Módulo de: Matemáticas Financieras Programa de: Especialización en Auditoría Gubernamental...

Contraloría General de la RepúblicaOficina de Capacitación, Producción de Tecnología y

Cooperación Técnica Internacional

Módulo de: Matemáticas FinancierasPrograma de: Especialización en Auditoría Gubernamental

Modalidad: A distancia, Virtual Elaborado por: © José Miguel Cubillos MuncaProfesional Especializado 03 Licenciado en Matemática y FísicaAdministrador Público Especialista en Computación Para la DocenciaBogotá D.C., 2009

Vigilar la gestión sobre el manejo de los rdel control fiscal inspirada en principios morales y éticos.

Tener una administración pública, fundamentada en la eficiencia y en la

Contraloría General de la República

Oficina de Capacitación, Producción de Tecnología y Cooperación Técnica Internacional

Módulo de: Matemáticas Financieras

Programa de: Especialización en Auditoría GubernamentalModalidad: A distancia, Virtual

José Miguel Cubillos Munca

Licenciado en Matemática y Física

Especialista en Computación Para la Docencia

Nuestra Misión: Vigilar la gestión sobre el manejo de los recursos públicos, generando una cultura

del control fiscal inspirada en principios morales y éticos.

Nuestra visión: Tener una administración pública, fundamentada en la eficiencia y en la

moralidad.

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Oficina de Capacitación, Producción de Tecnología y

Programa de: Especialización en Auditoría Gubernamental

ecursos públicos, generando una cultura del control fiscal inspirada en principios morales y éticos.

Tener una administración pública, fundamentada en la eficiencia y en la

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INTRODUCCIÓN

El estudio de las matemáticas financieras tiene una particular relevancia ya que proporciona herramientas que permiten hacer análisis en distintos campos, como en el de los créditos, las inversiones, la financiación de vivienda, la financiación de diferentes inversiones públicas y privadas, la viabilidad financiera de los proyectos de desarrollo, los préstamos en moneda extranjera, la evaluación del riesgo en la inversión y demás temas estrechamente relacionados. Con este módulo, no solamente pretendemos desarrollar un curso formal o típico de matemáticas financieras, sino además profundizar en las matemáticas requeridas en los procesos de evaluación de proyectos de inversión y tomando algunos ejemplos de liquidación de sentencias judiciales en lo contencioso administrativo. Sin embargo, no será del alcance de este curso, las aplicaciones de la matemática financiera a mercados de valores, financiamiento de vivienda de interés social y evaluación del riesgo de inversión. Este módulo está diseñado para ser estudiado en educación virtualizada, llevado a documentos en formato SCORM y administrado a través de un Learning Management System (LMS), se apoya en algunos videos y archivos de Excel que se integrarán al curso. El principal software de apoyo será la hoja electrónica, sin embargo se recomienda el uso de una calculadora financiera; quienes prefieran una Hewllet Packard o una Texas Instruments, se espera dominen su manejo, pueden tomar el curso de manejo de forma particular o dominen el idioma inglés para el estudio de la guía de usuario; en caso contrario se les sugiere una calculadora Casio tipo FC-200 o FC-1000 con manual en español. Este curso se debe desarrollar en un mínimo de 30 horas, dosificadas en seis horas semanales para un total de cinco semanas de aprendizaje dirigido con acompañamiento virtual y aprendizaje autónomo. El módulo hace parte del programa de Especialización en Auditoría Gubernamental.

Interés

Interpretación y diagramas

Conversiones

AnualidadesLiquidación

de sentencias

Tablas de Amortización

Tablas de capitalización

Alternativas de Inversión

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CONTENIDO

1.- INTERES Diagrama de flujo Interés Simple Interés Compuesto Conversión de tasas nominales Conversión de tasas efectivas Conversión nominal a efectivo y efectivo a nominal Anticipado a vencido, vencido a anticipado Intereses en dólares o en unidades de valor real UVR Taller con Excel Tema del foro 2.- ANUALIDADES Equivalencias en el tiempo Valor futuro de un monto presente Valor presente de un monto futuro Valor futuro de una serie uniforme Valor presente de una serie uniforme Valor presente de una serie con gradiente 3.- AMORTIZACIONES Y CAPITALIZACIONES Con cuota fija Con abono constante a capital Con cuota fija y pagos extras Con periodos de gracia Con cuota creciente Capitalizaciones 4.- EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN Valor Presente Neto Tasa interna de retorno Relación beneficio / costo Costo anual equivalente CAE Ordenación de alternativas mutuamente excluyentes Ordenación de alternativas con diferente vida útil

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Unidad Uno: INTERES

Resumen

Los diagramas de flujo representan gráficamente las entradas y salidas de un proyecto, de manera que se establece claramente la proporción y el sentido de cada flujo. Construir en cada caso el diagrama de flujo contribuye significativamente a dar claridad al análisis de la situación. El interés simple se da cuando el capital no es incrementado con los intereses. En realidad su aplicación es baja, presentándose excepcionalmente en créditos interpersonales. El interés compuesto genera capitalización de los intereses. Así el interés generado en cada periodo pasa a aumentar el monto total o saldo del capital. Las tasas de interés pueden clasificarse según la forma de capitalización en: nominal y efectiva; según el momento en que se liquidan: en anticipadas y vencidas. Las tasas pueden ser convertidas a otras equivalentes haciendo uso de las ecuaciones correspondientes. La liquidación de sentencias judiciales considera la duración del año en 365 días, mientras que para el cálculo del interés comercial se redondean a 360 días. Por lo anterior es cuidadoso el ejercicio de calcular los días entre las fechas del proceso, como la ocurrencia del hecho, la fecha de la sentencia, la fecha de resolución de pago y el día del pago mismo.

Grafo de la Unidad

Diagramas de flujo

Conocido también como diagramas de tiempo flujo son construcciones gráficas importantes para el análisis financiero de una empresa o de un proyecto y permiten apreciaciones intuitivas. Algunos autores usan una flecha adicional y dos formas de organizar los flujos de fondos: en sentido positivo o estándar (de izquierda una fecha inicial y se cuenta con un valor futuro; en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene una fecha de vencimiento o final, y un valor entes del vencimiento. SERRANO, J (2007) identifica seis elementos básicos de

1. Escala de Tiempo: representa la unidad de tiempotodas las variables cuyo comportamiento depende del tiempo.

2. Horizonte de tiempo de un proyecto de inversión: corresponde al tiempo total denva a analizar el proyecto de inversión; por ejemplo, la vida útil del proyecto de inversión.

3. Período Básico de Análisis: Corresponde a la unidad de tiempo básica, en la cual se divide todo el horizonte de tiempo de un proyecto de inversión, para su análisis.con una vida útil de 5 años puede dividirse en periodos mensuales, trimeperíodos básicos de análisis. Cuando más pequeño sea el periodo básico de análisis, mas realista va a ser la presentación del proyecto, pero más compleja la solución numérica. La escogencia del periodo básico de análisis debe ser un solución computacional del problema.

4. J-ésimo período básico de análisis: por convención, todos los ingresos y egresos se concentran al final del periodo, sin tener en cuenta la forma como efectivamente se pro

como diagramas de tiempo – valor y diagramas de flujo de caja, los diagramas de gráficas importantes para el análisis financiero de una empresa o de un

proyecto y permiten apreciaciones intuitivas. Algunos autores usan una flecha adicional y dos formas de organizar los flujos de fondos: en sentido positivo o estándar (de izquierda a derecha), si se tuene una fecha inicial y se cuenta con un valor futuro; en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene una fecha de vencimiento o final, y un valor entes del vencimiento. SERRANO, J (2007) identifica seis elementos básicos de u diagrama de flujo:

Escala de Tiempo: representa la unidad de tiempo básica con relación a la cual se van a medir todas las variables cuyo comportamiento depende del tiempo. Horizonte de tiempo de un proyecto de inversión: corresponde al tiempo total denva a analizar el proyecto de inversión; por ejemplo, la vida útil del proyecto de inversión.

Básico de Análisis: Corresponde a la unidad de tiempo básica, en la cual se divide todo el horizonte de tiempo de un proyecto de inversión, para su análisis. Por ejemplo, un proyecto con una vida útil de 5 años puede dividirse en periodos mensuales, trimestrales o anuales como

básicos de análisis. Cuando más pequeño sea el periodo básico de análisis, mas realista va a ser la presentación del proyecto, pero más compleja la solución numérica. La escogencia del periodo básico de análisis debe ser un compromiso entre realismo y simplicidad para la solución computacional del problema.

básico de análisis: por convención, todos los ingresos y egresos se concentran al final del periodo, sin tener en cuenta la forma como efectivamente se pro

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valor y diagramas de flujo de caja, los diagramas de gráficas importantes para el análisis financiero de una empresa o de un

proyecto y permiten apreciaciones intuitivas. Algunos autores usan una flecha adicional y dos formas a derecha), si se tuene

una fecha inicial y se cuenta con un valor futuro; en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene una fecha de vencimiento o final, y un valor entes del vencimiento. SERRANO, J (2007)

básica con relación a la cual se van a medir

Horizonte de tiempo de un proyecto de inversión: corresponde al tiempo total dentro del cual se va a analizar el proyecto de inversión; por ejemplo, la vida útil del proyecto de inversión.

Básico de Análisis: Corresponde a la unidad de tiempo básica, en la cual se divide todo Por ejemplo, un proyecto

strales o anuales como básicos de análisis. Cuando más pequeño sea el periodo básico de análisis, mas realista

va a ser la presentación del proyecto, pero más compleja la solución numérica. La escogencia compromiso entre realismo y simplicidad para la

básico de análisis: por convención, todos los ingresos y egresos se concentran al final del periodo, sin tener en cuenta la forma como efectivamente se producen durante el j-

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ésimo periodo. Corresponde a una convención para simplificar los cálculos, que va a afectar los resultados. A mayor longitud del periodo básico, mayor la fuente de error como consecuencia de esa aproximación.

5. Fechas dentro de un proyecto de inversión: la fecha cero corresponde a la fecha actual o de arranque del proyecto; en muchos proyectos, la inversión inicial se encuentra en la fecha cero; esta fecha corresponde al inicio del primer periodo, mientras que la fecha 'uno' corresponde a la finalización del primer periodo básico de análisis ; todos los ingresos y egresos del proyecto durante el primer periodo básico de análisis, excepto la inversión inicial, se concentran en la fecha 1 o fecha de finalización del primer periodo. La fecha 'dos' corresponde a la fecha de finalización del segundo periodo básico de análisis y así sucesivamente.

6. Flujos de efectivo: los ingresos o flujos de efectivo positivos (como ingresos por ventas, pagos que se reciben por amortización de créditos, intereses obtenidos por una inversión, ingresos por venta de activos, etc.), se representan con flechas hacia arriba. En el caso de los egresos o flujos de efectivo negativos (como inversiones, pagos de intereses por un financiamiento, cuotas que se pagan por gastos de operación, etc.) se utilizan flechas hacia abajo.

Ejemplo 1.1.

Suponga que para un proyecto se hace una inversión de $ 10,000 mensuales durante 20 meses, al final de los primeros quince meses recibe $ 100,000 y al final de los 20 meses recibe un ingreso de $150,000. El diagrama de flujo para este caso, representado la cifras en miles es el siguiente: Tenga en cuenta los siguientes aspectos:

1. La fecha cero da inicio al diagrama. 2. Todos los desembolsos para inversión de 10 mil mensual se representan con flechas de igual

longitud, y como son salidas de efectivo se dibujan hacia abajo. 3. En la mitad del gráfico se hace un símbolo sobre la recta en forma de Z que indica una

contracción en la línea para efectos de poder mostrar los intervalos claves del proyecto. Se interrumpe la serie y se reanuda mucho mas adelante.

4. Los retornos de la inversión en los periodos 15 y 20 se dibujan hacia arriba y tienen una longitud mayor y proporcional al monto.

0 1 2 3 4 5 15 16 17 18 19 20

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

100

150

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Veamos un ejemplo más:

Ejemplo 1.2

Un crédito a dos años por un valor de 100 millones de pesos que se desembolsa en la fecha cero y se va a amortizar en dos pagos iguales, uno al final del primer año y otro al final del segundo año. El interés del crédito es del 20% nominal anual pagadero semestre vencido; esto es, se paga un 10% al final de cada semestre sobre el saldo del crédito al comienzo del semestre. Se decide hacer un abono extraordinario de 15 a la mitad del segundo año. Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: dos años Período básico de análisis: semestre, ya que los intereses se pagan cada seis meses. Diagrama de flujo:

Note que en cada caso las entradas de capital van hacia arriba y las salidas hacia abajo. Es decir ello depende del protagonista, para el banco que presta el diagrama seria invertido, pero para quien recibe el crédito para su proyecto es como aparece en la ilustración.

Actividades de aprendizaje:

Construir el diagrama de flujo para los siguientes casos:

1. Un crédito por 100 millones de pesos a dos años, que se amortiza en cuatro pagos iguales al final de cada semestre. Los intereses son del 24% anual, pagaderos trimestre vencido, sobre saldos; esto es, al final de cada uno de los ocho trimestres, se paga un interés del 6% sobre el saldo al comienzo del trimestre

2. Un bono ordinario con una madurez de 3 años, amortizaciones iguales al final de cada año; intereses del 24% anual pagaderos semestralmente; esto es, a final de cada semestre se paga un 12% sobre el saldo a comienzo de semestre.

3. Un proyecto con vida útil de 5 años, con una inversión de 1.000 millones de pesos, que se

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realiza en la fecha cero. Los flujos netos de fondos para los cinco años son respectivamente de 250, 300, 600, 800 y 1.200 millones de pesos.

4. Un crédito por 80 millones de pesos, que se amortiza en un solo pago al final de dos años. Los intereses son del 24% anual, pagaderos trimestre vencido, sobre saldos; esto es, al final de cada uno de los ocho trimestres, se paga un interés del 6% sobre el saldo al comienzo del trimestre

Interés Simple

El interés simple se da cuando el capital no se ve incrementado como efecto de la acumulación de intereses.

Al designar con K el capital, t el tiempo, i la tasa de interés, se tiene que el interés puede ser real o

comercial. El interés comercial se calcula como: I =Kti360 y el interés real como: I =

Kti365 .

El interés comercial es el tenido en cuenta para todas las operaciones comerciales con excepción de las cuentas de ahorro tipo gana diario, las cuales mediante sistemas computarizados liquidan intereses cada día independiente de si es o no festivo. El interés real se utiliza para hacer liquidaciones de condenas en la jurisdicción contencioso-administrativa y utiliza la duración real de los meses ya sea de 28, 30 o 31 días; mientras que el interés comercial tiene en cuenta cualquier mes como de 30 días.

Para las condenas de la Contraloría General de la República se usa el interés comercial.

Ejemplo 1.3: Calcular el número de meses que hay entre el 13 de febrero de 2000 y el 26 de diciembre de 2006. Con el siguiente cuadro, la operación de hallar las diferencias se hace más fácil:

DIA MES AÑO

26 12 2006

13 02 2000

13 días 10 meses 6 años

Convertimos los 6 años en meses: 6 años X 12 meses = 72 meses

A estos 72 les sumamos los 10 meses = 82 meses

Convertimos los 13 días a meses; como el mes tiene 30 días, dividimos 13 días entre 30:

1330

= 0,433 , es decir los 13 días equivalen a 0,433 meses.

Ejemplo 1.4 Conseguimos un préstamo bancario por $ 1'270.000 durante 276 días, pagando una tasa de interés simple del 26.5% anual. Calcular los intereses pagados.

Es claro que el interés comercial, por lo que tendremos en cuenta al año de 360 días, así:

I =Kti360 ; I=?, K= 1.270.000; i=26.5%; t=276

I =1 ' 270.000× 276× 0,265

360= $ 2.580.216,67

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Por tanto los intereses ascendieron a la suma de $ 2.580.216,67

Ejemplo 1.5 Calcular el interés real que debemos pagar por un préstamo de $ 11'690.000 durante 305 días pagando una tasa de interés simple de 28,76% anual

I =Kti365 ; I=?, K= 11.690.000; i=28,76.5%; t=305

I =11 ' 690.000× 305× 0,2876

365= $ 2 ' 809.379,23

Análisis de caso 1.1 Liquidación del contencioso administrativo1.

Mediante sentencia de segunda instancia, ejecutoriada el 27 de marzo de 2002, el Consejo de Estado impone a una entidad oficial el pago de las sumas de $ 110'000.000 y $ 51.000.000 por concepto de perjuicios materiales y morales a favor de la persona natural demandante. Para acatar el fallo, la entidad condenada efectúa la correspondiente liquidación hasta el día 27 de junio de 2002, fecha de resolución oficial de pago. Si el cheque a que hay lugar se entregó al beneficiario el 24 de agosto de 2002, se pide calcular y sustentar el valor correcto de pago:

Para la liquidación de esta sentencia debemos tener en cuenta lo siguiente:

− La sentencia C-188 de 24 de marzo de 1999, que en uno de sus apartes dice:

“En cuanto al Artículo 177 del Código Contencioso Administrativo, a menos que la sentencia que impone la condena señale un plazo para el pago, evento en el cual, dentro del mismo se pagaron intereses comerciales, los intereses moratorios se causan a partir de la ejecutoria de la respectiva sentencia, sin perjuicio de la aplicación del término de dieciocho meses que el precepto contempla para que la correspondiente condena sea ejecutable ante la justicia ordinaria”

− El Decreto 818 de 1994 (Abril 22), aparte del Artículo 3:

1 Tomado de AREVALO NIÑO, José Abdénago. Matemática Financiera aplicada a la Administración Pública. Programa

de Administración Pública Territorial, Núcleo de Fundamentación. ESAP Publicaciones. Bogotá D.C., Mayo de 2004. Pág. 32

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“Se entiende que ha existido pago de una sentencia, una conciliación, o un laudo arbitral, en la fecha de entrega del cheque al beneficiario o a su apoderado, o de la consignación en la cuenta depósitos judiciales” - Artículo 305 del Código Penal. Usura. “El que reciba o cobre, directa o indirectamente, a cambio de préstamo de dinero o por concepto de venta de bienes o servicios a plazo, utilidad o ventaja que exceda en la mitad del interés bancario corriente que para el período correspondiente estén cobrando los bancos, según certificación de la Superintendencia Bancaria, cualquiera sea la forma utilizada para hacer constar la operación, ocultarla o disimularla, incurrirá en prisión de dos (2) a cinco (5) años y multa de cincuenta (50) a doscientos (200) salarios mínimos legales mensuales vigentes”.

Para obtener la suma a pagar por concepto de interés se aplica la siguiente fórmula:

I =Kti365

I = Intereses a reconocer. K = Capital, el cual no varía para el cálculo de cada período. i = Tasa de Interés t = Número de días del período. - Las tasas aplicables para la liquidación de intereses serán las certificadas por la Superintendencia Bancaria; para los intereses comerciales se toma el interés Bancario Corriente. - En cuanto al límite máximo de los intereses moratorios es preciso tener en cuenta el Artículo 305 del Código Penal. Intereses – Perjuicios morales y materiales. Fecha de ejecutoria : 27/03/2002 Capital a Liquidar: $161’000.000 Ejemplo para marzo: K = 161’000.000 T = 4 días i = 20.97% corriente, por mora: 20.97% x 1.5 = 31.455%

I =Kti365

I =161.000.000× 4× 0,31455

365

Intereses para marzo: 554.986,85 Cálculo de Intereses Moratorios:

DESDE HASTA DIAS TASA Resolución Fecha Resolución

Valor Interés Valor Acumulado

28/03/02 01/04/02 01/05/02 01/06/02 01/07/02 01/08/02

31/03/02 30/04/02 31/05/02 30/06/02 31/07/02 23/08/02

43031303123

31,455 31,545 30,000 29,940 29,655 30,015

0239 0366 0476 0585 0726 0847

28/02/0227/03/0230/04/0231/05/0228/06/0231/07/02

554.986,854.174.310,964.102.191,783.961.923,294.055.016,583.045.083,43

161.554.986,85165.729.929,79169.831.489,70173.793.413,00177.848.429,60180.893.513,00

Intereses corrientes: $ 0; Intereses moratorios: $ 19.893.513 Total neto a pagar: $ 180.893.513,00 Si en el ejemplo anterior la presentación de los documentos debidamente diligenciados es el 18 de octubre del 2002 y la fecha de entrega del cheque al beneficiario: 13 de noviembre de 2002. ¿Cuánto recibirá el

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beneficiario? Se debe tener en cuenta las normas aplicadas en el anterior ejercicio y además el « Artículo 60 de la ley 446 de 1998. Pago de sentencias. Adiciónese el Artículo 177 del Código Contencioso Administrativo con los siguientes incisos: Cumplidos seis (6) meses desde la ejecutoria de la providencia que imponga o liquide una condena o de la que apruebe una conciliación sin que los beneficiarios hayan acudido ante la entidad responsable para hacerla efectiva, acompañando la documentación exigida para el efecto, cesará la causación de intereses de todo tipo desde entonces hasta cuando se presentare la solicitud en legal forma. En asuntos de carácter laboral, cuando se condene a un reintegro y dentro del término de seis meses siguientes a la ejecutoria de providencia que así lo disponga, éste no pudiese llevarse a cabo por causas imputables al interesado, en adelante cesará la causación de emolumentos de todo tipo.»

Se pagarán intereses por mora del 27 de marzo al 27 de septiembre; a partir del 28 de septiembre hasta el 18 de octubre cesará el pago de intereses. Del 19 de octubre al 12 de noviembre intereses por mora.



