.

Рис. 2.15 На рис. 2.15 показано обертання трикутника АВС, у результаті

якого він став паралельним площині Н. За вісь обертання беремо горизонталь з проекціями с/1/, с–1. Точка С на вісі обертання залишається нерухомою. Для

зображення горизонтальної проекції трикутника після обертання треба знайти положення проекцій двох інших його вершин. Вершини з проекціями а/, а і b/, b трикутника переміщаються в площинах Р і Q руху цих точок. Горизонтальна проекція о центра обертання точки А є точкою перетину горизонтальної проекції с–1 осі обертання з горизонтальною проекцією Рh. Її фронтальна проекція – о/. Відрізки оа – горизонтальна, о/а/ – фронтальна проекції радіуса обертання точки А. Натуральну величину оА радіуса обертання точки А визначаємо способом прямокутного трикутника. По катетах оа і аА0=а/2/ будуємо трикутник оаА0, його гіпотенуза дорівнює радіусу обертання точки А. Від проекції о центра обертання точки А по напряму сліду Рh площини її руху відкладаємо натуральну величину радіуса обертання.

55

Позначаємо горизонтальну проекцію а1 точки А, повернутої до положення трикутника, паралельного площині Н.

Горизонтальну проекцію b1 точки В у повернутому положенні знаходимо як точку перетину горизонтальної проекції 1–а1 зі слідом Qh. Горизонтальна проекція a1cb1 є натуральною величиною трикутника АВС. Фронтальна проекція повернутого трикутника збігається з фронтальною проекцією горизонталі 1/с/, тобто є відрізком прямої лінії.

2.1.2.4. Спосіб суміщення Спосіб суміщення є окремим випадком обертання площини

навколо горизонталі або фронталі, якщо за вісь обертання беруть не довільну горизонталь чи фронталь площини, а її горизонтальний або фронтальний слід («нульові» горизонталь чи фронталь). У цьому випадку внаслідок обертання площини вона збігається з площиною Н, якщо обертання здійснюється навколо горизонтального сліду площини, або з площиною проекцій V – при обертанні навколо її фронтального сліду.

Будемо обертати площину Р навколо її горизонтального сліду

Рh до суміщення з площиною проекцій Н (рис. 2.16). Оскільки вісь обертання – горизонтальний слід Рh – лежить у

горизонтальній площині проекцій, то залишається сумістити з площиною Н лише фронтальний слід Рv. Одна точка, а саме Рх,

лежить на осі обертання і сліду Рv. Отже, досить взяти на сліді Рv довільну точку N, обернути її навколо осі Рh до суміщення з площиною Н у точці N0 і, сполучивши точки Рх, і N0 дістати суміщений з площиною Н фронтальний слід – пряму Рv0.

Точка N буде обертатися в площині Q перпендикулярній до вісі обертання Рх. Центр обертання точки N – точку О – позначаємо на перетині слідів Рh і Qh, а радіусом обертання буде пряма ОN. Точка N0 на площині Н є точкою перетину дуги радіуса ОN у площині Q зі слідом Qh.

Відрізок РхN не змінює своєї довжини при обертанні площини; тому точку No можна також отримати при перетинанні Qh з дугою, що описана в площині Н, з точки Рх радіусом РхN.

56

Рис. 2.16 Рис. 2.17 Для виконання розглянутих побудов на кресленні (рис. 2.17) на

сліді Рv вибираємо довільну точку N (вона співпадає зі своєю проекцією n/). Через її горизонтальну проекцію n проводимо пряму no, перпендикулярну до вісі обертання – сліду Рh . На цій прямій знаходимо точку Nо, тобто точку N після суміщення з площиною Н. Її знаходимо на відстані PxNo=Pxn/ від точки Рх або на відстані оNо від точки о, що дорівнює радіусу обертання точки N. Довжину радіуса оNо= оN‾ визначаємо, як гіпотенузу прямокутного трикутника з катетами on і nN‾ (nN‾= nn/). Пряма Рvo, що проходить через точки Рх і Nо, – суміщене положення сліду Рv.

Аналогічно побудовано суміщене положення Со точки С. Радіус обертання оС‾ знайдено як гіпотенузу прямокутного трикутника, у якого один катет ос, другий сС‾=с/1. Другий варіант побудови виконано за допомогою горизонталі площини Р з проекціями с/2/, с–2. За допомогою дуги радіуса Рх2/ знаходимо суміщене положення 2о точки 2 на лінії Рvo, а в суміщеному положенні 2осо горизонталь проведено через точку 2о паралельно сліду Рh.


1. Чим зумовлюється необхідність перетворення креслення? 2. Назвіть способи перетворення проекцій та їх суть? 3. Які основні задачі можна розв’язати за допомогою

перетворення проекцій?

57

4. Скільки і в якій послідовності потрібно ввести допоміжних площин у систему V,H, щоб задана пряма загального положення була перпендикулярна до допоміжної площини проекцій?

5. Назвіть елементи обертання та їх призначення. 6. Яка назва зустрічається для обертання без зображення вісі? 7. Способом обертання навколо лінії рівня визначити

натуральну величину трикутника АВС. А (45; 5; 55), В (5; 45; 10), С (70; 15; 0).

8. Способом плоскопаралельного переміщення визначити відстань від точки S до площини трикутника АВС. S (55; 10; 50), А (35; 60; 35), В (5; 25; 10), С (60; 30; 5).

9. Способом заміни площин проекцій визначити відстань між двома мимобіжними прямими АS і ВС. S (60; 45; 55), А (70; 25; 0), В (30; 5; 50), С (10; 50; 20). _________________________________________________________________


2.2. Криві лінії та їх проекціювання Крива лінія в ряді випадків це геометричне місце точок, що

відповідають певним для цієї кривої умовам. Криві лінії поділяються на два види:

• плоскі; • просторові.

Плоскі – лінії, які всіма своїми точками лежать в одній площині (еліпс, спіраль Архімеда).

Просторові (або їх ще називають лініями подвійної кривини) – лінії, точки яких не належать одній площині (гвинтова лінія тощо).

Для побудови проекцій кривої (плоскої або просторової) необхідно побудувати проекції ряду точок, що їй належать. Просторова крива проекціюється у вигляді плоскої, плоска крива – також у вигляді плоскої або у вигляді прямої лінії, якщо крива знаходиться в площині, перпендикулярній до площини проекцій.

Лінія вважається закономірною, якщо при утворенні вона підпорядковується якомусь геометричному закону. Якщо при цьому крива визначається в декартових координатах алгебраїчним рівнянням, то вона називається алгебраїчною. З алгебраїчної точки

58

зору ступінь рівняння визначає “порядок” кривої, з геометричної – “порядок” кривої дорівнює найбільшому числу точок перетину кривої з прямою лінією для плоских кривих і з довільною площиною для просторових. Наприклад, еліпс – крива другого порядку, перетинається з прямою максимум у двох точках, його рівняння х2/а2 + у2/b2 = 1. Якщо крива визначається неалгебраїчним рівнянням, то вона відноситься до числа трансцендентних.

Викривленість кривої лінії, плоскої або просторової, може бути незмінною (на всьому протязі кривої або на окремих її частинах) або змінюватися в різних точках кривої. Наприклад, викривленість кола або викривленість циліндричної гвинтової лінії незмінні на всьому їх протязі, а викривленість еліпсу повторюється у його квадрантах, але в межах одного квадранту безперервно змінюється.

Кривина лінії – характеризує криву в даній її точці (на нескінченно малій дузі); виражається числом.

Довжина деякої частини кривої як плоскої, так і просторової визначається приблизно, шляхом заміни кривої лінії ламаною, яка вписана в цю криву, і виміром довжини ланок цієї ламаної лінії (це не відноситься до тих кривих, довжину яких можна визначити шляхом нескладних розрахунків, наприклад, циліндрична гвинтова лінія). Отримуємо ламану, довжина якої може бути приблизно прийнята за довжину кривої.

Рис. 2.18

59

2.2.1. Плоскі криві лінії Пряма, яка перетинає криву лінію в одній, двох і більше

точках, називається січною (пряма т на рис. 2.19) Якщо точку В наближати до

точки А, то січна переміщатиметься і в граничному положенні зіллється з точкою А (рис. 2.19). Таке положення прямої називають дотичною до кривої в заданій на ній точці. Дотична передає напрям руху точки, яка утворює криву; напрям дотичної у деякій точці кривої – напрям кривої у цій точці. Нормаллю до кривої l називається пряма n перпендикулярна до l і яка проходить через точку дотику А.

Рис. 2.19 Крива на рис. 2.19 – плавна: у неї в точці А одна дотична. Якщо

криву складено лише з таких точок, то це плавна крива лінія. Але на кривих можуть бути точки, у яких є дві дотичні, кут між якими не дорівнює 180°. Таку точку називають точкою зламу, кутовою або вихідною, і крива в такій точці не є плавною.

На кожній кривій лінії можна виділити особливі точки, у яких крива змінює свій характер, тобто точки, які характеризують форму даної кривої. Назвемо деякі з цих точок (рис. 2.20):

• А – точка перегину, у якій крива перетинає дотичну; • В і С – точки звороту, у яких крива має вістря (“дзьоб”) і

дотична є загальною для обох гілок кривої (з них точку В називають точкою звороту першого роду (вістря), а точку С – точкою звороту другого роду (дзьоб));

• D – подвійна точка (вузлова або самоперетину), у ній крива перетинає сама себе і має дві дотичні;

• Е – точка самодотику, у ній крива зустрічає сама себе, але обидві дотичні збігаються.

60

Рис. 2.20

2.2.2. Просторові криві лінії Багато з розглянутого по відношенню до плоских кривих може

бути віднесено й до просторових (наприклад, дотична пряма до просторової кривої лінії, особливі точки різного роду тощо).

Але якщо до плоскої кривої можна було провести в точці лише один перпендикуляр до дотичної, то для просторової кривої таких перпендикулярів у точці дотику – безліч, це призводить до поняття нормальної площини. Для плоскої кривої достатньо однієї проекції, щоб судити про характер її точок, а для просторової кривої судити про характер точок можна лише при наявності двох проекцій кривої. Також, як для плоскої кривої, дотична до кривої у просторі проекціюється в дотичну до проекції цієї кривої.

Плоска крива всіма своїми точками лежить в одній площині. Для просторової кривої можна говорити лише про площину, що найбільш близько підходить до кривої у точці, яка розглядається. Така площина носить назву стичної. Вона містить дотичну до кривої і тому перпендикулярна до нормальної площини. При взаємному перетині цих двох площин утворюється одна з нормалей – головна нормаль. Нормаль, перпендикулярна до стичної площини – бінормаль.

Спрямна площина – площина перпендикулярна до нормальної та стичної площин. Вона проходить через дотичну та бінормаль.

61

Цими трьома площинами, які утворюють тригранник, користуються як координатними під час розгляду кривої у даній її точці.

Серед закономірних просторових кривих, які мають широке практичне значення слід, насамперед відзначити гвинтові лінії. Гвинтовою називають лінію, яка утворюється одночасним рівномірним обертанням точки навколо нерухомої осі та переміщенням вздовж цієї осі.

Гвинтові лінії розподіляють на циліндричні та конічні. Якщо твірна точка рухається з постійною кутовою швидкістю

по поверхні кругового циліндра і перетинає всі його твірні під одним кутом, то утворюється циліндрична гвинтова лінія.

Величина Р, на яку піднімається точка за один оберт твірної, називається шагом гвинтової лінії. Горизонтальною проекцією циліндричної гвинтової лінії є коло, а фронтальною – синусоїда. На розгортці циліндричної поверхні гвинтова лінія буде зображена у вигляді прямої (рис. 2.21)

Рис. 2.21 Кутом α називається кут підйому гвинтової лінії. Цей кут

дорівнює куту нахилу дотичної у будь-які точці гвинтової лінії до площини, яка перпендикулярна до її осі.

62

Якщо твірна точка рухається по поверхні кругового конусу і перетинає всі його твірні під одним кутом, то утворюється конічна гвинтова лінія (рис. 2.22)

Рис. 2.22


1. Що прийнято розуміти під кривою лінією? 2. Яку криву називають плоскою? 3. Що розуміють під порядком кривої? 4. Що називають кривиною плоскої кривої? 5. Яку лінію називають дотичною до кривої? 6. У чому суть побудови проекцій кривих ліній? 7. Яку лінію називають нормаллю у будь-якій точці плоскої кривої? 8. Чим різняться між собою плоскі та просторові криві лінії? 9. Які площини називаються нормальною, спрямною і стичною

у будь-якій точці просторової кривої лінії? 10. Як утворюються циліндрична і конічна гвинтові лінії? 11. Що називається шагом гвинтової лінії – циліндричної та

конічної?

____________________________________________________________________

63

2.3. Поверхні У нарисній геометрії поверхня визначається як слід лінії або

іншої поверхні, що переміщаються. Задання поверхні, як сукупності всіх послідовних положень деякої лінії, що переміщається у просторі, зручне для графічних побудов. У процесі зображення поверхні обмежуються показом цієї ліні лише в деяких її положеннях.

Задати поверхню на кресленні – значить указати умови, що дозволяють побудувати кожну точку цієї поверхні.

