MATEMÁTICAS (PARTE I)

UNIDAD 1.

Aritmética

1.1 Números Reales

Naturales: Son los que se utilizan para contar. ( 1,2, 3, 4, 5,……, 19, 20,

21,………(

Primos: Son los números que solo son divisibles entre si mismos y la unidad.

Ejem: ( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,…………(

Compuestos: Son los que no son primos, es decir que tienen más divisores

Ejem: ( 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22,…………(

Enteros: Son los números positivos, negativos y el cero.

Ejem: ( 1,-2, 0, 4, -5, etc,…(

Racionales ó Fraccionarios: Son los números compuestos por un numerador y un

divisor.

Propios: Números cuyo denominador es mayor que el numerador de una fracción.

Ejem:

Impropios: Números cuyo denominador es menor que el numerador de una

fracción.

Ejem:

Mixtos: Números compuestos de números enteros y propios.

Ejem:

Irracionales: Son los números que en su forma decimal son una serie infinita de

dígitos.

Ejem:

Propiedades de los números reales

Propiedad Suma Producto

Cerradura

Conmutativa

Asociativa

Distributiva

Neutro

Inverso

Recta Numérica

Todos los números reales se pueden representar en la recta numérica.

Ejem: Representar en recta numérica:

1.2 Divisibilidad

Los principales criterios de divisibilidad son:

Divisibles entre 2: Todos los números pares. Ejem. 2, 4, 6, 8, 10,…..

Divisibles entre 3: Suma de sus dígitos son: 3, 6 ó 9. Ejem. 543 = 5+4+3 = 12 = 1+2

= 3

Divisibles entre 5: Todos los números terminados en 5 ó 0. Ejem. 235, 520, 1425,

etc.

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos67/guia-matematicas-uno-ingreso/guia-

matematicas-uno-ingreso.shtml#ixzz2vUBYrg4x

Álgebra

2.1 Propiedades y Definiciones

Término Algebraico.- Es la expresión algebraica, que se compone de: signo, coeficiente,

base ó literal y exponente.

Término Semejante.- Es la expresión algebraica, que se compone de misma base y mismo

exponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes.

Ejem: es semejante a

Ejem: es semejante a

Clasificación de Términos Algebraicos.- Se clasifican según su número de términos, de la

siguiente manera:

Monomio = un solo término Ejem:

Binomio = dos términos Ejem:

Trinomio = tres términos Ejem:

Polinomio = 2 ó más términos Ejem:

2.2 Leyes de los signos

Suma y Resta:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Multiplicación y División:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

2.3 Signos de Agrupación

Definición.- Son los signos que nos sirven para agrupar términos u operaciones entre ellos,

los principales son:

Paréntesis Corchete Llave

Cuando se aplican en operaciones, el objetivo es suprimirlos multiplicando por el término ó

signo que le antecede. Si en una expresión matemática existen varios signos de agrupación,

se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera.

Ejem: Ejem:

Ejem:

2.4 Evaluación de expresiones algebraicas

El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o

literales por un valor específico.

Ejem: Si x =2 & y = -1 de la expresión:

sustituyendo:

Ejem: Si & de la expresión:

sustituyendo:

2.5 Lenguaje algebraico

Definición.- Es la forma de expresión común o coloquial que se expresa de forma

algebraica.

Ejem:

Un número cualquiera x

Un número cualquiera aumentado en dos

La diferencia de dos números cualquiera

El triple de un número disminuido en cuatro

La cuarta parte de un número

Las tres cuartas partes de la suma de dos

números

La suma de tres números naturales consecutivo

Las dos quintas partes de un número

disminuido en cuatro es igual a 24

La suma de tres números pares consecutivos,

es igual al cuádruple del menor más la mitad

del mayor

2.6 Leyes de los Exponentes

Multiplicación: Sumar los exponentes

Ejem: Ejem:

División: Restar los exponentes

Ejem: Ejem:

Potencia : Multiplicar los exponentes

Ejem: Ejem:

Inverso: Cambiar signo de exponente

Ejem: Ejem:

Unitario: Siempre es igual a uno

Ejem: Ejem:

2.7 Operaciones algebraicas

Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar

términos semejantes.

