OSCILACIONES Y ONDAS

Notas de clase

Alicia Guerrero de Mesa

Departamento de Fısica

Facultad de Ciencias

Universidad Nacional de Colombia

Contenido

Presentacion VII

1. Osciladores libres con un grado de libertad 1

1.1. Osciladores armonicos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. El resorte de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3. Masa en el centro de cuerda sobre plano horizontal . . . 6

1.1.4. Circuito LC sin resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.5. Observaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.6. Puntos de equilibrio de los osciladores . . . . . . . . . . 10

1.1.7. Conservacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Osciladores libres amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1. Rectificacion del modelo, nuevas ecuaciones . . . . . . . 12

1.2.2. Decaimiento de la energıa y factor de calidad . . . . . . 14

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. El oscilador simple amortiguado y forzado 19

2.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Solucion de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Analisis fısico de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1. Evolucion del estado transitorio al estado estacionario . . 24

2.3.2. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.3. Absorcion de potencia, curva de resonancia . . . . . . . 28

2.3.4. Factor de calidad de un oscilador forzado . . . . . . . . 31

2.4. Principio de superposicion de fuentes . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5. Modelo clasico de interaccion radiacion-atomo . . . . . . . . . . 35

2.6. Fuerza externa aplicada a traves de un soporte movil . . . . . . 37

2.6.1. Resorte horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6.2. Sismografo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

i

ii CONTENIDO

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Sistema libre de dos osciladores acoplados no amortiguados 45

3.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1. Pendulos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2. Masas acopladas a resortes sobre superficie horizontalsin friccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.3. Masas acopladas por cuerdas sobre plano horizontal sinfriccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.4. Dos circuitos LC acoplados por condensador . . . . . . . 48

3.2. Solucion de las ecuaciones acopladas . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3. Interpretacion fısica de la solucion. Modos normales . . . . . . . 50

3.4. Metodo del determinante secular . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5. Diagonalizacion de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . 55

3.6. Osciladores acoplados inercial o inductivamente . . . . . . . . . 58

3.7. Diagonalizacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8. Pulsaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.9. Intercambio de energıa en las pulsaciones . . . . . . . . . . . . 64

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4. Sistema de dos osciladores amortiguados y forzados 67

4.1. Sistema amortiguado sin fuerza externa . . . . . . . . . . . . . 68

4.2. Sistema amortiguado y forzado armonicamente . . . . . . . . . 69

4.2.1. Ecuaciones de movimiento y solucion general . . . . . . 69

4.2.2. Analisis fısico de la respuesta estacionaria . . . . . . . . 71

4.2.3. Absorcion de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.4. Absorcion resonante como instrumento de analisis . . . . 74

4.2.5. Protector antivibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3. Solucion de las ecuaciones de movimiento mediante coordenadasnormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.1. Sistema amortiguado no forzado . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.2. Sistema amortiguado y forzado . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4. Sistema acoplado por resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5. Sistemas no solubles mediante uso de coordenadas normales . . 83

4.6. Relevancia del sistema de dos osciladores acoplados . . . . . . . 85

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5. Sistema de N osciladores acoplados 89

5.1. Redes de osciladores identicos sin friccion ni fuerza externa . . . 90

5.1.1. Red de pendulos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . 90

OSCILACIONES Y ONDAS iii

5.1.2. Red de masas acopladas por resortes . . . . . . . . . . . 91

5.1.3. Red de masas acopladas por cuerdas . . . . . . . . . . . 91

5.1.4. Red de circuitos LC acoplados por condensadores . . . . 92

5.1.5. Red de inductancias acopladas por condensadores . . . . 93

5.2. Diagonalizacion de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . 94

5.2.1. Sistemas libres no amortiguados . . . . . . . . . . . . . 94

5.2.2. Sistemas amortiguados y forzados . . . . . . . . . . . . 95

5.3. Teorema fundamental sobre pequenas oscilaciones . . . . . . . . 98

5.4. Metodo alternativo de solucion mediante condiciones defrontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5. Solucion con condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.6. Aplicacion de condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.6.1. Sistemas con extremos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.6.2. Sistemas con extremos libres . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.7. Analisis del espectro de frecuencias normales . . . . . . . . . . . 106