Кінематичною (від гр. “кінема” – рух) називається поверхня, утворена безперервним рухом лінії або іншої поверхні. Поверхня, яка утворюється при наявності такого закону, є закономірною, на відміну від незакономірних поверхонь.

Твірна лінія – лінія, що утворює поверхню, у кожному її положенні. Твірна, зазвичай, вказується в ряді її положень. Вона може бути прямою і кривою. Лінія по якій рухається твірна називається напрямною.

Говорячи про закони утворення поверхонь, слід мати на увазі, що одна й таж сама поверхня може бути утворена переміщенням різних ліній і відповідати різним умовам, які має задовольняти твірна лінія. Взагалі, закони утворення поверхні можуть бути різноманітними; бажано, з цих законів і виду твірних обирати ті, що являються найбільш простими або зручними для зображення поверхні та вирішенні задач, пов’язаних з нею.

Наприклад, поверхня прямого кругового циліндра може розглядатися як результат переміщення твірної – прямої лінії А1А2 – або як результат переміщення кола, центр якого переміщається по прямій О1О2, а площина, що визначається цим колом, перпендикулярна до О1О2 (рис. 2.23).

Рис. 2.23

64

Ураховуючи можливість утворення безлічі різних поверхонь, доцільна їх класифікація за ознаками форми твірної, а також форми, кількості і розміщення напрямних.

Наприклад, ламані твірні застосовують для утворення поверхонь, які обмежені гранями, – гранних поверхонь: пірамідальних та призматичних. Криві напрямні відповідають утворенню конічних, циліндричних та інших поверхонь.

Поверхні, твірною яких є пряма лінія, називаються лінійчатими. Нелінійчаті, або криві поверхні утворюються за допомогою твірних кривих ліній.

Також, усі поверхні можна поділити на розгортні та нерозгортні. До розгортних відносять такі, які можна розгорнути без деформації – сумістити з площиною так, що всі елементи поверхні зображаються в натуральній величині.

Нерозгортні поверхні під час розгортання не можливо сумістити з площиною без деформації.

2.3.1. Багатогранники 2.3.1.1. Утворення і зображення багатогранних поверхонь Багатогранною називається поверхня, утворена частинами

перетинних площин. На рис. 2.24 зображені деякі види багатогранних поверхонь.

Рис. 2.24

65

Їх елементами є грані, ребра і вершини. Частини площин, що утворюють багатогранну поверхню, називаються гранями, лінії перетину суміжних граней – ребрами, точки перетину не менш ніж трьох граней – вершинами.

Якщо кожне ребро багатогранної поверхні належить одночасно двом її граням, її називають замкненою (рис. 2.24, б, г), у протилежному випадку – незамкненою (рис. 2.24, а, в). Багатогранна поверхня називається пірамідальною, якщо всі її ребра перетинаються в одній точці – вершині (рис. 2.24, а). Багатогранна поверхня називається призматичною, якщо всі її ребра паралельні між собою (рис. 2.24, г).

Побудова проекції граної поверхні зводиться до побудови проекцій деяких точок і прямих ліній цієї поверхні.

Геометричне тіло, з усіх сторін обмежене плоскими багатокутниками, називається багатогранником. Простішими багатогранниками є піраміди та призми (рис. 2.25).

Рис. 2.25

2.3.1.2 Точки і прямі на поверхні багатогранників Якщо необхідно на обох проекціях багатогранника побудувати

точку, що лежить на одній з його граней, то слід “зв’язати” точку з відповідною гранню за допомогою будь-якої прямої (рис. 2.25). Прямі на поверхні багатогранників визначаються аналогічно.

66

2.3.2. Криві поверхні 2.3.2.1. Загальні поняття і визначення Криві поверхні широко використовуються в різних галузях

науки і техніки у процесі створення обрисів різних технічних форм або як об’єкти інженерних досліджень. Існує три способи задання кривих поверхонь:

1. Аналітичний – за допомогою рівнянь. Складанням рівнянь поверхонь займається аналітична геометрія. Вона розглядає криву поверхню як множину точок, координати яких задовольняють деякому рівнянню.

2. За допомогою каркасу. Крива поверхня задається множиною ліній, які заповнюють поверхню так, що через кожну точку поверхні проходить одна лінія каркаса. Цей спосіб використовують у процесі проектування кузовів автомобілів, у літако- та суднобудуванні, у топографії тощо.

3. Кінематичний, тобто переміщення ліній у просторі. Нарисна геометрія вивчає кінематичні способи утворення і завдання кривих поверхонь.

2.3.2.2. Лінійчаті поверхні Як вже відзначалось, поверхня називається лінійчатою, якщо

вона може бути утворена переміщенням прямої лінії. Поверхня, яка не може бути утворена рухом прямої лінії, називається нелінійчатою. Через будь-яку точку лінійчатої поверхні можна провести хоча б одну пряму, що цілком належить поверхні. Ряд таких прямих є неперервним каркасом лінійчатої поверхні. Лінійчаті поверхні поділяються на два види: 1) розгортні поверхні; 2) нерозгортні поверхні.

Усі нелінійчаті поверхні є нерозгортними. Розглянемо кілька найбільш характерних різновидів лінійчатих

поверхонь.

Розгортні лінійчаті поверхні Поверхня називається розгортною, якщо вона може бути

суміщена з площиною без деформації. Охарактеризуємо три види розгортних лінійчатих поверхонь: циліндричні, конічні, торси.

67

Циліндричні поверхні Циліндрична поверхня утворюється прямою лінією, яка

зберігає в усіх своїх положеннях паралельність деякій заданій прямій лінії і проходить послідовно через усі точки деякої кривої напрямної лінії (рис. 2.26).

Рис. 2.26 Нерухома крива т, по якій переміщається твірна l називається

напрямною. Якщо напрямна лінія є кривою другого порядку, то й циліндрична поверхня буде другого порядку. Безліч прямолінійних твірних утворюють неперервний каркас циліндричної поверхні. Через кожну точку поверхні проходить одна прямолінійна твірна.

Циліндр – частина простору, обмежена закритою циліндричною поверхнею та основами, утвореними двома січними площинами. Перетин циліндричної поверхні площиною, перпендикулярної до її твірних, називається нормальним. У залежності від форми нормального перерізу циліндри бувають:

1. Кругові – нормальний переріз коло (рис. 2.27). 2. Еліптичні – нормальний переріз еліпс (рис. 2.28). 3. Параболічні – нормальний переріз парабола. 4. Гіперболічні – нормальний переріз гіпербола. 5. Загального виду – нормальний переріз крива випадкового виду. Циліндр називається прямим, якщо площини основ

перпендикулярні до його вісі (рис. 2.27, а), і похилим, якщо вісь нахилена до основ (рис. 2.27, б; 2.28, б, в).

68

а) б) Рис. 2.27

а) б) в)

Рис. 2.28

Конічні поверхні Конічна поверхня утворюється

прямою лінією, яка проходить через деяку нерухому точку і послідовно через усі точки деякої кривої напрямної лінії. Нерухома точка називається вершиною конічної поверхні (рис. 2.29).

Рис. 2.29

69

Нерухома крива т по якій переміщається твірна l називається напрямною. Якщо напрямна лінія є кривою другого порядку, то й конічна поверхня буде другого порядку. Нерухома точка S , яка поділяє поверхню на дві нескінчені поли, називається вершиною. Безліч прямолінійних твірних утворюють неперервний каркас конічної поверхні. Через кожну точку поверхні проходить одна прямолінійна твірна (винятком є лише вершина S, яка називається «особливою точкою поверхні»).

Конус – частина замкненої конічної поверхні, обмежена вершиною і будь-якою площиною, що перетинає всі її твірні. Фігура перетину конічної поверхні цією площиною називається основою конуса. Перетин конічної поверхні площиною, перпендикулярної до її осі, називається нормальним. Віссю конічної поверхні називається лінія перетину її площин симетрії.

Конічні поверхні, які мають ось, у залежності від виду нормального перерізу бувають:

1. Кругові – нормальний переріз коло (рис. 2.30). 2. Еліптичні – нормальний переріз еліпс (рис. 2.31) тощо.

Рис. 2.30 Рис. 2.31 Ось конуса може займати по відношенню до площин проекцій

будь-яке положення.

Торс Торс (поверхня з ребром звороту) утворюється неперервним

рухом прямолінійної твірної, дотичної в усіх її положеннях до деякої

70

просторової кривої. Ця просторова крива є для поверхні напрямною; вона називається ребром повороту (рис. 2.32).

Рис. 2.32

Нерозгортні лінійчаті поверхні Лінійчаті поверхні з площиною паралелізму

Лінійчаті поверхні з площиною паралелізму утворюються за законом, сутність якого полягає у тому, що твірна пряма лінія переміщається паралельно заданій площини по двох напрямних, які не лежать в одній площині. Площина, паралельно якій у просторі рухається твірна поверхні, називається площиною паралелізму.

Циліндроїд

Циліндроїд – це поверхня, утворена переміщенням прямої лінії, яка в усіх своїх положеннях зберігає паралельність деякій заданій площині (“площині паралелізму”), і перетинає дві криві лінії (напрямні), які не лежать в одній площині (рис. 2.33).

а) б)

Рис. 2.33

71

Коноїд Коноїд – це поверхня, утворена переміщенням прямої лінії, яка

в усіх своїх положеннях зберігає паралельність деякій заданій площині (“площині паралелізму”), і перетинає дві напрямні, одна з яких – крива, а друга – пряма (рис. 2.34).

а) б)

Рис. 2.34

Коса площина Коса площина (гіперболічний параболоїд) утворюється як

результат переміщення прямолінійної твірної по двох напрямних – мимобіжних прямих, паралельно деякій площині паралелізму (рис. 2.35).

а) б)

Рис. 2.35

72

Гвинтові поверхні Гвинтові поверхні утворюються рухом твірної – відрізка прямої

– по двох напрямних, одна з яких є гвинтовою лінією, а друга – її віссю за умови обертання твірної навколо напрямної осі з одночасним ковзанням кінців твірної по обох напрямних.

Прямий гелікоїд

Якщо циліндричну гвинтову лінію взяти за криву напрямну, ось гвинтової лінії – за пряму напрямну, а за площину паралелізму – площину, перпендикулярну до осі гвинтової лінії, то поверхня, утворена за таких умов, називається гвинтовим коноїдом або прямим гелікоїдом (рис. 2.36). Твірна пряма прямого гелікоїду перетинає ось під прямим кутом.

На рис. 2.37 наведений приклад прямого відкритого гелікоїду, з кінцевою товщиною поверхні.

Рис. 2.36 Рис. 2.37

Похилий (косий) гелікоїд Похилим гелікоїдом називається поверхня, утворена рухом

прямої лінії, яка ковзається по двох напрямних (одна з них – циліндрична гвинтова лінія, а друга – ось гвинтової лінії) і зберігає в усіх положеннях постійний кут β з напрямною площиною, яку розташовують перпендикулярно до осі гвинтової поверхні. У процесі

73

побудови проекції похилого гелікоїду зручно користуватися напрямним конусом (рис. 2.38).

Напрямний конус співвісний з гвинтовою поверхнею, його твірні нахилені під кутом β до площини основи. Твірна пряма переміщається по напрямних і залишається в усіх своїх положеннях паралельною твірної напрямного конусу. Отже, твірна пряма в усіх своїх положеннях перетинає вісь і під постійним кутом α≠90°. Площина, перпендикулярна до осі поверхні, перетинає її по спіралі Архімеда.

На рис. 2.39 показаний похилий закритий гелікоїд.

Рис. 2.38 Рис. 2.39 2.3.2.3. Поверхні обертання Поверхня обертання – поверхня, що утворюється в результаті

обертання будь-якої твірної лінії навколо нерухомої прямої – осі поверхні (рис. 2.40).

Твірна лінія може бути плоскою або просторовою кривою, а також прямою. Поверхню обертання можна задати твірною і положенням осі. Кожна точка твірної описує коло. Отже, площина, перпендикулярна до осі поверхні обертання, перетинає цю поверхню по колу, центр якого лежить на осі. Такі кола називаються паралелями.

74

а) б)

Рис. 2.40 Екватор – найбільша паралель. Горло – найменша паралель. Меридіональна площина – площина, яка проходить через ось

поверхні обертання. Меридіан поверхні – лінія перетину поверхні обертання

меридіональною поверхнею. Вершина поверхні – точка перетину меридіану цієї поверхні з

її віссю, якщо в перетині не утворюється прямий кут. Якщо ось поверхні обертання паралельна площині V, то

меридіан, що лежить у площині, паралельній площині V, називається головним меридіаном. При такому положенні головний меридіан проекціюється на площину V в натуральну величину. Якщо ось поверхні обертання перпендикулярна до площини Н, то горизонтальна проекція поверхні має вигляд кола.

Найбільш доцільним з точки зору зображень є перпендикулярність осі поверхні обертання до площини Н, або до V, або до W.

У процесі проекціювання різних інженерних споруд, машин і механізмів найбільшого розповсюдження отримали поверхні, які утворюються обертанням прямої лінії або кривих другого порядку.

