Matemáticas 2 para economía y administración.

Cuaderno Digital

pág. 1

UNIVERSIDAD DE CUENCA

CIENCIAS ECONOMICAS Y ADMINISTRATIVAS

ADMINISTRACION DE EMPRESAS

CUADERNO DIGITAL

ISRAEL CALLE

INGENIERO PATRICIO DÍAZ

CUENCA

2015

Cuaderno Digital

pág. 2

Contenido Diferenciación ...................................................................................................................................... 5

La derivada. ..................................................................................................................................... 5

Formula: ....................................................................................................................................... 5

Ejemplos: ..................................................................................................................................... 5

Reglas para derivar. ........................................................................................................................ 6

Regla de la cadena. ....................................................................................................................... 10

Ejemplos: ................................................................................................................................... 10

Derivadas de funciones trascendentales o especiales. ............................................................... 11

Funciones logarítmicas. ...................................................................................................... 11

Funciones exponenciales. ................................................................................................... 12

Funciones trigonométricas. ................................................................................................ 13

Derivadas implícitas. .................................................................................................................... 14

Ejemplos: ................................................................................................................................... 14

Tasa de cambio ................................................................................................................................. 15

Trazado de curvas ............................................................................................................................. 16

Extremos relativos. ....................................................................................................................... 16

Extremos absolutos. ..................................................................................................................... 16

Criterio de la primera derivada. ................................................................................................... 16

Prueba de la primera derivada para extremos relativos. ....................................................... 17

Ejemplos: ................................................................................................................................... 17

Criterio de la segunda derivada. .................................................................................................. 19

Prueba de la segunda derivada para extremos relativos. ....................................................... 19

Ejemplos: ................................................................................................................................... 19

Teorema de roll. ........................................................................................................................... 20

Teorema del valor medio. ............................................................................................................ 21

Regla de L’hopital. ........................................................................................................................ 21

Optimización ..................................................................................................................................... 22

Definición: ..................................................................................................................................... 22

Ejemplos:....................................................................................................................................... 22

Definición: ..................................................................................................................................... 26

Funciones de dos variables .......................................................................................................... 26

Dominio:.................................................................................................................................... 26

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pág. 3

Imagen: ..................................................................................................................................... 26

Ejemplos de graficas de dos funciones: ................................................................................... 26

Derivadas parciales. ...................................................................................................................... 28

Definición .................................................................................................................................. 28

Procedimiento para encontrar 𝒇𝒙𝒙, 𝒚 y 𝒇𝒚𝒙, 𝒚. ...................................................................... 28

Notaciones para las derivadas parciales: ................................................................................. 28

Ejemplos: ................................................................................................................................... 28

Productos competitivos y complementarios. .................................................................................. 29

Regla de la cadena ............................................................................................................................ 31

Definición: ..................................................................................................................................... 31

Ejemplos:....................................................................................................................................... 31

Derivadas parciales implícitas .......................................................................................................... 32

Máximos y mínimos para funciones de dos variables .................................................................... 34

Puntos críticos .......................................................................................................................... 34

Multiplicador de LaGrange ............................................................................................................... 35

Definición: ..................................................................................................................................... 35

Método de los multiplicadores de LaGrange con dos restricciones. .......................................... 36

Ejemplos ........................................................................................................................................ 37

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pág. 4

Índice de Tablas

Tabla 1 - Funciones Trigonométricas ................................................................................................. 13

Índice de Ilustraciones

Ilustración 1 - Definición de la derivada .............................................................................................. 5

Ilustración 2 - Tasa de cambio ........................................................................................................... 15

Ilustración 3 - Extremos relativos ...................................................................................................... 16

Ilustración 4 - Extremos absolutos .................................................................................................... 16

Ilustración 5 - Criterio de la primera derivada. Ejemplo 1 ................................................................ 17




Ilustración 9 - Teorema de Roll ......................................................................................................... 20

Ilustración 10 - Teorema del valor medio ......................................................................................... 21

Ilustración 11 - Maximización del ingreso ......................................................................................... 22

Ilustración 12 - Maximización de la utilidad...................................................................................... 23



Ilustración 1 - Plano Tridimensional .................................................................................................. 26

Ilustración 2 - 1er Grafico en 3D ....................................................................................................... 27

Ilustración 3 - 3er Grafico en 3D ....................................................................................................... 27

Ilustración 4 - 2do Grafico en 3D ....................................................................................................... 27

Ilustración 5 - 4to Grafico en 3D ....................................................................................................... 27

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pág. 5

Diferenciación

La derivada.

Definición: La pendiente de una curva en un punto P es la pendiente,

en caso de que exista la recta tangente en P; es decir, es el límite

cuando h se aproxima a cero.

Formula: 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝐥𝐢𝐦

𝐡→𝟎

𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)

𝒉= 𝐥𝐢𝐦

∆𝐱→𝟎

𝒇(𝒙+∆𝒙)−𝒇(𝒙)

∆𝒙

Donde:

- f(x) representa la función origen.

- ∆x representa el incremento o cambio.

Ejemplos:

1) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏

𝒇′(𝒙) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

(𝑥 + ℎ)2 − 3(𝑥 + ℎ) + 1 − (𝑥2 − 3𝑥 + 1)

ℎ


𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 3𝑥 − 3ℎ + 1 − 𝑥2 + 3𝑥 − 1

ℎ


2𝑥ℎ + ℎ2 − 3ℎ

ℎ


ℎ(2𝑥 + ℎ − 3)

ℎ


2𝑥 + ℎ − 3


2𝑥 + 0 − 3

𝒇′(𝒙) = 2𝑥 − 3

2) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐

𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2

ℎ


𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2

ℎ


2𝑥ℎ + ℎ2

ℎ


ℎ(2𝑥 + ℎ)

ℎ


2𝑥 + ℎ


2𝑥 + 0


2𝑥

3) 𝒉(𝒙) = 𝒙

Ilustración 1 - Definición de la derivada

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pág. 6

ℎ′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

(𝑥 + ℎ) − 𝑥

ℎ


𝑥 + ℎ − 𝑥

ℎ


ℎ

ℎ


1

4) 𝑔(𝑥) = 3𝑥2

𝑔′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0

3(𝑥 + ℎ)2 − 3𝑥2

ℎ


3(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2) − 3𝑥2

ℎ


3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 3𝑥2

ℎ


6𝑥ℎ + 3ℎ2

ℎ


ℎ(6𝑥 + 3ℎ)

ℎ


6𝑥 + 3ℎ


6𝑥 + 3(0)


6𝑥

Reglas para derivar.

1) 𝒇(𝒙) = 𝒌 𝒇′(𝒙) = 𝟎

La derivada de una constante es igual a cero.

Ejemplos:

- 𝒇(𝒙) = 𝟏

𝑓′(𝑥) = 0

- 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟏

𝑓′(𝑥) = 0

- 𝒇(𝒙) = 𝟑

𝑓′(𝑥) = 0

- 𝒇(𝒙) = 𝟒

𝑓′(𝑥) = 0

2) 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝒇′(𝒙) = 𝟏

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pág. 7

La derivada de x es igual a 1.

Ejemplos:

- 𝒇(𝒙) = 𝒙

𝑓′(𝑥) = 1

- 𝒈(𝒙) = 𝒙

𝑔′(𝑥) = 1

- 𝒉(𝒈) = 𝒈

ℎ′(𝑔) = 1

- 𝒘(𝒗) = 𝒗

𝑤′(𝑣) = 1

3) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 𝒇′(𝒙) = 𝒏 × (𝒙)𝒏−𝟏 ×𝒅𝒚

𝒅𝒙(𝒙)

La derivada de una potencia, es igual al exponente multiplicado por la base elevada al exponente

menos uno y por la derivada de base.