Ejem: Sumar &

Ejem: Restar de

Multiplicación.- La operación algebraica de multiplicar, básicamente puede efectuarse,

como sigue:

Monomio por monomio

Ejem:

Monomio por polinomio

Ejem:

Ejem:

Polinomio por polinomio

Ejem:

División.- La operación algebraica de dividir, básicamente puede efectuarse, como sigue:

Monomio entre monomio

Ejem: Ejem:

Polinomio entre monomio

Ejem:

Polinomio entre polinomio

Ejem:

T

T

2.8 Radicales

Propiedades de los radicales:

Índice = potencia:

Ejem: Ejem:

Índice ? potencia:

Ejem: Ejem:

Multiplicación con mismo índice:

Ejem: Ejem:

Ejem:

Multiplicación con diferente índice:

Ejem:

Ejem:

Raíz de una raíz:

Ejem: Ejem:

División con índices iguales:

Ejem: Ejem:

División con índices diferentes:

Ejem:

Ejem:

Operaciones con radicales:

Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar

radicales semejantes, es decir, con el mismo índice y la misma base, según la siguiente

regla:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Racionalización.- Es el convertir una fracción con denominador en forma de radical, en

otra fracción equivalente, donde su denominador sea un número entero.

De un denominador monomio:

Forma: se multiplica por y se simplifica.

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador, obteniéndose:

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador,

obteniéndose:

De un denominador binomio:

Forma: se multiplica por el conjugado del denominador y

se simplifica.

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador, obteniéndose:

Ejem: se multiplica por: el numerador y el

denominador, obteniéndose:

Números Imaginarios.- Es el expresado como " i ", significa la raíz cuadrada de "-1", es

decir:

Entonces también:

Ejem:

Ejem:

Ejem:

Operaciones con números imaginarios

Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen aplicando:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

2.9 Productos Notables

Definición.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemos

llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:

Binomio al cuadrado

Binomios conjugados

Binomios con término común

Binomio al cubo

Binomio al cuadrado

Regla:

Ejem: Ejem:

Binomios conjugados

Regla:

Ejem: Ejem:

Binomios con término común

Regla:

Ejem:

Ejem:

Binomio al cubo

Regla:

Ejem:

Ejem:

2.10 Factorización

Definición.- Es la forma más simple de presentar una suma o resta de términos como un

producto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:

Factor común

Diferencia de cuadrados

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma

Trinomio de la forma

Factor común

Regla: Paso 1: Obtener el máximo común divisor ( MCD )

Paso 2: Menor exponente de las literales comunes

Paso 3: Dividir cada término entre el factor común obtenido

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla:

Ejem: Ejem:

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Simplificación de fracciones algebraicas.- Es la aplicación de los conocimientos de

productos notables y factorización, tanto en el numerador como en el denominador, se

simplifica a su mínima expresión.

Suma y resta con denominadores diferentes

Ejem: Ejem:

División

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Multiplicación

Ejem: Ejem:

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matematicas-uno-ingreso2.shtml#ixzz2vUBzngKi

Geometría euclidiana

5.1 Ángulos

Clasificación Básica

Se le llama ángulo complementario, son los ángulo cuya suma es igual a 90o .

Ejem: El complemento de 70o es 20o , porque

Ejem: El complemento de 35o es 55o , porque

Se le llama ángulo suplementario, los ángulo cuya suma es igual a 180o .

Ejem: El suplemento de 40o es 140o , porque

Ejem: El suplemento de 135o es 45o , porque

5.2 Conversión de grados a radianes y viceversa

Reactivos Unidad 5:

UNIDAD 6.

Trigonometría

6.1 Teorema de Pitágoras

Definición.- Aplicado para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ( c ) es

igual a la suma de los cuadrados de sus catetos (a y b ).

6.2 Funciones Trigonométricas

Definición.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un triángulo

rectángulo y son:

Una oficina de forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m,

¿Cuánto mide el otro lado?

a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2

Según la figura, la razóncorresponde a la función:

Según la figura, la razón : corresponde a la función:

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matematicas-uno-ingreso2.shtml#ixzz2vUCEsJI4

UNIDAD 7.

Recta

7.1 Distancia entre dos puntos.

Dado los puntos A(x1, y1) y B (x2, y2)

La distancia se determina por la siguiente fórmula

Ejemplo.