75

Поверхні, утворені обертанням прямої (лінійчаті поверхні обертання)

Обертанням прямої лінії утворюються: 1) циліндр обертання, якщо пряма l паралельна вісі і (рис. 2.41); 2) конус обертання, якщо пряма l перетинає вісь і (рис. 2.42); 3) однопорожнинний гіперболоїд обертання, якщо пряма ВС

мимобіжна з віссю і (рис. 2.43), меридіаном поверхні є гіпербола. Рис. 2.41 Рис. 2.42

Рис. 2.43

76

Поверхні, утворені обертанням кривих другого порядку навколо їх осей

1) сфера утворюється обертанням кола навколо її діаметра (рис. 2.44);

2) еліпсоїд обертання утворюється обертанням еліпса навколо великої або малої осі (рис. 2.45);

3) параболоїд обертання утворюється обертанням параболи навколо її осі (рис. 2.46);

4) однопорожнинний гіперболоїд обертання утворюється обертанням гіперболи навколо її уявної осі (рис. 2.43);

5) двопорожнинний гіперболоїд обертання утворюється обертанням гіперболи навколо її дійсної осі (рис. 2.47).

Рис. 2.44 Рис. 2.45 Рис. 2.46 Рис. 2.47

77

Поверхні, утворені обертанням кривих другого порядку навколо осі, яка не є віссю кривої, але розташована в її площині.

Найбільш розповсюдженою серед цих поверхонь є тор. Тор – поверхня, яка утворюється у процесі обертання кола

навколо осі, яка лежить у площині цього кола, але не проходить через його центр (рис. 2.48).

Рис. 2.48

Виділяють (рис. 2.49): а) відкритий тор, б) закритий, в) самопересічний.

а) б) в)

Рис. 2.49

78

2.3.2.4. Каналові та циклічні поверхні Каналова поверхня утворюється рухом плоскої замкненої лінії

(твірної), форма і розміри якої у процесі формоутворення можуть залишатися постійними або монотонно змінюватися, і яка певним чином орієнтована у просторі (рис. 2.50).

Рис. 2.50 У інженерній практиці найбільшого розповсюдження отримали

два способи орієнтування площин твірних: 1) паралельно будь-якій площині – каналові поверхні з

площиною паралелізму; 2) перпендикулярно до напрямної лінії – прямі каналові поверхні. Усі поверхні обертання можна розглядати як каналові з

напрямною – віссю і. Циклічні поверхні можна розглядати як особливий випадок

каналової поверхні. Циклічні поверхні утворюються в результаті руху за певним законом кола постійного або змінного радіуса (рис. 2.51).

Рис. 2.51 Рис. 2.52

Для трубчатої поверхні твірною є коло з постійним радіусом (рис. 2.52).

79

2.3.2.5. Точки на кривих поверхнях Положення точок на кривій поверхні, подібно до положення

точок на гранній поверхні, визначаються за допомогою ліній – прямих або кривих, які проходять через ці точки на заданій поверхні.

Трудність побудови точок на епюрі зумовлюється, перш за все, характером даної поверхні, її положенням відносно площин проекцій та іншими умовами.

Однак, у кожному випадку лінію, за допомогою якої знаходимо шукану точку, слід вибирати так, щоб побудова її на епюрі не викликала труднощів.

Так, для лінійчатих поверхонь такою лінією має бути пряма, тобто будь-яка твірна поверхні. Натомість для нелінійчатих поверхонь доцільно вибирати криву лінію, проекції якої легко побудувати. Зокрема, для поверхонь обертання такими лініями є паралелі та меридіани.

Слід мати на увазі, що у випадку проекційної поверхні, тобто перпендикулярної до однієї з площин проекцій, відшукання проекцій точок виконується, як правило, без додаткових побудов.

2.3.2.6. Прямі та площини, дотичні до кривих поверхонь Пряма лінія, дотична до будь-якої кривої лінії, що належить

поверхні, є дотичною й до самої поверхні. Через будь-яку точку поверхні можна провести безліч кривих, а, відповідно, безліч дотичних прямих. Усі ці дотичні прямі розміщуються в одній площині, яка називається дотичною площиною до поверхні в даній її точці.

Отже, площина, дотична до поверхні, – це безліч усіх дотичних, проведених до поверхні через одну точку. Площина може визначатися двома перетинними прямими; тому для побудови площини, дотичної до кривої поверхні в деякій її точці, достатньо через цю точку провести на поверхні дві криві і до кожної з них дотичну в цій точці. Кривими необхідно обирати прості лінії поверхні.

Перпендикуляр до дотичної площини в звичайній точці поверхні є нормаллю до поверхні. Звідси нормальний перетин поверхні – перетин площиною, що проходить через нормаль.

Якщо необхідно побудувати площину дотичну до сфери, то вона буде перпендикулярною до радіуса, проведеного до точки дотику (площину буде задано горизонталлю і фронталлю, перпендикулярними до радіуса) (рис. 2.53).

80

Рис. 2.53 Рис. 2.54

Провести дотичну площину до циліндра через точку С, що знаходиться на поверхні циліндра (рис. 2.54).

Циліндр – поверхня лінійчата. Тому через точку С можна провести твірну АВ, яка є однією з двох перетинних прямих, які визначають дотичну площину. Друга пряма – це дотична ВF до кола – горизонтального сліду циліндричної поверхні. Прямі АВ і ВF визначають необхідну дотичну площину. Пряма BF є горизонтальним слідом цієї площини.

Провести дотичну до циліндра через точку К, що знаходиться

зовні циліндра (рис. 2.55). Дотична площина має містити

твірну поверхні; отже, ця площина взагалі паралельна напряму твірної. Тому пряма КМ, яка паралельна твірній, належить дотичній площині. Друга пряма, яка в перетині з КМ утворює площину, дотичну до циліндричної поверхні, – МQ – горизонтальний слід дотичної площини. Ця площина дотична до поверхні по твірній DE.

Друге рішення: через точку М проведена пряма MN – горизонтальний слід другої дотичної до площини (дотик по твірній АВ).

Рис. 2.55

81

2.4. Побудова і читання комплексних креслень моделей У процесі виконання технічних і проекційних креслень моделей

немає необхідності встановлювати відстань від зображуваного предмета до площин проекцій. Відповідно, немає необхідності в проведенні осей координат і ліній проекційного зв’язку. Це звільняє поле креслення для нанесення розмірів і полегшує читання креслення. Для побудови зображень користуються методом прямокутного проекціювання, коли предмет розміщують між оком спостерігача та площиною проекцій. Основними площинами проекцій вибирають шість граней пустотілого куба, всередині якого розміщують предмет, який проекціюється на внутрішні грані куба. Потім основні площини проекцій суміщають з фронтальною площиною. У результаті утворюється плоске комплексне креслення (рис. 2.56).

Зображення на фронтальній площині проекцій вважають головним. Відносно цієї площини проекцій предмет розміщують так, щоб зображення на ній давало найбільш повне уявлення про форму та розміри предмета.

Залежно від змісту зображення поділяють на вигляди, розрізи та перерізи. Кількість їх має бути мінімальною, але достатньою для повного уявлення про зображуваний предмет.

Виглядом називають зображення повернутої до спостерігача видимої частини поверхні предмета. Для зменшення кількості зображень допускається лінії невидимого

контуру зображати штриховими. Вигляди на основних площинах проекцій є основними. Вони мають такі назви (рис. 2.56): 1 – вигляд

82

спереду (головний вигляд); 2– вигляд зверху; 3 – вигляд зліва; 4 – вигляд справа; 5 – вигляд знизу; 6 – вигляд ззаду.

Прочитати креслення – це мати повне уявлення про геометричні форми моделі. У процесі читання креслення обов’язково використовувати всі данні проекції.


1. Як слід тлумачити поняття поверхні у нарисній геометрії? 2. Що таке напрямна та вірна поверхні? 3. Що означає задати поверхню на епюрі? 4. Які поверхні називаються нерозгортними? 5. Які поверхні називаються лінійчатими і які нелінійчатими? 6. Як утворюються на епюрі гранні поверхні? 7. Побудувати похилу піраміду, основою якої є горизонтальний

рівносторонній трикутник зі стороною 40 мм, якщо одна із сторін основи є профільно-проекційною прямою, а одне з бічних ребер – відрізком вертикальної прямої завдовжки 50 мм.

8. Як визначаються точки і прямі на поверхні багатогранника? 9. Як утворюються конічна і циліндрична поверхні? Як вони

задаються на кресленні? 10. Дайте визначення таким поверхням: циліндроїд, коноїд,

гіперболоїд, параболоїд, тор. 11. Які поверхні називаються поверхнями обертання? 12. У чому полягає загальний спосіб знаходження точок і ліній

на кривих поверхнях? 13. Що називають виглядом? Які є основні вигляди? 14. Як розміщують та позначають основні вигляди? 15. Добудувати фронтальну проекцію шестикутника (рис. 2.57).

Рис. 2.57

_____________________________________________________________________

83

2.5. Розгортання поверхонь У різних галузях техніки та будівництва при виготовленні виробів

з листового матеріалу часто мають справу з розгортками поверхонь. Розгортка поверхні – це плоска фігура отримана в результаті

суміщення поверхні з площиною. Між поверхнею та її розгорткою існує взаємно однозначна

точкова відповідність: кожній точці поверхні відповідає єдина точка розгортки, кожній лінії на поверхні відповідає лінія на розгортці, і навпаки. Взаємно однозначна відповідність має такі важливі властивості:

1. Пряма на поверхні переходить у пряму на розгортці. 2. Паралельні прямі на поверхні переходять у паралельні прямі

на розгортці. 3. Довжини відповідних ліній на поверхні та розгортці однакові. 4. Кути, утворені лініями поверхні, дорівнюють кутам, що

утворюють ці самі лінії на розгортці. 5. Площина розгортки дорівнює площині поверхні; усі розміри

на розгортці мають натуральну величину.

Рис. 2.58 Для гранних поверхонь – розгортки точні. Розгортки кривих

поверхонь – наближені, оскільки для їх побудови малі частини кривих поверхонь замінюють гранними (апроксимація). У випадках неророзгортних поверхонь можна говорити лише про умовні розгортки.

Існує три способи побудови розгорток:

84

1. Спосіб нормального перерізу – для побудови розгорток циліндричних і призматичних поверхонь.

2. Спосіб розгортання – для побудови розгорток поверхонь похилих призм і циліндрів у тому випадку, коли їх основи паралельні одній площині проекцій, а ребра або твірні – іншій.

3. Спосіб трикутників (тріангуляції) – для розгортки конічних, пірамідальних і торсових поверхонь.

2.5.1. Спосіб нормального перерізу Побудувати розгортку поверхні тригранної призми (рис. 2.59).

Рис. 2.59

Бічні ребра призми розміщені фронтально і проекціюються на площину V в натуральну величину.

Проводимо площину Q перпендикулярну до бічних ребер призми (Q┴АВ), далі будуємо нормальний переріз ∆123 і визначаємо його натуральну величину (методом плоскопаралельного переміщення).

Усі сторони нормального перерізу послідовно відкладемо на прямій: 1о2о=11 21; 2о3о=21 31; 3о1о=31 11. Отриманий відрізок 1о–1о дорівнює периметру нормального перерізу.

Через точки 1о, 2о, 3о, проведемо прямі перпендикулярні до 1о–1о і відкладемо на них натуральну величину бічних ребер: 1оАо=1/а/ і 1оВо=1/b/; 2оСо=2/с/ і 2оDo=2/d/; 3оЕо=3/е/ і 3оFo=3/f/; 1оАо=1/а/ і 1оВо=1/b/.

85

Отримані точки Ао, Со, ... з’єднуємо прямими. Плоска фігура АоСоЕо... є шуканою розгорткою бічної поверхні даної призми.

Для побудови повної розгортки необхідно до розгортки бічної поверхні добудувати основи призми, використавши отримані на розгортці натуральні величини їх сторін.

Побудувати розгортку нижньої частини поверхні циліндра

обертання, перерізаного фронтально-проекційною площиною Р, і точки М, довільно розміщеною на поверхні циліндра (рис. 2.60).

Розгортка бічної поверхні циліндра – прямокутник з висотою, що дорівнює висоті циліндра, і довжиною L=̟d, де d – діаметр циліндра.

Оскільки вісь циліндра перпендикулярна до площини проекцій Н, то горизонтальна проекція фігури перерізу збігається з горизонтальною проекцією циліндра, а фронтальна – зі слідом площини Рv. Натуральний вигляд фігури перерізу (еліпс) знаходимо за допомогою способу заміни площин проекцій.

Будуємо розгортку зрізаної нижньої частини циліндричної поверхні. Для цього коло основи циліндра поділено на 12 однакових частин; розгорнуте коло основи також поділено на 12 однакових частин. Відрізки твірних відкладені на перпендикулярах, проведених у точках поділу розгорнутого кола основи циліндра, тобто 10, 20 і 120, 30 і 110, 40 і 100, 50 і 90, 60 і 80, 70. Провівши через отримані точки криву, отримаємо розгорнутий еліпс (ця лінія є синусоїдою) – верхній край розгортки бічної поверхні циліндра.

До розгортки бічної поверхні приєднаємо коло основи і еліпс – натуральний вигляд перерізу. Одержана фігура буде розгорткою зрізаної нижньої частини циліндра.

Для побудови на розгортці точки М позначимо хорду l2 між твірною, на якій розміщена точка М, і твірною точки 4. На розгортці відкладаємо довжину хорди від точки 4 і висоту розміщення точки М.