Ejemplos:

- 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐

𝑓′(𝑥) = 2𝑥2−1 × 1

𝑓′(𝑥) = 2𝑥

- 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐

𝑓′(𝑥) = 2 × 5(𝑥2−1) × 1

𝑓′(𝑥) = 10𝑥

- 𝒇(𝒙) = (𝟒𝒙)𝟑

𝑓′(𝑥) = 3 × (4𝑥)3−1 × 4

𝑓′(𝑥) = 48𝑥2

- 𝒇(𝒙) = 𝟐(𝟓𝒙)𝟐

𝑓′(𝑥) = 2 × 2 × (5𝑥)2−1 × 5

𝑓′(𝑥) = 100𝑥

4) 𝒇(𝒙) = 𝒖 ± 𝒗 𝒇′(𝒙) = 𝒉′(𝒖) ± 𝒈′(𝒗)

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pág. 8

La derivada de una suma o diferencia de dos funciones es igual a la suma o resta de dichas

funciones.

Ejemplos:

- 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙 − 𝟑

𝑓′(𝑥) = −2 − 𝑜

𝑓(𝑥) = −2

- 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙 + 𝟐𝒙

𝑓′(𝑥) = 5 + 2

𝑓′(𝑥) = 7

- 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐

𝑓′(𝑥) = (2 × 2 × 𝑥2−1) − 4 + 0

𝑓′(𝑥) = 4𝑥 − 4

- 𝒇(𝒙) = (𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐)

𝑓′(𝑥) = [(2 × 2 × 𝑥2−1) − 3 + 0]

𝑓′(𝑥) = 4𝑥 − 3

5) 𝒇(𝒙) = 𝒖 × 𝒗 𝒇′(𝒙) = 𝒉′(𝒖) + 𝒈′(𝒗)

La derivada del producto d dos funciones es igual al producto del primer factor por la derivada del

segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Ejemplos:

- 𝒇(𝒙) = (𝟓𝒙)(𝟐𝒙𝟐)

𝑓′(𝑥) = 5𝑥(4𝑥) + (2𝑥2)5

𝑓′(𝑥) = 20𝑥 + 10𝑥2

- 𝒇(𝒙) = (𝟒𝒙𝟐 + 𝟑)(𝟐𝒙𝟐)

𝑓′(𝑥) = (4𝑥2 + 3)4𝑥 + (2𝑥2)8𝑥

𝑓′(𝑥) = 16𝑥2 + 12𝑥 + 16𝑥3

- 𝒇(𝒕) = (𝒕𝟑 − 𝟐𝒕 + 𝟏)(𝟐𝒕𝟐 + 𝟑𝒕)

𝑓′(𝑡) = (𝑡3 − 2𝑡 + 1)(4𝑡 + 3) + (3𝑡2 − 2)(2𝑡2 + 3𝑡)

𝑓′(𝑡) = 4𝑡4 + 3𝑡3 − 8𝑡2 − 6𝑡 + 4𝑡 + 3 + 6𝑡4 + 9𝑡3 − 4𝑡2 − 6𝑡

𝑓′(𝑡) = 10𝑡4 + 12𝑡3 − 12𝑡2 − 8𝑡 + 3

- 𝒉(𝒙) = (𝟐𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔)(𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐)

ℎ(𝑥) = (2𝑥5 − 3𝑥2 + 6)(3𝑥2 − 6𝑥) + (𝑥3 − 3𝑥2)(10𝑥4 − 6𝑥)

ℎ(𝑥) = 6𝑥7 − 12𝑥6 − 9𝑥4 + 18𝑥3 + 10𝑥7 − 6𝑥4 − 30𝑥6 + 18𝑥3

ℎ(𝑥) = 16𝑥7 + 42𝑥6 − 15𝑥4 + 36𝑥3

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pág. 9

6) 𝒇(𝒙) =𝒖

𝒗 𝒇′(𝒙) =

(𝒉′(𝒖)×𝒗)−(𝒖×𝒈′(𝒗))

𝒗𝟐

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador multiplicada por el

denominador menos la derivada del denominador multiplicada por el numerador, divididas por el

cuadrado del denominador.

Ejemplos:

- 𝒇(𝒙) =𝟐𝒙𝟑+𝟒

𝒙𝟐+𝟏

𝑓′(𝑥) =(𝑥2 + 1)(6𝑥2) − (2𝑥)(2𝑥8 + 4)

(𝑥2 + 1)2

𝑓′(𝑥) =(6𝑥4 + 6𝑥2) − (4𝑥4 + 8𝑥)

(𝑥2 + 1)2

𝑓′(𝑥) =6𝑥4 + 6𝑥2 − 4𝑥4 − 8𝑥

(𝑥2 + 1)2

𝑓′(𝑥) =2𝑥4 + 6𝑥2 − 8𝑥

(𝑥2 + 1)2

𝑓′(𝑥) =2𝑥(𝑥3 + 3𝑥 − 4)

(𝑥2 + 1)2

- 𝒇(𝒙) =𝒙

𝒙−𝟏

𝑓′(𝑥) = (𝑥 − 1)(1) − (1)(𝑥)

(𝑥 − 1)2

𝑓′(𝑥) =𝑥 − 1 − 𝑥

(𝑥 − 1)2

𝑓′(𝑥) =−1

(𝑥 − 1)2

- 𝒇(𝒕) = 𝟓𝒕

𝟒+𝟐𝒕𝟐

𝑓’(𝑡) = (4 + 2𝑡2)(5) − (4𝑡)(5𝑡)

(4 + 2𝑡2)2

𝑓’(𝑡) = (20 + 10𝑡2) − (20𝑡2)

(4 + 2𝑡2)2

𝑓’(𝑡) = 20 + 10𝑡2 − 20𝑡2

(4 + 2𝑡2)2

𝑓’(𝑡) = 20−10𝑡2

(4+2𝑡2)2

𝑓’(𝑡) = 10(2 − 𝑡2)

(4 + 2𝑡2)2

- 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐−𝒂𝟐

𝒙𝟐+𝒂𝟐

𝑓’(𝑥) = (𝑥2 + 𝑎2)(2𝑥 − 2𝑎) − (2𝑥 + 2𝑎)(𝑥2 − 𝑎2)

(𝑥2 + 𝑎2)2

𝑓’(𝑥) = 2𝑥3 − 2𝑎𝑥2 + 2𝑎2𝑥 − 2𝑎3 − 2𝑥3 + 2𝑎2𝑥 − 2𝑎𝑥2 + 2𝑎3

(𝑥2 + 𝑎2)2

𝑓’(𝑥) =4𝑎𝑥(𝑎 − 𝑥)

(𝑥2 + 𝑎2)2

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pág. 10

Regla de la cadena.

La regla de la cadena es más importante para obtener derivadas. Implica una situación en la que y es una

función de la variable u, pero u es una función de x y se desea encontrar la derivada de y con respecto a x.

Por ejemplo, las ecuaciones

𝒚 = 𝑢2 y 𝒖 = 2𝑥 + 1

Definen a y como una función de u y a u como una función de x. Si se sustituye u por 2x+1, en la primera

ecuación, se puede considerar a y como función de x:

Si y es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x, entonces y es una función

diferenciable de x, y

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢×

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Ejemplos:

Si 𝒚 = 𝟐𝒖𝟐 − 𝟑𝒖 − 𝟐 y 𝒖 = 𝒙𝟐 + 𝟒, encontrar dy/dx.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (4𝑢 − 3) × 2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= [4(𝑥2 + 4) − 3] × 2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (4𝑥2 + 16 − 3) × 2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 8𝑥3 + 32𝑥 − 6𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 8𝑥3 + 26𝑥

Si 𝒚 = 𝒘𝟏/𝟐 y 𝒘 = 𝟕 − 𝒕𝟑, encontrar dy/dt.

𝑑𝑦

𝑑𝑡= (

1

2𝑤−1/2) × (−3𝑡2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2(7 − 𝑡3)−1/2 × (−3𝑡2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2√(7 − 𝑡3)× (−3𝑡2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

3𝑡2

2√(7 − 𝑡3)

Si 𝒈(𝒖) = (𝒖)𝟕/𝟓 y 𝒖 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓, encontrar dg/dx.