5.8. Relaciones de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6. Redes lineales forzadas armonicamente 115

6.1. Respuesta estacionaria de una red forzada armonicamente . . . 116

6.1.1. Respuesta resonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.1.2. Respuesta elastica: rasgos generales . . . . . . . . . . . 116

6.2. Respuesta elastica en el rango dispersivo . . . . . . . . . . . . . 119

6.3. Respuesta elastica en el rango reactivo inferior . . . . . . . . . . 121

6.4. Respuesta elastica en el rango reactivo superior . . . . . . . . . 124

6.5. Conclusiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.6. Medios reactivos y dispersivos acoplados . . . . . . . . . . . . . 127

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7. Lımite continuo. Ondas viajeras y evanescentes 133

7.1. Ecuacion de onda clasica y de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . 134

7.2. Condiciones de frontera y modos normales . . . . . . . . . . . . 136

7.3. Analisis comparativo de la relacion de dispersion . . . . . . . . . 138

7.4. Red continua forzada armonicamente en un extremo . . . . . . 140

7.4.1. Solucion estacionaria no resonante . . . . . . . . . . . . 140

7.4.2. Respuesta en el rango dispersivo de frecuencias . . . . . 140

7.4.3. Respuesta en el rango reactivo inferior . . . . . . . . . . 141

7.5. Ondas armonicas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.6. Ondas exponenciales o evanescentes . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.7. Ondas electromagneticas en la ionosfera . . . . . . . . . . . . . 147

iv CONTENIDO

7.8. Ondas electromagneticas en los metales . . . . . . . . . . . . . 151

7.9. Ondas amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8. Analisis de Fourier y propagacion de senales 161

8.1. Teorema de Fourier para funciones periodicas . . . . . . . . . . 162

8.2. Aplicaciones del analisis armonico a funciones periodicas . . . . 165

8.2.1. Determinacion de constantes arbitrarias a partir decondiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.2.2. Analisis armonico de una senal periodica . . . . . . . . . 166

8.3. Teorema de Fourier para funciones no periodicas . . . . . . . . . 168

8.4. Espectro de frecuencias de un emisor armonico amortiguado . . 170

8.5. Propagacion de paquetes de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.5.1. Ondas no dispersivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.5.2. Ondas dispersivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.6. Tecnicas de modulacion de amplitud, fase y frecuencia . . . . . 175

8.7. Relaciones de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.8. Paquetes y pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8.8.1. Paquete gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8.8.2. Paquete cuasiarmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8.8.3. Pulso de duracion finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9. Ondas sonoras 189

9.1. Sonido, ultrasonido, infrasonido y ruido . . . . . . . . . . . . . 190

9.2. Ondas transversales en cuerda no dispersiva . . . . . . . . . . . 192

9.3. Ecuacion de ondas dispersivas en cuerda semirrıgida . . . . . . . 195

9.4. Ecuacion de onda bidimensional en membrana elastica . . . . . 197

9.5. Modos normales de una membrana rectangular . . . . . . . . . 199

9.6. Ondas longitudinales en varillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

9.7. Ondas longitudinales en tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . 204

9.8. Condiciones de frontera y modos normales en un tubo sonoro . . 208

9.9. Sonido musical, armonıa y disonancia . . . . . . . . . . . . . . . 210

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10.Ondas electromagneticas 215

