Ing. Luis Enrique Vilca Siguas

e-mail: lvs220@hotmail.com

MATEMÁTICA II

SEMANA 02

FUNCIONES Y RELACIONES

En nuestra vida cotidiana

frecuentemente hemos

tenido experiencia con

CORRESPONDENCIAS o

RELACIONES.

2

Ejemplos

3

• En un almacén, a cada artículo le

corresponde un precio.

• A cada nombre del directorio telefónico

le corresponde uno o varios números.

• A cada número le corresponde una

segunda potencia.

• A cada estudiante le corresponde un

promedio de calificaciones .

Un fin de semana cinco personas hicieron llamadas

telefónicas a varias partes del país. Anotaron el costo de

sus llamadas y el tiempo que estuvieron en el teléfono en la

siguiente gráfica:

¿Quién o quiénes pagan menos por la llamada?

LLAMADAS TELEFÓNICAS

4

¿Qué variables se están relacionando?

¿Quién o quiénes pagan más por la llamada?

¿Quién o quiénes hablan más tiempo?

ANALICEMOS LA SIGUIENTE SITUACIÓN.

TARIFA

ENVIOS:

TRUJILLO………………… S/. 08.00

PIURA…………………..…. S/. 12.00

CAJAMARCA ……….…... S/. 10.00 POR KILOGRAMO...…….. S/. 03.00

Luis, desea enviar una encomienda a su mamá en la ciudad de Piura.

Cuánto pagará Luis, si la encomienda pesa 5 kgr., 6 kgr., 7 kgr., 8 Kgr.?

Describe el pago qué hará Luis, según el peso de su encomienda.

Modela la situación para un peso x de la encomienda.

5

KG OPERACIÓN COSTO

El costo está en función del peso de la encomienda:

Y = 3 X +12

5 3(5) +12

3(6) +12

3(7) +12

3(8) +12

3(X) +12

6

7

8

X

27

30

33

36

Y

6

Hoy aprenderemos

Describir el comportamiento de un suceso usando la gráfica de su función.

Modelar situaciones del contexto real aplicando funciones.

Función Lineal. Propiedades. Problemas aplicativos.

7

Una relación entre dos conjuntos

A y B es un subconjunto del

producto cartesiano (AxB) que

cumple una determinada regla de

correspondencia.

Relaciones

8

Dominio y Rango de una relación

El dominio y rango de una relación de A en B,

es el conjunto de las primeras y segundas

componentes de los pares ordenados de la

relación, respectivamente

Luego:

Dom={1} y Ran={-1,1}

Luego:

Dom={1,2} y Ran={0,1} 9

Ejemplo A = {1,2,3} Sean los conjuntos: B = {-1,0,1}. y

AXB = {(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),(3,-1),(3,0),(3,1)}

Tenemos el producto cartesiano:

Tenemos las siguientes relaciones:

a) R1 : A B / x = y2

= > R1 = {(1,-1),(1,1)},

y su diagrama sagital o de flecha es:

b) R2 : A B / y = x - 1

= > R2 = {(1,0),(2,1)},

y su diagrama sagital o de flecha es:

10

Una Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.

“Todas las funciones son relaciones,

pero no todas las relaciones son

funciones”

Función

11

A es el conjunto de partida y

coincide con el dominio, B es el

conjunto de llegada y contiene al

rango.

12

Evaluar si las siguientes relaciones, son funciones:

f sí es una función de A en B

(f: A B) puesto que no

existen dos pares de f que

tengan el mismo primer

elemento.

f no es una función de A en B

(f: A B) puesto que existen

dos pares de f que tengan el

mismo primer elemento (2,4)

y (2,6)

Si No

13

Interpretación geométrica

Es una función No es una función

Una relación f, será una función si su gráfica en caso

sea interceptada por alguna recta vertical, lo hace a lo

más en un punto.

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Notación

Para nombrar una función se utiliza una

letra como f, g, h. Entonces f(x) (que se lee f

de x) representa la función evaluada en x,

también suele representarse así:

f : A → B

x → f (x)

Donde A es el dominio y B el conjunto de

llegada.