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

7

5(𝑢)2/5 × 6𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

7

5(3𝑥2 + 5)2/5 × 6𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

42𝑥 √(3𝑥2 + 5)25

5

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pág. 11

Si 𝒈(𝒖) = (𝒖)𝟐 y 𝒖 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓, encontrar dg/dx.

𝑑𝑦𝑔

𝑑𝑥= 2𝑢 × 6𝑥

𝑑𝑔

𝑑𝑥= 2(3𝑥2 + 5) × 6𝑥

𝑑𝑔

𝑑𝑥= (6𝑥2 + 10) × 6𝑥

𝑑𝑔

𝑑𝑥= 36𝑥3 + 60𝑥

𝑑𝑔

𝑑𝑥= 8𝑥3 + 26𝑥

Derivadas de funciones trascendentales o especiales.

Funciones logarítmicas.

1) 𝑓(𝑥) = 𝐼𝑛 𝑥 𝑓′(𝑥) =1

𝑥 o 𝑓(𝑥) = 𝐼𝑛 𝑢 𝑓′(𝑥) =

𝑢′

𝑢

La derivada del logaritmo neperiano es igual a la derivada de la función dividida por la función.

Ejemplos:

- 𝒇(𝒙) = 𝑰𝒏 𝒙

𝑓′(𝑥) =1

𝑥

- 𝒇(𝒙) = 𝟓𝑰𝒏 𝒙

𝑓′(𝑥) = 51

𝑥

𝑓′(𝑥) =15

𝑥

- 𝒇(𝒙) =𝑰𝒏 𝒙

𝒙𝟐

𝑓′(𝑥) =(

1𝑥

× 𝑥2) − (𝐼𝑛 𝑥 × 2𝑥)

(𝐼𝑛 𝑥)2

𝑓′(𝑥) =𝑥−2𝑥𝐼𝑛𝑥

(𝐼𝑛 𝑥)2

- 𝒇(𝒙) = 𝑰𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏)

𝑓(𝑥) =2𝑥

(𝑥2 + 1)

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pág. 12

Funciones exponenciales.

1) 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 𝒇′(𝒙) = 𝒆𝒙 o 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒖 𝒇′(𝒙) = 𝒖′ × 𝒆𝒖

La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función multiplicada por la

derivada del exponente.

Ejemplos:

- 𝒇(𝒙) = 𝒆𝟑−𝒙𝟐

𝑓′(𝑥) = 𝑒3−𝑥2× (−2𝑥)

𝑓′(𝑥) = −2𝑥𝑒3−𝑥2

- 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒆𝒙

𝑓′(𝑥) = 3 × 𝑒𝑥

𝑓(𝑥) = 3𝑥𝑒

- 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙𝟑+𝟑𝒙

𝑓′(𝑥) = (3𝑥2 + 3) × 𝑒𝑥3+3𝑥

𝑓′(𝑥) = 3(𝑥2 + 1)𝑒𝑥3+3𝑥

- 𝒇(𝒙) =𝒙

𝒆𝒙

𝑓′(𝑥) =𝑒𝑥 − 𝑥𝑒𝑥

(𝑒𝑥)2

𝑓′(𝑥) =𝑒𝑥(1 − 𝑥)

(𝑒𝑥)2

𝑓′(𝑥) =1 − 𝑥

𝑒𝑥

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pág. 13

Funciones trigonométricas.

Tabla 1 - Funciones Trigonométricas

Ejemplos:

- 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙

𝑓′(𝑥) = 4𝑐𝑜𝑠4𝑥

- 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 (𝟕 − 𝟐𝒙)

𝑓′(𝑥) = −(−2) × 𝑠𝑒𝑛(7 − 2𝑥)

𝑓′(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛(7 − 2𝑥)

- 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒕𝒈𝟐𝒙

𝑓′(𝑥) = 3 × 2 × (1 + 𝑡𝑔22𝑥)

𝑓′(𝑥) = 6(1 + 𝑡𝑔22𝑥)

- 𝒇(𝒙) = √𝒔𝒆𝒏𝒙𝟑

𝑓(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛𝑥)1/3

𝑓′(𝑥) =1

3× (𝑠𝑒𝑛𝑥)−

23 × 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑓′(𝑥) =𝑐𝑜𝑠𝑥

3(𝑠𝑒𝑛𝑥)23

𝑓′(𝑥) =𝑐𝑜𝑠𝑥

3√𝑠𝑒𝑛2𝑥3

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pág. 14

Derivadas implícitas.

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y, Basta con derivar miembro a miembro,

utilizando las reglas de derivación.

Ejemplos:

1) 6𝑥 − 2𝑦 = 0

6 − 2𝑦′ = 0

2𝑦′ = 6

𝑦′ =6

2

𝑦′ = 3

2) 𝑥2 + 𝑦2 − 7 = 0

2𝑥 + 2𝑦𝑦′ = 0

2𝑦𝑦′ = −2𝑥

𝑦′ =−2𝑥

2𝑦

𝑦′ = −𝑥

𝑦

𝑦′ = −𝑥

𝑦

3) 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦 − 3𝑦 = 0

2𝑥𝑦′ + 𝑦 + 𝑥𝑦′ − 3𝑦′ = 0

2𝑥𝑦′ + 𝑥𝑦′ − 3𝑦′ = −𝑦

𝑦′(2𝑥 + 𝑥 − 3) = −𝑦

𝑦′ = −𝑦

2𝑥 + 𝑥 − 3

4) 3𝑥𝑦 − 5𝑦2 + 4𝑥3𝑦4 − 2 = 5𝑥𝑦 − 4𝑥2𝑦

3𝑦 + 3𝑥𝑦′ − 10𝑦𝑦′ + 12𝑥2𝑦4 + 16𝑥3𝑦3𝑦′ = 5𝑦 + 5𝑥𝑦′ − 8𝑥𝑦 − 4𝑥2𝑦′

3𝑥𝑦′ − 10𝑦𝑦′ + 16𝑥3𝑦3𝑦′ − 5𝑥𝑦′ + 4𝑥2𝑦′ = 5𝑦 − 3𝑦 − 8𝑥𝑦 − 12𝑥2𝑦4

𝑦′(3𝑥 − 10𝑦 + 16𝑥3𝑦3 − 5𝑥 + 4𝑥2) = 5𝑦 − 3𝑦 − 8𝑥𝑦 − 12𝑥2𝑦4

𝑦′ =5𝑦 − 3𝑦 − 8𝑥𝑦 − 12𝑥2𝑦4

4𝑥2 − 10𝑦 + 16𝑥3𝑦3 − 2𝑥

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pág. 15

Tasa de cambio

Sea 𝑓(𝑥) definida en un intervalo conteniendo los puntos 𝑥1 𝑦 𝑥2. Se define la tasa de cambio de la función

𝑦 = 𝑓(𝑥) desde 𝑥 = 𝑥1 𝑎 𝑥 = 𝑥2 como:

𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)

𝑥2 − 𝑥1

La tasa de cambio promedio es igual a la pendiente de la recta que uno los puntos [𝑥1, 𝑓(𝑥1)] 𝑦 [𝑥2, 𝑓(𝑥2)].

Lo cual es la recta secante a la gráfica de la función que pasa por los puntos [𝑥1, 𝑓(𝑥1)] 𝑦 [𝑥2, 𝑓(𝑥2)].

Ilustración 2 - Tasa de cambio

Si denotamos ∆𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) como el cambio en 𝑦 y ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 como el cambio en x, entonces la

tasa de cambio puede ser escrita como:

∆𝑦

∆𝑥=

𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)

𝑥2 − 𝑥1 ≫

𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)

∆𝑥 → 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜

lim𝑛→∞

∆𝑦

∆𝑥≈

𝑑𝑦

𝑑𝑥 → 𝑅𝑎𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜

Aplicando la tasa de cambio con la derivada la fórmula de la tasa de cambio es la siguiente:

∆𝑦

∆𝑥=

𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥) → 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜

∆𝑦

∆𝑥=

𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)× 100 → 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜

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pág. 16

Trazado de curvas

Extremos relativos.