10.1. Ondas de corriente y voltaje en lıneas de transmision . . . . . . 216

10.2. Teorıa electromagnetica de la luz. Espectro de la radiacion . . . 221

10.3. Ondas electromagneticas en el vacıo . . . . . . . . . . . . . . . 224

10.4. Ondas electromagneticas en medios dielectricos transparentes . . 225

OSCILACIONES Y ONDAS v

10.5. Ondas planas monocromaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22710.6. Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23110.7. Ondas electromagneticas en medios conductores . . . . . . . . . 23310.8. Guıas de ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

10.8.1. Modos TE y TM en una guıa de Ondas . . . . . . . . . 23610.8.2. Campos en guıa de seccion rectangular . . . . . . . . . . 237

10.9. Cavidades resonantes, modos normales del campo EM . . . . . . 24210.10.Transporte de informacion en fibras opticas . . . . . . . . . . . 245Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Apendices 253

A. La ecuacion del oscilador electromagnetico en aproximacion

cuasiestatica a partir de las ecuaciones de Maxwell 253

A.1. Circuito RLC en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253A.2. Circuito RLC en serie con fuente de voltaje . . . . . . . . . . . 257A.3. Significado fısico de la integral de lınea del campo electrico . . . 258A.4. Acerca de una “ley” de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

B. Osciladores no lineales 261

B.1. Oscilaciones transversales de masa entre dos resortes . . . . . . 261B.2. Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262B.3. Osciladores con termino cuadratico en la fuerza recuperadora . . 265B.4. Modelo no lineal de dielectrico en campo externo . . . . . . . . 267B.5. Sistemas conservativos no lineales en el espacio de fase . . . . . 269

B.5.1. Oscilador asimetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269B.5.2. El pendulo simple sin serie de Taylor . . . . . . . . . . . 271

C. Ondas no dispersivas 277

C.1. Teorema de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277C.2. Interpretacion fısica de la solucion general . . . . . . . . . . . . 279

C.2.1. Enfoque espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279C.2.2. Enfoque temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

C.3. Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281C.4. Interpretacion causal de la solucion al problema de Cauchy . . . 283

Presentacion

Esta es la edad de los metodos, y la universidad, que

debe ser el exponente de la situacion contemporanea

de la mente humana, debe ser la universidad de los

metodos.

Charles Sanders Peirce

Nuestro punto de partida es el oscilador armonico, considerado como funda-mento de todos los procesos ondulatorios. A partir de este elemento simple,construimos redes de osciladores que, en el lımite continuo, satisfacen ecuacio-nes de onda.

Nuestro metodo: el avance constructivo de lo simple a lo complejo; del osci-lador armonico a las ondas en medios materiales, guıas o fibras opticas; de laabstraccion y generalidad de los modelos matematicos a la interpretacion fısicay la aplicacion concreta.

Nuestra motivacion central: la universalidad de los procesos oscilatorios y on-dulatorios. Esta universalidad radica en que sistemas fısicos diferentes (mecani-cos y electromagneticos, microscopicos y cosmologicos, solidos, lıquidos, gasesy aun el vacıo) satisfacen ecuaciones de osciladores o de ondas de identica for-ma matematica. No importa si lo que oscila son partıculas que se desplazanalrededor de posiciones de equilibrio, o cargas en condensadores y corrientesen circuitos, o campos electricos y magneticos en el vacıo, o ciertas amplitu-des cuanticas de probabilidad. Conceptos como: resonancia, modos normales,relaciones de incertidumbre, analisis de Fourier y propagacion de ondas, tienenvastos campos de aplicacion que trascienden los lımites de la fısica clasica yrevelan una identidad estructural en fenomenos sin conexion aparente. Esta uni-versalidad confiere al curso de Oscilaciones y ondas un caracter interdisciplina-rio, donde pueden residir al mismo tiempo su interes y cierto grado de dificultad.

Nuestro proposito inmediato: sentar las bases matematicas y fısicas para estu-dios mas especıficos en mecanica cuantica, optica, materia condensada y fluidos,sistemas no lineales, sistemas biologicos, teorıa de circuitos, redes neuronales,etcetera.