28/03/02 01/04/02 01/05/02 01/06/02 01/07/02 01/08/02 01/09/02 19/10/02 01/10/02

31/03/02 30/04/02 31/05/02 30/06/02 31/07/02 31/08/02 27/09/02 31/10/02 12/11/02

43031303131271312

31,45531,54530,00029,94039,65530,01530,27030,45029,640

0239/36503660476058507260847096611061247

28/02/0227/03/0230/04/0231/05/0228/06/0231/07/0230/08/0230/09/0231/10/02

554.986,854.174.310,964.102.191,783.961.923,294.055.016,584.104.242,883.605.032,601.746.078,081.568.889,86

161.554.986,85165.729.929,79169.831.489,70173.793.413,00177.848.429,60181.952.672,50185.557.705,10187.303.783,20188.872.673,10

Intereses moratorios: $ 27.872.673,10 Total neto a pagar:$ 188.872.673,10 Dinero no recibido por la persona natural demandante por presentar la solicitud extemporánea: Septiembre 3 días

I =161.000.000× 3× 0,3027

365= $ 400.599,18

Octubre 18 días:

I =161.000.000× 18× 0,3045

365= $ 2.417.646,58

Total dinero no recibido: $ 2.818.205,75

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Análisis de Caso 2. Acción de Nulidad y Restablecimiento del derecho El Tribunal Administrativo de Boyacá en la fecha Enero 16 de 2002, declaró la nulidad de la resolución Nº 083 de octubre 13 de 2001 expedida por el Director de una entidad descentralizada del Departamento, por la cual se revoca el nombramiento de Nohora Cecilia Jaimes Quintero. Como consecuencia de lo anterior, se ordena a la entidad demandada a reintegrar a Nohora Cecilia Jaimes Quintero al cargo del cual fue removida o a otro de igual o superior categoría y a reconocer y pagar todos los salarios y prestaciones sociales dejados de percibir desde la fecha de su retiro hasta aquella en que efectivamente sea reintegrada al servicio. Que tal providencia quedó ejecutoriada el 18 de mayo de 2002. Con base en lo anterior: 1. Indexar conforme lo señala la fórmula del Consejo de Estado (Artículo 178 C.C.A). 2. Establecer los intereses moratorios conforme lo señala el artículo 177 de C.C.A. (Sentencia C- 188/99) Información adicional: - Salario Neto año 2001 = $1’870.000. - Salario Neto año 2002 = $1’942.000. - Fecha de pago: 26 de agosto de 2002 I.P.C. acumulado Octubre 2001 = 127,291656 Noviembre 2001 = 127,440432 Diciembre 2001 = 127,595043 Enero 2002 = 128,626944 Febrero 2002 = 130,281517 Marzo 2002 = 131,178597 Abril 2002 = 132,401814 Interés Bancario Corriente: Mayo de 2002 = 20.00% Junio de 2002 = 19.95% Julio 2002 = 19.77% Agosto 2002 = 20.01% Las sumas que resultan a favor de la parte actora (Nohora Cecilia Jaimes Quintero), se ajustarán al valor de conformidad con el artículo 178 del C.C.A. (mes a mes), hasta la fecha de ejecutoria de la presente providencia, dando aplicación a la siguiente fórmula:

R= RH×Índice final

Índice inicial

En donde R se determina multiplicando el valor histórico (RH) que es lo dejado de percibir desde la fecha en que dejaron de cancelarse los valores en virtud del acto acusado, por el guarismo que resulta de dividir el índice final de precios al consumidor, certificado por el DANE, vigente a la fecha de ejecutoria de esta providencia, por el índice vigente a la fecha de la desvinculación, teniendo en cuenta los aumentos decretados durante dicho periodo.

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El salario del año 2001 fue de $1’870.000oo. Nohora Cecilia James fue retirada el 13 de octubre del 2001. 1.870.000× 17

30= $ 1.059.666,67

Correspondiente a 17 días del mes de octubre. Para el índice de precios al consumidor final se toma el del mes anterior a la ejecutoria, en este caso, el de abril del 2002.

R= RH×Índice final

Índice inicial

Octubre: R= 1.059.666,67×132,401814127,291656

= $ 1.102.207,27

Noviembre: R= 1.870.000×132,401814127,440432

= $ 1.942.800.25

Diciembre: R= 1.870.000×132,401814127,595043

= $ 1.940.446,79

Enero: R= 1.942.000×132,401814128,626944

= $ 1.998.992,70

Febrero: R= 1.942.000×132,401814130,281517

= $ 1.973.605,53

Marzo: R= 1.942.000×132,401814131,178597

= $ 1.960.108,80

Abril: $ 1.942.000 Total salarios actualizados $12’860.162,04 Capital a liquidar: $12’860.162,04 Para establecer los intereses moratorios aplicamos la fórmula:

I =Kti365

Ejemplo: para el mes de mayo. K = 12.860.162,04 t = 13 días i = 30%

I =12.860.162,04× 13× 0,3

365

I = $137.409,95 El interés Bancario Corriente según la Superintendencia Bancaria para el mes de mayo es 20%, pero como los intereses son moratorios, multiplicamos el interés por 1,5: (20% x 1.5 = 30%)

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19/05/02 01/06/02 01/07/02 01/08/02

31/05/02 30/06/02 31/07/02 25/08/02

13303125

30,00%29,94%29,96%30,01%

0476058507260947

30/04/0231/05/0228/06/0231/07/02

137.409,95316.465,68327.232,98264.337,98

12.997.571,9913.314.037,6713.641.270,6513.905.608,63

Capital $12’860.162,04 Intereses por mora $1’045.446,59 Valor total por pagar $13’905.608,63

Interés Compuesto

En el caso de un ahorro, si capital e intereses aumentan a través del tiempo, en razón a que los intereses que se van generando pasan a ser parte del capital que se debe. En el caso de un préstamo, debe haber una amortización de los intereses junto con la de capital para que el monto adeudado no se incremente. Las tasas de interés compuesto pueden ser nominales o efectivas, entre las cuales se pueden hacer las conversiones respectivas obteniendo tasas equivalentes. Así, si conseguimos un préstamo por $10.000.000, con una tasa de interés del 2,5% efectivo mensual y no hacemos pagos durante los primeros cuatro meses, el crédito crecerá como en la siguiente tabla:

Meses Intereses Deuda 0 10.000.000,00 1 250.000,00 10.250.000,00 2 256.250,00 10.506.250,00 3 262.656,25 10.768.906,25 4 269.222,66 11.038.128,91

Note como se van incrementando tanto los intereses mes a mes como el monto total adeudado.

Conversión de tasas nominales

Una tasa nominal es la convenida en una operación financiera y puede ser anticipada o vencida, según se convenga aplicar la tasa de interés al inicio o al final de la operación financiera. La tasa de interés nominal es la que se capitaliza más de una vez al año. Hablar de tasa nominal equivale a tasa capitalizable. Acostumbramos a representar las tasas nominales con 'J' y el número de veces que el interés se convierte en capital se denomina capitalización y lo simbolizamos con 'm', sin embargo, si estamos haciendo conversiones de tasa equivalentes, requerimos usar también la 'n'. Para calcular las tasas equivalentes, ya sea entre nominales, entre efectivas o entre nominales y efectivas, es necesario saber cuántas veces se repite el periodo en el año, así:

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Anual Semestral Trimestral Bimestral Mensual Diaria

1 2 4 6 12 360

Y usamos la siguiente ecuación de conversión: �1 + �� = �1 + ��, donde J es la tasa nominal que

conocemos, n las veces que el respectivo periodo se liquida al año, j la tasa nominal a la que queremos hacer la conversión y m las veces que se liquidará anualmente dicha tasa. Ejemplo 1.5.: Si queremos saber cual es la tasa nominal mes vencido equivalente a una tasa anual liquidable semestralmente de 32%, debemos seguir el siguiente procedimiento:

�1 + .� � = �1 + �� 1 + .� � �� = 1 + �� 1 + .� � �� − 1 = ��

Cuidado con el manejo de la calculadora al verificar o hacer estos cálculos, además dependiendo de la calculadora puede variar el procedimiento de digitación. Ilustremos un caso: Sin embargo, la opción yx no siempre la encontramos de la misma forma en las calculadoras de bolsillo. Hay que revisar si se activa usando la opción SHIFT o si aparece como ˆ ó como xy

�1 + .� � �� − 1 = �� 0,025045=j

12 � 12× 0,025045= j= 0,3005 =30,05%

Entonces, una tasa nominal semestral del 32% es equivalente a una tasa nominal mensual de 30,05% Recuerde: Que si decimos tasa anual liquidable o capitalizable semestralmente, nos referimos a una tasa nominal semestral. Ejemplo 1.6.: Si consideramos una tasa nominal trimestre vencido del 36%, calcular la tasa nominal diaria equivalente.

�1 + .�� = �1 + ��1 + .�� = 1 + �� 1 + .�� = 1 + ��

��1 + 0.364 � �� − 1�360 = = 0.3449 = 34.49%

Entonces, una tasa nominal trimestral del 36% es equivalente a una tasa anual liquidable diariamente (nominal diaria) de 34,49%. Revíselo ahora mismo con su calculadora.

¡Reto!:

Pruebe que una tasa nominal bimestre vencida de 18% es equivalente a una tasa del 18,55% NS, a 18,13% NT, a 17,87% NM y a 17,74 MD.

( 1 + / ) 0,32 2 yx

( = / - 2 12 1

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Conversión de tasas efectivas

Tasas efectivas equivalentes son aquellas, que en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. Las tasas de interés pueden ser: vencidas o anticipadas. Para convertir de una tasa efectiva a otra, el procedimiento es muy similar al caso de las nominales. Sin embargo, tenemos una ecuación de conversión más sencilla: #1 + $% = #1 + &%� Donde 'I' es la tasa efectiva de que disponemos e 'i' es la tasa a calcular. 'm' es el número de periodos de la tasa que disponemos y 'n' el número de periodos anuales de la tasa a convertir. Ejemplo 1.7.: Si un banco nos da un préstamo y nos cobra una tasa de interés del 34% efectivo anual. Calcular el valor de la tasa efectiva mensual. #1 + 0.34%� = #1 + &%� �#1 + 0.34% �� = 1 + & =1,024689 � i=0,024689 � i = 2,47% Entonces, una tasa de interés efectiva anual del 34% es equivalente a una tasa del 2,47% efectiva mensual. Ejemplo 1.8.: Si nos ofrecen un préstamo a una tasa del 0,5% efectivo diario; ¿cuál es la tasa efectiva anual equivalente? ¿Se puede decir que es un crédito blando? #1 + 0.05%�� = #1 + &%��#1.05%�� − 1 = & =502,26% Resulta entonces ser un crédito demasiado costoso en cualquier contexto.

¡Reto!

Pruebe que una tasa efectiva trimestral de 6% es equivalente a una tasa efectiva anual de 26,25%, a una semestral de 12,36%, a una bimestral de 3,96%, a una efectiva mensual de 1,96% y a una efectiva diaria de 0,065%

Conversión nominal a efectivo y efectivo a nominal

Para hallar las tasas equivalentes entre nominal y efectivo usamos una ecuación que se forma de las dos anteriores, así:

#1 + &%� = �1 + (�

Donde 'i' es la tasa efectiva y 'n' el número de periodos al año que se aplica la tasa efectiva, 'j' es la tasa nominal y 'm' el número de periodos de la tasa nominal Ejemplo 1.9.: Si el banco local nos presta a una tasa de interés del 30% nominal mes. ¿Cuál será la tasa efectiva anual que estamos pagando? #1 + &%� = �1 + ��

� #1 + &%� = �1 + .�� & = �1 + .�� − 1= 0,3449 = 34,49 %

Vemos como las tasas nominales dan la impresión de representar tasas inferiores, cuando en realidad la tasa efectiva indica el costo real del crédito. Ejemplo 1.10.: Si necesitamos conocer la tasa nominal bimestral que se debe aplicar para lograr un interés efectivo semestral del 15%, debemos hacer el siguiente cálculo:

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#1 + 0.15% = �1 + �� #1.15%�� = 1 + �� 6 �#1.15%�� − 1� = = 0,2861 = 28,61 %

Es decir, si cada bimestre capitalizamos una tasa nominal anual de 28,61%, en un semestre tendremos capitalizado un interés efectivo correspondiente al 15%

¡Retos!

Pruebe que una tasa efectiva bimestral del 5% es equivalente a una tasa de 31,53% NS, a una de 3,37% NT, a una del 30% NB, a una del 29,63% NM y a una de 29,29% ND. Pruebe que una tasa nominal bimestral de 21% es equivalente a las siguientes tasas efectivas: 22,93%e.a., 10,87 e.s., 5,30% e.t., 3,50% e.b., 1,73% e.m., y 0,057% e.d.

Anticipado a vencido, vencido a anticipado

Tasa de interés vencida es la que opera al final de un periodo y anticipada es la que se aplica al principio de periodo. En las liquidaciones de lo contencioso administrativo, y demás liquidaciones de sentencias en el Estado se utiliza la vencida. Para el cálculo de la tasa vencida correspondiente a una tasa anticipada, debemos llevar primero la anticipada nominal a anticipada de periodo, aplicar la siguiente ecuación para tener la tasa efectiva vencida del periodo correspondiente, y finalmente convertirla a la tasa efectiva equivalente del periodo en que la necesitamos:

iv=ia

1− i a, donde iv es la tasa vencida correspondiente a una tasa anticipada ia.

Ejemplo 1.11.: Diferencia entre tasa nominal y tasa de periodo. Las tasas anticipadas pueden ser nominales o de periodo. Ya habíamos visto que las nominales se capitalizan mas de una vez al año, así: Una tas del 24% NMA se lee “una tasa del 24% nominal mes anticipado”, equivale a

j=24% NMA � d =j

m=

0,2412

= 0,02 anticipada de mes

Una tasa de 32% NTA se lee “una tasa del 32% nominal trimestre anticipado”, equivale a:

j=32% NTA � d =j

m=

0,324

= 0,08 anticipada de trimestre

Una tasa del 18% NBA se lee “una tasa del 18% nominal bimestre anticipado”, equivale a:

j=18 NBA � d =j

m=

0,186

= 0,03 anticipada de bimestre

Ejemplo 1.12.: Si tenemos que pagar un interés del 36% nominal anual cuyos intereses se pagan por trimestre anticipado y queremos saber el interés efectivo anual que estamos pagando, debemos hacer los siguientes cálculos: Interés trimestral: 0,36/4=0,09, pagado y cobrado por anticipado, se llama tasa de interés anticipada de periodo

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Equivalente vencido para el interés pagado por anticipado:

iv=

0,364

1−0,36

4

=0,09

1− 0,09= 0,0989

Es decir, un interés del 9% trimestral, pagadero o cobrado por anticipado (comienzo del trimestre), es equivalente a uno del 9,89% pagadero o cobrado vencido (al final de trimestre) Ahora, el interés efectivo anual, será: ie=(1+0,0989)4-1=0,4583 ó 45,83% Ejemplo 1.13.: Un banco nos cobra una tasa del 30% NMA. ¿cuál es la tasa efectiva anual?. Seguimos el siguiente procedimiento: Hallamos la anticipada de periodo.

J=30% NMA � d =j

m=

0,3012

= 0,025 anticipada del mes.

La anticipada de periodo se transforma a vencida del mismo periodo, la cual es efectiva.

iv=ia

1− i a

=0,025

1− 0,025= 0,0256 = 2,56% efectiva mensual

Ahora hallamos la tasa efectiva anual: #1 + $% = #1 + &%� � #1 + 0,0256%� = #1 + &%� #1,0256%� − 1 = & = 0,3543 = 35,43% efectiva anual. Ejemplo 1.14.: Una cooperativa de crédito local nos hace un préstamo, cobrándonos una tasa de interés del 32% NTA. ¿Cuál es la tasa efectiva mensual?

J=32% NTA. ==> d =j

m=

0,324

= 0,08 anticipado de trimestre.

iv=ia

1− i a

=0,08

1− 0,08= 0,0869 =8,69% efectiva trimestral #1 + $% = #1 + &%� #1,0869%� = #1 + &%� � #1,0869% �� = 1 + & � #1,0869%�� − 1 = & = 0,0281=2,81% efectiva

mensual ¡Retos!:

a.- Muestre que si un prestamista cobra una tasa de interés del 24% NBA entonces la tasa nominal trimestral vencida es de 25,21%. b.- Pruebe que la tasa anticipada de trimestre equivalente al 35% efectiva anual es de 7,24% c.- Muestre que la tasa nominal trimestral anticipada equivalente a una tasa del 24% nominal mensual anticipada, es de 23,48% NTA. Tópico Generador: A Endeudarse en Dólares2

2 Tomado de http://www.hacienda.go.cr/centro/datos/Articulo/A%20endeudarse%20en%20d%C3%B3lares-

feb.%202001.doc consultado el: 06/01/2009

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Por: Adrián Brenes

El sistema financieEl sistema financieEl sistema financieEl sistema financiero es testigo de una reciente expansión del crédito en dólares. ro es testigo de una reciente expansión del crédito en dólares. ro es testigo de una reciente expansión del crédito en dólares. ro es testigo de una reciente expansión del crédito en dólares. ¿A qué se debe esta situación? ¿Qué oportunidades aparecen y qué riesgos se ¿A qué se debe esta situación? ¿Qué oportunidades aparecen y qué riesgos se ¿A qué se debe esta situación? ¿Qué oportunidades aparecen y qué riesgos se ¿A qué se debe esta situación? ¿Qué oportunidades aparecen y qué riesgos se ciernen sobre los distintos agentes económicos?ciernen sobre los distintos agentes económicos?ciernen sobre los distintos agentes económicos?ciernen sobre los distintos agentes económicos?

Actualmente, existe un premio por endeudarse en dólares que como era de esperar fue percibido por el público. En este momento es más barato tomar un préstamo en dólares que la cantidad equivalente en colones pues el pago de intereses entre una y otra opción es amplio. No obstante, existe una serie de cuestionamientos que deben hacerse a la hora de elegir la moneda en la que se adquiere un préstamo. ¿Es invariable la situación que hace que sea más barato el préstamo en dólares? ¿Existen riesgos al tomar un crédito en dólares? ¿En qué variables hay que fijarse para tomar una buena decisión?

La situación actual obedece a varios aspectos que han coincidido para crear una oportunidad de acceder a crédito en moneda extranjera bajo mejores condiciones que aquel en moneda nacional; sin embargo, estas condiciones podrían variar en el futuro.

El acceso a información certera sobre la evolución en el futuro de variables como las tasas de interés en las diferentes monedas y la devaluación es de fundamental importancia, pero no es el único aspecto que se tiene que tomar en cuenta.

Causas

Varios han sido los factores que han contribuido a imprimir dinamismo al crédito otorgado en dólares. El diferencial en las tasas de interés es uno de ellos. Este punto se ilustra con el siguiente ejemplo: una persona necesita un préstamo para construir una vivienda. El préstamo lo puede tomar en dólares o en colones. En la actualidad, la tasa de interés cobrada para vivienda ronda el 22,00% en colones y el 9,50% en dólares. Si se espera que la devaluación sea de un 7%, la tasa de interés en dólares sería equivalente a una tasa del 17,17% en colones (tasa de interés en dólares incluyendo el efecto de la devaluación). Lo anterior significa que es más barato pedir el préstamo en dólares que en colones.

Esta diferencia entre las tasas de interés se debe a varios aspectos. La tasa de interés en colones adolece de un problema estructural que tiende a mantenerla relativamente alta. Este consiste en la existencia de una alta deuda pública que obliga al Ministerio de Hacienda a captar fondos en el mercado financiero doméstico presionando las tasas de interés hacia arriba.

Esto es cierto pese a que el Banco Central que era el otro gran colocador, ha abandonado la captación en colones y esto ha reducido las tasas pasivas (las pagadas por los depósitos). El efecto todavía no se ha mostrado sensiblemente en las tasas activas debido, entre otras causas, a que algunas instituciones, especialmente privadas, tienen más de la mitad de sus créditos en dólares y no son tan sensibles a cambios en las tasas de interés en colones.

Asimismo, la tasa de interés en dólares se ha ido reduciendo en los últimos meses como resultado de la baja de tasas de interés internacionales de referencia como la Federal Funds Rate o la Libor.

El tipo de cambio también ha venido disminuyendo su pauta de incremento. La fórmula seguida por el Banco Central es la de mantener el tipo de cambio real fijo, por lo que la devaluación nominal es el diferencial entre la inflación interna y externa. La inflación primera se ha logrado controlar sensiblemente y esto se ha reflejado en una menor devaluación.

En el ejemplo de la tasa de interés equivalente, esta se calculó con base en una devaluación no ocurrida sino esperada. Si las expectativas fallaran y la devaluación fuera, por ejemplo del 12%, la tasa de interés equivalente sería más bien del 22,64%. No obstante, en el corto plazo existe poca incertidumbre de que el tipo de cambio se devalúe a tasas mucho más altas del 7% anual, por eso

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este punto se puede obviar para préstamos a menos de dos años.

El incremento en la sofisticación financiera de los prestatarios también ha coadyuvado a la preferencia por el crédito en dólares. En nuestro medio financiero, los tradicionales tabúes están cayendo como consecuencia de que la gente se está informando más sobre el uso de herramientas financieras a las que no habían accedido antes y de los riesgos asociados con ellas. La gente tiene cada día menos miedo de invertir en bancos privados, acudir a los puestos de bolsa o adquirir instrumentos de renta variable. Por supuesto, otra de estas manifestaciones es el acceso al crédito en monedas diferentes al colón aun cuando esto requiera asumir un riesgo cambiario (la incertidumbre sobre la evolución del tipo de cambio de la que se habló antes).

La liberalización de las operaciones en moneda extranjera ha permitido que nuevos actores hayan entrado al mercado con la intención de prestar dólares. Además, la mayor regulación de la banca offshore ha hecho que esta pierda atractivo para los bancos y ha facilitado la internalización de préstamos que antes se canalizaban a través de bancos domiciliados en el exterior.

Lo anterior, aunado a la existencia de una demanda y una oferta de crédito en el país a pesar del bajo dinamismo mostrado por la economía, explica gran parte del alto crecimiento del crédito en dólares.

Evolución reciente

Desde setiembre de 1999, el crecimiento del crédito ha sido relativamente estable. Los fondos otorgados por el Sistema Bancario Nacional al sector privado no financiero ha crecido a una tasa interanual promedio del 22% (nominal), durante los últimos dieciséis meses. De acuerdo con el desglose por tipo de moneda, el aumento respectivo del crédito otorgado en moneda extranjera es del 51% y el del otorgado en moneda nacional, del 8%.

La persistencia de incrementos mayores en el crédito en moneda extranjera ha hecho variar significativamente la composición del crédito total. Muestra de esto es que, en junio de 1997, solo una quinta parte del crédito se otorgaba en moneda extranjera, mientras que para enero del 2001, ya la composición estaba prácticamente equiparada entre colones y dólares.