Al tratar con extremos relativos, se compara el valor de la función en un punto, con el valor en puntos cercanos.

Los extremos relativos son locales por naturaleza.

La función f tiene un máximo relativo en 𝑎 si existe un intervalo abierto que contenga a 𝑎 sobre el cual 𝑓(𝑎) ≥

𝑓(𝑥) para todo x en el intervalo. La función f tiene un mínimo relativo en 𝑎 si existe un intervalo abierto que

contenga a 𝑎 sobre el cual 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥) para todo x en el intervalo.

Ilustración 3 - Extremos relativos

Extremos absolutos.

Al tratar con extremos absolutos, se compara el valor de la función de un punto con todos los otros valores

determinados por el dominio. Los extremos absolutos son globales.

La función f tiene un máximo absoluto en 𝑎 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥) si para todo x en el dominio de f. La función f tiene

un mínimo absoluto en 𝑎 si 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥) para todo x en el dominio de f.

Ilustración 4 - Extremos absolutos

Criterio de la primera derivada.

Se obtiene la primera derivada de la función y se iguala a cero, a continuación se obtiene los valores críticos.

Se busca un máximo o mínimo.

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pág. 17

Prueba de la primera derivada para extremos relativos.

a. Máximo relativo si 𝑓′(𝑥) cambia su signo de positivo a negativo al pasar de un punto de la izquierda

de Xo a la derecha de Xo.

b. Mínimo relativo si 𝑓′(𝑥) cambia de negativo a positivo al pasar de un punto de la izquierda de Xo a la

derecha de Xo.

Ejemplos:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 5 ; −3 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 4

2𝑥 − 4 = 0

𝑥 =4

2

𝑥 = 2 → 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜

Se analiza los puntos extremos

𝑓′(−4) = −12 Se lo considera Máximo.

𝑓′(−2) = −6

𝑓′(0) = −4 Mínimo

𝑓′ (2) = 0

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 1 ; −3 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥

3𝑥2 + 6𝑥 = 0

3𝑥(𝑥 + 2) = 0

𝑥 + 2 = 0

𝑥1 = −2

𝑥2 = 0

Se analiza los puntos críticos

𝑓′(−3) = +9 Máximo

𝑓′(−1) = −3

𝑓′(−1) = −3 Mínimo

𝑓′(2) = +24

Ilustración 5 - Criterio de la primera derivada. Ejemplo 1


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pág. 18

3) 𝑓(𝑥) = 1

3𝑥3 − 9𝑥 + 2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑓′(𝑥) = 𝑥2 − 9

𝑥2 − 9 = 0

𝑥 = √9

𝑥1 = −3

𝑥2 = 3

𝑓′(−4) = +7 Máximo

𝑓′(−2) = −5

𝑓′(2) = −5 Mínimo

𝑓′(4) = +7

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 5𝑥4 + 1 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 5

𝑓′(𝑥) = 5𝑥4 − 20𝑥3

5𝑥4 − 20𝑥3 = 0

5𝑥3(𝑥 − 4) = 0

𝑥1 = 𝑜

𝑥2 = 𝑥 − 4 𝑥2 = 4

𝑓′(3) = −134 Mínimo

𝑓′(5) = 625



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pág. 19

Criterio de la segunda derivada.

Volver a derivar e igualar a cero para obtener los puntos críticos. Buscamos una concavidad.

Prueba de la segunda derivada para extremos relativos.

a. Cóncava hacia arriba cuando 𝑓′′(𝑥) > 0.

b. Cóncava hacia abajo cuando 𝑓′′(𝑥) < 0.

Si la función es cóncava hacia abajo en un punto a la izquierda de Xo y es cóncava hacia arriba en un

punto a la derecha de Xo o viceversa, nos encontramos en un punto de inflexión.

Ejemplos:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 + 7𝑥 − 5 y 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 9𝑥2 + 7

𝑓′′(𝑥) = 12𝑥2 − 18𝑥

12𝑥2 − 18𝑥 = 0

3𝑥(4𝑥 − 6) = 0

3𝑥 = 0 𝑥 = 0 → 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠

4𝑥 − 6 = 0 𝑥 = 3/2

𝑓′′(−1) = +30 Cóncava hacia arriba. Punto de inflexión.

𝑓′′(1) = −6 Cóncava hacia abajo.

𝑓′′(1) = −6 Cóncava hacia abajo. Punto de inflexión.

𝑓′′(2) = +12 Cóncava hacia arriba.

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1 y 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9

𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 12

6𝑥 − 12 = 0

𝑥 = 12/6

𝑥 = 2 → 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠


𝑓′′(3) = 6 Cóncava hacia arriba.

Cuaderno Digital

pág. 20

3) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 y 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 18𝑥

𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 − 18

12𝑥 − 18 = 0

𝑥 = 18/12

𝑥 = 3/2

3𝑥 = 3/2 → 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠



4) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 − 6 y 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 12

𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 12

6𝑥 − 12 = 0

𝑥 = 12/6

𝑥 = 2 → 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠



Teorema de roll.

Si una función es continua en [a, b] y derivable en (a, b); además, Si la función tiene varios valores de x para un

valor de y, entonces debe haber un punto en el que la pendiente es horizontal; es decir, existe un punto máximo

o mínimo.

Ilustración 9 - Teorema de Roll

Cuaderno Digital

pág. 21

Teorema del valor medio.

Si una función es continua en [a, b] y derivable en (a, b). Tomando dos puntos (X1, Y1) y (X2, Y2), basándose en

el teorema roll, si trazamos una recta por los dos puntos, necesariamente hay un punto en donde trazando una

tangente, esta va a ser paralela a la recta.

Ilustración 10 - Teorema del valor medio

Regla de L’hopital.

La regla de L’hopital es utilizada para determinar límites que de otra manera serían complicados de calcular.

Se puede aplicar si se trata del cociente entre dos funciones continuas 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) cuyo numerador y denominador

tienden a cero (infinitésimos) o al infinito. Para calcular el límite se deriva dicho numerador y el denominador

y se determina el límite del cociente entre dichas derivadas. Si el límite existe, la regla afirma que coincidirá

con el límite de 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)).

Cuaderno Digital

pág. 22

Optimización

Definición:

Desde el punto de vista de algún criterio, hay normalmente un conjunto de alternativas y una será más

favorable que las demás. Pero el criterio más favorable tiene que tener como objetivo principal maximizar

algo; así como la de minimizar algo. Estos dos términos los podemos juntar y referirnos a ellos como el acto

de optimizar, entendiendo como tal la búsqueda de lo mejor.

En la formulación de un problema de optimización primero debe de definirse una función objetivo en el cual

la variable dependiente represente el objeto a maximizar o minimizar y el conjunto de variables

independientes indica los objetivos cuyas magnitudes de la unidad económica en cuestión puede tomar o

elegir con vista a la optimización.

Ejemplos:

1) Ingreso. La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es 𝑝 = −5𝑞 + 30 ¿A qué

precio se maximiza el Ingreso?

𝑰𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐 = 𝒑 ∗ 𝒒

𝑰 = (−𝟓𝒒 + 𝟑𝟎)𝒒

𝑰 = −𝟓𝒒𝟐 + 𝟑𝟎𝒒

𝑰′ = −𝟏𝟎𝒒 + 𝟑𝟎

−𝟏𝟎𝒒 + 𝟑𝟎 = 𝟎

𝟏𝟎𝒒 = 𝟑𝟎

𝒒 = 𝟑

𝑰 = −𝟓(𝟑)𝟐 + 𝟑𝟎(𝟑)

𝑰 = −𝟒𝟓 + 𝟗𝟎

𝑰 = 𝟒𝟓

Ilustración 11 - Maximización del ingreso

Cuaderno Digital

pág. 23

2) Utilidad. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es: 𝑝 = 85 − 0.05𝑞 y la

función de costo es𝑐 = 600 + 35𝑞. ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad? ¿A qué

precio ocurre esto y cuál es la utilidad?