86

Рис. 2.60 2.5.2. Спосіб розгортання Побудувати розгортку бічної поверхні похилого еліптичного

циліндра (рис. 2.61). У циліндр вписуємо похилу багатогранну призму. Розгортка

циліндра становить суму граней цієї призми. Грані будуємо послідовно. Проведемо ряд прямолінійних твірних АВ ||CD || EF

циліндричної поверхні. Частини поверхні між суміжними твірними приймемо за плоскі елементи поверхні: АВDС, CDFE, …

Плоский елемент ABDC обертаючи навколо фронталі АВ суміщаємо з фронтальною площиною рівня. При цьому фронтальна проекція с/ вершини елемента переміститься по прямій, перпендикулярній до a/b/, до положення Со. Точка Со побудована на прямій с/Со засічкою з точки а/ радіусом ас, тому що нижня основа циліндра проекціюється в натуральну величину і а/Со=ас.

Оскільки паралельні прямі на поверхні переходять у паралельні прямі на розгортці, то через точку Со проведемо СoDo||a/b/ (оскільки CD||AB) і знайдемо точку Do=CoDo х d/Do, де d/Do a/b/. a/b/DoCo – суміщений плоский елемент.

87

Обертанням навколо фронталі CoDo сумістимо суміжний елемент CDFE з тією ж фронтальною площиною рівня. Для цього проведемо е/Ео a/b/ (або СоDо). На е/Ео з точки Со радіусом се засічкою позначимо точку Ео. Через Ео проведемо EoFo||CoDo (Fo= EoFo х f/Fo, де f/Fo a/b/).

Суміщення інших плоских елементів відбувається аналогічно. Побудовані точки Ао, Со, Ео, ... , Во, Do, Fo ... сполучаємо

лекальною кривою. Отримана плоска фігура АоВоСо ... ВоАо ... СоАо є шуканою розгорткою.

Рис. 2.61 2.5.3. Спосіб трикутників (тріангуляції) Спосіб трикутників полягає в тому, що окремі частини поверхні

приймаємо за трикутники. Розгорткою бічної поверхні прямого кругового конуса є круговий

сектор, радіус якого дорівнює довжині твірної конуса l = [SA], а центральний кут φ = 360ºr/l, де r – радіус основи (рис. 2.62).

Для того, щоб побудувати на розгортці будь-яку точку (наприклад точку В), яка належить поверхні конуса, через неї проводимо твірну, визначаємо відстань від вершини конуса до точки,

88

далі наносимо твірну на розгорнуту бічну поверхню конуса і відкладаємо довжину відрізка (рис. 2.62).

Рис. 2.62

Побудувати розгортку похилого еліптичного конуса (рис. 2.63).

Рис. 2.63

89

Для побудови розгортки похилого еліптичного конуса поділимо основу на 12 однакових частин, тобто вписуємо в основу 12 кутник. Твірні S1 і S7 проекціюються на площину V в натуральну величину. Використовуючи метод обертання навколо проекційної осі, визначаємо величини інших твірних. Далі будуємо приблизну розгортку.

Беремо будь-яку точку і позначаємо її Sо. Проводимо вниз вертикальну лінію і відкладаємо на ній від точки Sо відрізок, який дорівнює S1. Для отримання точки 2о з точки 1о проводимо дугу радіусом 1-2, а з точки Sо – дугу радіусом S/21/. Інші точки будуємо аналогічно і сполучаємо плавною кривою.

Для того, щоб побудувати на розгортці будь-яку точку (наприклад точку А), яка належить поверхні конуса, через неї проводимо твірну, визначаємо натуральну величину, будуємо на розгортці і позначаємо точку Ао.

Побудувати розгортку поверхні піраміди з нанесеними на її грані

сторонами трикутного перерізу піраміди деякою площиною (рис. 2.64).

Рис. 2.64 Знаходимо довжину кожного з ребер піраміди шляхом

обертання навколо проекційної осі. Будуємо трикутник AoSoBo за трьома сторонами: основа АоВо

дорівнює горизонтальній проекції ab, а бічні сторони – натуральним величинам ребер SA і SB (тобто відрізкам s/a/1 і s/b/1).

90

На стороні SoBo побудований новий трикутник, причому сторона BoСo дорівнює горизонтальній проекції bc, сторона SoCo дорівнює довжині ребра SC (тобто відрізку s/c/1).

Аналогічно побудований і третій трикутник. У результаті отримана розгорнута бічна поверхня піраміди.

Якщо на сторонах SoAo, SoBo, SoCo відкласти відрізки SoKo, SoMo, SoNo, які дорівнюють відрізкам ребер піраміди, яка перетнута площиною, то отримаємо ламану лінію КоМоNoKo, яка складається зі сторін фігури перерізу.

2.5.4. Умовні розгортки Сферична поверхня є нерозгортною. У даному випадку можна

говорити лише про умовне розгортання.

Рис. 2.65

Поділимо сферичну поверхню на вісім однакових частин (клинів) горизонтально-проекційними площинами Q1, Q2, Q3, Q4, які проходять через центр сфери (рис. 2.65). Сферичну поверхню кожного клина замінюємо на циліндричну поверхню, ось якої проходить через центр сфери.

Далі поділимо сферичну поверхню на частини кількома горизонтальними площинами Р, Р1, Р2, Р3, ... Р6. Ці площини перетинають сферичні клини по дугах, які замінюємо твірними циліндричної поверхні – відрізками, дотичними до цих дуг.

91

Для побудови розгортки одного з восьми сферичних клинів на горизонтальній прямій АЕ відкладаємо довжину відрізка дотичної прямої 1а = 1А і через середину цього відрізка проводимо вертикальну пряму, на якій відкладаємо відрізок, що дорівнює ̟R. Цей відрізок поділимо на вісім рівних частин і через точки ділень проводимо горизонтальні прямі, на яких відкладаємо дійсні довжини дотичних 2b, 3c, 4d твірних циліндрів, тобто відрізки 2В, 3С, 4D. Отримані точки сполучаємо плавною кривою. Розгортку інших семи клинів будуємо аналогічно.


1. Що називається розгорткою поверхні? 2. Якими властивостями характеризуються розгортки поверхонь? 3. Які поверхні називаються розгортними, які – нерозгортними? 4. Суть способів нормального перерізу, розгортання і трикутників. 5. Побудувати розгортку прямого кругового конуса з вертикальної

віссю, зрізаного похилою фронтально-проекційною площиною. 6. Як побудувати умовну розгортку сферичної поверхні?

___________________________________________________________________

2.6. Аксонометричні проекції У техніці для наочного зображення виробів або їх деталей

використовують аксонометричні (“аксонометрія” – гр.: axon – ось, metreo – вимірюю) проекції цих предметів.

Вправи на побудову аксонометричних проекцій допомагають навчитися читати креслення і розвивають просторове уявлення про форму предметів і деталей машин.

Аксонометричні проекції використовуються як допоміжні до комплексних креслень у тих випадках, коли необхідно більш наочно показати зображення форми деталі.

Відмінність аксонометричних проекцій від ортогональних полягає в тому, що в аксонометричній проекції зображення предмета разом з осями координат відбувається проекціюванням паралельними променями на одну аксонометричну площину проекцій. Отже, аксонометрична проекція це проекція лише на одну площину (рис. 2.66).

92

Рис. 2.66 Прямі Ох, Оу, Оz зображують осі координат у просторі, прямі

Орх, Ору, Орz – їх проекції на площину Р, і називаються аксонометричними осями (або осями аксонометричних координат).

На осях х, у, z відкладений деякий відрізок l, який приймається за одиницю вимірювання по цих осях (натуральна одиниця). Відрізки lx, ly, lz на аксонометричних осях – проекції відрізка l; вони різної довжини і не рівні l. Відрізки lx, ly, lz – одиниці виміру по аксонометричних осях – аксонометричні одиниці.

Відношення lx/l, ly/l, lz/l – коефіцієнти спотворення по аксонометричних осях. Коефіцієнт спотворення по осі Орх позначимо к, по осі Ору позначимо т, по осі Орz позначимо п.

За допомогою коефіцієнтів спотворення можна перейти від прямокутних координат до аксонометричних, і навпаки: хр = кх, ур = ту, zp = nz, де буквами хр, ур, zp позначені відрізки, які визначають аксонометричні координати точки, буквами х, у, z – відрізки, які визначають її прямокутні координати.

ГОСТ 2.317-69 встановлює види аксонометричних проекцій, які використовуються в кресленнях усіх галузей промисловості та будівництва.

У залежності від напряму проекційних променів та спотворення лінійних розмірів предмета вздовж осей аксонометричні проекції поділяють на прямокутні та косокутні.

93

Якщо проекційні промені перпендикулярні до аксонометричної площини проекцій, то така проекція називається прямокутною аксонометричною. До прямокутних аксонометричних проекцій відносять ізометричну та диметричну.

Якщо проекційні промені спрямовані під кутом (≠90°) до аксонометричної площини проекцій, то отримуємо косокутну аксонометричну проекцію. До косокутних аксонометричних проекцій відносять фронтальну ізометричну, горизонтальну ізометричну та фронтальну диметричну проекції.

Прямокутні аксонометричні проекції дають найбільш наочні зображення і тому найчастіше використовуються в машинобудівному кресленні.

У процесі аксонометричного проекціювання предмет повинен розташовуватися так, щоб його було видно спереду, збоку, зверху.

2.6.1. Прямокутні аксонометричні проекції

Прямокутна ізометрична проекція Кути між осями х/, у/, z/ дорівнюють один одному і складають

120º (рис. 2.67).

Рис. 2.67

В ізометричній проекції усі коефіцієнти однакові: к = т = п = 0,82

У технічному кресленні для спрощення побудов такого скорочення не роблять; відрізки, які паралельні аксонометричним осям, відкладають натуральної величини.

Як відомо, поверхня предмета складається з ліній, а лінії – з точок, отже побудову ізометричних проекцій почнемо з точки.

94

Надано ортогональні проекції точок А і В. Побудувати аксонометричні проекції цих точок (рис. 2.68).

Рис. 2.68 Для побудови ізометричних проекцій цих точок проводимо

ізометричні осі х/, у/, z/ під кутом 120º одна до одної. Від початку координат о/ по осі х/о/ відкладаємо відрізок о/1/,

який дорівнює координаті хB точки В. Координату хB беремо з комплексного креслення.

З точки 1/ проводимо пряму, паралельну осі у/, і на ній відкладаємо відрізок 1/2/, який дорівнює координаті уB точки В; з точки 2/ проводимо пряму, паралельну осі z/, на якій відкладаємо відрізок 2/В/, який дорівнює координаті zB точки В. Отримана точка В/ – шукана ізометрична проекція точки В. Для побудови ізометричної проекції точки А достатньо двох координат хA і уА. Третя координата zА дорівнює нулю, тому що точка А лежить на поверхні Н.

Для побудови ізометричної проекції плоских багатокутників

будують ізометричні проекції їх вершин які потім з’єднують прямими. У процесі побудови ізометричної проекції правильної

шестигранної призми будову вершин основи за координатами можна спростити, провівши одну з осей координат через центр основи. На рис. 2.69 осі х/, у/, z/ проведено через центри правильних шестикутних призм.

Побудував ізометрію основи призми, з вершин шестикутника основи проводимо прямі, паралельні відповідно осям х/, у/ або z/ (для кожної з призм). На цих прямих від вершин основи відкладемо висоту призми і отримаємо ізометрію шести точок 1 – 6 вершин другої основи призми. Сполучив точки прямими, отримаємо ізометричну проекцію призми.

95

Побудувати ізометрію неправильної п’ятигранної піраміди за її комплексним кресленням (рис. 2.70).

Визначаємо координати всіх точок основи піраміди, наприклад, точки А. Далі за двома координатами х і у будуємо ізометрію п’яти точок – вершин основи піраміди. Так, наприклад, по осі х/ від точки о/ відкладаємо координату хА . З її кінця проводимо пряму, паралельну осі у/, на якій відкладаємо іншу координату цієї точки уА.

Далі будуємо висоту піраміди і отримуємо точку S/ – вершину піраміди. Сполучаємо точку S/ з точками А/В/С/D/Е/ і отримуємо ізометрію піраміди.

Рис. 2.69

Рис. 2.70

96

Ізометрична проекція кола буде відображатися у вигляді еліпсів. Мала ось C/D/ кожного еліпсу завжди має бути перпендикулярна

до великої осі еліпса А/В/ (рис. 2.71).

Рис. 2.71

Якщо коло лежить у площині, паралельній площини Н, то велика ось А/В/ має бути горизонтальною, а мала ось С/D/ – вертикальною.

Якщо коло лежить у площині, паралельній площині V, то велика ось еліпса має бути проведена під кутом 90º до осі у/.

Якщо коло лежить у площині, паралельній площини W, то велика ось еліпса розташована під кутом 90º до осі х/.

У процесі побудови ізометричної проекції кола без спотворення по осях х/, у/, z/ довжина великої осі еліпса дорівнює 1,22 діаметра зображеного кола, а довжина малої осі еліпса – 0,7D.