15

Ejemplo 1

Si f es la función con dominio Df = {-2,1,2},

que a cada valor se le asigna su cuadrado,

tendremos:

f(-2) =

f(x) = x2

4 f(1) = 1 f(2) = 4

16

Distancia recorrida

Tiempo

Distancia al punto de partida

TiempoTiempo

Velocidad

De las siguientes gráficas, ¿cuáles corresponden

a funciones y cuáles no?

SI SI

SI SI

NO

NO

Ejemplo 2

1) 2)

3)

4) 5) 6)

17

Ejemplo 3 Un rectángulo de lados x e y tiene 100 cm de

perímetro.

Por condición del problema.

Solución:

Reemplazando:

Luego el área: x

y

o sea:

Perímetro: 2x + 2y = 100,

es decir: x + y = 50,

A = x . y

A =

A = x .

A = x (50 - x)

y =

Expresa su área A como una función del lado que

mide x.

(50 - x)

50 x - x2

50 - x.

f (x) = 18

Problema:

Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de 5 cm. por

minuto.

(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo.

(b) representa esta función.

3º. La fórmula de esta función es: y = 5x

(c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm?

Tiempo (min): 1 2 3 4 5 6 …

Espacio (cm): 5 10 15 20 25 30 … 1º. Hacemos la tabla

2º. Observamos que las magnitudes

son directamente proporcionales:

5 1

10 2

5x x

1 por 5

2 por 5

x por 5

y = 5x es una función de

proporcionalidad directa.

Ejemplo 4

19

A

C D

EF

G

9 10 12 14 16 17 18.30

Distancia recorrida

35

50

85

(En km/h)

Tiempo(en horas)

B

Una excursión a la Sierra de Lima, una pareja de turistas decidieron

recorrer varios kilómetros en un determinado tiempo (en horas) y quedó

resumida en la siguiente gráfica:

EXCURSIÓN: Ejemplo 5

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¿Qué variables se relacionan?

Tiempo y distancia recorrida

A

C D

EF

G

9 10 12 14 16 17 18.30

Distancia recorrida

35

50

85

(En km/h)

Tiempo(en horas)

B

¿Cuánto tiempo duró la excursión?

¿Cuántos kilómetros se recorrieron?

Construye una tabla de valores a partir de los datos de la gráfica.

Nueve horas y media

85 km.

En el AB, DE, FG

Tiempo

Distancia

recorrida

¿En qué intervalos se avanzó más

rápido que en el tramo BC?

21

9

0

10

35

...

....

Altura

(En metros)

Tiempo(minutos)

5 10 15

50

100

UN VUELO REAL Unos biólogos observan un águila imperial ibérica: sale de su nido,

caza un conejo, regresa a su nido, vuelve a salir, caza una paloma y, de

nuevo, vuelve a su nido.

Ejemplo 6

22

¿Qué variables se relacionan?

Tiempo y altura

¿En qué momentos se encuentra

a 100 metros?

¿Qué significado tienen en la gráfica los puntos A y B?

¿A qué altura se encuentra el nido?

3.25 minutos

Es la altura máxima y mínima que alcanza el águila

¿A qué altura se encontraba en el

minuto 5?

¿En qué instante caza al conejo?

¿Cuánto tiempo pasa en el nido con su pareja y sus polluelos después

de cazar al conejo?

¿A qué altura volaba la paloma?

Altura

(En metros)

Tiempo(minutos)

5 10 15

50

100A 45 m

A 100 m

Minuto 0, minuto 6.25, intervalo

[8,10], intervalo [16.75, 18]

Minuto 4

A 20 m 23

10 15 20 25 30 35 (En años)

Peso(En kg)

70

75

65

60

50

LA PEÑA CICLISTA

¿Cuántos componentes tiene la peña?

Si María tiene 15 años, ¿cuál es su

peso posible?

¿Para cada edad hay un único peso?

Tantos como puntos: 10

55 ó 60

Si alguien dice entre 55 y 60 está mal

pues no hay ninguna persona que pese

entre 55 y 60

NO

Ejemplo 7

24

MUCHAS GRACIAS ….. 25