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = (𝑝 ∗ 𝑞) − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑈 = (85 − 0.05𝑞)𝑞 − 600 + 35𝑞

𝑈 = 95𝑞 − 0.05𝑞2 − 600 + 35𝑞

𝑈 = −0.05𝑞2 − 50𝑞 − 600

𝑈′ = −0.1𝑞 + 50

−0.1𝑞 + 50 = 0

𝑞 =50

0.1

𝑞 = 500

𝑝 = 85 − 0.05(500)

𝑝 = 60

𝑈 = −0.05(500)2 − 50(500) − 600

𝑈 = 11900

Ilustración 12 - Maximización de la utilidad

Cuaderno Digital

pág. 24

3) Utilidad. Para un monopolista el costo por unidad de producir un artículo es de $3 y la ecuación de

demanda es 𝑝 =10

√𝑞 ¿Cuál es el precio que dará la utilidad máxima?


𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = (𝑝 ∗ 𝑞) − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑈 = (10

√𝑞) 𝑞 − 3𝑞

𝑈 =10𝑞

𝑞1/2− 3𝑞

𝑈 = 10𝑞 ∗ 𝑞−12 − 3𝑞

𝑈′ = 10𝑞−12 + (−

1

2𝑞 ∗ 10𝑞) − 3

𝑈′ = 10𝑞−12 − 5𝑞2 − 3

10𝑞−12 − 5𝑞2 = 3

5𝑞−12 (2 − 𝑞

52) = 3

𝑞12 (5 − 3𝑞

12) = 0

𝑞 = 0

5 − 3𝑞12 = 0

𝑞 =25

9

𝑈 = 10(25

9) ∗ (

25

9)

−12

− 3(25

9)

𝑈 = 8.33


Cuaderno Digital

pág. 25

4) Utilidad. Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es 𝑝 = 42 − 4𝑞 y la función

de costo promedio es Ċ = 2 +80

𝑞. Encuentre el precio que maximiza a utilidad.


𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = (𝑝 ∗ 𝑞) − (𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 ∗ 𝑞)

𝑈 = (42 − 4𝑞)𝑞 − (2 +80

𝑞) 𝑞

𝑈 = 42𝑞 − 4𝑞2 − 2𝑞 − 80

𝑈 = 40𝑞 − 4𝑞2 − 80

𝑈′ = 40 − 8𝑞

40 − 8𝑞 = 0

𝑞 =40

8

𝑞 = −5

𝑝 = 42 − 4(−5)

𝑝 = 62


Cuaderno Digital

pág. 26

Funciones de varias variables

Definición:

Las variables X1, X2,…, Xn se denominan variables independientes o dominio y W variables dependiente o

codominio.

Funciones de dos variables

Las variables 𝑥, 𝑦 se llaman variables independientes, y 𝑧 se llama variable dependiente. La gráfica de una

función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) en donde (𝑥, 𝑦) está en el dominio

de 𝑓 y 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦).

Dominio:

El dominio de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) es el conjunto de todos los pares ordenados (𝑥, 𝑦) de números reales

para los que puede calcularse 𝑓(𝑥, 𝑦).

Imagen:

Una función de varias variables está graficada en plano espacial que consta de 8 octantes. Los pares

ordenados 𝑥, 𝑦 en el dominio de f se consideran puntos en el plano xy, la función f asigna una altura

z a cada uno de estos puntos. La gráfica está conformada por todos los puntos (𝑥, 𝑦, 𝑧) para los que

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). La función puede asignar alturas diferentes a diversos puntos en su dominio y en

general, su gráfica será una superficie en el espacio tridimensional.

Ilustración 15 - Plano Tridimensional

Ejemplos de graficas de dos funciones:

Cuaderno Digital

pág. 27

1) 𝑧 = 2𝑥2 + 𝑦2

Ilustración 16 - 1er Grafico en 3D

2) 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦2

Ilustración 17 - 3er Grafico en 3D

3) 𝑧 = √𝑥2+𝑦2

Ilustración 18 - 2do Grafico en 3D

4) 𝑧 = √𝑥 + 𝑦3

Ilustración 19 - 4to Grafico en 3D

Cuaderno Digital

pág. 28

Derivadas parciales.

Definición

Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) la derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑥 denotada por 𝑓𝑥 es la función dada por:

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)

ℎ

Y la derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑦 denotada por 𝑓𝑦 es la función dada por:

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = limℎ→0

𝑓(𝑥, 𝑦 + ℎ) − 𝑓(𝑥, 𝑦)

ℎ

Procedimiento para encontrar 𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) y 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚).

1. Para encontrar 𝑓𝑥 trate a 𝑦 como una constante y diferencia a 𝑥 de la manera usual.

2. Para encontrar 𝑓𝑦 trate a 𝑥 como una constante y diferencia a 𝑦 de la manera usual.

Notaciones para las derivadas parciales:

Las derivadas parciales se pueden denotar de las siguientes maneras:

Derivadas parciales de 𝑓 𝑜 𝑧 con respecto a 𝑥 𝑜 𝑦 .

1. 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)

2. 𝜕

𝜕𝑥(𝑓(𝑥, 𝑦))

𝜕

𝜕𝑦(𝑓(𝑥, 𝑦))

3. 𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑦

Derivadas parciales de 𝑓 𝑜 𝑥 con respecto a 𝑥 𝑜 𝑦 evaluadas en (𝑎, 𝑏).

1. 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)

2. 𝜕𝑧

𝜕𝑥|

(𝑎,𝑏)

𝜕𝑧

𝜕𝑦|

(𝑎,𝑏)

3. 𝜕𝑧

𝜕𝑥|𝑥=𝑎

𝑦=𝑏

𝜕𝑧

𝜕𝑦|𝑥=𝑎

𝑦=𝑏

Ejemplos:

1. 𝑧 = 3𝑥3𝑦3 − 9𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 + 4𝑦, Encuentre 𝜕𝑧

𝜕𝑥.

Cuaderno Digital

pág. 29

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 3(3𝑥2)𝑦3 − 2(9𝑥)𝑦 + (1)𝑦2 + 0

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 9𝑥2𝑦3 − 18𝑥𝑦 + 𝑦2

2. 𝑤 = √7𝑥𝑦 + 5𝑥2 − 3𝑦4, Encontrar 𝜕𝑤

𝜕𝑥.

𝜕𝑤

𝜕𝑥= (7𝑥𝑦 + 5𝑥2 − 3𝑦4)

12

𝜕𝑤

𝜕𝑥=

1

2(7𝑥𝑦 + 5𝑥2 − 3𝑦4)−

12(7𝑥 + 10𝑦)

𝜕𝑤

𝜕𝑥=

7𝑦 + 10𝑥

2√7𝑥𝑦 + 5𝑥2 − 3𝑦4

3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 + 3𝑦2 − 7, Encontrar 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 8𝑥

4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 + 3𝑥𝑦, Econtrar 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦).

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 + 3𝑦

Productos competitivos y complementarios.

Algunas veces dos productos pueden estar relacionados de modo que los cambios en el precio de uno afecten

la demanda del otro. Un ejemplo representativo es el caso de la mantequilla y la margarina. Si tal relación

existe entre los productos A y B, la demanda de cada producto depende del precio de ambos. Suponga que

𝑞𝐴 y 𝑞𝐵 son las cantidades demandadas de A y B, respectivamente, y que 𝑝𝐴 y 𝑝𝐵 son sus respectivos precios.