Vivienda, Industria y Comercio, sectores de los que más crédito demanda en el país, se han visto favorecidos por las relativamente bajas tasas en dólares y por lo tanto no es de extrañar que las carteras respectivas en los distintos bancos muestren un incremento y concentración importantes en estos sectores.

Perspectivas en el futuro cercano

Dado el panorama interno planteado por el Banco Central para el año que comienza, donde variables como el crecimiento del PIB, la variación del crédito al sector privado, la inflación y la devaluación tendrán comportamientos similares a los del 2000, es de esperar que el dinamismo del crédito en dólares se mantenga.

De este modo, la dolarización que viene dándose en la economía costarricense continuará a paso firme en lo que respecta al crédito, con las consecuencias que eso trae; entre las principales, una disminución de la efectividad de la política monetaria del Banco Central y un gasto menor en intereses para los prestatarios, aunque con mayor exposición al riesgo cambiario.

Como moraleja queda que en estos momentos es mejor endeudarse en dólares, pero cuanto mayor sea el plazo de pago del préstamo, más peligrosa será la apuesta implícita de que las condiciones macroeconómicas se mantendrán.

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Intereses en dólares o en unidades de valor real UVR3

Para el cálculo del interés efectivo en pesos de una cuenta en dólares, se utiliza la siguiente expresión: (1+ R efectiva en pesos) = (1 + R Efectiva anual en dólares) * (1 + Devaluación efectiva anual) Con mucha frecuencia, para calcular la rentabilidad efectiva en pesos, se suma la devaluación a la rentabilidad efectiva en dólares, lo cual es un error, que aumenta con el incremento de la tasa de interés y/o de la evaluación. En el caso de créditos en unidades de valor real, se tendría una expresión similar, teniendo en cuenta que la UVR se ajusta por la inflación. ( 1 + Costo efectivo en pesos) = ( 1 + costo efectivo en UVR) * (1 + Inflación efectiva anual ) Con mucha frecuencia, para calcular la rentabilidad efectiva en pesos, se suma la inflación a la rentabilidad efectiva en UVR, lo cual también es un error, que aumenta con el incremento de la tasa de interés en UVR y/o con la inflación. Ejemplo 1.15. CDT en dólares Suponga un CDT en dólares con un rendimiento del 5% nominal anual pagadero semestre vencido. La devaluación efectiva anual proyectada es del 12%. ¿Cuál sería la rentabilidad efectiva en pesos? Primero convertimos la tasa en efectiva anual:

Rentabilidad efectiva anual en dólares: �1 + ,, � − 1 = 0,050625 = 5,0625%

Devaluación efectiva anual = 12 % Rentabilidad efectiva en pesos= ( 1 + 0,050625) * (1 + 0,12) – 1 = 0,1767 = 17,67% La rentabilidad efectiva en pesos del CDT en dólares sería del 17,67% Ejemplo 1.16. Crédito UVR Un crédito en unidades de valor real (UVR) con un costo efectivo del 12% en UVR. La inflación proyectada para el año es del 10% efectivo anual. ¿Cuál es el costo efectivo del crédito en pesos? ( 1 + Costo efectivo en pesos) = ( 1 + costo efectivo en UVR) * (1 + Inflación efectiva anual ) Costo efectivo en pesos = ( 1 + costo efectivo en UVR) * (1 + Inflación efectiva anual ) - 1 Costo efectivo en pesos = ( 1 + 0,12) * (1 + 0,10 ) - 1 = 0,232 = 23,20% Ejemplo 1.17.: Cuenta en dólares Cuál debería ser el interés en pesos de una cuenta de ahorro, que liquida intereses diariamente, para que el interés efectivo fuera el mismo de una cuenta en dólares que paga un interés del 4,5% nominal anual, liquidado diariamente; la devaluación efectiva, proyectada para el año en curso es del 12%.

3 Tomado de SERRANO RODRIGUEZ, Javier. Matemáticas Financieras y Evaluación de Proyectos. Ediciones Uniandes,

Facultad de Administración y Editorial Alfaomega. Bogotá, 2007. Páginas 46 y 52.

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$-./0é2/4/5.&678/9:5;/-.:/-8ó9:0/2 = �1 + 0,045365 ��, − 1 = 0,0460251 $-./0é2/4/5.&67/=;&6:9/-.//->/272 = #1 + 0,0460251%#1 + 0,12% − 1 = 0,171548 $-./0é28&:0&7/-$8/9:5;/-.:8/:ℎ7007 = #1 + 0,171548% ��, − 1 = 0,0004339 $-./0é2-7(&-:98/9:5;/-.:8/:ℎ7007 = 365 × 0,0004339 = 0,15836 = 15,836% Por lo tanto la cuenta de ahorros debería ofrecer un interés del 15,836% nominal anual, liquidado diariamente. Ejemplo 1.18.: Préstamo en dólares Cuál es el costo efectivo en pesos de un préstamo en dólares con una tasa de interés nominal anual del 8%, que se paga trimestre vencido; la devaluación del último trimestre ha sido del 3,5% efectiva y se va a utilizar para proyectar la devaluación de todo el año.

C:2:/4/5.&6:8/9>0é2.:(7/-8ó9:0/2 = �1 + 0,084 �� − 1 = 0,0824322 = 8,2432% D/6:9;:5&ó->07E/5.:8:>:0:/9:ñ7 = #1 + 0,035%� − 1 = 0,147523 = 14,7523% G72.7/4/5.&678/9>0é2.:(7/->/272 = #1,147523%#1,0824322% − 1 = 0,242115 El costo efectivo del préstamo en pesos sería del 24,21% Ejemplo 1.19.: Crédito de vivienda Cuál es el costo efectivo de un crédito en UVR, con una tasa del 12% nominal anual, pagadera mes vencido sobre UVR; la inflación proyectada es del 10%.

G72.7/4/5.&678/9>0é2.:(7/-HIJ = �1 + 0,1212 �� − 1 = 0,126825 = 12,68% G72.7/4/5.&678/9>0é2.:(7/->/272 = #1 + 0,126825%#1 + 0,10% − 1 = 0,239507 El costo efectivo del préstamo en pesos sería del 23,95%, bien diferente a sumar la tasa efectiva en UVR y la inflación efectiva, lo cual daría 22,68%.

Taller con Excel

Descargue el archivo de hoja de cálculo y revise con la plantilla que hay en éste, los cálculos de los ejemplos y ejercicios de la unidad. Propóngase nuevas conversiones y calcúlelas manualmente verificando la exactitud de los cálculos de la tabla. Recuerde que puede cambiar solamente como parámetros de entrada los números en rojo.

Tema del foro

El tema de discusión de esta unidad girará en torno a situaciones de crédito que cada uno haya conocido, en donde se muestre una tasa nominal en la oferta de créditos en lugar de la efectiva, en la aplicación de la usura en los bancos y entidades financieras y en cuantas veces ha verificado si la tasa de interés que le aplicaron en su crédito es la misma que le ofrecieron cobrar.

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Discuta también la aplicabilidad de lo discutido en la lectura “A Endeudarse en Dólares” al caso colombiano actual.

Ejercicios Propuestos

1) Con base en la siguiente información, presente una liquidación debidamente tabulada que le

correspondió al beneficiario legítimo de una condena contra una entidad descentralizada del Distrito Capital. Ubique las tasas de interés en el sitio web del Banco de la República o del DANE:

◦ Fecha del fallo de segunda instancia proferida por el Consejo de Estado: Noviembre 14 de 2001

◦ Valor de la condena: $ 94.300.000 ◦ Fecha de presentación de los documentos debidamente diligenciados: junio 14 de 2002 ◦ Fecha de resolución de pago: Junio 22 de 2002 ◦ Fecha de entrega del cheque al beneficiario: julio 18 de 2002

2) Cuál es el interés nominal en pesos que pagadero trimestre vencido, es equivalente a un interés en dólares del 6% nominal anual pagadero mes vencido. Suponga una devaluación efectiva del 12,5%.

3) Cuál es el interés nominal anual en dólares que pagadero mes vencido sería equivalente a un interés en pesos del 18% nominal anual, pagadero trimestre anticipado. Suponga una devaluación efectiva del 12% anual.

4) Una línea de crédito para financiamiento de vivienda en unidades de valor real (UVR), con una tasa de interés sobre UVR del 11% nominal anual pagadera mes vencido. La inflación esperada para los próximos años es del 11%. ¿Cuál sería el costo efectivo del crédito en pesos?

5) El banco de la República fijó como tasa máxima de interés para financiamiento de vivienda, una del 13% nominal anual pagadera mes vencido sobre unidades de valor real (UVR). La inflación esperada para el año en curso es del 11%. Se requiere encontrar la tasa de interés equivalente, para una línea de financiamiento en pesos que cobra los intereses mensualmente.

6) Usted tiene tres alternativas de financiamiento que se describen a continuación, determine ¿Cuál será su elección?¿Qué factores influyeron en la misma? a) Un crédito en dólares, con una tasa de interés del 11% efectiva anual, liquidada mes vencido. La

devaluación esperada es del 12%. b) Un crédito en pesos, con una tasa de interés del 23,5% nominal anual pagadero mes vencido. c) Un crédito en UVR, con una tasa de interés del 13% nominal anual pagadera mes vencido. La

inflación esperada es del 10%.

Unidad Dos: ANUALIDADES

Resumen

Definimos una anualidad como el iamortización o la de capitalización. intervalos iguales de tiempo. En una anualidad debemos tener en la inversión, es decir como valor presente; o si lo necesitamos interpretar como el monto equivalente al final de la vida útil de la inversión.

Los gradientes aritméticos son cantidades fiamortización en cada periodo.

Grafo de la Unidad

¿Qué es una anualidad?

Es una serie de pagos o abonos que se hacen de forma anual, buscando amortizar un crédito o generar un monto de ahorro. Aunque la periodicidad no siempre sea anual, se ha acostumbrado al darle el nombre general de anualidades. Realmente, se pueden llamar mensualidades, semestralidades, etc., según sea el caso.

Anualidades

Valor futuro de una serie

uniforme

Valor presente de

serie con Gradiente

ANUALIDADES

Definimos una anualidad como el importe anual de una renta o carga periódica, como la de También la definimos como una serie de pagos iguales realizados a

cuenta si queremos considerar su valor llevado al momento cero de la inversión, es decir como valor presente; o si lo necesitamos interpretar como el monto equivalente al

Los gradientes aritméticos son cantidades fijas en las que se va incrementando la cuota o monto de

Es una serie de pagos o abonos que se hacen de forma anual, buscando amortizar un crédito o generar e la periodicidad no siempre sea anual, se ha acostumbrado al darle el

nombre general de anualidades. Realmente, se pueden llamar mensualidades, semestralidades, etc.,

Anualidades

Equivalencias en el tiempo

Valor futuro de un monto

presente

Valor presente de un monto

futuro

Valor presente de

una serie uniforme

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anual de una renta o carga periódica, como la de os iguales realizados a

cuenta si queremos considerar su valor llevado al momento cero de la inversión, es decir como valor presente; o si lo necesitamos interpretar como el monto equivalente al

jas en las que se va incrementando la cuota o monto de

Es una serie de pagos o abonos que se hacen de forma anual, buscando amortizar un crédito o generar e la periodicidad no siempre sea anual, se ha acostumbrado al darle el

nombre general de anualidades. Realmente, se pueden llamar mensualidades, semestralidades, etc.,

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En el caso de los negocios de seguros, una anualidad es un acuerdo de una persona u organización de pagar a otra persona una serie de cuotas. Usualmente el término de anualidad se relaciona con un contrato entre usted y su compañía de seguro de vida, pero una entidad benéfica o un fondo de inversión pueden tomar el lugar de la aseguradora.

Equivalencias en el tiempo

Las equivalencias en el tiempo hacen referencia al valor relativo que tiene un monto determinado, dependiendo del periodo en que se generó dicho flujo o monto de dinero. No es lo mismo un monto aportado al proyecto en el año uno que el mismo monto en el año 5.

Caso 2.1: Un artículo que vale $100 el lunes, experimenta un alza del 10% el martes, y una caída en el precio del 10% el miércoles. ¿Cuanto vale el artículo al cierre del miércoles? Análisis: Muy seguramente algunos desprevenidos han dicho que el nuevo precio es de $100 y no de $99 como es en realidad. El error, muy típico del análisis financiero consiste en el tratamiento igual de cantidades de dinero recibidos en puntos diferentes en el tiempo. Caso 2.2.: En 1995 durante el gobierno de Ernesto Samper, el gremio de los docentes logró una mejora salarial luego de una negociación que puso fin a un paro del magisterio. El acuerdo consistía en tres aumentos del 8%, en los años 1996, 1997 y 1998. El gobierno anunció entonces que se había dado a los maestros un aumento del 25% aproximadamente, sin embargo algunos maestros alegaban que el aumento había sido solamente del 24%. La realidad mostró que el aumentó fue del 35,11%!!!, infortunadamente durante los dos gobiernos siguientes, los maestros vieron desmejorado su salario nuevamente en términos reales. Análisis: Los docentes que pensaban que solo les habían aumentado el 24% no estaban teniendo en cuenta que cada 8% estaba afectando al del año anterior, cálculo que sí estaba haciendo el gobierno. Si suponemos que el salario es de 100 en 1995, y consideramos los aumentos de los 8% como aislados y consecutivos; tenemos que en 1996, será de 108; en 1997 será 116,64; y en 1998 será de 125,97. Por esa razón el gobierno estimaba el aumento real en 26% aproximadamente. Analice la certeza del siguiente razonamiento: Para ver el aumento final real final debemos ver cuánto hubiera sido el ajuste de salarios con el aumento de ley de cada año para los funcionarios públicos, sin considerar el aumento del acuerdo. Luego, calcular el aumento incluyendo el acuerdo, y restar la diferencia al final. Veámoslo en la siguiente tabla:

Año Acuerdo aislado 8% anual

Porcentaje de incremento

salarial general

Aumento sin acuerdo con

docentes

Porcentaje de aumento

Aumento con acuerdo de

docentes

1995 100 - 100 - 100

1996 108 19,50% 119,5 27,50% 127,5

1997 116,94 21,02% 144,62 29,02% 163,23

1998 125,97 18,50% 171,37 26,50% 206,48

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Pasados los tres años el aumento efectivo ha sido de 206,48 – 171,37 = 35,11% ¿si lo llevamos todo a pesos de 1995, el aumento efectivo es de 25,97%? Explique la diferencia. En los dos casos anteriores se nota que uno de los errores frecuentes del proceso de análisis financiero, tiene que ver con el tratamiento igual de cantidades de dinero recibidas en distintos momentos en el tiempo; con frecuencia al analizar la rentabilidad de un proyecto o un negocio se suman directamente como utilidad total las utilidades que se obtienen durante un horizonte de tiempo de varios años, sin que se considere la diferencia que hay entre los mismos pesos nominales en diferentes momentos. Lo que debemos hacer es homogenizar las cantidades de acuerdo a su momento en el tiempo, lo cual será el centro de atención de esta unidad. Para un inversionista el concepto de equivalencia significa que un a cantidad de dinero tiene un monto equivalente mayor un tiempo después en razón a que se puede hacer una inversión en las alternativas disponibles al momento, de manera que después de dicho intervalo de tiempo, el monto actual se habrá convertido en un nuevo monto que se considera equivalente en el tiempo al inicial. La tasa de interés de las oportunidades disponibles en el mercado, se le conoce como tasa de interés de oportunidad (TIO), concepto muy importante en la evaluación financiera de proyectos.

Valor futuro de un monto presente

Ejemplo 2.1. Se invierte un monto inicial de $ 1.000.000 en alternativas que pagarán un interés anual del 35%; al final del primer año, el inversionista dispondrá de la siguiente suma: Valor presente: P = 1.000.000 Interés : iP = (0,35) 1.000.000 = 350.000 Valor total : P + iP = 1.000.000 + 350.000 = 1.350.000 P + iP = P (1 + i ) = 1.000.000 (1,35) = 1.350.000 La aplicación repetitiva de este resultado nos lleva a la relación de equivalencia, la cual constituye un elemento base y fundamental de las matemáticas financieras. Al final del primer año, la suma acumulada se representa con la siguiente ecuación: Valor Presente : P Interés : iP Valor en un año F1 = P + iP = P (1 + i ) Para el segundo año, repitiendo el ejercicio tenemos: Valor Presente : P (1 + i ) Interés : iP (1 + i ) Valor en un año F2 = P (1 + i ) + iP (1 + i ) = P (1 + i )(1 + i ) = P (1 + i )2

Procediendo de la misma forma para el tercer año, tendremos: Valor Presente : P (1 + i )2

Interés : iP (1 + i )2

Valor en un año F3 = P (1 + i )2 + iP (1 + i )2 = P (1 + i )2(1 + i ) = P (1 + i )3

Continuando de manera similar para una cantidad n de años, llegaremos a: Fn = P (1+i)n

Esta ecuación proporcionará las cifras equivalentes para diferentes horizontes de planeamiento. Retornando al ejemplo y considerando un horizonte de inversión de 10 años, tendremos lo siguiente

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F10 = P (1+i)10

F10 = 1.000.000 (1+0,35)10

F10 = 1.000.000 (1,35)10

F10 = 1.000.000 (20,106) F10 = 20.106.556 Tenemos entonces que 1.000.000 a pesos de hoy es equivalente a 20.106.556 en pesos de dentro de diez años. Para pensar: ¿Qué opina de la realidad del efecto ilusorio del dinero, en especial cuando se tienen altas tasas de interés como en nuestro país? Ejemplo 2.2. Calcular el valor futuro F al final de 5 años de una inversión de 20.000 unidades monetarias, con un costo de oportunidad del capital de 20% anual. P=20.000, n=5, i=0,20 F=? K = L#1 + &%� K = 20.000#1 + 0,20%, = 20.000#1,2%, = 20.000#2,48832% = 49.766,40 En Excel lo podemos verificar con la función VF(tasa; nper; pago; va; tipo) donde nper es el número de periodos; pago se utilizará mas adelante para el caso de las anualidades, por ahora se deja en blanco; VA se refiere al valor presente o actual, tipo se refiere a si es vencido o anticipado, si no colocamos nada tomará por defecto como vencido. Los separadores de los datos pueden ser comas o punto y coma, dependiendo de la configuración en el computador de los separadores de miles y de cifras decimales.

Valor presente de un monto futuro

La misma ecuación anterior nos sirve para hacer el proceso inverso, es decir calcular el valor presente al cual equivale un monto determinado en el futuro. Basta con despejar el valor presente en la ecuación y tendremos: K = L#1 + &%� � L = K/#1 + &%� Ejemplo 2.3. Cuanto debo consignar hoy en un fondo de inversión para que dentro de 3 años tenga una suma acumulada de $ 10.000.000 si la tasa de interés de dicho fondo es del 3,5% efectivo mensual. L = K/#1 + &%� � L = 10.000.000/#1 + 0,035%�� L = 10.000.000/#1,035%�� L = 10.000.0003,450266 = 2.898.327,17

En conclusión, si llevamos hoy al fondo de inversión $ 2.898.327,17, a una tasa de interés del 3,5% efectivo mensual, dentro de tres años el fondo nos entregará $ 10.000.000. De nuevo se pone de manifiesto el efecto ilusorio del dinero, dado que vemos que en solo tres años la suma está más que triplicada. En Excel podemos usar la función VA(tasa; nper; pago; vf; tipo) donde nper es el número de periodos; pago se utilizará mas adelante para el caso de las anualidades, por ahora se deja en blanco; VF se refiere al valor futuro de la inversión, tipo se refiere a si es vencido o anticipado, si no colocamos nada tomará por defecto como vencido. Ejemplo 2.4. En un proyecto de inversión que generará unas utilidades de 2% mensual sobre cualquier

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cantidad invertida a éste; se espera obtener dentro de 25 años, la suma de 200.000.000. ¿Si se quiere hacer hoy la única inversión al proyecto, que monto debe tener para alcanzar la suma esperada? L = K/#1 + &%� � L = 200.000.000/#1 + 0,02%� �L = 200.000.000/#1,02%� L = 200.000.000380,2345 = 525.991,19

Mas notorio aún el efecto ilusorio del dinero en un plazo largo. Aprovechemos entonces el caso para revisar como va cambiando en el tiempo.

años n #1 + 0,02%� P 5 60 3,2810 60.956.453,29

10 120 10,7652 18.578.445,99 15 180 35,3208 5.662.380,88 20 240 115,8887 1.725.793,28 25 300 380,2345 525.991,19

Al anterior fenómeno se le llama efecto del tiempo. También resulta interesante el efecto de la tasa de interés, tomando el mismo caso para tasas mensuales del 1%, 2% y 3%:

i #1 + &%� P 1% 19,7885 10.106.897,49 2% 300,2345 525.991,19 3% 7.098,5135 28.174,91

Concluimos entonces que cuando las tasas de interés son altas, los valores presentes de sumas alejadas en el tiempo, resultan ser relativamente pequeños. Llevando el razonamiento al terreno de los proyectos y las inversiones, tenemos que cuando los retornos de la inversión son tardíos, es difícil lograr la viabilidad del proyecto o de la inversión. De otro lado, tenemos como justificación este efecto de las bajas en las tasas de interés que se hacen necesarias en los tiempos de recesión, buscando reactivar la economía, ya que su efecto es notoriamente sensible.