1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos M (3,-1) y N (7, 2)?

a) 5 b) - 5 c) d)

Ejercicio 1:

1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos M (2, 3) y N (5, 7)?

a) 5 b) - 5 c) 7 d) - 7

2. ¿En cuál de las opciones se muestra la distancia entre los puntos A (-5, 1) y B (5,11)?

a) b) c) d)

3. La distancia entre los puntos P (- 3, 0) Y Q (4, - 3) es:

a) 40 b) c) 10 d)

4. La distancia entre P (- 5,1) y Q (3,7) es:

a) 100 b) 10 c) d)

5. ¿Cuál es la distancia entre el punto (5,7) y el punto (3,1)?

a) b) c) d)

7.2 Punto medio.

El punto medio de dos puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) esta determinado por la fórmula.

Ejemplo.

Cuáles son las coordenadas del punto medio, entre los puntos P (3, -1) y Q (7, 2)

Ejercicio 2:

1. Las coordenadas del punto medio del segmento A (- 3,2) y B (5, 2) son:

a) (- ½, 0) b) (1,2) c) (0, - ½) d) (2, - ½)

e) (- ½, - ½)

2. Encuentre el punto medio del segmento AB, si A y B tienen por coordenadas (- 6, 0) y

(8, 6) respectivamente:

a) (- 10,0) b) (1,3) c) (- 6, 0) d) (- 10,3)

e) (0, 10)

3. Uno de los extremos de un segmento de recta es (-2, -3) y su punto medio es (2,0), las

coordenadas del otro extremo son:

a) (2, 3) b) (3, - 2) c) (4, 4) d) (5, 4)

e) (6, 3)

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matematicas-dos-ingreso.shtml#ixzz2vUCNcroh

UNIDAD 8.

Circunferencia

8.1 Forma canónica.

(x - h)2 + (y - k)2 = r2 Ecuación Ordinaria o canónica

A partir de la ecuación ordinaria, podemos determinar su centro C

(h, k) y el radio r, pero si desarrollamos los binomios al cuadrado e

igualamos a cero obtenemos la forma general.

Ejemplo.

Encontrar el centro y el radio de la circunferencia determinada por

la ecuación (x - 3)2 + (y + 7)2 = 36

El centro es (3, - 7) y su radio 6. (nota: los valores de la ecuación

cambian de signo al incorporarlos al centro) Para encontrar la

ecuación general desarrollamos el binomio al cuadrado.

Ejemplo.

Dada la ecuación ordinaria, determine la ecuación general de la circunferencia (x - 3)2 + (y

+ 1)2 = 25

Desarrollando los cuadrados

x2 - 6x + 9 + y2 + 2y + 1 - 25 = 0

x2 + y2 - 6x + 2y - 15 = 0 solución.

8.2 Forma general.

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0… Ecuación general

Elementos:

Centro Radio

Caso I. Dada la ecuación general, encontrar los elementos, el centro y el radio.

Ejemplo.

El centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 - 2x - 14y + 5 = 0 son:

Centro C y su radio

Ejercicio 8:

1. Coordenadas del centro de la circunferencia: x2 + y2 + 4x - 6y + 12 = 0

a) (- 2, - 3 ) b) ( 2, - 3 ) c) (- 2, 3 ) d) ( 2,

3 )

2. El centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 - 8x+ 14y + 31 = 0 son:

a) C(7, - 4) r = 5 b) C(- 7,4) r = 3 c) C(4, - 2) r = 3 d) C(- 4, 2) r =

e) C(4, -7), r =

3. El centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 +2x +2y - 11 = 0 son:

a) C(1, 1) r = 13 b) C(1, -1) r = 11 c) C (1, 1) r = d) C(-1, -1) r =

e) C(-1, 1) r =

4. Dada la ecuación de la circunferencia x2 + y2 +4x + 6y + 9 = 0, su centro y radio son:

a) C(- 2, - 3), r = 2 b) C(- 2, 3), r = 4 c) C(2, -3), r = 2 d) C(4, 6) r =

3 e) C(4, 6), r = 9

Caso II. Dados los elementos, centro y radio, encontrar la ecuación ordinaria o general.

Solo sustituimos el centro y el radio en la ecuación ordinaria y en el caso de que soliciten la

general, desarrollamos los cuadrados igualamos a cero y simplificamos.

Ejemplo.