Entonces 𝑞𝐴 y 𝑞𝐵 son funciones de 𝑝𝐴 y 𝑝𝐵:

𝑞𝐴 = 𝑓(𝑝𝐴, 𝑝𝐵) Función de demanda para A

𝑞𝐵 = 𝑔(𝑝𝐴, 𝑝𝐵) Función de demanda para B

Se pueden encontrar cuatro derivadas parciales:

∂𝑞𝐴

∂𝑝𝐴

𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑝𝐴

∂𝑞𝐴

∂𝑝𝐵

𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑝𝐵

∂𝑞𝐵

∂𝑝𝐴

𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐵 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑝𝐴

∂𝑞𝐵

∂𝑝𝐵

𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐵 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑝𝐵

Cuaderno Digital

pág. 30

Bajo condiciones típicas, si el precio de B esta fijo y el de A aumentan, la cantidad demandada de A disminuirá.

Así 𝜕𝑞𝐴 𝜕𝑃𝐴⁄ < 0. De manera similar, 𝜕𝑞𝐵 𝜕𝑝𝐵⁄ < 0. Sin embargo 𝜕𝑞𝐴 𝜕𝑃𝐵⁄ y 𝜕𝑞𝐵 𝜕𝑝𝐴⁄ pueden ser positivas

o negativas. Si

∂𝑞𝐴

∂𝑝𝐵> 0 Y

∂𝑞𝐵

∂𝑝𝐴> 0

Entonces se dice que A y B son productos competitivos o sustitutos. En esta situación, un incremento en el

precio de B ocasiona un incremento en la demanda de A, si se supone que el precio de A no cambia. En forma

similar, un incremento en el recio de A ocasiona un incremento en la demanda de B cuando el precio de B se

mantiene fijo. La mantequilla y la margarina son ejemplos de sustitutos.

Ahora se considerara una situación diferente, se dice que si

∂𝑞𝐴

∂𝑝𝐵< 0 Y

∂𝑞𝐵

∂𝑝𝐴< 0

Entonces A y B son productos complementarios. En este caso, un incremento en el precio de B ocasiona una

disminución en la demanda de A, si el precio de A no cambia. De manera similar, un incremento en el precio

de A causa una disminución en la demanda de B, cuando el precio de B se mantiene fijo.

Ejemplos:

1. Las funciones de demanda para los productos A y B son cada una función de los precios de A y B y

están dadas por:

𝑞𝐴 =50√𝑃𝐵

3

√𝑃𝐴

𝑌 𝑞𝐵 =75𝑝𝐴

√𝑝𝐵23

Encuentre las cuatro funciones de demanda marginal y determine si A y B son productos

competitivos, productos complementarios o ninguno de los dos.

𝜕𝑞𝐴

𝜕𝑃𝐴

= 50 (−1

2) 𝑃𝐴

−3 2⁄𝑃𝐵

1 3⁄= −25𝑃𝐴

−3 2⁄𝑃𝐵

1 3⁄

𝜕𝑞𝐴

𝜕𝑃𝐵

= 50𝑃𝐴−1 2⁄

(1

3) 𝑃𝐵

−2 3⁄=

50

3𝑃𝐴

−1 2⁄𝑃𝐵

−2 3⁄

𝜕𝑞𝐵

𝜕𝑃𝐴

= 75(1)𝑝𝐵−2 3⁄

= 75𝑝𝐵−2 3⁄

𝜕𝑞𝐵

𝜕𝑃𝐵

= 75𝑃𝐴 (−2

3) 𝑃𝐵

−5 3⁄= −50𝑝𝐴𝑝𝐵

−5 3⁄

Como 𝑃𝐴 𝑦 𝑃𝐵 representan precios, ambas son positivas. Por lo tanto,

𝜕𝑞𝐴 𝜕𝑃𝐵 > 0 𝑦 𝜕𝑞𝐵 𝜕𝑝𝐴 > 0.⁄⁄ Se concluye que A y B son productos competitivos.

2. Las funciones de demanda para los productos A y B son cada una función de los precios d A y B y

están dadas por:

𝑞𝐴 = 100 − 50𝑝𝐴 + 2𝑝𝐵; 𝑞𝐵 = 500 + 4𝑝𝐴 − 20𝑝𝐵

Respectivamente. Encuentre las cuatro funciones de demanda marginal y determine si A y B son

productos competitivos, productos complementarios o ninguno de los dos.

∂qA

∂PA= −50

∂qA

∂PB= 2

∂qB

∂pA= 4

Cuaderno Digital

pág. 31

∂qB

∂PB= −20

Como 𝑃𝐴 𝑦 𝑃𝐵 representan precios, ambas son positivas. Por lo tanto,

𝜕𝑞𝐴 𝜕𝑃𝐵 > 0 𝑦 𝜕𝑞𝐵 𝜕𝑝𝐴 > 0.⁄⁄ Se concluye que A y B son productos competitivos.

3. Las funciones de demanda para los productos A y B son cada una función de los precios d A y B y

están dadas por:

𝑞𝐴 = 100𝑃𝐴−1𝑃𝐵

−12 𝑞𝐵 = 500𝑃𝐵

−1𝑃𝐴

−13

Respectivamente. Encuentre las cuatro funciones de demanda marginal y determine si A y B son

productos competitivos, productos complementarios o ninguno de los dos.

∂qA

∂PA= 100(−1)𝑃𝐴

−1𝑃𝐵

−12 =

−100

𝑃𝐴2𝑃𝐵

12

∂qA

∂PB= 100 (−

1

2) 𝑃𝐴

−1𝑃𝐵

−32 =

−50

𝑝𝐴𝑝𝐵

32

∂qB

∂pA= 500 (−

1

3) 𝑃𝐵

−1𝑃𝐴

−43 =

−500

3𝑃𝐵𝑃𝐴

43

∂qB

∂PB= 500(−1)𝑃𝐵

−2𝑃𝐴

−13 = −

500

𝑃𝐵2𝑃𝐴

13

Como 𝑃𝐴 𝑦 𝑃𝐵 representan precios, ambas son negativos. Por lo tanto,

𝜕𝑞𝐴 𝜕𝑃𝐵 < 0 𝑦 𝜕𝑞𝐵 𝜕𝑝𝐴 < 0.⁄⁄ Se concluye que A y B son productos complementarios.

Regla de la cadena

Definición:

Si 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es diferenciable y si 𝑥 = 𝑥(𝑡) y 𝑦 = 𝑦(𝑡) son funciones diferenciables de 𝑡 , entonces la

composición 𝑤 = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) es una función diferenciable de 𝑡 en:

𝑑𝑤

𝑑𝑡= 𝑓𝑥(𝑥(𝑡). 𝑦(𝑡)) ∗ 𝑥′(𝑡) + 𝑓𝑦(𝑥(𝑡). 𝑦(𝑡)) ∗ 𝑦′(𝑡) o

𝑑𝑤

𝑑𝑡=

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡….