Для побудови еліпсу, який лежить у площині, паралельній Н, проводимо вертикальну і горизонтальну осі овалу (рис. 2.72, а).

З точки перетину осей О проводимо допоміжне коло діаметром D, який дорівнює натуральній величині діаметра кола, і знаходимо точки п перетину цього кола з аксонометричними осями х і у. З точок т перетину допоміжного кола та осі z, як з центрів радіусом R = пт, проводимо дві дуги nDn і nCn кола, яке належить овалу.

З центра О радіусом ОС, який дорівнює половині малої осі еліпса, позначаємо на великій осі еліпсу АВ точки О1 і О2. З цих точок радіусом r = O11 = О12 = О23 = О24 проводимо дві дуги. Точки 1, 2, 3, 4

97

спряжень дуг радіусів R і r знаходимо, сполучив точки т з точками О1 і О2 і продовжуючи прямі до перетину з дугами пСп і nDn.

Аналогічно будують еліпси, які лежать у площинах, паралельних площинам V і W (рис. 2.72, б, в).

а)

б)

в)

Рис. 2.72

98

Розглянемо ще один варіант побудови кола в прямокутній ізометричній проекції.

Побудувати ізометричну проекцію кола діаметром 100 мм., яке лежить у площині, паралельній площині W (рис. 2.73).

Рис. 2.73

Проводимо: • пряму, перпендикулярну до осі х, і відкладаємо на ній велику ось еліпса а1а2=122 мм; • пряму, паралельну осі х, і відкладаємо на ній малу ось еліпса b1b2=70 мм; • пряму, паралельну осі у, і відкладаємо на ній діаметр еліпса d1d2=100 мм; • пряму, паралельну осі z, і відкладаємо на ній діаметр еліпса е1е2=100 мм.

Знайдені вісім точок дозволяють зобразити еліпс досить точно від руки.

Прямокутна диметрична проекція

У прямокутній диметричній проекції ось z – вертикальна; ось х розташована під кутом 7º10/, а ось у – під кутом 41º25/ до горизонтальної прямої (рис. 2.74).

99

Рис. 2.74 Усі відрізки прямих ліній предмета, які були паралельні осям х,

у, z на комплексному кресленні, залишаться паралельними відповідним осям і в диметричній проекції. У диметричній проекції значення коефіцієнтів спотворення по осях складає (1; 0,5; 1).

Наприклад, на зображенні тригранної призми в прямокутній диметрії (рис. 2.75), якщо її ребра паралельні осі х або z, то розмір висоти не змінюється, але спотворюється форма основи. Якщо ребра паралельні осі у, то висота призми зменшується в два рази.

Рис. 2.75

100

Кола в прямокутній диметричній проекції зображаються у вигляді еліпсів. Велика ось еліпсів А/В/ у всіх випадках дорівнює 1,06D, D – діаметр кола. Мала ось еліпса С/D/ для кола, яке лежить у горизонтальній і профільній площинах проекціях (або паралельно цим площин) дорівнює 0,35D, а для кола, яке лежить у фронтальній площині проекцій (або паралельно цій площині), – дорівнює 0,94D.

На рис. 2.76 показано побудову восьми точок еліпса в диметричній проекції. У всіх випадках велика ось а1а2=1,06D, діаметри f1f2=e1e2=D, діаметр d1d2=0,5D; мала ось b1b2 в двох положеннях вона дорівнює 0,35D, а в одному (коли вона паралельна осі у) дорівнює 0,94D.

Знайдені вісім точок дозволяють зобразити еліпс досить точно від руки.

Рис. 2.76

2.6.2. Косокутні аксонометричні проекції Косокутна фронтальна ізометрична проекція (рис. 2.77). Кут нахилу

осі у становить 45° до горизонтальної прямої, але допускається проводити вісь у під кутом 30° і 60°.

101

Рис. 2.77 Косокутну фронтальну ізометричну проекцію виконують без

спотворення лінійних розмірів на всіх трьох осях. Кола, які лежать у площинах, паралельних фронтальній

площини проекцій V, проекціюються на аксонометричну площину в коло того ж діаметру. Кола, які лежать в площинах, паралельних площинам проекцій Н і W, проекціюються у вигляді еліпсів. Довжина великої осі еліпса дорівнює 1,3, а малої – 0,54 діаметра кола. Великі осі еліпсів спрямовані за бісектрисами, малі – перпендикулярні до великих (рис. 2.78).

Рис. 2.78

102

Косокутна горизонтальна ізометрична проекція (рис. 2.79). Ось у розташована під кутом 30° до горизонтальної прямої, але допускається проводити вісь у під кутом 45° і 60°. Кут між осями х і у в усіх випадках повинен дорівнювати 90°. Горизонтальну ізометричну проекцію виконують без спотворення на всіх трьох осях.

Рис. 2.79 Коло, розташоване в площині, паралельній Н, проекціюються в

коло того ж діаметру, а кола, які лежать у площинах, паралельних V і W, – в еліпси. Велика ось еліпса (якщо коло паралельне площині V) дорівнює 1,37D, а мала – 0,37D. Велика ось еліпса (якщо коло паралельне площині W) дорівнює 1,22D, а мала – 0,71D. Велика ось спрямована за бісектрисою гострого кута між прямими, паралельними осям; а мала вісь перпендикулярна до великої (рис. 2.80).

Рис. 2.80

103

Косокутна фронтальна диметрична проекція (рис. 2.81). Кут нахилу осі у дорівнює 45° до горизонтальної прямої, але допускається застосовувати фронтальну диметричну проекцію з кутами нахилу осі у 30° і 60°. Коефіцієнти спотворення на осях х і z дорівнює 1, а на осі у – 0,5.

Рис. 2.81 Коло, яке лежить у площині, паралельній фронтальній

площини проекцій, проекціюється на аксонометричну площину проекцій в коло того ж діаметру, а кола, які лежать у площинах, паралельних профільній і горизонтальній площинам проекцій, – у еліпси. Велика вісь еліпсів дорівнює 1,07D, а мала – 0,33D (рис. 2.82).

Рис. 2.82

104


1. У чому полягає спосіб аксонометричного проекціювання? 2. Що називається коефіцієнтами спотворення? 3. Назвіть основні види аксонометричних проекцій. 4. Як розташовані координатні осі у прямокутній ізометрії,

прямокутній диметрії? 5. Чому дорівнюють коефіцієнти спотворення прямокутної

ізометрії, прямокутної диметрії? 6. Назвіть види косокутних аксонометричних проекцій, укажіть

коефіцієнти спотворення і кути між осями. 7. Якими можуть бути проекції кола в аксонометричних

проекціях? Як будують велику і малу осі еліпса? _________________________________________________________________

105

ЗАЛІКОВИЙ КРЕДИТ 3 ПЕРЕТИН ЕЛЕМЕНТІВ ПОВЕРХОНЬ


Багато деталей, які використовуються в техніці, мають різні

зрізи, виконані, наприклад, фрезеруванням, струганням тощо. Формування вмінь будувати перерізи і розрізи в ортогональних проекціях, в аксонометрії, на розгортках є однією з важливих задач навчання інженерній графіці. Так як форма будь-якої деталі є сукупністю геометричних тіл, то питання побудови перерізів розглядають спочатку на геометричних тілах.

Прийоми побудови перерізів, вивчені на геометричних тілах, будуть використовуватися під час вивчення побудов перерізів і розрізів у технічному кресленні.

При перетині поверхні площиною утворюється плоска лінія, яка в загальному випадку може містити в собі як прямолінійні, так і криволінійні частини, і одночасно належати і поверхні, і площині. Цю лінію називають лінією перетину поверхні площиною, а частину площини, обмежену нею, – перерізом поверхні або просто перерізом. Як і будь-яку іншу лінію, лінію перетину поверхні площиною будують за окремими точками. Визначення проекцій ліній перетину зазвичай починають з побудови опорних точок – точок, розміщених на крайніх, контурних твірних поверхні, точок, віддалених на min і max відстані від площин проекцій. Після цього визначають інші точки кривої перетину.

У тих випадках, коли січна площина не паралельна жодній з площин проекцій, фігура переізу проекціюється зі спотворенням. Отже, її дійсну величину визначають за допомогою перетворення комплексного креслення.

3.1. Перетин поверхонь площиною і прямою лінією 3.1.1. Перетин багатогранників площиною Для побудови фігури, отриманої при перетині призми або

піраміди площиною, треба знайти точки, у яких ребра призми або піраміди перетинають дану площину або знайти відрізки прямих, за якими грані призми або піраміди перетинаються площиною. У першому випадку побудова зводиться до задачі на перетин прямої з площиною (метод ребер), у другому випадку – на перетин площин між собою (метод граней).

106

Рис. 3.1

Перетин багатогранників площиною особливого положення Визначити фігуру перерізу тригранної піраміди площиною

особливого положення. Піраміда SАВС (рис. 3.2) перетинається фронтально-

проекційною площиною Р. Основа піраміди паралельна горизонтальній площині проекцій, а/с/b/ – фронтальна проекція основи – відрізок прямої лінії. Фронтальна проекція фігури перерізу піраміди 1/2/3/ – відрізок прямої і розміщується на сліді Рh, тому що площина Р – фронтально-проекційна. Горизонтальні проекції точок 1, 2, 3 знаходяться в точках перетину вертикальних ліній зв’язку з відповідними горизонтальними проекціями ребер піраміди. Сполучивши визначені точки, отримуємо фігуру перерізу трикутної піраміди SАВС площиною Р. Для визначення натуральної величини фігури перерізу використаємо метод плоскопаралельного переміщення.

Перетин призми горизонтально-проекційною площиною Р

показано на рис. 3.3.

107

Рис. 3.2 Рис. 3.3

Перетин багатогранників площиною загального положення Визначити фігуру перерізу тригранної піраміди площиною

загального положення.

Рис. 3.4

108

Піраміда SАВС перетинається площиною загального положення Р (рис. 3.4). Необхідно знайти точки перетину ребер SA, SB, SC з площиною Р, тобто точки перетину прямої з площиною. Знайдемо точку перетину ребра SB з площиною Р. Через SB проводимо допоміжну площину, у даному випадку горизонтально-проекційну Q. Знаходимо пряму перетину 1–2 площин Р і Q. Знаходимо точку L у перетині прямих SB і 1–2.

Далі, ребро SA розміщено паралельно площині V, тому проводимо через нього допоміжну фронтальну площину R. Вона перетинає площину Р по її фронталі з початковою точкою 3; у перетині цієї фронталі з ребром SA отримаємо точку К.

Проекція ас паралельна сліду Рh. Це той випадок, коли у двох площин горизонтальні сліди взаємно паралельні (Рh|| ас, ас – частина горизонтального сліду площини грані SAC) і лінія перетину таких площин є їх спільною горизонталлю. Тому через вже знайдену точку К проводимо пряму, паралельну ребру АС (або|| Рh), і знаходимо точку М. Якщо не було б цієї особливості, дії були б аналогічні побудові точки L. Сполучивши послідовно однойменні проекції побудованих точок, отримаємо проекції фігури перерізу.

Побудувати проекції фігури перерізу призми площиною

загального положення. Для побудови проекції фігури перерізу призми площиною

загального положення Р (рис. 3.5) необхідно знайти точки перетину кожного ребра призми з площиною або лінії перетину кожної грані з площиною. Для цього використаємо обидва методи: метод граней і метод ребер.

Через грань ВВ1С1С проводимо фронтальну площину рівня Q, яка перетинає площину Р по фронталі. Грань ВВ1С1С знаходиться в площині Q, отже і лінія перетину грані з площиною Р буде лінія 1–2.

Для побудови точки 3 через ребро DD1 проводимо допоміжну січну площину R, паралельну фронтальній площини проекцій. Горизонтальний слід цієї площини Rh проводимо через горизонтальну проекцію ребра dd1. Далі будуємо пряму перетину допоміжної площини з січною площиною Р. Цією прямою буде фронталь площини Р. Шукану точку 3/ (фронтальну проекцію точки фігури перерізу) знаходимо на перетині фронтальної проекції фронталі з фронтальною проекцією ребра призми. За допомогою лінії зв’язку знаходимо горизонтальну проекцію точки 3.

109

Рис. 3.5 Площина Р перетинає призму не повністю, тому точки 4 і 5

отримуємо як точки перетину нижньої основи призми з горизонтальним слідом площини Р.

Сполучивши послідовно знайдені точки отримуємо фронтальну проекцію фігури перерізу. Горизонтальна проекція буде збігатися з контуром призми, так як кожна грань є горизонтально-проекційною площиною.

3.1.2. Перетин багатогранників прямою лінією При перетині поверхні призми або піраміди прямою лінією

отримують дві точки, які називають точками входу і виходу. Для побудови цих точок у загальному випадку необхідно провести через пряму допоміжну площину і побудувати фігуру перерізу –

110

багатокутник, який утворюється в перетині цієї площини з багатогранником. Точки, в яких задана пряма перетинається з контуром фігури перерізу, будуть шуканими точками перетину прямої з поверхнею багатогранника.

Побудова точок М і N перетину прямої l з поверхнею призми (рис. 3.6).

Рис. 3.6 Поверхня багатогранника вважається непрозорою. Видимість

проекцій прямої l відносно площин проекцій визначається за видимістю граней.