Valor futuro de una serie uniforme

Las series se refieren a pagos uniformes o iguales que se hacen al final de cada periodo consecutivo y que tienen su equivalente al inicio o al final de todo el horizonte de la inversión. Para el caso del momento inicial hablamos de valor presente de la serie uniforme y para el momento final hablamos de valor futuro de una serie uniforme. La ecuación que nos resuelve estos casos es la siguiente:

K� = N O#1 + &%� − 1& P Donde Fn es el valor futuro para un periodo de tiempo n, A se refiere a la amortización o cuota o pago que se va haciendo de forma uniforme, e i es la tasa de interés constante para todo el periodo. Ejemplo 2.5. Se hacen depósitos a un fondo de inversiones por un monto de $100.000 al final de cada mes y durante 10 meses, los cuales restarán a una tasa de interés de 2,7% mensual. Queremos saber la cantidad acumulada al final del periodo. Veámoslo gráficamente:

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Aunque en estos casos los depósitos se hacen a comienzo de periodo, nosotros podemos correr el esquema un periodo hacia atrás para que el análisis sea aplicable. K� = QR#�ST%UV�WT � K� = �.X#�S, Y%��V�Z, Y � K� = �.R�,�,�V�W, Y � K� = �., [, �, Y = 1.130.675,04

En conclusión, ha hecho aportes al fondo de inversión por $ 1.000.000 mediante 10 pagos mensuales, y el fondo le ha generado rendimientos por $ 130.675,04. No parece una gran cantidad de intereses, pero veamos que los pagos no se hicieron al comienzo del periodo, sino repartidos durante el intervalo de tiempo. Ejemplo 2.6. Consideremos el caso del ejemplo anterior, pero haciendo los pagos al inicio de periodo, como suele ser en la vida real. El primer pago entra en la fecha cero y el último pago al final del periodo n-1, de manera que alcanzará a a ganar intereses durante un intervalo de tiempo. La ecuación usada en el caso anterior resulta aplicable, pero al pago del momento cero lo excluimos de ella y le damos tratamiento especial llevándolo de forma individual a valor futuro, así:

Primer pago: K� = 100.000#1,027%� = 100.000#1,3052823% = 130.528,23

Pagos restantes: K� = QR#�ST%UV�WT � K\ = �.X#�, Y%]V�Z, Y � K\ = �.R, Y\��W, Y = 1.003.578,42

Valor futuro total: K = 130.528,23 + 1.003.578,42 = 1.134.106,65 Si comparamos la respuesta con la del ejemplo anterior, vemos que es ligeramente mayor, por lo que alcanzan a ganar interés durante el primer periodo. La misma expresión la podemos despejar de otra forma para calcular el monto de la cuota, pago o amortización que debe hacerse por cada intervalo de tiempo en una serie K� = QR#�ST%UV�WT � N = K ^ T#�ST%UV�_ Ejemplo 2.7. Si necesitamos acumular un ahorro de $ 8.000.000 dentro de un año, ¿que suma constante debemos depositar, si el interés que se puede obtener mensualmente es del 2,1%?

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N = K ` &#1 + &%� − 1a N = 8.000.000 ^ , �#�S, �%��V�_ � N = 8.000.000 ^ , �, [� ��_ � N = 8.000.000#0,074141284% =593.130,27 Entonces necesitamos ahorrar cada mes un monto de $ 593.130,27 para tener acumulados ocho millones dentro de un año. En la hoja electrónica, podemos calcular el valor del pago A con la fórmula PAGO(tasa; nper; P; F) Así: PAGO ( 0,021; 12; 0; 8000000)

Valor presente de una serie uniforme

Mientras el valor futuro de una serie nos permitía saber por ejemplo la cantidad acumulada en ahorros programados, o el valor a recibir por una inversión constante; en el valor presente de una serie uniforme podemos calcular por ejemplo la cantidad que debemos consignar hoy para generar una renta constante durante un periodo de tiempo. La ecuación que nos soluciona esta situación es la siguiente:

L = N O#1 + &%� − 1&#1 + &%� P = N O1 − #1 + &%V�& P Podemos utilizar cualquiera de las dos igualdades de acuerdo con al gusto de quien esté abordando el cálculo. Para algunos resulta mas clara la primera, pues no tiene exponentes negativos. Para otros, es mas simplificada la segunda expresión por tener menos términos. Ejemplo 2.8. Tomemos de nuevo los depósitos del ejercicio 2.5., como si fueran la amortización de un préstamo que recibimos en el momento cero. Calculemos de cuanto monto fue dicho préstamo.

L = N O#1 + &%� − 1&#1 + &%� P L = 100.000 O #1 + 0,027%� − 10,027#1 + 0,027%�P

L = 100.000 `0,3052822610,035242621a = 100.000#8,66230297% = 866.230,30

Igualmente, podemos despejar la fórmula para calcular el monto de la cuota, amortización o pago, dado que conocemos el valor presente de la serie de pagos. Este es el cálculo más típico, cuando vamos a cotizar un préstamo y esperamos conocer el monto de la cuota que debemos pagar dependiendo del plazo a que pactemos el préstamo. Ejemplo 2.9. Se quiere saber cuál será el monto de la cuota mensual que se debe pagar, por un crédito de $8.000.000 que recibimos el día de hoy, pactado a 5 años, y una tasa de interés de 1,8% mensual.

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N = L O &#1 + &%�#1 + &%� − 1P N = 8.000.000 O0.018#1 + 0.018%�#1 + 0.018%� − 1 P

N = 8.000.000 O0.018#1 + 0.018%�#1 + 0.018%� − 1 P = 8.000.000 �0,0524975681,916531558� = 219.135,73

Con Excel puede obtener el mismo resultado usando la fórmula PAGO(tasa, nper, P, F) de la siguiente forma: PAGO(1,8%; 60; 8000000;0). ¡Haga la prueba! También puede obtener un resultado más explícito que incluye tabla de amortización, usando la plantilla de “Amortización de Préstamo” incluida en Excel. Ejemplo 2.10.4 El Consejo de Estado aplica las fórmulas de las anualidades para determinar el valor de las indemnizaciones por perjuicios materiales y morales. Para el magistrado Carlos Betancur Jaramillo se utiliza la anualidad consolidada o vencida:

K = N O#1 + &%� − 1& P “para determinar la indemnización configurada por la suma de las mesadas o anualidades que debieron pagarse en el periodo comprendido entre la fecha del acaecimiento del perjuicio y la de la ejecutoria de la sentencia”, donde el valor futuro es la suma que se busca o monto de la condena o indemnización vencida. La tasa de interés puro o técnico acorde con el artículo 1617 del Código Civíl:

ARTICULO 1617. <INDEMNIZACION POR MORA EN OBLIGACIONES DE DINERO>. Si la obligación es de pagar una cantidad de dinero, la indemnización de perjuicios por la mora está ujeta a las reglas siguientes:

1a.) Se siguen debiendo los intereses convencionales, si se ha pactado un interés superior al legal, o empiezan a deberse los intereses legales, en el caso contrario; quedando, sin embargo, en su fuerza las disposiciones especiales que autoricen el cobro de los intereses corrientes en ciertos casos.

El interés legal se fija en seis por ciento anual.

<Jurisprudencia Vigencia>

Corte Constitucional

- Inciso 2o. de la regla 1a. declarado EXEQUIBLE por la Corte Constitucional mediante Sentencia C-485-95 de octubre 30 de 1995. Magistrado Ponente Dr. Jorge Arango Mejía.

2a.) El acreedor no tiene necesidad de justificar perjuicios cuando solo cobra intereses; basta el hecho del retardo.

3a.) Los intereses atrasados no producen interés.

4a.) La regla anterior se aplica a toda especie de rentas, cánones y pensiones periódicas.

4 Tomado y corregido de ARÉVALO NIÑO, José Abdenago. Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública.

ESAP Publicaciones. Programa de Administración Pública Territorial. Bogotá D.C., 2004. Páginas 79 a 88

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<Jurisprudencia Vigencia>

Corte Constitucional

- La Corte Constitucional se declaró INHIBIDA de fallar sobre este artículo por ineptitud de la demanda, mediante Sentencia C-112-07 de 21 de febrero de 2007, Magistrada Ponente Dra. Clara Inés Vargas Hernández.

- Artículo declarado EXEQUIBLE, en los términos de la sentencia, por la Corte Constitucional mediante Sentencia C-367-95 del 16 de agosto de 1995. Magistrado Ponente Dr. José Gregorio Hernández Galindo.

Como las cuotas o pagos son mensuales, debemos convertir la tasa efectiva anual en efectiva mensual: #1 + &%� = #1 + $%b #1 + &%� = #1 + 0,06%� 1 + & = #1,06% �� & = 1,004867551 − 1 = 0,4867551% efectiva mensual La cuota debe ser actualizada para poder proceder en concordancia con el Artículo 178 del Código Contencioso Administrativo (CCA). La indemnización futura o anticipada:

L = N O#1 + &%� − 1&#1 + &%� P = N O1 − #1 + &%V�& P “se utiliza para determinar la indemnización, en el periodo comprendido entre la fecha del fallo que reconoce el perjuicio y la determinación de la vida probable del damnificado o víctima, según el caso, tomando siempre la vida probable menor. En caso de hijos menores que deban ser indemnizados, la condena irá hasta el día de cumplimiento de su mayoría de edad.” Teniendo en cuenta lo anterior, calcular el monto de la condena debidamente indexada a cargo del Ministerio de Transporte en desarrollo de la acción establecida en el Artículo 86 del CCA, interpuesta por los herederos legítimos del señor HELIO BURGOS SÁNCHEZ, quien murió atropellado por un vehículo de la mencionada entidad pública, el 16 de junio de 1996. La fecha de ejecutoria de la segunda instancia fue el 21 de junio de 2002 Ingresos probados del solicitante: $ 900.000 mensuales por concepto de salarios. El Ad Quem concedió además, el 25% a título de carga prestacional, cantidad solicitada por el actor en la demanda y que le había sido denegada en la primera instancia. Los perjuicios morales se fijaron jurisprudencialmente en 45 salarios mínimos mensuales para cada uno de los familiares en primer grado de consanguinidad y primero de afinidad. Para efectos del cálculo de la esperanza de vida usamos la tabla de la Superintendencia Bancaria.

NOMBRE FECHA NACIMIENTO PARENTESCO CON CAUSANTE HELIO BURGOS SÁNCHEZ Oct. 2 de 1952 Causante INÉS ARDILA DE BURGOS Sept. 1 de 1957 Cónyuge LUIS BURGOS ARDILA Nov. 23 de 1979 Hijo ANA BURGOS ARDILA Dic. 14 de 1981 Hija ANTONIO BURGOS ARDILA Nov. 12 de 1983 Hijo

Primero debemos calcular el incremento y actualización del salario, a la fecha de ejecutoria de la sentencia. El salario se incrementa en un 25% correspondiente a la carga prestacional 900.000(1,25) = 1.125.000 Ahora lo actualizamos a pesos de la fecha de la ejecutoria, es decir indexando al IPC acumulado al

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final del mes anterior:

N5.;:9&c:5&ó- = I:970ℎ&2.ó0&57 d Í-8&5/4&-:9:(:E72002Í-8&5/$-&5&:9: ;-&71996g

Para los índices se debe tomar de la tabla que publica el Banco de la República, el IPC acumulado del respectivo mes: N5.;:9&c:87 = 1.125.000 �133.428.88468.265.375 � = 2.182.402,05

Es oportuno especificar que esta suma es superior al salario mínimo legal mensual vigente en la fecha del fallo. En caso de que hubiere resultado menor, se tendría que ajustar al mayor valor. Ahora debemos hacer la distribución del salario entre los familiares del causante. Sin embargo, hay que primero tener en cuenta que el causante destinaba el 25% para su congrua subsistencia, los cuales no iban al sostenimiento de su familia: 2.182.402,05 (0,25) = $ 545.600,51 2.182.402,05 – 545.600,51 = 1.636.801,54 La suma de $ 1.636.801,54 se distribuye así: 50% para el cónyuge supérstite y el 50% restante entre los hijos menores de edad por partes iguales. Para la cónyuge supérstite: 1.636.801,54 (0,50) = 818.400,77 Para cada uno de los tres hijos menores: 818.400,773 = 272.800,26

Ahora calculemos la esperanza de vida según la cual se determinará el monto que ella recibiría en el resto de su vida:

Edad Esperanza de vida HELIO BURGOS SÁNCHEZ 43 33,99 INÉS ARDILA DE BURGOS 38 40,16

Liquidación de INÉS ARDILA DE BURGOS: Liquidación consolidada o vencida Desde 16/06/1996 hasta el 21/06/2002

Días Meses Años Total 21 06 2002 6 años, 5 días

2.165 días = 72,16 meses 16 06 1996 05 0 6

A= 818.400,77 n = 72,16 i = 0,4867551% F =?

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$-8/(-&c:5&ó-6/-5&8::K = 818.400,77 O#1,004867551%Y ,�� − 10,004867551 P = $70.984.847,42

Indemnización futura o anticipada. Horizonte de liquidación (33,99) 12 = 407,88 meses Restamos el periodo ya liquidado: 407,88 – 72,16 = 335,72 meses

$-8/(-&c:5&ó-4;.;0: = 818.400,77 O1 − #1,004867551%V��,,Y 0,004867551 P = 136.025.343,20

Total perjuicios materiales = Indemnización vencida + Indemnización futura o anticipada Total perjuicios materiales = $ 70.984.847,42 + 136.025.343,20 = 207.010.190,60 Liquidación de LUIS BURGOS ARDILA: Fecha en la que cumplió 18 años: 23/11/1997

Días Meses Años Total 23 11 1997 1 año, 5 meses, 7 días

17,23 meses 16 06 1996 7 5 1

Horizonte de liquidación: 17,23 meses

$-8/(-&c:5&ó-57-279&8:8: = 272.800,26 O#1,004867551%�Y, � − 10,004867551 P = 4.890.681,50

Total perjuicios materiales: $ 4.890.681,50 Note que en el caso de los hijos del causante, solo liquidamos la indemnización consolidada, ya que cumplieron la mayoría de edad antes de la fecha de ejecutoria de la sentencia. Liquidación de ANA BURGOS ARDILA: Cumplió 18 años el 14/12/1999

Días Meses Años Total 44 11 3 años, 5 meses, 28 días

1528÷30 = 41,93 meses 14 12 1999 16 06 1996 28 5 3

$-8/(-&c:5&ó-57-279&8:8: = 272.800,26 O#1,004867551%��,\� − 10,004867551 P = 12.655.407,41

Total perjuicios materiales: $ 12.655.407,41 Liquidación de ANTONIO BURGOS ARDILA: Cumplió 18 años el: 12/11/2001


1996÷30 = 64,86 meses 12 11 2001 16 06 1996 26 4 5

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$-8/(-&c:5&ó-57-279&8:8: = 272.800,26 O#1,004867551%��,[� − 10,004867551 P = 20.746.718,01

Total perjuicios materiales: $ 20.746.718,01 Conclusión:

Nombre Parentesco Perjuicios morales Perjuicios Materiales Total perjuicios INÉS ARDILA DE BURGOS Cónyuge $ 13.770.000 $ 207.010.190,60 $220.780.190,60 LUIS BURGOS ARDILA Hijo $ 13.770.000 $ 4.890.681,50 $ 18.660.681,50 ANA BURGOS ARDILA Hija $ 13.770.000 $ 12.655.407,41 $ 26.425.407,41 ANTONIO BURGOS Hijo $ 13.770.000 $ 20.746.718,01 $ 34.516.718,01 $300.382.997,50

El valor total de la condena asciende a: $ 300.382.997,50 Ejemplo 2.11. Determinar el valor por el cual debe emitir la entidad condenada, el cheque correspondiente de acuerdo con la sentencia del Consejo de Estado de febrero 26 de 2002 dentro de la Acción de Reparación Directa promovida por los sucesores del señor IVAN RIOS JAIMES, de 45 años de edad, cuyo deceso instantáneo tuvo lugar el 4 de agosto de 1995 como consecuencia de las fracturas múltiples que, al arrollarlo, le ocasionó el vehículo oficial conducido por un funcionario al servicio de la persona jurídica de derecho público responsable del hecho lesivo. Para resolver, considérese los siguientes elementos extractados de la señalada Providencia: · Total de ingresos mensuales del causante por concepto de salarios conforme con certificación oportunamente allegada al proceso de primera instancia: $210.000oo. · Por petición expresa de la parte actora, la suma así establecida se incrementará en un 25% concerniente a la carga prestacional. · Las fechas de nacimiento del cónyuge supérstite y de los tres hijos comunes del matrimonio, celebrado conforme a los rituales de la iglesia Católica, se presenta a continuación.

Nombre Parentesco Fecha Nacimiento DORA LUZ ZEA ROA Cónyuge 12/01/1948 MAGDA RÍOS ZEA Hija 28/12/1976 ÁNGEL IVÁN RÍOS ZEA Hijo 23/03/1979 LUZ MERY RÍOS ZEA Hija 11/06/1985

· Aunque el tribunal de origen no ordenó la actualización del salario devengado por el señor Iván Ríos Jaimes por no haberse solicitado en el escrito de demanda, el Consejo de Estado decide concederla de oficio de acuerdo con los lineamientos jurisprudenciales de esa Corporación (véanse, entre otras sentencias, el expediente 10.652 de 16 de julio de 1998, Consejero ponente Ricardo Hoyos Duque. Consejo de Estado; expediente 8.020 de 27 de octubre de 1994, Consejero ponente Daniel Suárez Hernández) · Reconoce el Ad quem 40 salarios mínimos mensuales legales vigentes a la señora Dora Luz Zea Roa y 20 salarios mínimos mensuales legales vigentes a cada uno de sus tres hijos por concepto de perjuicios morales. · Por lo demás, precédase de acuerdo con los criterios de valoración adoptados por el Consejo de Estado para calcular el monto de la condena a cargo de la Entidad Pública. INFORMACIÓN ADICIONAL · Fecha de ejecutoria de la sentencia: marzo 22 de 2002. · Fecha del pago en sede administrativa: agosto 30 de 2002. DESARROLLO

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a) INCREMENTO Y ACTUALIZACIÓN (DE OFICIO) DEL SALARIO - Se incrementa en el 25% correspondiente a la carga prestacional. (210.000)(1,25) = 262.500

Actualización = ValorHistórico d Índicexinal: feb2002Índiceinicial: Ago1995g

Actualización = 262.500 �130,28151757,837565 � = 591.292,1509

b) DISTRIBUCIÓN DEL SALARIO De ese valor, el causante destinaba el 25% para su subsistencia: 591.292,1508 – (591.292,1509)0.25 = 591.292,1509 (1 – 0.25) = 591.292,1509 (0.75) = $ 443.469,1132 Esa última suma se distribuye así: 50% para la cónyuge supérstite y el 50% restante entre los hijos menores, por partes iguales. Para la cónyuge supérstite: (443.469,1132)50% =$ 221.734,5566

Para cada uno de los dos hijos menores: �.Y��,,,�� = 110.867,2783

Para Ángel Iván Ríos Zea: $ 110.867,2783 Para Luz Mery Ríos Zea: $ 110.867,2783 c) ESPERANZA DE VIDA (Según tabla de mortalidad de la Superintendencia Bancaria) Iván Ríos Jaimes (45 años): e°45=32,16 años Dora Luz Zea Roa (47 años): e°47=31,89 años Se toma la menor esperanza de vida = 31,89 años d) LIQUIDACIONES El interés legal, puro o técnico es de 0.06 efectivo anual, equivalente a 0,004867551 efectivo mensual Fecha focal de referencia: Fecha del fallo 26/02/2002 Liquidación de DORA LUZ ROA: Horizonte de liquidación: (31,89)12=382,68 meses

Indemnización vencida o consolidada: Desde 04/08/1995 hasta 26/02/2002


(360)6+6(30)+22=2362 2362÷30=78,7333 meses

26 02 2002 04 08 1995 22 06 6

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$-8/(-&c:5&ó-57-279&8:8: = 221.734,5566 O#1,0048675%Y[,Y�� − 10,0048675 P = 21.212.653,29

Indemnización futura o anticipada: Horizonte de liquidación: 382,68 – 78,7333 = 303,9467 meses

$-8/(-&c:5&ó-:-.&5&>:8: = 221.734,5566 O1 − #1,0048675%V��,\��Y0,0048675 P = 35.141.366,35

Total Perjuicios Materiales = Indemnización consolidada + Indemnización anticipada Total Perjuicios Materiales = $ 21.212.653,29 + $ 35.141.366,35 = $ 56.354.019,64 Liquidación de ÁNGEL IVÁN RÍOS ZEA Fecha en que cumplió 18 años: 23/03/1997 Horizonte de liquidación: 19,6333 meses, calculados así:

Días Meses Años Total 15 1996 1 año, 7 meses, 19 días

360+7(30)+19=589 días 589÷30 = 19,6333 meses

23 03 1997 04 08 1995 19 7 1

Sólo indemnización debida o consolidada, ya que se hace mayor de edad antes de la ejecutoria de la sentencia.