Ejemplos:

1. 𝑤 = 𝑥𝑦 + 𝑧 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 = sin 𝑡 𝑧 = 𝑡

𝑑𝑤

𝑑𝑡= 𝑦(−𝑠𝑒𝑛 𝑡) + 𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝑡) + 1(1)

𝑑𝑤

𝑑𝑡= 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑡 + cos 𝑡 + 1

Cuaderno Digital

pág. 32

2. 𝑤 = 3𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 − 4𝑦2𝑧3 𝑥 = 2𝑟 − 3𝑠 𝑦 = 6𝑟 + 𝑠 𝑧 = 𝑟 − 𝑠

𝑑𝑤

𝑑𝑥= 6𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 − 8𝑦𝑧3

𝑑𝑥

𝑑𝑠= −3

𝑑𝑤

𝑑𝑦= 3𝑥2 + 𝑥𝑧 − 8𝑦𝑧3

𝑑𝑦

𝑑𝑠= 1

𝑑𝑤

𝑑𝑧= 𝑥𝑦 − 12𝑦2𝑧2

𝑑𝑧

𝑑𝑠= −1

𝑑𝑤

𝑑𝑠= (6𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 − 8𝑦𝑧3)(−3) + (3𝑥2 + 𝑥𝑧 − 8𝑦𝑧3)(1) + (𝑥𝑦 − 12𝑦2𝑧2)(−1)

𝑑𝑤

𝑑𝑠= 12𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 + 18𝑥2 + 6𝑥𝑧 − 48𝑦𝑧3 + 𝑥𝑦 − 12𝑦2𝑧2

3. 𝑧 = 5𝑥 + 3𝑦 𝑥 = 2𝑟 + 3𝑠 𝑦 = 𝑟 − 2𝑠

𝑑𝑧

𝑑𝑟= 5(2) + 3(1)

𝑑𝑧

𝑑𝑟= 13

𝑑𝑧

𝑑𝑟= 5(3) + 3(−2)

𝑑𝑧

𝑑𝑟= 9

Derivadas parciales implícitas

Definición:

Una ecuación en 𝑥, 𝑦 y 𝑧 no necesariamente defina a 𝑧 como función de 𝑥 y 𝑦. Para encontrar ∂𝑧/ ∂x primero

se diferencia ambos lados de la ecuación con respecto a 𝑥 y se trata a 𝑧 como una función de 𝑥 y 𝑦, y a 𝑦 como

una constante.

Ejemplo:

1. 𝑧2 − 𝑥2 − 𝑦2 = 0

2𝑧∂𝑧

∂x− 2𝑥 − 0 = 0

2𝑧∂𝑧

∂x= 2𝑥

∂𝑧

∂x=

2𝑥

2𝑧

∂𝑧

∂x=

𝑥

𝑧

2. (𝑥𝑧 + 𝑦2)1

2 − 𝑥𝑦 = 0

1

2(𝑥𝑧 + 𝑦2)−

12 (𝑧 + 𝑥

∂𝑧

∂x+ 0) − 𝑦 = 0

Cuaderno Digital

pág. 33

𝑧 + 𝑥∂𝑧∂x

2(𝑥𝑧 + 𝑦2)12

− 𝑦 = 0

𝑧 + 𝑥∂𝑧

∂x= 𝑦 (2(𝑥𝑧 + 𝑦2)

12)

∂𝑧

∂x=

𝑦 (2(𝑥𝑧 + 𝑦2)12) − 𝑧

𝑥

3. 𝑧2 = 𝑥𝑦

2𝑧∂𝑧

∂x= 𝑦

∂𝑧

∂x=

𝑦

2𝑧

Tasa de cambio y costo marginal

𝑧 = 𝑓(𝑥. 𝑦) → 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠

∂𝑧

∂x=

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜→ 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙

Suponga que 𝑓(𝑥) es el costo conjunto y este es 𝑐 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0.07𝑥2 + 75𝑥 + 85𝑦 + 60000 de producir 𝑥

pares de skies ligeros y 𝑦 pares de skies alpino de modelos por semana. Determine los costos marginales

cuando 𝑥 = 100, 𝑦 = 50.

∂𝑧

∂x= 0.14𝑥 + 75

∂𝑧

∂y= 85

𝜕𝑐

𝜕𝑥|

(100.50)= 0.14(100) + 75

𝜕𝑐

𝜕𝑥|

(100.50)= 89

𝜕𝑐

𝜕𝑦|

(100.50)

= 85

Ejemplo:

1. Para un fabricante de cámaras y películas, el costo total de c de producir 𝑞𝑐 cámaras y 𝑞𝐹 rollos de

películas está dado por:

Cuaderno Digital

pág. 34

𝑐 = 30𝑞𝐶 + 0.015𝑞𝐶𝑞𝐹+𝑞𝐹+ 900

Las funciones de demanda para las cámaras y los rollos fotográficos están dadas por

𝑞𝐶 =9000

𝑝𝐶√𝑃𝐹 Y 𝑞𝐹 = 2000 − 𝑝𝑐 − 400𝑝𝐹

Donde 𝑝𝑐es el precio por cámara y 𝑃𝐹 el precio por rollo de película. Encuentre la tasa de cambio

del costo total con respecto al precio de la cámara cuando 𝑝𝐶 = 50 y 𝑝𝐹 = 2.

Primero se debe determinar 𝜕𝑐 𝜕𝑝𝑐⁄ por la regla de la cadena, ∂c

∂𝑝𝑐

=𝜕𝑐

𝜕𝑞𝑐

𝜕𝑞𝑐

𝜕𝑝𝐶

+𝜕𝑐

𝜕𝑞𝐹

𝜕𝑞𝐹

𝜕𝑝𝑐

∂c

∂𝑝𝑐

= (30 + 0.015𝑞𝐹) [−9000

𝑝𝐶2√𝑃𝐹

] + (0.015𝑞𝐶 + 1)(−1)

Cuando 𝑝𝐶 = 50 y 𝑝𝐹 = 2, entonces 𝑞𝐶 = 90√2 y 𝑞𝐹 = 115. Después de sustituir esos valores

𝜕𝑐 𝜕𝑝𝑐⁄ y simplificar, se tiene

𝜕𝑐

𝜕𝑝𝐶

(50,2) = −123.2

Máximos y mínimos para funciones de dos variables

Se dice que una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene un máximo relativo en el punto (𝑎, 𝑏) (es decir, cuando x=a y 𝑦 =

𝑏) si, para todos los puntos (𝑥, 𝑦) en el plano que están suficientemente cerca de (𝑎, 𝑏), se tiene

𝑓(𝑎, 𝑏) ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦)

Para un mínimo relativo, se reemplaza ≥ 𝑝𝑜𝑟 ≤ en la ecuación (1).

Decir que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene un máximo relativo en (𝑎, 𝑏) significa, en forma geométrica, que el punto

(𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏)) sobre la gráfica de f es mayor que (o tan grande como) todos los otros puntos sobre la superficie

¨cercanos¨𝑎(𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏)). F tiene un máximo relativo en (a, b). En forma similar, la función f, tiene un mínimo

relativo cuando x=y=0, el cual corresponde a un punto bajo en la superficie.

Recuerde que para localizar los extremos de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) de una variable, se examinan auellos

valores de x en el dominio de f para los cuales 𝑓`(𝑥) = 0 𝑜 𝑓`(𝑥) no existe. Para funciones de dos o más

variables, se sigue un procedimiento similar.

Puntos críticos

Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene un máximo o un mínimo relativo en (𝑎, 𝑏), y si 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 están definidas para todo punto

cercano a (𝑎, 𝑏), es necesario que (𝑎, 𝑏) sea una solución del sistema

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 0

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 0

Un punto (a, b) para el cual 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏) = 0 se llama punto crítico de f. así de la regla 1 se infiere que,

para localizar extremos relativos de un función se deben examinar sus puntos críticos.

Se deben realizar dos comentarios adicionales: primero, la regla 1, así como el concepto de punto crítico,

pueden extenderse a funciones de más de dos variables. Por ejemplo, para localizar posibles extremos de 𝑤 =

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), se deben examinar aquellos puntos para los cuales 𝑤𝑥 = 𝑤𝑦 = 𝑤𝑧 = 0. Segundo, para la función

cuyo dominio está restringido, un examen completo de los extremos absolutos debe incluir la consideración

de los puntos en la frontera.

Cuaderno Digital

pág. 35

Prueba de la segunda derivada

Suponga que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene derivadas parciales continuas 𝑓𝑥𝑥, 𝑓𝑦𝑦 𝑦 𝑓𝑥𝑦 en todo punto (x, y) cercano al

punto crítico (a, b). Sea D la función definida por

𝐷(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑦)𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) − (𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦))2

Reglas:

- 𝑆𝑖 𝐷(𝑎, 𝑏) > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏) < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 (𝑎, 𝑏).

- 𝑆𝑖 𝐷(𝑎, 𝑏) > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏) > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 (𝑎, 𝑏).