Побудувати точки перетину прямої лінії АВ з поверхнею

піраміди (рис. 3.7). Через пряму АВ проводимо допоміжну фронтально-

проекційну площину Q. Фронтальна проекція фігури перерізу піраміди цією площиною збігається з фронтальною проекцією площини Q; горизонтальна проекція перерізу знаходиться за допомогою ліній зв’язку. Точки перетину горизонтальної проекції прямої АВ з горизонтальною проекцією фігури перерізу є горизонтальними проекціями шуканих точок; за знайденими горизонтальними проекціями (точки к і т) будуємо фронтальні проекції (к/ і т/) точок перетину.

Бувають випадки, коли немає необхідності в таких побудовах (рис. 3.8). Положення проекцій к і т зрозуміло, так як бокові грані призми перпендикулярні до площини Н. За точками к і т знайдено точки к/ і т/.

111

Рис. 3.7 Рис. 3.8

3.1.3. Перетин кривих поверхонь площиною Для знаходження кривої лінії, отриманої у результаті перетину

лінійчатої поверхні площиною, слід у загальному випадку побудувати точки перетину твірних поверхні з січною площиною, тобто знайти точку перетину прямої з площиною. Отримана крива (лінія зрізу) проходить через ці точки.

Якщо крива поверхня нелінійчата, то для побудови лінії перетину такої поверхні площиною в загальному випадку слід використати допоміжні площини. Точки шуканої лінії визначаються в перетині ліній, по яких допоміжні січні площини перетинають дані поверхню і площину.

Велике значення має вдалий вибір допоміжних площин. Необхідно прагнути до спрощення побудов. Тому здебільшого слід користуватися проекційними площинами, оскільки вони перетинають поверхні по лініях, які легко побудувати, – прямих і колах.

Плоскі перерізи деяких поверхонь обертання 1. Сфера перетинається з площиною завжди по колу. 2. Вигляд лінії, отриманої при перетині площиною прямого

кругового циліндра, визначається положенням площини відносно вісі циліндра. Ця лінія – коло, якщо площина перпендикулярна до

112

осі; дві прямі або одна пряма, якщо паралельна осі; еліпс, якщо площина, розташована під кутом α ≠ 90°до осі.

3. При перетині конуса другого порядку з площинами можуть бути отримані всі криві другого порядку: еліпс, парабола і гіпербола. Ці лінії називаються конічними перерізами:

а) якщо площина Q перетинає всі твірні конуса обертання, то в перерізі утворюється еліпс (рис. 3.9, а). Якщо площина P проходить через вершину конуса, то еліпс вироджується в точку;

а) б)

в) Рис. 3.9

113

б) якщо січна площина перпендикулярна до осі конуса обертання – коло; в) якщо січна площина паралельна лише одній з твірних – парабола (рис. 3.9, б); г) якщо січна площина паралельна двом твірним конуса – гіпербола (рис. 3.9, в); д) якщо площина проходить через ось конуса, то вона перетинає його по твірних, з максимальним для даного конуса кутом між ними.

4. При перетині тора (рис. 3.10): а) площиною, перпендикулярною до його осі, утворюється коло; б) площиною, що проходить через його ось, перерізом є два кола з діаметрами, які дорівнюють діаметру твірного кола; в) площиною паралельною його осі, але яка не проходить через неї, перерізом є так звані лінії Персея.

Рис. 3.10

114

Перетин кривих поверхонь площиною особливого положення Перетин кругового циліндра фронтально-проекційною

площиною (рис. 3.11).

Рис. 3.11 Ось циліндра і вся циліндрична поверхня перпендикулярні до

площини Н. Відповідно, усі точки циліндричної поверхні, у тому числі й лінія перетину її з площиною, Р проекціюються на площину Н в коло. На ній позначаємо горизонтальні проекції точок 1, 2, 3, ... 12, розмістив їх рівномірно по колу. У проекційному зв’язку будуємо фронтальні проекції 1/, 2/, 3/, ... 12/ визначених точок, на фронтальному сліді Рv січної площини. Профільні проекції цих точок будуємо за їх горизонтальними та фронтальними проекціями на лініях зв’язку. Профільна проекція лінії перетину циліндра з січною площиною – еліпс.

Натуральний вигляд фігури перерізу циліндра площиною Р будуємо способом заміни площин проекцій на площину S, яка перпендикулярна до площини V.

115

Перетин конуса горизонтально-проекційною площиною (рис. 3.12). Горизонтальна проекція фігури

перерізу конуса горизонтально-проекційною площиною буде збігатися з горизонтальним слідом цієї площини. Побудову починаємо з визначення опорних точок. У перетині Sh з горизонтальною проекцією основи визначаємо точки a і b, а за ними проекції a/ і b/.

Точка с/ – найвища точка проекції фігури перерізу. Для її знаходження проводимо допоміжну горизонтально-проекційну площину Т через ось конуса перпендикулярно до сліду Sh. Горизонтальну проекцію с точки С отримуємо в перетині Sh і Th, на твірній sk. Знаходячи фронтальну проекцію твірної SK, позначаємо на ній точку с/.

Далі, визначаємо точку d/, у якій фронтальна проекція фігури перерізу розділяється на видиму і невидиму частини. Ця точка знаходиться на твірній SN.

Для знаходження інших точок фігури перерізу можна провести декілька твірних у межах тієї частини поверхні конуса, яка позначена буквами SAKB, або декілька допоміжних січних площин. Наприклад, горизонтальна площина U, яка перетинає поверхню конуса по колу. За допомогою цієї площини знайдені точки F і G.

Проекція е знаходиться на твірній sp. Точку е обертаємо навколо осі, або вершини s, до положення паралельності фронтальній площині проекцій, проекціюємо її на контурну твірну у фронтальній площині проекцій. Проводимо пряму паралельну осі х до твірної s/p/ і отримуємо фронтальну проекцію точки Е. Таким чином можна знайти ряд інших точок.

116

Перетин сфери фронтально-проекційною площиною (рис. 3.13).

Рис. 3.13 Сфера перетинається по колу. Фронтальна проекція цього кола

збігається з фронтальним слідом січної площини, тому що площина Р – фронтально-проекційна. Залишається побудувати горизонтальну проекцію. Це буде еліпс.

Спочатку побудуємо проекції опорних точок. Опорні точки 1 і 2 знаходяться на контурі сфери. Горизонтальні проекції цих точок будуємо на осі, за допомогою вертикальних ліній зв’язку. Точки 3 і 4 лежать на екваторі та розділяють горизонтальну проекцію кривої на видиму і невидиму частини. Для побудови горизонтальних проекцій точок 5, 6, 7, 8 проводимо через точки 5/(6/) і 7/(8/) горизонтальні площини рівня S і Q, які перетинають сферу по колах з радіусами R і R1. За допомогою ліній зв’язку знаходимо горизонтальні проекції точок 5, 6, 7, 8. Сполучивши плавною кривою горизонтальні проекції побудованих точок, знайдемо горизонтальну проекцію фігури перерізу.

117

Перетин кривих поверхонь площиною загального положення Перетин прямого кругового циліндра площиною загального

положення (рис. 3.14).

Рис. 3.14 Січна площина Р, похила до циліндра, перетинає всі його твірні,

тому в перерізі буде еліпс. Горизонтальна проекція еліпса проекціюється в коло, яке збігається з горизонтальною проекцією циліндра.

Для побудови фігури перерізу необхідно знайти ряд точок, які одночасно належать і поверхні циліндра, і площині Р.

Почнемо з визначення опорних точок. Для побудови найвищої і найнижчої точок через ось циліндра проводимо горизонтально-проекційну площину Q, перпендикулярну до горизонтального сліду площини Р. Площина Q перетинає циліндр по твірних, а площину Р по лінії схилу MN. У перетині проекцій твірних циліндра та лінії схилу у фронтальній площині проекцій визначаємо найвищу і

118

найнижчу точки 1/ і 2/, за допомогою ліній зв’язку знаходимо їх горизонтальні проекції 1 і 2.

Для побудови точок, які знаходяться на контурних твірних циліндра, через ось проводимо фронтальну площину рівня S. Ця площина перетинає площину Р по фронталі, а циліндр – по лівій і правій твірних у точках 3 і 4.

Для побудови точок 5 і 6, які знаходяться на найближчій і найвіддаленішій твірних проводимо фронтальні площини рівня. Ці площини дотичні до циліндра, що дає можливість визначити по одній точці для кривої. Для побудови проміжних точок можна скористатися або горизонтальними, або фронтальними, або горизонтально-проекційними площинами, тобто такими, які у перерізі з циліндром утворюють найпростіші фігури – кола, прямі лінії, а з січною площиною – прямі. Отримані точки сполучаємо плавною кривою лінією.

Перетин прямого кругового конуса площиною загального

положення (рис. 3.15).

а) б)

Рис. 3.15

119

Побудову фігури перерізу починаємо з визначення опорних точок. Через ось конуса проводимо допоміжну горизонтально-проекційну площину Q, перпендикулярну до сліду Рh. Площина Q перетинає конус по твірних ST (s/t/, st) і SU (s/u/ і su), а площину Р – по лінії схилу NK (n/k/ , nk). Точки C і D, отримані в перетині твірних ST і SU з прямою NK, будуть шуканими точками. Відрізок CD – велика вісь еліпсу, отриманого при перетині даного конуса площиною Р. Поділив CD навпіл, отримаємо положення центру еліпса О (о/ і о).

Для побудови точок, які знаходяться на контурних твірних, через ось конуса проводимо допоміжну січну площину R, паралельну площині V. Площина R перетинає площину Р по фронталі, а конус – по твірних. Точки А і В, отримані при перетині фронталі з твірними, належать лінії перетину конуса з площиною Р.

Для знаходження проміжних точок лінії перетину зручно користуватися горизонтальними січними площинами, які перетинають поверхню конуса по колах, а площину Р – по горизонталях. Так знаходимо точки E, F, G, H. Для цього можна використовувати лише ті площини, у яких фронтальні сліди містяться в межах між с/ і d/, тому що в даному випадку вище точки d/ і нижче точки с/ не може бути точок, які належать лінії перетину.

Отримані точки в горизонтальних і фронтальних площинах сполучаємо плавною кривою лінією.

3.1.4. Перетин кривих поверхонь прямою лінією Перетин поверхні прямою лінією – дві точки, які називають

“точками входу і виходу”. Щоб визначати ці точки, треба провести через згадану пряму допоміжну площину, знайти лінію перетину цієї площини з поверхнею; точки перетину заданої прямої і побудованої лінії на поверхні й будуть шуканими точками перетину прямої з поверхнею.

Допоміжну площину, яка проводиться через пряму при перетині нею будь-якої поверхні, слід обирати так, щоб утворювалися прості перетини.

Визначити точки перетину прямої лінії з поверхнею

конуса (рис. 3.16). Для побудови точок М і N перетину горизонталі h з поверхнею

конуса доцільно через пряму h провести горизонтальну площину

120

рівня Q, яка перетинає конус по паралелі, що проекціюється на площину Н без спотворення. У перетині горизонтальних проекцій паралелі та прямої h, знаходимо горизонтальні проекції шуканих точок. Фронтальні проекції точок М і N знаходимо за допомогою ліній зв’язку.

Рис. 3.16 Рис. 3.17 Побудувати точки перетину прямої АВ з конусом (рис. 3.17). Для побудови точок перетину прямої і конуса доцільно

використати допоміжну площину, яка проходила б через вершину конуса і перетинала б поверхню по прямих лініях.

Задаємо площину Р, яка визначається вершиною конуса і заданою прямою. Для побудови твірних, по яких площина Р перетинає конус, потрібно, крім точки S, знайти ще по одній точці на кожній твірній. Ці точки можуть бути знайдені на перетині сліду площини Р, побудованого на площині основи конуса, з колом цієї основи. Для побудови сліду Рh взяті допоміжна пряма SC – горизонталь площини Р і знайдений горизонтальний слід прямої АВ. Слід Рh проходить через точку т паралельно проекції sc. Через точки 1, 1/ і 2, 2/ пройдуть шукані твірні. Точки К1 і К2 є точками входу і виходу при перетині прямої АВ з поверхнею конуса.

121

Побудувати точки перетину прямої лінії зі сферою (рис. 3.18).

а) б)

Рис. 3.18 Через АВ проводимо горизонтально-проекційну площину S

(слід на площину Н збігається з проекцією ab). Вона перетинає сферу по колу, радіус якого R1 дорівнює відрізку с1. Приймаючи площину S за додаткову площину проекцій, яка утворює з площиною Н систему S,Н, будуємо проекцію asbs відрізку АВ (aas=a/2/, bbs=b/3/) і проекцію кола, по якому площина S перетинає сферу. Проекцію центра сs знаходимо, відкладаючи csc=o/4/, і з точки сs проводимо радіусом R1 дугу так, щоб отримати точки ks і ms. По цих точках знаходимо проекції к і т, а потім – проекції к/ і т/.