$-8/(-&c:5&ó-57-279&8:8: = 110.867,2783 O#1,0048675%�\,�� − 10,0048675 P = 2.278.282,972

Total de perjuicios materiales: $ 2.278.282,972 Liquidación de LUZ MERY RÍOS ZEA: Fecha en que cumple los 18 años: 11/06/2003 Horizonte de liquidación: 94,2333 meses, calculados así:


7(360)+10(30)+7=2.827 2.827÷30 = 94,2333

11 06 2003 04 08 1995 07 10 7

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Indemnización consolidada: Desde 04/08/2002 hasta 26/02/2002


6(360)+6(30)+22=2.362 2.362÷30 = 78,7333

26 02 2002 04 08 1995 22 06 6 $-8/(-&c:5&ó-57-279&8:8: = 110.867,2783 ^#�,�[�Y,%|},|��V�,�[�Y, _=10.606.326,64

Indemnización futura o anticipada: Horizonte de liquidación: 94,2333 – 78,7333 = 15,5 meses

$-8/(-&c:5&ó-4;.;0: = 110.867,2783 O1 − #1,0048675%V�,,,0,0048675 P = 1.651.351,61

Total perjuicios materiales: Indemnización consolidada + Indemnización futura Total perjuicios materiales = 10.606.326,64 + 1.651.351,61 = 12.257.678,25 Consolidamos ahora las liquidaciones en la siguiente tabla: Nombre Parentesco Perjuicios

morales Capital actualizado

Indemnización consolidada

Indemnización futura

Total perjuicios

Dora Luz Zea Roa

Cónyuge 12.360.000 221.734,5566 21.212.653,29 35.141.36,35 68.714.019,64

Magda Ríos Zea

Hija 6.180.000 6.180.000,00

Ángel Iván Ríos Zea

Hijo 6.180.000 110.867,2873 2.278.282,972 8.458.282,972

Luz Mery Ríos Zea

Hija 6.180.000 110.867,2873 10.606.326,64 1.651.351,61 18.437.678,25

Total a pagar: 101.789.980,90 Liquidación de intereses en sede administrativa: Fecha de ejecutoria: Marzo 22 de 2002 Fecha de pago: Agosto 31 de 2002 Capital: $ 101.789.980,90

Periodo Días: n i : Tasa (%) Interés

$ = ~ ∙ & ∙ -365 = #10.789.980,90% ∙ & ∙ -365

1 Mar. 23 a Mar. 31 9 (20,97)(1,5)=31,455 789.485,8806 2 Abr. 1 a Abr. 30 30 (21,03)(1,5)=31,545 2.639.149,2720

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3 May. 1 a May. 31 31 (20,00)(1,5)=30,000 2.593.552,9380 4 Jun. 1 a Jun. 30 30 (19,96)(1,5)=29,940 2.504.870,1600 5 Jul. 1 a Jul. 31 31 (19,77)(1,5)=29,655 2.563.727,0790 6 Ago. 1 a Ago. 30 30 (20,01)(1,5)=30,015 2.511.144,8850

Total intereses moratorios: 13.601.930,2100 Pago total en sede administrativa = monto de la condena + intereses moratorios Pago total en sede administrativa = 101.789.980,90 + 13.601.930,21 = 115.391.911,11

Valor presente de una serie con gradiente

El gradiente es la rapidez con la que una variable cambia de valor. Para el caso de una serie de pagos se refiere al incremento uniforme que va teniendo la cuota o monto a pagar o depositar, de manera que cada pago es igual al anterior más una cantidad fija. La ecuación a utilizar para determinar la cuota correspondiente a una serie periódica uniforme equivalente a la serie con gradiente g es: N = � `1& − -#1 + &%� − 1a Las ecuaciones de valor presente y valor futuro resultan un poco complejas, sin embargo el orden al trabajar, la correcta aplicación de la jerarquía de operadores y el uso adecuado de la calculadora permiten hacer deducciones de valores importantes. Veamos las ecuaciones de valor presente y valor futuro de un gradiente aritmético:

L = �& O#1 + &%� − 1&#1 + &%� − -#1 + &%�P K = �& O#1 + &%� − 1& − -P

Ejemplo 2.12. Suponga que debemos hacer la siguiente serie de pagos anuales, en miles de pesos: 300, 350, 400, 450, 500, 550; la tasa de interés es del 35% anual. Sin embargo, queremos renegociar la deuda, estableciendo una forma de pago constante, y la entidad acreedora establece que los pagos negociados deberán ser equivalentes a la serie de pagos inicialmente establecida. Entonces debemos considerar dos componentes de la serie inicial: una serie fija de pagos de 300 mil y una serie de pagos con gradiente que parte de cero y aumenta de 50 mil en 50 mil. Veámoslo en una gráfica:

A1 = 300 N = 50.000 ` 10,35 − 6#1 + 0,35%� − 1a = 50.000#1,669834% = 83.491,70 N = N� + N = 300.000 + 83.491,70 = 383.491,70 En conclusión, hacer 6 pagos anuales que inician en 300 mil y se incrementan anualmente en 50 mil, es equivalente a hacer 6 pagos anuales constantes de 383.491,70, siempre que la tasa de interés anual sea

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de 35%.

Ejemplo 2.14. Valor actual de un gradiente aritmético pos pagable. Calcular el valor de contado en unidades monetarias UM, de un producto adquirido con financiamiento. Con una cuota inicial de UM 1.500 y el saldo en 24 cuotas mensuales que aumentan en UM 80 cada mes, siendo de UM 250 la primera. La tasa de interés es de 2,8% mensual.

A = 250; n =24; i = 0,028; g = 80; P = ?

1º Calculamos el valor actual del gradiente:

L = 800,028 O #1 + 0,028% � − 10,028#1 + 0,028% � − 24#1 + 0,028% �P = 17.740

2º Calculamos el valor actual de la serie:

L = 250 O #1,028% � − 10,028#1,028% �P = 4.327

Finalmente, calculamos el valor de contado del producto, sumando los valores actuales: 1.500 + 17.740 + 4.327 = UM 23.567

Temas del foro:

Discuta sobre la viabilidad en términos de rendimiento de invertir en las famosas pirámides. ¿Es posible un rendimiento de más del 50% mensual en Colombia? ¿Vale la pena asumir el riesgo?

Opine sobre la aplicabilidad de las matemáticas financieras al ámbito jurídico en la liquidación de sentencias y si es necesario incluirlas en la formación del profesional en derecho.

Taller con Excel:

Ingrese a la hoja de cálculo y use las funciones PAGO, VF y VP para verificar los ejemplos de la unidad. Construya un ejemplo para mostrar el funcionamiento de cada fórmula.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- El ordenador del gasto municipal deposita en una cuenta de ahorros $ 1’400.00 al final de cada mes durante 7 meses. Si la tasa de interés que paga la entidad financiera es del 1.3% efectiva mensual, ¿cuánto dinero recibe al final del último mes?

Si el ordenador del gasto municipal hace los mismos depósitos al principio de cada mes y durante el

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mismo tiempo, ¿qué cantidad recibe dentro de siete meses?

2.- Un municipio consigue un préstamo por 38 millones de pesos, se compromete a pagarlo mediante 24 cuotas mensuales iguales en forma anticipada. Si la tasa de interés que cobra el banco es del 1.5% efectivo mensual. A) Calcular el valor de las cuotas mensuales.

B) Si el municipio paga las cuotas al final de cada mes, ¿cuál será el valor de cada cuota?

3.- Con el fin de modernizar y ampliar la cobertura de los servicios públicos, un municipio consigue un préstamo por 1200 millones de pesos a Findeter modalidad de cofinanciación para pagarlos durante 10 años mediante cuotas mensuales vencida pagando una tasa de interés del 1.5% E.M. Después de pagar la cuota 80 debido al sobredimensionamiento burocrático, el municipio pide a Findeter le financie la deuda 6 años más. Findeter acepta la financiación pero la condiciona a una nueva tasa de interés del 1.8% E.M. Se pide:

A. Calcular el valor de las cuotas refinanciadas.

B. El saldo de la deuda después de haber cancelado la cuota refinanciada número 48.

C. El total de intereses pagados de la deuda refinanciada hasta la cuota 48.

4.- Un municipio consigue un préstamo por 80 millones de pesos para pagarlo durante 5 años mediante cuotas mensuales (iguales) vencidas, pagando una tasa de interés del 1.4% efectivo mensual. Se pide:

A. Hallar el valor de la cuota mensual.

B. La distribución de la cuota número 40 (que parte de la cuota amortiza capital y que parte va a pagar intereses)

5.- Cuantas consignaciones de $1’783.650 debe hacer el ordenador del gasto público al final de cada mes en una corporación que cobra una tasa de interés del 1.6% efectiva mensual, para cancelar una deuda de $24’000.000.

6.- ¿Cuántos depósitos de 484.000 se deben efectuar al final de cada trimestre en una corporación que paga una tasa de interés del 11% anual para reunir $2’600.000?

7.- Un alcalde municipal se compromete a pagar 36 cuotas de $900.000 cada una al final de cada mes por la compra de un carro para servicio de la entidad territorial. El concesionario le cobra una tasa de interés de 29% efectivo anual, y le da la oportunidad de cancelar la primera cuota dentro de un año. Para hacer frente a esta obligación el burgomaestre decide comprar ganado vacuno de levante y colocarlo en esas propiedades del municipio. Se pregunta: ¿Cuánto debe invertir el alcalde en ganado vacuno en pesos de hoy?

8.- Un colegio oficial de un municipio con 1200 estudiantes necesita laboratorios de Física, Química e Idiomas. El costo de esta inversión es por $460.000.000. Para conseguir este objetivo el Alcalde Municipal y el Rector del Colegio constriñen a los estudiantes para que cada uno haga un aporte al final

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de cada mes por valor de $10.000. El dinero es depositado en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés del 2% E.M. ¿Cuántos depósitos se deben hacer al final de cada mes para reunir el dinero para conseguir los laboratorios? ¿Cuál delito se tipifica de acuerdo al Código Penal?

9.- Para hacer innovación tecnológica una empresa decide contratar con una firma internacional para que ésta instale tecnología de punta en la empresa de acuerdo con las siguientes condiciones:

La empresa da una cuota inicial de 50 millones de pesos, contando para esto con los recaudos del IVA y el dinero descontando por nómina con destino al I.C.S.S. además, se comprometió a pagar 14 cuotas mensuales c/u de $8’700.000 con la primera cuota a pagar dentro de 5 meses y una cuota extraordinaria de $10’000.000 un trimestre después de cancelar la última cuota mensual. Si la tasa de interés es del 5% efectiva bimestral se pide: a) Determine el valor de la inversión en tecnología en pesos de hoy. b) Si hay delitos que tipifiquen dentro del Código Penal, cuáles son?

10.- Con el fin de mantener en buen estado la malla vial una ciudad adquirió una máquina para producir asfalto gracias a una donación de una entidad internacional. Los estudios técnicos le dieron una vida útil de 15 años. Los estudios financieros pronosticaron utilidad neta durante los seis primeros años por $ 1’400.000 al final de cada mes y de $1’600.000 al final de cada mes durante el tiempo restante. Por descuido en el servicio de mantenimiento la máquina productora de asfalto funcionó durante 10 años. Si la tasa de interés de oportunidad es del 17% E.S., determine: a) ¿Cuánto dinero dejó de recibir la ciudad por concepto de utilidades? b) ¿Cuál o cuáles delitos se tipifican de acuerdo con el Código Penal?

11.- Una entidad territorial adquiere maquinaria para obras públicas por valor de $98’700.000. Para pagarlo durante tres años mediante cuotas mensuales vencidas (iguales) con una tasa de interés 2.3% E.M.. Al cancelar la cuota #20 del empréstito el ordenador del gasto profiere una resolución mediante la cual se imputa el 60% a capital y el 40% a intereses. ¿Es financieramente correcta la decisión? ¿Cuál delito se tipifica de acuerdo al Código Penal?

12.- Como resultado de la venta de bienes mostrencos y vacantes, un Alcalde Municipal asesorado por una firma de corredores de bolsa invierte $120’000.000 en un portafolio de inversiones a saber:

- A.D.R.

- WARRANTS

- Acciones de tecnología.

- Fondos de inversión.

- Moneda extranjera.

El corredor de bolsa le garantiza al Alcalde Municipal ingresos por $6’500.000 al final de cada mes durante los primeros ocho meses y de $7’000.000 al final de cada mes durante los siguientes diez meses. Exceptuando el sexto mes en el cual se pronostica una subida de precios de las acciones de internet por $7’800.000. Si la tasa de interés es del 22% E.A. se pide:

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- Analizar si es financieramente viable esta inversión.

- Evaluar la actuación del funcionario a la luz de la legislación penal.

13.- Con el fin de capacitar a la comunidad el ordenador del gasto de un municipio decide que 5 personas se preparen en diferentes áreas de gestión pública en cursos semestrales durante dos años.

El costo de cada semestre por persona es de $2’500.000 y los cursos empezarán dentro de siete meses. Con este propósito la entidad territorial utilizará el sistema de financiación de becas y desea hacer una provisión presupuestal hoy para sufragar la inversión en educación. Si la tasa de interés es del 2.4% E.M. , se pregunta: ¿De cuanto debe ser la provisión en pesos de hoy? ¿Incurrió en delito el ordenador del gasto municipal?

14.- Un municipio ubicado en una región productora de arroz decide reparar un molino de su propiedad para procesar el arroz no solo de este municipio sino de otros de la misma región. Se estima que el tiempo para poner en funcionamiento la máquina es de ocho meses, el costo de reparación es de $ 2’700.000 al final de cada mes al cabo del cual y durante 24 meses más (tiempo de gestión del alcalde) los costos fijos por concepto de mantenimiento y mano de obra serán de $ 2’900.000 cada mes, los ingresos por $ 7’800.000 al fin de cada periodo. El alcalde este municipio en condición de especialista en ingeniería ambiental, cobra $ 250.000 cada mes durante los 24 meses por dar asesoría sobre el reciclaje de basuras y protección del medio ambiente. Tasa de interés 2.8% E.M. Se pregunta: Financieramente, ¿es un buen negocio para el municipio? ¿Qué hecho o hechos punibles se tipifican con la actuación del alcalde?

15.- Una casa propiedad de un municipio es ocupada de facto y a título gratuito por el alcalde municipal para instalar una fábrica de confecciones de su propiedad con el propósito de atender la demanda de 400.000 personas. Para tal efecto, negocia una franquicia para producir ropa de la misma marca de una importante empresa durante seis años. El contrato estipula un pago anual de 40 millones de pesos más $4.000 por cada prenda vendida. Al cabo del primer año la empresa propietaria de los derechos le propone a la firma confeccionista que por un pago único de $200’000.000 podrá continuar explotando los derechos durante los cinco años restantes sin lugar a pagos adicionales.

-Cuantas prendas tendrá que vender la compañía confeccionista para optar por la propuesta si su tasa mínima de rendimiento es del 40% E.A.

-Evalúe la presunta punibilidad del alcalde.

16.- Por solicitud interna de la División Jurídica el departamento de apoyo legal y ejecución de sentencias de una entidad territorial demandada debe cuantificar las pautas generales que el Consejo de Estado define como a continuación se refiere para su posterior concreción mediante incidente que ha de promover el apoderado del actor, Esteban Rico Leaño, desempleado y cónyuge supérstite de María Paula Salazar de Rico, funcionaria de Industrias ABC Ltda.., cuyo deceso, producto de un hecho administrativo a cabo de a referida persona de Derecho Público, ocurrió el 17 de agosto de 1991:

Fecha de ejecutoria de la sentencia Marzo 13 de 2002

Fecha de nacimiento:

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María Paula Salazar de Rico Julio 24 de 1952

Esteban Rico Leaño Noviembre 13 de 1951

Nicolás Rico Salazar Octubre 19 de 1988

Maria Fernanda Rico Salazar Enero 16 de 1990

Último salario mensual de María Paula Salazar de Rico, según certificación expedida por Industrias ABC Ltda.: $135.000.

En el escrito de la demanda no se impetró incremento por concepto de carga prestacional.

El informe solicitado por la oficina jurídica se rinde como preparación del recurso de apelación contra el auto que admita el incidente de concreción.

Entrega del cheque al beneficiario, noviembre 6 de 2003

A. Utilícese las tablas de Esperanza de Vida de la Superintendencia Bancaria.

B. Actualícense los ingresos de las persona natural fallecida, hasta el día de la ejecutoria de la sentencia, con base en el Índice de Precios al Consumidor (I.P.C.), publicada por el DANE.

C. Empléese para efectos de los cálculos de la indemnización por perjuicios materiales concernientes al cónyuge sobreviviente y a sus dos hijos menores el equivalente mensual efectivo a la tasa de interés legal puro o técnico del 6% anual y adóptense los algoritmos correspondientes a las anualidades consolidada o vencida y futura o anticipada, según cada caso, todo conforme a la reiterada jurisprudencia de esta corporación.

D. Páguense perjuicios morales por 30 salarios mínimos legales vigentes a cada uno de los beneficiarios.

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UNIDAD TRES: AMORTIZACIONES Y CAPITALIZACIONES

Resumen En matemáticas financieras la amortización es la reducción gradual de una deuda a través de pagos periódicos iguales o diferentes, en cantidad suficiente para pagar los intereses y liquidar la deuda a su vencimiento. La capitalización es el proceso de ir completando un monto final o valor futuro a partir de una serie de pagos iguales o diferentes. Se trabaja como el proceso inverso a la amortización. Los periodos de gracia se pueden pactar con pago o con acumulación de intereses. Es de aclarar que el periodo de gracia indica que no se hacen abonos a capital, pero siempre se cobraran intereses así estos se abonen o se acumulen.

Dado el efecto del dinero en el tiempo, las cuotas extraordinarias abonadas en los primeros periodos de pago de un crédito, generan mayor efecto que las abonadas al final.

Grafo de la Unidad

Amortizaciones En matemáticas financieras la amortización es la reducción gradual de una deuda a través de pagos periódicos iguales o diferentes, en cantidad suficiente para pagar los intereses y liquidar la deuda a su

Construcción de Tablas

De amortización

Con cuota fija

Con abono constante

Con periodos de gracia

Con pagos extraordinarios

Con cuota creciente

De Capitalización

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vencimiento En esta sección revisaremos los procesos de amortización mediante tablas. Procedimiento similar seguiremos para el caso de las capitalizaciones, teniendo en cuenta que se trata del proceso inverso. Mientras en la amortización se pretende pagar una deuda, en la capitalización se busca generar un monto de ahorro. Ejemplo 3.1. Amortización con cuota fija. Iniciemos con un caso sencillo, construyendo la tabla de amortización de un préstamo de $ 420.000 hecho por una cooperativa que ha definido como tarifa 33,28% nominal trimestre vencido. Sin embargo, este préstamo se pagará en cinco cuotas mensuales y no habrá periodo de gracia, ni se aceptará el pego de cuotas extraordinarias. Primero debemos calcular la tasa de interés efectiva mensual equivalente: #1 + &%� = �1 + ��, [� ��

� i = 0,027

Ahora calculamos la cuota mensual bajo estas condiciones:

N = L O &#1 + &%�#1 + &%� − 1P = 420.00 O0,027#1 + 0,027%,#1 + 0,027%, − 1 P = 90.925

Ahora construimos la siguiente tabla, en la que se van calculando mes a mes los intereses, descontándolos de la cuota y determinando la amortización a capital y el nuevo saldo:

Períodos Saldo Inicial Intereses Abono a Capital Cuota Saldo Final

0 $ 420.000 $ 0 $ 0 $ 0 $ 420.000

1 $ 420.000 $ 11.340 $ 79.585 $ 90.925 $ 340.415

2 $ 340.415 $ 9.191 $ 81.734 $ 90.925 $ 258.682

3 $ 258.682 $ 6.984 $ 83.940 $ 90.925 $ 174.741

4 $ 174.741 $ 4.718 $ 86.207 $ 90.925 $ 88.534

5 $ 88.534 $ 2.390 $ 88.534 $ 90.925 $ 0

Note que el monto de los intereses va disminuyendo por que se calculan sobre el último saldo. Otro aspecto a considerar y a la vez un punto de control es que al último saldo final debe darnos cero. En caso contrario puede estar mal calculada la cuota fija, o mal calculados los intereses o los saldos. Ejemplo 3.2. Amortización constante a capital. Consideremos el ejemplo anterior, pero haciendo amortizaciones constantes a capital, de manera que en cada cuota se pagan los intereses corridos a la fecha más una amortización constante a capital. Si bien este método resulta ser mucho menos usado que el anterior, lo presentamos por su interés como objeto de estudio y por la claridad que aporta a los cálculos. La cuota la calcularemos entonces dividiendo el monto total por 5 e incrementándole los intereses correspondientes. Notamos que las primeras cuotas resultan un poco más altas y van disminuyendo con el tiempo al disminuir la base de liquidación de intereses, veamos:

Períodos Saldo Inicial Intereses Abono a Capital Cuota Saldo Final

0 $ 420.000 $ 0 $ 0 $ 0 $ 420.000

1 $ 420.000 $ 11.340 $ 84.000 $ 95.340 $ 336.000

2 $ 336.000 $ 9.072 $ 84.000 $ 93.072 $ 252.000

3 $ 252.000 $ 6.804 $ 84.000 $ 90.804 $ 168.000

4 $ 168.000 $ 4.536 $ 84.000 $ 88.536 $ 84.000

5 $ 84.000 $ 2.268 $ 84.000 $ 86.268 $ 0

47

Ejemplo 3.3. Amortización con cuota fija y pagos extraordinarios. Se ha pactado un crédito de $ 5.600.000, a una tasa de interés equivalente a 30,38% nominal liquidable bimestralmente, el crédito se pagará en 20 cuotas fijas mensuales, una cuota extraordinaria de $ 300.000 junto con la cuota 6 y otra cuota extraordinaria de $ 500.000 con la cuota 14. Como estas cuotas extraordinarias son pactadas al inicio del crédito, debemos re calcular la cuota de acuerdo con lo amortizado a valor presente por los pagos extraordinarios. En caso de que los pagos extraordinarios no sean pactados, entonces al momento de hacerlos se puede proceder de dos maneras, de acuerdo con las políticas de crédito: re calcular las cuotas restantes de manera que se conserva el número de estas y el monto de la cuota baja; o dejando así las cuotas de manera que el crédito se terminará de amortizar en menor tiempo, o por lo menos la cuota final disminuirá. En este ejemplo, asumimos que las cuotas extraordinarias fueron pactadas, por lo que las traemos a valor presente y las restamos del valor prestado, para dejar solamente la cantidad que influirá en el cálculo de la anualidad y por tanto determinará el monto de la cuota fija. Primero llevamos la tasa nominal bimestral a efectiva mensual: #1 + &%� =�1 + ,��[� ��

� i = 0,025

Ahora traemos los valores de los pagos extra a valor presente: L = K#1 + &%�

I:970>0/2/-./28/>:�72/�.0: = K#1 + &%� + K#1 + &%� = 300.000#1 + 0,025%� + 500.000#1 + 0,025%�� I:970>0/2/-./8/>:�72/�.0: = 258.689,06 + 353.863,60 = 612.552,66 Valor presente sin pagos extra = 5.600.000 – 612.552,66 = 4.987.447,34

N = L O &#1 + &%�#1 + &%� − 1P = 4.987.447,34 O0,025#1 + 0,025% #1 + 0,025% − 1 P = 319.930,43

Es decir, la ecuación de valor es la siguiente:

5.600.000 = 300.000#1 + 0,025%� + 500.000#1 + 0,025%�� + 319.930,43 O #1 + 0,025% − 10,025#1 + 0,025% P

Períodos Deuda Intereses Abono a Capital Cuota

0 $ 5.600.000,00

1 $ 5.420.069,57 $ 140.000,00 $ 179.930,43 $ 319.930,43

2 $ 5.235.640,89 $ 135.501,74 $ 184.428,69 $ 319.930,43

3 $ 5.046.601,48 $ 130.891,02 $ 189.039,40 $ 319.930,43

4 $ 4.852.836,09 $ 126.165,04 $ 193.765,39 $ 319.930,43

5 $ 4.654.226,57 $ 121.320,90 $ 198.609,52 $ 319.930,43

48

6 $ 4.150.651,80 $ 116.355,66 $ 503.574,76 $ 619.930,43

7 $ 3.934.487,67 $ 103.766,30 $ 216.164,13 $ 319.930,43

8 $ 3.712.919,44 $ 98.362,19 $ 221.568,23 $ 319.930,43

9 $ 3.485.812,00 $ 92.822,99 $ 227.107,44 $ 319.930,43

10 $ 3.253.026,87 $ 87.145,30 $ 232.785,13 $ 319.930,43

11 $ 3.014.422,11 $ 81.325,67 $ 238.604,76 $ 319.930,43

12 $ 2.769.852,24 $ 75.360,55 $ 244.569,87 $ 319.930,43

13 $ 2.519.168,12 $ 69.246,31 $ 250.684,12 $ 319.930,43

14 $ 1.762.216,90 $ 62.979,20 $ 756.951,22 $ 819.930,43

15 $ 1.486.341,89 $ 44.055,42 $ 275.875,00 $ 319.930,43

16 $ 1.203.570,01 $ 37.158,55 $ 282.771,88 $ 319.930,43

17 $ 913.728,84 $ 30.089,25 $ 289.841,18 $ 319.930,43

18 $ 616.641,63 $ 22.843,22 $ 297.087,21 $ 319.930,43

19 $ 312.127,24 $ 15.416,04 $ 304.514,39 $ 319.930,43

20 $ 0,00 $ 7.803,18 $ 312.127,25 $ 319.930,43

Ejemplo 3.4. Amortización con periodos de gracia. Se otorga un crédito dirigido a población rural, para fomento agrícola, que busca dar tiempo al agricultor para que empiece a recibir cosechas para que tenga un flujo de efectivo que le permita cumplir con el crédito. En razón a lo anterior, se darán doce meses de periodo de gracia en el cual el deudor no abonará a capital ni a intereses. El crédito debe pagarse en ocho cuotas bimensuales, a partir del bimestre 7, de manera que se termine de pagar en el bimestre 14; con una tasa de interés del 1,3% efectivo mensual. Uno de los beneficiarios, toma un crédito de $ 8.500.000, calcularle la tabla de amortización del crédito. Los periodos de gracia pueden ser de dos tipos, uno con pago de intereses y otro sin pago alguno, como en este caso, de manera que dichos intereses van a incrementar el monto total de la deuda. Iniciemos por calcular la tasa efectiva correspondiente a la periodicidad pactada, es decir convertiremos de efectiva mensual a efectiva bimestral o bimensual. #1 + &%� = #1 + 0,013%� � i = 2,62% Ahora debemos llevar el capital prestado al periodo 6, es decir mientras está generando intereses sin estarse amortizando. K = L#1 + &%� = 8.500.000#1 + 0,0262%� = 9.926.839,21 Ahora calcularemos la cuota que debe pagar a partir del bimestre 7:

N = L O &#1 + &%�#1 + &%� − 1P = 9.926.839,21 O0,0262#1 + 0,0262%[#1 + 0,0262%[ − 1 P = 1.391.562,73

Con esta información podemos construir la tabla de amortización respectiva:

Bimestres Deuda Intereses Abono a Capital Cuota

0 $ 8.500.000,00

1 $ 8.722.700,00 $ 222.700,00 -$ 222.700,00 $ 0,00

2 $ 8.951.234,74 $ 228.534,74 -$ 228.534,74 $ 0,00

3 $ 9.185.757,09 $ 234.522,35 -$ 234.522,35 $ 0,00

4 $ 9.426.423,93 $ 240.666,84 -$ 240.666,84 $ 0,00

5 $ 9.673.396,23 $ 246.972,31 -$ 246.972,31 $ 0,00

49

6 $ 9.926.839,21 $ 253.442,98 -$ 253.442,98 $ 0,00

7 $ 8.795.359,67 $ 260.083,19 $ 1.131.479,54 $ 1.391.562,73

8 $ 7.634.235,37 $ 230.438,42 $ 1.161.124,30 $ 1.391.562,73

9 $ 6.442.689,61 $ 200.016,97 $ 1.191.545,76 $ 1.391.562,73

10 $ 5.219.925,35 $ 168.798,47 $ 1.222.764,26 $ 1.391.562,73

11 $ 3.965.124,66 $ 136.762,04 $ 1.254.800,68 $ 1.391.562,73

12 $ 2.677.448,20 $ 103.886,27 $ 1.287.676,46 $ 1.391.562,73

13 $ 1.356.034,62 $ 70.149,14 $ 1.321.413,59 $ 1.391.562,73

14 $ 0,00 $ 35.528,11 $ 1.356.034,62 $ 1.391.562,73

Ejemplo 3.5. Amortización con cuota creciente. Si bien no es una modalidad frecuente de crédito, pude darse que para lograr aprovechar las mejoras salariales futuras, el aumento en la producción de un proyecto productivo, o simplemente la devaluación del dinero, que hagan mas fácil pagar mayores cuotas en el futuro que al inicio del pago del crédito; pactar una amortización con gradiente aritmético. Se ha pactado entonces, un crédito por $ 6.300.000 el cual se quiere pagar mediante 7 cuotas que se incrementan mensualmente, una tasa de interés efectiva mensual de 1,8%. Hallar la tabla de amortización para dicho crédito. Debemos calcular entonces el valor adecuado del gradiente para este valor presente

L = �& O#1 + &%� − 1&#1 + &%� − -#1 + &%�P � = L&

`#1 + &%� − 1&#1 + &%� − -#1 + &%�a = #6.300.000%0,018` 1,018Y − 10,018#1,018Y% − 71,018Ya = 113.4000,3438149 = 329.828,65

Aquí es notorio que el primer periodo, no aparece un pago de gradiente, pues sería considerado como cuota inicial, a partir de la cual se incrementa el gradiente. Para este caso resultan ser solo seis cuotas, en realidad. Veamos la tabla:

Mes Deuda Intereses Abono a Capital Cuota

0 $ 6.300.000,00

1 $ 6.413.400,00 $ 113.400,00 -$ 113.400,00 $ 0,00

2 $ 6.199.012,55 $ 115.441,20 $ 214.387,45 $ 329.828,65

3 $ 5.650.937,48 $ 111.582,23 $ 548.075,07 $ 659.657,30

4 $ 4.763.168,41 $ 101.716,87 $ 887.769,07 $ 989.485,94

5 $ 3.529.590,85 $ 85.737,03 $ 1.233.577,56 $ 1.319.314,59

6 $ 1.943.980,24 $ 63.532,64 $ 1.585.610,61 $ 1.649.143,24

7 $ 0,00 $ 34.991,64 $ 1.943.980,24 $ 1.978.971,89

Ejemplo 3.6. Amortización con cuota creciente que parte de un monto inicial. Con la información del ejemplo anterior vamos a suponer que la primera cuota es de $ 400.000. Al generar la nueva tabla de amortización, el gradiente necesario para cancelar el crédito en siete pagos es diferente, veamos entonces como queda la nueva ecuación de valor:

L = N O#1 + &%� − 1&#1 + &%� P + �& O#1 + &%� − 1&#1 + &%� − -#1 + &%�P

50

Calculemos por aparte el valor presente de la mensualidad fija:

L� = 400.000 O #1 + 0,018%Y − 10,018#1 + 0,018%YP = 2.608.815,24

L = L − L� = $6.300.000 − $2.608.815,24 = $3.691.184,76

� = L&`#1 + &%� − 1&#1 + &%� − -#1 + &%�a = #3.691.184,76%0,018

` 1,018Y − 10,018#1,018Y% − 71,018Ya = 66.441,330,3438149 = 193.247,38

Por lo tanto la ecuación de valor es:

6.300.000 = 400.000 O #1 + 0,018%Y − 10,018#1 + 0,018%YP + 193.247,380,018 O 1,018Y − 10,018#1,018Y% − 71,018YP Y la tabla de amortizaciones es:

Meses Deuda Intereses Abono a Capital Cuota

0 $ 6.300.000,00

1 $ 6.013.400,00 $ 113.400,00 $ 286.600,00 $ 400.000,00

2 $ 5.528.393,82 $ 108.241,20 $ 485.006,18 $ 593.247,38

3 $ 4.841.410,16 $ 99.511,09 $ 686.983,67 $ 786.494,76

4 $ 3.948.813,41 $ 87.145,38 $ 892.596,75 $ 979.742,13

5 $ 2.846.902,54 $ 71.078,64 $ 1.101.910,87 $ 1.172.989,51

6 $ 1.531.909,89 $ 51.244,25 $ 1.314.992,64 $ 1.366.236,89

7 $ 0,00 $ 27.574,38 $ 1.531.909,89 $ 1.559.484,27

Capitalización

La capitalización es el proceso de ir completando un monto final o valor futuro a partir de una serie de pagos iguales o diferentes. Se trabaja como el proceso inverso a la amortización. Ejemplo 3.7. Capitalización. Un funcionario va a hacer un ahorro programado, durante un año, depositando cada mes una suma fija. Además, en los meses 2 y 8 recibe primas, lo cual le permite hacer depósitos extraordinarios de $ 500.000. Si necesita ahorrar $4.800.000 y la tasa de interés es de 1,5% efectivo mensual, calcular la tabla de capitalización respectiva: La cadena de valor será la siguiente:

4.800.000 = 500.000#1 + 0,015%� + 500.000#1 + 0,015%� + N O#1 + 0,015%� − 10,015 P 4.800.000 = 580.270,41 + 530.681,78 + N#13,0412%

A=282.876,16 Por lo que la tabla de capitalización será:

51

Meses Capital Intereses Abono a Capital Cuota

0 $ 0,00

1 $ 282.876,16 $ 0,00 $ 282.876,16 $ 282.876,16

2 $ 1.069.995,46 $ 4.243,14 $ 787.119,30 $ 782.876,16

3 $ 1.368.921,55 $ 16.049,93 $ 298.926,09 $ 282.876,16

4 $ 1.672.331,54 $ 20.533,82 $ 303.409,98 $ 282.876,16

5 $ 1.980.292,67 $ 25.084,97 $ 307.961,13 $ 282.876,16

6 $ 2.292.873,22 $ 29.704,39 $ 312.580,55 $ 282.876,16

7 $ 2.610.142,48 $ 34.393,10 $ 317.269,26 $ 282.876,16

8 $ 3.432.170,78 $ 39.152,14 $ 822.028,30 $ 782.876,16

9 $ 3.766.529,50 $ 51.482,56 $ 334.358,72 $ 282.876,16

10 $ 4.105.903,60 $ 56.497,94 $ 339.374,10 $ 282.876,16

11 $ 4.450.368,31 $ 61.588,55 $ 344.464,71 $ 282.876,16

12 $ 4.800.000,00 $ 66.755,52 $ 349.631,68 $ 282.876,16

Taller con Excel

Abra una sesión de Microsoft Excel, vaya a archivo – Nuevo; al desplegar las opciones de documento nuevo escoja las plantillas de Excel y ubique la plantilla de Liquidación de Préstamo. Viene siempre en Excel independiente de la versión. Simule varios tipos de crédito en dicha plantilla, incluya pagos extraordinarios en diferentes etapas del préstamo y verifique su impacto. Construya una plantilla similar para las capitalizaciones y publíquela en el foro de la unidad. Tema del Foro:

Opine sobre las alternativas de financiamiento de vivienda existentes en Colombia y el papel del Estado en la garantía del derecho a una vida digna para todos los ciudadanos. ¿Cómo sería una alternativa de financiamiento y pago de vivienda viable y menos complicada de pagar para el beneficiario? EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Se requiere la tabla de amortización para un crédito que se ha pactado a 10 meses, por un monto de $7.000.000, con una tasa de interés de 2,1% efectiva mensual. Además de las cuotas mensuales iguales, se ha pactado que se pagará una cuota extraordinaria de $200.000 en el mes tres, y otra de $400.000 en el sexto mes. 2.- Resolver el mismo ejercicio anterior, pero considerando que no se harán cuotas iguales, sino abonos iguales a capital. 3.- Se ha pactado un crédito de $10.000.000 que se pagará en 14 cuotas mensuales, la primera de ellas se pagará dentro de seis meses, tiempo en el cual no se abonará cantidad alguna. Hay una cuota

52

extraordinaria de $500.000 con el 7° pago y se sebe que la tasa de interés es de 29,84% efectiva anual. Construir la tabla de amortización respectiva. 4.- Se ha pactado un crédito a doce meses con cuotas mensuales uniformes de $140.000. Además se han pactado cuotas trimestrales de $180.0000, y una cuota extraordinaria de $600.000 en el séptimo mes. Calcular cuál fue el monto total del crédito y construir la tabla de amortización, sabiendo que la tasa de interés es equivalente a 28,24% nominal trimestre vencido. 5.- Construir la tabla de capitalización de un ahorro programado que se ha pactado de la siguiente forma: se harán depósitos al fondo de forma mensual durante 10 meses de $ 250.000, en los meses tres y 9 se hará depósitos adicionales de $600.000. La tasa de interés es equivalente a una tasa nominal liquidable trimestralmente del 28,12% 6.- Construir la tabla de capitalización de un ahorro programado que se ha pactado de la siguiente forma: se harán depósitos al fondo de forma mensual durante 10 meses, en los meses tres y 9 se hará depósitos adicionales de $600.000. La tasa de interés es equivalente a una tasa nominal liquidable trimestralmente del 28,12% y se requiere ahorrar un monto total dentro de diez meses de $8.500.000.

53

UNIDAD CUATRO: EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSION

Resumen Una de las aplicaciones de las matemáticas financieras, mas interesantes en el sector público es la evaluación de proyectos de inversión, en los cuales se debe elegir la alternativa de inversión mas conveniente de un conjunto. Si bien la evaluación financiera no es la única que debe aplicarse en el momento de determinar la viabilidad de un proyecto, siempre ha resultado ser el indicador de viabilidad más usado y en algunos casos el único. De una alternativa de inversión podemos evaluar su viabilidad financiera, considerándola razonable si tiene un valor presente neto positivo o una tasa interna de retorno superior a la tasa de interés de oportunidad mas el nivel de riesgo de la inversión. De un conjunto de alternativas de inversión podemos establecer un ordenamiento en cuanto a la conveniencia financiera de las inversiones. El valor presente neto en estos casos nos presenta siempre la alternativa correcta de inversión, a menos que se consideren horizontes de inversión de diferente vida útil caso en el cual se debe simular un alargamiento de las alternativas para que estén a una vida útil igual al mínimo común múltiplo de las vidas de las alternativas; ó que se use como indicador el costo anual equivalente el cual es independiente del tiempo de vida útil. La tasa interna de retorno otorga un método de valoración de alternativas de inversión ampliamente aceptado, sin embargo en el caso de alternativas mutuamente excluyentes con montos significativamente diferentes, puede generar conclusiones erróneas. También genera dificultades cuando hay varios cambios en el sentido del flujo de fondos, generándose múltiples tasas internas de retorno.

Grafo de la Unidad

Valor Presente Neto (VPN)

La siguiente definición de Pymesfuturo se aproxima mucho a la interpretación del Valor Presente Neto (VPN) al evaluar alternativas de inversión: “a la hora de evaluar proyectos de inversión a largo plazo.si una inversión cumple con el objetivo básico financiero: MAXIMIZAR la inversión.Neto permite determinar si dicha inversión puede incrementar o reducir el valor de las PyMES.cambio en el valor estimado puede ser positivo, negativo o continuar igual.que el valor de la firma tendrá un innegativo quiere decir que la firma reducirá su riqueza en el valor que arroje el VPN.del VPN es cero, la empresa no modificará el monto de su valor.Es importante tener en cuenta que el valor del Valor Presente Neto depende de las siguientes variables: La inversión inicial previa, las inversiones durante la operación, los flujos netos de efectivo, la tasa de descuento y el número de periodos que dure el proyecto El VPN resulta ser el indicador más usado al estimar la viabilidad financiera de un proyecto, y consiste en llevar todos los flujos: entradas o salidas, del proyecto al momento ceroVPN positivo se considera viable, sin embargo si además resulta ser un proyecto atractivo. Las ventajas del VPN son: considera el valor del dinero a través del tiempo, es el único indicador independiente de los flujos netos de efectivo y presenta un resultado en resulta sencillo de entender. 5 Tomado de PYMESFUTURO.COM en línea:

VPN• Valor Presente Neto

TIR• Tasa Interna de Retorno

B/C• Relación Beneficio / Costo

CAE• Costo Anual Equivalente

La siguiente definición de Pymesfuturo se aproxima mucho a la interpretación del Valor Presente Neto inversión: “El Valor Presente Neto (VPN) es el método más conocido

a la hora de evaluar proyectos de inversión a largo plazo. El Valor Presente Neto permite determinar si una inversión cumple con el objetivo básico financiero: MAXIMIZAR la inversión.Neto permite determinar si dicha inversión puede incrementar o reducir el valor de las PyMES.cambio en el valor estimado puede ser positivo, negativo o continuar igual. Si es positivo significará que el valor de la firma tendrá un incremento equivalente al monto del Valor Presente Neto.negativo quiere decir que la firma reducirá su riqueza en el valor que arroje el VPN.del VPN es cero, la empresa no modificará el monto de su valor.

ta que el valor del Valor Presente Neto depende de las siguientes

La inversión inicial previa, las inversiones durante la operación, los flujos netos de efectivo, la tasa de descuento y el número de periodos que dure el proyecto”.5

resulta ser el indicador más usado al estimar la viabilidad financiera de un proyecto, y consiste en llevar todos los flujos: entradas o salidas, del proyecto al momento cero. Si el proyecto logra un VPN positivo se considera viable, sin embargo si además de ser positivo su valor es relativamente alto,

Las ventajas del VPN son: considera el valor del dinero a través del tiempo, es el único indicador independiente de los flujos netos de efectivo y presenta un resultado en términos monetarios lo cual

Tomado de PYMESFUTURO.COM en línea: http://www.pymesfuturo.com/vpneto.htm consultado el 02/02/2009

Valor Presente Neto

Tasa Interna de Retorno

Relación Beneficio / Costo

Costo Anual Equivalente

Ordenación dealternativas mutuamente

Ordenación de alternativas

diferente vida útil

54

La siguiente definición de Pymesfuturo se aproxima mucho a la interpretación del Valor Presente Neto El Valor Presente Neto (VPN) es el método más conocido

El Valor Presente Neto permite determinar si una inversión cumple con el objetivo básico financiero: MAXIMIZAR la inversión. El Valor Presente Neto permite determinar si dicha inversión puede incrementar o reducir el valor de las PyMES. Ese

Si es positivo significará cremento equivalente al monto del Valor Presente Neto. Si es

negativo quiere decir que la firma reducirá su riqueza en el valor que arroje el VPN. Si el resultado

ta que el valor del Valor Presente Neto depende de las siguientes

La inversión inicial previa, las inversiones durante la operación, los flujos netos de efectivo, la tasa de

resulta ser el indicador más usado al estimar la viabilidad financiera de un proyecto, y consiste . Si el proyecto logra un

de ser positivo su valor es relativamente alto,

Las ventajas del VPN son: considera el valor del dinero a través del tiempo, es el único indicador términos monetarios lo cual

consultado el 02/02/2009

Ordenación de alternativas mutuamente

excluyentes

Ordenación de alternativas con

diferente vida útil

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Los valores son llevados a valor presente usando la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO) que es la tasa que recibiríamos en otras oportunidades de inversión disponibles al momento en el mercado. Muchas veces esa tasa corresponde a la de interés al tener depositado el dinero en una cuenta de ahorros o en un CDT, cuando no existen otras oportunidades reales de inversión. En evaluación de proyectos es equivalente a la Tasa de Rendimiento Mínima Aceptable para el proyecto, sin embargo esta equiparación no resulta ser muy conveniente ya que un proyecto que genere como tasa de rendimiento una tasa igual a la TIO se considera inviable, dado que se debe considerar el efecto del riesgo en la inversión; por tal razón, la TREMA es incrementada por un factor de riesgo que se define de manera intuitiva y por lo tanto subjetiva, lo que puede llevar a que se desprecien alternativas de inversión por fijar una TREMA muy alta. Ejemplo 4.1 Valor Presente Neto. Los proyectos reales tienen altos costos de inversión al inicio y requieren de todas formas algún nivel de costo durante el proyecto. En cuanto a los beneficios, no siempre se ven reflejados en los primeros periodos. Si tenemos una alternativa de inversión a seis años, en la cual debemos invertir $600.000 al inicio del proyecto, $100.000 en el primer año, $70.000 en el segundo, $50.000 en el tercero y $45.0000 en los restantes años. El proyecto genera beneficios desde el segundo año por un monto de $80.000, $120.000 en el tercero, $380.000 en el cuarto, $650.000 en el quinto y $1.250.000 en el último año. Si invirtiera el dinero en otras opciones que ofrece el mercado, en lugar del proyecto, recibiría unos rendimientos del 16,55% efectivo anual. Evaluar la viabilidad financiera del proyecto. En el caso de presentar sumas iguales como ingreso o como gasto, podríamos utilizar la ecuación de anualidades a valor presente, sin embargo, en los proyectos reales, suelen resultar cantidades diferentes para cada periodo. Por lo anterior, debemos calcular en cada periodo los flujos netos de fondos y llevar cada una de esas cantidades a valor presente:

Periodos 0 1 2 3 4 5 6

Beneficios 80.000 120.000 380.000 650.000 1.250.000

Costos 500.000 100.000 70.000 50.000 45.000 45.000 45.000

Flujo Neto -500.000 -100.000 10.000 70.000 335.000 605.000 1.205.000 Valores

presentes -500.000 -85.800,09 7.361,65 44.214,14 181.549,77 281.315,71 480.743,45 L = K#1 + &%�

IL� = −500.000 − 100.000#1,1655%� + 10.000#1,1655% + 70.000#1,1655%� + 335.000#1,1655%� + 605.000#1,1655%, + 1.205.000#1,1655%� IL� = −500.000 − 85.000,09 + 7.361,65 + 44.214,14 + 181.549,77 + 281.315,71+ 480.743,45 = 409.384,64 Es de notar el papel ilusorio del dinero dentro de una inversión, ya que si no consideráramos la diferencia del dinero en el tiempo, podríamos decir erróneamente que al periodo 5 hemos recobrado la inversión, lo cual no es cierto. En este ejemplo, la inversión se recobra totalmente hasta el 6 periodo. Ejemplo 4.2. Valor Presente Neto. Un proyecto de inversión requiere de una inversión única en el momento cero del proyecto por $17.560.000 y que generará ingresos anuales desde el final del primer año de $ 2.540.000. Al final del horizonte de inversión que es de 5 años, se venderán todos los elementos que hacen parte del proyecto por un valor de salvamento igual a $ 14.500.000. Calcular el

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VPN del proyecto a una TIO de 24,52% efectiva anual y decir si la inversión resulta o no viable. Entonces, traeremos a valor presente el valor del ingreso final, más la anualidad fija que se recibe. Los costos netos, ya se encuentran en valor presente, por que se conforman sólo por el monto de inversión inicial.

