Olá professor (a)!

A Prova Paraná tem a finalidade de fornecer informações sobre os conhecimentos

dos estudantes nas disciplinas de Língua Portuguesa e Matemática. A partir dos

resultados é possível redirecionar as ações educacionais para atender as fragilidades

apontadas por este processo diagnóstico.

Na disciplina de Matemática, apresenta-se, como sugestão, um material pedagógico,

ou seja, sequências de aulas a serem desenvolvidas até a próxima edição da Prova

Paraná. Este material contem indicações de itens e possíveis encaminhamentos

metodológicos para auxiliá-lo na sua prática docente. É mais uma possibilidade de

trabalho que pode contribuir para o processo de ensino-aprendizagem.

Esse material propõe que os itens sugeridos e os possíveis encaminhamentos se

adequem ao tempo de uma aula. Vale lembrar que os itens selecionados não são

inéditos, porém estão relacionados à Matriz de Referência da Prova Paraná.

Aula 1 – 3.ª série do Ensino Médio

Professor, para essa aula foram selecionados dois descritores relacionados à Geometrias.

D01 – Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de

proporcionalidade.

Por meio deste descritor pretende-se avaliar a habilidade de o estudante reconhecer a

semelhança entre figuras geométricas a partir de um fator de proporcionalidade dado, ou

então obter o fator de proporcionalidade a partir de figuras que sejam semelhantes. Os

conhecimentos são avaliados por meio de situações-problema, explorando situações

cotidianas que envolvam a ideia de proporcionalidade. Os itens 1 e 2 abordam este descritor.

D02 – Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas.

Por meio deste descritor pretende-se avaliar a habilidade de o estudante reconhecer, em um

problema envolvendo figuras planas e espaciais, situações nas quais devem ser usadas as

relações métricas de um triângulo retângulo, principalmente o Teorema de Pitágoras. A

compreensão dos conhecimentos relacionados ao Teorema de Pitágoras pode colaborar na

interpretação e resolução de situações-problema do cotidiano do estudante. Os itens 3 e 4

abordam este descritor.

Item 1

(SAERJ). Laura desenhou, na malha quadriculada abaixo, os triângulos LMN e PQR que são

semelhantes.

Qual é a razão de semelhança entre o triângulo LMN e PQR que Laura desenhou?

(A) 1

2

(B) 2

3

(C) 2

(D) 10

(E) 15

Comentário

O estudante, para resolver este item, precisa compreender que se os triângulos são

semelhantes, implica os ângulos correspondentes serem congruentes e os lados

correspondentes serem proporcionais. Na figura os LMN e PQR são semelhantes, então:

𝐿𝑀

𝑃𝑄=

𝑀𝑁

𝑄𝑅=

𝐿𝑁

𝑃𝑅= 𝐾

Onde k é a razão de semelhança.

Substituindo a medida dos lados do triângulo em uma das igualdades, tem-se: 𝐿𝑀

𝑃𝑄= 𝐾

4

8= 𝐾

𝐾 =1

2

Logo, a razão de semelhança entre os triângulos é 1

2

Item 2

(Saresp 2007). A figura abaixo mostra duas pipas semelhantes, mas de tamanhos diferentes.

Considerando as medidas conhecidas das duas pipas, o comprimento x mede, em cm

(A) 20.

(B) 25.

(C) 35.

(D) 40.

(E) 60.

Comentário

O estudante, para resolver este item, precisa estabelecer a relação de proporcionalidade

entre os lados correspondentes e as alturas das pipas, já que elas são semelhantes. Logo,

analisando a figura tem-se:

30

75=

𝑥

100

𝑥 = 3000

75

𝑥 = 40

Portanto x = 40 cm.

Professor(a), procure explorar o conhecimento de semelhança utilizando diferentes figuras

geométricas.

Item 3

Funcionários de uma empresa de eletricidade perceberam que uma torre de transmissão de

6 metros de altura corria risco de queda. Para resolver o problema a torre foi sustentada por

dois cabos perpendiculares com extremidades fixas no solo, conforme a figura abaixo. O

ponto P de fixação do cabo maior no solo está situado a 12 metros da base da torre.

Qual a distância, em metros, do ponto Q de fixação do cabo menor à base da torre?