Побудувати точки перетину поверхні циліндра прямою

лінією (рис. 3.19). Для побудови точок перетину поверхні циліндра прямою

лінією АВ проводимо площину Р, яка визначається, крім прямої АВ, додатковою прямою ВМ1, проведеною через точку В паралельно твірним циліндра. Ця площина перетинає циліндр по його твірних. Якщо знайти горизонтальні сліди прямих, які визначають площину, то можна провести горизонтальний слід площини Р. Позначивши точки 1 і 2 на перетині сліду Рh з основою циліндру, проводимо через ці точки прямі паралельно горизонтальній проекції твірної циліндра

122

і позначаємо точки к1 і к2 – горизонтальні проекції точок перетину прямої АВ з поверхнею циліндра. Далі знаходимо точки к/1 і к/2.

Рис. 3.19

3.1.5. Загальні відомості про розрізи і перерізи Правила побудови зображень предметів на кресленнях усіх

галузей промисловості регламентує ГОСТ 2.305—68. Зображення предмета має давати повне уявлення про його форму, розміри та інші дані, необхідні для його виготовлення й контролю.

Як вказувалося у пункті 2.4, для побудови зображень користуються методом прямокутного проекціювання, коли предмет розміщують між оком спостерігача та площиною проекцій. Основними площинами проекцій вибирають шість граней пустотілого куба, всередині якого розміщують предмет, який проекціюється на внутрішні грані куба. Потім основні площини проекцій суміщуються з фронтального площиною. У результаті утворюється плоске комплексне креслення.

Залежно від змісту зображення поділяють на вигляди, розрізи та перерізи. Кількість їх має бути мінімальною, але достатньою для повного уявлення про зображуваний предмет.

Розріз – це зображення предмета, який умовно перетнуто однією площиною або кількома (рис. 3.20). Умовне розсікання стосується тільки зображуваного розрізу і не впливає на інші

123

зображення того самого предмета. При цьому частина предмета, розміщена між спостерігачем і січною площиною, подумки видаляється, а на площині проекцій зображається те, що розміщено в січних площинах та за ними.

Розрізи дають змогу виявити внутрішню форму предмета, коли лінії невидимого контуру не дають однозначної картини або їх читання на зображенні ускладнене. На розрізі внутрішні форми зображують лініями видимого контуру, а переріз заштриховують відповідно до матеріалу деталі.

Переріз – це зображення плоскої фігури, що утворюється при умовному перетині предмета однією площиною або кількома. При цьому зображується тільки те, що розміщено в січних площинах.

Отже, існує відмінність між розрізом та перерізом: переріз є складовою частиною розрізу (рис. 3.20).

Рис. 3.20 3.2. Взаємний перетин поверхонь Переважна більшість речей, предметів, технічних деталей,

машин, будівельних та інших виробів предметного світу, в якому живе і працює людина, являють собою поєднання різноманітних геометричних тіл. Таке поєднання слід розуміти, передусім, як перетин поверхонь тіл: циліндрів, конусів, сфер, пірамід, призм та інших гранних і кривих поверхонь та їх комбінацій.

124

Перетин поверхонь приводить до утворення ліній – прямих чи кривих, які являють собою сукупність ряду точок, спільних для поверхонь, що перетинаються. Лінії взаємного перетину поверхонь можуть бути плоскими або просторовими.

При перетині гранних поверхонь лінії перетину мають ряд замкнутих ламаних ліній. Лінії перетину двох кривих поверхонь, являють собою здебільшого просторові криві, але в окремих випадках можуть бути плоскими (еліпсами, колами тощо) або прямим. При перетині гранної поверхні з кривою лінія перетину має форму кривої з точками зламу на ребрах багатогранника.

Для побудови ліній взаємного перетину поверхонь необхідно знайти точки, які належали б одночасно цим поверхням. Пошук точок лінії перетину слід насамперед починати з опорних точок.

Сформулюємо загальне правило: 1. Перетинаємо задані поверхні допоміжним елементом –

посередником. 2. Визначаємо лінії перетину посередника з кожною поверхнею

окремо. 3. Знаходимо точки перетину отриманих ліній.

В якості посередників можна використовувати: • площини особливого положення; • площини загального положення; • допоміжні сфери ...

Посередники слід вибирати так, щоб вони перетинали дані поверхні по лініях, проекції яких є графічно легкими для побудови. Отримані точки необхідно сполучити між собою у певній послідовності. Останнім етапом вирішення задачі на перетин поверхонь є визначення видимості окремих частин лінії перетину.

3.2.1. Взаємний перетин багатогранників Побудову лінії взаємного перетину багатогранних поверхонь

можна виконати двома способами, комбінуючи їх між собою або використовуючи з них той, який в залежності від умов завдання дає більш прості побудови. Ось ці способи:

1. Визначають точки, у яких ребра однієї з поверхонь перетинають грані другої і ребра другої перетинають грані першої (задача на перетин прямої лінії з площиною). Побудовані точки

125

сполучаємо в певному порядку прямими лініями, отримуючи ламану, ланки якої є лініями перетину граней першого багатогранника з гранями другого. Ця ламана і буде лінією перетину двох багатогранників. Сполучати можна лише ті точки, які лежать на одних і тих же гранях кожного багатогранника.

2. Визначають відрізки прямих, по яких грані однієї поверхні перетинають грані іншої (задача на перетин двох площин між собою); ці відрізки є ланками ламаної лінії, отриманої при перетині багатогранних поверхонь між собою.

Видимими лініями в кожній проекції будуть лінії перетину видимих граней.

Якщо проекція ребра однієї з поверхонь не перетинає проекції грані другої хоча б на одній з проекцій, то дане ребро не перетинає цієї грані.

Побудувати лінії перетину трикутної призми з трикутною

пірамідою (рис. 3.21).

а) б)

Рис. 3.21

126

Побудова заснована на знаходженні точок перетину ребер одного багатогранника з гранями іншого. На рис. 3.21 показана побудова точок А1 і А2, в яких ребро піраміди SA перетинає гарні DEE1D1 і EFF1E1 призми. Через ребро SA проводимо горизонтально-проекційну площину Q, яка в горизонтальній проекції перетинає ребра призми в точках 1, 2, 3; по цих проекціях знаходимо фронтальні проекції точок перетину площини Q з ребрами призми 1/, 2/, 3/. Визначаємо точки а/1 і а/2, в яких a/s/ перетинається з контуром 1/2/3/. Точки а/1 і а/2 – фронтальні проекції точок зустрічі ребра SA з гранями призми; горизонтальні проекції цих точок – точки а1 і а2 – знаходяться на горизонтальній проекції ребра SA.

Аналогічно знаходимо точки В1, В2, С1, С2 перетину ребер SB і SC з гранями призми.

Після цього знаходимо перетин ребер призми з гранями піраміди, також проводячи допоміжні горизонтально-проекційні площини. Точки D2 і D3 – точки перетину ребра DD1 з граннями піраміди. Ребра ЕЕ1 і FF1 з гранями піраміди не перетинаються.

3.2.2. Взаємний перетин кривих поверхонь 3.2.2.1. Спосіб допоміжних січних площин Побудувати лінію перетину сфери з конусом обертання (рис. 3.22). Для побудови лінії перетину заданих поверхонь доцільно

використати серію допоміжних горизонтальних площин, перпендикулярних до осі конуса, які перетинають сферу і конус по колах. На перетині цих кіл визначають точки шуканої лінії.

Побудову починають з визначення опорних точок. Для цього через осі конуса і сфери проводять фронтальну площину рівня Р, яка перетинає конус по контурних твірних, а сферу по максимальному діаметру. У перетині фронтальних проекцій контурних твірних конуса і максимального діаметру сфери отримуємо точки 1/ і 2/. Горизонтальні проекції цих точок розміщені на горизонтальному сліді площини Р. Проекції 3/, 3 і 4/, 4, що лежать на екваторі сфери, знаходимо за допомогою горизонтальної площини рівня Q (Qv), яка проходить через центр сфери О (о/). Вона перетинає сферу по екватору, а конус по колу радіуса rq. У перетині їх горизонтальних проекцій знаходимо горизонтальні проекції 3, 4 точок шуканої лінії

127

перетину. Ці точки – точки видимості, вони розділяють горизонтальну проекцію лінії перетину на видиму і невидиму частини.

Проекції проміжних точок 5, 5/ і 6, 6/ знаходимо за допомогою допоміжної горизонтальної площини Т (Тv). Аналогічно побудовані інші точки.

Сполучивши однойменні проекції побудованих точок плавною лінією, отримаємо проекції ліній перетину. У фронтальній площині проекцій видима і невидима частини лінії перетину будуть збігатися.

Рис. 3.22 3.2.2.2. Спосіб допоміжних січних сфер Якщо вісь поверхні обертання проходить через центр сфери і

сфера перетинає цю поверхню, то лінія перетину сфери і поверхні обертання – коло, площина якого перпендикулярна до осі поверхні обертання. При цьому, якщо вісь поверхні обертання паралельна площині проекцій, то лінія перетину на цю площину проекціюується у відрізок прямої лінії. Ця властивість використовується для побудови лінії взаємного перетину двох поверхонь обертання за допомогою січних сфер. При цьому можуть використовуватися концентричні та ексцентричні сфери.

128

Спосіб допоміжних концентричних (з постійним центром) сферичних перетинів

Спосіб січних сфер з постійним центром для побудови лінії перетину двох поверхонь використовують за умов, якщо:

• обидві перетинні поверхні – поверхні обертання; • осі поверхонь обертання перетинаються; точку перетину приймають за центр допоміжних концентричних сфер; • площина, утворена осями поверхонь (площина симетрії), паралельна площині проекцій.

Побудувати лінії перетину двох конусів (рис. 3.23). Побудову починаємо з визначення проекцій опорних точок.

Для цього через осі конусів проводимо фронтальну площину рівня Р, яка перетинає конуси по контурних твірних у фронтальній площині проекцій. У перетині фронтальних проекцій твірних отримуємо точки 1/, 2/, 3/, 4/. Горизонтальні проекції цих точок розміщені на горизонтальному сліді площини Р.

Точки 5, 6, 7, 8 в яких на горизонтальній площині проекцій відбувається розподіл на видиму та невидиму частини, знаходимо за допомогою горизонтальної площини Т, яка проходить через ось горизонтального конуса.

Наступні побудови виконаємо за допомогою січних концентричних сфер. Сфери будемо проводити з центра О (о, о/) – точки перетину осей конусів.

На площині проекцій V з точки о/ проводимо коло найменшим радіусом Rmin та приймаємо це коло за фронтальну проекцію січної сфери мінімального радіуса (сфера дотична до обох поверхонь або дотична до одної і перетинна з другою). Ця сфера перетинає конуси по колах, які проекціюються на фронтальну площину проекцій у вигляді відрізків a/b/, c/d/, e/g/. На перетині цих відрізків знаходимо точки 9/, 10/, 11/, 12/, які є фронтальними проекціями точок лінії перетину поверхонь. Осі конусів паралельні фронтальній площині проекцій, тому видимі і невидимі проекції цих точок у фронтальній площині проекцій будуть збігатися. Горизонтальні проекції точок знаходимо за допомогою ліній зв’язку на горизонтальній проекції кола, утвореного при перетині вертикального циліндра сферою мінімального радіуса.

129

Вибираючи сферу максимального радіуса, слід мати на увазі, що вона має проходити через найбільш віддалену опорну точку. Для визначення проміжних точок, які належать лінії взаємного перетину, у проміжку між найбільшою і найменшою сферами розміщуємо ще кілька сфер.

Сполучивши однойменні проекції побудованих точок плавною лінією, отримаємо проекції ліній перетину. У фронтальній площині проекцій видима і невидима частини лінії перетину будуть збігатися.

Рис. 3.23

130

Вплив відношення розмірів поверхонь на лінію їх взаємного перетину

Залежність ліній перетину поверхонь обертання від співвідношення між собою їх розмірів розглянемо на прикладі двох циліндрів і циліндра з конусом (рис. 3.24; 3.25).

Рис. 3.24 Рис. 3.25

Зміни проекції лінії перетину вертикального і горизонтального циліндрів в залежності від зміни співвідношення діаметрів d1 вертикального і d2 горизонтального циліндрів показано на рис. 3.24. З наближенням значення діаметру d1 вертикального циліндру до діаметру d2 горизонтального циліндру лінія перетину все більше прогинається вниз. Коли діаметри дорівнюють один одному,

131

виникає перелом, а плавна лінія перетину перетворюється на дві плоскі еліптичні криві, які проекціються в два відрізки і площини яких перетинаються між собою під прямим кутом. При подальшому збільшенні діаметра d1 вертикального циліндра (d1>d2) загальний напрям лінії перетину змінюється.

Зміни проекції лінії перетину прямих кругових конуса і циліндра в залежності від кута при вершині конуса показано на рис. 3.25. У випадках (а, б) перетин конуса з циліндром відбувається по лінії 4-го порядку. Вона поділяє конус на дві частини, одна з яких прилягає до вершини, друга – до основи (конус “врізається” в циліндр). У випадку (в) конус і циліндр дотичні до одної сфери і перетинаються по двох плоских перетинних між собою еліптичних кривих 2-го порядку, які проекціюються у відрізки прямих. У випадку (г) лінії їх перетину розділяють циліндр на дві частини (циліндр “врізається” в конус).