IL� = −17.560.000 + 2.540.000 O #1 + 0,2452%, − 10,2452#1 + 0,2452%,P + 14.500.000#1 + 0,2452%,= −17.560.000 + 6.898.559,33 + 4.843.646,53 = −5.817.794,14 Al haber obtenido un VPN negativo, deducimos que el proyecto es financieramente no viable, por lo que se debe desistir de éste. Veamos el flujo de la inversión de forma gráfica y tabular:

Periodos 0 1 2 3 4 5

Beneficios 2.540.000,00 2.540.000,00 2.540.000,00 2.540.000,00 17.040.000,00

Costos 17.560.000,00

Flujo Neto -17.560.000,00 2.540.000,00 2.540.000,00 2.540.000,00 2.540.000,00 17.040.000,00

Valores presentes -17.560.000,00 2.039.832,96 1.638.156,89 1.315.577,33 1.056.518,90 5.692.119,78 Tasa interna de retorno La Tasa Interna de Retorno (TIR) es la rentabilidad de los fondos invertidos en un proyecto y técnicamente será la tasa de interés a la cual el VPN del proyecto es igual a cero. La TIR y el VPN indican situaciones matemáticamente similares, sin embargo la TIR es preferida por muchos gerentes de proyectos por la claridad de lo que expresa, sin embargo su cálculo resulta más complejo que el del VPN. Las ventajas de la TIR son: Considera el valor del dinero a través del tiempo, se constituye como un indicador propio del proyecto y sobre la base de esta se puede decidir sobre otras alternativas, y la tasa empleada en la actualización de los VPN no influye en la determinación de la TIR.

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La principal desventaja de la TIR se presenta cuando los valores presentes durante el horizonte del proyecto arrojan uno o más resultados negativos (es decir existe alternativa de signos). En éstos casos existen varias TIR, por lo cual no puede llegarse a una conclusión concreta en relación con la aceptación de la alternativa de inversión. Otra desventaja se presenta al evaluar alternativas mutuamente excluyentes con diferentes magnitudes en cuanto a los montos de inversión o costos, lo cual requiere corregirse con un procedimiento adicional usando la TIR para las alternativas diferenciales. Ejemplo 4.3. Tasa Interna de Retorno. Volvamos al caso del ejemplo 4.1., para verificar la tasa interna de retorno sobre dicho caso. Tomamos la ecuación de valor del VPN y le damos un porcentaje al azar para i, de manera que si el cálculo del VPN nos da menor que cero, probamos con una tasa mayor y viceversa: si el cálculo nos da mayor que cero probamos con una tasa menor. Así sucesivamente, por aproximaciones vamos llegando a un VPN = 0. IL� = −500.000 − 100.000#1 + &%� + 10.000#1 + &% + 70.000#1 + &%� + 335.000#1 + &%� + 605.000#1 + &%, + 1.205.000#1 + &%� = 0

El cálculo de la VPN por aproximaciones o prueba y error puede resultar complejo, a menos que se calcule de forma sistematizada, con una calculadora programable o con la hoja de cálculo. Aunque podemos usar también el Solver de Excel, la opción mas sencilla es recurrir a la función =TIR(valores;

estimar) la cual nos ofrece la solución al instante. Para nuestro ejemplo la TIR es de 29,57639%. Ejemplo 4.4. Tasa Interna de Retorno. Con la información del ejemplo 4.2., calculemos la correspondiente tasa interna de retorno. Buscaremos entonces un valor de la tasa de interés que satisfaga la siguiente igualdad:

IL� = −17.560.000 + 2.540.000 O #1 + &%, − 10,2452#1 + &%,P + 14.500.000#1 + &%, = 0

Mediante prueba y error se llega a que la tasa TIR = 11,71% aproximadamente. Como esta tasa es inferior a la TIO, se considera que la inversión es financieramente no viable. Relación beneficio / costo

“La relación costo beneficio toma los ingresos y egresos presentes netos del estado de resultado, para determinar cuáles son los beneficios por cada peso que se sacrifica en el proyecto Cuando se menciona los ingresos netos, se hace referencia a los ingresos que efectivamente se recibirán en los años proyectados. Al mencionar los egresos presente netos se toman aquellas partidas que efectivamente generarán salidas de efectivo durante los diferentes periodos, horizonte del proyecto. Como se puede apreciar el estado de flujo neto de efectivo es la herramienta que suministra los datos necesarios para el cálculo de este indicador. La relación beneficio / costo es un indicador que mide el grado de desarrollo y bienestar que un proyecto puede generar a una comunidad. ¿Cómo se calcula la relación beneficio costo?

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Se toma como tasa de descuento la tasa social en vez de la tasa interna de oportunidad. Se trae a valor presente los ingresos netos de efectivo asociados con el proyecto. Se trae a valor presente los egresos netos de efectivo del proyecto. Se establece la relación entre el VPN de los Ingresos y el VPN de los egresos. Importante aclarar que en la B/C se debe tomar los precios sombra o precios de cuenta en lugar de los precios de mercado. Estos últimos no expresan necesariamente las oportunidades socio-económicas de toda la colectividad que se favorece con el proyecto, de ahí su revisión, o mejor, su conversión a precios sombra. Un ejemplo de precios sombra: La mano de obra calificada en Ibagué, ciudad capital con el mayor índice de desempleo, es mucho menor que la mano de obra calificada en otra ciudad con ofertas laborales mínimas. En consecuencia, el precio sombra de la mano de obra calificada en Ibagué, será igual a la mano de obra calificada de la ciudad que tiene menores tasas de desempleo. Visto de otra forma: La mano de obra de la ciudad que presenta ofertas laborales mínimas es el costo de oportunidad para la mano de obra calificada de Ibagué. ¿Cómo se debe interpretar el resultado de la relación beneficio costo? Si el resultado es mayor que 1, significa que los ingresos netos son superiores a los egresos netos. En otras palabras, los beneficios (ingresos) son mayores a los sacrificios (egresos) y, en consecuencia, el proyecto generará riqueza a una comunidad. Si el proyecto genera riqueza con seguridad traerá consigo un beneficio social. Si el resultado es igual a 1, los beneficios igualan a los sacrificios sin generar riqueza alguna. Por tal razón sería indiferente ejecutar o no el proyecto.”6 Ejemplo 4.5. Relación Beneficio/costo. Regresando a los ejemplos 4.1., y 4.3., debemos traer a valor presente tanto los ingresos netos como los costos netos de cada periodo, para luego establecer el índice que los relaciona:

Periodos 0 1 2 3 4 5 6

Beneficios 80.000,00 120.000,00 380.000,00 650.000,00 1.250.000,00

Costos 500.000,00 100.000,00 70.000,00 50.000,00 45.000,00 45.000,00 45.000,00 Valores presentes

beneficios - - 58.893,24 75.795,67 205.937,05 302.240,02 498.696,53 Valores presentes

costos 500.000,00 85.800,09 51.531,58 31.581,53 24.387,28 20.924,31 17.953,08 L = K#1 + &%�

L� = 80.000#1,1655% + 120.000#1,1655%� + 380.000#1,1655%� + 650.000#1,1655%, + 1.250.000#1,1655%�= 58.893,24 + 75.795,67 + 205.937,05 + 302.240,02 + 498.696,53= 1.141.562,51

6 Tomado de PYMESFUTURO.COM en línea: http://www.pymesfuturo.com/vpneto.htm consultado el 03/02/2009

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L� = 500.000 + 100.000#1,1655%� + 70.000#1,1655% + 50.000#1,1655%� + 45.000#1,1655%� + 45.000#1,1655%, + 45.000#1,1655%�= 500.000 + 85.800,09 + 51.531,58 + 31.581,53 + 24.387,28 + 20.924,31+ 17.953,08 = 732.177,87 J/9:5&ó- �/-/4&5&7G72.7 = 1.141.562,51732.177,87 = 1,559132776

Como el valor del indicador es mayor que 1, podemos decir que el proyecto es viable y que generará riqueza. Ejemplo 4.6. Relación Beneficio / Costo. Volvamos al ejemplo 4.2 y 4.4, para calcularle el indicador Beneficio/Costo.

Periodos 0 1 2 3 4 5

Beneficios 2.540.000,00 2.540.000,00 2.540.000,00 2.540.000,00 17.040.000,00

Costos 17.560.000,00 Valores presentes

beneficios - 2.039.832,96 1.638.156,89 1.315.577,33 1.056.518,90 5.692.119,78 Valores presentes

costos 17.560.000,00 - - - - -

L� = 2.540.000 + 2.540.000 O #1,2452%, − 10,2452#1,2452%,P + 17.040.000#1,2452%, = 11.742.205,85

J/9:5&ó- �/-/4&5&7G72.7 = 11.742.205,8517.560.000,00 = 0,668690538

Indicador que nos confirma que la inversión no resulta viable.

Costo anual equivalente CAE El Costo anual equivalente es una alternativa para comparar alternativas de inversión y se aplica especialmente cuando las alternativas a comparar son de diferente horizonte de tiempo. El método del CAE consiste en convertir todos los ingresos y egresos, en una serie uniforme de pagos. Obviamente, si el CAE es positivo, es porque los ingresos son mayores que los egresos y por lo tanto, el proyecto puede realizarse ; pero, si el CAE es negativo, es porque los ingresos son menores que los egresos y en consecuencia el proyecto debe ser rechazado. Para calcular el CAE, hallamos el valor de la anualidad o cuota equivalente al valor presente de los costos y beneficios totales. Es decir, se halla un monto de inversión periódico imaginario y constante que tenga un valor presente de los costos y beneficios igual al del proyecto. Esta medida solamente tiene sentido si se puede comparar con otras alternativas de inversión, de manera que se tome como alternativa mas conveniente, la de menor CAE. Ejemplo 4.7. Cálculo de la CAE. Regresando al caso del ejemplo 4.5., podemos calcular la CAE a partir del valor presente de los costos encontrado de $732.177,87, recordando que la tasa de interés de oportunidad es de 16,55% durante los 6 periodos.

Periodos 0 1 2 3 4 5 6

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Beneficios 80.000 120.000 380.000 650.000 1.250.000

Costos 500.000 100.000 70.000 50.000 45.000 45.000 45.000

Flujo Neto $ -500.000 $ -100.000 $ 10.000 $ 70.000 $ 335.000 $ 605.000 $ 1.205.000 IL� = −500.000 − 100.000#1 + 0,1655%� + 10.000#1 + 0,1655% + 70.000#1 + 0,1655%� + 335.000#1 + 0,1655%�

+ 605.000#1 + 0,1655%, + 1.205.000#1 + 0,1655%�= −500.000 − 85.800,09 + 7.361,65 + 44.214,14 + 181.549,77 + 281.315,71+ 480.743,45 = 409.384,64

GN� = IL� O &#1 + &%�#1 + &%� − 1P = 409.384,64 O0,1655#1 + 0,1655%�#1 + 0,1655%� − 1 P = 112.726,02

Ratificamos, que este es un ejemplo que busca mostrar únicamente la forma de calcular la CAE, ya que su valor solo, sin otros CAE de otras alternativas de inversión, carece de sentido analítico. Ejemplo 4.8. Comparación de alternativas con CAE. Consideremos que un proyecto que se está estudiando, tiene tres alternativas de inversión que se presentan en la siguiente tabla, y una tasa de interés de oportunidad del 28%:

Alternativa A Alternativa B Alternativa C Inversión neta en valor presente

6.500.000 8.000.000 10.000.000

Horizonte de inversión 10 10 10 CAE 1.988.426,26 2.447.293,85 3.059.117,31

Que se calcularon así:

GN� = L� O &#1 + &%�#1 + &%� − 1P = 6.500.000 O0,28#1 + 0,28%�#1 + 0,28%� − 1P = 1.988.426,26

GN� = L� O &#1 + &%�#1 + &%� − 1P = 8.000.000 O0,28#1 + 0,28%�#1 + 0,28%� − 1P = 2.447.393,85

GN� = L� O &#1 + &%�#1 + &%� − 1P = 10.000.000 O0,28#1 + 0,28%�#1 + 0,28%� − 1P = 3.059.117,31

Entonces, para una tasa de interés de oportunidad de 28%, la alternativa más económica es la A. Ordenación de alternativas mutuamente excluyentes La situación más frecuente es que tengamos que comparar alternativas de inversión disímiles, que son excluyentes entre ellas y que tienen diferente vida útil. Primero trabajaremos las alternativas de igual vida útil y que son mutuamente excluyentes, ello quiere decir que el desarrollo de cada proyecto es independiente del desarrollo de los otros. Los indicadores de evaluación de la viabilidad financiera de las alternativas de inversión, cobra verdadera vigencia cuando nos sirven para elegir de entre varias opciones cual es la mas conveniente. Ello porque podemos contar con varias alternativas viables, pero solamente podemos tomar una vía. Ejemplo 4.9. Alternativas de igual vida útil. Consideremos entonces tres alternativas de inversión

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para las cuales la tasa de interés de oportunidad TIO es de 24,52% y probemos con ellas los dos indicadores mas reconocidos en la evaluación de proyectos: la TIR y el VPN. A:

B:

C:

Para cada alternativa de inversión se ha calculado la TIR y el VPN para poder determinar cual es la mejor. Veamos:

A VPN = $ 203.789,29 TIR = 27,99% B VPN = $ 812.709,57 TIR = 30,90% C VPN = $ 1.338.986,82 TIR = 29,74%

Si utilizamos el criterio del valor presente neto, tendremos que la alternativa C es la mejor. El ordenamiento de las alternativas es C > B > A Si utilizamos el criterio de la tasa interna de retorno la alternativa preferida es la B por cuanto el ordenamiento de las alternativas es: B > C > A Ante esta inconsistencia entre los dos indicadores, debemos buscar una causa, y esa es la diferencia en las magnitudes de los montos de inversión y gasto involucrados, por lo que la comparación correcta se debe hacer considerando la misma cantidad de dinero al inicio del proyecto para las tres alternativas. Entonces, consideraremos que tenemos para las tres alternativas idénticas cantidades iniciales de dinero, iguales al monto del valor presente de los costos en el momento cero, de forma tal que la

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cantidad que no se invierta en el proyecto, se invertirá en las alternativas convencionales que ofrece el mercado, es decir, a la tasa de interés de oportunidad, que es de 24,52%. Luego vamos al final del proyecto y verificamos en cual alternativa se tiene un acumulado mayor. Para cada alternativa, ese acumulado será el valor futuro de los beneficios, es decir al final del cuarto periodo, más la cantidad adicional que se disponía al inicio del proyecto y que fue invertida a la TIO.

N5;(;9:87N = 1.450.000 O#1,2452%� − 10,2452 P + 4.250.000#1,2452�%= 8.303.329,78 + 10.217.517,21 = 18.520.846,99

N5;(;9:87� = 3.280.000 O#1,2452%� − 10,2452 P + 500.000#1,2452�%= 18.782.704,60 + 1.202.060,85 = 19.984.765,45 N5;(;9:87G = 21.250.000

Comparando los acumulados al cuarto periodo, vemos que la alternativa preferida debe ser C en razón a que el ordenamiento correcto es C > B > A Encontramos entonces que el ordenamiento coincide con el del VPN, el cual siempre genera el ordenamiento correcto y por ello debiera preferirse sobre la TIR. Además, el VPN es más fácil de calcular que la TIR, aunque con herramientas de cómputo resulte similar. Otro problema que se genera con la TIR es que dentro de un proyecto pueden resultar múltiples tasas internas de retorno, lo cual dificulta su uso, en especial porque si se calcula con computadora, el programa puede generar error o presentar sólo una de ellas y no precisamente la útil. Ordenación de alternativas con diferente vida útil En el caso de las alternativas de inversión con diferente horizonte de inversión, se debe aplicar un artificio especial para hacer comparables las opciones con el valor presente neto. Usamos entonces como periodo ajustado de las inversiones, el mínimo común múltiplo de la vida útil de todas las alternativas. Repetimos entonces el flujo neto de cada alternativa hasta llenar el horizonte de inversión ajustado. Debemos tener en cuenta que en el último periodo, los flujos se traslapan con los correspondientes al periodo cero de la siguiente repetición. Veámoslo con claridad en el ejemplo 4.10. Ejemplo 4.10. Alternativas con diferente vida útil. Un proyecto ha de ser orientado a una de las siguientes tres alternativas de inversión, según convenga financieramente hacer el ordenamiento de la mejor inversión usando el indicador VPN. La tasa de interés de oportunidad es del 23%: Alternativa A:

Periodos 0 1 2 3

Beneficios $ 180.000 $ 180.000 $ 400.000

Costos $ 450.000

Flujo Neto $ -450.000 $ 180.000 $ 180.000 $ 400.000 Alternativa B:

Periodos 0 1 2

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Beneficios $ 250.000 $ 585.000

Costos $ 500.000

Flujo Neto $ -500.000 $ 250.000 $ 585.000 Alternativa C:

Periodos 0 1 2 3 4 5 6

Beneficios $ 155.000 $ 155.000 $ 155.000 $ 155.000 $ 155.000 $ 155.000

Costos $ 425.000

Flujo Neto $ -425.000 $ 155.000 $ 155.000 $ 155.000 $ 155.000 $ 155.000 $ 155.000 El mínimo común múltiplo de las vidas útiles de las tres alternativas es mcm(3,2,6) = 6 Es decir, no tenemos necesidad de prolongar la alternativa C puesto que su vida útil es igual al mínimo común múltiplo de la vida de las tres opciones. Elaboramos la siguiente tabla de flujo de efectivo unificada, de manera que el flujo de A se repite una vez y el de B dos veces más. Alternativa A ajustada:

Periodos 0 1 2 3 4 5 6

Beneficios 180.000 180.000 400.000 180.000 180.000 400.000

Costos 450.000 450.000 Flujo Neto ( -450.000) 180.000 180.000 (-50.000) 180.000 180.000 400.000

VPNA = 46.539,43 Alternativa B ajustada:

Periodos 0 1 2 3 4 5 6

Beneficios 250.000 585.000 250.000 585.000 250.000 585.000

Costos 500.000 500.000 500.000

Flujo Neto ( -500.000) 250.000 85.000 250.000 85.000 250.000 585.000 VPNB = 188.655,25 Alternativa C no requiere ajuste:

Periodos 0 1 2 3 4 5 6

Beneficios 155.000 155.000 155.000 155.000 155.000 155.000

Costos 425.000

Flujo Neto (-425.000) 155.000 155.000 155.000 155.000 155.000 155.000 VPNC = 54.299,44 Por lo tanto el ordenamiento correcto será: B > C > A, lo cual implica que la alternativa seleccionada sea B. Si queremos una medida que no implique este ajuste, debemos usar el costo anual equivalente CAE, cuyo cálculo se realiza en la forma convencional ya que no depende de la duración, pues está

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comparando es flujos anuales. Por esta razón, para alternativas de inversión con distinta vida útil se recomienda utilizar el CAE.

Taller con Excel Descargue el Archivo de Excel “Matemáticas Financieras”, vaya a la pestaña “Flujo Proyecto”. Simule varios proyectos con diferentes flujos y verifique como cambia la TIR, el CAE, el VPN y la relación Beneficio/Costo. Luego verifique los ejemplos de la unidad en esta plantilla para asegurar que la está usando adecuadamente.

Tema del Foro: Discuta con sus compañeros sobre las posibilidades de financiamiento de proyectos e iniciativas empresariales en Colombia. Situaciones que debieran tener más oportunidades de financiamiento, problemas del sistema de financiamiento, garantías, etc.

Ejercicios Propuestos 1.- Hallar el CAE para las alternativas de inversión del ejemplo 4.10. 2.- Considerando los flujos netos siguientes de un proyecto, calcular el VPN, la TIR y el CAE para cada inversión, teniendo una TIO de 25%. Decir cuál es la alternativa que se debe elegir.

Año Alternativa A Alternativa B 0 (-300.000) (-300.000) 1 160.000 140.000 2 164.800 151.200 3 169.744 163.296 4 174.836 176.360 5 180.081 190.468 6 185.484 205.706 7 191.048 222.162 8 196.780 239.935 9 202.683 259.130 10 208.764 279.861

3.- Se desea financiar el proyecto mejor calificado financieramente entre los candidatos con los siguientes flujos:

Año 0 1 2 3 4 5 Proyecto A (-10.000) 3.000 4.500 5.500 6.000 7.000 Proyecto B (-15.000) 5.500 6.000 6.800 8.500 9.500

a) Calcular el VPN de los dos proyectos, para una TIO del 25%. Como interpreta las cifras obtenidas.

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b) Calcular la TIR de los dos proyectos. Como interpreta las cifras obtenidas. c) Si son mutuamente excluyentes, cuál de los dos proyectos escogería. d) Cuál es la relación Beneficio/Costo de cada proyecto.