- 𝑆𝑖 𝐷(𝑎, 𝑏) < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑒𝑛 (𝑎, 𝑏).

- 𝑆𝑖 𝐷(𝑎, 𝑏) = 0 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎

𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 (𝑎, 𝑏) 𝑦 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙.

Ejemplos:

1. Maximización de la producción.

Suponga que 𝑷 = 𝒇(𝒍, 𝒌) = 𝟏. 𝟎𝟖𝒍𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟑𝒍𝟑 + 𝟏. 𝟔𝟖𝒌𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟖𝒌𝟑 es una función de producción

parea una compañía. Encuentre las cantidades de entrada l y k que maximizan la producción P.

𝑝𝑙 = 2.16𝑙 − 0.09𝑙2 = 0

𝑝𝑘 = 3.36𝑘 − 0.24𝑘2 = 0

Puntos críticos (0, 0), (0, 14), (24, 0), (24, 14)

𝑝𝑙𝑙 = 2.16 − 0.18𝑙

𝑝𝑘𝑘 = 3.36 − 0.48𝑘

𝑝𝑙𝑘 = 0

𝐷 = (2.16)(−3.36) − 02 > 0

Existe un máximo

Multiplicador de LaGrange

Definición:

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de LaGrange, es un procedimiento para

encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método

reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al

número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables

escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de LaGrange.

El método es como sigue. Suponga que se tiene una función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) sujeta a la restricción 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. Se

construye una función nueva F de cuatro variables definidas por la siguiente expresión (donde 𝜆 es la letra

griega ¨lambda¨):

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝜆𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)

https://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_%28matem%C3%A1tica%29

Cuaderno Digital

pág. 36

Puede demostrarse que si (a, b, c) es un punto crítico de f sujeto a la restricción 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, existirá un

valor de 𝜆, por ejemplo 𝜆0, tal que (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝜆0) es un punto crítico de F. el numero 𝜆0 se llama multiplicador

de LaGrange. Además, si (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝜆0) es un punto crítico de F, entonces (a, b, c) es un punto crítico de f, sujeto

a la restricción. Así, para encontrar los puntos críticos de f, sujetos a 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, se buscan los puntos

críticos de F. estos se obtienen al resolver las ecuaciones simultaneas.

𝐹𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆) = 0

𝐹𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆) = 0

𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆) = 0

𝐹𝜆(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆) = 0

A veces debe usarse el ingenio para hacer esto. Una vez que se obtiene un punto crítico (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝜆0) de F, se

puede concluir que (𝑎, 𝑏, 𝑐) es un punto crítico de f, sujeto a la restricción 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. Aunque f y g son

funciones de tres variables, el método de los multiplicadores de LaGrange puede extenderse a n variables.

Método de los multiplicadores de LaGrange con dos restricciones.

Encuentre los puntos críticos para 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧, sujeta a las restricciones 𝑥2 + 𝑦2 = 8 y 𝑦𝑧 = 8

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆1, 𝜆2) = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 − 𝜆1(𝑥2 + 𝑦2 − 8) − 𝜆28𝑦𝑧 − 8)

𝐹𝑥 = 𝑦 − 2𝑥𝜆1 = 0

𝐹𝑦 = 𝑥 + 𝑧 − 2𝑦𝜆1 − 𝑧𝜆2 = 0

𝐹𝑧 = 𝑦 − 𝑦𝜆2 = 0

𝐹𝜆1 = −𝑥2 − 𝑦2 + 8 = 0

𝐹𝜆2 = −𝑦𝑧 + 8 = 0

Puntos críticos

𝑦

2𝑥= 𝜆1

𝑥 + 𝑧 − 2𝑦𝜆1 − 𝑧𝜆2 = 0

𝜆2 = 1

𝑥2 + 𝑦2 = 8

𝑧 =8

𝑦

Al sustituir 𝜆2 = 1 en la ecuación 𝑥 + 𝑧 − 2𝑦𝜆1 − 𝑧𝜆2 = 0 y simplificar, se obtiene la ecuación 𝑥 − 2𝑦𝜆1 =

0, por lo que

𝜆1 =𝑥

2𝑦

Cuaderno Digital

pág. 37

𝑦

2𝑥=

𝑥

2𝑦

𝑦2 = 𝑥2

Al sustituir en la ecuación se obtiene 𝑥2 + 𝑦2 = 8, de donde 𝑥 = ±2. Si 𝑥 = 2, entonces, de la ecuación tiene 𝑦 = ±. De manera similar, si x=-2, entonces 𝑦 = ±2.

Así, si x=2 y y=2, entonces de la ecuación 𝑧 =8

𝑦 se obtiene z=4. Si se procede de la misma manera, se obtienen

cuatro puntos críticos:

(2, 2, 4), (2, -2, -4), (-2, 2. 4) y (-2,-2,-4)

Ejemplos

1. 𝒇(𝒙, 𝒚) = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒚𝟐 + 𝟕 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟕

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝜆) = −2𝑥2 + 5𝑦2 + 7 − 𝜆(3𝑥 − 2𝑦 − 7)

{

𝐹𝑥 = −4𝑥 − 3𝜆 = 0𝐹𝑦 = 10𝑦 + 2𝜆 = 0

𝐹𝜆 = −3𝑥 + 2𝑦 + 7 = 0

−4𝑥 − 3𝜆 = 0

𝑥 = −3𝜆

4

10𝑦 + 2𝜆 = 0

𝑦 = −𝜆

5

−3𝑥 + 2𝑦 + 7 = 0

−3 (−3𝜆

4) + 2 (−

𝜆

5) + 7 = 0

9𝜆

4−

2𝜆

5+ 7 = 0

𝜆 = −140

37

−4𝑥 − 3𝜆 = 0

𝑥 =105

37

10𝑦 + 2𝜆 = 0

𝑦 =28

37

𝑃𝐶 = (105

37,28

37)

2. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒚 = 𝟐𝟎

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑥2 + 4𝑦2 + 6 − 𝜆(2𝑥 − 8𝑦 − 20)

Cuaderno Digital

pág. 38

{

𝐹𝑥 = 2𝑥 − 2𝜆 = 0𝐹𝑦 = 8𝑦 + 8𝜆 = 0

𝐹𝜆 = −2𝑥 + 8𝑦 + 20 = 0

2𝑥 = 2𝜆

𝑥 = 𝜆

8𝑦 = −8𝜆

𝑦 = −𝜆

−2𝑥 + 8𝑦 + 20 = 0

−2(𝜆) + 8(−𝜆) + 20 = 0

−10𝜆 = −20

𝜆 = 2

𝑥 = 𝜆

𝑥 = 2

𝑦 = −𝜆

𝑦 = −2

𝑃𝐶 = (2, −2)

3. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 𝒚 − 𝒛 = 𝟗

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝜆(𝑦 − 𝑧 − 9)

{

𝐹𝑥 = 2𝑥 − 2𝜆 = 0𝐹𝑦 = 2𝑦 − 𝜆 = 0

𝐹𝑧 = 2𝑧 + 𝜆 = 0𝐹𝜆 = −2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 9 = 0

2𝑥 − 2𝜆 = 0

2𝑥 = 2𝜆

𝑥 = 𝜆

2𝑦 − 𝜆 = 0

2𝑦 = 𝜆

𝑦 =𝜆

2

2𝑧 + 𝜆 = 0

2𝑧 = −𝜆

𝑧 = −𝜆

2

−2(𝜆) − (𝜆

2) + (−

𝜆

2) + 9 = 0

−2𝜆 −𝜆

2−

𝜆

2+ 9 = 0

−6𝜆 + 18 = 0

𝜆 = 3

𝑥 = 𝜆

𝑥 = 3

𝑦 =𝜆

2

𝑦 =3

2

𝑧 = −𝜆

2

𝑧 = −3

2

𝑃𝐶 = (3,3

2, −

3

2)

Matemáticas 2 para economía y administración.

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