Спосіб допоміжних ексцентричних сферичних перетинів Спосіб допоміжних ексцентричних сферичних перетинів

(січних сфер з перемінним центром) для побудови лінії перетину двох поверхонь використовують якщо:

• одна з перетинних поверхонь – поверхня обертання, інша поверхня має кругові перетини; • обидві поверхні мають загальну площину симетрії (тобто вісь поверхні обертання і центри кругових перетинів другої поверхні належать одній площині – площині їх симетрії); • площина симетрії паралельна площині проекцій.

Побудувати лінію перетину прямого кругового конуса з тором

за умови, що вісь конуса лежить у площині, яка проходить через середню лінію тора (рис. 3.26).

Ось конуса паралельна площині V, ось тора перпендикулярна до площини V, коло центрів осевих кругових перетинів тора та ось конуса лежать в одній площині, паралельній площині V.

Побудову починаємо з визначення проекцій опорних точок. Для цього через осі обох поверхонь проводимо загальну площину симетрії Р, яка перетинає обидві поверхні по контурних твірних у фронтальній площині проекцій. У перетині фронтальних проекцій

132

твірних отримуємо точки 1/ і 2/. Горизонтальні проекції цих точок розміщені на горизонтальному сліді площини Р.

Для побудови проміжних точок знаходимо центри січних сфер.

Рис. 3.26 Для цього проводимо кілька фронтально-проекційних площин

Р1 і Р2, які проходить через ось тора і перетинають його по колах з центрами в точках о/1 і о/2. Далі через центр о/1 проводимо пряму, перпендикулярну до площини Р1, а отже, і до площини кола, та продовжуємо її до перетину з віссю циліндра в точці с/1. Проведена пряма дотична до середньої лінії тора.

133

Беремо точку с/1 за центр і проводимо коло так, щоб воно пройшло через кінці відрізка, у який проекіюється коло з центром о/1, тобто через кінці е/1 і е/2 діаметра цього кола. Прийнявши коло за січну кулю, легко помітити, що вона перетинає кільце і циліндр по колах, проекціями яких на площині проекцій V є відрізки е/1е/2 і d/1d/2. Перетин відрізків визначає спільні точки 3 і 4 лінії перетину цих поверхонь. Горизонтальні проекції точок знаходимо за допомогою ліній зв’язку.

Аналогічно знаходимо центр с/2 для другої січної кулі, від перетину якої з тором і циліндром знаходимо точки 5 і 6 лінії їх перетину.

Сполучивши плавною кривою однойменні проекції побудованих точок, отримаємо проекції ліній перетину.

3.2.3. Лінії перетину і переходу в техніці На кресленнях деталей машин лінії перетину та лінії переходу

різних поверхонь зустрічаються досить часто. Іноді ці лінії є складними лекальними кривими, для побудови яких необхідно знайти велику кількість точок.

На кресленні лінії перетину поверхонь зображаються суцільною основною лінією, товщиною “S” (рис. 3.27).

Рис. 3.27 Рис. 3.28 У місцях спряження поверхонь литих і штампованих деталей

немає чіткої лінії перетину (рис. 3.28). Уявною лінією перетину називається лінія переходу та умовно зображається на кресленні суцільною тонкою лінією, товщиною S/2 – S/3.

Побудова ліній перетину і переходу іноді вимагає значної точності.

Лінії взаємного перетину будують способом допоміжних площин, способом сфер або їх поєднанням. Для правильного вибору способу побудови спочатку визначають поверхні, які складають форму деталі.

134

Для того, щоб креслення було більш простим і зрозумілим, а також з метою економії часу у процесі його виконання, ГОСТ 2.305— 68 встановлює певні умовності та спрощення, зокрема, плавний перехід від однієї поверхні до іншої зображується умовно (рис. 3.29) або зовсім не зображується.

Рис. 3.29


1. У чому полягає загальний спосіб побудови перерізу поверхні

площиною? 2. Що називається перерізом поверхні? 3. У чому суть “методу ребер”, “методу граней”? 4. Побудувати три проекції перетину геометричної поверхні

площиною загального положення і три проекції фігури перерізу (рис. 3.30).

5. Які лінії отримують при перетині циліндра, конуса, сфери? 6. У яку криву проекціюється еліпс, отриманий при перетині

конуса обертання, на площину, перпендикулярну до осі конуса? 7. Які лінії називають лініями зрізу? 8. У чому полягає суть способу побудови точки перетину

прямої з поверхнею? 9. Побудувати точки входу і виходу відрізка прямої АВ при

перетині сфери (рис. 3.31). 10. У чому відмінність між розрізом і перерізом? 11. У чому суть способу побудови лінії перетину двох поверхонь? 12. Які точки належать до опорних при побудові лінії

перетину двох поверхонь? 13. Як побудувати лінію перетину однієї гранної поверхні з іншою? 14. Якого положення і у яких випадках доцільно застосовувати

допоміжні січні площини при перетині двох поверхонь?

135

15. Суть способу допоміжних сфер. 16. Побудувати проекції ліній перетину двох конусів (рис. 3.32).

Рис. 3.30 Рис. 3.31

Рис. 3.32

_________________________________________________________________

136

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ І РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 1. Арустамов Х.А. Сборник задач по начертательной

геометрии. Изд. 9-е, стереотип. Учебное пособие для студентов вузов. – М.: Машиностроение, 1978. – 445 с. с ил.

2. Боголюбов С.К. Черчение: Учебник для средних учебных заведений. 2-е изд. испр. – М.: Машиностроение, 1989. – 304 с.

3. Бубенников А.В. Начертательная геометрия. Учеб. для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 288 с.

4. Гордон В.О., Иванов Ю.Б., Солнцева Т.Е. Сборник задач по курсу начертательной геометрии. – М.: Наука, 1971. – 352 с., с ил.

5. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. – М.: Наука, 2002. – 272 с.

6. Збірник задач з інженерної та комп’ютерної графіки: Навч. посіб. / В.Є. Михайличенко, В.М. Найдиш, А.М. Підкоритов, І.О. Скидан – К.: Вища школа, 2002. – 159 с.: іл.

7. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. – М.: Машиностроение, 1995. – 223 с.

8. Інженерна та комп’ютерна графіка: Підручник / В.Є. Михайличенко, В.М. Найдиш, А.М. Підкоритов, І.О. Скидан – К.: Вища школа, 2001. – 350 с.: іл.

9. Кирилов А.В. Черчение и рисование: Учебник для строит. техникумов. 4-е изд. перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1987. – 352 с.

10. Короев Ю.И. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов. – М.: Стройиздат, 1987. – 319 с.

11. Локтев О.В. Крат курс начертательной геометрии. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 136 с.

12. Миронов Б.Г., Миронова Р.С. Черчение: Учеб. пособие для машиностроительных специальностей сред. спец. учеб. заведений. – М.: Машиностроение, 1991. – 288 с.: ил.

13. Навчально-методичний комплекс професійно-орієнтованих дисциплін напряму підготовки 6.010103. Технологічна освіта: Навчальний посібник / Під ред. В.І. Амелькін. – Донецьк: ТОВ «Юго-Восток, Лтд», 2008. – 385 с.

14. Нарисна геометрія. Практикум: Навч. посібник / За ред. проф. Є.А.Антоновича. – Львів: Світ, 2004. – 528 с., іл.

15. Начертательная геометрия. – Харьков: Издатель Шуст А.И., 2002. – 208 с.

137

16. Павлова А.А., Глазкова И.В. Начертательная геометрия: Практикум для студ. высш. учеб. заведений: В 2 ч. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – Ч. 1. – 96 с.: ил.

17. Павлова А.А., Глазкова И.В. Начертательная геометрия: Практикум для студ. высш. учеб. заведений: В 2 ч. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – Ч. 2. – 96 с.: ил.

18. Павлова А.А. Начертательная геометрия: учеб. для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. – 304 с.: ил.

19. Романычева Э.Т., Соколова Т.Ю., Шандурина Г.Ф. Инженерная и компьютерная графика. – 2-е изд., перераб. – М.: ДМК Пресс, 2001. - 592 с.: ил.

20. Русскевич Н.Л. Начертательная геометрия. – К.: Вища школа, 1978. – 312 с.

21. Техническое черчение / Е.И. Годик, В.М. Лисянский, В.Е. Михайленко, А.М. Пономарев. – 5-е изд. – К.: Вища шк. Головное изд-во, 1983. – 439 с.

22. Фольта О.В., Антонович Є.А., Юрловський П.В. Нарисна геометрія: Навчальне видання. – Львів: Світ, 1994. – 304 с., іл.

23. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. № 2120 «Общетехнические дисциплины и труд». - М.: Просвещение, 1987. – 400 с.: ил.

24. Черчение: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов / Д.М.Борисов, Е.А.Василенко. Под ред. Д.М.Борисова – 2-е изд. доп. и перераб. – М.: Просвещение, 1987. – 215 с.

25. Четверухин Н.Ф. Начертательная геометрия. – 2-е изд., доп. и перераб. – М.: Высш. шк., 1963. – 420 с.

138

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК

А Аксонометрія 91

– косокутна 93, 100, 102, 104 – прямокутна 93, 98

Б Багатогранник 64, 65

В Вершина 65, 68, 74 Взаємне положення

– двох площин 33, 34, 37, 38, 41 – прямої лінії і площини 34,

35, 38, 39 Вигляди 81 Викривленість 58

Г Гелікоїд

– похилий (косий) 72 – прямий 72

Гіперболоїд – двопорожнинний 76 – однопорожнинний 75, 76

Горизонталь 32 Горло 74 Грань 65

Д Дотична

– лінія 59, 79 – площина 79

Е Екватор 74 Еліпсоїд 76 Епюр Монжа 14, 16

І Інцидентність 10

К Коефіцієнт спотворення 92 Комплексне креслення

– моделі 81 – точки 16 – прямої 19

Коноїд 71 Конус 69, 75 Креслення 8

– вимоги до креслення 8 Кривина лінії 58 Криві лінії 57…62 Криві Персея 113

Л Лінія 10

– гвинтова 61, 62 – дотична 59, 79 – зв’язку 16 – зрізу 11 – найбільшого нахилу

площини 32 – перетину 105, 133 – переходу 133 – схилу 32

М Меридіан 74 Метод

– граней 105 – Монжа 14 – проекцій 10 – прямокутного трикутника 22 – ребер 105

139

Н Напрямна 63, 67, 69, 70 Нарисна геометрія 7

– задачі нарисної геометрії 7 Нормаль 59, 79

О Октант 17 Особливі точки кривої 59

П Параболоїд 76 Паралель 73 Переріз 105, 123 Перетворення креслення 43

– заміна площин проекцій 43 – обертання 43, 47, 48, 53 – плоскопаралельне

переміщення 51 – суміщення 55

Перетин – багатогранників 105, 109, 124 – кривих поверхонь 111, 119,

126…133 Площина

– дотична 79 – загального положення 26, 27 – коса 71 – нормальна 60 – особливого положення 27 – паралелізму 70 – проекцій 11, 14, 17 – проекційна 29, 30 – рівня 27, 28 – спрямна 60 – стична 60

Поверхні 10, 63 – гвинтові 72 – каналові 78

– конічні 68

– лінійчаті 64, 66

– нелінійчаті 64, 66

– нерозгортні 64, 70

– обертання 73

– розгортні 64, 66

– циклічні 78

– циліндричні 67

Посередник 124 Проекційна пряма 11 Проекціювання 10

– ортогональне 13 – паралельне 12 – центральне 11

Профіль 32 Прямі

– загального положення 19

– мимобіжні 25

– особливого положення 20

– паралельні 24

– перетинні 25

– проекційні 21

– рівня 20, 22

Р

Ребро 65

Розгортання поверхонь 83, 84,

86, 87

– умовні розгортки 90 Розріз 122

С Сліди

– площини 26 – прямої 24

Спосіб – допоміжних січних площин 126

140

– допоміжних ексцентричних сферичних перетинів 131

– допоміжних концентричних сферичних перетинів 128

– нормального перерізу 84 – розгортання 86 – трикутників 87

Сфера 76

Т Твірна 63, 67, 69, 73 Тор 77 Торс 69 Точки

– виходу 109 – входу 109 – конкуруючі 25 – опорні 105

Ф Фронталь 32

Ц Центр проекцій 11 Циліндр 67, 75 Циліндроїд 70

Ч Чверть 14

Ш Шаг гвинтової лінії 61

Навчальне видання

Буянов Павло Георгійович

ОСНОВИ НАРИСНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Навчально-методичний посібник

Редактор Д. В. Мілешко Коректор С. М. Глазова

Комп’ютерна верстка П. Г. Буянов Технічний редактор Ю. М. Федюшкіна

Надруковано з оригіналмакету, наданого автором

Підписано до друку 28.10.2009 р. Формат 60х84/16. Папір офсетний.

Гарнітура «Book Antiqua». Друк — лазерний. Ум.-друк. арк. 8,19. Обл.-вид. арк. 7,78.

Наклад 300 прим. Зам. № 131.

Видавництво та друк ТОВ «Юго-Восток, Лтд». 83055, Донецьк, вул. Щорса, 17.

Тел./факс: (062) 305-50-13. E-mail: [email protected]; [email protected] Свідоцтво про держреєстрацію: серія ДК №1224 від 10.02.2003 р.

ОСНОВИ НАРИСНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Documents

Transcript of ОСНОВИ НАРИСНОЇ ГЕОМЕТРІЇ