4.- Dentro de un proyecto se debe elegir una de las siguientes alternativas de inversión, por lo que es necesario determinar el ordenamiento de la mejor inversión, sabiendo que la TIO es del 28%. A) Desarrollarlo usando el criterio del VPN. B) Desarrollarlo usando el criterio del CAE. Alternativa A: 0 1 2 3 Ingresos 1.850.000 3.850.000 7.320.000 Costos 5.435.000 Alternativa B: 0 1 2 Ingresos 8.546.000 Costos 6.230.000 540.000 Alternativa C: 0 1 2 3 4 Ingresos 650.000 1.650.000 2.800.000 9.750.000 Costos 7.985.000 1.245.000

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BIBLIOGRAFIA (Recursos) ACHING GÚZMAN, Cesar. Guía Rápida Aplicaciones Financieras de Excel con Matemáticas Aplicadas. Serie MYPES, PROCIENCIA Y CULTURA S.A., publicado en formato digital pdf en línea: http://cesaraching.blogspot.com/ y http://es.geocities.com/cesaraching/ 2006 ALVAREZ ARANGO, Alberto A. Matemáticas Financieras. Bogotá, 1998. AREVALO NIÑO, José Abdenago. Matemática Financiera aplicada a la Administración Pública. Programa de Administración Pública Territorial, Núcleo de Fundamentación. ESAP Publicaciones. Bogotá D.C., Mayo de 2004. BACA, Guillermo. Ingeniería Económica. Editorial Educativa. Bogotá, 1995. BRAVO MONROY, Rodolfo. Matemáticas financieras: teoría y ejercicios. Madrid: Editorial Centro de Estudios Ramón Areces, 2004 HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ, Abraham. Matemáticas financieras: teoría y práctica. 5ª Edición. México: Thompson Learning ECAFSA, 2002. HERNANDEZ HERNANDEZ, Abraham; HERNANDEZ VILLALOBOS, Abraham; HERNÁNDEZ SUÁREZ, Alejandro. Problemario de matemáticas financieras/ Financial Mathematic Problems. Cengage Learning Latin America 2005. PASTOR, Guillermo. Matemáticas Financieras. Editorial Limusa S.A., Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica CONALEP, Grupo Noriega Editores. México, 1999. PORTUS GOVINDEN, Lincoyan. Matemáticas Financieras. Cuarta Edición. Editorial McGraw Hill: Bogotá, 1997. SERRANO MARTINEZ, Javier. Matemáticas Financieras y Evaluación de Proyectos. Ediciones Uniandes, Facultad de Administración. Editorial Alfaomega. Bogotá, 2007. VALLS MARTINEZ, María; VALLS MARTÍNEZ, María del Carmen; CRUZ RAMBAUD,Salvador. Introducción a las matemáticas financieras: Problemas resueltos. Pirámide Ediciones, 2004 VIDAURRI AGUIRRE, Héctor Manuel. Matemáticas Financieras. 3ª Edición. México : Editorial Thomson, 2004. VILLALOBOS, José Luis. Matemáticas Financieras, 2ª Edición. México ; Puerto Rico : Editorial Pearson Educación, 2001.

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PREGUNTAS Y RESPUESTAS

1. ¿En qué consiste la evaluación de un proyecto? La evaluación de un proyecto consiste en realizar una apreciación comparativa entre las posibilidades de uso de los recursos representados por los proyectos de inversión evaluados por los distintos criterios existentes.

2. ¿Con que fines se realiza la evaluación de un proyecto privado? Tomar una decisión de aceptación o rechazo, cuando se estudia un proyecto específico, y Decidir el ordenamiento de varios proyectos en función de su rentabilidad, cuando estos son mutuamente excluyentes o existe racionamiento de capitales. Para que un proyecto privado sea satisfactorio, los méritos deberán estar ampliamente justificados por las utilidades previstas y el monto de los recursos que es necesario invertir.

3. ¿Cuáles son los métodos de evaluación? Existen dos tipos de métodos de evaluación de un proyecto; los métodos que consideran el cambio e valor real del dinero a través del tiempo y que están relacionados en forma directa con el análisis de la rentabilidad, y los que no consideran éste elemento y que básicamente están relacionados con el análisis operativo de la futura empresa.

4. Defina el valor del dinero a través del tiempo. Puesto que el dinero puede ganar intereses cuando se invierte por un cierto periodo, es importante reconocer que un peso que se reciba en el futuro valdrá menos que un peso que se reciba actualmente. Es precisamente esta relación entre el interés y tiempo lo que conduce al concepto del valor del dinero en el tiempo. Es decir, que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor si se encuentran en periodos diferentes en el tiempo y si la tasa de interés es mayor que cero.

5. ¿Cuál es el objetivo de actualizar los flujos de efectivo proyectados? El objetivo es determinar si los flujos que serán recibidos en el futuro rendirán mayores beneficios que los usos alternativos que hoy se le pueden dar al monto que será destinado como inversión. Los principales métodos que utilizan el concepto de flujo de efectivo actualizado son el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno (TIR).

6. ¿Qué es el Valor Actual Neto? El método del valor actual neto es uno de los criterios económicos más ampliamente utilizados en la evaluación de un proyecto de inversión. Consiste en determinar la equivalencia en el tiempo cero de los ingresos menos los egresos (ó FNE) para cada año, actualizados a una tasa de interés predeterminada y comparar ésta equivalencia con el desembolso inicial (inversión inicial ó I0). Cuando dicha equivalencia es mayor que el desembolso inicial (I0), entonces es recomendable que el proyecto sea aceptado. Su expresión matemática es: Donde: VAN = valor actual neto I0 = inversión inicial = indica la sumatoria de los flujos a actualizarse que van desde uno hasta "n2 periodos Yt = ingresos totales Et = egresos totales 1/(1 + i)n = factor singular de actualización ( FSA) i = tasa de descuento ó actualización que a su vez será la tasa de rendimiento mínima aceptable (TREMA) n = número de periodos

7. ¿Qué es la tasa mínima aceptable de rendimiento (TREMA)? La TREMA es la tasa que representa una medida de rentabilidad, la mínima que se le exigirá al proyecto de tal manera que permita cubrir: La totalidad de la inversión inicial

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Los egresos de operación Los intereses que deberán pagarse por aquella parte de la inversión financiada con capital ajeno a los inversionistas del proyecto Los impuestos La rentabilidad que el inversionista exige a su propio capital invertido

Para determinar la TREMA podemos considerar. * La tasa de inflación más una prima al riesgo TREMA = índice inflacionario + prima de riesgo * El costo del capital más una prima al riesgo TREMA = costo del capital + prima al riesgo

8. ¿Cuáles son la ventajas y desventajas de la utilización del VAN? Las ventajas: Considera el valor del dinero a través del tiempo El Van es el único, independientemente del comportamiento de los flujos netos de efectivo Presenta un resultado en términos monetarios

Las desventajas: La estimación de la TREMA se realiza de manera intuitiva con criterio de experto y basándose e el conocimiento del entorno económico. El resultado es sumamente sensible a la TREMA utilizada. Esto quiere decir que se puede descartar un buen proyecto debido a una exigencia desmedida, ya que entre mayor sea la TREMA que se exija al proyecto, menor será el valor monetario del VAN y viceversa.

9. ¿Qué es la tasa interna de retorno (TIR)? La TIR es un índice de rentabilidad ampliamente aceptado y está definida como la tasa de interés que reduce a cero el VAN. En términos económicos la tasa interna de retorno representa la rentabilidad exacta del proyecto.

10. Mencione las ventajas y las desventajas de la utilización de la tasa interna de retorno. Las ventajas: Considera el valor del dinero a través del tiempo La TIR se constituye como un indicador propio del proyecto y sobre la base de esta se puede decidir sobre otras alternativas La tasa empleada en la actualización de los FNE no influye en la determinación de la TIR

Las desventajas. La principal desventaja de la TIR se presenta cuando los FNE durante el horizonte del proyecto arrojan uno o más resultados negativos (es decir existe alternativa de signos). En éste caso existen varias TIR, por lo cual no puede llegarse a una conclusión concreta en relación con la aceptación del proyecto.

11. Defina la relación beneficio-costo (RB/C). Un criterio tradicionalmente utilizado en la evaluación de proyectos es la relación beneficio-costo. La relación beneficio-costo mide la utilidad obtenida por cada unidad de capital invertido, es decir, mide la utilidad que genera el proyecto por cada peso invertido.

12. Defina qué es análisis de sensibilidad. Con ayuda del análisis de sensibilidad es posible mostrar cómo la rentabilidad del proyecto se modifica cuando se asignan diferentes valores a las variables necesarias para el cómputo (precios de venta, costos unitarios, volumen de ventas). El análisis de sensibilidad se usa con frecuencia cuando se considera posible introducir mejoras cambiando algunas de las variables, aún cuando el empleo de los métodos de evaluación actualizado ya descritos no indiquen una rentabilidad satisfactoria.

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GLOSARIO Acciones: Cada una de las partes alícuotas en que se divide el capital de una sociedad anónima. Acreedor: El que tiene derecho a que se le satisfaga una deuda u obligación. El que tiene una obligación a su favor. Actualización: Operación de búsqueda del equivalente actual a un capital financiero futuro. Traer el valor futuro de un capital al momento actual. Alquiler: Precio en que se alquila algo. Amortización: Acción de redimir o extinguir el capital de un censo, préstamo u otra deuda. Anual: De un año. Anualidad: Importe anual de una renta o carga periódica, como la de amortización o la de capitalización. Serie de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Anualidades constantes: El importe de una renta o carga periódica que no varía en el transcurso del tiempo. Anualidades Diferidas: Son aquellas en el que el primero de los depósitos o de los pagos se pospone para un periodo posterior al de la formalización del convenio. Anualidades Generales: Surgen cuando el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización. Anualidades variables: El importe de una renta o carga periódica que va variando en el transcurso del tiempo. Banco: Entidad financiera con un fin exclusivamente lucrativo. Beneficio financiero: Resultado obtenido entre ingresos por participaciones en otras empresas, valores mobiliarios, inversiones financieras y gastos financieros. Beneficio neto: Beneficio después de impuestos. Beneficio: Diferencia ingresos y gastos. Bolsa: Institución económica en la que se produce la contratación de toda clase de títulos valores. CAE: Costo Anual Equivalente de un Proyecto. Se refiere a la anualidad equivalente que resulta al calcular para el valor presente de los costos y el horizonte del proyecto la cuota o monto anual fijo que teóricamente entraría al proyecto. Caja de ahorros: Entidad financiera con fines lucrativos y sociales. Capital amortizado: Disminución de capital en el nominal de las acciones de la propia empresa adquirida por ésta y amortizada con cargo a beneficios o a reservas disponibles. Capital devuelto: Cantidad de dinero acumulado de las devoluciones del principal llevadas a cabo en uno o varios periodos. Capital final: Importe o cuantía final. Capital inicial: Importe o cuantía inicial. Capital vivo: Deuda pendiente de amortizar al final del periodo s, después de entregar el término as. Capital: Conjunto de recursos aportados por el o los dueños de una empresa individual a la misma. Conocida también por Principal. Es la cantidad prestada. Capitalización: Operación mediante la cual se produce el aumento de un capital. A la incorporación del interés ganado en el periodo anterior al capital de la inversión subsecuente. Capitalizar: Búsqueda del capital equivalente en el futuro a uno que tenemos hoy Comisión: Cuantía pagada por la labor de intermediación. Compra: Adquisición de un bien, servicio u obligación a cambio de un pago. Comprador: El que compra.

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Compuesto: Es cuando el interés de cada periodo se añade al capital para calcular el interés del siguiente periodo. Contraprestación: Prestación que debe una parte contratante por razón de la que ha recibido o debe recibir de la otra. Corretaje: Comisión pagada a los corredores o intermediarios por su intervención en una operación. Cotizar: Pagar una cuota. Cuadro de amortización: método de carácter general que permite la determinación de los distintos parámetros de cualquier préstamo. Cupón: Elemento que forma parte de un valor mobiliario a través del que se puede ejercer el derecho que le corresponde. Deposito: Fondos ingresados en una institución de crédito por un cliente para la obtención de intereses. Descuento Real: Conocido también como descuento justo. Se calcula restando al valor nominal del documento su valor presente a la fecha en que se recibe. Descuento Simple: Diferencia entre el monto de la deuda al finalizar el plazo original y el valor presente. Descuento: Procedimiento financiero que consiste en la venta de particulares a entidades financieras de efectos comerciales. Deuda: Cantidad que un ente debe a un tercero. Deudor: El que está obligado a satisfacer una deuda. El que tiene una deuda. Devengo: Momento en que nace la obligación de pagar. Devolución del principal: Cantidad de dinero que se devuelve en la anualidad correspondiente al pago del préstamo en si, quitando los intereses. Disponibilidad: Conjunto de fondos o bienes disponibles en un momento dado. Ecuaciones Equivalentes: es un juego de ecuaciones que se emplean cuando es necesario reemplazar una deuda o una serie de deudas por otra deuda o por otro conjunto de deudas con diferentes vencimientos. Efectivo: Monedas y billetes de banco en manos de personas físicas o jurídicas. Efecto comercial: Valor utilizado en las operaciones de comercio por el que a favor del tenedor se incorpora un derecho a crédito y a cargo del deudor una obligación futura de pago. Empresa: Unidad económica que organiza la producción de bienes y servicios. Entidad financiera: Corporación bancaria (bancos y cajas de ahorros). Interés Exacto: es el resultado de dividir el plazo entre 360 días. Se usa principalmente para comercio internacional, así como para pagos de servicio de deuda entre gobiernos. Excedentes: Cantidad de mercancías o dinero que sobrepasa las previsiones de producción o de demanda. Fecha de disponibilidad: Momento en el que se dispone de algo. Fecha De Equivalencia O Fecha Equivalente: Fecha en que los valores de los dos esquemas de pago coinciden. Fondo de constitución: El deudor se compromete al pago de los intereses anuales del capital prestado por periodos vencidos, pero no a la amortización periódica del mismo. Fraccionamiento de pago: División de una cantidad única en varias. Franquicia: Concesión de derechos de explotación de un producto, actividad o nombre comercial, otorgada por una empresa a una o varias personas en una zona determinada. Inflación: Crecimiento generalizado y continuo de los precios de los bienes y servicios a lo largo del tiempo. Indica el cambio del valor del dinero a lo largo del tiempo. Interés anual: Pago por el uso de capital ajeno en un año o cobro por la prestación de capital en un año.

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Interés compuesto: Los intereses se van acumulando. Interés efectivo: Tipo de interés que se aplica en un periodo de tiempo. Interés nominal: Tipo de interés anual al que se realiza una entidad financiera. Interés Simple: Es cuando el interés se paga sólo sobre el capital prestado y se emplea en préstamos de corto plazo. Los intereses no se van acumulando. Interés subanual: Pago por el uso de capital ajeno en un periodo inferior a un año o cobro por la prestación de capital en un periodo inferior a un año. Interés superanual: Pago por el uso de capital ajeno en un periodo superior a un año o cobro por la prestación de capital en un periodo superior a un año. Interés: Pago por el uso de capital ajeno. Cobro por la prestación de capital. Es la cuota por usar un dinero. Intervalo De Pago: Se le conoce también como Periodo de Pago. Tiempo que transcurre entre un pago y otro. Inversión financiera: Capacidad de poder satisfacer las obligaciones contraídas. Inversión: Desembolso de dinero utilizado para la compra de bienes con el fin de que en un tiempo de funcionamiento del mismo el flujo de caja que genere permita recuperar la cantidad invertida más un beneficio. Inversor: El que invierte. IPC: Índice de precios al consumo. Letra de cambio: Elemento crediticio por el que un acreedor o librador ordena al deudor o librado que pague una determinada cantidad a una persona concreta. Librado: Persona contra la que se gira una letra de cambio. Librador: El que libra una letra de cambio. Liquidación de intereses: Acción de liquidar los intereses. Liquidez: Relación entre el conjunto de dinero en caja y de bienes fácilmente convertibles en dinero, y el total del activo, de un banco u otra entidad. Mensual: De un mes. Montante: Importe, cuantía. Monto De La Anualidad: Suma acumulada en el plazo de la anualidad. Monto: Es la suma del capital más el interés. Obligación: Deuda. Operaciones combinadas: Operaciones que utilizan interés simple y compuesto. Interés Ordinario: es el resultado de dividir el plazo entre 360 días. Es el más empleado en la práctica comercial y bancaria. Pagaré: Papel de obligación por una cantidad que ha de pagarse a tiempo determinado. Pensión: Cantidad periódica, temporal o vitalicia, que la se paga por razón de jubilación, viudedad, orfandad, incapacidad... Periodo De Capitalización: Periodo en el que el interés puede ser convertido en capital. Los más comunes son: mensuales, trimestrales, semestrales y anuales. Sin embargo, existen instrumentos de inversión como los pagarés bancarios, donde las plazos son a 7,14,28,91 0 182 días. Periodo subanual: Espacio de tiempo inferior al año. Periodo superanual: Espacio de tiempo superior al año. Plazo De La Anualidad: Al tiempo que transcurre entre el principio del primer pago y el final del último periodo de pago. Plazo fijo: Inversión fija en un periodo de tiempo. Plazo: Periodo del tiempo acordado para el préstamo. Prestación: Renta, tributo o servicio pagadero al señor, al propietario o a alguna entidad corporativa.

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Prestamista: El que da dinero a préstamo. Préstamo elemental: es aquel cuya contraprestación es única. Préstamo: Contrato mediante el cual un particular se obliga a devolver el dinero que le ha sido prestado. Préstamo: Operación financiera de prestación única. Prestatario: El que recibe el préstamo. Previsión de ventas: Ventas que se estiman para un periodo venidero. Prima: Cantidad extra de dinero que se da a alguien a modo de recompensa, estímulo, agradecimiento, etc. Principal: capital cedido por un acreedor para que le sea devuelto en un intervalo de tiempo. Productividad: Relación entre lo producido y los medios empleados, tales como mano de obra, materiales, energía, etc. Progresión aritmética: Rentas en la que la ley de sus término viene expresada: aj=a1+(j-1)d. Progresión geométrica: Rentas en las que la ley de sus términos viene expresada: aj=a1*rj-1 para su término general. Reintegro: Pago de un dinero o especie que se debe. Reinvertir: Volver a invertir un capital. Renta constante: Renta que tiene igualdad de las cuantías de sus términos. Renta De La Anualidad: Pagos periódicos que se realizan en una anualidad. Renta diferida: El primer vencimiento ocurre dentro del periodo de diferimiento o carencia. Renta perpetua: Aquella en la que el número de términos es ilimitado. Renta postpagable: Que se pagan después del devengo. Renta prepagable: Que se pagan antes del devengo. Renta subanual: Sus términos sucesivos vencen por “subperiodos” (meses, trimestres, etc...) Renta superanual: Sus términos sucesivos vencen por “superperiodos” (bienios, trienios, etc...) Renta temporal: Aquella en la que el número de términos es limitado. Renta unitaria: Aquella que vence en un solo pago o cobro. Renta: Toda distribución o conjunto de capitales financieros con vencimientos equidistantes en el tiempo. Reserva: Beneficio que la empresa ha ido obteniendo en el transcurso de diversos ejercicios económicos y que, al no ser distribuidos en forma de dividendos, permanecen en esta para aumentar el neto patrimonial. Saldo: Diferencia entre el debe y el haber de una cuenta. Semestral: De seis meses. Sistema americano: El deudor se compromete al pago de los intereses anuales del capital prestado por periodos vencidos, pero no a la amortización periódica del mismo. Sistema francés: Los términos amortizativos que constituyen la contraprestación vencen al final de cada periodo. Sociedad: Acuerdo por el que dos o más personas se obligan a poner en común dinero bienes o industria con ánimo de repartir las ganancias. T.A.E.: Tasa anual efectiva. Tasa Comercial: Equivale a los intereses que generaría el valor nominal del documento por el periodo que se adelanta. Tasa De Inflación: Ofrece una medida precisa de cuánto varía el valor de la moneda en cierto periodo. Tasa De Interés: Es la relación del interés que se cobra deforma proporcional tanto al capital como al periodo de préstamo, para cierto periodo de tiempo (generalmente un año). Expresada en forma porcentual (también conocida como Tipo de Interés), empleada en forma decimal.

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Tasa Efectiva: Es la tasa de interés capitalizable anualmente que iguala los rendimientos de la inversión. Es muy útil cuando deseamos comparar el rendimiento de dos tipos de inversión con diferentes periodos de capitalización. Tasa Nominal: Es la Tasa Efectiva sin capitalizar. Tenedor: Persona que tiene o posee algo, especialmente la que posee legítimamente alguna letra de cambio u otro valor endosable. Término amortizativo: cada uno de los términos de una renta. Tesorería: Parte del activo de un comerciante disponible en metálico o fácilmente realizable. TIO: Tasa de Interés de Oprtunidad, se refiere a la tasa a la que podríamos invertir el capital por fuera del proyecto. Suele ser la tasa de interés del mercado para ahorros. Tipo de interés o tasa: Remuneración recibida por los ahorradores a cambio de prestar sus fondos a quien los necesita. Tipo de interés o tasa: Remuneración recibida por los ahorradores a cambio de prestar sus fondos a quien los necesita. TIR: Tasa Interna de Retorno en la Inversión de Archivos. Tomador: Persona a la orden de quien se gira una letra de cambio. TREMA: Tasa de Rendimientos Mínima Aceptable que es igual a la tasa TIO mas un porcentaje de riesgo de la inversión. Trimestral: De tres meses. Valor efectivo: Valor que tendrían en este momento los efectos o valores en cuestión si se procediera a su venta o negociación. Valor nominal: Importe que representa el valor del activo financiero y que aparece en él aunque no tiene por qué ser su valor real. Valor Presente: Valor hoy equivalente de un monto futuro. Se calcula descontando del valor futuro el importe que surge de aplicar la tasa de descuento en proporción al plazo. El valor presente es menor que el valor futuro. Vencimiento medio: Se caracteriza por una condición optativa complementaria, que consiste en la igualdad de los nominales. Vencimiento: Cumplimiento del plazo de una deuda, de una obligación, etc. Venta: Cesión de un bien, derecho u obligación a cambio de un cobro. VPN: Valor Presente Neto de una Inversión, indicador de viabilidad del proyecto que consiste en llevar a valor presente del momento cero, todos los flujos netos de cada periodo del proyecto.

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ENLACES

http://www.eco-finanzas.com/diccionario/C/C.htm : Diccionario de Economía - Administración - Finanzas - Marketing http://www.matematicas-financieras.com/ : Esta web está especializada en las operaciones financieras agrupadas en cinco grandes áreas: capitalización, rentas, préstamos, empréstitos y valores mobiliarios. El enfoque pretendido ha sido el de combinar el rigor de las operaciones con planteamientos prácticos que huyen de los desarrollos matemáticos complejos, dando especial importancia a la resolución de supuestos prácticos. Incluye un libro de matemáticas financieras. http://fcasua.contad.unam.mx/apuntes/interiores/docs/98/2/mate_fin.pdf : Libro de Matemáticas Financieras http://www.eumed.net/libros/2006b/cag3/index.htm : Libro de Matemáticas Financieras para la toma de decisiones empresariales de Cesar Aching Guzmán.

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