(A) 3

(B) 3√5

(C) 6√5

(D) 6

(E) 12

Comentário

Neste item, o estudante deverá observar os elementos que são dados no problema (altura

e projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa) e em seguida utilizar as relações métricas

do triângulo retângulo, mais especificamente a relação: o quadrado da medida da altura

relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que essa altura

determina sobre a hipotenusa (projeções dos dois catetos sobre a hipotenusa).

ℎ2 = 𝑚. 𝑛

62 = 12. 𝑛

36 = 12𝑛

𝑛 = 3

Logo, a distância do ponto Q de fixação do cabo menor à base da torre é de 3 metros.

Item 4

Lucas e Mateus estão brincando em uma gangorra, como indica a figura:

A altura máxima que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.

Qual o comprimento da gangorra?

(A) 150 cm

(B) 160 cm

(C) 180 cm

(D) 190 cm

(E) 200 cm

Comentário

Para resolver este item, o estudante deverá utilizar o Teorema de Pitágoras. Poderá

também revisar alguns conhecimentos, como por exemplo, transformações de unidades de

medidas de comprimento, já que as medidas expressas na figura estão em unidades

diferentes. Analisando a figura da gangorra, o estudante poderá identificar que as duas

crianças nas posições que se encontram na figura formam um triângulo retângulo.

Aplicando o Teorema de Pitágoras tem-se:

𝑎2 = (180)2 + 602

𝑎2 = 32400 + 3600

𝑎2 = 36000

𝑎 = √36000

𝑎 = 189,73

Logo, o comprimento da gangorra é de aproximadamente 190 cm.

Desafio

(ENA – 2016). Considere uma pirâmide regular com base quadrada de lado 1 e altura também

1, como mostra a figura abaixo.

A área de uma face triangular dessa pirâmide é igual a:

(A) 1

2

(B) √3

2

(C) √5

4

(D) √5

2

(E) √6

4

Comentário

Para resolver este item, o estudante poderá revisar alguns conhecimentos, como área de

figura plana. Analisando a figura o estudante poderia traçar um segmento para representar

a hipotenusa, como na figura abaixo.

Aplicando Teorema de Pitágoras no triângulo em destaque e chamando o segmento AH’

de a tem-se:

(𝑎)2 = (1/2)2 + 12

(𝑎)2 = 1

4+ 1

(𝑎)2 = 5

4

𝑎 =√5

2

Planificando uma das faces triangulares para calcular a área de uma face triangular, tem-

se:

𝐴∆ =𝑏. ℎ

2

𝐴∆ = 1.

√5 2

2

𝐴∆ = √5

4

Logo a área de uma face triangular é √5

4

Professor (a), é interessante explorar o Teorema de Pitágoras não somente com figuras

planas, mas também com figuras espaciais.

Sugestões de procedimentos e estratégias metodológicas:

Sugere-se que o professor estimule o estudante a estabelecer as relações métricas por meio

de semelhança de triângulos; para isso pode-se utilizar materiais como papel cartão ou EVA

para construção. A partir do uso de material manipulável na confecção dos triângulos, é

possível observar que o uso de estratégias diferentes para abordar um conhecimento colabora

no aprendizado do estudante, ao contrário de apenas mostrar as relações formalizadas. Esse

tipo de abordagem permite facilitar a visualização e o entendimento das propriedades

geométricas.

Em relação ao Teorema de Pitágoras sugere-se além de vídeos e materiais manipuláveis,

trabalhar com softwares de geometria dinâmica, como por exemplo, o GeoGebra, para que

os estudantes possam investigar um pouco mais sobre o Teorema. Uma ideia seria partir do

princípio básico de que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das

áreas dos quadrados construídos sobre os catetos em um triângulo retângulo e buscar novas

investigações com outras figuras planas regulares sobre o mesmo. O estudante é incentivado

a construir outras figuras planas regulares sobre os lados do triângulo retângulo a fim de

verificar o Teorema de Pitágoras. Ao final percebe-se uma generalização graças ao

GeoGebra, que não seria fácil perceber sem o uso da ferramenta. Para saber mais sobre

esses encaminhamentos sugeridos, seguem os links abaixo:

Tutorial do GeoGebra: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1786-

6.pdf

Teorema de Pitágoras: fazendo conjecturas com o software geogebra

http://www.editorarealize.com.br/revistas/conedu/trabalhos/TRABALHO_EV056_MD1_SA8_I

D10345_13082016125344.pdf

A demonstração do Teorema de Pitágoras (via experimento) https://www.youtube.com/watch?v=bS-D0XeFMPQ