¿Cuál es la ecuación ordinaria de la ecuación cuyo centro esta en (-3, 4) y radio 8?

(x + 3)2 + (y - 4)2 = 64 Nota: los valores del centro al ingresar, cambian de signo.

Desarrollando los cuadrados e igualando a cero,

x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 - 64 = 0

x2 + y2 - 6x - 8y - 39 = 0 solución.

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matematicas-dos-ingreso2.shtml#ixzz2vUCY5caR

Parábola

9.1 Horizontal y vertical con vértice en el origen.

Vertical Horizontal

x2 + Ey = 0 Ecuación General de la Parábola y2 + Dx = 0

x2 = 4py Ecuación Ordinaria y2 = 4px

Vértice: V(0, 0) Vértice: V(0, 0)

Foco: F(0, p) Foco: F(p, 0)

Directriz: y = - p Directriz: x = - p

Lado recto: LR = ç4pç Lado recto: LR = ç4pç

Ejemplo:

Encuentre las coordenadas del foco de la parábola cuya ecuación es x2 -12y = 0

Primero despejamos x2 de la ecuación, obteniéndose: x2 = 12 y

Comparando con la ecuación de la parábola de la forma: x2 = 4py

concluimos que es vertical cóncava a la derecha

Y si la coordenada del foco se define como: F ( 0, p ) e igualando 4p = 12 , al despejar

se obtiene p = 3

Concluimos que la coordenada del foco es F( 0, 3 )

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matematicas-dos-ingreso2.shtml#ixzz2vUCdbOB1

Elipse

10.1 Horizontal y vertical con centro en el origen.

C: Centro

V y V" : Vértices

F y F" : Focos

Ecuación ordinaria (a > b)

(Horizontal)

(Vertical)

Vértices V(+ a, 0) Centro C(0, 0) Vértices V( 0, + a)

Focos F(+ c, 0) Focos F(0, + c)

Eje menor B(0, + b) Eje menor B(+ b, 0)

Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 + Cy2 + F = 0 Ecuación General

también: Lado Recto:

Excentricidad:

Ejemplo:

Encontrar todos los elementos de la elipse cuya ecuación es 9x2 + 5y2 - 45 = 0

El primer paso consiste en dejar únicamente a las incógnitas que están elevadas al

cuadrado:

9x2 + 5y2 = 45

Posteriormente convertirla a su forma ordinaria:

Simplificando, tenemos: , por lo tanto es vertical,

donde: a2 = 9 y b2 = 5

Como: , sustituyendo: entonces: c = 2, a =

3 y

También, lado recto es: , y la excentricidad es:

Concluyendo, entonces tenemos: ,

eje mayor VV" = 2a = 2(3) = 6, eje menor BB" = 2b = y eje focal FF" = 2c = 2(2)

= 4

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matematicas-dos-ingreso2.shtml#ixzz2vUCjPzhm

Hipérbola

11.1 Horizontal y vertical con centro en el origen.

Ecuación ordinaria (no importa el tamaño de a, sólo debe estar con el positivo)

(Horizontal)

Vértice V(+ a , 0)

Focos F(+ c, 0)

Eje conjugado B(0,+ b

>

(Vertical)

Vértice V( 0, + a)

Focos F(0, + c)

Eje conjugado B(+ b, 0)

Eje focal y = 0

Eje normal x = 0

Ecuación de las asíntotas

Eje focal x = 0

Eje normal y = 0

Ecuación de las asíntotas

Distancia focal 2c

Eje transverso 2a

Eje conjugado 2b

Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 - Cy2 + F = 0 Ecuación General

11.2 Horizontal y vertical con centro fuera del origen.

Ecuación ordinaria (no importa el tamaño de a, sólo debe estar con el positivo)

(Horizontal)

Vértice V(h + a , k)

Focos F(h+ c, k)

Eje conjugado B(h, k + b)

Eje focal y = k

Eje normal x = h

Ecuación de las asíntotas

(Vertical)

Centro ( h, k )

Vértice V( h, k + a)

Focos F(h, k + c)

Eje conjugado B(h + b, k)

Eje focal x = h

Eje normal y = k

Ecuación de las asíntotas

Eje transverso 2a

Eje conjugado 2b

Distancia focal 2c

Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 - Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuación General

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matematicas-dos-ingreso2.shtml#ixzz2vUCqFQZS